安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学(理)试题含解析
分析取得最优解的点的坐标，得到参数的取值，然后求出目标函数的最大值即可．
【详解】画出 x，y 满足的可行域如下图：
z＝ 3x+y 变形为 y=-3x+z ，其中 z 表示直线的截距，
可得在直线
与直线
＝ 0 的交点 A处，使目标函数 z＝ 3x+y 取得最小值 -5 ，当
过点 B 时，目标函数 z＝ 3x+y 取得最大值，
余弦
三、解答题：共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 第 17～ 21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答 . 第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 . （一）必考题：共 60 分 .
17. 已知数列 是公差为 2 的等差数列，且
， 6， 成等比数列，
.
（ 1）求数列 （ 2）求数列
z，结合已知条件即可求出 a 的值． 的实部与虚部相等，
∴
，∴
.
故选 B. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2. 已知集合
，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】
【分析】
解不等式得集合 A、 B，根据交集的定义写出 A∩ B．
【详解】
或
，
，则
.
故选 A.
.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，考查了垂径定理的应用，考查了空间想象能力，属于中
档题 .
11. 已知函数
，若对任意的
，关于 的方程
个不同的实数根，则 的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
总有两
【解析】
【分析】
令
，且
，解得
，根据
且
，结合图象，即可求解。
【详解】由题意，函数
，令
，且
，
即
，解得
【答案】
【解析】 【分析】
由正弦定理化简得
，进而得到
得 的值，进而利用面积公式，即可求解。
【详解】由题意，可知
由正弦定理得
又由在
中，
,则
， ，即
即
，又由
，则
，所以
由余弦定理得
，即
，
整理得
，解得
，
所以
的面积为
，且
，，
，再由余弦定理得到关于 的方程， 求
， ， ，
.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定 理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、 定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．
人，所以 A 正确；
年龄在 35～ 45 岁的人数大约为
人，所以 B 不正确；
年龄在 40～ 50 岁的人数大约为
人，所以 C 不正确；
年龄在 35～ 50 岁的人数大约为
，所以 D不正确；
故选 A。
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，
其中解答中熟记频率分布直方图的性质， 以及利
用矩形的面积表示频率，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
即为 2-2sin （ α - β ） ，即有 sin （ α - β ） ，
故选： D． 【点睛】本题考查三角函数的求值， 注意运用平方法和三角函数的恒等变换公式， 的运算能力，属于基础题．
考查了化简整理
5. 函数
的大数图象为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A 【解析】 【分析】 由函数 是奇函数，图象关于原点对称，排除 排除 B，即可得到答案 .
9. 已知 是椭圆 ：
的右焦点， 为椭圆 上一点，
，则
的最大值为 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】
【分析】
设椭圆的左焦点为 F′，则有 | PF|+| PF′| ＝ ，而所求 | PA|+| PF| ＝ +| PA| ﹣ | PF′| ，作出图
形，根据图形即可看出 || PA| ﹣ | PF′|| ≤｜AF′| ，从而求出 | PA|+| PF| 的最大值．
档试题 。
12. 已知函数
则实数 的取值范围是（
）
A.
，当
时， 的取值范围为
，
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】
【分析】
求导分析函数在
时的单调性、极值，可得
的 x 的范围，综合可得结果 .
【详解】当
时，
，
令
，则
；
，则
，
∴函数 在
单调递增，在
单调递减 .
∴函数 在
处取得极大值为
，
∴
时， 的取值范围为
，
∴
4. 若
，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】 D 【解析】 【分析】 将两等式两边分别平方相加，结合同角的平方关系和两角差的正弦公式，化简整理，即可得到所求 值．
【详解】
，①
，② ① 2+② 2，可得（ sin 2α +cos2α ） +（sin 2β +cos 2β ） -2 （ sin α cos β-cos α sin β ） ，
，高为
，再由体积公式求解，即可得到答案
【详解】由三视图知，此几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为
线长为
，圆锥的底面圆的半径为
，高为
，
，母线长为 .
，母
所以几何体的体积为：
，故选 D.
的 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，
要根据三视图的规则， 空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线， 不可见轮廓线在三视图中为虚
则有 种选法，，因为 0 不能排在首位，共有
种结果，
不含 0 时，则有
种选法，共有
种结果，共
2592.
故答案为： 2592. 【点睛】本题考查了数字的选取与排列问题， 于中档题．
解题的关键是数字 0 要分清选上和不选两种情况， 属
16. 在
中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
则
的面积是 __________ ．
时，
又当
时，令
，则
，即
满足题意，再在 ，
时，求解
∴
综上所述， 的取值范围为
.
故选 C.
【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题
.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 若双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则此双曲线的实轴长为 __________．
【答案】 6 【解析】 【分析】 根据双曲线的方程求出双曲线的渐近线方程，利用线线垂直求出
a，然后求解双曲线的实轴长．
【详解】∵双曲线
a＞0）的一条渐近线与直线
垂直，
∴双曲线的渐近线方程为 ay＝± 2x
∴
，得 a＝3，∴２a＝ 6．
故答案为： 6． 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程与简单几何性质， 础题．
，
∴｜PA|+| PF| 的最大值为
，
故选： D．
【点睛】 本题考查椭圆的标准方程以及椭圆的定义的应用， 知识，考查了数形结合思想，属于中档题．
涉及三角形两边之差小于第三边的几何
10. 三棱锥
的四个顶点都在球 的球面上，
，则三棱锥
体积的最大值为（
）
是边长为 3 的正三角形 . 若球 的表面积为
A.
B.
的通项公式； 的前 项和 .
【点睛】本题考查了交集的概念及运算，属于基础题．
3. 从某地区年龄在 25～ 55 岁的人员中， 随机抽出 100 人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，
绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（
）
A. 抽出的 100 人中，年龄在 40～ 45 岁的人数大约为 20
B. 抽出的 100 人中，年龄在 35～ 45 岁的人数大约为 30
【详解】如图，设椭圆的左焦点为 F′，则 | PF|+| PF′| ＝ ；
又 F′（﹣ 1， 0），| AF′｜
，
∴｜PA|+| PF| ＝ +| PA| ﹣ | PF′| ，根据图形可以看出 || PA| ﹣ | PF′|| ≤｜AF′| ，
∴当 P 在线段 AF′的延长线上时， | PA| ﹣ | PF′| 最大，为 | AF′｜
“皖南八校 ” 2019届高三第三次联考
数学（理科）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的 .
1. 若复数
的实部与虚部相等，则实数 的值为（ ）
A.
B.
C. 5
D. 2
【答案】 B 【解析】 【分析】 直接由复数代数形式的乘法运算化简复数 【详解】∵复数
，
又因为 所以要使得 即函数
，且 与
， 总有两个不同实数根时，
的图象由两个不同的交点，
结合图象，可得
，
所以实数 m的取值范围是
.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用， 其中解答中熟练应用三角函数的性质，
结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，
以及分析问题和解答问题的能力， 属于中
安徽省皖南八校2019届高三三次联考理科综合
安徽省皖南八校2019届高三三次联考理科综合物理部分14．a、b则下列说法正确的是（A．逐渐增大入射角α的过程中，a光先发生全反射B．通过同一双缝干涉装置，a光的干涉条纹间距比b光的宽C．在该介质中b光的传播速度大于a光的传播速度D．在该介质中a光的波长小于b光的波长15．如图所示，光滑斜面的倾角为30°轻绳通过两个滑轮与A相连，轻绳的另一端固定于天花板上，不计轻绳与滑轮的摩擦．物块A的质量为m不计滑轮的质量，挂上物块B后，当滑轮两边轻绳的夹角为90°时，A、B恰能保持静止，则物块B的质量为（）A BC．1m D．2m16．在四川汶川的抗震救灾中，我国自主研制的“北斗一号”卫星导航系统，在抗震救灾中发挥了巨大作用．北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．“北斗”系统中两颗工作星均绕地心O 做匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置（如图所示）．若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R．不计卫星间的相互作用力．则以下判断中正确的是（）A．这两颗卫星的加速度大小相等，均为RgrB．卫星1向后喷气就一定能追上卫星2C．卫星1由位置A运动到位置BD．卫星1中质量为m的物体的动能为12mgr17．水平面上有一边长为L的正方形，其a、b、c三个顶点上分别固定了三个等量的正点电荷Q，将一个电量为+q的点电荷分别放在正方形中心点O点和正方形的另一个顶点d点处，两处相比，下列说法正确的是（）A．q在d点所受的电场力较大B．q在d点所具有的电势能较大C．d点的电势高于O点的电势D．q在两点所受的电场力方向相同18．图甲所示是一列简谐波的在2s时刻的波形图，图乙是图甲中质点a的振动图像，则下列说法正确的是A．该简谐波沿x轴负方向传播（）B．质点c比质点b先回到平衡位置C．在6s时质点e振动方向沿y轴负方向D．在8s时质点d的加速度沿y轴正方向且达最大值19．如图所示，一斜面静止在粗糙的水平面上，有一玩具遥控小车静止在斜面上，现用遥控器启动小车，小车以恒定的功率由静止开始沿斜面向上运动，若小车运动过程中受到的阻力恒定，斜面足够长且在小车运动过程中始终静止不动．在小车沿斜面向上运动过程中，下面关于地面对斜面静摩擦力的大小和方向的描述正确的是（）A．方向向左，大小逐渐增大B．方向向右，大小逐渐增大C．方向向右，大小逐渐减小，最后等于零D．方向向左，大小逐渐减小，最后等于零20．如图所示，P、Q是两根竖直且足够长的金属杆，处在垂直纸面向里的匀强磁场B中，MN是一个螺线管，它的绕线方法没有画出，P、Q的输出端a、b和MN的输入端d、d之间用导线相连，A是在MN的正下方水平放置在地面上的金属圆环．现将金属棒e f由静止释放，在下滑过程中始终与P、Q棒良好接触且无摩擦．在金属棒释放后下列说法正确的是（）A．A环中有大小不变的感应电流B．A环中有越来越大的感应电流C．A环对地面的压力先减小后增大D．A环对地面的压力先增大后减小第Ⅱ卷（非选择题共1 8 0分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
安徽省“八校联考”2019届高三数学(理)试题
安徽省“八校联考”2019届高三数学（理科）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．请在答题卡上答题.）1.设集合，则（）A. B. C. 或 D.【答案】B【解析】，则故选B2.已知复数满足（是虚数单位），则的共轭复数是A. -1+iB. 1+iC. 1-2iD. 1-i【答案】B【解析】【分析】将变形，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，由共轭复数的定义可得结果.【详解】因为，，，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.“”是“直线的倾斜角大于”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，则.若，得，可知倾斜角大于；由倾斜角大于得，或，即或，所以“”是“直线的倾斜角大于”的充分而不必要条件，故选A.4.已知，则( )A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用两角和的正弦公式与两角差的余弦公式化简等式可得，利用二倍角的余弦公式以及同角三角函数的关系可得结果.【详解】由，可得，，故选C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．5.若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】选项A中，与的关系是或，故A不正确．选项B中，与的关系是或与相交但不垂直或．故B不正确．选项C中，与之间的关系是或相交．故C不正确．选项D中，由线面平行的性质可得正确．选D．6.下列命题正确的个数是（）已知点在圆外，则直线与圆没有公共点．命题“”的否定是“” ．已知随机变量服从正态分布，，则．实数满足约束条件，则目标函数的最小值为1．A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】A【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系判断；由特称命题的否定判断；由正态分布的对称性判断；由特值法判断.【详解】在圆外，，圆心到直线的距离为，即，直线与圆有公共点，不正确；特称命题“”的否定是全称命题，“” ,不正确；服从正态分布，，，由正态分布的对称性可得, 正确；取满足约束条件，而目标函数，不正确，故选A.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查直线与圆的位置关系、特称命题的否定、正态分布的性质以及线性规划的应用，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.7.函数的图象大致为（）【答案】D【解析】试题分析：函数的定义域为．求导，令可得，结合定义域可知令可得，即函数在上单调递减，在上单调递增，由图可知选D．考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．函数的图像．【方法点睛】求函数的单调区间的方法：（1）求导数；（2）解方程；（3）使不等式成立的区间就是递增区间，使成立的区间就是递减区间．由此再结合函数的图像即可判断出结果．8.等比数列的首项，前项和为，若，则数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由的首项，前项和为，，求出，可得，再求数列前10项和．【详解】∵的首项，前项和为，，解得故数列的前项和为故选A.【点睛】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简函数，根据表示不超过的最大整数，可得结果.【详解】函数，当时，；当时，；当时，，函数的值域是，故选D.【点睛】本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.10.某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的表面积的数值之比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三视图画出几何体的直观图，将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球，然后求解外接球的半径，即可求解结果.【详解】由三视图可知该几何体如图中的三棱锥,,三棱锥的外接球就是图中长方体的外接球，所以三棱锥外接球的直径,从而,于是，外接球的表面积为,所以该几何体的体积与外接球的表面积之比为,故选B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.11.已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点和另一个点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，利用抛物线的性质，双曲线的渐近线，直线平行的性质、圆的性质、联立方程组，建立的关系即可得到结论.【详解】如图，设抛物线的准线为，作于，双曲线的右焦点为，由题意可知为圆的直径，设，则，且，满足，将①代入②得，则，即或（舍去），将代入③，得，即，再将代入①得，，即，，解得，所以该双曲线的离心率是，故选C.【点睛】本题主要考查抛物线的定义、圆的性质、双曲线的方程与性质以及离心率的求解，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．12.已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先，由表示点与点连线斜率，然后得到函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1 ,从而得到在内恒成立，分离参数后,转化成在内恒成立，从而求解得到的取值范围.【详解】的几何意义，表示点与点连线斜率，实数在区间内，故和在内，不等式恒成立，函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1 ,故函数的导数大于1在内恒成立，在内恒成立，由函数的定义域知，，所以在内恒成立，由于二次函数在上是单调递增函数，故时，在上取最大值为，，，故选C.【点睛】本题主要考查导数在研究函数性质中的应用及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中，解答本题的关键是将不等式问题转化为斜率问题，再转化为不等式恒成立问题.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请在答题卡上答题.）13.一个盒子中装有6张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：, ，, ，，从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是 __________．【答案】【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从6张卡片中抽取2张，共有种结果，满足条件的事件是相乘得到奇函数，共有种结果，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，由函数的奇偶性可得函数, ，为奇函数；函数，为偶函数；为非奇非偶函数，试验发生包含的事件是从6张卡片中抽取2张，共有种结果,事件为“任取两张卡片，将卡片上的函数相乘得到的函数是奇函数”，因为一个奇函数与一个偶函数相乘得到的函数是奇函数，满足条件的事件相乘得到奇函数,共有种结果，，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及古典概型概率公式的应用，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.14.二项式的展开式中的系数为，则________．【答案】【解析】【分析】先利用二项式定理的展开式可得的值,再利用微积分基本定理即可得结果.【详解】二项式的展开式中通项公式：,令 ,则，的系数为,，解得，则，故答案为.【点睛】本题主要考查二项式定理与微积分基本定理的应用，属于中档题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15.在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边交于，若，，则的最小值是________．【答案】【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用与共线，求出与的表达式再利用基本不等式求出的最小值即可.【详解】中，为边的中点，为的中点，且，，，同理，，又与共线，存在实数，使，即，，解得，，当且仅当时，“=”成立，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的几何运算及基本不等式的应用，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．16.不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】令,原不等式等价于，对，；对，，，进而可得结果.【详解】令，则原函数化为，即，由，及知，，即，当时（1）总成立，对，；对，，从而可知，故答案为.【点睛】本题主要考查三角函数与二次函数的性质以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若等差数列的公差不为零，，且、、成等比数列，求的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由根据正弦定理可得，由余弦定理可得，从而可得结果；（2）由（1）可得，再由、、成等比数列，列方程求得公差，从而得，则，利用裂项相消法可得结果.【详解】（1）由得，所以又（2）设的公差为，由（1）得，且，∴．又，∴，∴．∴∴【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.如图，在空间四面体中，⊥平面,,且．（1）证明:平面⊥平面；（2）求四面体体积的最大值，并求此时二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）,【解析】【分析】（1）由勾股定理可得，由线面垂直的性质可得，由线面垂直的判定定理可得面，从而可得结果；（2）设，则，由棱锥的体积公式求得棱锥的体积，利用导数可得体积的最大值；以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程求得平面与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.【详解】（1），故即又由、得故有平面⊥平面（2）设，则四面体的体积，故在单增，在单减易知时四面体的体积最大，且最大值是以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系则设平面的法向量为则由取，得平面的一个法向量为同理可得平面的一个法向量由于是锐二面角，故所求二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查证明面面垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.2018年7月24日，长春长生生物科技有限责任公司先被查出狂犬病疫苗生产记录造假，后又被测出百白破疫苗“效价测定”项不符合规定, 由此引发的疫苗事件牵动了无数中国人的心．疫苗直接用于健康人群，尤其是新生儿和青少年,与人民的健康联系紧密．因此，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为．（1）求2×2列联表中的数据的值；（2）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗有效？（3）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取三只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为，求的分布列和数学期望．附：，n＝a＋b＋c＋d.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）由从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为，根据古典概型概率公式列方程可求得，进而可求得的值；（2）利用求得，与邻界值比较，即可得到结论；（3）的可能取值为结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.【详解】（1）设“从所有试验小白鼠中任取一只，取到‘注射疫苗’小白鼠”为事件A，由已知得，所以（2）所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效.（3）由已知的取值为的分布列为数学期望【点睛】本题主要考查独立性检验的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点是椭圆上的一个动点，面积的最大值是．（1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆上不重合的四点，与相交于点，，且，求此时直线的方程．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据离心率，面积的最大值是，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、，即可得结果；（2）直线与曲线联立，根据韦达定理，弦长公式将用表示，解方程可得的值,即可得结果.【详解】（1）由题意知，当点是椭圆上、下顶点时，面积取得最大值此时，是，又解得，所求椭圆的方程为（2）由（1）知，由得，①当直线与有一条直线的斜率不存在时，，不合题意②当直线的斜率为（存在且不为0）时，其方程为由消去得设则所以直线的方程为，同理可得由,解得故所求直线的方程为【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.21.已知函数（1）若曲线在点处的切线方程是，求实数的值；（2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出,求出的值，可得切线斜率，利用曲线在点处的切线方程是列方程可求得；（2）恒成立，可化为，设，则在是减函数，即在上恒成立，等价于对任意恒成立，求出最大值即可得结果.【详解】（1）因为，所以因曲线在点处的切线方程是，又切点为，得所以（2），，所以时，恒成立故函数在上单调递增不妨设，则可化为设则，即在是减函数即在上恒成立，等价于在上恒成立即对任意恒成立由于在是增函数，故最大值是故即实数的取值范围是【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22.在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线关于极点对称.（1）以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,求曲线的极坐标方程;（2）设为曲线上一动点,记到直线与直线的距离分别为,求+的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】⑴建立极坐标系，求出曲线极坐标方程⑵运用极坐标进行计算，求出结果【详解】（1）设是曲线上任意一点,则关于原点的对称点在曲线上，且，将代入得，则，即曲线的极坐标方程为。
安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学(理科)试题(解析版)
“皖南八校”2019届高三第三次联考数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（）A. B. C. 5 D. 2【答案】B【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z，结合已知条件即可求出a的值．【详解】∵复数的实部与虚部相等，∴，∴.故选 B.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式得集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【详解】或，，则.故选 A.【点睛】本题考查了交集的概念及运算，属于基础题．3.从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽出100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A. 抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20B. 抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30C. 抽出的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40D. 抽出的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50【答案】A【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质，求得，再逐项求解选项，即可得到答案。
【详解】根据频率分布直方图的性质得，解得所以抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为人，所以A正确；年龄在35～45岁的人数大约为人，所以B不正确；年龄在40～50岁的人数大约为人，所以C不正确；年龄在35～50岁的人数大约为，所以D不正确；故选A。
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及利用矩形的面积表示频率，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
4.若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将两等式两边分别平方相加，结合同角的平方关系和两角差的正弦公式，化简整理，即可得到所求值．【详解】，①，②①2+②2，可得（sin2α+cos2α）+（sin2β+cos2β）-2（sinαcosβ），-cosαsinβ即为2-2sin（α-β），即有sin（α-β），故选：D．【点睛】本题考查三角函数的求值，注意运用平方法和三角函数的恒等变换公式，考查了化简整理的运算能力，属于基础题．5.函数的大数图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；再由当时，函数的值小于0，排除B，即可得到答案.【详解】由题知，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；又由当时，函数的值小于0，排除B，故选 A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排。
函数的单调性(解析版)
考点10 函数的单调性【命题解读】考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)(或都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y ＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．2. 函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．3. 复合函数的单调性对于函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果当x ∈(a ，b)时，u ∈(m ，n)，且u ＝g(x)在区间(a ，b)上和y ＝f(u)在区间(m ，n)上同时具有单调性，则复合函数y ＝f(g(x))在区间(a ，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4. 函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D(x 1≠x 2)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f(x)在D 上是增函数； f ()x 1－f ()x 2x 1－x 2<0⇔f(x)在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a ，＋∞)，减区间为(－a ，0)和(0，a)． (3)在区间D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1．若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： (1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反； (4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增函数D ．先递增再递减函数【答案】C【解析】作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2、函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13 D ．－12【答案】B【解析】 因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝12. 故选B.3、已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23【答案】D【解析】因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13， 解得12≤x <23.故选D.4、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )A. y ＝1f （x ）在R 上为减函数 B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数C. y ＝－1f （x ）在R 上为增函数 D. y ＝－f (x )在R 上为减函数 【答案】D.【解析】 如f (x )＝x 3，则y ＝1f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x ＝0时无意义，A 、C 错；y ＝|f (x )|是偶函数，在R 上无单调性，B 错．故选D.5、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】BD ．【解析】：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴102(1)x a =>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴102(1)x a =<-，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|；单调递减区间是 ． 【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(，(1，1＋2)．【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别考向一函数单调性的证明与判断例1、判断函数f(x)＝x1＋x 2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．【解析】 函数f （x ）＝21xx +在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下： 设x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝1211x x +－2221x x +＝2212212212(1)(1)1)(1)x x x x x x +-+++（＝11122212()(1)1)(1)x x x x x x -++（.∵x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0. 又（1＋x 21）（1＋x 22）>0，∴ f （x 1）－f （x 2）>0， 即f （x 1）>f （x 2）.∴ f （x ）＝21xx +在[1，＋∞）上为减函数. 变式1、试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k >0)的单调性．【解析】．法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2．因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0． 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 法二：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． f ′(x )＝1－kx 2．令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )． 故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 变式2、试讨论函数f(x)＝axx 2＋1(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．【解析】 (方法1)设x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 21＋1－ax 2x 22＋1＝ax 1（x 22＋1）－ax 2（x 21＋1）（x 21＋1）（x 22＋1）＝a[x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2]（x 21＋1）（x 22＋1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）. ∵x 1＜x 2，x 2－x 1>0，又a>0，(x 21＋1)(x 22＋1)>0. ∴当x 1，x 2∈(0，1)时，x 1x 2－1<0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）<0，即f(x 1)－f(x 2)<0⇒f(x 1)<f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递增； 当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，x 1x 2－1>0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）>0，即f(x 1)－f(x 2)>0⇒f(x 1)>f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递减． ∴函数f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：取值→作差→变形→确定符号→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．考向二 函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间（1）y ＝－x 2＋2|x|＋1；（2）、.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.【解析】（1）由2221,0-x 21,0x x x x x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.x x y x x ⎧--+⎪=⎨++⎪⎩≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．（2）y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0 ＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x<0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞)【答案】B【解析】y ＝|x 2－3x ＋2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)．变式2、 函数f(x)＝x ＋12x ＋1的单调减区间为________________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞【解析】 因为f(x)＝x ＋12x ＋1＝x ＋12＋122x ＋1＝12＋14⎝⎛⎭⎫x ＋12，且定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠－12，所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－12)，(－12，＋∞)．方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三 复合函数的单调区间 例3、求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x 2－2x －3；（2）212log (32)y x x =-+ 【解析】(2)f(x)＝x 2－2x －3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，∵t ＝x 2－12x －3在x ∈(－∞，－1]上是减函数，在x ∈[3，＋∞)为增函数，又y ＝t 在t ∈(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)＝x 2－2x －3的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看成12log y u =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．由x 2－3x ＋2＞0，解得x ＜1或x ＞2.∴函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．而12log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．变式1、函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为（ ）A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．()0,+∞D ．(),2-∞- 【答案】 D【解析】 根据复合函数的单调性判断．因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)． 变式2、函数f (x )＝2x －x 2的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1【答案】B【解析】令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0，1]．因为g (t )＝2t 是增函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递增区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.故选B.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。
皖南八校2019届高三摸底联考数学试题(理).doc
皖南八校 2019 届高三摸底联考数学试题（理）届高三摸底联考数 学 试 题（理）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150 分，考试时间120 分钟。
2．答题前，考生务必将密封线内项目填写清楚。
3．请将各卷答案填在答题卡上。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书．．．．．．．写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第Ⅰ卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数 z 的实部为－ 1，虚部为 2，则 5i 等于（）zA ． 2 iB ． 2 iC ．2 iD ． 2 i2．若全集为 实数集 R ， Mx log 1x 2 ，则M 等于（ ）3A ． (,0] 1)B ． ( 1)( ,,99 C ． (,0] [ 1,)D ． [ 1,)993．若动点 P 到定点 F （1，－ 1）的距离与到直线 l : x 1 0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线1 1 D ．直线4．设向量 a (1,0,0 ）， b (（ ）, ,0) ，则下列结论中正确的是2 2A ． a bB ． a b 22． a b 与 b 垂直 ． a ∥bCD 5．右图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是 （ ）6． 一位运 的心 跳 了8 次，得到如下表所示的数据：次数1 2 3 4 56 7 8数据 a i （次 / 分 ）39404242434546 47上述数据的 分析中，一部分 算 如右 所示的程序框 （其中 a 是 8 个数据的平均数）， 出的的 是（ ）A ． 6B ．7C ． 8D ． 567． l , m 是两条不同的直 ，a 是一个平面， 下列命 正确的是 （）A ．若 l m, m a, 则 l aB ．若 la, m a,则 lmC ．若 l ∥ a ， l ∥ m,m ∥ aD ．若 l ∥ a ， m ∥ a ， l ∥ m8．古希腊著名的 达哥拉斯学派把 1、 3、610⋯⋯的数称 “三角形数”，而把 1、 4、 9、 16⋯⋯ 的数称 “正方形数”。
2019年安徽省皖南八校高三8月摸底考试(理)数学试题及答案解析
数学试题
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
评卷人
得分
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
2．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（）
故选D
【点睛】
本题考查三角函数的周期、单调区间，属于基础题。
8．B
【分析】
计算a-b即可打出a与b的大小关系，再由 ， ， ，即可得出答案。
【详解】
.
∴ ，∵ ， ，∴ .选B.
【点睛】
本题考查不等式，比较数的大小关系，一般采用作差法、作商法、根据函数的单调性比较大小，属于基础题
9．A
【分析】
先将三视图还原，再计算其体积。
（参考数据： ， ）
21．已知圆 的圆心 的坐标为 ，且圆 与直线 ： 相切，过点 的动直线 与圆 相交于 ， 两点，直线 与直线 的交点为 .
（1）求圆 的标准方程；
（2）求 的最小值；
（3）问： 是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
22．已知函数 ，当 时， 的取值范围是 .
（1）求 的值；
评卷人
得分
三、解答题
17．在等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
18．在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 .