2018高考数学一轮复习椭圆

求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)的形式.
例1、（ 1 ）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1 ( 6,1), P2 ( 3, 2)，则椭圆的方程为 _______________; x2 y 2 1 9 3 2 y (2)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，
《新坐标》P119 例1（2）
(2)已知P( x, y )是直线kx y 4 （ 0 k 0）上一点，PA 是圆C:x2 y 2 2 y 0的一条切线，A是切点，若PA 长度的最小值为2，则k的值为( D ) A.3 21 B. 2 C.2 2 D.2
练习（1）过点P(3，1)作圆（x-1)2 y 2 r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（ B ） A.2x+y-5=0 C.x-2y-5=0
过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴， 3 2 2 《新坐标》P22 例1（2） x y 1 则椭圆 E 的方程为__________ ． 2 x2 y 2 3 2011年江西高考若椭圆 2 + 2 =1的焦点在x轴上， a b 1 过点(1 ， )作圆x 2＋y 2＝ 1 的切线，切点分别为A，B，直线 2 AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是
高三（8）班高考数学第一轮复习
复习四十一
椭圆
考纲要求
1.掌握椭圆的定义，并会用椭圆的定义进行解题． 2．掌握椭圆的几何图形和标准方程，会用待定系数法求椭圆的方程． 3．掌握椭圆的几何性质，并会熟练运用. 4.理解椭圆的离心率的定义，并会求椭圆的离心率. 5.掌握直线和椭圆的位置关系的判断，并能通过直线与椭圆的位置关系解答相应问题
Ax By 1( A 0, B 0)
3、参数方程
x a cos y b sin
三、椭圆的几何性质
标准方程 x2 y2 ＋＝1(a>b>0) a2 b2 y2 x2 ＋＝1(a>b>0) a2 b2
图形
高三（8）班高考数学第一轮复习
考点1 椭圆的标准方程
例3、（ 1）直线l与圆x 2 +y 2 +2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B 两点，若弦AB的中点为（-2,3）,则直线l的方程为 ____________; x y5 0 (2) （2016全国高考）已知直线l：x 3y+6=0与圆x2 +y 2 =12 交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点，则 CD =__________. 4 A.3 21 B. 2
《新坐标》P119 变式训练1（2）
B.2x+y-7=0
2 2
D.x-2y-7=0
(2)已知直线l : kx y 2 （ 0 k R）是圆C:x +y -6x +2y+9=0的对称轴，过点A(0，K)作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为( D ) A.2 B. 3 C .2 2 D.2 3
高三（8）班高考数学第一轮复习
考点3 直线与圆的综合问题
例 5 (2016· 江苏高考改编)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0 及其上一点 A(2,4)．
(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x＝6 上，求圆 N 的标准方程； (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且 BC＝OA，求直线 l 的方程．
A
M
o
B
x
变式3
圆A： x 3 y2 100，
2 2 圆B（x-3） y 2 4，
动圆M和定圆A相内切, 也与定圆B相内切，求动圆圆心M的轨迹方程。
A
M
B
练习：《新坐标》 P122.例1(1)
例2、（ 1）若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，
x 2y 5 0 则该圆在点P处的切线方程为____________;
一、椭圆的定义
1、第一定义
平面内到两定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞c＞0，且 a，c 为常数．
y
M
F1
O
F2
X
一、椭圆的定义
2、第二定义
平面内到到定点 F 的距离和到定直线 l 的距离之比等于常数 e(0<e<1)的点的轨迹叫椭圆．
2
(4)设∠PF1F2＝β，∠PF2F1＝γ，由正弦定理可得 2c 2c |PF1|＝ · sin γ，|PF2|＝ sin β. sinγ＋β sinγ＋β sinγ＋β c e＝a＝ sin γ＋sin β
（一）焦点三角形的应用（1）：求轨迹
例2 在△ABC中，B -3, 0 ， C 3, 0 ，三角形的周长为16，求顶点A的轨迹方程。
《新坐标》P119 变式训练1（2）
C .2 2
D.2
练习：(2011 年湖北高考)过点(－1，－2)的直线 l 被圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 截得的弦长为 2，则直
11 线 l 的斜率为________ ． 1或 7
例4、圆O1的方程为：x 2 ( y 1)2 4,圆O2的圆心坐标为（2,1）. (1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；（2）若圆O1与圆O2相交于A、B两点，且 AB =2 2，求圆O2的方程.
考情分析
椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点，几乎每年必考．尤其是离心率问题是各地高考考查的重点，多在选择、填空中出现，主要考查学生结合定义，几何性质，分析问题解决问题的能力以及运算能力．在解答题中考查较为全面，在考查对椭圆基本概念与性质理解及应用的同时，又考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析问题、解决问题的迁移能力及数形结合思想、转化与化归思想.
P {M
MF d
e}
y
M
定点 F 叫做椭圆的焦点，定直线 l 叫做椭圆的准线.
F1
a2 x c
d
F X
O
二、椭圆的方程
1、标准方程
y
M
F1
O
F2
X
二、椭圆的方程
1、标准方程
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
2、一般方程
2 2
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
____ x 2 ____ y2 ． 1 5 4
练习：《新坐标》 P123.变式训练1(2)
考点2 椭圆的焦点三角形
椭圆的第一定义（焦点三角形）
PF1 PF2 2a(2a 2c)
P
(1)求轨迹； (2)求方程； (3)求e.
F1
F2
椭圆焦点三角形中的规律： (1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a； (2)三角形的三个边长是|PF1|= a+ex0, |PF2|= a-ex0, |F1F2|=2c α (3)设∠F1PF2＝α，则 S△F1PF2＝c|y0|=b tan 2.
动圆M和定圆A： x 3 y2 100
2
相内切，且过定点B（3,0），求动圆圆心M的轨迹方程。
y
M
o
A B
x
变式2
圆A： x 3 y2 100，
2 2 圆B（x-3） y 2 4，
y
动圆M和定圆A相内切, 与定圆B相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
《新坐标》P119 例3
例 6
(2015· 全国卷Ⅰ)已知过点 A(0,1)且斜率为 k
的直线 l 与圆 C：(x－2)2＋(y－3)2＝1 交于 M，N 两点． (1)求 k 的取值范围； →· → ＝12，其中 O 为坐标原点，求|MN|. (2)若OM ON
《新坐标》P121 例3-3
练习：《新坐标》 P120.变式训练3

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2018高考数学一轮复习椭圆精选课件

y
动圆M和定圆A相内切, 与定圆B相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
M
Ao
B
x
变式3 圆A： x32y2100，
圆B（x-3） 2y24，
动圆M和定圆A相内切, 也与定圆B相内切，求动圆圆心M的轨迹方程。
M
A
B
练习：《新坐标》 P122.例1(1)
例2、（1）若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为__x__2_y___5___0_;
|F1F2|=2c
(3)设∠F1PF2＝α，则 S△F1PF2＝c|y0|=b2tan
α 2.
(4)设∠PF1F2＝β，∠PF2F1＝γ，由正弦定理可得
|PF1|＝sin2γc＋β·sin γ，|PF2|＝sin2γc＋βsin β.
e＝ac＝sisninγ＋γ＋siβnβ
（一）焦点三角形的应用（1）：求轨迹
A.3
B. 21
C.2 2
D.2
2
练习：(2011 年湖北高考)过点(－1，－2)的直线 l 被圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 截得的弦长为 2，则直线 l 的斜率为__1_或__1_1__．
7
例4、圆O1的方程为：x2 (y1)2 4,圆O2的圆心坐标为（2,1）. (1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；（2）若圆O1与圆O2相交于A、B两点，且AB=2 2，求圆O2的方程.
《新坐标》P22 例1（2）
32011年江西高考若椭圆ax22
+ y2 b2
=1的焦点在x轴上，
过点(1， 1)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线 2
AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是

2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案：专题49椭圆

|F 1F 2|＝ 2 c e＝ac∈ (0， 1) c2＝ a2－ b2
高频考点一椭圆的定义及其应用
【例 1】 (1) 已知椭圆 x2＋y2＝1 的两个焦点是 42
F1 ，F2 ，点 P 在该椭圆上，若 |PF 1|－ |PF2|＝ 2，则△ PF1F 2 的
面积是 ( )
专题 49 椭圆
A. 2 B.2
P→F 2|的最小值是 (
)
A ． 0 B ． 1 C． 2 D． 2 2
x2 y2
b
(2)(2015 浙·江 ) 椭圆 a2＋ b2＝ 1(a＞ b＞0)的右焦点 F (c，0)关于直线 y＝ cx 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离
心率是 ________．
答案
(1)C (2) 2 2
专题 49 椭圆
1
12
3
A. 3
B. 2 C.3
D.4
x2 y2 (2) 已知椭圆 E：a2＋b2＝1( a>b>0)的右焦点为 F ，短轴的一个端点为
M，直线 l ： 3x－ 4y＝ 0 交椭圆 E 于 A，
B 两点 .若|AF |＋ |BF|＝ 4，点 M 到直线
l 的距离不小于
4，则椭圆 5
E 的离心率的取值范围是
∵ |AF |＋ |BF |＝ 4，
∴ |AF |＋ |AF 0|＝ 4，∴ a＝2.
设 M (0 ，b)，则 45b≥45，∴ 1≤b<2.
离心率 e＝ac＝
c2 a2＝
a2－ b2 a2 ＝
4－ b2 4∈
0，
3 2
.
答案 (1)A (2)A
【举一反三】 (1)已知点 F 1，F2 是椭圆 x2＋ 2y2＝ 2 的左，右焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么 |P→F 1＋

2018届高三数学一轮复习：第8章第5节椭圆

第五节椭圆[考纲传真] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于1 2，则C的方程是()A.x23＋y24＝1 B.x24＋y23＝1C.x24＋y22＝1 D.x24＋y23＝1D[椭圆的焦点在x轴上，c＝1.又离心率为ca＝12，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x24＋y23＝1.]3．(2015·广东高考)已知椭圆x225＋y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝()A．2 B.3C．4 D.9B[由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.]4．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13 B.12C.23D.34B [如图，|OB |为椭圆中心到l 的距离，则|OA |·|OF |＝|AF |·|OB |，即bc ＝a ·b2，所以e ＝c a ＝12.]5．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是__________．3 [直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8，即a ＝2，此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3， ∴S △F AB ＝12×2×3＝3.](1)如图8-5-1所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )【导学号：01772310】图8-5-1A ．椭圆 B.双曲线 C ．抛物线D.圆(2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为__________．(1)A (2)x 2＋32y 2＝1 [(1)由条件知|PM |＝|PF |. ∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆． (2)不妨设点A 在第一象限，设半焦距为c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)．∵AF 2⊥x 轴，则A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2,0<b <1)．又|AF 1|＝3|F 1B |，得AF 1→＝3F 1B →，设B (x 0，y 0)，则(－2c ，－b 2)＝3(x 0＋c ，y 0)， ∴x 0＝－5c 3且y 0＝－b 23，代入椭圆x 2＋y 2b 2＝1，得25c 2＋b 2＝9，①又c 2＝1－b 2，② 联立①②，得b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.][规律方法] 1.(1)利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义，但一定要注意|PF 1|＋|PF 2|与|PF 1|·|PF 2|的整体代换．2．求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式．[变式训练1] (1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝__________.(2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为__________．(1)3 (2)x 24＋y 23＝1 [(1)由定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，且PF 1→⊥PF 2→， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2. ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝12×2b 2＝9，因此b ＝3. (2)依题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．过点F 2(1,0)且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长|AB |＝3， ∴点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，∴1a 2＋94b 2＝1.①又由c ＝1，得1＋b 2＝a 2.② 由①②联立，得b 2＝3，a 2＝4. 故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.](2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34A [法一：设点M (－c ，y 0)，OE 的中点为N ，则直线AM 的斜率k ＝y 0a －c，从而直线AM 的方程为y ＝y 0a －c (x ＋a )，令x ＝0，得点E 的纵坐标y E ＝ay 0a －c. 同理，OE 的中点N 的纵坐标y N ＝ay 0a ＋c .∵2y N ＝y E ，∴2a ＋c ＝1a －c，即2a －2c ＝a ＋c ， ∴e ＝c a ＝13.法二：如图，设OE 的中点为N ，由题意知 |AF |＝a －c ，|BF |＝a ＋c ，|OF |＝c ，|OA |＝|OB |＝a . ∵PF ∥y 轴，∴|MF ||OE |＝|AF ||AO |＝a －c a ，|MF ||ON |＝|BF ||OB |＝a ＋c a . 又|MF ||OE |＝|MF |2|ON |，即a －c a ＝a ＋c 2a ， ∴a ＝3c ，故e ＝c a ＝13.][规律方法] 1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析． 2．求椭圆离心率的主要方法有：(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．[变式训练2] (2015·福建高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 A [根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋(－4)2≥45，所以1≤b <2，所以e ＝ca ＝1－b 2a 2＝1－b 24.因为1≤b <2，所以0<e ≤32，故选A.]☞已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为c2.【导学号：01772311】(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图8-5-2，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．图8-5-2[解] (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ，3分由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.5分(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.8分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2.10分于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.12分 ☞角度2 由位置关系研究直线的性质(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[解] (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.3分所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.5分(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M ).7分将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.9分故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.12分[规律方法] 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2．设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．[思想与方法]1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，且m ≠n )可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )，这种形式在解题中更简便．3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，常用方法： (1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca 求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．[易错与防范]1．判断两种标准方程的方法是比较标准形式中x 2与y 2的分母大小． 2．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽视而导致求最值错误的原因．3．椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.。

2018届高考数学(理)一轮复习人教版课件：第50讲椭圆

a>c ，则动点 M 的轨迹为椭圆； (1)若________ a＝c ，则动点 M 的轨迹为线段； (2)若________ a<c (3)若________，则动点 M 的轨迹为空集．
课前双基巩固
课前双基巩固
(续表) 标准方程范围对称性顶点轴焦距性质离心率 a，b，c 的关系 x y x y 2＋ 2＝1(a＞b＞0) 2＋ 2＝1(a＞b＞0) a b b a －a ≤x≤____ b ≤x≤____ b ，____ －b ≤y≤ － ____ ____ a ，______ ______ b a －a ≤y≤____ ，0) 对称轴：坐标轴 ________，对称中心：(0 ________ ，0) ，B1(0 (－ a，0) ，－b) ，－a) A1(0 ____ ，A2(0 ____ ，，a) A1 ____ ，A2(a ______ ____ ，－b， 0)B2(b B2(0 ______ B1(____ ， ______ ，b) ，0) 2a ，短轴 B1B2 的长为______ 长轴 A1A2 的长为______ 2b 2c |F1F2|＝________ c (0，1) e＝a，e∈________ c ＝________
2 2 2 2
[思路点拨] (1)易知△F1PF2 为直角三角形，运用勾股定理和椭圆定义易得出两直角边的关系，再利用面积关系易得结果；(2)先利用椭圆定义将|BF2|＋|AF2|转化为 2a－|AB|，再结合题意列方程求解．
课堂考点探究
[答案] (1)3 (2) 3
[解析]
2
r1＋r2＝2a， (1)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则 2 2 所以 2 r1＋r2＝4c ，

(江苏版)2018年高考数学一轮复习专题9.5椭圆(讲)

专题9.5 椭圆【考纲解读】【直击考点】题组一常识题1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 24＋y 212＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．【解析】由椭圆定义知△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍，所以△ABC 的周长是43×2＝8 3. 2．椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，焦距为4，则椭圆的标准方程为________________．3．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为________．【解析】由x 216＋y 28＝1可得a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝a 2－b 2＝8，∴e 2＝c 2a 2＝12，∴e ＝22.题组二常错题4．已知条件甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和为|PA |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)；条件乙：P 点的轨迹是以A ，B 为焦点，且长轴长为2a 的椭圆．则甲是乙的________________(填“充分不必要、必要不充分或充要”)条件．【解析】∵乙推出甲且甲推不出乙，∴甲是乙的必要不充分条件．5．已知椭圆的焦点在坐标轴上，中心在坐标原点，若直线x －2y ＋2＝0经过该椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为__________________________．【解析】易知直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为y 25＋x 24＝1.题组三常考题6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (4，0)，短轴长为6，则a ＝________．【解析】依题意2b ＝6，所以b ＝3，又c ＝4，所以a ＝b 2＋c 2＝5.7．直线l 经过椭圆的两个相邻顶点，若椭圆中心到l 的距离为其长轴长的13，则该椭圆的离心率为__________．8．已知圆Q ：(x －1)＋y 2＝16，动圆M 过定点P (－1，0)且与圆Q 相切，则圆心M 的轨迹方程是________________．【解析】点P (－1，0)在圆Q 内，故圆M 与圆Q 内切．设M (x ，y )，圆M 的半径为r ，则|MQ |＝4－r .又圆M 过定点P (－1，0)，所以|MP |＝r ，所以|MQ |＝4－|MP |，即|MQ |＋|MP |＝4.由椭圆定义知，圆心M 的轨迹是椭圆，且c ＝1，a ＝2，所以b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.【知识清单】考点1 椭圆的定义及其应用 1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． (2)代数式形式：集合1212P={M||MF|+|MF |=2a |FF |=2c.} ①若a c >，则集合P 为椭圆； ②若a c =，则集合P 为线段； ③若a c <，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在x 轴时，2222=1(a>b>0)x y a b +；焦点在y 轴时，2222=1(a>b>0)y x a b+考点2 椭圆的标准方程 1.椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴，2222+=1(a>b>0)x y a b ；（2）焦点在y 轴，2222y +=1(a>b>0)x a b.2．满足条件：22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞考点3 椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质考点4 直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点1122()()M x y N x y ，，，，则弦长公式为MN MN （2）弦中点问题，适用“点差法”.【考点深度剖析】椭圆是圆锥曲线中最重要的一类曲线，在高考中出现的次数也最多，主要考查椭圆的定义、性质、方程，在解答题中多与直线、向量、轨迹等综合出题．【重点难点突破】考点1 椭圆的定义及其应用【1-1】[2015·扬州模拟]已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，那么动点M 的轨迹是________．【答案】椭圆【1-2】已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 【答案】3【思想方法】1. 涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解．2.涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解.【温馨提醒】应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P(x ，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c)．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a2＝b2＋c2.考点2 椭圆的标准方程【2-1】【2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为3，过F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为________．【答案】22132x y +=【解析】由椭圆的定义可得，121222,AF AF a BF BF a +=+=，又因为1212 AF AF BF BF +++=所以4a =a =c e a ==1c =， 2222b a c =-=，所以椭圆方程为22132x y +=. 【2-2】求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点()3,0A ；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3；【答案】 (1) 22+y =19x 或22y +=1819x (2) 22y +=1129x ，或22y +=1912x【思想方法】1．求椭圆标准方程的方法求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为22=1x y m n+ (0)0m n m n ≠＞，＞且，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为221Ax By ＋＝ (A ＞0，B ＞0且A ≠B )，这种形式在解题中更简便． 2．椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量2,,,,a a b c e c等之间的关系，并能熟练地应用．【温馨提醒】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是：(1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为221mx ny ＋＝ (0)0m n m n ≠＞，＞且． (3)找关系：根据已知条件，建立关于a b c m n 、、或、的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程2222y +=1x a b 与2222y +=(>0)x a b λλ有相同的离心率．(2)与椭圆2222+=1(a>b>0)x y a b 共焦点的椭圆系方程为22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k +>++，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．考点3 椭圆的几何性质【3-1】【2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（大纲卷）】已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为________．【答案】22132x y +=【3-2】设P 是椭圆221255x y +=上一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，120,PF PF ⋅=12F PF ∆则面积是________．【答案】5【解析】由椭圆方程可知5,a c ===12210PF PF a +==，122F F c ==120,PF PF ⋅=，所以12PF PF ⊥，所以222121280PF PF F F +==，因为222121212()2PF PF PF PF PF PF +=++，解得1210PF PF =.因为12PF PF ⊥，所以1212152F PF S PF PF ∆==. 【思想方法】1.在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c 、a 、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用,c e e a =＝2.对焦点三角形12F PF △的处理方法，通常是运用⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF |）(2c)|PF|+|PF ||PF||PF |cos |PF||PF |sin . 【温馨提醒】1.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c)，过焦点垂直于长轴的通径长为2222e?b b c a =等． (2)设椭圆2222+=1(a>b>0)x y a b 上任意一点P(x ，y)，则当x ＝0时，|OP|有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP|有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P(x ，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c)．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a2＝b2＋c2. 2．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．考点4 直线与椭圆的位置关系【4-1】过椭圆2222+=1(a>b>0)x y a b左焦点F 斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点，向量OA OB +与向量31()=-a，共线，则该椭圆的离心率为________．【答案】3【4-2】【2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷）】过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则由2222112222221,1,x y x y a b a b +=+=两式相减变形得：1212121222()()()()0,x x x x y y y y a b -+-++=即2212220,ab -⨯+=222a b =，从而222,a c e ==【思想方法】1.涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断（2）弦长、弦中点问题（3）轨迹问题（4）定值、最值及参数范围问题（5）存在性问题2．常用思想方法和技巧有：（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系3. 若直线与椭圆有两个公共点1122()()M x y N x y ，，，，可结合韦达定理，代入弦长公式MN MN 【温馨提醒】1.涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断（2）弦长、弦中点问题（3）轨迹问题（4）定值、最值及参数范围问题（5）存在性问题2．常用思想方法和技巧有：（1）数形结合思想；（2）设而不求；（3）坐标法；（4）根与系数关系.【易错试题常警惕】[失误与防范]1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．2．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．。

2018届高考数学一轮复习8.5

所以点A的坐标为 ��, ±
2 ��
,
�� 1+��2 �� 2
故AF1所在的直线方程为x-acy+c=0, 所以坐标原点O到直线AF1的距离为 =
�� 2 −1
.
又|OF1|=c,
所以
�� 2 −1
知识清单基础自测
第五节
椭
圆
主干知识回顾名师考点精讲
-5-
3.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系有三种:相离、相切、相交. (1)直线与椭圆相离的充要条件是直线与椭圆所组成的方程组无解,即转化所得的一元二次方程的判别式小于0; (2)直线与椭圆相切的充要条件是直线与椭圆所组成的方程组有唯一解,即转化所得的一元二次方程的判别式等于0; (3)直线与椭圆相交的充要条件是直线与椭圆所组成的方程组有两组不同的解,即转化所得的一元二次方程的判别式大于0.
第五节椭圆
第八章
第五节
椭
圆
主干知识回顾名师考点精讲
-2-
考纲概述 (1)了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; (2)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率); (3)了解椭圆的简单应用; (4)理解数形结合的思想
考查热点椭圆的定义、标准方程与几何性
第五节
椭
圆
主干知识回顾名师考点精讲
-8-
�� 2 5.设椭圆C: 2 ��
点,��2 ·
�� 2 + =1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A是椭圆C上的一 2 1 ��1 ��2 =0,坐标原点O到直线AF1的距离为 |OF1|. 3

2018年高考数学人教A版一轮复习课件：8-5-1椭圆的概念

【小题快练】链接教材练一练
x2 y2 1.(选修1-1P42T2(1)改编)已知椭圆 =1的 m 2 10 m
焦点在x轴上,焦距为4,则m等于 A.8 B.7
(
) D.5
C.6
x2 y2 【解析】选A.因为椭圆 =1的焦点在x轴上. m 2 10 m 10 m 0，所以解得6<m<10. m 2 0， m 2 10 m，
【解析】由题意,c=4,且椭圆焦点在x轴上,
因为椭圆过点(5,0),所以a=5,所以b= a 2 c2 =3.
x 2 y2 所以椭圆方程为 =1. 25 9 x 2 y2 答案: =1 25 9
x 2 y2 5.(2017·三明模拟)已知椭圆 2 2 =1(a>b>0)的两 a b
2.椭圆的标准方程和几何性质
图
形
标准方程
x 2 y2 2 1 2 a b __________(a>b>0)
y2 x 2 2 1 2 a b __________(a>b>0)
图
形 -a a ___≤x≤__ -b b ___≤y≤__ 对称性 -b b ___≤x≤__
范围
性质
性质
顶点轴
2a 长轴A1A2的长为___ 2b 短轴B B 的长为___
1 2
图
形 2c |F1F2|=___
c (0,1) e= a ∈______
2+c2 b a2=_____
性质
焦距
离心率 a,b,c 的关系
【特别提醒】
1.在求椭圆的离心率时,椭圆中a,b,c之间的关系容易

2018届高考数学一轮复习椭圆课件人教A版

2＝m，b2＝2，∴ c2＝ m－ 2.
m－ 2 1 1 c2 1 8 ∵ e＝，∴ 2＝，∴ ＝，∴m＝ . 2 4 4 3 a m
x2 y2 4． (2013· 常州调研)若方程＋＝ 1 表示椭圆，则 k 的取 5－k k－3 值范围是________．
C.
解析设长轴长、短轴长分别为2a、2b,则2a=4b,
1 2
D.
3 2
c a 2 b2 4b 2 b 2 3 e . a a 2b 2
2.设P是椭圆 x
的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于
y 上的点.若F1，F2是椭圆＋＝1 9 12
（ D ）
2
2
3.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为
符号叙述
图示
（二）椭圆的方程
焦点在x轴上标准方程
x
2
焦点在y轴上
y2 a
2
a2

y
2
b2
1(a b 0)

x2 b
2
1(a b 0)
Ax 2 By 2 C( A, B, C同号且不等于0)
一般方程
C C A B
C C A B
（三）椭圆的几何性质焦点在x轴上范围对称性顶点焦点
a＝2 3， a＝2c，【解析】 (1)由已知 ∴ a－c＝ 3， c＝ 3.
从而 b2＝ 9， x 2 y2 x 2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为＋＝ 1 或＋＝ 1. 12 9 9 12
x 2 y2 (2)设椭圆方程为 2＋ 2＝ 1(a>b>0)． a b 2 c 2 b2 1 由 e＝知＝，故 2＝ . 2 a 2 a 2 由于△ ABF2 的周长为 |AB|＋ |BF2|＋ |AF2|＝ |AF1|＋ |AF2 |＋ |BF1| ＋ |BF2|＝ 4a＝ 16，故 a＝ 4， ∴ b2＝8. x 2 y2 ∴椭圆 C 的方程为＋＝ 1. 16 8

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2018高考数学一轮复习椭圆