2020年河北省衡水中学高考数学一模试卷1 (含答案解析)
2020年河北省衡水中学高考数学一模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,1，2}，B ={y|y =x 2,x ∈A}，则A ∩B =( )A. {1}B. {1,2}C. {0,4}D. {−1,1，2}2. 若复数z =3ai1−2i (a <0)，其中i 为虚数单位，|z|=√5，则a 的值为( )A. −23B. −1C. −43D. −533. 已知双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的渐近线方程为√3x ±y =0，则b =( )A. 2√3B. √3C. √32D. 124. 某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A 或B 被选中的概率是( )A. 15B. 25C. 35D. 7105. 已知实数x ，y 满足不等式组{x >0y >0x +2y <4x +2y >2，则z =x 2+y 2的取值范围是( )A. (4,16)B. (45,4)C. (2,16)D. (45,16)6. 若函数f(x)={2x +2,x ≤0,2x −4,x >0,则f[f(1)]的值为( )A. −10B. 10C. −2D. 27. 阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为( )A. 21B. 58C. 141D. 3188. 已知tanα=2，则sinαsin(π2−α)=( )A. 25B. √25C. 23D. √239.已知函数f(x)=cosπ3x+2，若a=log217，b=(17)2，c=217，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()A. f(a)<f(b)<f(c)B. f(c)<f(b)<f(a)C. f(b)<f(a)<f(c)D. f(a)<f(c)<f(b)10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=a8+6，则S7=()A. 49B. 42C. 35D. 2811.函数f(x)=12x−sinx在区间[0,π]上的最小值是()A. 5π12−√32B. π12−12C. π6−12D. π6−√3212.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=√10，P是y轴正半轴上一点，PF1交椭圆于点A，若AF2⊥PF1，且△APF2的内切圆半径为√22，则椭圆的离心率是()A. √54B. √53C. √510D. √154二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,√3)，向量a⃗，c⃗的夹角是π3，a⃗⋅c⃗=2，则|c⃗|等于______．14.已知等比数列{a n}的公比为3，其前n项和为S n，若S n=1+(λ+1)a n，则λ的值为________．15.如图所示几何体的三视图中，正视图与侧视图是全等的直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，其外接球体积为______．16.如果函数f(x)=lnx+ax2−2x有两个不同的极值点，那么实数a的范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）)17.设函数f(x)=1−2sin2x−cos(2x+π3(1)求函数f(x)的最小正周期；)=1，求△ABC面积的(2)△ABC的三边a，b，c所对的内角分别为A，B，C，若b=5，且f(B2最大值．18.某民调机构为了了解民众是否支持英国脱离欧盟，随机抽调了100名民众，他们的年龄的频数及支持英国脱离欧盟的人数分布如下表：年龄段18−24岁25−49岁50−64岁65岁及以上频数35202520支持脱欧的人数10101515(Ⅰ)由以上统计数据填下面列联表，并判断是否有99%的把握认为以50岁胃分界点对是否支持脱离欧盟的态度有差异；年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计支持“脱欧”人数不支持“脱欧”人数合计附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.010K0 1.3232.0722.7063.8415.0246.635(Ⅱ)若采用分层抽样的方式从18−64岁且支持英国脱离欧盟的民众中选出7人，再从这7人中随机选出2人，求这2人至少有1人年龄在18−24岁的概率．19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，AB=A1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的点，且AA1⊥CM．(1)证明：MN//平面ABC；(2)若AB⊥A1B，求二面角A−CM−N的余弦值．20. 已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2=4y 上，P 在第一象限，如图．F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|PF|=3，求直线AB 的方程．21. 已知函数．(1)判断函数f (x )的单调性；(2)已知e 为自然对数的底数，若关于x 的不等式对恒成立，求a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为y 2=−4x ，以点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ−π3)=√3，l 与x 轴交于点M ． (1)求直线l 的直角坐标方程，点M 的极坐标；(2)设l与C相交于A、B两点，求|AB|．23.已知f(x)=|x+1|+|x−2|(Ⅰ)已知关于x的不等式f(x)<2a−1有实数解，求实数a的取值范围；(Ⅱ)解不等式f(x)≥x2−2x．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由题意可得：B={1,4}，则A∩B={1}．故选：A．利用题意首先求得集合A，然后进行交集运算即可求得最终结果．本题考查了交集的运算法则，集合的表示方法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．2.答案：D解析：【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的运算公式求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．【解答】解：∵z=3ai1−2i =3ai(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−6a+3ai5，∴|z|=√36a225+9a225=3√5|a|5=√5，又a<0，解得a=−53．故选：D．3.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．利用双曲线方程以及渐近线方程求解b即可．【解答】解：双曲线x24−y2b2=1(b>0)的渐近线方程：bx±2y=0，因为双曲线x24−y2b2=1(b>0)的渐近线方程为√3x±y=0，所以b2=√3，解得b=2√3．故选A ．4.答案：D解析： 【分析】本题考查古典概型的计算，是基础题．基本事件总数n =C 52=10，A 或B 被选中的对立事件是A 和B 都没有被选中，由此能求出A 或B 被选中的概率． 【解答】解：某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人， 赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，基本事件总数n =C 52=10，A 或B 被选中的对立事件是A 和B 都没有被选中， 则A 或B 被选中的概率是P =1−C 32C 52=710．故选：D ．5.答案：D解析：解：由约束条件{x >0y >0x +2y <4x +2y >2作出可行域如图，z =x 2+y 2=(√(x −0)2+(y −0)2)2表示原点(0,0)到阴影区域的距离的平方， ∴z min 是原点(0,0)到x +2y −2=0的距离的平方，则z min =(√5)2=45，z max 是原点(0,0)到点(4,0)的距离的平方，则z max =42=16， ∴z 的取值范围是(45,16)， 故选：D ．由约束条件作出可行域，再由z =x 2+y 2的几何意义，即原点(0,0)到阴影区域的距离的平方求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．6.答案：C解析：【分析】本题考查分段函数的求值，属于基础题．【解答】解：因为f(1)=−2，所以f[f(1)]=f(−2)=−2．故选C．7.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得S=0，k=1不满足条件k>5，执行循环体，S=1，k=2不满足条件k>5，执行循环体，S=6，k=3不满足条件k>5，执行循环体，S=21，k=4不满足条件k>5，执行循环体，S=58，k=5不满足条件k>5，执行循环体，S=141，k=6满足条件k>5，退出循环，输出S的值为141．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.答案：A解析：【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．利用诱导公式化简sinαsin(π2−α)，将sinα⋅cosα变形为sinαcosαsin2α+cos2α，整理得tanαtan2α+1，即可求出答案．【解答】解：∵tanα=2，∴sinαsin(π2−α)=sinα⋅cosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=25，故选：A．9.答案：D解析：【分析】本题考查函数的奇偶性、单调性和周期性，指数函数的性质和对数函数的性质，比较大小，属于中档题．根据题意，进行求解即可．【解答】解：由f(x)=cosπ3x+2，可知函数f(x)的最小正周期为6，且函数f(x)为偶函数，在区间[0,3]上单调递减，∵a=log217=−log27，∴a∈(−3,−2)，−a∈(2,3)，∵b=(17)2，∴0<b<1，∵c=217，∴c∈(1,2)，因此f(a)<f(c)<f(b)，故选D．10.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列的性质，通项公式以及前n项和的求法，是基础题．由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a6=a8+6，∴2(a1+5d)=a1+7d+6，∴a1+3d=6，∴a4=6，∴S7=72(a1+a7)=7a4=42．故选B．解析：【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最小值，属于基础题．求出导数，分析单调性，即可求出结果．【解答】解：f′(x)=12−cosx，x∈[0,π]，当0≤x<π3时，f′(x)<0，故f(x)在[0,13π)上单调递减;当π3<x≤π时，f′(x)>0，故f(x)在(13π,π]上单调递增．∴当x=π3时，函数f(x)取最小值f(π3)=π6−√32．12.答案：B解析：【分析】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，属于中档题．由题意，直角三角形的内切圆半径r=√22，结合|F1F2|=√10，可得|AF1|2+|AF2|2=10，从而可求|AF1|+|AF2|=3√2=2a，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意，直角三角形PAF2的内切圆半径r=|PA|+|AF2|−|PF2|2=|PA|−|PF1|+|AF2|2=|AF2|−|AF1|2=√22，即|AF2|−|AF1|=√2，∵|F1F2|=√10，AF2⊥AF1，∴|AF1|2+|AF2|2=10，∴2|AF1||AF2|=8，∴(|AF1|+|AF2|)2=18，∴|AF1|+|AF2|=3√2=2a，∵|F1F2|=√10=2c，∴椭圆的离心率是e=ca =√103√2=√53．故选B．13.答案：2解析：本题考查了向量的坐标以及向量数量积的定义，求出a⃗的模是关键，属于基础题．由向量的坐标可求得向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案．【解答】解：∵|a⃗|=√12+(√3)2=2，=2，又∵a⃗⋅c⃗=|a⃗|⋅|c⃗|⋅cosπ3=2，即：2×|c⃗|×12∴|c⃗|=2，故答案为2．14.答案：12解析：【分析】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和的应用，解题的关键是熟练掌握等比数列的通项公式，等比数列的前n项和的计算，根据已知及等比数列的通项公式，等比数列的前n项和的计算，求出λ的值．【解答】解：等比数列{a n}的公比为3，其前n项和为S n，若S n=1+(λ+1)a n，∴S n=−a1(1−3n)，a n=a1·3n−1，2∴λ=1．2．故答案为1215.答案：√6π解析：【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．由三视图知几何体是一个三棱锥，其外接球可以看成是一个棱长为1的正方体的外接球，求出球的半径后，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，下图为该三棱锥的直观图，由图可知，该几何体的外接球，即为以PA，AB，AC为长宽高的长方体的外接球，∵PA=2，AB=AC=1，故外接球的直径2R=√22+12+12=√6，解得R=√62，故这个几何体的外接球的体积V=4π3×(√62)3=√6π，故答案为：√6π．16.答案：(0,12)解析：【分析】求出函数的导数，利用导函数有两个极值点，列出不等式求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．【解答】解：函数f(x)=lnx+ax2−2x，函数的定义域：{x|x>0}，可得：f′(x)=1x +2ax−2=2ax2−2x+1x，函数f(x)=lnx+ax2−2x有两个不同的极值点，可得：2ax2−2x+1=0，有两个不相等的正实数根，可得a>0，并且△=4−8a>0，解得a∈(0,12).故答案为(0,12).17.答案：解：(1)∵cos2x=1−2sin2x，cos(2x−π3)=cosπ3cos2x−sinπ3sin2x=12cos2x−√32sin2x，∴f(x)=cos2x−(12cos2x−√32sin2x)=12cos2x+√32sin2x=sin(2x+π6)，因此，函数f(x)的最小正周期T=2π2=π；(2)∵f(x)=sin(2x+π6)，∴f(B2)=sin(B+π6)=1，又∵B∈(0,π)，可得B+π6∈(π6,7π6)，∴B+π6=π2，可得B=π3．因此，根据余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac =12，整理得：a2+c2−ac=b2=25．又∵根据基本不等式，得a2+c2≥2ac，∴ac≤a2+c2−ac=25，当且仅当a=c时，等号成立．由此可得：S△ABC=12ac⋅sinB≤252⋅√32=25√34，当a=c=5时，△ABC面积的最大值为25√34．解析：(1)根据二倍角公式、两角和与差的正余弦公式进行化简，可得f(x)=sin(2x+π6)，再利用三角函数的周期公式加以计算，可得f(x)的最小正周期；(2)由f(B2)=1得sin(B+π6)=1，结合B为三角形的内角算出B=π3.然后根据余弦定理与基本不等式，推出当且仅当a=c时，ac有最大值为25.由此利用三角形的面积公式，即可算出△ABC面积的最大值．本题将一个三角函数式进行化简，求函数的最小正周期并依此求三角形面积的最大值．着重考查了三角恒等变换公式、基本不等式、余弦定理与三角形的面积公式等知识，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)K2=55×45×50×50≈9.091>6.635所以有99%的把握认为以50岁为分界点对是否支持脱离欧盟的态度有差异．(Ⅱ)18−24岁2人，25−49岁2人，50−64岁3人．记18−24岁的两人为A，B；25−49岁的两人为C，D；50−64岁的三人为E，F，G，则AB，AC，AD，AE，AF，AG，BC，BD，BE，BF，BG，CD，CE，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG共21种，其中含有A或B的有11种．故P=1121．解析：本题考查独立性检验，考查概率的计算，考查学生的阅读与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；(Ⅱ)利用列举法确定基本事件的个数，即可得出这2人至少有1人年龄在18−24岁的概率．19.答案：证明：(1)如图1，三棱柱ABC−A1B1C1中，连结BM，∵BCC1B1是矩形，∴BC⊥BB1，∵AA1//BB1，∴AA1⊥BC，∵AA1⊥MC，BC∩MC=C，∴AA1⊥平面BCM，∴AA1⊥MB，∵AB=A1B，∴M是AA1中点，取BC中点P∴NP//MA，且NP=MA，∴四边形AMNP是平行四边形，∴MN//AP，∵MN ⊄平面ABC ，AP ⊂平面ABC ， ∴MN//平面ABC ．解：(2)∵AB ⊥A 1B ，∴△ABA 1是等腰直角三角形，设AB =√2a ， 则AA 1=2a ，BM =AM =a ，在Rt △ACM 中，AC =√2a ，∴MC =a ，在△BCM 中，CM 2+BM 2=2a 2=BC 2，∴MC ⊥BM ， 由(1)知MC ⊥AA 1，BM ⊥AA 1，如图2，以M 为坐标原点，MA 1，MB ，MC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则M(0,0，0)，C(0,0，a)，B 1(2a,a ，0)，∴N(a,a 2,a2)， MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a 2,a 2)， 设平面CMN 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{az =0ax +a 2y +a 2z =0，取x =1，得n⃗ =(1,−2,0)， 平面ACM 的法向量m ⃗⃗⃗ =(0,1，0)， 则cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−2√55， ∵二面角A −CM −N 的平面角是钝角， ∴二知识面角A −CM −N 的余弦值为−2√55．解析：(1)连结BM ，推导出BC ⊥BB 1，AA 1⊥BC ，从而AA 1⊥MC ，进而AA 1⊥平面BCM ，AA 1⊥MB ，推导出四边形AMNP 是平行四边形，从而MN//AP ，由此能证明MN//平面ABC ．(2)推导出△ABA 1是等腰直角三角形，设AB =√2a ，则AA 1=2a ，BM =AM =a ，推导出MC ⊥BM ，MC ⊥AA 1，BM ⊥AA 1，以M 为坐标原点，MA 1，MB ，MC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −CM −N 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：由题意可知F 点为(0,1)，设P(x,y)，由|PF|=3，得y =2，∴x =2√2，即P(2√2,2)． 设M(x 0,y 0)，由PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 得(−2√2,−1)=3(x 0, y 0−1)． 得x 0=−2√23，y 0=23，即M(−2√23,23)，设A (x 1,y 1), B (x 2,y 2),因为M 为AB 的中点， 则x 1+x 22=−2√23, y 1+y 22=23,k AB =y 2−y1x 2−x 1=x 224−x 124x 2−x 1=x 2+x 14=−√23，∴AB 的方程为：y −23=−√23(x +2√23)， 整理得：3√2x +9y −2=0．解析：本题主要考查抛物线的几何性质，直线和抛物线的位置关系，直线方程的求法，考查计算能力，属于中档题．由题意可知|PF|=3，求得P 点坐标，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求得M 点坐标，根据斜率公式求得直线AB 的斜率，代入即可求得AB 的方程．21.答案：解：(1)由题知f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=1−ax −1+a x 2=x 2−ax−(1+a)x 2=(x+1)[x−(a+1)]x 2，当a +1>0，即a >−1时，由f′(x)>0，得x >a +1，由f′(x)<0，得0<x <a +1， 所以f(x)在区间(0,a +1)内单调递减，在区间(a +1,+∞)内单调递增． 当a +1≤0，即a ≤−1时，f′(x)>0对∀x ∈(0,+∞)恒成立， 所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增．综上所述，当a >−1时，f(x)在区间(0,a +1)内单调递减，在区间(a +1,+∞)内单调递增； 当a ≤−1时，f(x)在区间(0,+∞)内单调递增．对∀x ∈[1,e]恒成立，等价于对∀x ∈[1,e]恒成立，等价于f(x)≥0对∀x ∈[1,e]恒成立，等价于函数f(x)在区间[1,e]上的最小值f(x)min ≥0恒成立， 由(1)知当a +1≥e ，即a ≥e −1时，f(x)在区间[1,e]上单调递减，所以f(x)min =f(e)=e +1+a e−a ≥0， 解得a ≤e 2+1e−1.又e 2+1e−1>e −1，所以e −1≤a ≤e 2+1e−1．当a +1≤1，即a ≤0时，易知f(x)在区间[1,e]上单调递增， 所以f(x)min =f(1)=2+a ≥0，解得a ≥−2，所以−2≤a ≤0．当1<a +1<e ，即0<a <e −1时，易知f(x)在区间[1,a +1)内单调递减，在区间(a +1,e]上单调递增，所以f(x)min =f(a +1)=2+a −aln(a +1)．因为0<ln(a +1)<1，所以0<aln(a +1)<a ，所以f(a +1)>2，所以f(x)min ≥0对∀a ∈(0,e −1)恒成立．综上，a 的取值范围是[−2,e 2+1e−1].解析：本题考查由导数判断函数的单调性，由导数求函数的最值证明不等式恒成立，属于难题． (1)先求函数的定义域为(0,+∞)，分类讨论，再对参数进行分类讨论，利用导数的得函数的单调区间．(2)原不等式等价于f(x)≥0对恒成立，等价于函数f(x)在区间[1,e]上的最小值f(x)min ≥0恒成立，证得结论．22.答案：解：(1)由2ρsin(θ−π3)=√3，得，ρsinθ−√3ρcosθ=√3，y =√3x +√3， ∴l 的直角坐标方程y =√3x +√3． 令y =0得点M 的直角坐标为(−1,0)， 所以ρ=1，得，又∴点M 的极坐标为(1,π)． (2)由(1)知l 的倾斜角为π3，参数方程为{x =−1+12ty =√32t，(t 为参数)代入y 2=−4x ， 得3t 2+8t −16=0， ∴t 1+t 2=−83，t 1t 2=−163∴|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=163．解析：(1)根据互化公式可得直线l 的直角坐标方程和点M 的极坐标； (2)根据韦达定理和参数t 的几何意义可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：(Ⅰ)f(x)=|x +1|+|x −2|，①当x ≤−1时，f(x)=−2x +1≥3； ②当−1<x ≤2时，f(x)=3． ③当x >2时，f(x)=2x −1>3． ∵关于x 的不等式f(x)<2a −1有实数解， ∴2a −1>3，∴a >2；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当x≤−1时，f(x)=−2x+1≥x2−2x，解得x=−1；当−1<x≤2时，f(x)=3≥x2−2x，解得−1≤x≤3，∴−1<x≤2，当x>2时，f(x)=2x−1≥x2−2x，解得2−√3≤x≤2+√3，∴2<x≤2+√3，综上所述，不等式的解集为[−1,2+√3].解析：(Ⅰ)分类讨论求出函数的最小值，即可求实数a的取值范围；(Ⅱ)分类讨论解不等式即可．本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2020届河北省衡水中学高三一模数学(文)试题(解析版)
q： ，则（）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【答案】A
【解析】对命题p： 成等比数列，则公比 且 ；
对命题 ，①当 时， 成立；
②当 时，根据柯西不等式，等式 成立，
同理 ，切面 为菱形，
连 ，则 ，
过点 做 于 ，则 ， ，
， ，
，
在 中， ，
，
，
所以切面 面积为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查实际应用问题，考查正四棱柱的结构特征以及切面的面积，利用线面关系确定切面的形状特征是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.
12．设函数 ，若曲线 上存在点 ， 使得 成立，则实数 的取值范围为（）
【答案】
【解析】由题意，根据圆的对称性，可得当 时， 取最小值．
【详解】
在平面直角坐标系 中，以 为圆心的圆与 轴和 轴分别相切于 ， 两点，
点 ， 分别在线段 ， 上， 与圆 相切，
根据圆的对称性，当 时， 取最小值，
如图， ， ，
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查线段长的最小值的求法，考查直线、圆等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
试题解析：（1）由 ，得 ，
当 时， ，即 ，
所以 ， ，
依题意， ，
解得 .
（2）有（2）知 ，
所以 ，又因为 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，
河北省衡水中学2020届高三数学下学期一模考试试题理(含解析)
2021学年度第二学期高三年级一模测试数学〔理科〕试卷第I卷〔选择题共60分〕一、选择题〔每题5分,共60分.以下每题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在做题卡上〕1 .全集为,集合,,那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合B,再求得解.【详解】由题得B={x|x >2或x< },所以,所以.应选：B【点睛】此题主要考查集合的交集和补集运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理水平.2 .假设复数满足,那么在复平面内的共轲复数对应的点位于〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先求出复数z和,再求出在复平面内的共轲复数对应的点的位置得解^【详解】由题得,所以,所以在复平面内的共轲复数对应的点为〔1,1 〕,在第一象限.应选：A【点睛】此题主要考查复数的模和复数的除法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理水平3 .某单位共有36名员工,按年龄分为老年、中年、青年三组,其人数之比为3: 2: 1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本,那么青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：按分层抽样应该从青年职工组中抽取人,其中青年组共有人,这六人中抽取两人的根本领件共有种,甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到,根本领件为种,因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为,应选 B.考点：1 .分层抽样；2 .古典概型.4.如图是2021年第一季度五省情况图,那么以下陈述中不正确的选项是〔〕A. 2021年第一季度增速由高到低排位第5的是浙江省.B.与去年同期相比,2021年第一季度的总量实现了增长.C.去年同期河南省的总量不超过4000亿元.D. 2021年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个.【答案】D【解析】分析：解决此题需要从统计图获取信息,解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义,依据所代表的实际意义获取正确的信息.详解：由折线图可知A、B正确；,故C正确；2021年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四,共2个.故D错误.应选D.点睛：此题考查条形统计图和折线统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键.5 .是双曲线右支上一点,直线是双曲线的一条渐近线.在上的射影为,是双曲线的左焦点,那么的最小值为〔〕A. 1B.C.D.【答案】D【解析】设双曲线的右焦点为,连接,那么〔为点到渐近线距离〕,即的最小值为；应选D.点睛：此题考查双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或双曲线的点到两焦点的距离问题时,往往利用椭圆或双曲线的定义,将曲线上的点到一焦点的距离合理转化到另一个焦点间的距离.6 .如图,在三棱柱中,,,两两互相垂直,,,是线段,上的点,平面与平面所成〔锐〕二面角为,当最小时,〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出的大小.【详解】以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,设,设,,那么,0,,, 1,,, 0,,, 1,,,1,,, 0,,设平面的法向量,一,取,得,,,平面的法向量,0,,平面与平面所成〔锐二面角为,解得,当|最小时,一应选：.【点睛】此题考查角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识, 考查运算求解水平,是中档题.7 .函数,在的大致图象如下图,那么可取〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：从图像可以看出为偶函数,结合的形式可判断出为偶函数,故得的值,最后通过得到的值.详解：为上的偶函数,而为上的偶函数,故为上的偶函数,所以.由于,故,.因,故,所以,.因,故,所以.综上,,应选B .点睛：此题为图像题,考察我们从图形中扑捉信息的水平,一般地,我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值,然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围.8 .?九章算术?中描述的“羡除〞是一个五面体,其中有三个面是梯形,另两个面是三角形.一个羡除的三视图如图粗线所示, 其中小正方形网格的边长为1,那么该羡除的体积为〔〕A. 20B. 24C. 28D. 32【答案】B【解析】【分析】画出五面体的直观图,利用割补法求其体积.【详解】五面体对应的直观图为:由三视图可得：,三个梯形均为等腰梯形且平面平面到底面的距离为,间的距离为 .如以下图所示,将五面体分割成三个几何体,其中为体积相等的四棱锥,且, ,那么棱柱为直棱柱,为直角三角形.又；故五面体的体积为.应选A.【点睛】此题考查三视图,要求根据三视图复原几何体,注意复原前后点、线、面的关系.而不规那么几何体的体积的计算,可将其分割成体积容易计算的规那么的几何体^9 .在中,内角所对的边分别是 ,且边上的高为,那么的最大值是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】,这个形式很容易联想到余弦定理：cosA,①而条件中的“高〞容易联想到面积, bc sin A,即a2=2bc sin A②将②代入①得：b2+ c2= 2bc〔cos A+ sin A〕,,= 2〔cosA+ sin A〕 =4sin〔 A+ 〕,当A=时取得最大值4,应选D.点睛：三角形中最值问题,一般转化为条件最值问题：先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合条件灵活转化边和角之间的关系,利用根本不等式或函数方法求最值.在利用根本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧,使其满足根本不等式中“正〞〔即条件要求中字母为正数〕、“定〞〔不等式的另一边必须为定值〕、“等〞〔等号取得的条件〕的条件才能应用,否那么会出现错误 .10 .函数,假设,且,那么的最小值为(A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先分析得到的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍,再求函数的绝对值最小的零点即得解.【详解】由题得等于函数的零点的2倍,所以的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍,令所以,所以所以绝对值最小的零点为,故的最小值为.应选：D【点睛】此题主要考查正弦型函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理水平.11 .过抛物线的焦点的一条直线交抛物线于、两点,正三角形的顶点在直线上,那么的边长是()A. 8B. 10C. 12D. 14 【答案】C【解析】【分析】设的中点为,过、、分别作、、垂直于直线于、、,设,求出,利用弦长公式,可得结论.【详解】抛物线的焦点为,设的中点为,过、、分别作、、垂直于直线于、、,设,由抛物线定义知：,,即,所以直线AB的斜率k=,所以直线AB的方程为,联立直线AB方程和抛物线方程得,所以.应选：.【点睛】此题考查抛物线的方程与性质,考查抛物线的定义,正确运用抛物线的定义是关键.12 .设函数〔,为自然对数的底数〕,定义在上的函数满足,且当时,.假设存在,且为函数的一个零点,那么实数的取值范围为〔〕A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先构造函数,由题意判断出函数的奇偶性,再对函数求导,判断其单调性,进而可求出结果【详解】构造函数,由于,所以,所以为奇函数,当时,,所以在上单调递减,所以R上单调递减.由于存在,所以,所以,化简得,所以,即由于为函数的一个零点,所以在时有一个零点由于当时,,所以函数在时单调递减,由选项知,,又由于,所以要使在时有一个零点,只需使,解得,所以a的取值范围为,应选D.【点睛】此题主要考查函数与方程的综合问题,难度较大 ^第n卷〔共90分〕二、填空题：〔本大题共4小题,每题5分,共20分〕13 .假设实数,满足约束条件,那么的最小值为.【答案】【解析】分析】先画出可行域,利用目标函数的几何意义求z的最小值.【详解】作出约束条件,表示的平面区域〔如图示：阴影局部〕：由得A 〔,〕,由z = 3x+y 得y = — 3x+z,平移y= — 3x,易知过点A时直线在y上截距最小,所以的最小值为+.故答案为：2.【点睛】此题考查了简单线性规划问题,关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义.14 .假设,那么的值为.【答案】0试题分析：由,解得,又考点：三角函数的化简求值.15 .函数图像上不同两点,处的切线的斜率分别是, ,为两点间距离,定义为曲线在点与点之间的“曲率〞,给出以下命题：①存在这样的函数,该函数图像上任意两点之间的“曲率〞为常数；②函数图像上两点与的横坐标分别为1,2 ,那么“曲率〞；③函数图像上任意两点之间的“曲率〞；④设,是曲线上不同两点,且,假设恒成立,那么实数的取值范围是.其中正确命题的序号为〔填上所有正确命题的序号〕.【答案】①③【解析】试题分析：因当时,,曲率为,是常数,故①是正确的；又因当时,,故,所以②是错误的；因, 故,所以,故③正确成立；因,故,所以,所以④是错误的.故应填①③.考点：函数的图象性质及导数等有关知识的综合运用.【易错点晴】函数的图象和性质是高中数学中重要内容,也高考和各级各类测试的重要内容和考点.此题以定义新的概念“为曲线在点与点之间的“曲率〞为背景精心设置了一道选择填空形式的问题.重在考查推理判断的推理论证水平,求解时要充分借助题设中新定义的新的信息,对所给的四个命题进行逐一检验和推断,最后通过推理和判断得出命题①③是真命题,命题②④是假命题,从而获得此题的正确答案为①③.16 .在平面直角坐标系中, 圆,点,,是圆上相异两点,且,假设,那么的取值范围是.【答案】【解析】试题分析：由可得设到直线的距离分别是, ,又,设,,一,又,,可知分别在圆,由以下图可得的取值范围是.考点：向量及其运算【方法点晴】此题主要考查向量及其运算,其中涉及数形结合思想,计算繁杂,属于较难题型.由可得由可得设到直线的距离分别是, ,又分别在圆的取值范围是.【此处有视频,请去附件查看】三、解做题：〔本大题共6小题,共70分,解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.〕17 .等比数列的前项和为,.〔1〕求的值；〔2〕等差数列的公差,前项和满足,且, ,成等比数列,求.【答案】〔1〕 1; 〔2〕.【解析】【分析】〔1〕根据先求出q=3,再根据求出的值；〔2〕先求出,再求出,再求出.【详解】解：〔1〕•・・,・•・,・二,,〔2〕由〔1〕得, (5)•••,,成等比数列,解得或〔舍〕【点睛】此题主要考查等比数列和等差数列的通项的求法,考查等差数列的前n项和的求法, 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理水平^18.三棱锥〔如图一〕的平面展开图〔如图二〕中,四边形为边长等于的正方形,和均为正三角形,在三棱锥中：〔I 〕证实：平面平面；〔n〕假设点在棱上运动,当直线与平面所成的角最大时,求二面角的余弦值^图一图二【答案】〔1〕见解析〔2〕【解析】【分析】⑴设AC的中点为O,证实PO垂直AC,OB,结合平面与平面垂直判定,即可.〔2〕建立直角坐标系分别计算两相交平面的法向量 ,结合向量的数量积公式,计算夹角,即可.【详解】〔I〕设的中点为,连接,.由题意,得,.由于在中,,为的中点,所以,由于在中,,,,,所以.由于,平面,所以平面,由于平面,所以平面平面.〔n〕由〔I〕知,,,平面,所以是直线与平面所成的角,且,所以当最短时,即是的中点时,最大 .由平面,,所以,,于是以,,所在直线分别轴,轴,轴建立如图示空间直角坐标系,那么,,,,,,.设平面的法向量为,那么由得：.令,得,,即.设平面的法向量为,由得：,令,得,,即.■由图可知,二面角的余弦值为 .【点睛】本道题考查了二面角计算以及平面与平面垂直的判定,难度较大.19.“工资条里显红利,个税新政入民心〞.随着2021年新年钟声的敲响,我国自1980年以来,力度最大的一次个人所得税〔简称个税〕改革迎来了全面实施的阶段.某从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利,绘制了他在26岁-35岁〔2021年-2021年〕之间各年的月平均收入〔单位：千元〕的散点图：〔注：年龄代码1-10分别对应年龄26-35岁〕〔1〕由散点图知,可用回归模型拟合与的关系,试根据有关数据建立关于的回归方程；〔2〕如果该从业者在个税新政下的专项附加扣除为3000元/月,试利用〔1〕的结果,将月平均收入视为月收入,根据新旧个税政策,估计他36岁时每个月少缴纳的个人所得税.附注：①参考数据：,,,,…其中：取,.②参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为, ^③新旧个税政策下每月应纳税所得额〔含税〕计算方法及税率表如下：【答案】(1);(2) 2130 元.【解析】【分析】(1)利用求出y关于t的线性回归方程,从而得出y关于x的回归方程；(2)估计36岁时的收入和两种政策对应的个税,得出结论.【详解】解：(1),那么.y关于x的回归方程为：(2)该从业者36岁时的月收入约为元,假设按旧个税政策,需缴纳个税为：,假设按新个税政策,需缴纳个税为：,・••他36岁时每个月少缴交的个人所得税2130元.【点睛】此题主要考查了线性回归方程的求解及数据估计,考查计算水平,属于中档题.20 .椭圆C：过点,离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设R, E分别为椭圆C的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M N,记△F1MN 的内切圆的面积为S,求当S 取最大值时直线l的方程,并求出最大值.【答案】⑴；(2),.【解析】【分析】(1)运用离心率公式和点满足椭圆方程,解方程可得a, b,即可得到椭圆方程；(2)设M (x i, y i), N (X2, y2), ^Fi MN的内切圆半径为r,运用等积法和韦达定理,弦长公式,结合根本不等式即可求得最大值. 【详解】(I)由题意得+=1, = , a2=b2+c2,解得a=2, b=, c=1 ,椭圆C的标准方程为+=1;(n)设M(X1, yO , N(X2, y2), 1MN 的内切圆半径为r,那么=(|MN|+|MF1|+|NF 1| ) r=X8r=4r,所以要使S取最大值,只需最大,那么=|FF2|?|y 1 - y2|=|y 1 - y2| ,设直线l的方程为x=ty+1 ,将x=ty+1 代入+=1;可得(3t2+4) y2+6ty - 9=0 (*),「△>0恒成立,方程(*)恒有解,y1+y2=, 丫沙2=,—— ==记m= (m> 1),==在［1 , +8)上递减,当m=1 即t=0 时,()ma)=3,此时l ： X=1 , S ma=兀.【点睛】此题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理和三角形的面积公式,考查运算水平,属于中档题.21 .函数.(1)假设关于的方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围；(2)是否存在实数使得总成立？假设存在,求实数的值；假设不存在,说明理由 ^【答案】(1); (2)存在实数满足题意.【详解】(1)由得:设,贝U令,得,,列表得：・•・当时,的极小值为,又,•••方程在上给有两个不相等的实数根,故即解得：.(2)存在,理由如下：等价于,或令,那么,,①假设,当时,…所以：当时,,,所以,所以在单调递减区间为,单调递增区间为,又,所以,当且仅当时,,从而在上单调递增,又,所以或即 .②假设,由于在递增且,当时,,所以存在,使得,由于在单调递增,所以当时, ,在上递增,又,所以当时,,从而在上递减,又,所以当时,,此时不恒成立；③假设,同理可得不恒成立.综上所述,存在实数.【点睛】此题主要考查利用导数研究函数的零点问题,考查利用导数研究不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理水平^考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题计分22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数)曲线G的参数方程为(,为参数)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l :.=与G, C2各有一个交点. 当=0时,这两个交点间的距离为2,当=时,这两个交点重合.(1)分别说明C, C2是什么曲线,并求出a与b的值；(2)设当=时,l与C i, C2的交点分别为A i, B i,当=-时,l与G, G的交点为Aa, R,求四边形AAB2B1的面积.【答案】(1) a=3 b=1(2)【解析】略【此处有视频,请去附件查看】23.函数,.假设不等式有解,求实数a的取值范围；2当时,函数的最小值为3,求实数a的值.【答案】(I) (n).【解析】分析：(1)由绝对值的几何意义知,由不等式f (x) <2- |x - 1|有解,可得,即可求实数a 的取值范围；(2)当a<2时,画出函数的图像,利用函数f (x)的最小值为3,求实数a的值.详解：(1)由题,即为.而由绝对值几何意义知,由不等式有解,,,即.实数的取值范围.(2)函数的零点为和,当时知如图可知在单调递减,在单调递增, ,得(合题意),即.点睛：这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法,绝对值三角不等式的应用,以及函数的最值问题；一般对于解含有多个绝对值的不等式,根据零点分区间,将绝对值去掉, 分段解不等式即可.。
河北省衡水中学2020届高考数学临考模拟试卷1(一)(含答案解析)
河北省衡水中学2020届高考数学临考模拟试卷1（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数3−4i1−2i的虚部为()A. −25B. 25C. 115D. 25i2.已知集合A={x|−1<x<2}，B={y|y=x2,x∈A}，则(∁R A)∩B=()A. ⌀B. [1,4)C. (2,4)D. [2,4)3.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗=(2,3)，2a⃗−3b⃗ =(1,9)，则a⃗⋅b⃗ 的值为()A. −1B. 1C. −2D. 24.2020年是中国农历的鼠年，中国邮政为此发行了一枚名为“鼠兆丰年”的生肖鼠年邮票，两只大老鼠带着萌动可爱的小老鼠侧身远望，身边是寓意丰收的花生，表情欢喜、得意，寓意着鼠到福来的含义．该邮票的规格为36×36mm，为了估算图中3只老鼠图案的面积，现向该邮票内随机投掷200粒芝麻，已知恰有120粒芝麻落在老鼠图案内，据此可估计老鼠图案的面积大约为()A. 791mm2B. 778mm2C. 745mm2D. 700mm25.函数f(x)=x−sin|x|在x∈[−π,π]上的图象大致为()A. B.C. D.6.定义轴截面为正方形的圆柱为正圆柱．某正圆柱的一个轴截面是四边形ABCD，点P在母线BC上，且BP=2PC=4.一只蚂蚁从圆柱底部的A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P，则这只蚂蚁行走的最短路程为()A. 213B. √9π2+4C. √9π2+16D. 2√9π2+47.若sin(θ−π6)=2sin(θ+π3)，则tanθ=()A. −3√3B. 8−5√3C. 8+5√3D. −8−5√38.秤漏是南北朝时期发明的--种特殊类型的漏刻，它通过漏水的重量和体积来计算时间，即“漏水一斤，秤重一斤，时经一刻”(一斤水对应一“古刻”，相当于14.4分钟)，计时的精度还可以随着秤的精度的提高而提高．如图所示的程序框图为该秤漏的一个计时过程，若输出的t值为57.6，则判断框中应填入()A. i>6？B. i>8？C. i>10？D.i≤8？9.已知函数f(x)的图象可看作是由函数g(x)=sin2x的图象向右平移π8个单位长度得到的，则函数f(x)的一个单调递减区间为()A. (−π4,π4) B. (π4,7π8) C. (−π8,3π8) D. (−5π8,−π8)10.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F(−c,0)，圆F：(x+c)2+y2=c2与x轴的负半轴交于点A，与C的一条渐近线的一个交点为B(点B与原点O不重合)，若|AB|=4a，则C的离心率为()A. √2B. √3C. √5D. 2√511.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，(a+c)(sinA−sinC)+bsinB=asinB，b+2a=4，点D在边AB上，且AD=2DB，则线段CD长度的最小值为()A. 2√33B. 2√23C. 3D. 212.已知函数f(x)满足：①对任意0≤x1<x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0；②函数y=f(x+2)的图象关于点(−2,0)对称．若实数a，b满足f(a2+2b)≤−f(−b2−2a)，则当a∈[12,1]时，aa+b的取值范围为()A. [18,12] B. [14,12] C. [12,1] D. [2,4]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.第32届夏季奥运会将在日本东京举行，某校为此举办了主题为“奥运知识知多少”的知识竞赛，共有200名学生参加．竞赛过后，决定从这200名学生中抽取10名学生的竞赛成绩进行分析．现采用系统抽样的方法，将这200名学生从1开始进行编号，已知被抽取到的号码有176，则样本中所抽取到的最小号码为______．14.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若C的短轴长为4√6，且两个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点，则此椭圆的标准方程为______．15.已知函数f(x)=x2−f′(1)⋅lnx，点P是曲线y=f(x)上任意一点，则点P到直线l：x−y−4=0的最小距离为______．16.以一个正多面体每条棱的中点为顶点，可以得到一个多面体，且该多面体是由一种或一种以上的正多边形构成的．如图(1)，以棱长为2的正四面体每条棱的中点为顶点，形成一个正多面体，则该正多面体外接球的表面积为______.如图(2)，以(1)形成的正多面体每条棱的中点为顶点，又可以形成一个多面体，则该多面体的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.2020年春季延期开学期间，为保证防控疫情期间中小学校“停课不停学”，各地教育行政部门、中小学及教育网站积极提供免费线上课程，为中小学生如期学习提供了便利条件．某教育网站针对高中学生的线上课程播出后，社会各界反响强烈．该网站为了解高中学生对他们的线上课程的满意程度，从收看该课程的高中学生中随机抽取了1000名学生对该线．上课程进行评分(满分100分)，并把相关的统计结果记录如表：评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数10020040025050(1)计算这1000名学生评分的中位数、平均数，根据样本估计总体的思想，若平均数低于70分，视为不满意，试判断高中学生对该线上课程是否满意？(2)为了解部分学生评分偏低的原因，该网站利用分层抽样的方法从评分为[50,60)，[60,70)的高中学生中抽取6人，再从中随机抽取2名学生进行详细调查，求这2名学生的评分来自不同评分分组的概率．18.在数列{a n}中，a1=8，a n+1−4=a n+3×4n．(1)求证：数列{a n−4n}为等差数列；(2)设b n=(−1)n a n，求数列{b n}的前n项和S n．19.如图，在四棱锥A−BCED中，BD⊥平面ABC，底面BCED为梯形，CE//BD，且AB=BC=AC=BD=2CE=2，点F为AD的中点．(1)求证：EF⊥平面ABD；(2)求点F到平面ABE的距离．)．20.设函数f(x)=6sinx−mx(0≤x≤π2(1)若f(x)为单调函数，求实数m的取值范围；(2)当m≤6时，证明：x3+f(x)≥0．21. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，点Q 在抛物线C 上，点P 的坐标为(1,12)，且满足OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +2FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且弦AB 的中点M 在直线y =2上，试求△OAB 的面积的最大值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：x −y −2=0，曲线C ：{x =2+2cosϕy =2sinϕ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 1与曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 2的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)，直线l 2与直线l 1交于点A ，与曲线C 交于点O 与点B ，求|OB||OA|的最大值．23. 已知函数f(x)=|2x −1|−|x +1|．(1)解不等式f(x)≤4；(2)记函数y =f(x)+3|x +1|的最小值为m ，正实数a ，b 满足a +b =m ，试求1a+1+4b+2的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵3−4i1−2i =(3−4i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=11+2i5，∴复数3−4i1−2i 的虚部为25．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：D解析：解：由题得，B={y|0≤y<4}，C R A=(−∞,−1]∪[2,+∞)，所以(C R A)∩B=[2,4)．故选：D．先根据二次函数的性质求得B，再结合补集的定义以及交集的运算即可求解结论．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3.答案：A解析：解：因为2a⃗−3b⃗ =(1,9)，所以3b⃗ =(4,6)−(1,9)=(3,−3)，所以b⃗ =(1,−1)，所以a⃗⋅b⃗ =(2,3)⋅(1,−1)=2−3=−1．故选：A．由平面向量的线性坐标运算可先求出b⃗ 的坐标，再根据平面向量数量积的坐标运算即可得解．本题考查平面向量的线性和数量积的坐标运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：根据题意可估计老鼠图案的面积大约是S≈120200×36×36≈777.6mm2，对照各选项，与777.6mm2最接近的是778mm2．故选：B．直接利用随机模拟试验方法求解．本题考查几何概型概率的求法，是基础题．5.答案：C解析：解：当x∈[0,π]时，f(x)=x−sinx，f′(x)=1−cosx≥0，则f(x)单调递增，排除D；当x∈[−π,0)时，f(x)=x+sinx，f′(x)=1+cosx≥0，则f(x)单调递增，排除B；因为f(−x)≠−f(x)且f(−x)≠f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数，排除A．故选：C．根据函数的奇偶性及单调性，利用排除法得解．本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．6.答案：C解析：解：将该圆柱沿母线AD剪开，得到其侧面展开图，如下图所示．设底面圆半径为r，则2r=BC=6，∴r=3，∴在侧面展开图中AB=πr=3π.在Rt△ABP中，AP=√AB2+BP2=√9π2+16．故选：C．将该圆柱沿母线AD剪开，得到其侧面展开图，设底面圆半径为r，求出r，通过求解三角形，推出结果．本题考查了圆柱的侧面展开图应用问题，是基础题．7.答案：D解析：本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求tan(θ−π6)=2，进而根据诱导公式即可求解．解：由sin(θ−π6)=2sin(θ+π3)，得sin(θ−π6)=2sin[π2+(θ−π6)]=2cos(θ−π6)，所以tan(θ−π6)=2，则tanθ=tan[(θ−π6)+π6]=2+√331−2√33=−8−5√3．故选：D．8.答案：B解析：解：由题意，模拟程序的运行，可得初始值L=0，t=0，i=1，进人循环，L=1，t=14.4，i=3；L=2，t=28.8，i=5；。
河北省衡水中学2020届高三第一次教学质量检测理科数学
河北衡水中学2020年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题无效.第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=.若{}1A B =I ，则B =（ ）A.{}1,3-B.{}1,0C.{}1,3D.{}1,5 2.z 是z 的共扼复数，若2z z +=，()i 2z z -=（i 为虚数单位），则z 等于（ ）A.1i +B.1i --C.1i -+D.1i - 3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与M N最接近的是（ ） （参考数据：lg30.48≈）A.3310B.5310C.7310D.93104.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若()2log5.1a g =-，()0.82b g =，()3c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a << 5.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是（ ）A.{}10x x -<≤B.{}11x x -≤≤ C.{}11x x -<≤ D.{}12x x -<≤ 6.设直线1l ，2l 分别是函数()ln ,01,ln ,1,x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则PAB △的面积的取值范围是（ ）A.()0,1B.()0,2C.()0,+∞D.()1,+∞7.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A.πB.34πC.2πD.4π 8.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A.1B.2C.4D.8。
2020河北省衡水中学高三理数一模考试试卷(带解析)
2020河北省衡水中学高三理数一模考试试卷（带解析）一、单选题1.若复数满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.2.已知等差数列的前项和为，且，则（）A. 31B. 12C. 13D. 523.某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题。
甲：我不会证明。
乙：丙会证明。
丙：丁会证明。
丁：我不会证明。
根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4.在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是A. （1）（2）B. （1）（3）C. （2）（4）D. （2）（3）5.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（）A. B. C. D.6.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.7.已知，点为斜边的中点，，，，则等于（）A. -14B. -9C. 9D. 148.已知函数的图象经过点，．当时，，记数列的前项和为，当时，的值为（）A. 7B. 6C. 5D. 49.若下图程序框图在输入时运行的结果为，点为抛物线上的一个动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（）A. B. C. 2 D.10.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.11.长方体中，，，，点是平面上的点，且满足，当长方体的体积最大时，线段的最小值是（）A. B. C. 8 D.12.已知实数，函数，若关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13.定积分 ________．14.设变量满足不等式组，则的取值范围是________．15.已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使成立，则该椭圆的离心率的取值范围为________．16.用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，，10的因数有1，2，5，10，，那么________．三、解答题17.函数的部分图像如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．（1）求函数的解折式；（2）在中，角满足，且其外接圆的半径，求的面积的最大值．18.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是．19.某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.8元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．（ⅰ）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水量都超过12吨的概率；（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费（元）与月份的散点图，其拟合的线性回归方程是．若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．20.已知椭圆的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的下顶点为，如图所示，点为直线上的一个动点，过椭圆的右焦点的直线垂直于，且与交于两点，与交于点，四边形和的面积分别为．求的最大值．21.已知函数，．（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在定义域上为单调增函数．①求最大整数值；②证明：．22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线过，倾斜角为．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线与曲线交于、两点，且，求直线的斜率．23.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．答案解析部分一、<b >单选题</b>1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】B11.【答案】B12.【答案】B二、<b >填空题</b>13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】三、<b >解答题</b>17.【答案】（1）解：由图知，解得∵∴，即由于，因此∴∴即函数的解析式为（2）解：∵∴∵，∴，即，∴或1（舍），由正弦定理得，解得由余弦定理得∴，（当且仅当等号成立）∴∴的面积最大值为18.【答案】证明：（Ⅰ）正三棱柱中，平面，所以，又，，所以平面，平面，所以平面平面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，以为原点，，，方向为，，轴建立空间直角坐标系，设正四棱锥的高为，，则，，，，，，．设平面的一个法向量，则取，则，所以．设平面的一个法向量，则取，则，，所以．二面角的余弦值是，所以，解得．19.【答案】解：（Ⅰ）（ⅰ）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为，因此这5户居民恰好3户居民的月用水量都超过12吨的概率为．（ⅱ）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：月用水量（吨）价格 (元/吨)概率所以全市居民用水价格的期望吨．（Ⅱ）设李某2016年1～6月份的月用水费（元）与月份的对应点为，它们的平均值分别为，则，又点在直线上，所以，因此，所以7月份的水费为元．设居民月用水量为吨，相应的水费为元，则，即：当时，，所以李某7月份的用水吨数约为13吨．20.【答案】（1）解：因为在椭圆上，所以，又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，所以，解得，所以椭圆的方程为（2）解：由（1）可知，设，则当时，，所以，直线的方程为，即，由得，则，，，又，所以，由，得，所以，所以，当，直线，，，，，所以当时，21.【答案】（1）解：当时，∴，又，∴，则所求切线方程为，即（2）解：由题意知，，若函数在定义域上为单调增函数，则恒成立．①先证明．设，则，则函数在上单调递减，在上单调递增，∴，即．同理可证∴，∴．当时，恒成立．当时，，即不恒成立．综上所述，的最大整数值为2．②由①知，，令，∴∴．由此可知，当时，．当时，，当时，，，当时，．累加得．又，∴．22.【答案】解：（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数），由得∴曲线的直角坐标方程为．（Ⅱ）把，代入得．设两点对应的参数分别为与，则，，易知与异号又∵∴．消去与得，即23.【答案】（1）解：由题意，知不等式解集为由，得，所以，由，解得（2）解：不等式等价于，由题意知．因为，所以，即对任意都成立，则．而，当且仅当，即时等号成立，故，所以实数的最小值为4．。
2020年河北省衡水市武邑中学高考数学一模试卷(一)(有答案解析)
2020年河北省衡水市武邑中学高考数学一模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合M={x|log2x＜1}，集合N={x|x2-1≤0}，则M∩N=（）A. {x|1≤x＜2}B. {x|-1≤x＜2}C. {x|-1＜x≤1}D. {x|0＜x≤1}2.设（i为虚数单位），则|z|=（）A. B. C. D. 23.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A.B.C. 0D.4.已知直线m、n与平面α、β，下列命题正确的是（）A. m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥nB. m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC. α∩β=m，n⊥m且α⊥β，则n⊥αD. m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n5.已知等差数列{a n}的前n项为S n，b n=且b1+b3=17，b2+b4=68，则S10=（）A. 90B. 100C. 110D. 1206.设函数，则下列结论错误的是（）A. f（x）的一个周期为2πB. f（x）的图形关于直线对称C. f（x）的一个零点为D. f（x）在区间上单调递减7.若，x∈（0，π），则tan2x的值构成的集合为（）A. B.C. D.8.中国明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天比第六天多走了（）A. 24里B. 18里C. 12里D. 6里9.如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A. 直线AB上B. 直线BC上C. 直线CA上D. △ABC内部10.设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A. B.C. y=sin2xD.11.已知直线l1：3x+y-6=0与圆心为M（0，1），半径为的圆相交于A，B两点，另一直线l2：2kx+2y-3k-3=0与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最大值为（）A. B. C. D.12.已知奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，若函数g（x）=f（x2）+f（a-2|x|）恰有4个零点，则a的取值范围是（）A. （-∞，1）B. （1，+∞）C. （0，1]D. （0，1）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=x lnx，则曲线y=f（x）在点x=e处切线的倾斜角的余弦值为______．14.设f（x）=ln（x+），若f（a）=，则f（-a）=______．15.若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m-3，则此椭圆的离心率为______．16.已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是______.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若S5=25，a10=19．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；（2）若数列{b n}中b n=，求数列{b n}的前n和T n．18.为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示．（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”．设a=3，现从所有的“阅读达人”里任取2人，求至少有1人来自甲组的概率；（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为s02．若在甲组中增加一个阅读量为10的学生，并记新得到的甲组阅读量的方差为s12，试比较s02，s12的大小．（结论不要求证明）（注：s2=，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）19.如图，三棱台ABC-EFG的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，CB=2GF，BF=CF．（Ⅰ）求证：AB⊥CG；（Ⅱ）若BC=CF=4，求三棱锥G-ABC的体积．20.如图，已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，1）．（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=-．①求x12+x22的值；②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．21.已知函数f（x）=a ln x+x2，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=1时，证明：f（x）≤x2+x-1；（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（1+）（1+）…（1+）＜e（其中e≈2.7183为自然对数的底数）22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（m为参数），在极点和直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合的极坐标系中，圆O的极坐标方程为ρ=a（a＞0）．（1）若直线l与圆O相切，求a的值；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|的值．23.已知f（x）=x2+|2x-4|+a．（1）当a=-3时，求不等式f（x）＞x2+|x|的解集；（2）若不等式f（x）≥0的解集为实数集R，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N即可．【解答】解：集合M={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，集合N={x|x2-1≤0}={x|-1≤x≤1}，则M∩N={x|0＜x≤1}．故选：D．2.答案：A解析：【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：设====-+i，∴|z|==，故选：A．3.答案：A解析：解：当i=1时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=2；当i=2时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=3；当i=3时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=3；当i=4时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=5；当i=5时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=6；当i=6时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=7；当i=7时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=8；当i=8时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=9；当i=9时，执行完循环体后：S=，不满足继续循环的条件，故输出结果为，故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.答案：B解析：解：对于A，m⊥α，n∥β且α⊥β，则m∥n，故不正确；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题正确；对于C，若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，利用面面垂直的性质定理即可得出：n⊥α，因此不正确；对于D，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，A1D1∥平面ABCD，AD∥平面A1B1C1D1，A1D1∥AD；EP∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，EP∩PQ=P；A1D1∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，A1D1与PQ异面．综上，直线m，n与平面α，β，m∥α，n∥β且α∥β，则直线m，n的位置关系为平行或相交或异面．故选：B．利用空间中线线、线面、面面的判定定理及其性质定理，即可得出结论．本题综合考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，熟练掌握判定定理及其性质定理是解决问题的关键，属于中档题．5.答案：A解析：【分析】等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，再由等差数列求和公式计算可得所求值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，前n项为S n，b n=且b1+b3=17，b2+b4=68，可得+=17，+=68，解得a1=0，d=2，则S10=10a1+×10×9d=0+45×2=90，故选：A．6.答案：D解析：【分析】本题考查正弦型函数的性质，函数的零点，属于简单题．直接利用正弦型函数的周期性，对称性和单调性求出结果．【解答】解：函数，则：①函数的最小正周期为T=，则函数的周期是的整数倍，故选项A正确．②当x=时，函数f（）=sin=1，故选项B正确．③当x=-时，函数f（-）=0，故选项C正确．当x∈时，，则f（x）在区间上不单调，故选项D错误.故选：D．7.答案：C解析：【分析】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．由已知求解三角方程可得x值，进一步求得tan2x的值得答案．【解答】解：∵，∴2sin x cosx==cos x，∴cos x=0或sin x=，又x∈（0，π），∴x=，，．∴2x=π，，．∴tan2x=0或．则tan2x的值构成的集合为，故选：C．8.答案：B解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由题意可得：该人每天所走的路程为等比数列{a n}，其中S6=378，q=．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：该人每天所走的路程为等比数列{a n}，其中S6=378，q=．∴=378，解得a1=192，∴a4-a6=192×=18里．故选：B．9.答案：A解析：解：⇒CA⊥面ABC1⇒面ABC⊥面ABC1，∴过C1在面ABC内作垂直于平面ABC，垂线在面ABC1内，也在面ABC内，∴点H在两面的交线上，即H∈AB．故选：A．如图，C1在面ABC上的射影H必在两个相互垂直平面的交线上，所以证明面ABC⊥面ABC1就可以了．本题通过射影问题来考查线面垂直和面面垂直问题．10.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图，∵m＞0，∴平移直线，则由图象知，直线经过点B时，直线截距最大，此时z最大为2，由，解得，即B（1，1），则1+=2，解得m=2，则=sin（2x+），则的图象向右平移后，得到y=sin[2（x-）+]=sin2x，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识求出m的值，利用三角函数的图象关系进行平移即可．本题主要考查三角函数解析式的求解以及线性规划的应用，根据条件求出m的取值是解决本题的关键．11.答案：A解析：【分析】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由已知写出圆的方程，联立直线方程与圆方程，求出A，B的坐标，可知动直线过AB 的中点，则当CD为圆的直径时四边形ACBD面积最大，代入四边形ACBD面积公式求解即可．【解答】解：以M（0，1）为圆心，半径为的圆的方程为x2+（y-1）2=5，联立，解得A（2，0），B（1，3），∴AB中点为（，）．而直线l2：2kx+2y-3k-3=0恒过定点（，），∴|AB|=．∴四边形ACBD的面积最大值为：．故选：A．12.答案：D解析：解：由奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，令f（x2）+f（a-2|x|）=0，由函数g（x）=f（x2）+f（a-2|x|）恰有4个零点，则x2-2|x|+a=0有4个根，则x2-2x+a=0有2个不等正根，即，解得：0＜a＜1，即a的取值范围是0＜a＜1，故选：D．由函数的奇偶性、单调性得：x2-2|x|+a=0有4个根，由二次方程的区间根问题得：x2-2x+a=0有2个不等正根，即，解得：0＜a＜1，得解．本题考查了函数的奇偶性、单调性及二次方程的区间根问题，属中档题13.答案：解析：解：∵f（x）=ln x+1，f′（e）=ln e+1=2；故曲线y=f（x）在x=e处的切线的倾斜角θ的正切函数值为：tanθ=2．所以曲线y=f（x）在点x=e处切线的倾斜角θ的余弦值为：cosθ===．故答案为：．求导f′（x），求出切线的斜率；从而求切线的倾斜角．本题考查导数的几何意义，倾斜角的求法，三角函数的化简取值，属于基础题．14.答案：解析：【分析】考查分子有理化的方法，以及对数的运算，奇函数的定义．可求出f（-x）=-f（x），从而可求出f（-a）=-f（a）=．【解答】解：=；∴．故答案为：．15.答案：解析：【分析】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的离心率计算公式，关键是求出m的值．根据题意，按椭圆的焦点位置分2种情况讨论，结合椭圆的定义分析可得m的值，即可得椭圆的标准方程为：+=1，据此求出a、b、c的值，由椭圆的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于椭圆，分2种情况讨论：①，椭圆的焦点在x轴上，有4＞m，则a==2，若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m-3，则有2a=m-3=4，解可得m=7，又由4＞m，m=7不合题意，舍去；②椭圆的焦点在y轴上，有4＜m，则a=，若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为m-3，则有2a=m-3=2，解可得：m=9或m=1（舍）故m=9，椭圆的标准方程为：+=1，则a=3，b=2，则c=，则椭圆的离心率e=.故答案为：．16.答案：（，3）解析：【分析】本题主要考查了函数y=A sin(ωx+φ)的图象与性质，三角的函数的最值问题，灵活应用三角函数的图象和性质解题，难度适中.要求函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上有最大值，但没有最小值，可得所以-ω•+＜＜ω•+，解之即可得结论．【解答】解：要求函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上有最大值，但没有最小值，所以-＜T，即＜，解得0＜ω＜8．且存在k∈Z，使得-+2kπω•+＜＜ω•++2kπ．因为0＜ω＜8，所以．所以-＜k＜，所以k=0，所以-ω•+＜＜ω•+，由-ω•+＜，解得-9ω＜3．由＜ω•+，解得＜ω，所以＜ω＜3．故答案为（，3）．17.答案：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S5=25，a10=19．∴5a1+d=25，a1+9d=19，联立解得：a1=1，d=2．∴a n=1+2（n-1）=2n-1．S n==n2．（2）b n===，∴数列{b n}的前n和T n===．解析：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由S5=25，a10=19．可得5a1+d=25，a1+9d=19，联立解得：a1，d．即可得出．（2）b n===，利用裂项求和即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为：，乙组10名学生阅读量的平均值为：．………（2分）由题意，得，即a＜2．………………（3分）故图中a的取值为0或1．………………（4分）（Ⅱ）记事件“从所有的“阅读达人”里任取2人，至少有1人来自甲组”为M．…（5分）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，在此分别记为A1，A2；乙组“阅读达人”有3人，在此分别记为B1，B2，B3．则从所有的“阅读达人”里任取2人，所有可能结果有10种，即：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）．……（7分）而事件M的结果有7种，它们是：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），………………（8分）所以．即从所有的‘阅读达人’里任取2人，至少有1人来自甲组的概率为．…（10分）（Ⅲ）．………………（13分）解析：（Ⅰ）分别求出甲组10名学生阅读量的平均值和乙组10名学生阅读量的平均值，由此能求出图中a的取值．（Ⅱ）记事件“从所有的“阅读达人”里任取2人，至少有1人来自甲组”为M．甲组“阅读达人”有2人，在此分别记为A1，A2；乙组“阅读达人”有3人，在此分别记为B1，B2，B3．从所有的“阅读达人”里任取2人，利用列举法能求出从所有的‘阅读达人’里任取2人，至少有1人来自甲组的概率．（Ⅲ）．本题考查平均数、概率、方差的求法，考查茎叶图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：（I）证明：取BC的中点D，连结DF．由ABC-EFG是三棱台得，BC∥FG．又BC=2FG，D是BC的中点，∴CD=FG，∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF．∵CF=BF，D为BC的中点，∴DF⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCGF，平面ABC∩平面BCGF=BC，DF⊂平面BCGF，∴DF⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，∴DF⊥AB，又DF∥CG，∴AB⊥CG．（Ⅱ）∵BC=BF=CF=4，∴DF=2，S△ABC==4，由（I）知DF⊥平面ABC，又FG∥BC，∴G到平面ABC的距离等于DF．∴V G-ABC=V F-ABC===8．解析：（1）取BC的中点D，可得四边形CDFG是平行四边形，得出CG∥DF，证明DF⊥平面ABC即可得出DF⊥AB，故而AB⊥CG；（2）根据V G-ABC=V F-ABC计算．本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20.答案：解：（1）由题意可得e==，+=1，a2-b2=c2，解得a=2，b=，可得椭圆标准方程为+=1；（2）①由题意可得k1k2==-，即为x12x22=16y12y22，又点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，可得4y12=8-x12，4y22=8-x22，即有x12x22=（8-x12）（8-x22），化简可得x12+x22=8；②由题意可得C（x2，-y2），由4y12=8-x12，4y22=8-x22，可得y12+y22==2，由x12+x22=（x1-x2）2+2x1x2=8，可得（x1-x2）2=8-2x1x2，由y12+y22=（y1+y2）2-2y1y2=2，可得（y1+y2）2=2+2y1y2=2（1+y1y2），由=-，即x1x2=-4y1y2，可得（x1-x2）2=8-2x1x2=8+8y1y2，则直线AC的斜率为k AC==±=±．解析：（1）运用椭圆的离心率公式和P的坐标满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆方程；（2）①运用直线的斜率公式，可得k1k2==-，两边平方，再由点A，B的坐标满足椭圆方程，化简整理即可得到所求值；②由题意可得C（x2，-y2），运用椭圆方程可得y12+y22=2，配方可得（y1+y2）2=（4+4y1y2），（x1-x2）2=8-2x1x2=6+8y1y2，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求值．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线的斜率的求法，注意运用点满足椭圆方程，直线的斜率公式和两边平方及配方的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.答案：解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=+2x=，a≥0时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（Ⅱ）证明：a=1时，f（x）=ln x+x2，f（x）≤x2+x-1即ln x≤x-1，令h（x）=ln x-x+1，（x＞0），则h′（x）=-1=，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，故h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故h（x）max=h（1）=0，故h（x）≤0恒成立，故f（x）≤x2+x-1；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=1时，ln（x+1）≤x，令x=（n∈N+），得ln（1+）≤，∴ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）≤++…+==1-（）n＜1，∴（1+）（1+）…（1+）＜e．解析：（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）代入a的值，问题转化为ln x≤x-1，令h（x）=ln x-x+1，（x＞0），根据函数的单调性证明即可；（Ⅲ）根据ln（x+1）≤x，令x=（n∈N+），得ln（1+）≤，累加即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.答案：解：（1）根据题意，圆O的极坐标方程为ρ=a（a＞0），则圆O的直角坐标方程为x2+y2=a2，直线l的参数方程为，则直线l的一般方程为2x-y+2=0，若若直线l与圆O相切，则有a=，解可得；（2）曲线C的参数方程为（m为参数），其一般方程为y=x2，又由直线的一般方程为2x-y+2=0，则有x2-2x-2=0，∴x1+x2=2，x1x2=-2，∴=．解析：本题考查参数方程、极坐标方程与一般方程的转化，关键是掌握曲线的参数方程、极坐标方程与一般方程的转化的方法．（1）根据题意，求出圆与直线的一般方程，又由直线与圆相切，则有a=，即可得答案；（2）由曲线C的参数方程分析可得其一般方程，将其代入直线的一般方程中可得x2-2x-2=0，结合根与系数的关系的分析可得，计算即可得答案．23.答案：解：（1）当a=-3时，f（x）=x2+|2x-4|-3，当x≤0时，由f（x）＞x2+|x|得-x+1＞0，得x＜1，∴x≤0．当0＜x≤2时，由f（x）＞x2+|x|得-3x+1＞0，解得x＜．∴0＜x＜．当x＞2时，由f（x）＞x2+|x|得x-7＞0，解得x＞7．∴x＞7．当a=-3时，f（x）＞x2+|x|的解集为{x|x＜或x＞7}．（2）f（x）≥0的解集为实数集R⇔a≥-x2-|2x-4|，当x≥2时，-x2-|2x-4|=-x2-2x+4=-（x+1）2+5≤-4，当x＜2时，-x2-|2x-4|=-x2+2x-4=-（x-1）2-3≤-3，∴-x2-|2x-4|的最大值为-3．∴实数a的取值范围为[-3，+∞）．解析：（1）当a=-3时，f（x）=x2+|2x-4|-3，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）＞x2+|x|的解集；（2）f（x）≥0的解集为实数集R⇔a≥-x2-|2x-4|，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，可求得-x2-|2x-4|的最大值为-3，从而可得实数a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，去掉绝对值符号是解不等式的关键，属于中档题．。
2020届衡水中学高三高考模拟试卷-文科数学(含答案解析)
2020届衡水中学高三高考模拟试卷-文科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合P={}0,1，M={}|x x P ⊆，则集合M 的子集个数为（ ）A.32B.16C.31D.642. 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=A.34i -B. 34i +C. 43i -D. 43i +3. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π4. 已知如图所示的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点P 、Q 分别在棱BB 1、DD 1上，且=，过点A 、P 、Q 作截面截去该正方体的含点A 1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（ ）5.已知等比数列{}n a 的公比为q ，则’’01q <<”是.{}n a 为递减数列的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知()21f x -定义域为[]0,3则 ()21f x -的定义域为（ ）A.（0，92） B.902⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.(9,2-∞) D.(9,2⎤-∞⎥⎦7.在平行四边形ABCD 中，AB=8，AD=5，3CP PD =，2APBP =, AB AD ⋅=( )A,22 B.23 C.24 D.258. sin cos y x a x =+中有一条对称轴是53x π=，则 ()sin cos g x a x x =+最大值为（ ）A.333 B.233 C.332 D.2329. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A.34B.55C.78D.89x=1 y=1z=x+y50?z ≤x=y开始输出z是否10. 如图，一几何体正视图，俯视图是腰长为1的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时圆的半径是( )11. 设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．312. ()f x 与()1f x +事定义在R 上的偶函数，若[]0,1x ∈时()f x =sin x x -，则32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭-2f π⎛⎫⎪⎝⎭为( ) A.正数 B.负数 C.零 D.不能确定二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 在ABC ∆中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=，则 BC=___________________14. x,y 自变量满足x ≥0y ≥24y x +≤x y S +≤当35S ≤≤时，则32x y Z =+的最大值的变化范围为___________________15. 函数ay x =为偶函数且为减函数在()0,+∞上，则a 的范围为___________________16. 已知函数()f x =()lg ,0x x -<264,0x x x -+≥，若关于x 的方程()()210fx bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是___________________三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17. cos cos 1αβ=-，求()sin αβ+正侧俯18. 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.()()2211221221212120.1000.0500.010,2.7063.841 6.635p x k n n n n n x n n n n k ++++-=≥19. 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE ，BD 上各有一点P ，Q ，且AP=DQ ， 求证PQ 面BCE20. 已知椭圆中()222210x y a b a b +=>>长轴为4离心率为12，点P 为椭圆上异于顶点的任意一点，过点P 作椭圆的切线l 交y 轴于点A ，直线l'过点P 且垂直于l 交y 轴于B ，试判断以AB 为直径的圆能否经过定点，若能求出定点坐标，若不能说出理由21. 设函数()()()21xf x x e kxk R =--∈当1,12k ⎛⎫∈⎪⎝⎭时， 求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22. 选修4-1几何证明选讲已知,ABC AB AC ∆=中，D ABC ∆为外接圆劣弧AC 上的点（不与点A C 、重合）,延长BD 至E ,延长AD 交BC 的延长线于F ． （Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．23. 选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. 选修4－5：不等式选讲已知函数f （x ）＝｜2x －a ｜＋a.（Ⅰ）若不等式f （x ）≤6的解集为{x ｜－2≤x≤3}，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n 使f （n ）≤m－f （－n ）成立，求实数m 的取值范围参考答案1. B考点：集合的子集问题 设有限集合A ，card ()A =n ()*n N ∈子集个数2n ，真子集21n -，非空真子集22n - 解析：M={}|x x P ⊆ P={}0,1则x 有如下情况：{}{}{},0,1,0,1φ 则有子集为42216n== 注意点：该类型常错在空集φ 2. A【解析】3. B 【解析】4. A【解析】试题分析：当P 、B 1重合时，主视图为选项B ；当P 到B 点的距离比B 1近时，主视图为选项C ；当P 到B 点的距离比B 1远时，主视图为选项D ，因此答案为A. 考点：组合体的三视图 5.D考点:充分条件与必要条件的判定解析：若111,2a q =-=，则数列前n 项依次为-1，-11,24-，显然不是递减数列 若等比数列为-1，-2，-4，-8显然为递减数列，但其公比q=2，不满足01q综上01q 是{}n a 为递减数列的既不充分也不必要条件注意点：对于等比数列，递减数列的概念理解，做题突破点;概念，反例 6.B考点：关于定义域的考察解析：[][][]220,30,911,8x x x ∈∈-∈-所以[][]9211,8210,90,2x x x ⎡⎤-∈--∈∈⎢⎥⎣⎦所以定义域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦注意；一般题目中的定义域一般都是指x 的范围类似的题目：已知()f x 定义域为[]()()0,4,11f x f x ++-的定义域是？ 考点；对定义域的问题考察的综合应用解析:[][][]0,411,511,3x x x ∈+∈-∈-所以综合在一起的定义域是[]1,3 注意;定义域在一定题目中指的是x 范围，但每个题目中的x 的取值是一样的 所以在这些关系中取这三个范围中都包括的范围 7.A考点；利用不同方法求解 解析：法一：坐标法 设A坐标原点B()8,0 设DAB θ∠=所以()5cos ,5sin D θθ所以()5cos 2,5sin P θθ=+AB AD ⋅=()8,0()5cos ,5sin θθ=40cos θAP BP ⋅=()5cos 2,5sin θθ+()5cos 6,5sin 2θθ-=因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以AB AD ⋅=22法二；AP BP ⋅=13244AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以AP BP ⋅=1344AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=223134416AD AD AB AB AD AB -⋅+⋅-=25-13*642216AD AB ⋅-= 所以AB AD ⋅=22 注意；巧妙运用题目关系并且记住题目中条件不是白给的，一定要用 8.B考点：函数最值方面的考察解析：方法一；sin cos y x a x =+=当53x π=时，122y a =-+=平方得：22311424a a a -+=+ 求得3a =- 3= 方法二：因为对称轴为53π 所以可知此时的导函数值为0 'cos sin y x a x =-555'cos sin 0333y a πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以12= 所以a = =注意；给三角函数求导也是一种办法，将三角函数求导后原三角函数的对称轴处的导函数都为09. B【解析】10.B解析：由三视图可得1hr所以22r h +=1 ()()223111113333V sh r h h h h h πππ===-=- 将V 看成函数 ()21'133V h π=- 所以当213h =时取得最值 22213h r h -== 所以63r =注意：可以将几何和函数相结合11. A 【解析】12.A 解析：32f ⎛⎫-⎪⎝⎭=31222f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2f π⎛⎫⎪⎝⎭=222f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则3122222f f f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()sin f x x x =- ()'1cos 0f x x =->恒成立∴()f x是单调递增1222π>-∴12022f fπ⎛⎫⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴原式>0恒成立注意点：若关于轴x a=对称，T=2a ()()2f x f a x=-若关于点(),0a对称，T=2a ()()2f x f a x=-若关于(),a a对称，T=4a ()()22f x a f a x=--考点：在利用余弦转化时符号的正确利用解析：c=2 b=3 ()cos1a c B AB BCπ⋅⋅-=⋅=22225cos24a cb aBac a+--==()cos2cos1ac B B aπ-=-⋅=1cos2a B=-∴25142aaa-⋅=-∴252a-=∴23a=a=注意；()cos cosB Bπ-=-注意正负号AB BC⋅夹角是cos B-BA BC⋅夹角是cos B AB CB⋅夹角是cos B14. []7,8考点：线形规划中范围的判断解析：（1）当x+y=S与y+2x=4有交点时，最大值在两直线交点处取得，最小范围是此时S=3时代入Z=7(2)当x+y=S与y+2x=4没有交点时最大值在B()0,4处取得∴代入248Z=⨯=∴综上范围是[]7,815. a 0<且a 为偶数考点:偶函数的定义，幂函数定义的考察 解析：为减函数 ∴a 0< 为偶函数 ∴a 为偶数类似的，若ay x =为奇函数，减函数在(),a +∞上，求范围解析：为减函数 ∴0a <为奇函数 ∴a 为奇数注意；幂函数ay x =的定义性质必须弄懂 16. 172,4⎛⎤⎥⎦⎝ 解析：()226435x x x -+=--∴()()210f x bf x -+=在[]0,4上有2个根令()t f x = 210t bt -+=在[]0,4上有2个根>()0,42b∈()00f >()40f≥所以解得b ∈172,4⎛⎤⎥⎦⎝ 思路点拨；运用图像画出圆然后利用二次函数两个根 最后利用根分布求范围 17. 考点:对特殊函数值的理解 解析：cos 1α≤ cos 1β≤∴cos ,cos αβ中肯定一个为1，一个为-1若cos 1α=，则cos 1β=- 则2,2k k απβππ==+∴()41k αβπ+=+ ∴()sin 0αβ+= 反之也成立注意：cos α，cos β，sin ,sin αβ取值范围可利用取特值法进行分析 18. 【答案】 （1） 有95%的把握认为有关（2） 107【解析】（1）22100(60102010)1004.762 3.8418020703073x -==≈>所以，有95％的把握认为“南方和北方的学生在甜品饮食方面有差异”（2）10776116111035==+p 所以，所求事件的概率种人喜欢甜品的情况有种，所以至多有学生喜欢甜品的情况有个种，只有欢甜品的情况有种；其中，没有学生喜人，共有人中选从19. 解析：证明： 证法一：如图作PMAB 交BE 于M ，作QN AB 交BC 于N 连接MN正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ∴AE=BD 又AP=DQ ∴PE=QB又PM AB QN ,PM PE QB QN BQAB AE BD DC BD∴===PM QNAB DC∴=PM ∴QN 且PM=QN 即四边形PMNQ 为平行四边形 PQ MN ∴又MC ⊂面BCE PQ ⊄面BCE∴PQ 面BCE证法二：如图连接AQ 并延长交BC 的延长线于K ，连接EKAE BD = AP DQ = PE BQ ∴= AP DQPE BQ∴= 又AD BK DQ AQ BQ QK ∴= AP AQPE QK∴= PQ EK ∴ 又PQ ⊄面BCE EK ⊂面BCEPQ ∴面BCE证法三：如图，在平面ABEF 内，过点P 作PMBE ，交AB 于M ，连接QMPM 面BCE ，且AP AMPE MB=又AE BD = AP DQ = PE BQ ∴=AP DQ PE BQ ∴= AM DQMB QB∴= MQ AD ∴ 又AD BC MQ BC ∴ MQ ∴面BCE又PM MQ M ⋂= ∴面PMQ 面BCE 又PQ ⊂面PMQ PQ ∴面BCE注意：把线面平行转化为线线平行时必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行20.解析：22143x y += 设P 为()00,x y ，P 为切点且P 在椭圆上 设l 为00143x x y y += l ’与l 是垂直的∴'l 为0034x x x ym -=直线l 过P ()00,x y 点代入 000034x y x y m ∴-= 0012x ym ∴= ∴'l 为00034y x x ym --= 在l 中令0x =得030,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 在'l 中令0x =得00,3yB ⎛⎫- ⎪⎝⎭AP BP ⊥ 0PA PB ∴⋅= 200303y x y y y ⎛⎫⎛⎫∴+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22003103y x y y y ⎛⎫∴++--= ⎪⎝⎭过定点与P ()00,x y 无关 0y ∴= 21x ∴= 1x =±∴定点为()1,0或()1,0-思路点拨;本题技巧已知两线垂直的那以x 与y 前的系数好互例 体现在l ’与l 是垂直的∴0034x x x ym -=21.解析：解析：()()21x f x x e kx =--()()'20x f x x e k =-=可得120,ln 2x x k ==]1,12k ⎛∈ ⎝则](21,2k ∈ ](ln 20,ln 2k ∴∈ 令21x x >ln2k()()0ln 2k ln 2k,k ∴↓↑在，图像为ln2kk由图像可知最大值在0处或k 处取得()()()k 3f k f 0k 1e k 1∴-=--+()()()()()k 2k 2k 1e k 1k k 1k 1e k k 1=---++=----令()k 2h k e k k 1=--- ()k h'k e 2k 1=-- ()k h''k e 20=-= k=ln2∴ln2121在]112,⎛⎝上先减后增()h'1e 30=-< 1h 'e 202⎛⎫=-< ⎪⎝⎭ ()max h'k 0∴< 即()h k 单调递减()max 1137h k h e e 2424⎛⎫∴==--=- ⎪⎝⎭又()()49e 0f k f 0016-<∴-> ()()()()k 3k 3max f x f k k 1e k k 1e k ∴==--=--思路点拨：本题的精华点在于导函数与原函数的穿插运用，注意图像中导函数与原函数的图像可知 解：(Ⅰ)证明：A 、B 、C 、D 四点共圆∴CDF ABC ∠=∠．………………2分 AB AC =ABC ACB ∴∠=∠ 且ADB ACB ∠=∠,ABC ACB ADB EDF ∠=∠=∠=∠…………4分 ∴CDF EDF ∠=∠．………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得ADB ABF ∠=∠,又BAD FAB ∠=∠, 所以BAD ∆与FAB ∆相似,AB ADAF AB∴=2AB AD AF ∴=⋅，…………7分 又AB AC =, AB AC AD AF ∴⋅=⋅，∴AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅ 根据割线定理得DF AF FC FB ⋅=⋅，……………9分 AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．……………10分23. （Ⅰ）设11(,)x y 为圆上的点，经变换为C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y += 得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t⎧⎨⎩＝＝ （t 为参数）. (Ⅱ)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.24. 解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =。
河北省衡水中学2020年高考数学一模试卷及答案分析点评(40页)
河北省衡水中学2020年高考数学一模试卷（文科）数学试题一、选择题（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，1] 2．已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i3．已知点M在角q终边关于y＝x对称的曲线上，且|OM|＝1，则M 的坐标为（）A．（cos q，sin q）B．（﹣cos q，sin q）C．（sin q，cos q）D．（﹣sin q，cos q）4．在如图所示的程序框图中，若a＝（），b＝log42，c＝log23•log32，则输出的x等于（）A．0.25B．0.5C．1D．25．某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为8：00～8：40，课间休息10分钟．某学生因故迟到，若他在9：10～10：00之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（）A．B．C．D．6．设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）＝（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件7．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示校情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项选项中，一定符合上述指标的是（）①平均数＜3；②标准差s＜2；③平均数＜3；且标准差s＜2；④平均数＜3；且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4．A．①②B．③④C．③④⑤D．④⑤8．如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，过轴PO的截面P AB，C为P A中点，P A＝4，PO＝6，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为（）A．2B．2C．6D．29．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t（s），他与教练间的距离为y（m），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q 10．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴交于点A，点P在抛物线上，点P到准线l的距离为d，点O关于准线1的对称点为点B，BP交y轴于点M，若|BP|＝a|BM|，|OM|＝d．则实数a的值是（）A．B．2C．D．11．如图所示是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如图所示，如果凳脚是由底面为正方形的直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为2cm时，则切面的面积为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）＝，若曲线y＝sin x+上存在点（x 0，y0）使得f（f（y0））＝y0成立，则实数a的取值范围为（）A．[0，e2﹣e+1]B．[0，e2+e﹣1]C．[0，e2﹣e﹣1]D．[0，e2+e+1]二、填空题（共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．在平面直角坐标系中，若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y 的最大值为．14．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是小时．15．在平面直角坐标系xOy中，以C（1，1）为圆心的圆与x轴和y 轴分别相切于A，B两点，点M，N分别在线段OA，OB上，若MN与圆C相切，则|MN|的最小值为．16．已知O为△ABC的外心，且A＝，+＝2m，则m＝．三、解答题（本大题共5小题，17─21题每题12分，22、23选做一题10分，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）若数列{a n+t}是等比数列，求t的取值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为CD ，PB 的中点．（1）求证：EF ∥平面P AD ．（2）在线段PC 上是否存在一点Q 使得A ，E ，Q ，F 四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程．非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度．“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：第一档 第二档 第三档 每户每月用电量（单位：度）[0，200] （200，400] （400，+∞）电价（单位：元/度） 0.61 0.66 0.91 例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费410×0.65＝266.5元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费200×0.61+（400﹣200）×0.66+（410﹣400）×0.91＝263.1元． 为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量（单位：度）为：88、268、370、140、440、420、520、320、230、380．组别月用电量频数统计频数频率①[0，100]②（100，200]③（200，300]④（300，400]⑤（400，500]⑥（500，600]合计（1）在答题卡中完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；（2）根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）设某用户11月用电量为x度（x∈N），按照合表电价收费标准应交y1元，按照阶梯电价收费标准应交y2元，请用x表示y1和y1，并求当y2≤y1时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？20．（12分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的一个焦点为F1（﹣，0），而且过点H（，）．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线P A1，P A2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．21．（12分）已知函数f（x）＝4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y＝f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）＝a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+．二选一：（本小题满分10分）请考生在22、23两题中任选一题作答，并在相应题号前的方框中涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C1：（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、x轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy取相同单位长度的极坐标系中，曲线C2：．（1）求曲线C1的普通方程以及曲线C2的平面直角坐标方程；（2）若曲线C1上恰好存在三个不同的点到曲线C2的距离相等，求这三个点的极坐标．[选修45：不等式选讲]（10分）23．若a＞0，b＞0，且．（1）求的最小值；（2）是否存在a，b，使得的值为？并说明理由．2020年河北省衡水中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，1]【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M＝{x|x2＝x}＝{0，1}，N＝{x|lgx≤0}＝（0，1]，得M∪N＝{0，1}∪（0，1]＝[0，1]．故选：A．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．2．已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【分析】由已知得出x＝（1+i）（1﹣yi），由复数相等的概念求出x，y确定出x+yi，再得出共轭复数【解答】解：由已知，x＝（1+i）（1﹣yi），计算x＝1+y+（1﹣y）i根据复数相等的概念，解得，x+yi＝2+i，其共轭复数为2﹣i．故选：D．【点评】本题考查复数的基本运算，复数相等、共轭复数的概念．属于基础题．3．已知点M在角q终边关于y＝x对称的曲线上，且|OM|＝1，则M 的坐标为（）A．（cos q，sin q）B．（﹣cos q，sin q）C．（sin q，cos q）D．（﹣sin q，cos q）【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两点关于直线y＝x对称的特点，得出结论．【解答】解：由题意可得点M的横坐标为sin q，纵坐标为cos q，故选：C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点关于直线y ＝x对称的特点，属于基础题．4．在如图所示的程序框图中，若a＝（），b＝log42，c＝log23•log32，则输出的x等于（）A．0.25B．0.5C．1D．2【分析】由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，根据对数函数的性质比较出a、b、c的大小关系即可．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，由于：a＝（）＝；b＝log42＝；c＝log23•log32＝1，可得：a＜b＜c，则输出x的值是1．故选：C．【点评】本题考查了选择结构的程序框图，以及对数函数的性质的应用，根据框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．5．某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为8：00～8：40，课间休息10分钟．某学生因故迟到，若他在9：10～10：00之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意，此学生在9：10～10：00之间随机到达教室，区间长度为50，他听第二节课的时间不少于10分钟，则他在9：10～9：20之间随机到达教室，区间长度为10，即可求出概率【解答】解：他在9：10～10：00之间随机到达教室，区间长度为50，他听第二节课的时间不少于10分钟，则他在9：10～9：20之间随机到达教室，区间长度为10，∴他在9：10～10：00之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是＝，故选：A．【点评】本题主要考查几何概型中的长度类型，解决的关键是找到问题的分界点，分清是长度，面积，还是体积类型，再应用概率公式求解．6．设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）＝（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【分析】运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．【解答】解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3．运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有＝＝…＝，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）＝（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1＝a2＝a3＝…＝a n＝0，则a1，a2，…，a n 不成等比数列．故p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键．7．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示校情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项选项中，一定符合上述指标的是（）①平均数＜3；②标准差s＜2；③平均数＜3；且标准差s＜2；④平均数＜3；且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4．A．①②B．③④C．③④⑤D．④⑤【分析】对①②③举反例判断，对于④分情况讨论，对于⑤结合题意判断即可．【解答】解：①错，举反例：0，0，0，0，2，6，6，其平均数＝2＜3，但不符合题意，②错，举反例：6，6，6，6，6，6，6，其标准差s＝0＜2，但不符合题意，③错，举反例：0，0，0，0，0，1，6，平均数＝1＜3，且标准差s＜2；但不符合题意，④对，若极差小于2，显然符合条件，若极差小于等于2，有可能（1）0，1，2；（2）1，2，3；（3）2，3，4；（4）3，4，5；（5）4，5，6．在平均数＜3的条件下，只有（1）（2）（3）成立，符合条件．⑤对，在众数等于1且极差小于等于4时，最大数不超过5，符合条件．故选：D．【点评】本题考查了平均数，极差，方差等基本知识，考查分类讨论思想，是一道常规题．8．如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，过轴PO的截面P AB，C为P A中点，P A＝4，PO＝6，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为（）A．2B．2C．6D．2【分析】由题意画出图形，得到圆锥沿母线剪开再展开的图形，由勾股定理求解．【解答】解：如图，沿圆锥母线P A剪开再展开，∵P A＝4，PO＝6，∴OA＝，则圆锥底面周长为，展开后所得扇形为半圆，B到B′处，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为．故选：A．【点评】本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查弧长公式的应用，是基础题．9．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t（s），他与教练间的距离为y（m），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【分析】分别假设这个位置在点M、N、P、Q，然后结合函数图象进行判断．利用排除法即可得出答案．【解答】解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y 不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C、假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30秒时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确；故选：D．【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解答本题要注意依次判断各点位置的可能性，点P的位置不好排除，同学们要注意仔细观察．10．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴交于点A，点P在抛物线上，点P到准线l的距离为d，点O关于准线1的对称点为点B，BP交y轴于点M，若|BP|＝a|BM|，|OM|＝d．则实数a的值是（）A．B．2C．D．【分析】由抛物线的性质可得|OF|＝|OA|＝|AB|，再由题意可得＝＝，进而可得a的值．【解答】解：由抛物线的性质得|PF|＝d，因为|OM|＝d，|OM|＝|PF|，因为B，O关于准线对称，设准线与x轴的交点为A，所以|OF|＝|OA|＝|AB|，所以＝，而∠MBO＝∠FBP所以＝＝，即|BP|＝|BM|，所以a＝，故选：D．【点评】本题考查抛物线的性质，及对应边成比例的性质，属于中档题．11．如图所示是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如图所示，如果凳脚是由底面为正方形的直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为2cm时，则切面的面积为（）A．B．C．D．【分析】由正、侧视图得当凳脚所在直线为PC时，过P作P A⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，设边长为a，则∠PDA＝∠PBA＝60°，设∠PCA＝α，则α为PC与底面所成角，推导出sinα＝，凳脚的切面为菱形PMEN，∠PCA＝α，由此能求出切面的面积．【解答】解：如图1，由正、侧视图得：当凳脚所在直线为PC时，过P作P A⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，设边长为a，则∠PDA＝∠PBA＝60°，设∠PCA＝α，则α为PC与底面所成角，∴P A＝，AC＝，PC＝，∴sinα＝，如图2，凳脚的切面为菱形PMEN，∠PCA＝α，∴sin，由题意知EC＝2，∴EP＝＝，∴切面的面积为S菱形PMEN＝＝＝（cm2）．故选：A．【点评】本题考查切面面积的求法，考查棱柱的三视图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．设函数f（x）＝，若曲线y＝sin x+上存在点（x 0，y0）使得f（f（y0））＝y0成立，则实数a的取值范围为（）A．[0，e2﹣e+1]B．[0，e2+e﹣1]C．[0，e2﹣e﹣1]D．[0，e2+e+1]【分析】利用函数f（x）的单调性可以证明f（y0）＝y0．令函数f（x）＝x，化为a＝x2﹣lnx﹣x．令h（x）＝x2﹣lnx﹣x，利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：∵﹣1≤sin x≤1，∴当sin x＝1时，y＝sin x+取得最大值y＝+＝e，当sin x＝﹣1时，y＝sin x+取得最小值y＝﹣+＝1，即函数y＝sin x+的取值范围为[1，e]，若y＝sin x+上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））＝y0成立，则y0∈[1，e]．且f（y0）＝y0．若下面证明f（y0）＝y0．假设f（y0）＝c＞y0，则f（f（y0））＝f（c）＞f（y0）＝c＞y0，不满足f（f（y0））＝y0．同理假设f（y0）＝c＜y0，则不满足f（f（y0））＝y0．综上可得：f（y0）＝y0．y0∈[1，e]．∵函数f（x）＝，的定义域为（0，+∞），∴等价为＝x，在（0，e]上有解即平方得lnx+x+a＝x2，则a＝x2﹣lnx﹣x，设h（x）＝x2﹣lnx﹣x，则h′（x）＝2x﹣1﹣＝＝，由h′（x）＞0得1＜x≤e，此时函数单调递增，由h′（x）＜0得0＜x＜1，此时函数单调递减，即当x＝1时，函数取得极小值，即h（1）＝1﹣ln1﹣1＝0，当x＝e时，h（e）＝e2﹣lne﹣e＝e2﹣e﹣1，则0≤h（x）≤e2﹣e﹣1．则0≤a≤e2﹣e﹣1．故选：C．【点评】本题考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．在平面直角坐标系中，若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为8．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：作出x，y满足约束条件对于的平面区域如图：由z＝3x+2y，则y＝﹣x+平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+，经过点A时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得A（2，1），此时z max＝3×2+2×1＝8，故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．14．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是24小时．【分析】由题意可得，x＝0时，y＝192；x＝22时，y＝48．代入函数y＝e kx+b，解方程，可得k，b，再由x＝33，代入即可得到结论．【解答】解：由题意可得，x＝0时，y＝192；x＝22时，y＝48．代入函数y＝e kx+b，可得e b＝192，e22k+b＝48，即有e11k＝，e b＝192，则当x＝33时，y＝e33k+b＝×192＝24．故答案为：24．【点评】本题考查函数的解析式的求法和运用，考查运算能力，属于中档题．15．在平面直角坐标系xOy中，以C（1，1）为圆心的圆与x轴和y 轴分别相切于A，B两点，点M，N分别在线段OA，OB上，若MN与圆C相切，则|MN|的最小值为2﹣2．【分析】由题意，根据圆的对称性，可得当OC⊥MN时，|MN|取最小值．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，以C（1，1）为圆心的圆与x轴和y轴分别相切于A，B两点，点M，N分别在线段OA，OB上，MN与圆C相切，∴根据圆的对称性，当OC⊥MN时，|MN|取最小值，如图，|OC|＝＝，，|MN|的最小值为2（）＝2﹣2．故答案为：2﹣2．【点评】本题考查线段长的最小值的求法，考查直线、圆等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16．已知O为△ABC的外心，且A＝，+＝2m，则m＝．【分析】先将等式左右两边同时乘以，得：+＝2m2，再利用由正弦定理得：sin C cos B+cos C sin B＝m然后利用两角的和差公式求解【解答】解：∵+＝2m等式两边同时乘得：+＝2m2又＝＝2AO＝∴2+2＝4m由正弦定理得：+＝又A＝∴sin A＝∴sin C cos B+cos C sin B＝m∴m＝sin（B+C）＝sin A＝故应填【点评】本题考查了向量的数量积，正弦定理及两角的和差公式，属难度较大的题三、解答题（本大题共5小题，17─21题每题12分，22、23选做一题10分，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）若数列{a n+t}是等比数列，求t的取值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用数列的等比中项求出t的值．（2）利用等比数列的定义求出数列的通项公式．（3）利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：（1）由，得a1＝1，当n＞1时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣n﹣2a n﹣1+（n﹣1），即a n＝2a n﹣1+1，所以a2＝3，a3＝7，依题意，（3+t）2＝（1+t）×（7+t），解得t＝1．（2）有（2）知a n＝2a n﹣1+1，所以a n+1＝2（a n﹣1+1），又因为a1+1＝2，所以数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以．（3）由（2）知，则．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用及数列的通项公式的求法，裂项相消法在数列求和中的应用．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF∥平面P AD．（2）在线段PC上是否存在一点Q使得A，E，Q，F四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）取P A的中点M，连接MD，MF，证明四边形DEFM 为平行四边形，可得EF∥DM，由直线与平面平行的判定可得EF ∥平面P AD；（2）取AB的中点H，连接PH交AF于G，在PC上取点Q，使PQ：QC＝2：1，连接GQ，HC，则A，E，Q，F四点共面，然后证明即可．【解答】解：（1）证明：如图，取P A的中点M，连接MD，MF，∵F，M分别为PB，P A的中点，∴FM∥AB，FM＝AB，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵E为CD的中点，∴DE∥AB，DE＝AB．∴DE∥FM，DE＝FM，则四边形DEFM为平行四边形，∴EF∥DM．∵EF⊄平面P AD，DM⊂平面P AD，∴EF∥平面P AD；（2）存在点Q符合题目条件，且此时PQ：QC＝2：1．取AB的中点H，连接PH交AF于G，在PC上取点Q，使PQ：QC＝2：1，连接GQ，HC，则A，E，Q，F四点共面．证明如下：在平行四边形ABCD中，∵E，H分别为CD，AB的中点，∴CH∥AE，又F是PB的中点，∴G是△P AB的重心，且PG：GH＝2：1．又PQ：QC＝2：1，∴GQ∥HC，∵CH∥AE，∴GQ∥AE，∴GQ与AE确定一个平面α，而F∈直线AG，∴F∈α，则A，E，Q，F四点共面．故在线段PC上存在一点Q，使得A，E，Q，F四点共面．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，平面的基本性质，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．19．（12分）为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程．非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度．“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：第一档第二档第三档[0，200]（200，400]（400，+∞）每户每月用电量（单位：度）电价（单位：元/度）0.610.660.91例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费410×0.65＝266.5元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费200×0.61+（400﹣200）×0.66+（410﹣400）×0.91＝263.1元．为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量（单位：度）为：88、268、370、140、440、420、520、320、230、380．组别月用电量频数统计频数频率①[0，100]②（100，200]③（200，300]④（300，400]⑤（400，500]⑥（500，600]合计（1）在答题卡中完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；（2）根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）设某用户11月用电量为x度（x∈N），按照合表电价收费标准应交y1元，按照阶梯电价收费标准应交y2元，请用x表示y1和y1，并求当y2≤y1时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？【分析】（1）完成频率分布表，作出频率分布直方图．（2）由频率分布直方图能求出该100户用户11月的平均用电量，由此能估计全市住户11月的平均用电量．（3）求出y1＝0.65x，y2＝，由y2≤y1，解得x≤≈423.1，从而x的最大值为423．根据频率分布直方图，能估计“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠．【解答】解：（1）频率分布表如下：组别月用电量频数频率①[0，100]40.04②（100，200]120.12③（200，300]240.24④（300，400]300.3⑤（400，500]260.26⑥（500，600]40.04合计1001频率分布直方图如下：（2）该100户用户11月的平均用电量：度所以估计全市住户11月的平均用电量为324度．（3）y1＝0.65x，y2＝，由y2≤y1，得或或，解得x≤≈423.1，∵x∈N，∴x的最大值为423．根据频率分布直方图，x≤423时的频率为：0.04+0.12+0.24+0.3+23×0.26＝0.7598＞0.75，故估计“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠．【点评】本题考查频率分布表、频率分布直方图的应用，考查平均数、概率的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．（12分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的一个焦点为F1（﹣，0），而且过点H（，）．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线P A1，P A2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．【分析】（Ⅰ）解法一：根据椭圆E：的一个交点为，过点，可得a2﹣b2＝3，，联立即可求得椭圆E的方程；解法二：椭圆的两个焦点分别为，利用椭圆的定义，可求椭圆E的方程；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），求出，同设圆G的圆心为，利用，即可得到线段OT的长度；解法二：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），求出，，可得，由切割线定理可得线段OT的长度．【解答】（Ⅰ）解法一：由题意，∵椭圆E：的一个交点为，∴a2﹣b2＝3，①∵椭圆过点．∴，②①②解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆E的方程为．…（4分）解法二：椭圆的两个焦点分别为，由椭圆的定义可得，所以a＝2，b2＝1，所以椭圆E的方程为．…（4分）（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），直线P A1：，令y＝0，得；直线P A2：，令y＝0，得；设圆G的圆心为，则r2＝，，而，所以，所以，所以|OT|＝2，即线段OT的长度为定值2．…（14分）解法二：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），直线P A1：，令y＝0，得；直线P A2：，令y＝0，得；则，而，所以，所以，由切割线定理得OT2＝|OM|•|ON|＝4所以|OT|＝2，即线段OT的长度为定值2．…（14分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆为综合，考查线段长的求解，认真审题，挖掘隐含是关键．21．（12分）已知函数f（x）＝4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y＝f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）＝a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（Ⅱ）设出点p的坐标，利用导数求出切线方程g（x）＝f′（x0）（x﹣x0），构造辅助函数F（x）＝f（x）﹣g（x），利用导数得到对于任意实数x，有F（x）≤F（x0）＝0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，求出方程g（x）＝a的根，由g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，得到x2≤x2′．同理得到x1′≤x1，则可证得．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝4x﹣x4，可得f′（x）＝4﹣4x3．当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减．∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞）．（Ⅱ）证明：设点p的坐标为（x0，0），则，f′（x0）＝﹣12，曲线y＝f（x）在点P处的切线方程为y＝f′（x0）（x﹣x0），即g （x）＝f′（x0）（x﹣x0），令函数F（x）＝f（x）﹣g（x），即F（x）＝f（x）﹣f′（x0）（x ﹣x0），则F′（x）＝f′（x）﹣f′（x0）．∵F′（x0）＝0，∴当x∈（﹣∞，x0）时，F′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，∴F（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，∴对于任意实数x，F（x）≤F（x0）＝0，即对任意实数x，都有f （x）≤g（x）；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，，设方程g（x）＝a的根为x2′，可得．∵g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，又由（Ⅱ）知g（x2）≥f （x2）＝a＝g（x2′），因此x2≤x2′．类似地，设曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为y＝h（x），可得h（x）＝4x，对于任意的x∈（﹣∞，+∞），有f（x）﹣h（x）＝﹣x4≤0，即f （x）≤h（x）．设方程h（x）＝a的根为x1′，可得，∵h（x）＝4x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（x1′）＝a＝f （x1）≤h（x1），因此x1′≤x1，由此可得．【点评】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．二选一：（本小题满分10分）请考生在22、23两题中任选一题作答，并在相应题号前的方框中涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C1：（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、x轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy取相同单位长度的极坐标系中，曲线C2：．（1）求曲线C1的普通方程以及曲线C2的平面直角坐标方程；（2）若曲线C1上恰好存在三个不同的点到曲线C2的距离相等，求这三个点的极坐标．【分析】（1）直接利用和转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和特殊的点的位置的应用求出结果．【解答】解：（1）由消去参数α得x2+y2＝4，即曲线C1的普通方程为x2+y2＝4，又由得，即为，即曲线C2的平面直角坐标方程为．（2）∵圆心O到曲线C2：的距离，如图所示，∴直线与圆的切点A以及直线与圆的两个交点B，C即为所求．∵OA⊥BC，则，直线l OA的倾斜角为，即A点的极角为，∴B点的极角为，C点的极角为，∴三个点的极坐标为，，．【点评】本题考查的知识要点：直角坐标和极坐标之间的转换，参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修45：不等式选讲]（10分）23．若a＞0，b＞0，且．。
2020届河北省衡水中学高三第一次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
【解析】试题分析：如下图所示，画出 的函数图象，从而可知交点 ，∴不等式 的解集为 ，故选C．
【考点】1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．
6．设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是
A．(0,1)B．(0,2)C．(0,+∞)D．(1,+∞)
【答案】A
【解析】试题分析：设 （不妨设 ），则由导数的几何意义易得切线 的斜率分别为 由已知得 切线 的方程分别为 ，切线 的方程为 ，即 ．分别令 得 又 与 的交点为 ，故选A．
【考点】1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.
【解析】（1）求出抛物线的焦点坐标可得出 的值，由椭圆 的离心率可得 的值，进而可得出 的值，由此可求得椭圆 的方程；
（2）设点 、 ，将直线 的方程与椭圆 的方程联立，列出韦达定理，求出点 的坐标，由点 在椭圆 上得出 ，并求出点 的坐标，设点 ，计算出 ，由 为定值求出 ，由此可求得定点 的坐标.
20．已知椭圆 以抛物线 的焦点为顶点，且离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 相交于 、 两点，与直线 相交于 点， 是椭圆 上一点且满足 （其中 为坐标原点），试问在 轴上是否存在一点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标及 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，且定点 的坐标为 .
【考点】导数与切线斜率．
16．如图，圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴交于两点 （ 在 的上方），且 ．
（Ⅰ）圆 的标准方程为；
河北省衡水中学2020届高三年级模拟试题(一)(理数)
河北省衡水中学2020届高三年级模拟试题（一）数 学（理科）本试卷总分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5 mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数iiz -=12，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合}0)2)(2(|{≤+-=x x x A ，}0|{a x x B ≤<Z ∈=．若}2,1{=B A I ，则实数a 的取值范围是 A ．),2[+∞B ．),2(+∞C ．),1[+∞D ．),1(+∞3．2020年第1期深圳车牌摇号竞价指标共6 668个，某机构从参加这期车牌竞拍且报价在1～8万元的人员中，随机抽取了若干人的报价，得到的部分数据整理结果如下：报价区间（单位：万元）[)2,1[)3,2[)4,3频数103640则在这些竞拍人员中，报价不低于5万元的人数为 A ．30 B ．42 C ．54 D ．804．已知c b a >>，且0=++c b a ，则下列不等式一定成立的是A ．bc ab >B ．bc ac <C ．||||bc ab >D ．011>+ca5．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+≤,0632,2,2y x x y x y 则y x z 2-=的最小值为A ．2-B ．4-C ．6-D ．8- 6．已知0<ab ，若函数x x x f cos sin )(+=在区间],[b a 上单调，则ab 的最小值是A ．42π-B ．1632π-C ．82π-D ．162π-7．某正方体的三视图中的侧视图如图所示，是由两个全等的长方形构成，则该正方体的体积为A ．8B ．23C ．4D ．228．已知数列}{n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，0>n a ，32=S ，154=S ．对任意的正整数n ，下列结论正确的是A ．122++=+n n n a a aB ．1+>n n a SC ．213++++>+n n n n a a a aD ．21++≥⋅n n n a a a9．已知四棱锥ABCD P -的所有棱长均相等，过其外一点且与直线PA 和BC 所成的角都是o60的 直线的条数是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．510．如图所示的44⨯正方形网格，可看成是横向、纵向各五条相等线段相交成的封闭图形，横向、纵向各取2条线段，则围成的封闭图形为正方形的概率为A ．101 B ．51 C ．103 D ．52 11．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ，过F 作直线l 与两条渐近线交于B A ,两点，若OAB ∆为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则OAB ∆的面积为A ．2aB ．22aC ．22a 或2aD ．22a 或221a12．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 是正方形ABCD 的中心，线段EF 过点O ，且1==OF OE ，EF 绕着点O 旋转，M 为线段AB 上 的动点，则MF ME ⋅的最小值为A ．21- B ．22- C ．23- D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。