12.第十二讲追及问题(2)
数学六年级第12讲：追及问题(最新数学课件)
学校A
追上乙C
驻地B 乙丙追及时间：
速度差=追及路程 ÷追及时间
5×2÷（7.5-5）=4（小时）
9点过了4小时是下午1点。
追及时间=追及路程 ÷速度差
答：丙在下午1点追上乙。
练习4 甲乙丙三人都从A城到B城，甲乙两人早晨6点一起从A城
出发，甲每小时走5千米，乙每小时走4千米，丙上午8点才
从A城出发，下午6点甲、丙同时到达B城。问：丙在何时追
1 3 ×4
=
1 3
-
1 4
例题4 学校组织军训，甲、乙、丙三人步行从学校到军训驻 地。甲、乙两人早晨7点一起从学校出发，甲每小时走6千 米，乙每小时走5千米，丙上午9点才从学校出发，下午5点 甲、丙同时到达军训驻地。问：丙在何时追上乙?
甲、丙走的路程
丙的速度：
6+2×6÷8=7.5（千米/小时）
阿派走了80×36=2880（米）
米德41分钟行驶路程：
追及时间：
42×200×5÷6=7000（米）
（2880+3600-6000）÷（200-80）=4（分钟）
阿派41分钟行驶路程： 41×80=3280（米）
追上阿派需要36+4=40（分钟）
答：米德追上阿派要40分钟。
课堂小结2
1. 通过转换等量关系（速度差不变），得 出所求量。 2. 当出现走停情况时，运用假设法，分析 最后次停车时间。
15米
甲乙 追及路程
追上 速度差
甲乙速度差：15÷5=3（米/ 秒 乙） 的速度：6×3÷3=6（米/秒） 甲的速度：6+3=9（米/秒）
甲
乙
追上 不变
追及时间6秒
答：甲的速度是9米每秒，乙 的速度是6米每秒。
追及问题经典题型ppt课件
追及时间 ： 500÷20=25（分） 答：经过25分钟以后哥哥可以追上弟弟.
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例3：骑车人与行人同一条街道同向前进，行人在骑车人前面 450米处，行人每分钟步行60米，两人同时出发，3分钟后骑自 行车的人追上行人，骑自行车的人每分钟行多少米？
追及时间：追及开始后，后面的ຫໍສະໝຸດ 体追上前面物体作用的时 间。4
例1 警察、小偷分别从相距100米的两地同时向东行 驶，警察跑步每分钟行100米，小偷跑步每分钟行80 米，几分钟后警察可以追上小偷？
警察比小偷多跑的路程(追及路程)：100米 警察每分钟比小偷多跑： 100-80=20（米）
追上所用的时间： 100 ÷ (100-80) = 5（分钟） 追及路程 ÷ 速度差 = 追及时间
乙车先走的路程
追及路程 分析： 此题的关键是找到追及路程，所以有时候我们需要借助图形来帮我们分析。求 时间，那么我们就得知道路程和速度。 根据 追及时间=追及路程 ÷ 速度差，从而求出时间。
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练习2
哥哥和弟弟去人民公园参观菊花展， 弟弟每分钟走50米，弟弟走了10分钟后， 哥哥以每分钟70米的速度去追弟弟，问： 经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？
答：从家到学校的距离是750米。
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小结
追击问题的特征：
1、两个物体； 2、不同速度； 3、不同位置；（慢的在前，快的在后） 4、同一个方向；（快的物体追上慢的物体）
口诀：
两物体
有距离
同时启动同时停
慢在前 快在后 方向一致追的上
核心 公式 ：追及路程÷速度差=追及时间
推导公式： 速度差 =追及路程÷追及时间 追及路程 = 追及时间×速度差
2014年五年级暑假第12讲-复杂行程问题(教师版)
第十二讲复杂行程问题多人多次相遇追及二是多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：路程和速度和相遇时间；=⨯=⨯路程差速度差追及时间；多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差火车过桥火车过桥常见题型及解题方法（一）、行程问题基本公式：路程=速度⨯时间总路程=平均速度⨯总时间；（二）、相遇、追及问题：速度和⨯相遇时间=相遇路程速度差⨯追及时间=追及路程；（三）、火车过桥问题1、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度，解法：火车车长＋桥(隧道)长度(总路程) ＝火车速度×通过的时间；2、火车＋树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度，解法：火车车长(总路程)＝火车速度×通过时间；2、火车＋人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度，（1）、火车＋迎面行走的人：相当于相遇问题，解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度＋人的速度)×迎面错过的时间；（2）火车＋同向行走的人：相当于追及问题，解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度—人的速度) ×追及的时间；（3）火车＋坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度 人的速度) ×迎面错过的时间（追及的时间）；4、火车＋火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度，（1）错车问题：相当于相遇问题，解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝(快车速度＋慢车速度) ×错车时间；（2）超车问题：相当于追及问题，解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝(快车速度—慢车速度) ×错车时间；老师提醒学生注意：对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行。
(完整版)追及问题讲义
追及问题学生/课程年级四年级学科数学授课教师日期时段11:00~11:40 核心内容相遇问题课型一对一/一对N教学目标1.理解总路程，相遇时间，速度和并熟记相遇问题中的四个常用公式2.会根据题意画出线段图，分析数量关系，从而解决实际问题重、难点重点：教学目标1.2 难点：教学目标2知识导图导学一：简单追及问题知识点讲解 1：求追及路程追及问题的基本运动模式是：同向运动的一慢一快的两个物体先有一段距离，由于后面的运动物体的速度快，因此在某一时刻追上前面的运动物体，这叫做追及问题。
追及路程：原来相隔的一段距离，追及时间：同时出发到追上，两运动物体所用的时间速度差：两运动物体各自速度的差（即每一个单位时间里追及的路程）追及问题的基本数量关系：（1）速度差×追及时间＝追及路程（路程差）（2）追及路程÷速度差＝追及时间（3）追及路程÷追及时间＝速度差（根据其中一个速度可以求另一个速度）例 1. 机灵兔和大角牛在两地同时同向而行，机灵兔在前，大角牛在后，机灵兔每小时走5千米，大角牛每小时走14千米，2小时后大角牛追上了机灵兔，问2小时前，大角牛和机灵兔相距多远？我爱展示1.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，同向而行。
甲在前乙在后。
已知甲每分钟走50米，乙每分钟走70米，12分钟乙追上甲，A、B两地相距多远？2.甲、乙两车同时分别从A、B两地出发，同向而行，已知甲车在前，乙车在后，甲车的速度是50千米/时，乙车速度是80千米/时，3小时后乙车追上甲车，求A、B两地的距离。
知识点讲解 2：求追及时间例 1. A、B两地相距18千米，甲从A地，乙从B地同时出发同向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行2千米，甲经过几小时追上乙？例 2. 黄艳以75米/分的速度步行去县城，出发1小时后，陆军以575米/分的速度从同一地点出发沿同一条路线去追黄艳。
追上时，黄艳还没到县城，求陆军出发后几分钟追上黄艳？我爱展示1.甲、乙两人相距150米，甲在前乙在后，甲每分钟走60米，乙每分钟走75米，两人同时向南出发，几分钟后乙追上甲？2.哥哥以80米/分的速度步行放学回家，12分钟后弟弟以200米/分的速度骑自行车从同一学校放学回家，追上时哥哥还没到家。
追及问题PPT课件
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小明和小亮在一个圆形湖边跑步（假设他们跑步的速度
始终不变），小明每分钟跑100米，小亮每分钟跑120
米，如果他们同时从同一地点出发，相背而行，5分钟
相遇，如果同时从同一地点出发，同向而行，几分钟后
两人相遇？
小明每分钟 100米
小亮每分钟 120米
在做相向运动，即利用前一
节课的相遇问题来求出小明
和小亮的跑步路程。
（100＋120）×5＝1100（米）
小明每分钟 100米
追及问题，小亮要追上 小明就要多跑一圈。
小亮每分钟 120米
1100÷（120－100）＝55（分钟）
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练习5：甲、乙两人同时从学校出发去电 影院看电影，甲以每小时12千米的速度 骑自行车，乙以每小时16千米的速度骑 自行车，结果甲比乙晚到了10分钟，则 从学校到电影院的距离是多少千米？
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练习6.一列快车长170米， 每秒行23米，一列慢车 长130米，每秒行18米。 快车从后面追上慢车到 超过慢车，共需多少秒？
追及路程÷速度差＝追及时间 12×7÷（54－12）＝2（小时）
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练习4：3、 一排解放军从驻地出发去 执行任务，每小时行5千米。离开驻 地3千米时，排长命令通讯员骑自行 车回驻地取地图。通讯员以每小时10 千米的速度回到驻地，取了地图立即 返回。通讯员从驻地出发，几小时可 以追上队伍？
（3÷10×5+3）÷（10-5）=0.9（小时）
10千米
10÷（6－4）＝5（小时）
追及路程 速度差
追及时间
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3
追及路程÷速度差＝追及时间 追及路程÷追及时间＝速度差 速度差×追及时间＝追及路程
精品讲义】人教版数学六年级下册第十二讲《数学总复习-应用题》(知识精讲+典型例题+随堂练习+进门考)
人教版数学六年级春季第十二讲《数学总复习-应用题》知识点1、常见数量关系复习：简单应用题所涉及的数量关系除了和、差、积、商以外还包括以下常见的数量关系:1.平均数问题:总数=平均数x数量2.经济问题: 总价= 单价x数量3.行程问题: 路程= 速度x时间(1)相遇问题:相遇路程= 速度和x相遇时间(2)追及问题:追及路程=速度差x追及时间4.工程问题: 工作总量=工作效率x工作时间小练习小呆买了5个笔记本和2支笔，共花了32.5元，已知一支笔是2.5元，那么一个笔记本是多少元?步骤 ;1、买笔共花2.5x2=5 (元);2、买笔记本共花32.5-5=27.5(元)3、一个笔记本27.5+5=5.5(元).小练习甲、乙两车分别从相距900千米的A、B两地同时出发相向而行，15小时后相遇，已知甲车每小时行25千米那么乙车每小时行多少千米?步骤1、两车的速度和是900÷15=60(千米/时);乙车的速度是60-25=35(千米/时)一项工程，甲单独做需要4天，乙单独做需要12天思考现在两人合作，那么需要多少天完成?步骤甲的工作效率是多少?乙的工作效率是多少?工作效率和是多少?合作需多少天完成?笔记部分：常见数量关系平均数问题;经济问题行程问题工程问题.例题1填空路程 =（）时间=（）速度=（）相遇时间= （）追及时间=（）(2)总价= （）数量= （）单价=（）(3)工作总量= （）工作时间=（）工作效率=（）(4)部分量÷单位“1”= （）单位“1”x分率=（）部分量÷分率=（）答案：答案 (1)速度x时间，路程-速度，路程-时间，路程和速度和，路程差-速度差(2)数量x单价。
总价-单价，总价-数量(3)工作效率x工作时间，工作总量÷工作效率，工作总量-工作时间;(4)分率，部分量，单位“1”练习1、补充条件再解答(1)苹果比梨少15千克（）梨有多少千克?(2)一批货物，用去4.5吨（）这批货物原有多少吨?(3)五一班男生人数比女生人数的2倍少12人，（）男生有多少人?(4)在“文明礼貌月”活动中，五年级做好事75件（）两个年级一共做好事多少件?答案： (1)苹果有20千克，35千克(答案不唯一);(2)还剩3.5吨，8吨(答案不唯一);(3)女生有15人，18人(答案不唯一);(4)六年级做好事100件，175件(答案不唯一).例题2、(1)小高买了6把相同的宝剑，一共花了144元，那么每把宝剑多少元?(2)莫爷爷买了2千克苹果和3千克梨，一共花了12.6元，已知苹果每千克2.8元，那么梨每千克多少元?(3)小高从家到学校用了5分钟，从学校到家用了6分钟，已知小高从家到学校的速度是120米/分，那么从学校到家的速度是多少?(4)下午4点，妈妈从家出发骑车去学校接萱萱，同时，营萱从学校出发回家，已知学校与家相距1200米，妈妈的速度是3米秒，萱萱的速度是1米秒，那么几点几分时妈妈跟萱萱相遇?(5)甲、乙两个工程队一起承包了某项工程，已知甲队单独完成这项工程需要12天，乙队单独完成这项工程需要36天现在两队合作，需要多少天?答案(1) 144+6=24(元);(2)(12.6-2x2.8)+3= 73(元);(3)120x5÷6=100(米/分);(4)1200÷(3+1)=300(秒)，300秒=5分钟，所以4点5分两人相遇(6) 1÷（112+136）=9练习2(2)墨莫买了3支钢笔和7本笔记本，一共花了36元，已知钢笔每支5元，那么笔记本每本多少元?(2)妈妈从家去学校给小高送午饭，去的时候用了10分钟返回时用了12分钟，已知妈妈从家到学校的速度是180米/分，那么返回时的速度是多少?(3)小山羊和卡莉娅从相距1000米的甲、乙两地同时出发、同向而行，卡莉娅在前，小山羊在后，已知小山羊的速度是6米秒，卡莉娅的速度是2米秒，那么出发后多长时间小山羊追上了卡莉娅?(4)甲、乙、丙三个工程队一起承包了某项工程，已知甲队单独完成这项工程需要10天，乙队单独完成这项工程需要40天，丙队单独完成这项工程需要24天，现在三队合作，需要多少天?答案：1.笔记本每本（36-3×5）÷7=3元2.返回时的速度是180×10÷12=150米/分3.1000÷（6-2）=250秒4.1÷（110+140+124）=6知识点2、分数应用题小练习，小呆每小爱每分钟可以打字40个，小呆每分钟比小爱多打310分钟打字多少个?分析(1)单位“1”是: 小爱每分钟打字数(2)单位“1”已知，用乘法)=52个(3)小呆每分钟打字 40x(1+310练习2、小爱每分钟可以打字40个，她每分钟比小呆少打3，13小呆每分钟打字多少个?分析(1)单位“1”是: 小呆每分钟打字数(2)位“1”未知，用除法）=52(个)(3)小呆每分钟打字40÷（1-313思考：有一本书，小呆第一天看了13，第二天看了剩下的15，两天共看了112页，这本书共多少页?步骤第二天看了全书的几分之几?两天共看了全书的几分之几?这本书共多少页?笔记部分：分数应用题找单位“1” 的方法;三要素间的基本关系.例题3(1)班里组织打字比赛，墨莫每分钟打字120个，小高每分钟打字数量是墨莫的23那么小高每分钟打字多少个?(2)人心脏每分钟跳动的次数随年龄而变化，青少年每分钟心跳约72次，婴幼儿每分钟心跳的次数比青少年多了56那么婴幼儿每分钟心跳约多少次?(3)小高做数学作业用了12分钟，而做数学作业的时间占做语文作业时间的25。
12追及问题
追及问题【知识概述】追及问题也是行程问题中的一类。
这类问题的特点是：两个物体同时向同一方向运动，出发的地点不同（或者从同一地点不同时出发，向同一方向运动），慢者在前，快者在后，因而快者离慢者越来越近，最后终于追上。
解答这类问题时，要理解速度差的含义（即单位时间内快者追上慢者的路程，也就是快者速度减去慢者速度）。
要解决追及问题，要掌握以下几个基本公式：路程差＝速度差×追及时间追及时间＝路程差÷速度差速度差＝路程差÷追及时间快者速度＝速度差＋慢者速度慢者速度＝快者速度－速度差【典型例题】例1甲、乙两人在相距16千米的A、B两地同时出发，同向而行。
甲步行每小时行4千米，乙骑车在后，每小时速度是甲的3倍，几小时后乙能追上甲？例2某小学一条环形跑道长400米，甲骑自行车平均每分钟骑300米，乙跑步平均每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多少分钟两人相遇?例3某校202名学生排成两路纵队，以每秒3米的速度去春游，前后相邻两个人之间的距离为0.5米。
李老师从队尾骑自行车以每秒5米的速度到队头，然后又返回到队尾，一共要用多少秒？例4甲、乙、丙三人都从A地出发到B地。
乙比丙晚出发10分钟，40分钟后追上丙；甲比乙晚出发20分钟，100分钟追上乙。
甲出发多少分钟后追上丙？例5一只猎狗发现在离它8米远的地方有一只正在奔跑的小兔就立刻紧追上去。
已知猎狗跑2步的路程是小兔跑5步的路程,但是小兔的动作快,小兔跑5步的时间猎狗却只能跑3步。
猎狗至少要跑出多少米才能追上小兔?【巩固训练】1．两辆汽车相距1500千米，甲车在乙车前面，甲车每分钟行610米，乙车每分钟660米，乙车追上甲车需几分钟？2．老王和老张从甲地到乙地开会，老张骑自行车的速度是15千米/小时，先出发2小时后，老王先出发，老王用了3小时追上老张，求老王骑车速度？3．上午10点，从一个港口开出一只货船，下午2点钟，又从这个港口开出一只客船，客船开出12小时追上货船，客船速度20千米/小时，求货船速度？4．两地相距900千米，甲车行全程需15小时，乙车行全程需12小时，甲车先出发2小时后，乙去追甲，问乙车要走多少千米才能追上甲车？5. 小张从家到公园,原打算每分钟走50米,为了提早10分钟到,他把速度加快,每分钟走75米.小张家到公园有多少米？【提高训练】1．甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇，求东西两地的距离是多少千米？2．一条长400米的环形跑道，甜甜在练习骑自行车，她每分钟行560米，彬彬在练长跑，他每分钟跑240米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人可以相遇?3．甲、乙两城之间的铁路长240千米，快车从甲城、慢车从乙城同时相向开出，3小时相遇，如果两车分别从两城向同一方向开出，慢车在前、快车在后，15小时快车就可以追上慢车，求快车与慢车每小时各行多少千米？4. 一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子,已知狗一跳前进3米.兔子一跳前进2.1米,狗跳3次的时间兔子可以跳4次。
(完整版)追及问题讲义
一、教学目标:【你知道吗】1、追及问题也是行程问题中的一种情况。
这类应用题的特点是：①两个物体同时同一方向运动；②出发的地点不同（或从同一地点不同时出发，向同一方向运动）；追及路程=路程差=两个物体之间相距的路程追及速度=速度差=快的速度-慢的速度慢的物体追上快的物体的所用的时间为追及时间③慢者在前，快者在后，因而快者离慢者越来越近，最后终于可以追上。
2、相关的关系式：追及路程=速度差×追及时间速度差=追及路程÷追及时间追及时间=追及路程÷速度差二、教学内容：【经典例题】例1、蓝猫骑自行车以每分钟35米的速度从A地向前骑，白猫步行以每分钟40米的速度从距蓝猫后方20米的地方向前走，经过多少分钟白猫可追上蓝猫？例2、一辆摩托车上午8点从甲镇向乙镇方向开出，每小时行45千米，同时有一辆汽车从乙镇向同一方向开出，每小时行30千米，中午12点摩托车追上汽车。
问甲镇和乙镇之间的距离是多少千米？例3、环形跑道周长400米，甲、乙两名运动员同时顺时针从起点出发，甲速度400米/分，乙速度375米/分，几分钟甲、乙再次相遇？例4、淼淼、小利两人同时从邦德出发相背而行，淼淼每分钟走50米，小利每分钟走60米。
5分钟后，小利因事转身去追淼淼，多久可以追上？例5、一队士兵要从A基地步行前往B基地进行集训，前进速度为每分钟70米，出发后半小时后，通讯兵要返回A基地送一份很重要的文件，他以每分钟140米的速度返回后立即去追赶队伍，多久可以追上？例6、小明坐车从甲城到乙城，如果汽车的速度是24千米/小时，他将于下午1点到达乙城；如果汽车以每小时40千米的速度，他将于上午11点到达乙城；如果小明想在中午12点到达乙城，那么，这列火车应以怎样的速度行驶？【尖子训练营】1、填空。
（1）追及问题是问题中的一种情况，这类应用题的特点是：①两个物体（或人）同同运动；②在前，在后。
③出发的地点，（或从同一地点出发，向同一方向运动）（2）快者比慢者多走的路程（或者慢者先走的路程）叫（或者路程差）。
人教版数学七年级上册第12讲 一元一次方程的实际应用(二)
第12讲一元一次方程的实际应用（二）知识导航1．列一元一次方程解决行程问题；2．列一元一次方程解决工程问题；3．列一元一次方程解决调配与配套问题；4．列一元一次方程解决利润问题．【板块一】行程问题方法技巧1．行程问题有相遇问题，追及问题，顺流（风）、逆流（风）问题，上坡、下坡问题等．在运动形式上分直线运动及曲线运动．2．相遇问题是相向而行，相遇时的总路程＝两运动物体的路程和．3．追及问题是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干时间，快的再追．4．顺流（风）、逆流（风）和上坡、下坡问题应注意运动方向和速度不同．题型一一般行程问题【例1】一列匀速前进的火车，从它进入320米长隧道到完全通过隧道共用了18秒，隧道顶部一盏固定的小灯灯光在火车上照了10秒钟，求这列火车的长为多少米？【练1】某人骑自行车由甲地驶向乙地，如果每小时比原来的速度快6公里，便可以早到5分钟；如果每小时比原来的速度慢5公里，便要迟到6分钟．求甲、乙两地的距离为多少公里？题型二相遇问题【例2】小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进．已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米．求A，B两地间的路程．【练2】A，B两地间的路程为360km，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72km，甲车出发25min后，乙车从B地出发开往A地，每小时行驶48km，两车相遇后，各自按原来速度继续行驶，那么相遇以后，两车相距100km时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？题型三追及问题【例3】A，B两地相距480km，一列慢车从A地出发，每小时行走50km，一列快车从B地出发，每小时走70km．⑴两车同时出发，相向而行，出发后多少小时相遇？⑵若两车同时出发，同向而行，慢车在快车前面，相遇前经过多少小时两车相距200km?相遇后经过多少小时两车相距200km?【练3】甲、乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈．⑴求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）⑵若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？题型四 流水问题与上、下坡问题【例4】某船从A 地顺流而下到达B 地，然后逆流返回，到达A ，B 两地之间的C 地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时．A ，C 两地之间的路程为10千米，求A ，B 两地之间的路程.【练4】如图所示，折线AC －CB 是一条公路的示意图，AC ＝8km ．甲骑摩托车从A 地沿这条公路到B 地，速度为40km /h ，乙骑自行车从C 地到B 地，速度为10km /h ，两人同时出发，结果甲比乙早到6分钟．求这条公路的长．针对练习11、 一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行（ ）A . 0.5小时B . 1小时C . 1.2小时D . 1.5小时2、我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载:“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，良马数日追及之”.如果设良马x 日追上驽马，那么根据题意，可列方程为 .3、已知A 、B 两地相距350千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行.若甲车速度为110千米/ 时，乙车速度为90千米/时，经过t 小时两车相距50千米，则t ＝ 小时.4、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相 同，两道侧门也大小相同，安全检查时，对4道门进行测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内 可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过800名学生. (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？(2)检查中发现，紧急情况时学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下，全大楼学生应在5分钟通过这4道门安全撤离，假设这栋教学楼每间教室最多有45名学生.问：建造的4道门是否符合安全规定？请说明理由.ACB5、为赴台湾考察学习，小颖的爸爸在元旦节的早晨7点自驾一辆小轿车(平均速度为60千米/时)从家里出发赶往距家45千米的重庆江北机场，此时，距规定到达机场的时间仅剩90分钟. 7点30分时小颖发现爸爸忘了带身份证，急忙通知爸爸返同，同时她乘坐出租车以40千米/时的平均速度直奔机场(打电话和上出租车的时间忽略不计)，与此同时，爸爸接到通知后继续往机场方向行驶了5分钟后返同，结果不到30分钟就遇上了小颖(拿身份证的时间忽略不计)，并立即赶赴机场，请问：（1）设小颖从7点30分出发经过x小时与爸爸相遇，则与爸爸相遇时小颖行驶千米，爸爸返回千米(均用含x的代数式表示)；（2）小颖的爸爸能否在规定的时间内赶到机场？6.有甲、乙两艘船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知，须立即逆流而上返回C地执行任务，甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5 km，水流速度为每小时2.5 km，A、C两地间的距离为10km.如果乙船由A地经过B地再到达C地共用了4h，问:乙船从B到到达C地时，甲船距离B地有多远？【板块二】工程问题方法技巧1、基本量之间的关系：工作量＝工作效率╳工作时间.2、当总工作量未给出具体数量时，常把总工作量当作整体1.常用的相等关系为：总工作量＝各部分工作量的和.题型一有具体数量作为工作量【例5】某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m，乙工程队每天整治16 m.求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.【练5】有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40m2墙面未来得及粉刷，同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面，每名师傅比徒弟一天多刷30m2的墙面.（1）求每个房间需要粉刷的墙面面积；（2）张师傅现有36个这样的房间需要粉刷，若请1名师傅带2名徒弟去，需要几天完成？题型二没有具体数量作为工作量【例6】检修一处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙合做，但乙中途离开了一段时间，后2天由乙、丙合做完成，问乙中途离开了几天？【练6】一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次能运完；若甲、丙两车运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨.问：（1）乙车每次所运货物是甲车每次所运货物量的几倍？(2)现甲、乙、丙合运相同次数把这次货物运完时，货主应付车主运费各多少元？（按每运1吨付运费20元计算）题型三牛吃草问题（总工作量发生变化）【例7】有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的，问：（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？【练7】山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流人池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则 20分钟正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？针对练习21、完成某项工程，甲、乙合做要2天，乙、丙合做要4天，丙、甲合做要2.4天，则甲单独完成此项工程需要的天数是( )A. 2.8B. 3C. 6D. 122、为使某项工程提前20天完成任务，需将原定工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要 .3、某农民在农贸市场卖鸡，甲先买了总数的一半又半只，然后乙买了剩下的一半又半只，最后丙买了剩下的一半又半只，恰好卖完，则该农民一共卖了只鸡.4、刺绣一件作品，甲单独绣需要15天完成，乙单独绣需要12天完成.现在甲先单独绣1天，接着乙又单独绣 4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣.再绣多少天可以完成这件作品？5、甲、乙两个施工队在六安(六盘水一安顺)城际高铁施工中，每天甲队比乙队多铺设100米钢轨，甲队铺设 5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离.若设甲队每天铺设x米，则乙队每天铺设(x—100)米.(1)依题意列出一元一次方程；(2)求出甲、乙两个施工队每天各铺设多少米.6、—棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机，采摘效率高，能耗低，绿色环保，经测试，一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，购买一台采棉机需900元，雇人采摘棉花，按每采摘1公斤棉花a元的标准支付雇工工钱，雇工每天工作8小时.(1)一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少公斤？(2)—个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，求a的值.【板块三】调配及配套问题方法技巧1.调配问题的相等关系往往通过题目中的一句关键的语气呈现.2．产品配套问题的相等关系要抓住成套产品的两个部件之间固有的倍数关系．题型一调配问题【例8】学校组织植树活动，已知在甲处植树的有14人，在乙处植树的有6人，现调70人去支援．(1)若要使在甲处植树的人数与在乙处植树的人数相等，应调往甲处人．(2)若要使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？(3)通过适当的调配支援人数，使在甲处植树的人数恰好是在乙处植树人数的n倍（n是大于1的正整数，不包括1．）则符合条件的n的值共有个．【练8】某工厂生产一批桌椅，甲车间有29人生产桌子，乙车间有17人生产椅子，现要赶工期，总公司调20人去支援，使甲车间的人数为乙车间人数的2倍，应调往甲、乙车间各多少人？题型二配套问题【例9】某儿童三轮车厂有95名工人，每人每天能生产车身9个或车轮30个．要使每天生产的车身和车轮恰好配套（一个车身配三个车轮），应安排生产车身和车轮各多少人？【练9】某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个，两个甲种部件和三个乙种部件配成一套，问加工甲乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？针对练习31．食品安全是关乎民生的重要问题，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但适量的添加剂对人体健康无害而且有利于食品的储存和运输，为提高质量，做进一步研究，某饮料加工在厂需生产A，B两种饮料共100瓶，需加入同种添加剂270克，其中A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添剂3克，饮料加工厂生产了A，B两种饮料各多少瓶？2．某服装厂加工车间有工人54人，每人每天可以加工上衣8件或裤子10条（一件上衣配一条裤子），应怎样分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套？3．甲仓库和乙仓库分别存放着某种机器20台和6台．现在准备调运给A厂10台，B厂16台，已知从甲库调运一台机器到A厂的运费为400元，到B厂的运费为800无；从乙库调运一台机器到A厂的运费为300元，到B厂的运费为500元，如果总运费用了16000元．求：从甲库调给A厂，乙库调给B厂各为多少台机器？4．某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件。
第十二讲多次相遇问题2
第十二讲屡次相遇问题前面我们学过了根本的相遇和追及问题，而在很多情况下，两车相遇后不会停下来，而是继续行驶，这样就产生了屡次相遇的问题。
对于这种问题，从整体入手，利用比例关系求解。
〖经典例题〗例1、甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，A、B之间的距离是多少？分析：甲、乙两车共同走完一个AB全程时，乙车走了64千米，从上图可以看出：它们到第二次相遇时共走了3个AB全程，因此，我们可以理解为乙车共走了3个64千米，再由上图可知：减去一个48千米后，正好等于一个AB全程. AB间的距离是64×3－48＝144〔千米〕.例2、如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。
C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长。
分析：第一次相遇，两人共走了0.5圈；第二次相遇，两人共走了1.5圈。
因为1.5÷0.5＝3，所以第二次相遇时甲走的路程是第一次甲走的路程的3倍。
即ACD=3AC=240米，AB=240－60=180米。
这个圆的周长是360米。
例3、甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。
甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？分析：每次相遇两车的路程和都是2个全程。
因此乙两次相遇所行的路程相等。
即AC=2BC，第一次甲行了43AB，乙行了23AB，所以甲的速度是乙的2倍。
例4、甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站100米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站300米时又追上小明，问：甲、乙两站的距离是多少米？分析：我们可以把上述运动分为两个阶段来考察：第一阶段：从出发到二人相遇：小强走的路程是一个甲、乙距离+100米，小明走的路程=一个甲、乙距离－100米。
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步的距离相当于猎狗的 5 步；猎狗跑 5 步的时间兔子能跑 3 步。问： 猎狗追上兔子时，共跑了多少米？
小牛试刀： 1.草原上， 狮子发现前方 60 米处有一只羚羊， 狮子开始向羚羊扑去， 羚羊立即逃跑。狮子的步子大，它跑 4 步的路程羚羊要跑 5 步；但是 羚羊的动作快，它跑 13 步的时间狮子只能跑 11 步，问：狮子最终能 否追上羚羊？如果能，狮子从开始到扑到羚羊时跑了多少米？
名题精练 1： 一条环形跑道长 400 米，甲骑自行车平均每分钟骑 300 米，乙跑步， 平均每分钟跑 250 米，两人同时同地同向出发，经过多少分钟两人相 遇?
小牛试刀： 1.两名运动员在湖周围环形道上练习长跑，甲每分钟跑 250 米，乙每 分钟跑 200 米，两人同时同地同向出发，经过 45 分钟甲追上乙，如 果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？
速度去追小明． 问爸爸出发几分钟后追上小明？当爸爸追上小明时他 们离家多远？ 【解析】
当爸爸开始追小明时，小明已经离家： 70 12 840 (米)，即爸爸要追及 的路程为 840 米,也就是爸爸与小明的距离是 840 米，我们把这个距 离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过 1 分，他们之间的 距离就缩短 280 70 210 (米)， 也就是爸爸与小明的速度差为 280 70 210 (米/分),爸爸追及的时间：840 210 4 (分钟)．当爸爸追上小明时，小明 已经出发 12 4 16 (分钟)，此时离家的距离是： 70 16 1120 (米) 3.王新从教室去图书馆还书，如果每分钟走 70 米，能在图书馆闭馆 前 2 分钟到达，如果每分钟走 50 米，就要超过闭馆时间 2 分钟，求 教室到图书馆的路程有多远？ 【解析】设从教室去图书馆闭馆时所用时间是 x 分钟
小牛试刀： 某赛车队进行训练，所以队员均以 35 千米/时的速度前进，突然，一 队员以 45 千米/时的速度前进，当他前进 20 千米后调转车头，仍以 45 千米/时的速度往回行驶，直到与其他队员会合。此队员从离队开 始到与队员重新会合，经过了多长时间？
名题精练 4：速度 = 步长×单位时间内的步数 猎狗发现前方 20 米处有一只奔跑的兔子，马上去追。已知兔子跑 9
第十二讲追及问题（2） 点拨：
有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走 得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上， 要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是 要计算两人走的路程之差 （追及路程） .如果设甲走得快， 乙走得慢， 在相同的时间（追及时间）内： 追及路程＝甲走的路程-乙走的路程 ＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间 ＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间. 一般地， 追击问题有这样的数量关系： 追及路程=速度差×追及时间， 即 ������差 = ������差 t
【解析】小红让小蓝先跑 20 米，则 20 米就是小红、小蓝二人的路程 差，小红跑 5 秒钟追上小蓝，5 秒就是追及时间，据此可求出他们的 速度差为 20 5 4 (米/秒)； 若小红让小蓝先跑 4 秒， 则小红 6 秒可追上 小蓝，在这个过程中，追及时间为 6 秒，根据上一个条件，由追及差 和追及时间可求出在这个过程中的路程差， 这个路程差即是小蓝 4 秒 钟所行的路程， 路程差就等于 4 6 24 (米)， 也即小蓝在 4 秒内跑了 24 米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度．综合列式计算如 下：小蓝的速度为： 20 5 6 4 6 (米/秒)，小红的速度为： 6 4 10 (米/ 秒) 5.某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机： “后面有骑自行 车的人吗？”司机回答： “15 分钟前我超过一个骑自行车的人。 ”这 人继续走了 10 分钟，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车的速度 是人步行速度的 3 倍，那么，汽车速度是人步行速度的多少倍？
钟就击落了敌机，敌机从逃跑到被我机歼灭有几分钟？
名题精练 3： 某赛车队进行训练，所以队员均以 35 千米/时的速度前进，突然，一 队员以 45 千米/时的速度前进，当他超出其他队员 20 千米后调转车 头，仍以 45 千米/时的速度往回行驶，直到与其他队员会合。此队员 从离队开始到与队员重新会合，经过了多长时间？
名题精练 2： 一支队伍长 400 米，以每秒 2 米的速度前进，一个人以每秒 3 米的速 度从队尾赶到队头，然后再返回队尾，一共要用多少分钟？
小牛试刀： 1.一支队伍长 450 米，以每秒 3 米的速度前进，一个通讯员骑车以匀 速从队尾赶到队头用了 50 秒。如果他再返回队尾，还需要多少秒？
2.一架敌机侵犯我领空， 我空军立即起飞迎击， 在两机相距 49km 时， 敌机扭转机头以 15km/分的速度逃跑，我军以 22km/分的速度沿其逃 跑路线追击， 1.小明和爸爸 一起锻炼时发现：小明每跑 8 步而爸爸只能跑 5 步，但 是爸爸跑 2 步的距离是小明跑 5 步的距离。 如果从同一起点小明跑了 27 步后，爸爸才开始追小明，则爸爸追上小明至少需要跑多少步？
2.小明步行上学，每分钟行 70 米．离家 12 分钟后，爸爸发现小明的 明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟 280 米的
70 （x 2） 50 （x 2） 70 x 140 50 x 100 70 x 50 x 100 140 x 12
70 （ 12 2） 700 （米）
答：教室到图书馆的路程有 700 米． 4.小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑 20 米，则小红跑 5 秒钟 就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑 4 秒钟，则小红跑 6 秒钟就能追上 小蓝．小红、小蓝二人的速度各是多少？