力矩分配法
力矩分配法
C
41.3 C 133.1 D M图（kN· m）
1 CB 0.667 1 1 2 CD 0.333
20kN/m A EI=1 6m 92.6 B EI=2 4m
100kN C 4m EI=1 6m D
43.6
A 21.9 B 133.1 51.8 A 56.4
M图
2M/7 3M/7
q
例题 i
l
4/7 3/7 固端弯矩 分配、传递 杆端弯矩 2ql2/56 2ql2/56 ← 4ql2/56 ← 4ql2/56 -ql2/8 3ql2/56 -4ql2/56 4ql2/56 M图 4ql2/56 → → 0 0
l
i
例1. 用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。
①求固端弯矩；
②将汇交于结点的固端弯矩之和按分配系数分配给每一个杆端。
③各杆按各自的传递系数向远端传递。
④将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，得杆端最后弯矩。
M
例题
ii
4/7 3/7
ii
固端弯矩 分配、传递 杆端弯矩 2M/7 2M/7 ←
-M 4M/7 3M/7 4M/7 3M/7 4M/7 → 0 0
S i
S 0
练习
i
k
Sik=4iik
k
i
k
Sik=3iik Sik=0
i
Sik=4iik
k
i
k
i
Sik=4iik
i
k
Sik=4iik
q
Mik=-ql2/12
i l k
Mki=ql2/12
（2）分配系数（按位移法推导） 写出杆端弯矩： M AB＝S AB A 4i AB A M AC＝S AC A i AC A M AD＝S AD A 3i AD A 由 M A＝0 得： M M AB M AC M AD
力矩分配法
第7章 力 矩 分 配 法
§7.1 基 本 概 念
五、传递系数和传递弯矩
远端弯矩与近端弯矩的
C
比值称为弯矩传递系数。
待分配力矩
Z1 MA'
D
A
Z1
Z1
C Aj
M M
jA Aj
B
MBA2iAB Z1 MCA 0 MDAiAD Z1
MBA MAB
CAB
1 2
MCA MAC
CAC
0
MDA MAC
CACMAC1
A
基本体系
MBFC9kNm ,
MCFB 0
15
R1P 15
9
A
R 1PM B F AM B FC 6kN m
20kN
2kN/m
B Z1
C
15 9
B
C
结构无结点转角位移时，交汇于结点各杆固端弯矩的代数
和，称为该结点的不平衡力矩，并规定顺时针转向为正。
MB= R 1PM B F AM B FC 6kN m
C
M BA 1 53.421 6.5 174
M BC 92.57 41.5 174
MCB 0
⑻作最终弯矩图。 SBAZB
R11
A
SBCZB
水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 1力 学 课 程 组
4iZB = SBAZB
Z1
B
C
3iZB = SBCZB
第7章 力 矩 分 配 法
§7.2 力 矩 分 配 法 的 基 本 原 理
水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 1力 学 课 程 组
第7章 力 矩 分 配 法
§7.2 力 矩 分 配 法 的 基 本 原 理
力矩分配法
1渐近法2用力法、位移法分析超静定结构，都需要求解多元联立方程组，求出基本未知量。
当未知量较多时，计算颇为繁重。
渐近法—采用逐步地逼近真实解的方法。
渐近法主要有：一、渐近法概述(1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。
(2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。
(3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。
3力矩分配法理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。
4只有结点角位移而无结点线位移的梁和刚架。
？力矩分配法的适用范围：力矩分配法的适用范围：5只有结点角位移而无结点线位移的梁和刚架。
√6力矩分配法以杆端弯矩为计算对象，采用：固定放松分配、传递逐次逼近杆端弯矩的精确解。
计算原理及符号规则均与位移法相同，只是计算过程不相同。
7计算过程：1.固定结点求出固定状态的杆端弯矩FijM 附加刚臂处的不平衡弯矩iM依次将结点上的不平衡弯矩反号分配于各杆近端，并传向远端。
2.逐次放松各结点8若干次循环计算= 也即逐次恢复转角的过程直接表达为各杆端弯矩逐次修正的过程放松结束，也即变形（转角）、内力趋于实际状态。
9——基本运算A BCM ABM BAM BC A BCM FAB M FBAM FBCM BM BM F BAM F BCM B =M F BA +M F BCABC－M BBAM ′BCM ′AB M ′0－M BBAM ′BCM ′)(B BA BAM M −⋅=′μ)(B BC BCM M −⋅=′μ+=最后杆端弯矩：M BA =M F BA +BAM ′M BC =M F BC +BCM ′M AB =M F AB +AB M ′然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。
固端弯矩带本身符号单结点的力矩分配分配系数分配弯矩10例1. 用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。
3m 3m 6m EI EI 200kN 20kN/m （1）固定B 结点A BC 200kN 20kN/m M F AB =M F BA =M F BC=mkN ⋅−=×−15086200m kN ⋅150m kN ⋅−=×−9086202M B =M F BA + M F BC =m kN ⋅60－150150－90（2）放松结点B，即加-60进行分配60A B C－60设i =EI/l 计算转动刚度：S BA =4iS BC =3i分配系数：571.0344=+=i i iBAμ429.073==iiBCμ0.5710.429分配力矩:3.34)60(571.0−=−×=′BAM 7.25)60(429.0−=−×=′BCM －34.3－25.7－17.2+(3) 最后结果。
力矩分配法中的分配系数,传递系数
力矩分配法中的分配系数,传递系数
分配系数：杆端分配系数＝该杆端抗弯刚度／交于该结点（刚结点）的所有杆端抗弯刚度之和。
传递系数与杆件的远端支承有关：远端固定梁为1/2；远端滑动梁为－1。
用一般的力法或位移法分析超静定结构（见杆系结构的静力分析）时，都要建立和解算线性方程组。
如果未知数目较多，计算工作将相当繁重。
H.克罗斯于1930年在位移法的基础上，提出了不必解方程组而是逐次逼近的力矩分配法。
它在1930年发表在ASCE期刊，该方法仅考虑弯曲效应，忽略轴向和剪切效应。
从20世纪30年代到电脑开始广泛应用于结构设计和分析中，力矩分布法是最广泛应用的方法。
力矩分配法
梁相应杆端下面。
26
19-1 位移法的基本概念
3、分配与传递 从不平衡力矩大的结点C开始循环，交替进行
分配与传递，直到传递弯矩小于0.1为止。整个 运算过程均可在表上进行。 4、将固端弯矩与相应杆端分配弯矩或传递弯矩相 加得最终杆端弯矩。 5、由最终杆端弯矩绘出M图(b)
27
19-1 位移法的基本概念
BA=
3iBC 4iAB+4iBE +3iBC
=
0.375
33
2、计算固端弯矩
20-2 力矩分配法计算连续梁及无侧移刚架
F
MDA= -
30×4 2
= -40 kN·m
12
F
MAD=
30×4 2
= 40 kN·m
12
F
MAB= -
60×4×2 2 62
= -26.67 kN·m
F
MBA=
60×4 2 ×2 62
3i 3
BC =
=
=
SBA+SBC 4i+3i 7
校核：∑ =
4 7
+
3 7 =1
将它们填入表中第一行结点B的两端。
16
19-1 位移法的基本概念
分配系数
43
77
固端弯矩
+150
0
0 -80+150 0
分配与传递 - 20 ← - 40 - 30 → 0
杆端弯矩 - 20 - 40 - 110 0
= 53.33 kN·m
34
20-2 力矩分配法计算连续梁及无侧移刚架
分配、传递弯矩及最终杆端弯矩的计算结果见 上表。结点A、B均满足静力平衡条件∑M=0。 最终M图及Q图见图(b)及图(c)
第十一章 力矩分配法
300
B
A A －15
B B －30
C C －图（ 30 kN.m) M
μBA=12i/24i=1/2 μBC=12i/24i=1/2
3）叠加1）、2）得到最后杆端弯矩。 计算过程可列表进行
返回
例题 2
单结点力矩分配法
用力矩分配法计算,画M图。
70 40 100kN 100 100kN 100 B B i=1 MA 10 M=15 mAD
i=2 M图（kN.m)
B↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
i=1 192
100 4m 4m
校核 固端弯矩 最后弯矩 0 ΔMik 0 ΔMki/2 ΔM´ ΔM´之比
8m －128 86.6 －86.6 86.6 41.4 0 －1.9 86.6 43.3
8m
128 －75 124.2 －124.2 －3.8 －49.2 0 20.7 －24.5 －49.2
15kN 40kN/m 15kN 40kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ D A D i=1 A i=2 C C
80
mAB
mAC
2m 2m A AD 3/9 － 80 15 － 65 10 10 AC 2/9 2m 2m
M图（kN.m) M图（kN.m) 4m 4m C CA D DA
取EI=8 μBA=0.6 μBC=0.4 μCB=0.4 μCD=0.6
A
i=2 B↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 2EI EI 8m i=1 8m MB=－128
24kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
24kN/m
C
4m 2EI 4m MC=53 50kN
i=2
50kN
C
－128 －M B 0.6 0.4 分配系数 248 2 mBC 128 －128 固端弯矩 76.8 51.2 3 2 12 76.8 51.2 0 . 6 2 BA －15.7 逐次放 8 3 224 4 1 －15.7 m 128 CB 松结点 41 12 0.4 9.4 6.3 进行分 －15.7 BA 3 2 4 1 3508 15.7 －0.7 配与传 m 75 CB 0 . 4 CD 0.4 0.3 递 16 CB 0.6 9.4 6.3 最后弯矩 0 86.6 －86.6
力矩分配法
iAB=EI/8=3i iBC=EI/6=4i
4(3i) /[4(3i) 3(4i)] 1/ 2
, 3(4i) /[4(3i) 3(4i)] 1/ 2 BC
BA
将分配系数写在B结点下方的方框内。
(2) 计算各杆端的固端弯矩MF(查表8-1)。
ql2 1282
MF
64kN m
AB
12
图见图9-4(b)所示 。
为了计算更加简单起见,分配弯矩Mμ,及传递弯矩MC的具体 算式可不必另写,而直接在图9-4表格上进行即可. 例9-2 计算图9-5(a)所示刚架的M图。
解: (1) 计算分配系数 。
设i=EI/4, iAB=EI/4=i, iAC=EI/4=i, iAD=2EI/4=2i。
BA
BA
BA
AB
AB
AB
以上就是力矩分配法的基本思路,概括来说:先在B结点加上附加 刚臂阻止B结点转动,把连续梁看作两个单跨粱,求出各杆的固端弯矩 MF,此时刚臂承受不平衡力矩MB(各杆固端弯矩的代数和),然后去掉
附加刚臂,即相当于在B结点作用一个反向的不平衡力矩(-MB)，求 出各杆端的分配弯矩及传递弯矩MC，叠加各杆端弯矩即得原连续 梁各杆端的最后弯矩。连续梁的M、FS图及支座反力则不难求出。 用力矩分配法作题时,不必绘图9-3(b)、(c)所示图,而是按一定的格 式进行计算,即可十分清晰地说明整个计算过程,举例如下。
第一步放松C结点。
C结点的不平衡力矩MC=60-88=-28kN·m，将其反号分配：
M 283/ 7 12kN m M 28 4 / 7 12kN m
CD
CB
80kN
60kN
11kN/m
(a)
结构力学——力矩分配法
结构力学——力矩分配法结构力学是研究物体在外力作用下的变形和破坏行为的学科。
其中，力矩分配法是一种求解结构梁的内力和变形的常用方法之一、本文将介绍力矩分配法的基本理论和应用。
首先，对于结构力学的研究，我们需要了解一些基本概念。
力矩是由力的作用点与旋转轴之间的距离和力的大小决定的。
在结构力学中，我们通常考虑作用在梁上的力和力矩。
梁是一种常见的结构元件，可以将其看作是在两个固定点之间作用的力的集合。
在力矩分配法中，我们将梁分割成若干个小段，然后逐段计算每个小段的内力和变形。
假设有一根长度为L，截面形状均匀的梁，并且在两个固定点之间施加了一系列分布力。
我们可以将梁分割成n个小段，每个小段的长度为Δx=L/n。
接下来，我们需要计算每个小段的内力和变形。
首先，我们可以根据材料力学的基本原理得出梁的拉伸、压缩和弯曲的力学方程。
然后，我们可以根据小段的切线方向和切线上的任意一点来推导出该小段的内力和弯曲方程。
最后，我们将内力分量在小段两端的力矩分配系数和位置矩分配系数进行合成，从而得出该小段的内力和弯曲方程。
在力矩分配法中，一个重要的概念是力矩分配系数。
力矩分配系数是一个无量纲的参数，用来表示力和力矩在小段两端分配的比例。
在计算力矩分配系数时，我们可以根据梁的几何形状和分布力的位置，利用力矩的基本原理进行推导。
力矩分配系数是力矩分配法的核心，它可以帮助我们计算出每个小段的内力和变形。
在实际应用中，力矩分配法通常用于求解多跨梁的内力和变形。
我们可以将多跨梁分割成若干个小段，并根据力矩分配法计算出每个小段的内力和变形。
然后，我们可以将各个小段的内力和变形进行叠加，得出整个多跨梁的内力和变形。
需要注意的是，力矩分配法具有一定的局限性。
首先，它只适用于存在弯曲变形的梁，对于其他类型的结构，如框架和板，需要采用其他的分析方法。
其次，力矩分配法仅适用于分布力作用在梁的直线部分上，对于弯曲部分或非均匀分布力的情况，需要采用其他的方法进行分析。
第十四章 力矩分配法
本章介绍的力矩分配法是渐近法中的一种。 力矩分配法以位移法为理论基础,但不是用典型方程求解结点位移的精确解,
而是按某种程序直接渐近地求解杆端弯矩。
用力矩分配法求解连续梁和无侧移刚架十分方便,且可编制程序, 由计算机完成计算。
4
§ 14 - 1 力矩分配法的基本概念
c.传递弯矩是放松状态下结点远端的杆端弯矩,传递弯矩由分配弯矩乘 以传递系数求得。
8
小结
4.结点放松后就处于平衡状态。但是,当结构有多个结点时,一个结点放松、 平衡的同时,相邻结点获得不平衡力矩———传递弯矩,这就破坏了相邻 结点的平衡。所以,力矩分配法的计算要逐个结点反复地进行,直到每个 结点的不平衡力矩都足够的小,精度满足工程的要求时为止。 力矩分配法的优点之一就是有较快的收敛速度，通常经三、四个循环所得
矩。二者的和即为结构受荷状态下的杆端弯矩。
3.力矩分配法的关键是如何确定放松状态下的杆端弯矩,为此必须明确 以下三点:
a.约束状态相当于在受载结构上施加了不平衡力矩M。M 可由约束状态 下的结点平衡条件求得,放松状态是将不平衡力矩M 反向加在结构结点 上,是原结构受荷载(- M)作用的状态。
b.分配弯矩是放松状态下结点近端的杆端弯矩,分配弯矩由(- M)乘以分 配系数求得,分配系数与杆端转动刚度成正比,所以,转动刚度越大所 获得的分配弯矩也越大。
M1
M
F 12
M
F 13
M
F 14
规定约束反力矩以绕结点顺时针转向为正,反之为负。
6
§ 14 - 1 力矩分配法的基本概念 设在放松状态下受不平衡力矩M1 的作用,
结点1 的转角为1。
结构力学 力矩分配法
最后杆端弯矩的计算，是将同一杆 端（表中同一杆端下的列）下的固 端弯矩、分配弯矩及传递弯矩相叠 加得出。
例10-2-2 用力矩分配法计算图示刚架， 并作弯矩图。
q= 20kN /m B C E
A 6m (a)
D 6m
解：1)计算分配系数：设EI/6=1
结点B单元：SBA=4 SBC=8 BA 1 3 BC 2 3
M A3
3 63 21kN m 9
C M 3A 0
3)叠加计算各杆最后弯矩
F M A1 M A1 M A1 28 6 34 kN m
F M A2 M A2 M A2 14 0 14 kN m
M A3 21 9 12 kN m
F M A M Ai i 1 n
(10-1-4)
例10-1-1
q=2kN/m,FP1=10kN,FP2=8kN
试用力矩分配法计算，并作刚架弯矩图。
FP 1 =10kN
FP 2 =8kN 1 A
(a)
6m
6m
FP1 = 10kN
F P2= 8kN 1 A
60kN m 1 14kN m A
例10-2-1
用力矩分配法计算图(a)所示连续梁， 并作弯矩图。
E I
2 2 m m
6 m
4 m
解：1)计算分配系数：令EI=1 B结点分配 单元：
S BA EI 4 1 4
S BC
EI 2 4 6 3
S
Bi
5 3
BA
3 5
BC
2 5
C结点分配单元：
S CB 2 3 8 17
EI 3 S CD 3 4 4 9 CD 17