实二次型与实对称矩阵的定性分析 数学专业毕业论文
对称矩阵与二次型
对称矩阵与二次型对称矩阵和二次型是线性代数中非常重要的概念，它们在各种数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将介绍对称矩阵的定义和特性，以及与之相关的二次型的概念和性质。
一、对称矩阵的定义与特性在线性代数中，对称矩阵是指满足矩阵的转置等于其自身的矩阵。
具体定义如下：定义1：对称矩阵设A是一个n×n的矩阵，如果满足A^T=A，则称A为对称矩阵。
对称矩阵的一些特性如下：特性1：主对角线上的元素对称矩阵的主对角线上的元素都相等，即a_ij = a_ji。
特性2：特征值对称矩阵的特征值都是实数。
特性3：特征向量对称矩阵的特征向量对应不同特征值的特征向量是正交的。
特性4：对角化对称矩阵可以被对角化，即可以通过相似变换得到对角矩阵。
二、二次型的定义与性质二次型是对称矩阵与向量的乘积，它是一个函数，将向量映射为实数。
具体定义如下：定义2：二次型设f(x) = x^TAx是一个定义在R^n上的函数，其中A是一个n×n的对称矩阵，x是一个n维列向量。
称f(x)为二次型。
二次型有一些重要的性质：性质1：对称性二次型的矩阵A是对称矩阵，即A^T=A。
性质2：标准型对于任意二次型f(x)，都存在一个正交变换，将其化为标准型。
标准型的形式为f(x) = λ_1y_1^2 + λ_2y_2^2 + ... + λ_ny_n^2，其中λ_1, λ_2, ..., λ_n为实数，y_1, y_2, ..., y_n为变量。
性质3：正定、负定与半正定二次型可以根据其对应的矩阵A的特征值判定其正定、负定与半正定。
当A的所有特征值均为正时，二次型为正定；当A的所有特征值均为负时，二次型为负定；当A的特征值既有正又有负时，二次型为不定；当A的特征值既有非负又有非正时，二次型为半正定。
三、对称矩阵与二次型的关系对称矩阵与二次型之间有紧密的联系，通过对称矩阵可以定义出二次型，同时对于任意一个二次型，都可以找到对应的对称矩阵。
第五章三节二次型和对称矩阵的有定性
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = - 2x1 - 2x2 - x3 + 2x1x2 - 2x2 x3 例8 设二次型
试判断 f (x1, x2 , x3 )的有定性。 解
轾 -2 1 犏 二次型的矩阵 A = 犏 - 2 1 犏 犏 -1 0 臌 A的各顺序主子式 -2 det A = - 2 < 0,det A = 1 2 1
det A = 1> 0,det A2 = 1 1 det A = det A = t 3
1 t t 1
= 1- t 2 = > 0
t -1 1 2 = - 5t 2 - 4Fra bibliotek > 0 5
-1 2
4 解之得- < t < 0. 5 4 即当 - < t < 0时，二次型 f (x1, x2 , x3 )为正定二次型。 5
第三节 二次型和对称矩阵的有定性
一、正定二次型和正定矩阵
定义5.6 设n元二次型 f (x1, x2 ,Lxn ) = X T AX 定义5.6 ，其中A为n阶实 0 对称矩阵。如果对于任意的 X = (x1, x2 ,Lxn )T ，有
f (x1, x2 ,Lxn ) = X T AX > 0 则称该二次型为正定二次型 正定二次型，矩阵A称为正定矩阵 正定矩阵。 正定二次型 正定矩阵
T
推论2 推论 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可 逆矩阵C，使得 A = CT C. 推论3 推论 如果实对称矩阵A为正定矩阵，则A的行列式大于零。 定理5.8 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有 定理 特征值都是正数。 例2 如果实对称矩阵A为正定矩阵，则 A- 1也是正定矩阵。 证法1 证法 由 AT = A，有
(完整版)二次型的有定性及其应用本科毕业设计
本科毕业论文（设计）题目二次型的有定性及其应用院（系）数学系专业数学与应用数学学生 XXXXXX指导教师 XXXX 职称 XXXX论文字数 7000完成日期: 年月日巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果．除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明．本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担．本人签名：日期：巢湖学院本科毕业论文 (设计)使用授权说明本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文(设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院．学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文 (设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致．保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定．本人签名：日期：导师签名：日期：二次型的有定性及其应用摘要二次型的有定性是二次型中有重要地位的内容。
二次型的有定性指的是二次型的正定性、半正定性、负定性、半负定性。
该文章没有考虑复二次型情况，只分析了实二次型的正定性，半正定性以及它们在数学以及其他科学上的应用。
该文章先介绍二次型的定义，以及正定性，半正定性的定义和性质以及一些相关定理的证明，接着举例说明实二次型的有定性（正定性、半正定性）在高等数学以及物理学等科学上的应用。
该文分两部分，先是总结并给出了实正定二次型的性质定理，以此为基础，再论述出半正定二次型的相关性质、定理，并总结出了其在处理数学问题方面的应用。
关键字：实二次型；正定性；正定性应用；半正定性；半正定定性应用The qualitative matrix and its applicationAbstractDefiniteness of quadratic form important position in quadratic form. The definiteness of quadratic form refers to positive definite, positive simi-definite, negative definiteness , negative simi-definite in quadratic form. In this paper, It did not take complex quadratic form into account, but analyzing the positive definiteness ,positive simi-definite of real quadratic form and their roles in mathematics and other scientific applications. This paper introduced the definition of the quadratic form ,along with the definition and the properties of the positive definiteness, positive simi-definite and some proof of relevant theorem at first ,then illustrate the real quadratic form are qualitative(positive qualitative, positive simi-definite)in advanced mathematics, physics and others scientific applications. This paper is divided into two parts, firstly , it summarized and given the properties of the real positive definite quadratic form theorem, as a basis, and then discusses the related properties ,theorem of positive semi-definite quadratic form , and summed up their applications in dealing with math problems .Keywords:Real quadratic form, positive definiteness, applications of positive definiteness, semi-positive definite, semi-definite qualitative applications目录中文摘要 (Ⅰ)英文摘要 (Ⅱ)引言 (1)1二次型正定（半正定）的定义 (2)2. 二次型有定性的相关性质以及定理 (4)2.1 二次型正定性的判别定理 (4)2.2 二次型半正定性的一些判别方法 (5)3.二次型正定性及半正定性的应用 (5)3.1二次型的正定性在数学解题中的应用 (6)3.2 用二次型的正定性求三元函数极值问题 (6)3.3 二次型半正定型的判定定理，性质，及简单的应用 (10)3.4用二次型半正定性证明不定式 (15)参考文献 (19)前言实二次型的正定性在大学课本以及相关教材中都有大量的涉及，但却很少有关于半正定的研究。
5.3二次型与对称矩阵的有定性
i 0
定理5.9 （P.221）对称阵A 正定 A的特征值 i 0( i 1,2,, n) 例如：P.216例 4 A的三个特征值：1,1,10>0,故A正定。
P.221
3. 用顺序主子式判别 定义 对于 n 阶矩阵 A ( aij )nn ，子式
a11 a12 a1k a22 a2 k ak 2 akk ， ( k 1， 2， ，n) a21 ak 1
| A1 | 1,
| A2 |
1 2 2 0
4,
| A3 || A | 8
定理5.10 （P.222） A (aij )nn 正定 | Ak | 0( k 1,2,, n) 证明略（P.222—P.224)
例4 （ P.224） 判断下面二次型的正定性 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 3 x1 6 x1 x3 x2 4 x2 x3 8 x3 0 3 3 解 A 0 1 2 3 2 8 3 0 | A1 | 3 0, | A2 | 3 0, | A3 || A | 3 0 0 1 A正定， 相应的二次型正定。
补例 二次型 2 2 2 f ( x1，x2，x3 ) x1 4 x2 4 x3 2 t x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3 当 t 为何值时，f 为正定二次型？ 1 t 1 解：f 的矩阵为 讨论t为何值时 A t 4 2 A正定 1 2 4 A的顺序主子式依次为 1 t 2 | A1 | 1， | A2 | 4t ， t 4 t 1 2 1 t 1 1 4t 4t 8 2 | A3 | t 4 2 0 4 t 2 t 4( t 1)(t 2). 0 2 t 3 1 2 4
线性代数—二次型和对称矩阵的有定性
证
( AT A)T = AT A , 故 AT A 是 n 阶对称矩阵。 因为 阶对称矩阵。
仅有零解， 又 r ( A) = n ， 可知齐次线性方程组 AX = 0 仅有零解，
所以对任意 X ≠ 0 ，必有 AX ≠ 0 ，于是 所以对
X T ( AT A) X = ( AX )T ( AX ) > 0 ,
代入二次型， 代入二次型，得 f ( 0, ⋯ ,1, ⋯ ,0) = d k ≤ 0 ，
正定矛盾。 与二次型 f ( y1 , y2 ,⋯, yn ) 正定矛盾。
2
(1) 二 次型 f ( y1 , y2 ,⋯, yn ) = d y + d y + ⋯+ d y 正定
2 1 1 2 2 2 2 n n
（2）若恒有 f ( X ) < 0 ，则称 f (X) 是负定二次型， 负定二次型， A 称为 负定矩阵 ； 称为负定矩阵 负定矩阵；
半负定二次型， （3）若恒有 f ( X ) ≤ 0 ，则称 f (X) 是半负定二次型， A 称为半负定矩阵。 称为半负定矩阵 半负定矩阵。
如果二次型不是有定的，就称为不定二次型。 如果二次型不是有定的，就称为不定二次型。 不定二次型
正定矩阵。 这是因为： 正定矩阵。 这是因为：
A 与它的转置 AT 有相同的特征值； 有相同的特征值； 矩阵
A λ ( A ) = 1 λ ( A) ; λ ( A ) = . λ ( A)
−1
∗
4
例1 判别二次型
2 2 2 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 − 2 x1 x 2 − 2 x 2 x 3
线性代数4.3二次型与对称矩阵的有定性
−1 1 x1 T f ( x1 , x2 ) = −x + 2 x1 x2 −x = ( x1 , x2 ) = x Ax 1 −1 x2 1 x1 2 2 2 2 ∀ ∈ R 有 f ( x1 , x2 ) = − x1 + 2 x1 x2 − x2 = −( x1 − x2 ) ≤ 0 ≠ o 1 x2 f (1, 1) = 0 称此二次型是半负定二次型.相应的矩阵 1 −1 称此二次型是半负定二次型 半负定二次型. −1 1
均大于0, 设d1 ,d2 ,…,dn均大于0,
f ( x1 , x2 ,..., xn ) =
2 2 2 d1 x1 + d 2 x2 + ... + d n xn x1 为正定二次型 x 2 事实上,对任何 x = M ≠ o 事实上, xn 有 f ( x1 , x2 ,..., xn ) = 2 2 d1 x12 + d 2 x2 + ... + d n xn > 0
证
充分性已证. 充分性已证.
必要性: 是正定矩阵, 必要性: 设D是正定矩阵, 则
>0
1 0 ≠ o ∴ d1 > 0 M 0
0 1 ≠ o ∴ d2 > 0 M 0
0 0 ... ≠ o ∴ d n > 0 M 1
n
T
n
是半负 二次型 x T Ax 是半负定的
r ∀x ∈ R , 有x Ax ≤ 0且 ∃x ∈ R , x ≠ 0 使 xT Ax = 0
n
T
n
2 f (0,1) = −4 < 0 例 二次型 f ( x1 , x2 ) = x12 − 4 x2 f ( x1 , x2 )不是 半) 正定的; ( 正定的; f (1,0) = 1 > 0
3-2 实对称矩阵与实二次型
1
0
T
是 1对应的一个特征向量 A. .求
解 因为A是实对称矩阵， 1是二重特征值，一定有 两个线性无关特征 向量，而且都与 3正交； 另一方面，与 3正交即满足x1 x 2 0的线性无关解
T T 向量有且只有两个，例 （1 1 0）（0 0 1）. (不唯一) 如 ,
存在正交阵Q及实对角阵Λ，使 1 Q T AQ Q 1 AQ Λ. n
2
推论3.8a 任一n阶实对称矩阵A的每个ni重特征值一定有ni个线 性无关的特征向量，从而（由Schmidt方法）一定有ni个标准正 交的特征向量（总共有n个标准正交的特征向量）.
为规 范 形 .
（正系数全为1，负系数全为-1）.
其矩阵为 1 1 B
p
r-p 1 1 n-r 0 0
二次型的中心问题是： 寻找可逆线性变换（包括正交变换） x=Py 将xTAx化为标准形.
x1
x2
a11 a x n 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n x1 a2n x2 a nn x n
xT Ax x, Ax
其中A [aij ]是实对称矩阵，称为实 二次型 f ( x1 , , xn ) 的矩阵. 秩( A) 称为二次型 f 的秩，即 秩( . 1
1 2 0 1 2
0 0 1 1 0 0
1 0 0
0 0. 1
注 将 ， 正交化得 , , 再将 , ， 单位化， 1 2 1 2 1 2 3
可得正交阵 , 而由A QQ T 算出A，结果是一样的 Q .
二次型和对称矩阵的关系
二次型和对称矩阵的关系
二次型和对称矩阵的关系非常密切。
在数学中，对称矩阵是一种
特殊的矩阵形式，它的转置矩阵等于本身。
而二次型则是一种由向量
构成的二次函数，可以用矩阵乘积的形式表示。
在矩阵中，如果一个矩阵A等于它的转置矩阵，即$A^T = A$，
那么称A为对称矩阵。
对称矩阵具有很多重要性质，比如它的特征值
都是实数，且可以通过正交对角化得到它的特征向量。
而二次型则是由一个$n$维向量$x$和一个$n$阶实对称矩阵$A$构
成的二次函数，即$f(x) = x^TAx$。
二次型在许多领域中都有广泛的
应用，比如物理学、统计学和优化等等。
对于任意一个实对称矩阵$A$，我们都可以通过正交变换将其对
角化为对角矩阵$D$，即$A = Q^TDQ$，其中$Q$是正交矩阵。
这样，我
们就可以将二次型表示为$f(x) = x^TAx = x^TQ^TDQx =
(Qx)^TD(Qx)$，即$f(x)$的值仅由$Qx$的分量决定，而且每个分量之
间是相互独立的。
这种分离变量的特性使得计算二次型的值非常方便，同时也为研究二次型提供了极大的方便。
因此，对称矩阵和二次型之间的关系是十分紧密的，它们相互依存、相互辅助，在数学中扮演着非常重要的角色。
二次型论文
绥化学院本科毕业设计（论文）二次型及应用学生姓名：学号：年级：指导教师：Suihua University Graduation PaperQuadratic Form and Its ApplicationsStudent numberMajorSupervising teacherSuihua University摘要二次型是线性代数的重要内容之一，二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题．首先，介绍了二次型的基本理论，然后研究了二次型的应用，包括在多元函数极值、线性最小二乘法、证明不等式以及二次曲线中的应用．一些矩阵的问题可以转化为二次型，用二次型的方式去解决，方便而快速．关键词：二次型；标准型；矩阵；应用AbstractQuadratic form is one of the import contents in linear algebra, which originated from problem of put quadratic curve equation and quadric equation into standard form in analytic geometry. Firstly, the paper introduces basic theories. Secondly, the paper studies applications of quadratic form, including extremum problems of multi-variable functions, linear least square method, proving inequality and quadratic curve. Some problem can be converted into quadratic form to solve, which is convenient and fast.Key words: quadratic form; standard form; matrix; applications目录摘要 (II)Abstract ................................................................................................................................. I II 第1章二次型的基本理论 . (1)第1节二次型的概念及相关定义 (2)第2节替换后的二次型与原二次型的关系 (3)第3节写出二次型的方法 (3)第4节二次型的标准型 (4)第5节二次型在复数域下的规范型 (8)第6节二次型的一般定理 (10)第2章二次型的应用 (12)第1节多元函数极值 (12)第2节线性最小二乘法 (15)第3节证明不等式 (17)第4节二次曲线 (19)结论 (21)参考文献 (22)致谢 ...................................................................................................... 错误!未定义书签。
二次型和对称矩阵的正定性.
补充： 1.正定矩阵的主对角线上 的元素都大于0. 2.正定矩阵的和也正定 . 3.矩阵A正定 kA(k 0)也正定. 4.矩阵A, B都正定, 且可交换 AB正定. 5.矩阵A正定 Ak , AT , A也正定. A O 6.矩阵A, B都正定, 且可交换 O B 正定. 7.矩阵A正定 0 A aii .
Th5.7 二次型f ( x) xT Ax正定 p n. 推论1 实对称矩阵A为正定矩阵 A与En合同 可逆矩阵C , 使A C T C 可逆矩阵P, 使PT AP E. 推论2 实对称矩阵A正定 A 0. 注 : (1)逆命题未必真 .(2)正定矩阵都可逆 . Th5.8 实对称矩阵A正定 2 2 Th5.6 二次型f ( x1 , x2 ,, xn ) d1 x12 d 2 x2 d n xn 正定
d i 0, i 1,2,, n. d1 d 2 推论 对角矩阵 正定 d i 0, i 1,2, , n. dn
5.3 二次型和对称矩阵的正定性
定义5.4给定二次型f ( x) xT Ax, 若0 x R n , 有f ( x) 0, 则称f ( x)是正定二次型 , 并称A是正定矩阵 . Th5.5(1)可逆的线性变换不改变 二次型的正定性 . (2)与正定矩阵合同的矩阵 也是正定矩阵 .
2 2 例4判断二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 5x12 6 x2 4 x3 4 x1 x2 4 x1 x3
的有定性 .
5.3 over
2 2 例2试问: t为何值时, 二次型f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x2 5 x3 2tx1 x2
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实二次型与实对称矩阵的定性分析摘 要： 本文以矩阵理论在二次型理论中的应用为基础,重点讨论了正定矩阵、负定矩 阵、半正定矩阵、半负定矩阵的若干等价命题,并给出详细的证明,得到了一些有一定价值的 结论.关键词：实二次型； 实对称矩阵； 正定矩阵1 引言数域R 上一个n 元实二次齐次多项式:j ni nj i ij n x x a x x x f ∑∑===1121),,,(Λ可表示成矩阵形式:AX X x x x f T n =),,,(21Λ其中A 是由f 的系数构成的实对称矩阵.反之,若A 是数域R 上n 阶实对称矩阵,则可得R 上的一个n 元实二次型.所以,数域R 上n 元实二次型与数域R 上n 阶实对称矩阵一一对应.因此要研究实二次型,只要研究该实二次型的矩阵即可.事实上, 实二次型的等价分类问题与矩阵的合同分类问题本质上是同一个问题.设实二次型AX X x x x f T n =),,,(21Λ,A 是实对称矩阵,若对于任意的实非零列向量X 有0>AX X T ,则称A 和f 是正定的;若对于任意的实非零列向量X 有0<AX X T ,就称A 和f 是负定的;若对于任意的实非零列向量X 有0≥AX X T ,就称A 和f 是半正定的;若对于任意的实非零列向量X 有0≤AX X T ,就称A 和f 是半负定的;若存在两个实向量),,,(21n c c c Λ和),,,(21n d d d Λ,使0),,,(21>n c c c f Λ和0),,,(21<n d d d f Λ则称f 是不定实二次型,A 便是不定的.2 实二次型性质的简单分析2.1 线性替换实二次型j ni nj i ij n x x a x x x f ∑∑===1121),,,(Λ经过非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=nnn n n n n n n y c y c x y c y c x y c y c x ΛΛΛΛΛΛ112121211111化为标准形2222211n n y d y d y d +++Λ 实二次型的上述过程相当于在实二次型的矩阵表示式AX X x x x f T n =),,,(21Λ中,对于实对称矩阵A 通过寻找一个可逆矩阵C ,使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n T d d d AC C O21. 2.2 正定实二次型的有关结论（1） 正定实二次型经过实满秩线性替换后仍为正定实二次型.（2） 实二次型2222211n n y d y d y d +++Λ是正定的充分必要条件是.,,2,1,0n i d i Λ=>(3) n 元实二次型),,,(21n x x x f Λ正定的充分必要条件是),,,(21n x x x f Λ 的正惯性指数为n .2. 3 负定实二次型的有关结论(1) 负定实二次型经过实满秩线性代换后仍为负定实二次型.(2)实二次型2222211n n y d y d y d +++Λ是负定的充分必要条件是.,,2,1,0n i d i Λ=<(3) n 元实二次型),,,(21n x x x f Λ负定的充分必要条件是),,,(21n x x x f Λ的 负惯性指数为n .2. 4 半正定实二次型的有关结论),,,(21n x x x f Λ的正惯性指数p 等于实二次型的秩.2. 5 半负定实二次型的有关结论),,,(21n x x x f Λ的负惯性指数q 等于实二次型的秩.3 实对称矩阵的等价条件和证明3.1 正定矩阵设)(R M A n ∈是实对称矩阵,则以下命题等价 (1) A 是正定的;(2) A 的正惯性指数等于矩阵的阶数; (3) A 合同于单位矩阵;(4) 存在可逆矩阵C ,使C C A T =;(5) A 的所有顺序主子式全大于0,特别地A 的行列式大于0.证明)2()1(⇒: 由于A 是正定矩阵,所以二次型AX X T 正定.设n 元实二次型),,,(21n x x x f Λ经过非退化线性替换变成2222211n n y d y d y d +++Λ.),,,(21n x x x f Λ正定当且仅当2222211n n y d y d y d +++Λ正定,而我们知道实二次型2222211n n y d y d y d +++Λ是正定的当且仅当n i d i ,,2,1,0Λ=>.即正惯性指数为n ,且矩阵A 的秩为n .)3()2(⇒: 设n 元实二次型),,,(21n x x x f Λ所对应的系数矩阵为A ,A 的正惯性指数为n ,则),,,(21n x x x f Λ经过非退化线性替换变为规范形式22221n y y y +++Λ,所以A 与单位矩阵合同.)4()3(⇒: A 与单位矩阵合同,则存在可逆矩阵C ,使C C EC C A T T ==. )5()4(⇒: 因为C C A T =,其中C 是可逆矩阵,所以A 是正定矩阵,则A 所对应的实二次型j n i nj i ij n x x a x x x f ∑∑===1121),,,(Λ是正定二次型.对于每一个n k k ≤≤1,令j ki kj i ij k x x a x x x f ∑∑===1121),,,(Λ,我们来证明),,,(21k x x x f Λ是k 元的正定二次型对于任意一组不全为零的实数k c c c ,,,21Λ,有0)0,,0,,,,(),,,(211121>==∑∑==ΛΛΛk j ki kj i ij k c c c f c c a c c c f .因此),,(21k x x x f Λ是正定的,有上面的推论),,,(21k x x x f Λ的矩阵的行列式n k a a a a kkk k,,2,1,01111ΛΛM O M Λ=>.这就证明了矩阵A 的顺序主子式全大于零.)1()5(⇒: 对n 作数学归纳,设j ni nj i ij n x x a x x x f ∑∑===1121),,,(Λ,其中n j i a A ij ,,2,1,),(Λ==当1=n 时,21111)(x a x f =,由条件知011>a ,所以0)(1>x f ,),,,(21n x x x f Λ是正定二次型,矩阵对应)(11a A =是正定矩阵. 假设上述论断对于1-n 元实二次型已经成立.现在来证n 元的情形,令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----1,11,11,1111n n n n a aa a A ΛM OM Λ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n a a ,1,1M α于是矩阵A 可以分块写成⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n T a AA ,1αα,既然A 的顺序主子式全大于零,当然1A 的顺序主子式也全大于零.由归纳假设,1A 是正定矩阵.换句话说,有可逆的1-n 级矩阵G ,使11-=n T E G A G ,这里1-n E 代表1-n 级单位矩阵. 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001GC 于是 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-nn T T n nn T TT a GG E Ga A G AC C αααα1111100100 再令 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1012αT n G E C , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---10101112112ααααT n nn T T n T n T T G E a G G E GE C AC CC ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ααT T nnn GG a E 001于是令21C C C =就有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a AC C T 11O,再两边同时取行列式a A C =2条件0>A ,因此0>a ,显然⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a 111111111OOOO这就是说,A 矩阵与单位矩阵合同,因此A 是正定矩阵.3.2 负定矩阵根据定义: 设A 负定, 任给)(1,R M X n ∈,且0≠X .有0<AX X T 于是0)(>-X A X T ,同时A 也为实对称矩阵,因此得（－A ）是正定矩阵.设)(R M A n ∈是实对称矩阵,则以下命题等价 (1) A 是负定的;(2) A 的负惯性指数等于矩阵的阶数;（（－A ）的正惯性指数即为A 的负惯性指数）(3) A 合同于（－E ）;（由E T A T T =-)(,即得E AT T T -=） (4) 存在可逆矩阵C ,使C C A T =-;(5) A 的所有顺序主子式k A 满足:0)1(>-k k A ,特别地0>-A .（（－A ）的k 阶主子式即为k k A )1(-）证明)2()1(⇒: 由于A 是负定矩阵,所以二次型AX X T 负定.设n 元实二次型),,,(21n x x x f Λ经过非退化线性替换变成.2222211n n y d y d y d +++Λ ),,,(21n x x x f Λ负定当且仅当.2222211n n y d y d y d +++Λ负定,而我们知道二次型.2222211n n y d y d y d +++Λ是负定的当且仅当n i d i ,,2,1,0Λ=<.即负惯性指数为n ,且矩阵A 的秩为n .)3()2(⇒: 设n 元实二次型),,,(21n x x x f Λ所对应的系数矩阵为A ,A 的负惯性指数为n ,则),,,(21n x x x f Λ经过非退化线性替换变为规范形式22221n y y y ----Λ,所以A 与负单位矩阵合同.)4()3(⇒: A 与负单位矩阵合同,则存在可逆矩阵C ,使C C C E C A T T -=-=)(.)5()4(⇒: 因为C C A T =-,其中C 是可逆矩阵,因此A -是正定矩阵,故A-的一切顺序主子式全大于零,从而0212222111211>---------kkk k kka a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ,即0)1(>-k k A 且有0>-A .)1()5(⇒: 对n 作数学归纳,设j ni nj i ij n x x a x x x f ∑∑===1121),,,(Λ,其中n j i a A ij ,,2,1,),(Λ==.当1=n 时,21111)(x a x f =,由条件知011<a ,所以当01≠x 时,0)(1<x f ,因此)(1x f 是负定二次型,对应矩阵)(11a A = 是负定矩阵.假设上述论断对于1-n 元二次型已经成立.现在来证n 元的情形,令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----1,11,11,1111n n n n a aa a A ΛM OM Λ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n a a ,1,1M α于是矩阵A 可以分块写成⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n T a AA ,1αα,既然A 的顺序主子式A n)1(-全大于零,当然1A 的顺序主子式k k A )1(-也全大于零.由归纳假设,1A 是负定矩阵.换句话说,有可逆的1-n 级矩阵G ,使11--=n T E G A G ,这里1-n E 代表1-n 级单位矩阵.令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001GC 于是 再令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1012αT n G E C , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---10101112112ααααT n nn T T n T n T TG E a GG E GE C AC CC ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-ααT T nnn GG a E 001 令21C C C =就有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=a AC C T 11O其中ααT T nn GG a a +=再两边同时取行列式a A Cn 12)1(--=由条件0)1(>-n n A ,因此0)1(12>--a n ,即0>-a ,所以0<a 且有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a a a 111111111O O O O 这就是说,矩阵A 与负单位矩阵合同,因此A 是负定矩阵,或者说),,,(21n x x x f Λ是负定的.3.3 半正定矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-nn T T n nn T T T a G G E Ga A G AC C αααα1111100100设)(R M A n ∈是实对称矩阵, (1) A 是半正定的; (2) 正惯性指数p 等于秩r ;(3) 存在可逆矩阵),(R n GL T ∈使得n r E AT T rT ≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,000; (4) 存在实矩阵)(R M S n ∈,使得S S A T =; (5) A 的所有主子式都大于或等于0.证明)2()1(⇒:实对称矩阵A 一定合同于对角矩阵)0(),0,,0,1,,1,1,,1(n r p diag B ≤≤≤--=ΛΛΛ（其中r 为A 的秩,p 为A 的正惯 性指数）即B AT T T =,),(R n GL T ∈,若r p <,令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x X M 1,其中1,1,01=+<=+p i x p i x 则一定有0<BX X T ,也就是:0)()(<TX A TX T ,且0≠TX .这与A 为半正定矩阵矛盾,于是得p r =.即)2()1(⇒得证.)3()2(⇒:由上面的证明得,p r =,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==000)0,,0,1,,1(rTE diag AT T ΛΛ, n r ≤且),(R n GL T ∈,即)3()2(⇒得证.)4()3(⇒:由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rT E AT T ,)(000000)()(000)(1111----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T E E T T E T A rrT rT 只要令)(0001-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T E S r,即得S S A T=,且易见S 为n 阶实矩阵. )1()4(⇒:若存在)(R M S n ∈,使得S S A T =,则任取)(1,R M X n ∈,有0)()(22221≥+++==n T T y y y SX SX AX X Λ,设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n y y SX M 1,由X 的任意性可知,矩阵A 是半正定矩阵.)5()1(⇒:令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==kk k k k k i ii i i i i i i i i ii i i i i i i k k k a a a a a a a a a i i i i A A ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ212221212111),,;,,(11 取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x X M 1,令k j i i j x ,,,01Λ≠=.由矩阵A 的半正定性知:0≥AX X T ,也即0≥k k Tk X A X i ,记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k i i k x x X M 1且k X 是任意的,于是得i k A 是半正定的,则据结论3有:⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000rk T E T A T i ,k r ≤.两边取行列式得:02≥=i i k k T A T T A T ,因此0≥i k A ,而i k A 正是矩阵A 的任意k 阶主子式.至此)5()1(⇒得证.)1()5(⇒:考察矩阵)(A E +λ的k 阶顺序主子式)(k k A E +λ,任给0>λ.而k k k k k a a A E +++=+-Λ11λλλ,m a 为A 的全部m 阶主子式和.由结论（5）0≥m a ,又0>λ,所以0>+kk A E λ,且k 是任意的,于是)(A E +λ的所有顺序主子式大于0,从而)(A E +λ是正定的.再者,λ为任意大于0的数,即得:任给一实非 零列向量X ,必有0≥AX X T 成立.（否则,若存在实非零列向量0X ,使得000<=a AX X T,那么只要取0λ使之满足0000X X a T<<λ,就有0)(000<+X A E X Tλ 成立,与A E +λ是正定的矛盾）由此可知,A 是半正定矩阵.3.4 半负定矩阵由定义,任给)(1,R M X n ∈,有0≤AX X T从而0)(≥-X A X T ,即（A -）为半正定矩阵.比较可得如下等价判别条件: 设A 是实对称矩阵,(1)A 是半负定的;(2)A 的负惯性指数p r -等于秩r ;（A -）的正惯性指数即为A 的负惯性指数（p 是A 的正惯性指数）;(3)存在可逆矩阵),(R n GL T ∈使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-000)(rT E T A T ,n r ≤.也即为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000rT E AT T ,n r ≤; (4)存在实矩阵)(R M S n ∈,使得S S A T =-; (5)A -的所有主子式都大于或等于0.证明)2()1(⇒:由于实对称矩阵A 一定合同于对角矩阵)0,,0,1,,1,1,,1(ΛΛΛ--=diag B ,)0(n r p ≤≤≤（其中r 为A 的秩,p n -为A 的负惯性指数.）即B AT T T =,),(R n GL T ∈,若r p r <-,则1≥p ,令11=x ,0=i x ,n i ≤≤2.则一定有0>BX X T ,也就是:0)()(>TX A TX T ,且0≠TX 这与A 为半负定矩阵矛盾,于是得p r r -=.即)2()1(⇒得证.)3()2(⇒: 由上面的证明得p r r -=,即0=p 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--=000)0,,0,1,,1(rT E diag AT T ΛΛ,n r ≤,且),(R n GL T ∈,即)3()2(⇒证.)4()3(⇒:由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000rT E AT T ,得 )(000000)()(000)(1111----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-T E E T T E T A rrT rT . 只要令)(0001-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T E S r,即得S S A T=-,且易见S 为n 阶实矩阵. )1()4(⇒:若存在)(R M S n ∈,使得S S A T =-,则任取)(1,R M X n ∈,有0)()()(22221≤+++-=-=n T T y y y SX SX AX X Λ,设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n y y SX M 1,由X 的任意性可知,矩阵A 是半负定矩阵.)5()1(⇒:设A 半负定,则A -应是半正定矩阵,由半正定矩阵的性质知A -的所有主子式都大于或等于零.)1()5(⇒:考察矩阵)(A E -λ的k 阶顺序主子式)(k k A E -λ,对于0>λ,有k k k k k a a A E +++=--Λ11λλλ,m a 为A 的全部m 阶主子式的和.由条件（5）知0≥m a ,又0>λ,所以0>-kk A E λ,且k 是任意的,于是)(A E -λ的所有顺序主子式大于0,从而)(A E -λ是正定的.再者,λ为任意大于0的数,即得任给一实非零列向量X ,必有0)(≥-X A X T 成立.（否则,若存在实非零列向量0X ,使得000<=a AX X T ,那么只要取0λ使之满足0000X X a T<<λ,就有0)(000<-X A E X Tλ成立,与)(A E -λ是正定矛盾）由此可知,A -是半正定矩阵,故A 是半负定矩阵.4 应用例1]2[实二次型32312221321),,(x x x x x x x x x f +++=是_____二次型. 解方法1:任找两点(1,0,0)和(1,0,-2)代入),,(321x x x f ,得0)0,0,1(>f ,0)2,0,1(<-f ,所以f 是不定二次型.方法2:设二次型的系数矩阵是A ,则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0212121102101A ,由033=a ,而A 中有二阶主子式0021211<,可得f 是不定二次型. 例2]2[k 为何值时才能使二次型323121232221310x x x x x kx x x x +++++为正定的.解二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12352312521k kA 由于A 有一个二阶主子式045491123231<-=-=故知无论k 为何值,二次型都不能是正定的. 例3]7[判断二次型jnnj i ini i xx x ∑∑≤<≤=+112是否为正定二次型.解该二次型的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1212121211212121211212121211ΛΛΛΛΛΛΛΛΛA ,A 的k 阶顺序主子式 0)211(211212121*********>-+==-k A k k ΛΛΛΛΛΛΛ,.,,2,1n k Λ= 该二次型是正定二次型.例4]2[证明设A 是实对称矩阵,证明（1）当正实数t 充分大时,A tE +是正定矩阵;（2）当正实数t 充分小时,tA E +是正定矩阵;证明(1)首先,由于A 是实对称矩阵,故对任意的实数t ,A tE +显然也是实对称矩阵.其次,令)(1t f ,)(2t f ,)(,t f n Λ为A tE +的顺序主子式,它们都是首项系数为1的实系数多项式,于是由分析学知,对充分大的正实数t ,可使n i t f i ,,2,1,0)(Λ=>.因此对充分大的正实数t ,可使A tE +为正定矩阵.(2)由于对任何正实数t ,都有)1(A E tt tA E +=+.而当t 充分小时,t 1为充分大的正数,因此由(1)知A E t+1为正定矩阵,从而tA E +为正定矩阵. 例5]1[证明若实对称矩阵A 的特征根均在闭区间[b a ,]上,则当b t >时,tE A -是负定矩阵;则当a t <时,tE A -是正定矩阵.证明设n 阶实对称矩阵A 的全部特征值为n λλ,,1Λ,),,2,1(,n i b a i Λ=≤≤λ设tE A -的全部特征值为n μμμ,,,21Λ,则t i i -=λμ,),,2,1(n i Λ=由),,2,1(,n i b a i Λ=≤≤λ知,),,2,1(,n i t b t a i Λ=-≤≤-μ当b t >时,则有0<i μ,),,2,1(n i Λ=.所以tE A -为负定的.当a t <时,则有0>i μ,),,2,1(n i Λ=.所以tE A -为正定矩阵.参考文献：[1]杨子胥. 高等代数习题集[M]. 济南：山东科技出版社,2003,390~507.[2]钱吉林. 高等代数解题精粹[M]. 北京：中央民族出版社,2002,.224,227,255.[3]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编. 高等代数[M]. 高等教育出版社,1987,.232~236.[4]秦少青. 二次型与实对称矩阵的正定性[J]. 晋东南师范专科学校学报,2002（5）：7~59.[5]杜琦. 有关实对称矩阵的若干问题[J].华东师范大学学报,2004,56~58.[6]李伟. 二次型判别的一个方法[J]. 合肥学院学报(自然科学版),2006,12.16卷.[7]李桂荣. 高等代数习题的方法研究[M]. 香港亚太经济出版社.[8]徐丽媛,孟道冀. 关于实对称矩阵的惯性定理[J]. 2007,10.21卷10期.[9]李永乐,李正元. 数学复习全书一（理工类）[M]. 国家行政学院出版社,2006,427.[10]RogerA.Horn.Topics inMatrix Analysis[M]. 北京民邮电大学出版社,2005.Analysis for Properties ofReal Quadratic Forms and RealSymmetric MatrixesAbstract:On the basis of applications of matrix theory to quadratic form theory, this paper mainly discusses and proves in detail somepropositions equivalenteach other on positive definite matrixes, negative definite matrixes,semi-positive matrixes and semi-negative matrixes, and obtain some valuable results.Key words:Real quadratic form;Real symmetric matrix;Positive definite matrix。