高考数学一轮复习第9章解析几何专题研究1曲线与方程练习理
近年高考数学一轮复习第九章解析几何学案理(2021年整理)
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第九章解析几何第一节直线与方程本节主要包括3个知识点:1.直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系；2.直线的方程；3。
直线的交点、距离与对称问题。
突破点（一）直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系错误!1．直线的倾斜角（1）定义：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是［0，π)．2．直线的斜率公式（1）定义式:若直线l的倾斜角α≠错误!，则斜率k＝tan_α。
(2)两点式:P1(x1，y1)，P2(x2，y2）在直线l上，且x1≠x2,则l的斜率k＝y2－y1x2－x1.3．两条直线平行与垂直的判定两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2。
当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2错误!1．判断题(1）根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ）（2）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．（）（3）直线的倾斜角越大，其斜率就越大．（)(4）当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( ）（5)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.（)答案：（1）√(2）×(3）×(4）×(5)×2．填空题(1）若过两点A（－m，6），B（1,3m）的直线的斜率为12，则m＝________.答案：－2（2）如图中直线l 1，l2，l3的斜率分别为k1,k2，k3，则k1，k2,k3的大小关系为________．解析:设l1，l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9 (2)
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.11 圆锥曲线中定点与定值问题题型一 定点问题例1 已知定圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆M 过点B (3，0)，且和圆A 相切．(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的两点P ，Q ，点N (4,0)．若P ，Q ，N 三点不共线，且∠ONP ＝∠ONQ .证明：动直线PQ 经过定点．(1)解 圆A 的圆心为A (－3，0)，半径r 1＝4.设动圆M 的半径为r 2，依题意有r 2＝|MB |.由|AB |＝23，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ，故|MA |＝r 1－r 2，即|MA |＋|MB |＝4>2 3.所以动点M 的轨迹E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋4y 2＝4， 消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－b 2＋1)>0，设P (x 1，kx 1＋b )，Q (x 2，kx 2＋b )，则x 1＋x 2＝－8kb 1＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－41＋4k 2， 于是k PN ＋k QN ＝kx 1＋b x 1－4＋kx 2＋b x 2－4＝2kx 1x 2－4k －bx 1＋x 2－8b x 1－4x 2－4， 由∠ONP ＝∠ONQ 知k PN ＋k QN ＝0.即2kx 1x 2－(4k －b )(x 1＋x 2)－8b ＝2k ·4b 2－41＋4k 2－(4k －b )－8kb 1＋4k 2－8b ＝8kb 2－8k 1＋4k 2＋32k 2b －8kb 21＋4k 2－8b ＝0， 得b ＝－k ，Δ＝16(3k 2＋1)>0.故动直线l 的方程为y ＝kx －k ，过定点(1,0)．教师备选在平面直角坐标系中，已知动点M (x ，y )(y ≥0)到定点F (0,1)的距离比到x 轴的距离大1.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点N (4,4)作斜率为k 1，k 2的直线分别交曲线C 于不同于N 的A ，B 两点，且1k 1＋1k 2＝1.证明：直线AB 恒过定点．(1)解 由题意可知x 2＋y －12＝y ＋1，化简可得曲线C ：x 2＝4y .(2)证明 由题意可知，N (4,4)是曲线C ：x 2＝4y 上的点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则l NA ：y ＝k 1(x －4)＋4，l NB ：y ＝k 2(x －4)＋4，联立直线NA 的方程与抛物线C 的方程，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x －4＋4，x 2＝4y⇒x 2－4k 1x ＋16(k 1－1)＝0，解得x 1＝4(k 1－1)，①同理可得x 2＝4(k 2－1)，②而l AB ：y －x 214＝x 1＋x 24(x －x 1)，③又1k 1＋1k 2＝1，④ 由①②③④整理可得l AB ：y ＝(k 1＋k 2－2)x －4，故直线AB 恒过定点(0，－4)．思维升华 求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．跟踪训练1 (2022·邯郸质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，且过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线x ＝12上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点N .(1)解 椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12，即3a 2＋14b2＝1， 又2c ＝23，得a 2＝b 2＋3，所以a 2＝4，b 2＝1，即椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，设AB 的中点M 为(x 0，y 0)，得x 0＝－4km 1＋4k 2＝12， 即1＋4k 2＝－8km ，所以y 0＝kx 0＋m ＝12k －1＋4k 28k ＝－18k. 所以AB 的中垂线方程为y ＋18k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －12， 即y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －38， 故AB 的中垂线恒过点N ⎝⎛⎭⎫38，0.题型二 定值问题例2 (2022·江西赣抚吉名校联考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)上的动点M 到直线x ＝－1的距离比到抛物线E 的焦点F 的距离大12. (1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点Q 是直线x ＝－1(y ≠0)上的任意一点，过点P (1,0)的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，记直线AQ ，BQ ，PQ 的斜率分别为k AQ ，k BQ ，k PQ ，证明：k AQ ＋k BQ k PQ为定值． (1)解 由题意可知抛物线E 的准线方程为x ＝－12， 所以－p 2＝－12，即p ＝1， 故抛物线E 的标准方程为y 2＝2x .(2)证明 设Q (－1，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 的斜率显然不为0，故可设直线l 的方程为x ＝ty ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝2x ，消去x ，得y 2－2ty －2＝0.Δ＝4t 2＋8>0，所以y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2，k PQ ＝－y 02. 又k AQ ＋k BQ ＝y 1－y 0x 1＋1＋y 2－y 0x 2＋1 ＝y 1－y 0x 2＋1＋y 2－y 0x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝y 1－y 0ty 2＋2＋y 2－y 0ty 1＋2ty 1＋2ty 2＋2＝2ty 1y 2＋2－ty 0y 1＋y 2－4y 0t 2y 1y 2＋2t y 1＋y 2＋4 ＝2t ·－2＋2－ty 0·2t －4y 0t 2·－2＋2t ·2t ＋4＝－y 0t 2＋2t 2＋2＝－y 0. 所以k AQ ＋k BQ k PQ ＝－y 0－y 02＝2(定值)． 教师备选(2022·邯郸模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若|F 1F 2|＝2，△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)MA →＝λF 1A —→，MB →＝μF 1B —→，试分析λ＋μ是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由．解 (1)因为△ABF 2的周长为8，所以4a ＝8，解得a ＝2，由|F 1F 2|＝2，得2a 2－b 2＝24－b 2＝2，所以b 2＝3，因此椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1，x 24＋y 23＝1， 整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.设M (0，k )，又F 1(－1,0)，所以MA →＝(x 1，y 1－k )，F 1A —→＝(x 1＋1，y 1)，则λ＝x 1x 1＋1. 同理可得MB →＝(x 2，y 2－k )，F 1B —→＝(x 2＋1，y 2)，则μ＝x 2x 2＋1. 所以λ＋μ＝x 1x 1＋1＋x 2x 2＋1＝x 1x 2＋1＋x 2x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝2×4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 24k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝8k 2－24－8k 24k 2－12－8k 2＋3＋4k 2＝－24－9＝83， 所以λ＋μ为定值83. 思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，AB 为椭圆的一条弦，直线y ＝kx (k >0)经过弦AB 的中点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线AB的斜率为k 1，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)求证：k 1k 为定值．(1)解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 为椭圆C 上的点， 所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1， 两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＝－y 1＋y 2y 1－y 23， 所以k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 1＋x 24y 1＋y 2＝－3x 04y 0. 又k ＝y 0x 0， 故k 1k ＝－34，为定值． 课时精练1．(2022·运城模拟)已知P (1,2)在抛物线C ：y 2＝2px 上．(1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线P A 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．(1)解 将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝2px ，得4＝2p ，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 设AB ：x ＝my ＋t ，将AB 的方程与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4t ＝0，Δ>0⇒16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，k P A ＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2， 同理k PB ＝4y 2＋2，由题意知4y 1＋2＋4y 2＋2＝2， 即4(y 1＋y 2＋4)＝2(y 1y 2＋2y 1＋2y 2＋4)，解得y 1y 2＝4，故－4t ＝4，即t ＝－1，故直线AB ：x ＝my －1恒过定点(－1,0)．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为23，且其左顶点到右焦点的距离为5. (1)求椭圆的方程；(2)设点M ，N 在椭圆上，以线段MN 为直径的圆过原点O ，试问是否存在定点P ，使得P 到直线MN 的距离为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设可知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝23，a ＋c ＝5，解得a ＝3，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆的方程为x 29＋y 25＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①若直线MN 与x 轴垂直，由对称性可知|x 1|＝|y 1|，将点M (x 1，y 1)代入椭圆方程，解得|x 1|＝37014， 原点到该直线的距离d ＝37014； ②若直线MN 不与x 轴垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 25＝1，消去y 得(9k 2＋5)x 2＋18kmx ＋9m 2－45＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1x 2＝9m 2－459k 2＋5，x 1＋x 2＝－18km 9k 2＋5，由题意知，OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0， 得(k 2＋1)9m 2－459k 2＋5＋km ⎝⎛⎭⎫－18km 9k 2＋5＋m 2＝0， 整理得45k 2＋45＝14m 2，则原点到该直线的距离d ＝|m |k 2＋1＝4514＝37014， 故存在定点P (0,0)，使得P 到直线MN 的距离为定值．3．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，右焦点F (c ,0)到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)过F 作斜率为k 的直线l 交双曲线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于D ，求证：|AB ||FD |为定值．(1)解 设双曲线方程为3x 2－y 2＝λ(λ>0)，由题意知c ＝2，所以λ3＋λ＝4⇒λ＝3， 所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)代入x 2－y 23＝1， 整理得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，Δ＝36(k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－4k 23－k 2，x 1x 2＝－4k 2－33－k 2， 由弦长公式得|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝6k 2＋1|3－k 2|， 设AB 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－2k 23－k 2， 代入l 得y 0＝－6k 3－k 2， AB 的垂直平分线方程为y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋2k 23－k 2－6k 3－k 2，令y ＝0得x D ＝－8k 23－k 2， 即|FD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8k 23－k 2－2＝61＋k 2|3－k 2|， 所以|AB ||FD |＝1为定值． 当k ＝0时，|AB |＝2，|FD |＝2，|AB ||FD |＝1， 综上所述，|AB ||FD |为定值．4．(2022·河南九师联盟模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 相交于E ，D 两点，试问在x 轴上是否存在一个点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)因为焦距为2，长轴长为4，即2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知F 1(－1,0)，设点E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m ，0)，因为直线l 不与x 轴重合，所以设直线l 的方程为x ＝ny －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny －1，x 24＋y 23＝1， 得(3n 2＋4)y 2－6ny －9＝0，所以Δ＝(－6n )2＋36(3n 2＋4)>0，所以y 1＋y 2＝6n 3n 2＋4，y 1y 2＝－93n 2＋4， 又x 1x 2＝(ny 1－1)(ny 2－1)＝n 2y 1y 2－n (y 1＋y 2)＋1＝－9n 23n 2＋4－6n 23n 2＋4＋1 ＝－12n 2－43n 2＋4， x 1＋x 2＝n (y 1＋y 2)－2＝6n 23n 2＋4－2 ＝－83n 2＋4. 直线ME ，MD 的斜率分别为k ME ＝y 1x 1－m，k MD ＝y 2x 2－m ， 所以k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m＝y 1y 2x 1－m x 2－m＝y 1y 2x 1x 2－m x 1＋x 2＋m 2＝－93n 2＋4－12n 2－43n 2＋4－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83n 2＋4＋m 2 ＝－9－12n 2＋4＋8m ＋3m 2n 2＋4m 2＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12， 要使直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值，3m 2－12＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，存在点M (2,0)，使得k ME ·k MD ＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12＝－936＝－14， 当m ＝－2时，存在点M (－2,0)，使得k ME ·k MD ＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12＝－94， 综上，在x 轴上存在点M ，使得ME ，MD 的斜率之积恒为定值，当点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14， 当点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.。
2019高考数学一轮复习 第9章 解析几何 专题研究1 曲线与方程课件 理
专题讲解
设圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆的任意弦，设 OQ 为过 O 的一条弦，P(x， y)为其中点，则 CP⊥OP，OC 中点为 M(12，0)，
则|MP|＝12|OC|＝12，得方程(x－12)2＋y2＝14，考虑轨迹的范围 知 0<x≤1.
(
5，0)，离心率为
5 3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条 切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
【思路】 (1)由焦点坐标和离心率可求出椭圆的长半轴 长、半焦距长和短半轴长，可得椭圆的标准方程；(2)讨论两条 切线的斜率是否存在，斜率存在时，设出切线方程，利用直线 与椭圆相切得判别式Δ＝0，建立关于k的一元二次方程，利用两 根之积为－1，求出点P的轨迹方程．
(4)参数法：先取适当的参数，分别用参数表示动点坐标 x、 y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程．
2．注意事项 (1)轨迹与轨迹方程的区别：求轨迹方程只求出方程即可， 求轨迹时，首先求出轨迹方程，然后说明轨迹的形状、位置、 大小．若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的全面 性． (2)求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对 应关系．检验可以从以下两个方面进行：一是方程的化简是否 是同解变形，二是是否符合题目的实际意义．
(2)已知 A，B，C 是直线 l 上的三点，且|AB|＝|BC|＝6，圆 Q 切直线 l 于点 A，又过 B，C 作圆 Q 异于 l 的两切线，设这两切 线交于点 P，求点 P 的轨迹方程．
【解析】 (定义法)如图，由切线性质，得
|PB|＋|PC|＝|BA|＋|CA|＝18>|BC|＝6.可知P点轨迹是以B，C 为焦点的椭圆(但除去与BC的交点)．以BC为x轴，BC中点为原 点建立坐标系得P点轨迹方程为8x12 ＋7y22 ＝1(y≠0)．
高考数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线课件理
2.等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y2 ＝ 16x的准
线交于A，B两点，|AB|＝4 3，则C的实轴长为
A. 2 B.2 2 C.4 D.8
x2 y2 设 C：a2－a2＝1.
答案
解析
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，
x2 y2 联立a2－a2＝1 和 x＝－4， 得 A(－4， 16－a2)， B(－4， － 16－a2)，
∴|AB|＝2 16－a2＝4 3，
∴a＝2，∴2a＝4.∴C的实轴长为4.
3.(2015· 安徽)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是
答案
2 y A.x2－ 4 ＝1
解析
x2 2 B. 4 －y ＝1
y2 2 C. 4 －x ＝1
2 x D.y2－ 4 ＝1
由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意； C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±1 x，只有C符合， 2 故选C.
c>0.
(1)当 时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当 2a<|F1F2| 时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当 2a＝|F1F2| 时，P点不存在. 2a>|F1F2|
2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程
x2 y2 2－ 2＝1 (a>0，b>0) a b
x2 y2 (a>0，b>0) 2－ 2＝1 a b
图形 x≥a或x≤－a，y∈R 坐标轴 对称轴：
性
质
范围 对称性
x∈R，y≤－a或y≥a
原点 对称中心：
性
质
顶点 渐近线 离心率
A1(－a,0)，A2(a,0) b y＝± ax (1，＋ e＝， e∈ ∞)
(山东专用)高考数学一轮复习 第九章解析几何9.9曲线与方程教学案 理 新人教A版
9.9 曲线与方程考纲要求了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．1．一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的____；(2)以这个方程的解为坐标的点都是____________________________________________．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是满足某种条件的动点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．2．求曲线方程的基本步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．1．方程y＝9－x2表示的曲线是( )．A．抛物线的一部分 B．双曲线的一部分C．圆 D．半圆2．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足PM·PN＝0，则P点的轨迹是( )．A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线3.方程(2x＋3y－1)(x－3－1)＝0表示的曲线是( )．A．两条直线B．两条射线C．两条线段D．一条直线和一条射线4．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足AP·BP＝x2－6，则P点的轨迹方程是________．5．过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线PN，N为垂足，则线段PN中点M的轨迹方程为__________．一、直接法求轨迹方程【例1－1】已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O：x2＋y2＝1，动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．【例1－2】已知点M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足MN·MP＝6|PN|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线l：x＋2y－12＝0的距离的最小值．方法提炼建立适当的坐标系，设出曲线上任意一点的坐标，找出动点满足的等量关系，化简即得所求曲线方程．请做演练巩固提升1二、用定义法求轨迹方程【例2】已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，点B 是圆F ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程．方法提炼若由题意能判断出动点的运动轨迹能满足某种曲线的定义，则只需设出标准方程并确定出方程中的基本量即可，这也是求轨迹方程的首选方法．请做演练巩固提升2三、代入法求点的轨迹方程【例3】已知△ABC 的两个顶点为A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 重心的轨迹方程．方法提炼若A 点的运动与B 点的运动相关，且B 点的运动有规律，则找出两点坐标间的关系，用A 点坐标表示出B 点坐标，代入B 点所满足的方程，整理即得A 点的轨迹方程．请做演练巩固提升4曲线轨迹方程的求解【典例】(14分)(2012湖北高考)设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．规范解答：(1)如图1，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |.①因为A 点在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1.② 将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m ＞0，且m ≠1)．(4分)因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)；(6分) 当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)．(8分)(2)方法一：如图2,3，∀k ＞0，设P (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)，直线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 (m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 21－m 2＝0.依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得－x 1＋x 2＝－4k 2x 1m 2＋4k 2，即x 2＝m 2x 1m 2＋4k 2.(10分)因为点H 在直线QN 上，所以y 2－kx 1＝2kx 2＝2km 2x 1m 2＋4k 2.于是PQ ＝(－2x 1，－2kx 1)，PH ＝(x 2－x 1，y 2－kx 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2x 1m 2＋4k 2，2km 2x 1m 2＋4k 2.而PQ ⊥PH 等价于PQ ·PH ＝4(2－m 2)k 2x 21m 2＋4k 2＝0，(13分)即2－m 2＝0.又m ＞0，得m ＝2，故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .(14分)图1图2(0＜m ＜1)图3(m ＞1)方法二：如图2,3，∀x 1∈(0,1)，设P (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－y 1)，N (0，y 1)．因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2x 21＋y 21＝m 2，m 2x 22＋y 22＝m 2，两式相减可得 m 2(x 21－x 22)＋(y 21－y 22)＝0.③(10分)依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合． 故(x 1－x 2)(x 1＋x 2)≠0，于是由③式可得 (y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－m 2.④(12分)又Q ，N ，H 三点共线，所以k QN ＝k QH ，即2y 1x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2.于是由④式可得k PQ ·k PH ＝y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝12·(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－m 22.而PQ ⊥PH 等价于k PQ ·k PH ＝－1，即－m 22＝－1.又m ＞0，得m ＝ 2.故存在m ＝2， 使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .(14分)答题指导：解决轨迹的问题时，要注意以下几点：(1)当动点(或动直线)的位置不确定时，要注意对它们所有可能的情形进行必要的分类讨论，以防以偏概全或遗漏一种或几种情况；(2)解决直线与曲线的交点问题，不仅仅要考虑方程解的个数，还要注意数形结合．1．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP·OA＝4，则点P的轨迹方程是________．2．设F1，F2是双曲线x2－y2＝4的两焦点，Q是双曲线上任意一点，从F1引∠F1QF2平分线的垂线，垂足为P，则P点的轨迹方程是__________．3．如图，已知点A在x轴上，点B在y轴上，且|AB|＝2，点M分有向线段AB的比为λ，求点M的轨迹方程，并说明曲线的类型．4．已知点M是抛物线y2＝x上一动点，以OM为一边(O为原点)作正方形MNPO，求动点P的轨迹方程．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)解 (2)曲线上的点 基础自测1．D 解析：由y ＝9－x 2得x 2＋y 2＝9，因为x 2＋y 2＝9表示一个圆，所以y ＝9－x 2表示一个半圆．2．A 解析：以MN 的中点为原点建立直角坐标系，并设M (－3,0)，N (3,0)，P (x ，y )， 则PM ·PN ＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝(x 2－9)＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝9，故P 点的轨迹是圆．3．D 解析：由(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0可得2x ＋3y －1＝0或x －3＝1，即2x ＋3y －1＝0或x ＝4(x ≥3)．4．y 2＝x 解析：AP ＝(x ＋2，y )，BP ＝(x －3，y )，AP ·BP ＝(x ＋2)(x －3)＋y 2＝x 2－6，整理得y 2＝x .5．x 24＋y 2＝1 解析：设点M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝y 02.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 02＋y 02＝4.∴x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.考点探究突破 【例1－1】解：如图所示，设直线MN 切圆于N 点，则动点M 组成的集合是：P ＝{M ||MN |＝λ|MQ |}(λ＞0)．因为圆的半径|ON |＝1，所以|MN |2＝|MO |2－|ON |2＝|MO |2－1. 设点M 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2－1＝λ(x －2)2＋y 2，整理，得(λ2－1)(x 2＋y 2)－4λ2x ＋(1＋4λ2)＝0，当λ＝1时，方程化为x ＝54，它表示一条直线；当λ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2λ2λ2－12＋y 2＝1＋3λ2(λ2－1)2，它表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ2λ2－1，0，半径为1＋3λ2|λ2－1|的圆． 【例1－2】解：(1)设动点P (x ，y )，则MP ＝(x －4，y )，MN ＝(－3,0)，PN ＝(1－x ，－y )，由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得：3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1.∴点P 的轨迹C 的方程是：x 24＋y 23＝1.(2)设椭圆C 的与直线l 平行的切线l ′：x ＋2y ＋D ＝0，将其代入椭圆方程消去x ，化简得16y 2＋12Dy ＋3(D 2－4)＝0.Δ＝144D 2－192(D 2－4)＝0， 解得D ＝±4.l ′和l 的距离最小值为|12－4|5＝855.∴点Q 到直线l 的距离的最小值为855.【例2】解：如图，连接PA ，依题意可知|PA |＝|PB |.∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝2＞1.∴P 点轨迹为以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点，长半轴长为1的椭圆． 其方程可设为x 21＋y 2b2＝1.又∵c ＝12，a ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝34.故P 点的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.【例3】解：设△ABC 的重心G (x ，y )，C (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－23，y ＝y 0－23，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋2，y 0＝3y ＋2.∵点C 在y ＝3x 2－1上，∴y 0＝3x 02－1. ∴3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1，整理得y ＝9x 2＋12x ＋3.∴△ABC 重心的轨迹方程为y ＝9x 2＋12x ＋3. 演练巩固提升1．x ＋2y －4＝0 解析：OP ＝(x ，y )，OA ＝(1,2)，则OP ·OA ＝x ＋2y ＝4.∴点P 的轨迹方程为x ＋2y －4＝0.2．x 2＋y 2＝4 解析：如图，延长F 1P 交QF 2于F ′1点，连接PO .则在△F 1F 2F ′1中，|PO |＝12|F 2F ′1|＝12(|QF ′1|－|QF 2|)＝12(|QF 1|－|QF 2|)＝2， 即|PO |＝2，∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.3．解：设M 点坐标为(x ，y )，A ，B 两点的坐标分别为(a,0)，(0，b )，则a 2＋b 2＝4，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 1＋λ，y ＝λb1＋λ，当λ≠0时，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝(1＋λ)x ，b ＝1＋λλy ，∴(1＋λ)2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋λλ2y 2＝4.(1)若λ＝1，则x 2＋y 2＝1表示以原点为圆心半径为1的圆； (2)若λ＞1或λ＜－1，则x 24(1＋λ)2＋y 24λ2(1＋λ)2＝1表示中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆；(3)若0＜λ＜1或－1＜λ＜0，则x 24(1＋λ)2＋y 24λ2(1＋λ)2＝1表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆；(4)若λ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝0.又－2≤a ≤2，即y ＝0，－2≤x ≤2，则M 点的轨迹表示线段． 4．解：设动点P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵在正方形MNPO 中，|OM |＝|OP |，OP ⊥OM ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ x 02＋y 02＝x 2＋y 2，y x ·y 0x 0＝－1.①②又点M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝x 上， ∴得y 02＝x 0.③由②得y 0＝－x 0x y ，代入③得x 0＝x 02x 2y2，∴x 0＝y 2x2.④将③代入①，得x 02＋x 0＝x 2＋y 2，⑤将④代入⑤，得y 4x 4＋y 2x 2＝x 2＋y 2，化简，得y 2＝x 4，∴x 2＝±y (y ≠0)为所求轨迹方程．。
[精品]2019高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.7曲线与方程练习理
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§9.7曲线与方程考纲解读分析解读 1.了解解析几何的基本思想和研究几何问题的方法——坐标法.2.理解轨迹的概念.能够根据所给条件选择适当的直角坐标系,运用求轨迹方程的常用方法(如:直接法、代入法、定义法、待定系数法、参数法、交轨法等)求轨迹方程.3.本节在高考中以求曲线的方程和研究曲线的性质为主,分值约为12分,属中高档题.五年高考考点曲线与方程1.(2017课标全国Ⅱ,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以·=0,即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.(2016课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析由题设知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=====-b=k2.所以AR∥FQ.(5分)(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=.由题设可得2×|b-a|=,所以x1=0(舍去),或x1=1.(8分)设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得=(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)教师用书专用(3—6)3.(2015湖北,21,14分)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内做往复运动时,N绕O转动一周(D 不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.图1图2解析(1)设点D(t,0)(|t|≤2),N(x0,y0),M(x,y),依题意,=2,且||=||=1,所以(t-x,-y)=2(x0-t,y0),且即且t(t-2x0)=0.由于当点D不动时,点N也不动,所以t不恒等于0,于是t=2x0,故x0=,y0=-,代入+=1,可得+=1,即所求的曲线C的方程为+=1.(2)(i)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有S△OPQ=×4×4=8.(ii)当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.①又由可得P;同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d=和|PQ|=|x P-x Q|,可得S△OPQ=|PQ|·d=|m||x P-x Q|=·|m|·=.②将①代入②得,S△OPQ==8.当k2>时,S△OPQ=8·=8>8;当0≤k2<时,S△OPQ=8·=8.因0≤k2<,则0<1-4k2≤1,≥2,所以S△OPQ=8≥8,当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S△OPQ的最小值为8.综合(i)(ii)可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.4.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析(1)由题意知c=,e==,∴a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)设两切线为l1,l2,①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P(±3,±2).②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,且k≠0,则l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=k(x-x0),与+=1联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,∵直线l1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·[(y0-kx0)2-4]=0,∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0,∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一个根,∴k·=,整理得+=13,其中x0≠±3,∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).检验P(±3,±2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.5.(2013福建,18,13分)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9.连接OB i,过A i作x轴的垂线与OB i交于点P i(i∈N*,1≤i≤9).(1)求证:点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若△OCM与△OCN的面积比为4∶1,求直线l的方程.解析解法一:(1)依题意,过A i(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,B i的坐标为(10,i),所以直线OB i 的方程为y=x.设P i的坐标为(x,y),由得y=x2,即x2=10y.所以点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.(2)依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+10.由得x2-10kx-100=0,此时Δ=100k2+400>0,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N.设M(x1,y1),N(x2,y2),则因为S△OCM=4S△OCN,所以|x1|=4|x2|.又x1·x2<0,所以x1=-4x2,分别代入①和②,得解得k=±.所以直线l的方程为y=±x+10,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.解法二:(1)点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在抛物线E:x2=10y上.证明如下:过A i(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,B i的坐标为(10,i),所以直线OB i的方程为y=x. 由解得P i的坐标为,因为点P i的坐标都满足方程x2=10y,所以点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.(2)同解法一.6.(2013四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P.(1)求椭圆C的离心率;(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且=+,求点Q的轨迹方程.解析(1)由椭圆定义知,2a=|PF1|+|PF2|=+=2,所以a=.又由已知得,c=1,所以椭圆C的离心率e===.(4分)(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1.设点Q的坐标为(x,y).(i)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q的坐标为.(ii)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2.因为M,N在直线l上,所以可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),则|AM|2=(1+k2),|AN|2=(1+k2).又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.由=+,得=+,即=+=.①将y=kx+2代入+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0.②由Δ=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0,得k2>.由②可知,x1+x2=,x1x2=,代入①中并化简,得x2=.③因为点Q在直线y=kx+2上,所以k=,代入③中并化简,得10(y-2)2-3x2=18.由③及k2>,可知0<x2<,即x∈∪.又满足10(y-2)2-3x2=18,故x∈.由题意知,Q(x,y)在椭圆C内,所以-1≤y≤1,由10(y-2)2=18+3x2得(y-2)2∈,且-1≤y≤1,则y∈.所以点Q的轨迹方程为10(y-2)2-3x2=18,其中x∈,y∈.(13分)三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点曲线与方程1.(2018广东韶关模拟,9)设M是圆O:x2+y2=9上的动点,直线l过M且与圆O相切,若过A(-2,0),B(2,0)两点的抛物线以直线l为准线,则抛物线焦点F的轨迹方程是( )A.-=1(y≠0)B.-=1(y≠0)C.+=1(y≠0)D.+=1(y≠0)答案 C2.(2017河北衡水中学期中,11)已知A(-1,0),B是圆F:x2-2x+y2-11=0(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为( )A.+=1B.-=1C.-=1D.+=1答案 D3.(2018河北唐山调研,14)过抛物线y2=4x的焦点作直线与此抛物线交于P,Q两点,那么线段PQ中点的轨迹方程是.答案y2=2x-24.(2017安徽安庆二模,20)已知抛物线x2=2py(p>0),F为其焦点,过点F的直线l交抛物线于A、B两点,过点B作x 轴的垂线,交直线OA于点C,如图所示.(1)求点C的轨迹M的方程;(2)直线n是抛物线不与x轴重合的切线,切点为P,轨迹M与直线n交于点Q,求证:以线段PQ为直径的圆过点F.解析(1)依题意可得,直线l的斜率存在,故设其方程为y=kx+,又设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x,y),由⇒x2-2pkx-p2=0⇒x1·x2=-p2.(3分)易知直线OA:y=x=x,直线BC:x=x2,由得y==-,即点C的轨迹M的方程为y=-.(6分)(2)证明:由题意知直线n的斜率存在.设直线n的方程为y=k1x+m.由⇒x2-2pk1x-2pm=0⇒Δ=4p2+8pm.∵直线n与抛物线相切,∴Δ=0⇒p+2m=0,可得P(pk1,-m).又由⇒Q,(9分)∴·=·=-(p+2m)+pm+=0⇒FP⊥FQ,∴以线段PQ为直径的圆过点F.(12分)B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:55分时间:50分钟)一、填空题(每小题5分,共15分)1.(2017豫北名校4月联考,15)已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为.答案(x-10)2+y2=36(y≠0)2.(人教A选2—1,二A,3(2),变式)已知圆O1:(x-2)2+y2=16和圆O2:x2+y2=r2(0<r<2),动圆M与圆O1和圆O2都相切,动圆圆心M的轨迹为两个椭圆,设这两个椭圆的离心率分别为e1和e2(e1>e2),则e1+2e2的最小值为.答案3.(2016广东佛山六校联考,15)已知A(3,2)、B(1,0),P(x,y)满足=x1+x2(O是坐标原点),若x1+x2=1,则P的坐标满足的方程是.答案x-y-1=0二、解答题(共40分)4.(2018湖南郴州模拟,20)已知抛物线E:y2=8x,圆M:(x-2)2+y2=4,点N为抛物线E上的动点,O为坐标原点,线段ON 的中点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(x0≥5)是曲线C上的点,过点Q作圆M的两条切线,分别与x轴交于A、B两点,求△QAB面积的最小值.解析(1)设P(x,y),则点N(2x,2y)在抛物线E:y2=8x上,∴4y2=16x,∴曲线C的方程为y2=4x.(2)设切线方程为y-y0=k(x-x0).令y=0,可得x=x0-,圆心(2,0)到切线的距离d==2,整理可得(-4x0)k2+(4y0-2x0y0)k+-4=0.设两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=,k1k2=,∴△QAB的面积S=-|y0|=2·.设t=x0-1∈[4,+∞),则f(t)=2在[4,+∞)上单调递增,∴f(t)≥,即△QAB面积的最小值为.5.(2018云南玉溪模拟,20)已知点M(4,0)、N(1,0),若动点P满足·=6||.(1)求动点P的轨迹C;(2)在曲线C上求一点Q,使点Q到直线l:x+2y-12=0的距离最小.解析(1)设动点P(x,y),又点M(4,0)、N(1,0),∴=(x-4,y),=(-3,0),=(x-1,y).(3分)由·=6||,得-3(x-4)=6,(4分)∴x2-8x+16=4(x2-2x+1)+4y2,故3x2+4y2=12,即+=1,∴轨迹C是焦点为(±1,0),长轴长为4的椭圆.(7分)(2)椭圆C上的点Q到直线l的距离的最值等于平行于直线l:x+2y-12=0且与椭圆C相切的直线l1与直线l的距离. 设直线l1的方程为x+2y+m=0(m≠-12).(8分)由消去y得4x2+2mx+m2-12=0(*).依题意得Δ=0,即4m2-16(m2-12)=0,故m2=16,解得m=±4.当m=4时,直线l1:x+2y+4=0,直线l与l1的距离d==.当m=-4时,直线l1:x+2y-4=0,直线l与l1的距离d==.由于<,故曲线C上的点Q到直线l的距离的最小值为.(12分)当m=-4时,方程(*)化为4x2-8x+4=0,即(x-1)2=0,解得x=1.由1+2y-4=0,得y=,故Q,(13分)∴曲线C上的点Q到直线l的距离最小.(14分)6.(2017河南洛阳二模,20)已知动圆M过定点E(2,0),且在y轴上截得的弦PQ的长为4.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;(2)设A,B是轨迹C上的两点,且·=-4,F(1,0),记S=S△OFA+S△OAB,求S的最小值.解析(1)设M(x,y),PQ的中点为N,连MN,则|PN|=2,MN⊥PQ,∴|MN|2+|PN|2=|PM|2.又|PM|=|EM|,∴|MN|2+|PN|2=|EM|2,∴x2+4=(x-2)2+y2,整理得y2=4x.∴动圆圆心M的轨迹C的方程为y2=4x.(4分)(2)设A,B,不妨令y1>0,则S△OFA=·|OF|·y1=y1,(5分)∵·=-4,∴x1x2+y1y2=+y1y2=-4,解得y1y2=-8,①(6分)当y1=-y2时,AB⊥x轴,A(2,2),B(2,-2),S△AOB=4,S△OFA=,S=5.当y1≠-y2时,直线AB的方程为=,(7分)即y-y1=,令y=0,得x=2,∴直线AB恒过定点(2,0),设定点为E,∴S△OAB=|OE|·|y1-y2|=y1-y2,(9分)由①可得S△OAB=y1+,(10分)∴S=S△OFA+S△OAB=y1+=y1+≥2=4当且仅当y1=,即y1=时,取等号.(11分)综上,S min=4.(12分)C组2016—2018年模拟·方法题组方法求轨迹方程的方法1.(2018山西临汾模拟,9)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A,B,点M,N是椭圆C上关于长轴对称的两点,若直线AM与BN相交于点P,则点P的轨迹方程是( )A.x=±a(y≠0)B.y2=2b(|x|-a)(y≠0)C.x2+y2=a2+b2(y≠0)D.-=1(y≠0)答案 D2.(2018安徽合肥模拟,20)如图,抛物线E:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.(1)求p的值;(2)求动点M的轨迹方程.解析(1)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),代入y2=2px,解得p=1.(2)由(1)知抛物线E的方程为y2=2x.设C,D,y1≠0,y2≠0.易知l1,l2的斜率均存在,设切线l1:y-y1=k,代入y2=2x得ky2-2y+2y1-k=0,由Δ=0解得k=,∴l1的方程为y=x+,同理,l2的方程为y=x+,联立解得∵CD的方程为x0x+y0y=8,其中x0,y0满足+=8,x0∈[2,2],联立得x0y2+2y0y-16=0,则代入可知M(x,y)满足代入+=8得-y2=1,由x0∈[2,2]知x∈[-4,-2].∴动点M的轨迹方程为-y2=1,x∈[-4,-2].3.(2017福建泉州二模,20)在△ABC中,O是BC的中点,|BC|=3,△ABC的周长为6+3.若点T在线段AO上,且|AT|=2|TO|.(1)建立合适的平面直角坐标系,求点T的轨迹E的方程;(2)若M,N是射线OC上不同的两点,|OM|·|ON|=1,过点M的直线与E交于P,Q,直线QN与E交于另一点R.证明:△MPR 是等腰三角形.解析(1)如图,以O为坐标原点,以的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系xOy.依题意得B,C.由|AB|+|AC|+|BC|=6+3,得|AB|+|AC|=6.因为|AB|+|AC|=6>|BC|,所以点A的轨迹是以B,C为焦点,6为长轴长的椭圆(除去长轴端点),所以点A的轨迹方程为+=1(x≠±3).设A(x0,y0),T(x,y),依题意知=,所以(x,y)=(x0,y0),即又+=1,∴+=1,所以点T的轨迹E的方程为x2+2y2=1(x≠±1).(2)证明:设M(m,0)(m≠1),N,Q(x1,y1),P(x2,y2),R(x3,y3).由题意可得直线QM不与坐标轴平行,因为k QM=,所以直线QM的方程为y=(x-m),与x2+2y2=1联立并整理可得,(m2+1-2mx1)x2-2m(1-)x+(2mx1--m2)=0, 由根与系数关系得x1x2=,同理,x1x3===x1x2,所以x2=x3或x1=0,当x2=x3时,PR⊥x轴;当x1=0时,由x1+x2=得x2=,同理,x3===x2,∴PR⊥x轴.因此|MP|=|MR|,故△MPR是等腰三角形.。
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 指点迷津(八)
(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线
方程;
(3)代入法(相关点法):题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已
知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点坐标的关系,用所求
表示已知,即
0 = (,),
将 x0,y0 代入已知曲线即得所求曲线方程;
0 = (,),
= (),
(4)参数法:引入参数 t,求出动点(x,y)与参数 t 之间的关系
消去参数即
= (),
得所求轨迹方程;
(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点
的轨迹方程.
一、直接法求轨迹方程
例1.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过点P作圆C
=(x1-x,-y)=(0,-y).
因为=λ,所以(0,y-y1)=λ(0,-y),
所以 y-y1=-λy,即 y1=(1+λ)y.
因为点
2 2
P(x1,y1)在椭圆 4 +y =1
2
+(1+λ)2y2=1
4
21
上,所以 4
2
+ 12 =1,所以 4 +(1+λ)2y2=1,所以
第九章
指点迷津(八)
求曲线轨迹方程的方法
曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程
F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C
为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方
广西高考数学一轮复习第九章解析几何96双曲线课件文
关闭
3
由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为 y=± x.
3
3
由题意得 = 5,解得 a=5.
5
关闭
解析
答案
-11知识梳理
1 2 3 4 5
双基自测
2
5.设双曲线
9
−
2
2
=1(b>0)的焦点为 F1,F2,P 为该双曲线上的一点,
若|PF1|=5,则|PF2|=
.
关闭
2
2
由双曲线的方程 9 − 2 =1(b>0),可得 a=3,根据双曲线的定义可知
1
思考求双曲线的离心率需要建立谁与谁的关系?
因为△ABC 的面积为 c2,
1
所以2·
2c·
=
1 2
c ,即
2
2
4a2b2=c4,
即 4a2(c2-a2)=c4,即 c2=2a2,即 c= 2a,
D
所以
e=
关闭
= 2.
-20-
解析
答案
考点1
考点2
考点3
考向三 由离心率或渐近线方程确定双曲线方程
由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=2,两边平方得
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,②
①-②,得|PF1||PF2|=4.
-17-
考点1
考点2
考点3
(2)由题意,点 F( 6,0),设左焦点为 F',则△APF 的周长
l=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+2a+|PF'|+|AP|,要使△APF 的周长最小,只
数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线学案理
9。
6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2｜）的点的轨迹叫作双曲线。
这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P=｛M|||MF1｜-｜MF2||=2a},|F1F2｜=2c，其中a〉0,c>0,且a,c为常数.（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线；(2）若a c，则点M的轨迹是两条射线;（3）若a c，则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1（a>0,b〉0);(2）中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1(a>0，b>0）。
3。
双曲线的性质标准方程x2a2−y2b2=1（a〉0，b〉0)y2a2−x2b2=1(a〉0,b〉0）图形续表标准方程x2a2−y2b2=1（a>0，b〉0)y2a2−x2b2=1（a>0，b〉0)性质范围x≥a或x≤-a，y∈Ry≤—a或y≥a,x∈R 对称性对称轴：,对称中心:顶点A1，A2A1,A2渐近线y=±xxx y=±xxx离心率e=xx,e∈(1，+∞）a,b，c的关系c2=实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2｜=；a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长1.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b〉0）上一点M(x0，y0）的切线方程为x0xa2−y0yb2=1.2.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b〉0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P（x0，y0）为双曲线上任意一点,且不与点F1，F2共线,∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为b2xxxθ2。
3。
若点P（x0,y0）在双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0,b〉0)内，则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2。
高考数学一轮复习 第9章 解析几何 第8节 曲线与方程课件 理
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2．求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M 的坐标； (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)＝0； (4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
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考点二 相关点（代入）法求轨迹方程 【例 2】 (2019 届安阳调研)如图所示，动圆 C1：x2＋y2＝t2， 1<t<3 与椭圆 C2：x92＋y2＝1 相交于 A，B，C，D 四点．点 A1，A2 分别为椭圆 C2 的左、右顶点，求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨 迹方程．
②
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由①②相乘得 y2＝x－02－y029(x2－9)．
③
又点 A(x0，y0)在椭圆 C2 上，
故 y20＝1－x902.④
将④代入③得x92－y2＝1(x<－3，y<0)．
因此点 M 的轨迹方程为x92－y2＝1(x<－3，y<0)．
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2
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课 堂 ·考 点 突 破
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考点 直接法求轨迹方程
|题组突破|
1．已知点 F(0，1)，直线 l：y＝－1，P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，
垂足为 Q，且Q→P·Q→F＝F→P·F→Q，则动点 P 的轨迹 C 的方程为( )
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专题研究1 曲线与方程1．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0答案 B解析 可知AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，又|AB|＝5，设动点C(x ，y)．由题意可知12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，所以4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.故选B. 2．方程x －1lg(x 2＋y 2－1)＝0所表示的曲线图形是( )答案 D3．动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x答案 B 解析 双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F(－2，0)，动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x.4．(2017·皖南八校联考)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2答案 D解析 (直译法)如图，设P(x ，y)，圆心为M(1，0)．连接MA ，PM. 则MA ⊥PA ，且|MA|＝1， 又因为|PA|＝1， 所以|PM|＝|MA|2＋|PA|2＝2，即|PM|2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2.5．(2017·吉林市毕业检测)设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都外切，则圆P 的圆心轨迹可能是( )A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ．①②③④答案 A解析 当两定圆相离时，圆P 的圆心轨迹为①；当两定圆外切时，圆P 的圆心轨迹为②；当两定圆相交时，圆P 的圆心轨迹为③；当两定圆内切时，圆P 的圆心轨迹为⑤.6．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1)B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1D ．x 2－y 248＝1答案 A解析 由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支．∵双曲线中c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)． 7．△ABC 的顶点为A(－5，0)、B(5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1(x>3) D.x 216－y 29＝1(x>4) 答案 C解析 设△ABC 的内切圆与x 轴相切于D 点，则D(3，0)．由于AC 、BC 都为圆的切线． 故有|CA|－|CB|＝|AD|－|BD|＝8－2＝6.由双曲线定义知所求轨迹方程为x 29－y 216＝1(x>3)．故选C.8．(2017·宁波十校联考)在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别为A(－1，0)，B(1，0)，平面内两点G ，M 同时满足下列条件：①GA →＋GB →＋GC →＝0，②|MA →|＝|MB →|＝|MC →|，③GM →∥AB →.则△ABC 的顶点C 的轨迹方程为( ) A.x 23＋y 2＝1(y ≠0) B.x 23－y 2＝1(y ≠0) C ．x 2＋y 23＝1(y ≠0)D ．x 2－y 23＝1(y ≠0)答案 C解析 根据题意，G 为△ABC 的重心，设C(x ，y)，则G(x 3，y3)，而M 为△ABC 的外心，∴M 在AB 的中垂线上，即y 轴上，由GM →∥AB →，得M(0，y 3)，根据|MA →|＝|MC →|，得1＋(y 3)2＝x 2＋(y －y 3)2，即x 2＋y 23＝1，又C点不在x 轴上，∴y ≠0，故选C.9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r>0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )，若M(a ，b)，则动点M 所形成的轨迹曲线的长度为( ) A ．π B.2πC.3πD ．2π答案 B解析 设P(x ，y)，则x 2＋y 2＝r 2，A(r ，r)，B(－r ，r)．由OP →＝aOA →＋bOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（a －b ）r ，y ＝（a ＋b ）r ，代入x 2＋y 2＝r 2，得(a －b)2＋(a ＋b)2＝1，即a 2＋b 2＝12，故动点M 所形成的轨迹曲线的长度为2π.10．已知抛物线y 2＝nx(n<0)与双曲线x 28－y 2m ＝1有一个相同的焦点，则动点(m ，n)的轨迹方程是________．答案 n 2＝16(m ＋8)(n<0)解析 抛物线的焦点为(n 4，0)，在双曲线中，8＋m ＝c 2＝(n4)2，n<0，即n 2＝16(m ＋8)(n<0)．11．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C(x ，y)满足：AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程为________________． 答案x 2＋14y 2＝1 解析 设A(a ，0)，B(0，b)，则a 2＋b 2＝9.又C(x ，y)，则由AC →＝2CB →，得(x －a ，y)＝2(－x ，b －y)．即⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2b －2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，代入a 2＋b 2＝9，并整理，得x 2＋14y 2＝1. 12．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________． 答案 y 2＝4(x －2)解析 设直线方程为y ＝k(x －1)，点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P(x ，y)，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. y ＝y 1＋y 2＝4kk2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．13.如图所示，直角三角形ABC 的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C在x 轴上，点P 为线段OA 的中点． (1)求BC 边所在直线方程；(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程． 答案 (1)y ＝22x －22(2)(x －1)2＋y 2＝9(3)49x 2＋45y 2＝1 解析 (1)∵k AB ＝－2，AB ⊥BC ， ∴k CB ＝22.∴BC ：y ＝22x －22.(2)在上式中，令y ＝0，得C(4，0)．∴圆心M(1，0)． 又∵|AM|＝3，∴外接圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵P(－1，0)，M(1，0)，∵圆N 过点P(－1，0)， ∴PN 是该圆的半径．又∵动圆N 与圆M 内切， ∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3.∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆． ∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54. ∴轨迹方程为49x 2＋45y 2＝1. 14．已知动点P(x ，y)与两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)讨论轨迹C 的形状．答案 (1)x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1) (2)略解析 (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝yx ＋1·yx －1＝λ.整理，得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)；②当－1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1，0)，(1，0)； ④当λ<－1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．15．已知点A(－4，4)，B(4，4)，直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为－2，点M 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的轨迹方程；(2)Q 为直线y ＝－1上的动点，过Q 作曲线C 的切线，切点分别为D ，E ，求△QDE 的面积S 的最小值． 答案 (1)x 2＝4y(x ≠±4) (2)4解析 (1)设M(x ，y)，则k AM ＝y －4x ＋4，k BM ＝y －4x －4.∵直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差为－2， ∴y －4x ＋4－y －4x －4＝－2，∴x 2＝4y(x ≠±4)． (2)设Q(m ，－1)．∵切线斜率存在且不为0，故可设一条切线的斜率为k ，则切线方程为y ＋1＝k(x －m)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k （x －m ），x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋4(km ＋1)＝0.由相切得Δ＝0，将k 2－km －1＝0代入，得x 2－4kx ＋4k 2＝0， 即x ＝2k ，从而得到切点的坐标为(2k ，k 2)． 在关于k 的方程k 2－km －1＝0中，Δ>0，∴方程k 2－km －1＝0有两个不相等的实数根，分别为k 1，k 2，则⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2＝m ，k 1·k 2＝－1，故QD ⊥QE ，S ＝12|QD||QE|.记切点(2k ，k 2)到Q(m ，－1)的距离为d ，则d 2＝(2k －m)2＋(k 2＋1)2＝4(k 2－km)＋m 2＋k 2m 2＋4km ＋4， 故|QD|＝（4＋m 2）（k 12＋1），|QE|＝（4＋m 2）（k 22＋1），S ＝12(4＋m 2)1＋1－2k 1k 2＋（k 1＋k 2）2＝12(4＋m 2)4＋m 2≥4，即当m ＝0，也就是Q(0，－1)时面积的最小值为4.16．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，过左焦点倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为423.(1)求椭圆E 的方程；(2)若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点M(1，0)作l 的垂线，垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程． 答案 (1)x 22＋y 2＝1 (2)x 2＋y 2＝2解析 (1)因为椭圆E 的离心率为22，所以a 2－b 2a＝22.解得a 2＝2b 2，故椭圆E 的方程可设为x 22b 2＋y 2b 2＝1，则椭圆E 的左焦点坐标为(－b ，0)，过左焦点倾斜角为45°的直线方程为l ′：y ＝x ＋b. 设直线l ′与椭圆E 的交点为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝x ＋b ，消去y ，得3x 2＋4bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－4b 3.因为|AB|＝1＋12|x 1－x 2|＝42b 3＝423，解得b ＝1. ∴a 2＝2，∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，联立直线l 和椭圆E 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1.消去y 并整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点， 所以Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0. 化简并整理，得m 2＝2k 2＋1.因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为y ＝－1k(x －1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k （x －1），y ＝kx ＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－km1＋k 2，y ＝k ＋m 1＋k 2，∴x 2＋y 2＝（1－km ）2＋（k ＋m ）2（1＋k 2）2＝k 2m 2＋k 2＋m 2＋1（1＋k 2）2＝（k 2＋1）（m 2＋1）（1＋k 2）2＝m 2＋11＋k 2，把m 2＝2k 2＋1代入上式得x 2＋y 2＝2.(*)②当切线l 的斜率为0时，此时Q(1，1)或(1，－1)，符合(*)式． ③当切线l 的斜率不存在时，此时Q(2，0)或(－2，0)，符合(*)式．综上所述，点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.1．(2018·河南洛阳二模)已知动圆M 过定点E(2，0)，且在y 轴上截得的弦PQ 的长为4.则动圆圆心M 的轨迹C 的方程是________． 答案 y 2＝4x解析 设M(x ，y)，PQ 的中点为N ，连MN ，则|PN|＝2，MN ⊥PQ ， ∴|MN|2＋|PN|2＝|PM|2.又|PM|＝|EM|，∴|MN|2＋|PN|2＝|EM|2， ∴x 2＋4＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x. ∴动圆圆心M 的轨迹C 的方程为y 2＝4x.2．已知直线l 与平面α平行，P 是直线l 上一定点，平面α内的动点B 满足PB 与直线l 成30°角，那么B 点轨迹是( ) A ．两条直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 C解析 P 是直线l 上的定点，平面α与直线l 平行，平面α内的动点B 满足PB 与直线l 成30°角，因为空间中过P 与l 成30°角的直线构成两个相对顶点的圆锥，α即为平行于圆锥轴的平面，点B 的轨迹可理解为α与圆锥侧面的交线，所以点B 的轨迹为双曲线，故选C.3．(2018·安徽安庆二模)已知抛物线x 2＝2py(p>0)，F 为其焦点，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，过点B 作x 轴的垂线，交直线OA 于点C ，如图所示．求点C 的轨迹M 的方程．答案 y ＝－p2解析 依题意可得，直线l 的斜率存在，故设其方程为y ＝kx ＋p2，又设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x ，y)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2⇒x 2－2pkx －p 2＝0⇒x 1·x 2＝－p 2. 易知直线OA ：y ＝y 1x 1x ＝x 12p x ，直线BC ：x ＝x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x12p x ，x ＝x 2，得y ＝x 1·x 22p ＝－p 2，即点C 的轨迹M 的方程为y ＝－p 2.4．(2014·课标全国Ⅰ，文)已知点P(2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积． 答案 (1)(x －1)2＋(y －3)2＝2 (2)x ＋3y －8＝0，S △POM ＝165解析 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x ，y)，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y)．由题设知CM →·MP →＝0，故x(2－x)＋(y －4)(2－y)＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O 在线段PM 的垂直平分线上． 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM.因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13.故l 的方程为y ＝－13x ＋83，即x ＋3y －8＝0.又|OM|＝|OP|＝22，O 到l 的距离为4105，|PM|＝4105，所以△POM 的面积为165.。