2019年考研数学二真题及全面解析(Word版)
2019年考研数学二考试题完整版
2019考研数学二考试真题（完整版）来源：文都教育一、选择题1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当x →0时，tan k x x x -与同阶，求k （ ）A.1B.2C.3D.42.sin 2cos y x x x =+3(,)22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的拐点坐标 A.2,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()0,2C.(),2π-D.33(,)22ππ- 3.下列反常积分收敛的是 A.0x xe dx +∞-⎰ B.20x xe dx +∞-⎰ C.20tan 1arc x dx x +∞+⎰ D.201x dx x +∞+⎰ 4.已知微分方程x y ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e =++，则a 、b 、c 依次为A. 1，0，1B. 1，0，2C. 2，1，3D. 2，1，45.已知积分区域{(,)|||||}2D x y x y π=+≤，222222123d ,d ,(1)d d D D DI x y x y I x y x y I x y x y =+=+=-+⎰⎰⎰⎰，试比较123,,I I I 的大小A.321I I I <<B.123I I I <<C.213I I I <<D.231I I I <<6.已知(),()f x g x 二阶导数且在x =a 处连续，请问f (x ), g (x )相切于a 且曲率相等是2()()lim 0()x a f x g x x a →-=-的什么条件？ A.充分非必要条件.B.充分必要条件.C.必要非充分条件.D.既非充分又非必要条件.7.设A 是四阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，若线性方程Ax =0的基础解系中只有2个向量，则A *的秩是（ ）A.0B.1C.2D.38.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若22.A A E +=且4A =，则二次型T x Ax 规范形为A.222123y y y ++B.222123y y y +-C.222123y y y --D.222123y y y ---二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.9.()20lim 2x x x x →+= .10.曲线sin 1cos x t t y t=-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距为 . 11.设函数()f u 可导，2()y z yf x=，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . 12.设函数lncos (0)6y x x π=≤≤的弧长为 .13.已知函数21sin ()x t f x x dt t=⎰，则10()f x dx =⎰ . 14.已知矩阵11002111,32210034ijA A -⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭表示A 中（i ，j ）元的代数余子式，则1112A A -= . 三、解答题:15~23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019年考研数学二真题
52019年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．曲线3sin 2cos ()22y x x x x ππ=+-<<的拐点是（ ） （A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ-（D ）33(,)22ππ- 3．下列反常积分发散的是 （ ） （A ）x xe dx +∞-⎰（B ）2x xe dx +∞-⎰(C ）20arctan 1x dx x +∞+⎰（D ）201xdx x+∞+⎰ 4．已知微分方程xy ay by ce '''++=的通解为12()x xy C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 5．已知平面区域{(,)|}2D x y x y π=+≤，记1DI =，2DI =⎰⎰，3(1DI dxdy =-⎰⎰ ，则 （ ）（A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ）123I I I << （D ）231I I I << 6．设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续，则2()()lim0()x af xg x x a →-=-是两条曲线()y f x =，()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 7． 设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）38．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．()20lim 2xxx x →+= ．510．曲线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处的切线在y 的截距为 ．11.设函数()f u 可导，2y z yf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2z zx y x y ∂∂+=∂∂ . 12．曲线ln cos (0)6y x x π=≤≤的弧长为 ．13．已知函数21sin ()xt f x xdt t=⎰，则10()f x dx =⎰ ．14．已知矩阵1100211132210034A -⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则1112A A -= ．三、解答题15．（本题满分10分）已知函数2,0()1,0xx xx f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，求()f x '，并求函数()f x 的极值．16．（本题满分10分）求不定积分2236(1)(1)x dx x x x +-++⎰．17．（本题满分10分）设函数()y x是微分方程22x y xy e '-=满足条件(1)y =的特解．（1）求()y x 的表达式；（2）设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤，求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． 18．（本题满分10分）设平面区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤，计算二重积分D．19．（本题满分10分）设n 是正整数，记n S 为曲线求曲线sin (0)xy e x x n π-=≤≤与x 轴所形成图形的面积，求n S ，并求lim .n n S →∞20．（本题满分11分）已知函数(,)u x y 满足关系式22222230u u ux y y ∂∂∂-+=∂∂∂．求,a b 的值，使得在变换(,)(,)ax by u x y v x y e +=之下，上述等式可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式．21．（本题满分11分）已知函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且(0)0,(1)1f f ==，1()1f x dx =⎰，证明：5（1）至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=； （2）至少存在一点(0,1)η∈，使得()2f η''<-．． 22．（本题满分11分）已知向量组Ⅰ：12321111,0,2443a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭；向量组Ⅱ：12321011,2,3313a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，求常数a 的值，并将3β用123,,ααα线性表示．23．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．。
2019考研数学二解答题18-20试题及答案解析
2019考研数学二解答题18-20试题及答案解析三、解答题（10分） 18、已知平面区域．．．，计算D【答案】易知积分区域关于y 轴对称，可知0D=。
则原式D=，用极坐标计算该积分可得原式sin Dr rdrd rθθ=⎰⎰， 将2234()x y y +≤化为极坐标644s i n r r θ≤，即2sin r θ≤，r 的取值范围20s i n r θ≤≤，由x y ≤可解得344πθπ≤≤，则原式233sin 5440441sin sin 2d r dr d ππθππθθθθ===⎰⎰⎰19、设n 是正整数，记．．．，求n S ，并求lim n n S →∞。
【答案】12(1)e e ππ+- 解析： 曲线sin xy ex -=与x 轴所围成的图形面积应表示为0sin n x n S e x dx π-=⎰，由于sin x 在(2,(21))k k ππ+上是正的，在((21),(22))k k ππ++上是负的(0,1,2,,)k n =，所以应该先计算(1)sin ,k x k k b e x dx ππ+-=⎰，对其做变量代换u x k π=-可得：()0sin()u k k b e u k du πππ-+=+⎰即01sin (sin cos )(1)22k k u k u k e b ee udu e e u u e ππππππ------⎡⎤==-+=+⎢⎥⎣⎦⎰即110011(1)221k n n n n k k k e e e S b e e πππππ-------==+-==+=-∑∑，则111lim lim 212(1)n n n n e e e S e e πππππ---→∞→∞+-+==--。
20、已知函数(,)u x y 满足．．．，上述等式可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式 【答案】 33,44a b =-=解析：ax by u v av e x x +∂∂⎛⎫=+ ⎪∂∂⎝⎭， ax by u vbv e y y +⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎭22222222ax by ax by ax byu v v v v v a e a av e a a v e x x x x x x +++⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222222ax by ax by ax byu v v v v v b e b bv e b b v e y y y y y y +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭则22222233u u u ux y x y∂∂∂∂-++∂∂∂∂ 222222222233ax by v v v v v v a a v b b v av bv e x x y y x y +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=++-++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 22222222(43)(43)(23)(23)ax by v v v va b a a v b b v e x y x y +⎡⎤∂∂∂∂=-++--++--⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦0=要使方程中不含有(,)v x y 的一阶偏导数，则有430430a b +=⎧⎨-=⎩解得33,44a b =-=。
2019考研数学二真题
2019考研数学二真题2019年考研数学二真题分为了两个部分，第一部分是选择题，包括14道单选和6道多选，第二部分是主观题，包括5道计算题和2道证明题。
选择题部分的难度大致分为了两个层级，前7道单选题难度较低，难点主要在于计算和细节，后7道单选题难度较高，涉及知识点广泛而且需要一定的思维能力。
以下是部分选择题的参考答案和解析：单选题1. 设f(x) = cos(x+a)，其中0<a<π/2，则f(x)在[0,π/2]上的最大值为 ()。
正确答案：cos a解析：f(x) 的最大值为 cos(a-x)，当x=a/2时，cos(a/2) 取最大值为 cos a。
单选题2. 曲线y=3x2-x3与x轴交于点(0,0)和(3,0)，则其上的拐点个数为()。
正确答案：2解析：拐点出现在 f''(x)=0 的点上，由于 f(x) 的导数为f'(x)=6x-3x2，f''(x)=6-6x=0，可解得 x=1，x=2，两个点都是拐点。
多选题3. 设A、B是n阶实对称矩阵，C是m阶实矩阵，若tr(ABC)=tr(BCA)，则()。
正确答案：AB和BA的特征值相同；n=m。
解析：设A的特征值为λi，B的特征值为μj，C的特征值为νk，则tr(ABC)=∑i=1^n ∑j=1^m ∑k=1^m λi μj νk cij bkj ai 与tr(BCA)=∑j=1^m ∑k=1^m ∑i=1^n μj νk λi aij cjk bij 相等，它们等价于∑i=1^n ∑j=1^m λi μj νj (bijcjkaij-aijcikbkj)=0，则 AB 和BA 的特征值相同，n=m。
多选题4. 已知函数f(x)在[-1,1]上的取值为[-1,1]，试确定函数∫-1^1 f(x)g(x)dx的最小值，其中g(x)是[-1,1]上的连续函数。
正确答案：0解析：由于f(x) ∈ [-1,1]，所以∫-1^1 f(x)g(x)dx ≤ ∫-1^1 |g(x)|dx，令 g(x) = sign(x)，即 g(x) = 1 (x>0)，g(x) = -1 (x<0)，则有∫-1^1 f(x)g(x)dx ≤ ∫-1^1 |g(x)|dx = 2，而当 g(x) = 0 (x=0) 时，∫-1^1f(x)g(x)dx = 0，所以最小值为0。
2019考研数学二真题
(A)1,0,1
(B)1,0,2
(C) 2,1,3
(D) 2,1,4
（5）已知平面区域 D (x, y)
x
y
2
,
记I1
D
x2 y2 dxdy, I2 sin
D
x2 y2 dxdy,
I3 (1 cos x2 y2 )dxdy 则（ ）
D
(A) I3 I2 I1
(B) I2 I1 I3
（）
(A) y12 y22 y32 (C) y12 y22 y32
(B) y12 y22 y32 (D) y12 y22 y32
二、填空题：9~14 题，每小题 4 分，共 24 分.
x
（9） lim x 2x 2 x0
x （10）曲线
y
t sin t
1
cos
在t t
3 2
对应点处的切线在y轴上的截距为
（11） 设函数f (u)可导，z yf ( y2 ),则2x z y z
x
x y
（12）曲线y ln cos x(0 x )的弧长为 6
（13）已知函数f (x) x x sin t 2 dt,则 1 f (x)dx
1t
0
1 1 0 0
（14）已知矩阵A
（16）（本题满分 10 分）
求不定积分
(
x
3x 1)2 (x2
6
x
dx. 1)
（17）（本题满分 10 分）
设函数y(x)是微分方程y xy
1
x2
e 2 满足条件y(1)
e的特解.
2x
（1）求y ( x);
（2）设平面区域D (x, y)1 x 2,0 y y(x),求D绕x轴旋转所得旋转体的体积.
2019年数学二试题分析、详解和评注 数一至数四真题+详解-21页文档资料
2019年考硕数学（二）真题评注一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 . 【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1)(1)1()lim lim 11n n xn x x n f x nx x x x n →∞→∞--====++, 所以 ()f x 0,01,0x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠ 故 0x =为()f x 的间断点.【评注】本题为常规题型,类似例题见《题型集粹与练习题集》P21【例1.36】（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的 223()()()()(())d y y t x t x t y t dx x t ''''''-=' 求出二阶导数,再由 220d ydx< 确定x 的取值范围. 【详解】 22222331213311dydy t t dt dx dx t t t dt--====-+++,222223214113(1)3(1)d y d dy dt tdt dx dx dx t t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 令 220d ydx< ⇒ 0t <.又 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞。
2019年考研数学二真题及答案
考研数学二真题及答案一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1 若1)(lim 212=++→x xx bx ax e ,则（ ）A 1,21-==b a B 1,21-=-=b a C 1,21==b a D 1,21=-=b a2下列函数中不可导的是（ ）A. )sin()(x x x f =B.)sin()(x x x f =C.x x f cos )(= D.)cos()(x x f =3设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤-=⎩⎨⎧≥<-=0011,2)(0,10,1)(x b x x x x ax x g x x x f 若)()(x g x f +在R 上连续，则（ ） A 1,3==b a B2,3==b a C1,3=-=b a D 2,3=-=b a4 设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导，且)(1=⎰dx x f 则 （ ）A 当0)(<'x f 时，0)21(<f B 当0)(<''x f 时，0)21(<fC 当0210)(<>'）（时，f x fD 当0)21(0)(<>''f x f 时， 5 dx x K dx e xN dx x x M x ⎰⎰⎰---+=+=++=22222222)cos 1(,1,1)1(ππππππ则M,N,K 大小关系为（ ） A.K N M >> B.N K M >>C.N M K >>D.M N K >> 6⎰⎰⎰⎰=-+-----1220122)1()1(dy xy dx dy xy dx x xx x（ ）A 35B 65C 37D 677 下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100110011相似的为（）A. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110111B.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100110101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010111.C D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000101018设A,B 为n 阶矩阵，记)(x r 为矩阵x 的秩，)(Y X 表示分块矩阵，则（ ）A.)()(A r AB A r =B.)()(A r BA A r =C.{})(m ax )(A r B A r =D.)()(T TB A r B A r =二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上。
考研真题 19考研数学一、二答案+解析
PA QA
dQA dPA
PA QA
(2PA
PB ) ，将 PA
= 10 ， PB
=
20 ，QA
1000
代入，可得 AA
10 1000
40
0.4
.
（数学一第 10 题）
微分方程 2yy y2 2 0 满足条件 y(0) 1 的特解 y ____________.
【答案】 y 3ex 2.
（数学二第 12 题）
4
设函数 y ln cos x(0 剟x ) 的弧长为___________. 6
【答案】 1 ln 3 2
【解析】弧长 s 6 1 ( y)2 dx 6 1 tan2 xdx 6 sec xdx
0
0
0
ln | sec x tan x |
6 0
ln
3 1 ln 3 2
或 f (a) g(a) ；选 A.
（数学一第 5 题）（数学二第 8 题）（数学三第 6 题）
设 A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵.若 A2 A 2E ，且 A 4 ，则二次型 xT Ax
规范形为（ ）
A. y12 y22 y32
【答案】C
B. y12 y22 y32
（数学二第 15 题）（数学三第 15 题）
已知
f
(x)
x2x , x 0,
xe
x
1,
x
0,
求
f
(x) ，并求
f
(x)
的极值.
【解析】 x 0 时， f (0) (e2xlnx ) e2xlnx (2ln x 2) ； x 0 时， f (x) (x 1)ex ；
又
2019年考研数学二复变函数真题及答案详解
2019年考研数学二复变函数真题及答案详解复变函数是数学中一个重要且常见的概念，在数学考研中也占据着一定的比重。
2019年考研数学二复变函数部分的真题难度适中，但题目中可能涉及到一些细节和技巧，需要我们进行仔细分析和解答。
下面将对2019年考研数学二复变函数部分的真题及答案进行详细解析。
一、选择题1. 设复数函数$f(z)$在复平面上解析，且对于任意$z\in\mathbb{C}$，有$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，其中$u(x,y),v(x,y)$分别为$f(z)$的实部和虚部函数。
若所有一阶偏导数存在且连续，则必有$\frac{\partial v}{\partial x}=0$。
解析：根据复变函数的柯西-黎曼方程，设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，则有$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$和$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$。
由于题目中已经给出所有一阶偏导数存在且连续，因此必有$\frac{\partial v}{\partial x}=0$。
2. 设$f(z)$在圆环$0<|z-a|<R$内解析，则$\oint_{|z-a|=R}f(z)dz=0$。
解析：根据洛朗级数展开定理，对于解析函数$f(z)$在圆环$0<|z-a|<R$内，可以将$f(z)$展开成洛朗级数形式$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-a)^n$。
因此，沿圆环$|z-a|=R$上的积分$\oint_{|z-a|=R}f(z)dz$等于圆环内的奇次幂项的系数之和，即$\oint_{|z-a|=R}f(z)dz=2\pi i a_{-1}$。
由于题目中没有给定洛朗级数的具体形式，所以无法确定$a_{-1}$的值。
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超级狩猎者整理 业精于勤荒于嬉. 1 / 10 2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word版）
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
1、当0x时，若tanxx与 kx是 同阶无穷小量，则k（ ） A、 1. B、2. C、 3. D、 4.
【答案】C.
【解析】因为 3tan~3xxx，所以3k，选 C. 2、曲线3sin2cosyxxxx －２２的拐点是（ ） A、, ２２ . B、0,2 . C、,2 . D、33, ２２. 【答案】C. 【解析】cossinyxxx ，sinyxx，令 sin0yxx，解得0x或x。 当x时，0y；当x时，0y，所以,2 是拐点。故选 C. 3、下列反常积分发散的是（ ）
A、0xxedx. B、 20xxedx. C、 20tan1arxxdxx. D、201xdxx.
【答案】D. 【解析】A、00001xxxxxedxxdexeedx，收敛；
B、222001122xxxedxedx，收敛；
C、22200tan1arctan128arxxdxxx，收敛；
D、2222000111(1)ln(1)1212xdxdxxxx，发散，故选D。 超级狩猎者整理 业精于勤荒于嬉. 2 / 10 4、已知微分方程的xyaybyce通解为12()xxyCCxee，则,,abc依次为（ ）
A、 1,0,1. B、 1,0,2. C、2,1,3. D、2,1,4. 【答案】D. 【解析】 由题设可知1r是特征方程20rarb的二重根，即特征方程为2(1)0r， 所以2,1ab 。又知*xye是方程2xyyyce的特解，代入方程的4c。故选D。
5、已知积分区域,2Dxyxy ，221DIxydxdy，222sinDIxydxdy，
22
31cosDIxydxdy
，则（ ）
A、321III. B、 213III. C、123III. D、231III.
【答案】A. 【解析】比较积分的大小，当积分区域一致时，比较被积函数的大小即可解决问题。
由 2xy，可得 2222xy【画图发现2xy包含在圆2222xy的内部】，
令22uxy，则 02u，于是有 sinuu，从而2222sinDDxydxdyxydxdy。 令()1cossinfuuu，则()sincosfuuu，()04f。()fu在0,4内单调减少， 在,42单调增加，又因为(0)()02ff，故在0,2内()0fu，即1cossinuu，从而2222sin(1cos)DDxydxdyxydxdy。综上，选A。 6、设函数(),()fxgx的二阶导数在xa处连续，则2()()lim0()xafxgxxa是两条曲线()yfx， ()ygx在xa对应的点处相切及曲率相等的（ ）
A、充分非必要条件. B、充分必要条件. C、必要非充分条件. D、既非充分也非必要条件.
【答案】A.
【解析】充分性：利用洛必达法则，由2()()lim0()xafxgxxa可得 超级狩猎者整理 业精于勤荒于嬉. 3 / 10 ()()lim02()xafxgxxa
及()()lim02xafxgx，
进而推出 ()()faga，()()faga，()()faga。由此可知两曲线在xa处有相同切线，且由曲率公式322[1()]yKy可知曲线在xa处曲率也相等，充分性得证。 必要性：由曲线()yfx，()ygx在xa处相切，可得()()faga，()()faga； 由曲率相等332222()()[1(())][1(())]fagafaga，可知()()faga或()()faga。 当()()faga时，所求极限 2()()()()()()limlimlim()()2()2xaxaxafxgxfxgxfxgxfaxaxa
，而()fa未必等于0，因此必
要性不一定成立。故选A。 7、设A是4阶矩阵，*A为A的伴随矩阵，若线性方程组0Ax的基础解系中只有2个向量，则 *()rA
（ ）。
A、0. B、 1. C、2. D、3.
【答案】A.
【解析】因为方程组0Ax的基础解系中只有2个向量，，所以4()2rA，从而()241rA，
则*()rA0，故选 A。 8、设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若22AAE,且4A，则二次型TxAx的规范型为（ ） A、222123yyy. B、 222123yyy. C、222123yyy. D、222123yyy.
【答案】C. 【解析】设是A的特征值，根据22AAE得22，解得1或2；又因为4A，所以A的特征值为1，-2，-2，根据惯性定理，TxAx的规范型为222123yyy。故选C。
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.
9、20lim(2)xxxx. 超级狩猎者整理 业精于勤荒于嬉. 4 / 10 【答案】24e。
【解析】0222limln[1(21)]00lim(2)lim[1(21)]xxxxxxxxxxxxe
0212lim2(1ln2)24xxxxeee
.
10、曲线sin1cosxttyt在32t对应点处的切线在y轴上的截距为 。
【答案】322. 【解析】斜率 32sin11costdytdxt，切线方程为 322yx，截距为322。 11、设函数()fu可导，2()yzyfx，则2zzxyxy 。 【答案】2yyfx. 【解析】3222222,zyyzyyyfffxxxyxxx ，22zzyxyyfxyx． 12、曲线lncos(0)6yxx的弧长为 ． 【答案】1ln32 【解析】2211tansecdsydxxdxxdx 66
00
1secln(sectan)ln3.2sxdxxx
13、已知函数21sin()xtfxxdtt，则10()fxdx ． 【答案】1(cos11)4． 【解析】设21sin()xtFxdtt,则 超级狩猎者整理 业精于勤荒于嬉. 5 / 10 11111
222
00000
111()()()[()]()222fxdxxFxdxFxdxxFxxdFx
21111
2222
0000
11sin111()sincos(cos11)22244xxFxdxxdxxxdxxx.
14、已知矩阵1100211132210034A，ijA表示元素ija的代数余子式，则1112AA ． 【答案】4. 【解析】由行列式展开定理得
1112110010001111112111211112101043221312103403400340034AAA．
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）已知函数2,0()1,0xxxxfxxex，求()fx，并求函数()fx的极值． 【解析】当0x时，22ln()xxxfxxe，2()2(ln1)xfxxx；当0x时， ()(1)xfxxe； 22000()(0)12(ln1)(0)limlimlim1xxxxxfxfxxxfxx
，即()fx在0x处不可导．
综合上述：22(ln1),0()(1),0xxxxxfxxex； 令()0fx得驻点1211,xxe；0x是函数()fx的不可导点。 当1x时，()0fx；当10x时，()0fx；当10xe时，()0fx； 当1xe时，()0fx；故11x是函数的极小值点，极小值为1(1)1fe；21xe是函数的
极小值点，极小值为21()efee；函数()fx在0x处连续且有极大值(0)1f． 16、（本题满分10分）求不定积分2236(1)(1)xdxxxx．