2000-2017考研数学二历年真题word版
2000考研数二真题及解析
2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上) (1) 30arctan lim.ln(12)x x xx →-=+(2) 设函数()y y x =由方程2xyx y =+所确定,则0.x dy==(3)2.+∞=⎰(4) 曲线1(21)xy x e =-的斜渐近线方程为.(5) 设1000230004500067A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦,E 为4阶单位矩阵,且1()()B E A E A -=+-则 1()E B -+=.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数()bx xf x a e=+在(,)-∞+∞内连续,且lim ()0,x f x →-∞=则常数,a b 满足 ( ) (A)0,0.a b << (B)0,0.a b >> (C)0,0.a b ≤> (D)0,0.a b ≥<(2) 设函数()f x 满足关系式2()[()]f x f x x '''+=,且(0)0f '=,则 ( )(A)(0)f 是()f x 的极大值. (B)(0)f 是()f x 的极小值.(C)点(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点.(D)(0)f 不是()f x 的极值,点(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点.(3 ) 设(),()f x g x 是大于零的可导函数,且'()()()'()0,f x g x f x g x -<则当a x b << 时,有 ( )(A)()()()()f x g b f b g x > (B) ()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b >(D) ()()()()f x g x f a g a >(4) 若30sin 6()lim 0x x xf x x →+⎛⎫=⎪⎝⎭,则206()lim x f x x →+为 ( ) (A)0. (B)6. (C)36. (D)∞.(5) 具有特解123,2,3x x xy e y xe y e --===的3阶常系数齐次线性微分方程是 ( )(A)0.y y y y ''''''--+= (B)0.y y y y ''''''+--= (C)61160.y y y y ''''''-+-= (D)220.y y y y ''''''--+=三、(本题满分5分)设ln(1)(ln )x f x x+=,计算()f x dx ⎰. 四、(本题满分5分)设xoy 平面上有正方形{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤及直线:(0)l x y t t +=≥.若()S t 表示正方形D 位于直线l 左下方部分的面积,试求0(),(0)xS t dt x ≥⎰.五、(本题满分5分)求函数2()ln(1)f x x x =+在0x =处的n 阶导数(0)(3)nf n ≥.六、(本题满分6分)设函数0()|cos |xS x t dt =⎰,(1)当n 为正整数,且(1)n x n ππ≤≤+时,证明2()2(1)n S x n ≤<+； (2)求()limx S x x→+∞.七、(本题满分7分)某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为6V,流入湖泊内不含A 的水量为6V ,流出湖泊的水量为3V,已知1999年底湖中A 的含量为05m ,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过0mV.问至多需要经过多少年,湖泊中污染物A 的含量降至0m 以内(注：设湖水中A 的浓度是均匀的) 八、(本题满分6分)设函数()f x 在[]0,π上连续,且()0,()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰,试证明：在(0,)π内至少存在两个不同的点12,ξξ,使12()()0.f f ξξ== 九、(本题满分7分)已知()f x 是周期为5的连续函数,它在0x =的某个邻域内满足关系式(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+其中()x α是当0x →时比x 高阶的无穷小,且()f x 在1x =处可导,求曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程.十、(本题满分8分)设曲线2(0,0)y ax a x =>≥与21y x =-交于点A ,过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形.问a 为何值时,该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？ 十一、(本题满分8分)函数()f x 在[0,)+∞上可导,(0)1f =且满足等式01()()()0,1xf x f x f t dt x '+-=+⎰ (1)求导数()f x '；(2)证明：当0x ≥时,成立不等式()1xe f x -≤≤成立十二、(本题满分6分)设11012,,0,,2180T TA B αβγαββα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.其中T β是β的转置,求解方程22442B A x A x B x γ=++十三、(本题满7分)已知向量组12301,2,1110a b βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭与向量组1231392,0,6317ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭具有相同的秩,且3β可由123,,ααα线性表出,求,a b 的值.2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】16-【详解】()()()33ln 1222232322000011arctan arctan 11limlim lim lim 266ln 1261x x x x x x x x x x x x x x xx x +→→→→----+====-++洛(2)设函数()y y x =由方程2xyx y =+所确定,则0.x dy==【答案】(ln 21)dx - 【详解】 方法1：对方程2xyx y =+两边求微分,有2ln 2().xy xdy ydx dx dy ⋅+=+由所给方程知,当0x =时1y =. 将0x =,1y =代入上式,有ln 2dx dx dy ⋅=+. 所以,0(ln 21)x dy dx ==-.方法2：两边对x 求导数,视y 为该方程确定的函数,有2ln 2()1.xy xy y y ''⋅+=+当0x =时1y =,以此代入,得ln 21y '=-,所以0(ln 21)x dy dx ==-. (3)【答案】3π【详解】由于被积函数在2x =处没有定义,则该积分为广义积分.对于广义积分,可以先按照不定积分计算,再对其求极限即可.作积分变量替换,2,22,t x t dx tdt =-==02202122arctan .(9)33323t t dt t t ππ+∞+∞+∞==⋅=⋅=+⎰⎰(4)【答案】21y x =+【公式】y kx b =+为()y f x =的斜渐近线的计算公式：()()lim,lim [()]x x x x x x yk b f x kx x →∞→∞→+∞→+∞→-∞→-∞==-【详解】11lim lim (2)2,x x x y k e x x→+∞→+∞==-=10122lim (2)lim[(21)2]lim()u uxx u x e b y x x e x u e x u+→+∞→→+∞-=-=--= - 令 002(1)2lim()1lim()211u u u uu u e u e e u e uu ++→→-=- - -=-= 所以,x →+∞方向有斜渐近线21y x =+. 当x →-∞时,类似地有斜渐近线21y x =+. 总之,曲线1(21)xy x e =-的斜渐近线方程为21y x =+.(5)【答案】1000120002300034⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦【详解】先求出1()E B -+然后带入数值,由于1()()B E A E A -=+-,所以11111()()()()()()()12()()22000100024001200104600230200680034E B E E A E A E A E A E A E A E A E A -----⎡⎤+=++-⎣⎦⎡⎤=++++-⎣⎦⎡⎤=+=+⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥ ==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦－１－１－１二、选择题 (1)【答案】D【详解】排除法：如果0a <,则在(,)-∞+∞内()f x 的分母bx a e +必有零点0x ,从而()f x 在0x x =处不连续,与题设不符.不选()A ,若0b >,则无论0a =还是0a ≠均有lim (),x f x →-∞=∞与题设lim ()0x f x →-∞=矛盾,不选()B 和()C .故选()D .(2)【答案】C【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数()f x 在0x 出具有二阶导数且0()0f x '=,0()0f x ''≠,那么：(1) 当0()0f x ''>时,函数()f x 在0x 处取得极大值；(2)当0()0f x ''<时,函数()f x 在0x 处取得极小值；【详解】令等式2()[()]f x f x x '''+=中0x =,得[]2(0)0(0)0f f '''=-=,无法利用判断极值的第二充分条件,故无法判断是否为极值或拐点.再求导数(因为下式右边存在,所以左边也存在)：[]2()(())12()()f x x f x f x f x ''''''''=-=-以0x =代入,有(0)1f '''=,所以0()(0)()(0)limlim 10x x f x f f x f x x→→''''''-'''===-. 从而知,存在0x =去心邻域,在此去心邻域内,()f x ''与x 同号,于是推知在此去心邻域内当0x <时曲线()y f x =是凸的,在此去心临域内0x >时曲线()y f x =是凹的, 点(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点,选(C).(3)【答案】A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明,关键在于寻找待证的函数. 题设中已知'()()()'()0,f x g x f x g x -< 想到设函数为相除的形式()()f xg x . 【详解】设()()()f x F xg x =,则()2'()()()'()()0,()f x g x f x g x F x g x -'=< 则()F x 在a x b <<时单调递减,所以对a x b ∀<<,()()()F a F x F b >>,即()()()()()()f a f x f bg a g x g b >> 得 ()()()(),f x g b f b g x >a x b <<,()A 为正确选项.(4)【答案】()C【分析】本题有多种解法：(1)将含有()f x 的要求极限的表达式凑成已知极限的表达式,或反之；(2)利用极限与无穷小的关系,从已知极限中解出()f x 代入要求极限式中；(3)将具体函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限. 【详解】方法1： 凑成已知极限2336()6()6sin 6sin 6()f x x xf x x x x xf x x x x ++-++==而 23222000012(6)6sin 666cos66(1cos6)2lim lim lim lim 3633x x x x x x x x x x x x x→→→→⋅---====洛 (由于211cos 2x x -⇒211cos(6)(6)2x x -)所以 2330006()6sin 6sin 6()lim lim lim 36036x x x f x x x x xf x x x x →→→+++=+=+=方法2：由极限与无穷小关系,由已知极限式解出3sin 6()x xf x a x+=,0lim 0x a →= 从而 3sin 6()x xf x ax +=⇒3sin 6()ax xf x x-=33223sin 666()6sin 6ax x f x ax x x x x x x-+++-== 所以 323300006()6sin 66sin 6lim lim lim lim x x x x f x ax x x x xa x x x→→→→++--==+极限的四则运算 2220012(6)66cos620lim lim 3x x x x x x→→⋅-=+=36= 方法3： 将sin 6x 在0x =处按佩亚诺余项泰勒公式展开至3x 项：3333(6)sin 66()636(),3!x x x x x x x οο=-+=-+于是 3333sin 6()6()36()x xf x x xf x x x x x ο++-+=3236()()36,f x x x x ο+=-+ 从而 32330006()sin 6()()limlim 36lim 036036.x x x f x x xf x x x x xο→→→++=+-=+-=(5)【答案】B【详解】由特解12,2x xy e y xe --==,对照常系数线性齐次微分方程的特征方程、特征根与解的对应关系知道,21r =-为特征方程的二重根；由33xy e =可知11r =为特征方程的单根,因此特征方程为232(1)(1)10,r r r r r -+=+--=由常系数齐次线性微分方程与特征方程的关系,得该微分方程为0.y y y y ''''''--+=三【详解】方法1：为了求不定积分,首先需要写出()f x 的表达式.为此,令ln x t =,有tx e =ln(1)ln(1)()(ln )t tx e f t f x x e ++===()ln(1)ln(1)x x x x f x dx e e dx e de --=+=-+⎰⎰⎰ln(1)1xxxxxe e e e dx e--=-+++⎰ 分部积分 1ln(1)1x xxxxe e e e dx e -+-=-+++⎰ 拆项ln(1)(1)1ln(1)111ln(1)111ln(1)1(1)1ln(1)ln(1)xxxxx x xxx x xxx x xxx x x e e e dxe e e e dx dx e e e dx de e e e dx d e ee e x e C-----=-++-+=-++-+=-++-+=-++-++=-++-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 方法2：作积分变量替换,命ln x t =,21ln(1)1()(ln )ln(1)t f x dx f t dt dt t d t t t +⎛⎫=⋅==-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ln(1)1[](1)t dt t t t +=--+⎰ 分部积分 ln(1)11()1t dt t t t +=-+-+⎰ 部分分式求和 ln(1)11(1)1t dt d t t t t +=-+-++⎰⎰ln(1)ln ln(1)t t t C t+=-+--+ln(1)ln(1).x x x e e x e C -=-++-++四【详解】先写出面积()S t 的(分段)表达式,当01t <<时,图形为三角形,利用三角形的面积公式：21()2S t t =；当12t <<时,图形面积可由正方形面积减去小三角形面 积,其中由于x y t +=与1y =交点的纵坐标为1t -,于是, 小三角形的边长为：1(1)2t t --=-,所以222111()1(2)1(44)21222S t t t t t t =--=--+=-+-；当2t >时,图形面积就是正方形的面积：()1S t =, 则221, 01,21()1(2), 12,21, 2.t t S t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪<⎪⎪⎩当01x ≤≤时,3320011();2236xxxt x S t dt t dt ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰当12x <≤时,1122010111()()()[1(2)]22xx x S t dt S t dt S t dt t dt t dt =+=+--⎰⎰⎰⎰⎰3321111(1)(2)66663x x x x x =+----=-+-+ 当2x >时,2022()()()11 1.xx xS t dt S t dt S t dt dt x =+=+=-⎰⎰⎰⎰因此 3320101611()126312x x x S t dt x x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪=-+-+<≤⎨⎪->⎪⎪⎩⎰五【详解】方法1：按莱布尼茨高阶导数公式：()()1(1)()()()().n n n k n k k n n n uv u v C u v C u v uv --'=+++++为了求ln(1)x +的n 阶导数,设ln(1)y x =+,11y x'=+；()()221111y x x ''=-=-++；()()()33112211y x x ⋅'''=--⋅=++；()()(4)4412123311y x x ⋅⋅⋅=-=-++一般地,可得1()(1)(1)!(1)n n nn yx ---=+即 []1()(1)(1)!ln(1)(1)n n nn x x ---+=+设ln(1)u x =+,2v x =,利用上述公式对函数展开,由于对2x 求导,从三阶导数开始就为零,故展开式中只含有前三项.123()212(1)(1)!(1)(2)!(1)(1)!()2(1).(1)(1)(1)n n n n n n n n n n fx x nx n n x x x -----------=++-+++代入0x =,得：1()3(1)!(0)(1)(1)(3)!,3,4.2n n n n fn n n n n ---=---==-方法2：()y f x =带佩亚诺余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x x n ο'''=+++++求(0)(3)nf n ≥可以通过先求()y f x =的的麦克劳林展开式,则展开式中nx 项的系数与!n 的乘积就是()y f x =在点0x =处的n 阶导数值)0()(n f.由麦克劳林公式,23212ln(1)(1)(),232n n n x x x x x x n ο---+=-+++-+- 所以 452231ln(1)(1)().232n n n x x x x x x x n ο--+=-+++-+- 对照麦克劳林公式()2(0)(0)(0)()(0)(),1!2!!n nn f f f f x f x x x x n ο'''=+++++从而推知()1(0)(1)!2n n f n n --=- 得 1()(1)!(0),3,4.2n n n f n n --==-六【详解】因为cos 0x ≥,且(1)n x n ππ≤<+, 所以(1)0cos cos cos .n x n x dx x dx x dx ππ+≤<⎰⎰⎰定积分的性质又因为cos x 具有周期π,所以在长度为π的积分区间上的积分值均相等：cos cos a ax dx x dx ππ+=⎰⎰,从而20(1)cos cos cos cos n n n x dx x dx x dx x dx ππππππ-=+++⎰⎰⎰⎰202cos (cos cos )n x dx n xdx xdx ππππ==-⎰⎰⎰202(sin sin )(1(01))2n x x n n πππ=-=--= 所以(1)0cos 2(1).n xdx n π+=+⎰所以 02cos 2(1),x n xdx n ≤<+⎰即 2()2(1).n S x n ≤<+(2) 由(1)有,当(1)n x n ππ≤≤+时,2()2(1)(1)n S x n n x n ππ+<<+命n →∞取极限,222lim lim 1(1)(1)n n n n nπππ→∞→∞==++,12(1)2(1)2lim lim n n n n n πππ→∞→∞++== 由夹逼定理,得()2limx S x x π→∞=.七【详解】设从2000年初(相应0t =)开始,第t 年湖泊中污染物A 的总量为m ,浓度为mV,则在时间间隔[,]t t dt +内,排入湖泊中A 的量为：00()66m mV t dt dt dt V ⋅+-=,流出湖泊的水中A 的量为33m V mdt dt V ⋅=. 因而时间从t 到t dt +相应地湖泊中污染物A 的改变量为：0()63m mdm dt =-. 由分离变量法求解：0()63dm dt m m =-两边求积分：001100()6333ln()63()()6363m m d m dm m dt t C t C m m m m -=⇔-=+⇔--=+--⎰⎰⎰ 10013ln()63363t C m m t C m m e +-+⇔-=⇔-=-103336C tm m e e --⇔-=-+⋅110033333,(3)22C C t tm mm e e m C e C e ----⇔=-⋅⇔=-⋅=初始条件为0(0)5m m =,代入初始条件得092C m =-. 于是03(19)2tm m e -=+,要满足污染物A 的含量可降至0m 内,命0m m =,得6ln3t =. 即至多需经过6ln3年,湖泊中A 的含量降至0m 以内.八【证明】 方法1：令0()(),0xF x f t dt x π=≤≤⎰,有(0)0,F =由题设有()0F π=.又由题设()cos 0f x xdx π=⎰,用分部积分,有0()cos cos ()f x xdx xdF x ππ==⎰⎰()cos ()sin F x xF x xdx ππ=+⎰0()sin F x xdx π=⎰由积分中值定理知,存在(0,)ξπ∈使0()sin ()sin (0)F x xdx F πξξπ==⋅-⎰因为(0,)ξπ∈,sin 0ξ≠,所以推知存在(0,),ξπ∈使得()0F ξ=. 再在区间[0,]ξ与[,]ξπ上对()F x 用罗尔定理,推知存在1(0,)ξξ∈,2(,)ξξπ∈使12()0,()0F F ξξ''==,即 12()0,()0f f ξξ== 方法2：由()0f x dx π=⎰及积分中值定理知,存在1(0,)ξπ∈,使1()0f ξ=. 若在区间(0,)π内()f x 仅有一个零点1ξ,则在区间1(0,)ξ与1(,)ξπ内()f x 异号. 不妨设在1(0,)ξ内()0f x >,在1(,)ξπ内()0f x <. 于是由()0,()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰,有111101100()cos ()cos ()(cos cos )()(cos cos )()(cos cos )f x xdx f x dx f x x dxf x x dx f x x dxπππξπξξξξξ=-=-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当10x ξ<<时,1cos cos x ξ>,1()(cos cos )0f x x ξ->；当1x ξπ<<时,1cos cos x ξ<,仍有1()(cos cos )0f x x ξ->,得到：00>. 矛盾,此矛盾证明了()f x 在(0,)π仅有1个零点的假设不正确,故在(0,)π内()f x 至少有2个不同的零点.九【详解】为了求曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程,首先需要求出()y f x =在6x =处的导数,即切线斜率. 而函数又是以周期为5的函数,且在1x =处可导,则在6x =处可导,且其导数值等于函数在1x =处的导数值.将(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+两边令0x →取极限,由f 的连续性得(1)3(1)lim(8())0x f f x x α→-=+= ⇒ 2(1)0f -=故(1)0f =,又由原设()f x 在1x =处可导,两边同除sin x ,000(1sin )(1)(1sin )(1)8()lim3lim lim limsin sin sin sin x x x x f x f f x f x x x x x xα→→→→+---+=+- 根据导数的定义,得008()(1)3(1)limlim 8sin sin x x x x x x f f x x x xα→→''+=⋅+⋅= ⇒ 4(1)8f '= 所以(1)2f '=,又因(6)(51)(1)f f f '''=+=,所以(6)2f '=,由点斜式,切线方程为((6))(6)(6).y f f x '-=-以(6)(1)0,(6)2f f f '===代入得2(6).y x =- 即 2120.x y --=十【详解】首先联立两式,求直线与曲线的交点：221x ax -=,得：x =,而0x ≥,则交点坐标为：(,))1a x y a =+. 由点斜式,故直线OA的方程为y =由旋转体体积公式2()b aV f x dx π=⎰,要求的体积就是用大体积减去小体积：()2222224000()1a x V dx ax dx a x dx a =-=-+232525223(1)515(1)a x a x a a a ππ⎛=-=+⎝+为了求V 的最大值,对函数关于a 求导,225522221515(1)(1)dV a a da a a ππ''⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭53222552(1)(1)2215(1)a a a a a π⋅+-⋅+=⋅+ 322275255(1)[2(1)][2(1)]222215(1)15(1)a a a a a a a a a ππ++-+-=⋅=⋅++ 222277722251[22][2]22[4]22151515(1)(1)(1)a a a a a a a a a a πππ+---=⋅=⋅=⋅+++ 0a > 命0,dVda=得唯一驻点4a =,所以4a =也是V 的最大值点,最大体积为41875a V ==.十一【详解】(1) 为了求()f x ',将01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰两边同乘(1)x +,得 0(1)()(1)()()0,xx f x x f x f t dt '+++-=⎰两边对x 求导,得()(1)()()(1)()()0f x x f x f x x f x f x ''''+++++-=即 (1)()(2)()0x f x x f x '''+++=.上述方程为二阶可降阶微分方程,令()u f x '=,化为(1)(2)0x u x u '+++=,即(2)(1)du x dx u x +=-+ 两边求积分：(2)1(1)(1)1du x dx dx u x x +=-=-+++⎰⎰⎰即 1ln (ln(1))u x x C =-+++ 所以 11(ln(1))1()1x x C C x u ee e x --++-=±=±⋅⋅+ 令1C C e =±,则1xCe u x -=+,于是()1x Ce f x u x -'==+.再以0x =代入原方程001(0)(0)()(0)(0)01f f f t dt f f ''+-=+=⎰,由(0)1f =,有(0)1f '=-,于是1,()1xe Cf x x -'=-=-+. (2)方法1：用积分证.()(0)()1.1tx xe f x f f t dt dt t -'=+=-+⎰⎰而 0-000011t t xx x tt x e dt e dt e e t ->---≤≤=-=-+⎰⎰牛莱公式两边同乘以(1)-,得：101txxe e dt t ---≤-≤+⎰, 即 0()111txxe ef x dt t --≤=-≤+⎰方法2 ：用微分学方法证.因(0)1,()0f f x '=<,即()f x 单调递减,所以当0x ≥时()1f x ≤. 要证()xf x e-≥,可转化为证明()0xf x e--≥,令()()x x f x e ϕ-=-,则(0)110ϕ=-=,且()()()01xxe xf x ef x x ϕ--'''=+≥+=+ (0x ≥)所以,当0x ≥时()0x ϕ≥,即()xf x e -≥. 结合两个不等式,推知当0x ≥时,()1xef x -≤≤. 证毕.十二【详解】由题设得110121210210211102T A αβ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎡⎤ ⎪===⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦,11102221T B βα⎛⎫⎡⎤ ⎪===⎢⎥ ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭. 所以 ()22T T T A A αβαβααββ===,48AA =；24B =,216B =代入原方程22442B A x A x B x γ=++中,得16816Ax Ax x γ=++,即()82A E x γ-=其中E 是三阶单位矩阵,令[]123Tx x ,x ,x =,代入上式,得线性非齐次方程组1212123102201212x x x x x x x ⎧-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪+-=⎩(1) 显然方程组得同解方程为12123201212x x x x x -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ (2) 令自由未知量 1x k,=解得23122x k,x k ==- 故方程组通解为1231022011122x k x k k x k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,(k 为任意常数)十三【详解】方法1：先求()123,,,γααα将矩阵作初等行变换,得()123139139139206061201231701020000,,ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦知()1232,,.γααα= 故()()1231232,,,,γβββγααα==,[]123,,βββ作初等行变换[]1230110121031110030a b ,,a b βββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦因为()1232,,γβββ=,所以3a b =又3β可由123,,ααα线性表出,故()()12331232,,,,,γαααβγααα== 将[]1233,,,αααβ作初等行变换13913920610612123170110203b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦()13912012600053123bb b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦由()12332,,,γαααβ=,得()531203b b +-=,解得5b =,及315a b .== 方法2：由方法1中的初等变换结果可以看出12,αα线性无关,且31232ααα=+,故()1232,,γααα=,12,αα是123,,ααα的极大线性无关组. 又()()1231232,,,,γβββγααα==,123,,βββ线性相关. 从而得12301211310110100a ba b ,,,βββ===--计算三阶行列式得30a b -+=,得3a b =又3β可由123,,ααα线性表出 ,即可由12,αα线性表出,12,αα3β线性相关,有()123131313201061206120310010310003126b b b,,b b b b b ααβ==--=--=-+-行列式展开得()10631206b b ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭,所以()531203b b +-=,得5b =及315a b .== 方法3：先利用3β可由123,,ααα线性表出,故方程组()123,,X αααβ=有解,即12313920613170x b x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦有解. 对其增广矩阵施行初等行变化13913920610612123170110203b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦()13921012600053123bb b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦由其次线性方程组有解的条件(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩),知()53123b b +-51033b =-= 解得5b .=又因为1α和2α线性无关,且31232ααα=+,所以向量组123,,ααα的秩为2 ,由题设条件知()1232,,γβββ=,从而123001211310110100a b a b ,,,βββ===--解得15a =。
2000考研数二真题及解析
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上 )H marctanx ;x二x卩 In(1 2x 3) ---------------------⑵设函数y =y(x)由方程2x ^ -x y 所确定，则dy x^二 _____________________-0 0〕⑸设A =-2 3 0 0 ,E 为4阶单位矩阵，且B = (E+A)」(E_A)则0 -4 5 0-6 7一(E B)」= __________________ .二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)x(1)设函数f(x)=——衣在(―巴 丘)内连续，且lim f(x)=O,则常数a,b 满足()a +e J 存(C) a - 0,b 0.(D) a _ 0,b ：： 0.2⑵设函数f (x)满足关系式f ”(x) • [ f (x)]二x ，且「(0) = 0，贝y ()(A) f(0)是f(x)的极大值. (B) f (0)是f(x)的极小值.(C) 点(0, f (0))是曲线y = f (x)的拐点•(D) f(0)不是f(x)的极值，点(0, f (0))也不是曲线y= f (x)的拐点.(3 )设 f(x),g(x)是大于零的可导函数，且 f'(x)g(x)- f(x)g'(x) ：：：0,则当 a ：：：x ：：： b 时, 有()(A) f(x)g(b) f(b)g(x)(B) f (x)g(a) f (a)g(x)(A) a :: 0,b :: 0.(B) a 0,b 0.(C) f(x)g(x) f(b)g(b) (D) f(x)g(x) f (a)g(a)1⑷ 曲线y 二(2x -1)e x 的斜渐近线方程为三、 (本题满分5分)设 f (In x)=匹1__x)，计算 f (x)dx .x四、 (本题满分5分)设xoy 平面上有正方形D ={(x, y) 0兰x 兰1,0兰y 兰讣及直线I : x + y = t(t Z 0).若xS(t)表示正方形D 位于直线I 左下方部分的面积，试求o S(t)dt,(x 一 0).五、 (本题满分5分)求函数 f (x) = x 21n(1 • x)在 x = 0 处的 n 阶导数 f n (0)(n _ 3). 六、 (本题满分6分)x设函数 S(x)二 J | cost dt ， (1)当n 为正整数，且n 二空x 空(n 时，证明2n 空S(x) ：：： 2(n 1)；⑵求lim^^ .x —抉 x 七、 (本题满分7分)某湖泊的水量为V ，每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为V ，流入湖泊内不含 A 的6水量为V ，流出湖泊的水量为 V ，已知1999年底湖中A 的含量为5m )，超过国家规定指6 3标.为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过 印° .问至多需要V经过多少年，湖泊中污染物 A 的含量降至 呛以内(注：设湖水中A 的浓度是均匀的) 八、 (本题满分6分)设函数f (x)在〔0,二】上连续，且° f (x)dx = 0, ° f (x)cosxdx = 0，试证明：在(0,二) 内至少存在两个不同的点 1, 2，使f( J = f ( 2)=0.九、(本题满分7分)⑷若四『6x +xf (x 厂=。
考研数二历年真题答案
考研数二历年真题答案为了帮助考研数学二科目的学生更好地备考，以下整理了近几年的考研数学二历年真题及其详细答案。
通过仔细研究和解析这些真题，考生们可以更好地了解考试内容和出题思路，从而更有针对性地复习和备考。
一、2000年考研数学二真题及答案（下面是2000年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）二、2001年考研数学二真题及答案（下面是2001年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）三、2002年考研数学二真题及答案（下面是2002年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）四、2003年考研数学二真题及答案（下面是2003年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）五、2004年考研数学二真题及答案（下面是2004年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）六、2005年考研数学二真题及答案（下面是2005年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）七、2006年考研数学二真题及答案（下面是2006年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）八、2007年考研数学二真题及答案（下面是2007年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）九、2008年考研数学二真题及答案（下面是2008年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十、2009年考研数学二真题及答案（下面是2009年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十一、2010年考研数学二真题及答案（下面是2010年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十二、2011年考研数学二真题及答案（下面是2011年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十三、2012年考研数学二真题及答案（下面是2012年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十四、2013年考研数学二真题及答案（下面是2013年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十五、2014年考研数学二真题及答案（下面是2014年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十六、2015年考研数学二真题及答案（下面是2015年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
考研数学二真题及答案分析精选文档
证明：
若 ，求方程组 的通解。
【答案】（I）略；（II）通解为
【解析】
（I）证明：由 可得 ，即 线性相关，
因此， ，即A的特征值必有0。
又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.
且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为
（15）（本题满分10分）求极限
【答案】
【解析】 ，令 ，则有
（16）（本题满分10分）设函数 具有2阶连续偏导数， ，求 ，
【答案】
【解析】
结论：
（17）（本题满分10分）求
【答案】
【解析】
（18）（本题满分10分）已知函数 由方程 确定，求 的极值
【答案】极大值为 ，极小值为
【解析】
两边求导得：【答案】 Nhomakorabea【解析】
(11) _______
【答案】1
【解析】
(12)设函数 具有一阶连续偏导数，且 ， ，则
【答案】
【解析】 故
，
因此 ，即 ，再由 ，可得
【答案】
【解析】
（13）
【答案】 .
【解析】交换积分次序：
.
（14）设矩阵 的一个特征向量为 ，则
【答案】-1
【解析】设 ，由题设知 ，故
故 .
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【解析】 在 处连续 选A.
（2）设二阶可导函数 满足 且 ，则（）
【答案】B
【解析】
为偶函数时满足题设条件，此时 ，排除C,D.
取 满足条件，则 ，选B.
2000考研数学二真题及答案
2000考研数学二真题及答案一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1) 30arctan lim.ln(12)x x xx →-=+(2) 设函数()y y x =由方程2xyx y =+所确定，则0.x dy==(3)2.+∞=⎰(4) 曲线1(21)xy x e =-的斜渐近线方程为.(5) 设1000230004500067A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，E 为4阶单位矩阵，且1()()B E A E A -=+-则 1()E B -+=.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数()bx xf x a e=+在(,)-∞+∞内连续，且lim ()0,x f x →-∞=则常数,a b 满足 ( ) (A)0,0.a b << (B)0,0.a b >> (C)0,0.a b ≤> (D)0,0.a b ≥<(2) 设函数()f x 满足关系式2()[()]f x f x x '''+=，且(0)0f '=，则 ( )(A)(0)f 是()f x 的极大值. (B)(0)f 是()f x 的极小值.(C)点(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点.(D)(0)f 不是()f x 的极值，点(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点.(3 ) 设(),()f x g x 是大于零的可导函数，且'()()()'()0,f x g x f x g x -<则当a x b << 时，有 ( )(A)()()()()f x g b f b g x > (B) ()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b > (D) ()()()()f x g x f a g a >(4) 若30sin 6()lim 0x x xf x x →+⎛⎫=⎪⎝⎭，则206()lim x f x x →+为 ( ) (A)0. (B)6. (C)36. (D)∞.(5) 具有特解123,2,3x x xy e y xe y e --===的3阶常系数齐次线性微分方程是 ( )(A)0.y y y y ''''''--+= (B)0.y y y y ''''''+--= (C)61160.y y y y ''''''-+-= (D)220.y y y y ''''''--+=三、(本题满分5分)设ln(1)(ln )x f x x+=，计算()f x dx ⎰. 四、(本题满分5分)设xoy 平面上有正方形{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤及直线:(0)l x y t t +=≥.若()S t 表示正方形D 位于直线l 左下方部分的面积，试求0(),(0)xS t dt x ≥⎰.五、(本题满分5分)求函数2()ln(1)f x x x =+在0x =处的n 阶导数(0)(3)nf n ≥.六、(本题满分6分)设函数0()|cos |xS x t dt =⎰，(1)当n 为正整数，且(1)n x n ππ≤≤+时，证明2()2(1)n S x n ≤<+； (2)求()limx S x x→+∞.七、(本题满分7分)某湖泊的水量为V ，每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为6V，流入湖泊内不含A 的水量为6V ，流出湖泊的水量为3V，已知1999年底湖中A 的含量为05m ，超过国家规定指标.为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过0mV.问至多需要经过多少年，湖泊中污染物A 的含量降至0m 以内(注：设湖水中A 的浓度是均匀的) 八、(本题满分6分)设函数()f x 在[]0,π上连续，且()0,()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰，试证明：在(0,)π内至少存在两个不同的点12,ξξ，使12()()0.f f ξξ==九、(本题满分7分)已知()f x 是周期为5的连续函数，它在0x =的某个邻域内满足关系式(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+其中()x α是当0x →时比x 高阶的无穷小，且()f x 在1x =处可导，求曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程.十、(本题满分8分)设曲线2(0,0)y ax a x =>≥与21y x =-交于点A ，过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形.问a 为何值时，该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？十一、(本题满分8分)函数()f x 在[0,)+∞上可导，(0)1f =且满足等式01()()()0,1xf x f x f t dt x '+-=+⎰ (1)求导数()f x '；(2)证明：当0x ≥时，成立不等式()1xe f x -≤≤成立十二、(本题满分6分)设11012,,0,,2180T TA B αβγαββα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.其中T β是β的转置，求解方程22442B A x A x B x γ=++十三、(本题满7分)已知向量组12301,2,1110a b βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭与向量组1231392,0,6317ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表出，求,a b 的值.参考答案一、填空题(1)【答案】16-【详解】()()()33ln 1222232322000011arctan arctan 11limlim lim lim 266ln 1261x x x x x x x x x x x x x x xx x +→→→→----+====-++洛(2)设函数()y y x =由方程2xyx y =+所确定，则0.x dy==【答案】(ln 21)dx - 【详解】 方法1：对方程2xyx y =+两边求微分，有2ln 2().xy xdy ydx dx dy ⋅+=+由所给方程知，当0x =时1y =. 将0x =，1y =代入上式，有ln 2dx dx dy ⋅=+. 所以，0(ln 21)x dy dx ==-.方法2：两边对x 求导数，视y 为该方程确定的函数，有2ln 2()1.xy xy y y ''⋅+=+当0x =时1y =，以此代入，得ln 21y '=-，所以0(ln 21)x dy dx ==-. (3)【答案】3π【详解】由于被积函数在2x =处没有定义，则该积分为广义积分.对于广义积分，可以先按照不定积分计算，再对其求极限即可.2,22,t x t dx tdt =-==02202122arctan .(9)33323t t dt t t ππ+∞+∞+∞==⋅=⋅=+⎰⎰(4)【答案】21y x =+【公式】y kx b =+为()y f x =的斜渐近线的计算公式：()()lim,lim [()]x x x x x x yk b f x kx x →∞→∞→+∞→+∞→-∞→-∞==-【详解】11lim lim (2)2,x x x y k e x x→+∞→+∞==-=10122lim (2)lim[(21)2]lim()u uxx u x e b y x x e x u e x u+→+∞→→+∞-=-=--= - 令 002(1)2lim()1lim()211u u u uu u e u e e u e uu ++→→-=- - -=-= 所以，x →+∞方向有斜渐近线21y x =+. 当x →-∞时，类似地有斜渐近线21y x =+. 总之，曲线1(21)xy x e =-的斜渐近线方程为21y x =+.(5)【答案】1000120002300034⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦【详解】先求出1()E B -+然后带入数值，由于1()()B E A E A -=+-，所以11111()()()()()()()12()()22000100024001200104600230200680034E B E E A E A E A E A E A E A E A E A -----⎡⎤+=++-⎣⎦⎡⎤=++++-⎣⎦⎡⎤=+=+⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥ ==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦－１－１－１二、选择题 (1)【答案】D 【详解】排除法：如果0a <，则在(,)-∞+∞内()f x 的分母bx a e +必有零点0x ，从而()f x 在0x x =处不连续，与题设不符.不选()A ，若0b >，则无论0a =还是0a ≠均有lim (),x f x →-∞=∞与题设lim ()0x f x →-∞=矛盾，不选()B 和()C .故选()D .(2)【答案】C【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数()f x 在0x 出具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，那么：(1) 当0()0f x ''>时，函数()f x 在0x 处取得极大值；(2)当0()0f x ''<时，函数()f x 在0x 处取得极小值；【详解】令等式2()[()]f x f x x '''+=中0x =，得[]2(0)0(0)0f f '''=-=，无法利用判断极值的第二充分条件，故无法判断是否为极值或拐点.再求导数(因为下式右边存在，所以左边也存在)：[]2()(())12()()f x x f x f x f x ''''''''=-=-以0x =代入，有(0)1f '''=，所以0()(0)()(0)limlim 10x x f x f f x f x x→→''''''-'''===-. 从而知，存在0x =去心邻域，在此去心邻域内，()f x ''与x 同号，于是推知在此去心邻域内当0x <时曲线()y f x =是凸的，在此去心临域内0x >时曲线()y f x =是凹的， 点(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点，选(C).(3)【答案】A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数. 题设中已知'()()()'()0,f x g x f x g x -< 想到设函数为相除的形式()()f xg x . 【详解】设()()()f x F xg x =，则()2'()()()'()()0,()f x g x f x g x F x g x -'=< 则()F x 在a x b <<时单调递减，所以对a x b ∀<<，()()()F a F x F b >>，即()()()()()()f a f x f bg a g x g b >> 得 ()()()(),f x g b f b g x >a x b <<，()A 为正确选项.(4)【答案】()C【分析】本题有多种解法：(1)将含有()f x 的要求极限的表达式凑成已知极限的表达式，或反之；(2)利用极限与无穷小的关系，从已知极限中解出()f x 代入要求极限式中；(3)将具体函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限. 【详解】方法1： 凑成已知极限2336()6()6sin 6sin 6()f x x xf x x x x xf x x x x ++-++==而 23222000012(6)6sin 666cos66(1cos6)2lim lim lim lim 3633x x x x x x x x x x x x x→→→→⋅---====洛 (由于211cos 2x x -⇒211cos(6)(6)2x x -)所以 2330006()6sin 6sin 6()lim lim lim 36036x x x f x x x x xf x x x x →→→+++=+=+=方法2：由极限与无穷小关系，由已知极限式解出3sin 6()x xf x a x+=，0lim 0x a →= 从而 3sin 6()x xf x ax +=⇒3sin 6()ax xf x x-=33223sin 666()6sin 6ax x f x ax x x x x x x-+++-== 所以 323300006()6sin 66sin 6lim lim lim lim x x x x f x ax x x x xa x x x→→→→++--==+极限的四则运算 2220012(6)66cos620lim lim 3x x x x x x→→⋅-=+=36= 方法3： 将sin 6x 在0x =处按佩亚诺余项泰勒公式展开至3x 项：3333(6)sin 66()636(),3!x x x x x x x οο=-+=-+于是 3333sin 6()6()36()x xf x x xf x x x x x ο++-+=3236()()36,f x x x x ο+=-+ 从而 32330006()sin 6()()limlim 36lim 036036.x x x f x x xf x x x x xο→→→++=+-=+-=(5)【答案】B【详解】由特解12,2x xy e y xe --==，对照常系数线性齐次微分方程的特征方程、特征根与解的对应关系知道，21r =-为特征方程的二重根；由33xy e =可知11r =为特征方程的单根，因此特征方程为232(1)(1)10,r r r r r -+=+--=由常系数齐次线性微分方程与特征方程的关系，得该微分方程为0.y y y y ''''''--+=三【详解】方法1：为了求不定积分，首先需要写出()f x 的表达式.为此，令ln x t =，有tx e =ln(1)ln(1)()(ln )t tx e f t f x x e ++===()ln(1)ln(1)x x x x f x dx e e dx e de --=+=-+⎰⎰⎰ln(1)1xxxxxe e e e dx e--=-+++⎰ 分部积分 1ln(1)1x xxxxe e e e dx e -+-=-+++⎰ 拆项ln(1)(1)1ln(1)111ln(1)111ln(1)1(1)1ln(1)ln(1)xxxxx x xxx x xxx x xxx x x e e e dxe e e e dx dx e e e dx de e e e dx d e ee e x e C-----=-++-+=-++-+=-++-+=-++-++=-++-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 方法2：作积分变量替换，命ln x t =，21ln(1)1()(ln )ln(1)t f x dx f t dt dt t d t t t +⎛⎫=⋅==-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ln(1)1[](1)t dt t t t +=--+⎰ 分部积分 ln(1)11()1t dt t t t +=-+-+⎰ 部分分式求和 ln(1)11(1)1t dt d t t t t +=-+-++⎰⎰ln(1)ln ln(1)t t t C t+=-+--+ln(1)ln(1).x x x e e x e C -=-++-++四【详解】先写出面积()S t 的(分段)表达式，当01t <<时，图形为三角形，利用三角形的面积公式：21()2S t t =；当12t <<时，图形面积可由正方形面积减去小三角形面 积，其中由于x y t +=与1y =交点的纵坐标为1t -，于是， 小三角形的边长为：1(1)2t t --=-，所以222111()1(2)1(44)21222S t t t t t t =--=--+=-+-；当2t >时，图形面积就是正方形的面积：()1S t =， 则221, 01,21()1(2), 12,21, 2.t t S t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪<⎪⎪⎩当01x ≤≤时，3320011();2236xxxt x S t dt t dt ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰当12x <≤时，1122010111()()()[1(2)]22xx x S t dt S t dt S t dt t dt t dt =+=+--⎰⎰⎰⎰⎰3321111(1)(2)66663x x x x x =+----=-+-+ 当2x >时，2022()()()11 1.xx xS t dt S t dt S t dt dt x =+=+=-⎰⎰⎰⎰因此 3320101611()126312x x x S t dt x x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪=-+-+<≤⎨⎪->⎪⎪⎩⎰五【详解】方法1：按莱布尼茨高阶导数公式：()()1(1)()()()().n n n k n k k n n n uv u v C u v C u v uv --'=+++++为了求ln(1)x +的n 阶导数，设ln(1)y x =+，11y x'=+；()()221111y x x ''=-=-++；()()()33112211y x x ⋅'''=--⋅=++；()()(4)4412123311y x x ⋅⋅⋅=-=-++一般地，可得1()(1)(1)!(1)n n nn yx ---=+即 []1()(1)(1)!ln(1)(1)n n nn x x ---+=+设ln(1)u x =+，2v x =，利用上述公式对函数展开，由于对2x 求导，从三阶导数开始就为零，故展开式中只含有前三项.123()212(1)(1)!(1)(2)!(1)(1)!()2(1).(1)(1)(1)n n n n n n n n n n fx x nx n n x x x -----------=++-+++代入0x =，得：1()3(1)!(0)(1)(1)(3)!,3,4.2n n n n fn n n n n ---=---==-方法2：()y f x =带佩亚诺余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x x n ο'''=+++++求(0)(3)nf n ≥可以通过先求()y f x =的的麦克劳林展开式，则展开式中nx 项的系数与!n 的乘积就是()y f x =在点0x =处的n 阶导数值)0()(n f.由麦克劳林公式，23212ln(1)(1)(),232n n n x x x x x x n ο---+=-+++-+- 所以 452231ln(1)(1)().232n n n x x x x x x x n ο--+=-+++-+- 对照麦克劳林公式()2(0)(0)(0)()(0)(),1!2!!n nn f f f f x f x x x x n ο'''=+++++从而推知()1(0)(1)!2n n f n n --=- 得 1()(1)!(0),3,4.2n n n f n n --==-六【详解】因为cos 0x ≥，且(1)n x n ππ≤<+， 所以(1)0cos cos cos .n x n x dx x dx x dx ππ+≤<⎰⎰⎰定积分的性质又因为cos x 具有周期π，所以在长度为π的积分区间上的积分值均相等：cos cos a ax dx x dx ππ+=⎰⎰，从而20(1)cos cos cos cos n n n x dx x dx x dx x dx ππππππ-=+++⎰⎰⎰⎰202cos (cos cos )n x dx n xdx xdx ππππ==-⎰⎰⎰202(sin sin )(1(01))2n x x n n πππ=-=--= 所以(1)0cos 2(1).n xdx n π+=+⎰所以 02cos 2(1),x n xdx n ≤<+⎰即 2()2(1).n S x n ≤<+(2) 由(1)有，当(1)n x n ππ≤≤+时，2()2(1)(1)n S x n n x n ππ+<<+命n →∞取极限，222lim lim 1(1)(1)n n n n nπππ→∞→∞==++，12(1)2(1)2lim lim n n n n n πππ→∞→∞++== 由夹逼定理，得()2limx S x x π→∞=.七【详解】设从2000年初(相应0t =)开始，第t 年湖泊中污染物A 的总量为m ，浓度为mV，则在时间间隔[,]t t dt +内，排入湖泊中A 的量为：00()66m mV t dt dt dt V ⋅+-=，流出湖泊的水中A 的量为33m V mdt dt V ⋅=. 因而时间从t 到t dt +相应地湖泊中污染物A 的改变量为：0()63m mdm dt =-. 由分离变量法求解：0()63dm dt m m =-两边求积分：001100()6333ln()63()()6363m m d m dm m dt t C t C m m m m -=⇔-=+⇔--=+--⎰⎰⎰ 10013ln()63363t C m m t C m m e +-+⇔-=⇔-=-103336C tm m e e --⇔-=-+⋅110033333,(3)22C C t tm mm e e m C e C e ----⇔=-⋅⇔=-⋅=初始条件为0(0)5m m =，代入初始条件得092C m =-. 于是03(19)2tm m e -=+，要满足污染物A 的含量可降至0m 内，命0m m =，得6ln3t =. 即至多需经过6ln3年，湖泊中A 的含量降至0m 以内.八【证明】 方法1：令0()(),0xF x f t dt x π=≤≤⎰，有(0)0,F =由题设有()0F π=.又由题设()cos 0f x xdx π=⎰，用分部积分，有0()cos cos ()f x xdx xdF x ππ==⎰⎰()cos ()sin F x xF x xdx ππ=+⎰0()sin F x xdx π=⎰由积分中值定理知，存在(0,)ξπ∈使0()sin ()sin (0)F x xdx F πξξπ==⋅-⎰因为(0,)ξπ∈，sin 0ξ≠，所以推知存在(0,),ξπ∈使得()0F ξ=. 再在区间[0,]ξ与[,]ξπ上对()F x 用罗尔定理，推知存在1(0,)ξξ∈，2(,)ξξπ∈使12()0,()0F F ξξ''==，即 12()0,()0f f ξξ==方法2：由()0f x dx π=⎰及积分中值定理知，存在1(0,)ξπ∈，使1()0f ξ=. 若在区间(0,)π内()f x 仅有一个零点1ξ，则在区间1(0,)ξ与1(,)ξπ内()f x 异号. 不妨设在1(0,)ξ内()0f x >，在1(,)ξπ内()0f x <. 于是由()0,()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰，有111101100()cos ()cos ()(cos cos )()(cos cos )()(cos cos )f x xdx f x dx f x x dxf x x dx f x x dxπππξπξξξξξ=-=-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当10x ξ<<时，1cos cos x ξ>，1()(cos cos )0f x x ξ->；当1x ξπ<<时，1cos cos x ξ<，仍有1()(cos cos )0f x x ξ->，得到：00>. 矛盾，此矛盾证明了()f x 在(0,)π仅有1个零点的假设不正确，故在(0,)π内()f x 至少有2个不同的零点.九【详解】为了求曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程，首先需要求出()y f x =在6x =处的导数，即切线斜率. 而函数又是以周期为5的函数，且在1x =处可导，则在6x =处可导，且其导数值等于函数在1x =处的导数值.将(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+两边令0x →取极限，由f 的连续性得(1)3(1)lim(8())0x f f x x α→-=+= ⇒ 2(1)0f -=故(1)0f =，又由原设()f x 在1x =处可导，两边同除sin x ，000(1sin )(1)(1sin )(1)8()lim3lim lim limsin sin sin sin x x x x f x f f x f x x x x x xα→→→→+---+=+- 根据导数的定义，得008()(1)3(1)limlim 8sin sin x x x x x x f f x x x xα→→''+=⋅+⋅= ⇒ 4(1)8f '= 所以(1)2f '=，又因(6)(51)(1)f f f '''=+=，所以(6)2f '=，由点斜式，切线方程为((6))(6)(6).y f f x '-=-以(6)(1)0,(6)2f f f '===代入得2(6).y x =- 即 2120.x y --=十【详解】首先联立两式，求直线与曲线的交点：221x ax -=，得：x =，而0x ≥，则交点坐标为：(,))1a x y a =+. 由点斜式，故直线OA的方程为y =由旋转体体积公式2()b aV f x dx π=⎰，要求的体积就是用大体积减去小体积：()2222224000()1a x V dx ax dx a x dx a =-=-+232525223(1)515(1)a x a x a a a ππ⎛=-=+⎝+为了求V 的最大值，对函数关于a 求导，225522221515(1)(1)dV a a da a a ππ''⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭53222552(1)(1)2215(1)a a a a a π⋅+-⋅+=⋅+ 322275255(1)[2(1)][2(1)]222215(1)15(1)a a a a a a a a a ππ++-+-=⋅=⋅++ 222277722251[22][2]22[4]22151515(1)(1)(1)a a a a a a a a a a πππ+---=⋅=⋅=⋅+++ 0a > 命0,dVda=得唯一驻点4a =，所以4a =也是V 的最大值点，最大体积为41875a V ==.十一【详解】(1) 为了求()f x '，将01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰两边同乘(1)x +，得 0(1)()(1)()()0,xx f x x f x f t dt '+++-=⎰两边对x 求导，得()(1)()()(1)()()0f x x f x f x x f x f x ''''+++++-=即 (1)()(2)()0x f x x f x '''+++=.上述方程为二阶可降阶微分方程，令()u f x '=，化为(1)(2)0x u x u '+++=，即(2)(1)du x dx u x +=-+ 两边求积分：(2)1(1)(1)1du x dx dx u x x +=-=-+++⎰⎰⎰即 1ln (ln(1))u x x C =-+++ 所以 11(ln(1))1()1x x C C x u ee e x --++-=±=±⋅⋅+ 令1C C e =±，则1xCe u x -=+，于是()1x Ce f x u x -'==+.再以0x =代入原方程001(0)(0)()(0)(0)01f f f t dt f f ''+-=+=⎰，由(0)1f =，有(0)1f '=-，于是1,()1xe Cf x x -'=-=-+. (2)方法1：用积分证.()(0)()1.1tx xe f x f f t dt dt t -'=+=-+⎰⎰而 0-000011t t xx x tt x e dt e dt e e t ->---≤≤=-=-+⎰⎰牛莱公式两边同乘以(1)-，得：101txxe e dt t ---≤-≤+⎰， 即 0()111txxe ef x dt t --≤=-≤+⎰方法2 ：用微分学方法证.因(0)1,()0f f x '=<，即()f x 单调递减，所以当0x ≥时()1f x ≤. 要证()xf x e-≥，可转化为证明()0xf x e--≥，令()()x x f x e ϕ-=-，则(0)110ϕ=-=，且()()()01xxe xf x ef x x ϕ--'''=+≥+=+ (0x ≥)所以，当0x ≥时()0x ϕ≥，即()xf x e -≥. 结合两个不等式，推知当0x ≥时，()1xef x -≤≤. 证毕.十二【详解】由题设得110121210210211102T A αβ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎡⎤ ⎪===⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦，11102221T B βα⎛⎫⎡⎤ ⎪===⎢⎥ ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭. 所以 ()22T T T A A αβαβααββ===，48AA =；24B =，216B =代入原方程22442B A x A x B x γ=++中，得16816Ax Ax x γ=++，即()82A E x γ-=其中E 是三阶单位矩阵，令[]123Tx x ,x ,x =，代入上式，得线性非齐次方程组1212123102201212x x x x x x x ⎧-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪+-=⎩(1) 显然方程组得同解方程为12123201212x x x x x -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ (2) 令自由未知量 1x k,=解得23122x k,x k ==- 故方程组通解为1231022011122x k x k k x k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，(k 为任意常数)十三【详解】方法1：先求()123,,,γααα将矩阵作初等行变换，得()123139139139206061201231701020000,,ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦知()1232,,.γααα= 故()()1231232,,,,γβββγααα==，[]123,,βββ作初等行变换[]1230110121031110030a b ,,a b βββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦因为()1232,,γβββ=，所以3a b =又3β可由123,,ααα线性表出，故()()12331232,,,,,γαααβγααα== 将[]1233,,,αααβ作初等行变换13913920610612123170110203b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦()13912012600053123bb b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦由()12332,,,γαααβ=，得()531203b b +-=，解得5b =，及315a b .== 方法2：由方法1中的初等变换结果可以看出12,αα线性无关，且31232ααα=+，故()1232,,γααα=，12,αα是123,,ααα的极大线性无关组. 又()()1231232,,,,γβββγααα==，123,,βββ线性相关. 从而得12301211310110100a ba b ,,,βββ===--计算三阶行列式得30a b -+=，得3a b =又3β可由123,,ααα线性表出 ，即可由12,αα线性表出，12,αα3β线性相关，有()123131313201061206120310010310003126b b b,,b b b b b ααβ==--=--=-+-行列式展开得()10631206b b ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，所以()531203b b +-=，得5b =及315a b .== 方法3：先利用3β可由123,,ααα线性表出，故方程组()123,,X αααβ=有解，即12313920613170x b x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦有解. 对其增广矩阵施行初等行变化13913920610612123170110203b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦()13921012600053123bb b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦由其次线性方程组有解的条件(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩)，知()53123b b +-51033b =-= 解得5b .=又因为1α和2α线性无关，且31232ααα=+，所以向量组123,,ααα的秩为2 ，由题设条件知()1232,,γβββ=，从而123001211310110100a b a b ,,,βββ===--解得15a =。
2000-数学二真题、标准答案及解析
( n +1)π
cos x dx
0
0
又因为 cos x 是以 π 为周期的函数，在每一个周期上积分值相等
所以
nπ
π
∫0 cos x dx = n∫0 cos x dx = 2n
∫ ∫ (n+1)π cos x dx = (n +1) nπ cos x dx = 2(n +1)
0
0
因此当 nπ ≤ x < (n +1)π 时，有
二、选择题
（1）设函数
f
(x)
=
a
x + ebx
在 (−∞, +∞)
内连续，且
lim
x→−∞
f
(x)
=
0 ，则常数 a,b
满足
（A） a < 0,b < 0
（B） a > 0,b > 0
（C） a ≤ 0,b > 0
（D） a ≥ 0,b < 0
【答】 应选（D）
【】
【详解】 由题设，f ( x) 在 (−∞, +∞) 内连续，因此对任意的 x ∈ (−∞, +∞) ，有，，这只需 a ≥ 0
0
（1） 当 n 为正整数，且 nπ ≤ x < (n +1)π 时，证明 2n ≤ S ( x) < 2(n +1);
S ( x)
（2） 求 lim x x→+∞
【详解】
（1）当 nπ ≤ x < (n +1)π 时，主义到被积函数是非负得，于是有
∫ ∫ nπ cos x dx ≤ S ( x) <
⎢ ⎣
g
2000年全国考研数学二真题
)
ln(1 x) ，计算 f ( x )dx . x
四、(本题满分 5 分) 设 xoy 平面上有正方形 D ( x , y ) 0 x 1, 0 y 1 及直线 l : x y t (t 0) .若 S (t ) 表示正方形
D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求 S (t )dt , ( x 0) .
第 4 页 共 22 页
九、(本题满分 7 分) 已知 f ( x ) 是周期为 5 的连续函数，它在 x 0 的某个邻域内满足关系式
f (1 sin x) 3 f (1 sin x) 8 x ( x)
其中 ( x ) 是当 x 0 时比 x 高阶的无穷小，且 f ( x ) 在 x 1 处可导，求曲线 y f ( x ) 在点 (6, f (6)) 处的 切线方程.
(2)设函数 y y ( x ) 由方程 2 、 (ln 2 1) dx 解： 方法 1：对方程 2
xy xy
x y 所确定，则 dy
x 0
.
x y 两边求微分，有
2 xy ln 2 ( xdy ydx) dx dy.
由所给方程知，当 x 0 时 y 1 . 将 x 0 ， y 1 代入上式，有 ln 2 dx dx dy . 所以， dy x 0 (ln 2 1)dx . 方法 2：两边对 x 求导数，视 y 为该方程确定的函数，有
x x
和 (C ) .故选 ( D) . (2)、C
第 9 页 共 22 页
【公式】 y kx b 为 y f ( x ) 的斜渐近线的计算公式： k lim
xx
2000_2018年考研数学二历年真题版
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）若函数1cos ,0(),0xx f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在x=0连续，则 (A)12ab =(B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可到函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且 ()0f x ''>，则 (A) 11()0f x dx ->⎰ (B) 12()0f x dx -<⎰(C) 0110()()f x dx f x dx ->⎰⎰(D)111()()f x dx f x dx -<⎰⎰（3）设数列{}n x 收敛，则(A)当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=(B)当lim ()0n n n n x x x →∞+= 时，则lim 0n n x →∞=(C)当2lim()0n n n x x →∞+=,lim 0n →∞=(D)当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=（4）微分方程248(1cos 2)xy y y e x '''-+=+ 的特解可设为ky =(A)22(cos 2sin 2)xx Aee B x C x ++ (B)22(cos 2sin 2)xx Axe e B x C x ++(C)22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++ (D)22(cos 2sin 2)xx Axexe B x C x ++（5）设()f x 具有一阶偏导数，且在任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,f x y f x y x y∂∂>∂∂则 (A)(0,0)(1,1)f f > (B)(0,0)(1,1)f f <(C)(0,1)(1,0)f f > (D)(0,1)(1,0)f f <（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则(A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t >0510********()t s (/)v m s 1020（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得 1000010002P AP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则123(,,)A ααα=(A)12αα+ (B)232αα+ (C)23αα+ (D)122αα+（8）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020000C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似(B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.（9）曲线()21arcsin y x x =+的斜渐近线方程为（10）设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t ⎧=+⎨=⎩确定，则202t d ydx =（11）()2ln(1)1x dx x +∞++⎰=（12）设函数(),f x y 具有一阶连续偏导数，且()()(),1,0,00y y df x yye dx x y e dy f =++=，则(),f x y =（13）11tan yxdy dx x=⎰⎰（14）设矩阵41212311A a ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个特征向量为112⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则a =三、解答题：15~23小题，共94分。