2.3.1直线与平面垂直的判定(高中数学人教版必修二) (1)

V
.D
A 提示：找AC中点D,连接VD,BD B
C
2.过ΔABC所在平面α外一点P,作PO ⊥α,垂足 为O,连接PA,PB,PC.
中 点. 1).若PA = PB = PC, ∠C = 90 ,则O是AB边的__ 外 心. 2).若PA = PB = PC,则O是ΔABC的_____
0
3).若PA ⊥ PB,PB ⊥ PC,PC ⊥ PA,则O是ΔABC
AB＝BC＝2⇒A1C1＝2
2，又 AA1＝1，
AA1 1 ∴AC1＝3⇒sin ∠AC1A1＝AC ＝3. 1
答案：D
图 22
2－2.若斜线段 AB 是它在平面α内的射影长的 2 倍，则 AB 与α所成的角为( A )
A．60° B．45° C．30° D．120°
知识小结
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定 （1）利用定义；垂直与平面内任意一条直线 （2）利用判定定理． 线线垂直 线面垂直
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 A1 B1 C1
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
D A B
C
典型例题
例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直 线A1B和平面A1B1CD所成的角
D1 C1
A1
B1
O
垂 心. 的_____
4－1.P 为△ABC 所在平面外一点，O 为 P 在平面 ABC 上的 射影．
外心 (1)若 PA ＝PB＝PC，则 O 是△ABC 的_____ ；
垂心 (2)若 PA ⊥BC，PB⊥AC，则 O 是△ABC 的_____ ； (3)若 P 到△ABC 三边的距离相等，且 O 在△ABC 内部，则
如图，直四棱柱 ABCD ABCD （侧棱与底面垂直 的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足什么 条件时，AC BD ？
A D B
A D B
底面四边形 ABCD 对角线相互直．
C
C
课本67页练习： 如图，在三棱锥V-ABC,VA=VC,AB=BC求证: VB⊥AC.
斜线和平面所成的角
斜线与斜线段 一条直线和一个平面相交， 但不和这个平面垂直，这条直 线叫这个平面的斜线，斜线和 平面的交点叫斜足，斜线上一 α 点和斜足间的线段叫这点到这 个平面的斜线段． 平面外一点到这个 平面的垂线段有且只有 一条，而这点到这个平 面的斜线段有无数条 P A o
a
斜线在平面内的射影 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线， 过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面内的射 影．垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线 段在这个平面上的射影
图 23 (2)如图 24，∵PO⊥平面 ABC， ∴PA 在平面 ABC 上的射影是 OA.
图 24
∵BC⊥PA ，∴BC⊥OA. 同理可证 AC⊥OB， ∴O是△ ABC 的垂心．故填垂心．
(3)如图 25，
图 25
P到△ ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF， 则 PD＝PE＝PF. ∵PO⊥平面 ABC，∴PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影 分别是 OD、OE、OF. ∴OD＝OE＝OF，且 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. ∴O是△ ABC 的内心，故填内心．
平面 的垂线
垂足
l
P
直线 l 的垂面

思考：
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 直，则直线 l 和平面 α互相垂直（ ）
l
C

B
2. a , b 面α ，则直线 l 垂直于 平面α中的任意一条直线
直线与平面垂直 除定义外，如何判定一条直线与平面垂直呢？
A
D O
证明 Q PA PC,点O是AC的中点 \ PO AC
又Q PB PD,点O是BD的中点 \ PO BD 又Q AC BD O \ PO 平面 ABCD
B
C
3.如图，圆O所在一平面为 ， AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC
2.3.1直线与平面垂直的判定
观察实例,发现新知 旗杆与地面的关系， 给人以直线与平面 垂直的形象。
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例
大桥的桥柱与水面垂直
思考1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位 置关系. 1.旗杆所在的直线始终与
A
影子所在的直线垂直.
α
B
直线与平面垂直
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
AB
斜线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所 成的夹角，叫做斜线和平面所成的角 (或斜线 和平面的夹角). 简称线面角
l为一斜线，O为斜足， A为l上任一点， AB , B为垂足
斜线和平面所成的角 1、直线和平面垂直 直线和平面所成的 角是直角 直线和平面平行或在平面内 直线和平面 所成的角是0°
2－1.如图 5，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， AB＝BC＝2， AA1＝1，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为( )
图5
A. 3
2
2
2 B.3
2 C. 4
1 D.3
解析：如图22 ，连接 A1C1 ，则∠AC1A1 为 AC1 与平面
A1B1C1D1 所成角．
内心 ； O 是△ABC 的______
垂心 (4)若 PA 、PB、PC 两两互相垂直，则 O 是△ABC 的_____ ．
解析：(1)如图 23，∵PO⊥平面 ABC， ∴PA 、PB、PC 在平面 ABC 上的射影分别是 OA、OB、OC. 又∵PA ＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC. ∴O 是△ ABC 的外心．
A A 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： A
l
P
A
C
D

B B
D D
C C
C
B B
D
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直 过 ABC 的顶点 A翻折纸片，得到折痕AD，将翻 线与桌面所在平面 垂直． 折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）
直线与平面垂直判定定理
D C
A
B
解：连接BC1交B1C于点O,连接A 1O, ∵ A 1B1 ⊥ B1C1，A1B1 ⊥ B1B, ∴ A 1B1 ⊥平面BCC1B1. ∴ A 1B1 ⊥ BC1,又BC1 ⊥ B1C, ∴ BC1 ⊥平面A 1B1CD. ∴ A 1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影， ∠BA 1O为A1B与平面A1B1CD所成的角. 设正方体的棱长为a 在RtΔA 1BO中，A 1B = 2 2a,BO = a, 2
判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂
直，则该直线与此平面垂直．
a l b a b A
简记为：线线垂直
la l b
l
b

A
a
“平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少 线面垂直
作用： 判定直线与平面垂直．
例1
课本65页 如图，已知 a // b, a ，求证 b .
证明：∵AB＝AC，DB＝DC，E 为BC 中点，
∴AE⊥BC，DE⊥BC. 又∵AE 与DE 交于E，∴BC⊥平面AED.
由判定定理可知要证明直 线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两 条相交直线垂直即可．
P
例2:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与 BD的交点，且PA =PC ,PB =PD . 求证：PO⊥平面ABCD
解：（1） AB , AC , 且AB AC A PA AC , PA AB \ PA 又 BC \ PA BC
A
P
O
C
B
(2) Q C为圆O上一点，AB 为直径 \ BC AC
1得BC PA, 又Q PA AC A 由 \ BC 面PAC
变式如图 6，已知 PA ⊥⊙O 所在平面，
AB 为⊙O 直径，C 是圆周上任一点， 过 A 作 AE⊥PC 于 E，求证：AE⊥平面 PBC.
证明：∵PA ⊥⊙O 所在平面， BC⊂⊙O 所在平面，∴PA ⊥BC，
∵AB 为⊙O 直径， ∴AC⊥BC，
又 PA ∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC， 又 AE⊂平面 PAC，∴BC⊥AE， ∵AE⊥PC, PC∩BC＝C， ∴AE⊥平面 PBC.
2、直线与平面所成的角θ的取值范 π 0 ≤θ≤ 围是：______________ 2 斜线与平面所成的角θ的取值范围 π 0 < θ < 是：______________ 2
线面所成的角
关键：过斜线上一点作平面的垂线
斜线 PA 斜足A
P
线面所成角 （锐角∠PAO）
A α
射影AO
O
1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
1 ∴ BO = A 1B, ∠BA 1O = 30 o. 2 直线A 1B和平面A 1B1CD所成的角为30 o.
求直线和平面所成的角时，应注意的问题 是：(1)先判断直线和平面的位置关系．(2)当直线和平面斜交时， 常有以下步骤：①作——作出或找到斜线与射影所成的角；② 证——论证所作或找到的角为所求的角；③算——常用解三角 形的方法求角；④结论——说明斜线和平面所成的角值．
（3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那 么另一条也垂直于同一个平面
3．数学思想方法：转化的思想