高中数学-圆锥曲线-历年高考考题合集
高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题(含答案解析)
高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题（含答案解析）1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，分别以PQ ，PF 为直径作圆和圆，且圆和圆交于P ，R 两点，且.(1)求动点的轨迹E 的方程；(2)若直线：交轨迹E 于A ，B 两点，直线：与轨迹E 交于M ，D 两点，其中点M 在第一象限，点A ，B 在直线两侧，直线与交于点且，求面积的最大值.【解析】（1）设点,因为, 由正弦定理知,,解得, 所以曲线的方程为.（2）直线与曲线在第一象限交于点, 因为,所以, 由正弦定理得:,xOy ()1,0F l =1x −P P l Q 1C 2C 1C 2C PQR PFR ∠=∠P 1l x my a =+2l 1x =2l 1l 2l N MA BN AN MB ⋅=⋅MAB △(,)P x y PQR PFR ∠=∠||||PQ PF =|1|x =+24y x =E 24y x =1x =E (1,2)M ||||||||MA BN AN MB ⋅=⋅||||||||MA MB AN BN =sin sin sin sin ANM BNMAMN BMN∠∠=∠∠所以. 设， 所以, 得,所以， 所以直线方程为:,联立，得 由韦达定理得,又因为点在直线的上方,所以,所以, 所以又因为点到直线的距离为所以方法一：令,则,所以当时,单调递增,当时,单调递减,所以， 所以当时,面积最大,此时最大值为.方法二：最大值也可以用三元均值不等式,过程如下:， 当且仅当,即时,等号成立.AMN BMN ∠=∠()()1122,,,A x y B x y 12122212121222224411221144AM BM y y y y k k y y x x y y−−−−+=+=+=+=−−++−−124y y +=−2121222121124144AB y y y y k y y x x y y −−====−−+−1l x y a =−+24y xx y a ⎧=⎨=−+⎩2440,16(1)0,1y y a a a +−=∆=+>>−12124,4y y y y a +=−=−M 1l 21a >−+13a −<<12||AB y =−=M 1l d =11||22ABMSAB d ==⨯=2()(1)(3),13f a a a a =+−−<<()(31)(3)f a a a '=−−113a −<<()0,()f a f a '>133a <<()0,()f a f a '<max 1256()327f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭13a =ABM S ∆=ABM S △ABMS==223a a +=−13a =2．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，，一个焦点为． (1)求椭圆的标准方程；(2)过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点，直线分别与直线相交于两点，若为锐角，求直线斜率的取值范围． 【解析】（1）由题意知：椭圆的离心率因为一个焦点为，所以，则由可得：，所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，， 联立方程组，整理可得：，则有， 由条件可知：直线所在直线方程为：， 因为直线与直线相交于 所以，同理可得：， 则， 若为锐角，则有， 所以 C O ()0,1F C F l ,A B ,OA OB 2y =,M N MON ∠l k C c e a ==()0,1F 1c =a 222a b c =+1b =C 2212y x +=l 1y kx =+1122(,),(,)A x y B x y 22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(2)210k x kx ++−=12122221,22k x x x x k k −−+==++OA 11y y x x =OA 2y =M 112(,2)x M y 222(,2)xN y 112(,2)x OM y =222(,2)xON y =MON ∠0OM ON >121212212121212444444(1)(1)()1x x x x x x OM ON y y kx kx k x x k x x =+=+=++++++，则，解得：或， 所以或或， 故直线斜率的取值范围为. 3．（2023·青海海东·统考一模）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)若在点处的切线为，函数的图象在点处的切线为，，求直线的方程.【解析】（1），，则，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）设，令，则. 当时，； 当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得最大值2，即.，当且仅当时，等号成立，取得最小值2. 因为，所以，得.2222142=412122k k k k k k −⨯++−−⨯+⨯+++22=41k +−22421k k −=−224201k k −>−212k <21k>k −<<1k >1k <−l k 22(,1)(,)(1,)22−∞−−+∞()32ln 13x f x x x x =−+−()y f x =1x =()y f x =A 1l ()e e x xg x −=−B 2l 12l l ∥AB ()11101133f =−+−=−()222ln 212ln 3f x x x x x =+−+=−+'()12f '=()y f x =1x =()1213y x +=−723y x =−()()1122,,,A x y B x y ()22ln 3h x x x =−+()()()21122x x h x x x x+−=−='01x <<()0h x '>1x >()0h x '<()h x ()0,1()1,+∞()22ln 3h x x x =−+1x =()2f x '…()e e 2x x g x −=+'…0x =()g x '12l l ∥()()122f x g x ''==121,0x x ==即，所以直线的方程为，即. 4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，．(1)若的面积为的标准方程；(2)如图，过点作斜率的直线l 交椭圆于不同两点M ，N ，点M 关于x 轴对称的点为S ，直线交x 轴于点T ，点P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q ，使，记四边形的面积为，求的最大值．【解析】（1），∴，，解得的标准方程为：. （2），∴，椭圆，令，直线l 的方程为：， 联立方程组： ，消去y 得，由韦达定理得，，()11,,0,03A B ⎛⎫− ⎪⎝⎭AB ()130010y x −−−=−−13y x =−22122:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F ||2||OA OB =12BF F △1C (1,0)P (0)k k >1C SN OM ON OQ +=OMQN 1S 21OT OQ S k⋅−||2||OA OB =2a b =12122BF F S b c =⋅=△bc =222a b c =+4,2,a b c ===1C 221164x y +=||2||OA OB =2a b =22122:14x yC b b+=()()()()201012,,,,,,,0T M x y N x y Q x y T x (1)y k x =−222214(1)x y b b y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22222(14)8440k x k x k b +−+−=2122814k x x k +=+221224414k b x x k −=+有 ，因为：，所以， ， 将点Q 坐标代入椭圆方程化简得： ， 而此时： . 令，所以直线 ， 令得 ， 由韦达定理化简得，，而， O 点到直线l 的距离， 所以：，，因为点P 在椭圆内部，所以 ，得，即令 ，求导得 ，当，单调递增； 当 ，即，单调递减.所以：，即5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：的右顶点为，过左焦点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，交轴于P 点，，，记，，（为C 的右焦点）的面积分别为.121222(2)14kyy k x x k −+=+−=+OM ON OQ +=202814k x k =+02214k y k −=+222414k b k=+()22222284(14)(44)480k k k b k ∆=−+−=>()11,S x y −122221:()y y SN y y x x x x +−=−−0y =()1212211212212112122(1)(1)(2)2T x x x x x y x y k x x k x x x y y k x x x x −+−+−===+++−+−24T x b =12OMN S S =△12MN x =−=d =1122S MN d =⨯⋅=2222243212814(14)k b k OQ OT k k ⋅==++2312280(14)OT OQ S k k k ⋅−=+214b <2112k >k >322()(14)k f k k =+222222423(41)(43)(43)()(14)(14)k k k k k f k k k −+−−−'==++213124k <<k <<()0f k '>()f k 234k >k >()0f k '<()f k max()f k f ==⎝⎭21maxOT OQ S k ⎛⎫⋅−=⎪⎝⎭22221(0)x y a b a b+=>>A 1(0)x ty t =−≠y PM MF λ=PN NF μ=OMN 2OMF △2ONF △2F 123,,S S S(1)证明：为定值；(2)若，，求的取值范围.【解析】（1）由题意得F ，，所以椭圆C 的标准方程为：.设，显然，令，，则，则，，由得，解得，同理. 联立，得. ，从而（定值） （2）结合图象，不妨设，，，， λμ+123S mS S μ=+42λ−≤≤−m a (1,0)1c −⇒=2221b a c =−=2212x y +=1122(,),(,)M x y N x y 0t ≠0x =1y t =10,P t ⎛⎫⎪⎝⎭111,PM x y t ⎛⎫=− ⎪⎝⎭()111,MF x y =−−−PM MF λ=11111(,)(1,)x y x y t λ−=−−−111ty λ+=211ty μ+=22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22(2)210t y ty +−−=12122221,11t y y y y t t −+==++121212*********y y tty ty t y y t λμ++++=+=⋅=⋅=−−4λμ+=−120y y >>1121211122S y y y y =⋅⋅−=−（）21111122S y y =⋅⋅=32211122S y y =⋅⋅=−由得 代入，有，则， 解得 ，，设，则，设，则，令，解得，解得，故在上单调递减，在上单调递增，则且，则，则. 6．（2023·四川成都·统考二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与该椭圆交于两点，且的方程. 【解析】（1）由已知得，解得，，所求椭圆的方程为；（2）由（1）得.①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得. 111ty λ+=21211111,,13y y y tt y λμμμλμ++++====+−−123S mS S μ=+()1212111222y y my y μ−=−1212y y my y μ−=−2222111811(1)17(3)133y y y m y y y μμμμμμ⎡⎤=−+=−−=−=−++−+⎢⎥+⎣⎦42λ−≤≤−31[1,3]μλ∴+=−−∈3u μ=+[]1,3u ∈()87h u u u ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭()228uh u u −'=()0h u '>1u <<()0h u '<3u <<()h u ()(()max 7h u =−()()412,33h h =−=()2,7h u ⎡∈−−⎣2,7m ⎡−−⎣∈22221(0)x y a b a b+=>>12,F F e =22a c =1F l M N 、2223F M F N +=l 22c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1a c ==1b ∴∴2212x y +=()()121,01,0F F −､l l =1x −22112x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩2y =设， ，这与已知相矛盾. ②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立， 消元得，，，又，， 化简得，解得或（舍去）所求直线的方程为或.7．（2023·全国·高三专题练习）设分别是椭圆的左､右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，到直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4. (1)求椭圆的方程；(2)已知点，设是椭圆上的一点，过两点的直线交轴于点，若，1,M N ⎛⎛−− ⎝⎭⎝⎭､()222,4,04F M F N ⎛⎛⎫∴+=−+−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭l l k l ()1y k x =+()()1122,,M x y N x y ､()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()2222124220k x k x k +++−=22121222422,1212k k x x x x k k −−∴+==++()121222212ky y k x x k ∴+=++=+()()2112221,,1,F M x y F N x y =−=−()2212122,F M F N xx y y ∴+=+−+(22F M F N x ∴+=424023170k k −−=21k =21740k =−1k ∴=±∴l 1y x =+=1y x −−12,F F 2222:1(0)x y D a b a b+=>>2F π3D ,A B 1F AB D D ()1,0M −E D ,E M l y C CE EM λ=求的取值范围；(3)作直线与椭圆交于不同的两点，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值.【解析】（1）设的坐标分别为，其中； 由题意得的方程为. 因为到直线的距离为3，解得①因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4，所以，即 ②联立①②解得: ,所求椭圆D 的方程为.（2）由（1）知椭圆的方程为，设，因为，所以所以，代入椭圆的方程， 所以，解得或.（3）由，设根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为，则直线的方程为，把它代入椭圆的方程，消去整理得： 由韦达定理得则，； 所以线段的中点坐标为. （i ）当时，则，线段垂直平分线为轴，λ1l D ,P Q P ()2,0−()0,N t PQ 4NP NQ ⋅=t 12,F F ()(),0,,0c c −0c >AB )y x c −1F AB 3,=c =2223a b c −==D 12242a b ⨯⨯=2ab =2,1a b ==2214x y +=2214x y +=11(,),(0,)E x y C m CE EM λ=1111(,)(1,),x y m x y λ−=−−−11,11m x y λλλ=−=++22()1()141m λλλ−++=+2(32)(2)04m λλ++=≥23λ≥−2λ≤−()2,0P −11(,)Q x y 1l k 1l ()2y k x =+D y 2222(14)16(164)0k x k x k +++−=212162,14k x k −+=−+2122814k x k −=+112()4214k y k x k =+=+PQ 22282(,)1414k kk k −++0k =()2,0Q PQ y于是，由解得（ii ）当时，则线段垂直平分线的方程为. 由点是线段垂直平分线的一点，令，得；于是由， 解得综上可得实数的值为8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，为椭圆的左､右顶点，焦距长为在椭圆上，直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)已知为坐标原点，点，直线交椭圆于点不重合），直线交于点.求证：直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【解析】（1）由题意，，设，，由题意可得，即，可得 (2,),(2,)NP t NQ t =−−=−244,NP NQ t ⋅=−+=t =±0k ≠PQ 222218()1414k ky x k k k −=−+++()0,N t PQ 0x =2614kt k =−+11(2,),(,)NP t NQ x y t =−−=−24211222224166104(16151)2()4141414(14)k k k k k NP NQ x t y t k k k k −++−⎛⎫⋅=−−−=+== ⎪++++⎝⎭k =2614k t k =−=+t ±,A B 2222:1(0)x yE a b a b+=>>P E ,PA PB 14−E O ()2,2C −PC E (,M M P ,BM OC G ,AP AG ()(),0,,0A a B a −()00,P x y 0000,PA PB y y k k x a x a==+−000014y y x a x a ⋅=−+−222014y x a =−−2202222222201111444x b a b a c x a a a ⎛⎫− ⎪−⎝⎭=−⇒=⇒=−又所以，椭圆的方程为；（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，且联立，得 由，得，所以， 设，由三点共线可得所以，直线的斜率之积为定值.9．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.2c =c =2a =E 2214x y +=MP :MP y kx m =+()()112222,,,,k m P x y M x y =−+2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222148440k x kmx m +++−=Δ0>22410k m +−>2121222844,1414km m x x x x k k −−+==++(),G t t −,,G M B 222222222y y tt t x x y −=⇒=−−−+−11,22AG AP y tk k t x ==−++()()()()112121221212222221222AG AP y y y y y tk k t x x y x k x m x ⋅=⋅=−=−−+++−+⎡⎤++−+⎣⎦()()()()()())()()22212122212112121221222124y k x x km x x m y m x x m x m x m x x x x +++=−=−=−−++⎡⎤⎡⎤−+−+−+++⎣⎦⎣⎦()()()2222222222222222244844841414448144164161241414m kmk km m k m k m m k m k k m km m m km k m k k −−+⋅+−−++++=−=−⎡⎤⎡⎤−−−−−++⎣⎦−+⋅+⎢⎥++⎣⎦()()()()()()()2222222422141(2)818144144m k m k m k m k m m m m k m m m m km k −+−++−=−=−=−=−=−−−−−−−+,AP AG 14−F F '221:171617C x y +=1l F '2l 1l G GF 2l H H 2C(1)求轨迹的方程；(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A 、B ，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.【解析】（1），，椭圆半焦距长为，，，，动点到定直线与定点的距离相等，动点的轨迹是以定直线为准线，定点为焦点的抛物线，轨迹的方程是；（2）猜想证明如下：由（1）可设，，，则，切线的方程为：同理，切线的方程为： 联立方程组可解得的坐标为， 在抛物线外，，，2C P :20l x y −−=P 2C PA PB PFA ∠PFB ∠22171617x y +=∴2211716y x +=∴1410,4F ⎛⎫'− ⎪⎝⎭10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭HG HF =∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴2C 2x y =PFA PFB ∠=∠()211,A x x ()()22212,B x x x x ≠2y x =2y x '∴=112AP x x k y x =='=∴AP ()1221111220y x x x x y x x x −⇒−=−−=BP 22220x x y x −−=P 122P x x x +=12P y x x =P ∴||0FP ≠2111,4FA x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭12121,24x x FP x x +⎛⎫=− ⎪⎝⎭2221,4FB x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭22121121112122221112211111244444cos ||||||11||||4x x x x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP FP x x FP x +⋅−−+++⋅∴⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅∠====+− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⋅+同理10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆＋＝1（a ＞b ＞0），右焦点F （1,0），，过F作两条互相垂直的弦AB ，CD .(1)求椭圆的标准方程；(2)求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围.【解析】（1）由题意知，，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）①当直线与中有一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，不妨设直线的斜率为0，的斜率不存在，则直线方程为，直线的方程为，联立可得所以联立可得所以所以四边形ADBC 的面积． ②当两条直线的斜率均存在且不为0时，设直线的方程为，1214cos ||||||x x FP FB BFP FP FB FP +⋅∠==cos cos AFP BFP ∴∠=∠PFA PFB ∴∠=∠22x a 22y b2c e a ==a 1c =a =222abc =+21b =2212x y +=AB CD AB CD AB 0y =CD 1x =22120x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩AB =22121x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩CD =11||||222S AB CD =⋅=⨯AB (1)y k x =−则直线的方程为． 将直线的方程代入椭圆方程，整理得，方程的判别式，设， 所以， ∴， 同理可得， ∴四边形ADBC 的面积 ， ∵，当且仅当时取等号，∴四边形ADBC 的面积，综上①②可知，四边形ADBC 的面积的取值范围为．11．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P ，Q (均异于点，证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2．CD 1(1)y x k=−−AB ()2222124220k xk x k +−+−=()2222124220k x k x k +−+−=()()42221642122880k k k k ∆=−+−=+>()()1122,,,A x y B x y 22121222422,1212k k x x x x k k −+=⋅=++12||AB x −)22112kAB k +==+)2222111||1212k k CD k k⎫+⎪+⎝⎭==++⨯))22221111||||22122k k S AB CD k k ++=⋅=⨯⨯++()2222242144122252112121k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===−++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22121219k k ⎛⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭⎝1k =±16,29S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭S 16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦22:12+=x E y (1,1)M k E (0,1)A −【解析】设,直线的方程为,两交点异于点，则 ,联立直线与椭圆方程,消去变量 并整理得,由已知，由韦达定理得,则所以可知直线与的斜率之和为2.12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，，若，求的值．【解析】由题可知，设，，，由，得， 满足，可得，()()1122,,,P x y Q x y PQ (1)1y k x =−+A 2k ≠y ()222221124(1)2402(1)1x y k x k k x k k y k x ⎧+=⎪⇒++−+−=⎨⎪=−+⎩0∆>21212224(1)24,1212k k k kx x x x k k −−+==++()()12121212121211AP AQ k x k x y y k k x x x x −+−++++=+=+()()12121212122(2)(2)2kx x k x x k x x k x x x x +−+−+==+222244122(2)1224k k k k k k k k−+=+−⋅⋅+−()2212k k =−−=AP AQ 22162x y +=1F 2F A B P 11PF F A λ=22PF F B μ=2λ=μ2226,2,4a b c ===()00,P x y 11(,)A x y 22(,)B x y 11PF F A λ=22PF F B μ=()1,0F c −0101101x x c y y λλλλ+⎧−=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩()010110x x c y y λλλ⎧+=−+⎨+=⎩满足，可得，由，可得， 所以，∴，， 又，∴， 同理可得， ∴， 所以，又，所以.13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且直线被椭圆． (1)求椭圆的方程；(2)以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点为，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．【解析】（1）直线，经过点，，被椭圆，可得．又，，解得：，，， ()2,0F c 0202101x x c y y μμμμ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩()020210x x c y y μμμ⎧+=−+⎨+=⎩22002222112211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2200222222211221x y a b x y a b λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()()()010*******21x x x x y y y y abλλλλλ−+−++=−()()()()0101211x x x x a λλλλ−+=−+()()2011a x x cλλ−=−−()()011x x c λλ+=−+222202a c a c x c cλ−+=−222202a c a c x c c μ−+=−+()22222a c a c c cλμ−++=⋅2222210a c a cλμ++=⋅=−2λ=8μ=22122:1(0)x y C a b a b+=>>121:1x yl a b+=1C 1C 1C 2C 2:4l y =M 2C ,A B AB 1C C D ||||CD AB ⋅1:1x yl a b+=(,0)a (0,)b 1C 227a b +=12c a =222a b c =+24a =23b =1c =椭圆的方程为．（2）由（1）可得：圆的方程为：．设，则以为直径的圆的方程为：，与相减可得：直线的方程为：，设，，，，联立，化为：，，则，，故又圆心到直线的距离，令，则，可得，可得：14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为∴1C22143x y+=2C224x y+=(2,4)M t OM222()(2)4x t y t−+−=+224x y+=AB2440tx y+−=1(C x1)y2(D x2)y222440143tx yx y+−=⎧⎪⎨+=⎪⎩22(3)480t x tx+−−=248(2)0t∆=+>12243tx xt+=+12283x xt=⋅−+||CDO AB d=||AB∴=||||AB CD∴⋅==23(3)t m m+=≥||||AB CD⋅==3m≥3233m≤−<||||AB CD⋅<22122:1(0)x yC a ba b+=>>1F2F P 1290F PF∠=︒P P1F2(1)求椭圆的方程；(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围． 【解析】（1）设半焦距为，由使得的点恰有两个可得， 动点到焦点的距离的最大值为，可得所以椭圆的方程是. （2）圆的方程为，设直线的坐标为.设，连接OA ，因为直线为切线，故，否则直线垂直于轴，则与直线若，则，故， 故直线的方程为：， 整理得到：；当时，若，直线的方程为：；若，则直线的方程为：， 满足.故直线的方程为，同理直线的方程为， 又在直线和上，即，故直线的方程为.1C 1C 2C x =−T 2C A B AB 1C C D ||CD c 1290F PF ∠=︒P ,b c a =P 1F 22a c +=2,a c =1C 22142x y +=2C 224x y +=x =−T ()t −1122(,),(,)A x y B x y AT 10y ≠AT x AT x =−10x ≠11OA y k x =11AT x k y =−AT ()1111x y y x x y −=−−2211114x x y y x y +=+=10x =(0,2)A AT 2y =(0,2)A −AT =2y −114x x y y +=AT 114x x y y +=BT 224x x y y +=()t −AT BT 112244ty ty ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩AB 4ty −+=联立，消去得，设，． 则， 从而， 又，从而，所以. 15．（2023·全国·高三专题练习）已知、分别为椭圆的左、右焦点，且右焦点的坐标为，点在椭圆上，为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程(2)若过点的直线与椭圆交于两点，且的方程； (3)过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为，（，224142ty x y ⎧−+=⎪⎨+=⎪⎩x 22(16)8160t y ty +−−=33(,)C x y 44(,)D x y 343422816,1616t y y y y t t −+==++||CD 224(8)16t t +=+232416t −=++21616t +≥2322016t −−≤<+||[2,4)CD ∈1F 2F 2222:1(0)x yC a b a b+=>>2F (1,0)(P C O C 2F l C ,A B ||AB =l C Q 22:1O x y +=M N M不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，那么是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）椭圆的右焦点的坐标为，椭圆的左焦点的坐标为，由椭圆的定义得， 所以，由题意可得，即，即椭圆的方程为；（2）直线与椭圆的两个交点坐标为，， ①当直线垂直轴时，方程为：，代入椭圆可得，舍去；②当直线不垂直轴时，设直线联立，消得，，则，，恒成立.， 又， N MN x y m n 2212m n+C 2F (1,0)∴C 1F (1,0)−12||||2PF PF a +=2a =a ∴=22a =1c =2221b ac =−=C 2212x y +=l C ()11,A x y ()22,B x y l x l 1x =y =||AB =l x :(1)l y k x =−2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩y ()2222124220k x k x k +−+−=2122421k x x k +=+21222221k x x k −=+()()()()22222442122810k k k k ∆=−+−=+>22AB =()()22121214k x x x x ⎡⎤=++−⎣⎦()()22228121k k +=+||AB =()()222228132921k k +==+⎝⎭化简得，，即，解得或（舍去），所以，直线方程的方程为或. （3）是定值，定值为2.设点，，，连接，，，，则有，. ，不在坐标轴上，则，， 则，， 直线的方程为，即，① 同理直线的方程为，②，将点代入①②，得，显然，满足方程，直线的方程为，分别令，，得到，，，，又满足，，即.16．（2023·全国·高三专题练习）某同学在探究直线与椭圆的位置关系时发现椭圆的一个重要性427250k k −−=()()227510k k +−=21k =257k =−1k =±∴l 10x y −−=10x y +−=()00,Q x y ()33,M x y ()44,N x y OM ON 0M MQ ⊥ON NQ ⊥22331x y +=22441x y +=M N 33MO y k x =44NO y k x =331MQ MOx k k y =−=−441NQ NO x k k y =−=−∴MQ ()3333x y y x x y −=−−2233331xx yy x y +=+=⋯NQ 441xx yy +=⋯Q 0303040411x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩()33,M x y ()44,N x y 001xx yy +=∴MN 001xx yy +=0x =0y =01n x =01=m y 01y m ∴=01x n =()00,Q x y 2212x y +=∴221112m n +=22122m n +=质：椭圆在任意一点，处的切线方程为．现给定椭圆，过的右焦点的直线交椭圆于，两点，过，分别作的两条切线，两切线相交于点． (1)求点的轨迹方程；(2)若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于，两点，证明：为定值． 【解析】（1）由题意F 为，设直线为，，，，， 易得在点处切线为，在点处切线为， 由得，又，，可得，故点的轨迹方程．（2）证明：联立的方程与的方程消去，得．由韦达定理，得，，所以，因为，直线MN 可设为，同理得， 所以．2222:1(0)x y C a b a b+=>>0(M x 0)y 00221xx yy a b +=22:143x y C +=C F l C P Q P Q C G G F l C M N 11||||PQ MN +()1,0PQ 1x ty =+1(P x 1)y 2(Q x 2)y P 11143x x y y +=Q 22143x x y y+=11221,431,43x xy yx x y y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1122124()y y x x y x y −=−111x ty =+221x ty =+4x =G 4x =l C 221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x 22(34)690t y ty ++−=122634t y y t +=−+122934y y t =−+2212(1)||34t PQ t +=+PQ MN ⊥11x y t =−+2222112(1)12(1)||13434t t MN t t++==+⋅+22221134347||||12(1)12(1)12t t PQ MN t t +++=+=++。
2024_2025年高考数学真题分类汇编15圆锥曲线选填题
圆锥曲线小题一、选择题1．(2024年高考全国甲卷理科)已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为 ( )A B C D 【答案】A解析：因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =．故选：A2．(2024年高考全国乙卷理科)设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的随意一点P 都满意||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是 ( )A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C3．(2024年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p =+，解得6p．故选：C ．4．(2024年高考数学课标Ⅱ卷理科)设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 ( )A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 解析：2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B ．5．(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = ( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A解析：5ca=，c ∴=，依据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．6．(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 ( ) A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B解析：因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 依据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B ．7．(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为 ( )A ．4B C ．D ．【答案】A【解析】由2,a b c ====,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则2P y ==1133262224PFO P S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选A ． 8．(2024年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设F 为双曲线:C 22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若PQ OF =，则C的离心率为()( )A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又∵||PQ OF c ==，∴||2c PA =， PA 为以OF 为直径的圆的半径，∴A 为圆心||2c OA =．∴,22c c P ⎛⎫⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，∴22244c c a +=，即222c a =，∴2222c e a==，∴2e =，故选A ．9．(2024年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以232p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得8p =，故选D ．10．(2024年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B解析：如图，设2BF t =，则212,3AF t BF t ==，由12122AF AF BF BF a +=+=，可得12AF t =，12AF AF =，所以点A 为椭圆的上顶点或下顶点．在1ABF △中，由余弦定理可得2222129491cos 12sin 2323t t t BAF OAF t t +-∠=-∠==⨯⨯，)的左、右OP ，则C 的离心率为 ( )A B ．2CD【答案】C解析：法一：依据双曲线的对称性，不妨设过点2F 作渐近线by x a=的垂线，该垂线的方程为()a y x c b =--，联立方程()b y x aa y x cb ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2P Pab y c ax c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由22116PF PF OP =⇒=222222266a ab ab a c a c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⇒++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理可得42222240a a c c a b -++=即()422222240a a c c a c a -++-= 即4223c a c =即223c a =，所以23e =，所以e =C ．法二：由双曲线的性质易知2PF b =，2OF c =，所以222OP c b a =-= 在2Rt POF ∆中，222cos PF bPF O OF c∠== 在12PF F ∆中，由余弦定理可得22221212212cos 2PF F F PF bPF O PF F F c+-∠==所以)222422b c bb cc+-=⋅，整理可得2222464b c a b =-=，即()222224633c a b c a -==-所以223c a =，所以e =C ．12．(2024年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为( )A ．23 B ．12 C ．13D ．14【答案】D解析：因为12PF F ∆为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由余弦定理得1PF =，所以(2)P c ，而(,0)A a -，由已知AP k =，得4a c =，即14e =，故选D ．13．(2024年高考数学课标Ⅱ卷（理）)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>线方程为( ) A．y = B．y =C．y = D．y = 14．(2024年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知双曲线22:13x C y -=,O 为坐标原点，F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ．若OMN ∆为直角三角形,则MN =( )A ．32B ．3C．D ．4【答案】B解析：双曲线22:13x C y -=的渐近线方程为：y x =，渐近线的夹角为：60，不妨设过()2,0F 的直线为：)2y x =-，则)2y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得3,22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭;)23y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩解得：(3,N ，则3MN ==，故选B ．15．(2024年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设抛物线2:4C y x =的焦点为F ．过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于,M N 两点，则FM FN = ( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8【答案】D解析：抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，过点()2,0-且斜率为23的直线为：324y x =+，联立直线与抛物线2:4C y x =，消去x 可得：2680y y -+=，解得122,4y y ==，不妨()1,2M ，()4,4N ，()0,2FM =，()3,4FN =，则()()0,23,48FM FN ==，故选D ． 16．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点,过F 作两条相互垂直的直线1l ,2l ,直线1l 与C 交于,A B 两点,直线2l 与C 交于,D E 两点,则AB DE +的是小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ,3344(,),(,)D x y E x y ,直线1l 方程为1(1)y k x =-取方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩,得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k += 同理直线2l 与抛物线的交点满意22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++≥= 当且仅当121k k =-=(或1-)时,取得等号．17．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆2222:1x y C a b+=，()0a b >>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )A．3B．3C．3D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为原点，半径为R a =，该圆与直线20bx ay ab -+=相切所以圆心()0,0到直线20bx ay ab -+=的距离d R a ===，整理可得223a b =所以c e a ==3==，故选A ．18．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 ( ) A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 【答案】B【解析】由渐近线的方程y x =，可设双曲线的方程为2245x y λ-= 又椭圆221123x y +=的焦点坐标为()3,0± 所以0λ>，且24531λλλ+=⇒=，故所求双曲线C 的方程为：22145x y -=，故选B ． 19．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若双曲线C:22221x y a b-=(0a >，0b >)的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 ( )A ．2BCD．3【解析】解法一：常规解法依据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a=±，依据直线与圆的位置关系可求得圆心到=，解得2e =．解法二：待定系数法设渐进线的方程为y kx =∴=23k =；由于渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =． 解法三：几何法从题意可知：112OA OO O A ===，1OO A ∆为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为3π由于tan k θ=，可得3k渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =． 解法四：坐标系转化法依据圆的直角坐标系方程：()2224x y -+=，可得极坐标方程4cos ρθ=，由4cos 2θ=可得极 角3πθ=，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以3k =渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =． 解法五：参数法之直线参数方程如上图，依据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a =±，可以表示点A 的坐标为()2cos ,2sin θθ，∵ cos a c θ=，sin b c θ= ∴ 点A 的坐标为22,a b c c ⎛⎫⎪⎝⎭，代入圆方程中，解得2e =．20．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,A B 、分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】由题意,设直线l 的方程为()y k x a =+,分别令x c =-与0x =,得点()FM k a c =-,OE ka =,由△OBE ∽△CBM ,得12OE OB FM BC =,即2()ka ak a c a c=-+,整理得13c a =,所以椭圆的离心率13e =,故选A. 21．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为 ( ) A ．2 B ．32C ．3D ．2【答案】A【解析1】由题可令21|MF |=3,|MF |=1，则22a 所以1a ，248c ，所以2c ，所以2e故选Ａ．22．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于,A B 两点，交C 的准线于,D E 两点．已知42AB =，25DE =，则C 的焦点到准线的距离为 ( ) (A)2(B)4(C)6(D)8【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，题目条件翻译如图：设(0,22A x ，52p D ⎛-⎝， 点(0,22A x 在抛物线22ypx =上，∴082px =……①点52p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③ 联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =． 故选B ．23．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知方程222213-x y m n m n-=+错误!未指定书签。
高中数学C-圆锥曲线题库200题
第九章圆锥曲线 (2)第51课椭圆 (2)第52课双曲线 (7)第53课抛物线 (8)第54课直线与圆锥曲线（１）（位置关系、弦长） (9)第55课直线与圆锥曲线（２）（定值、存在性问题） (16)第56课综合应用（最值、范围） (27)第51课椭圆（苏北四市期末）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，点A ，1B ，2B ，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点．若直线2AB 与直线1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为 ▲ ．12（扬州期末 ）如图，A ，B ，C 是椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，BC（1）求椭圆的离心率；（2）若y 轴被△ABC 的外接圆所截得弦长为9（1）因为BC 过椭圆M 的中心，所以22BC OC OB ==．又AC BC ⊥，2BC AC =，所以OAC ∆是以角C 为直角的等腰直角三角形，……3分则(,0)A a ，(,)22aa C -，(,22a a B -，AB =，所以2222()()221a aa b -+=，则223a b =，所以222c b =，e = ……7分（2）ABC ∆的外接圆圆心为AB 中点(,44a aP ， 则ABC ∆的外接圆为2225()()448a a x y a -+-=．……10分令0x =，y a =或2a y =-，所以()92aa --=，得6a =，所以所求的椭圆方程为2213612x y +=．……15分（南京盐城模拟一）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的右准线方程为4x =，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l（1）求椭圆C 的标准方程；（2）将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，试确定直线l 的斜率．解：（1）直线l 的方程为2()y x a =-，即220x y a --=，∴右焦点F 到直线l，1a c ∴-=． 又椭圆C 右准线为4x =，即24a c=，所以24a c =，将此代入上式解得2a =，1c =，23b ∴=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=；……………6分（2）由（1）知B ，(1,0)F ，∴直线BF 的方程为1)y x =-， ……………8分联立方程组221),1,43y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩解得8,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍），即8(,5P ，……12分∴直线l 的斜率k == ……………14分方法二：由（1）知B ，(1,0)F ，∴直线BF 的方程为1)y x =-．由题(2,0)A ，显然直线l的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组1),(2),y x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入椭圆方程解得k =或k =．又由题意知0y =<，得0k >或k <k =．方法三：由题(2,0)A ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222431616120k x k x k +-+-=，221643A P k x x k +=+，第17题图所以2224343P x k k =-=++，243P y k =+．当B ，F ，P 三点共线时，有BP BF k k =，即=解得k =或k =．又由题意知0y =<，得0k >或k <k =．2221y ab=(0)a b >>的离心率为，且过点，过椭圆的左顶点A 作直线l x ⊥轴，点M 为直线l 上的动点，点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于P ． （1）求椭圆C 的方程；（2）求证：AP OM ⊥；（3）试问OP OM ⋅是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．解：（1）∵椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>， ∴222a c =，则222a b =，又椭圆C过点，∴221312a b +=．…………2分∴24a =，22b =， 则椭圆C 的方程22142x y +=． …………………………………………………4分 （2）设直线BM 的斜率为k ，则直线BM 的方程为(2)y k x =-，设11(,)P x y ，将(2)y k x =-代入椭圆C 的方程22142x y +=中并化简得：2222(21)4840k x k x k +-+-=……6分解之得2124221k x k -=+，22x =， ∴1124(2)21k y k x k -=-=+，从而222424(,)2121k kP k k --++．………………………………８分令2x =-，得4y k =-，∴(2,4)M k --，(2,4)OM k =--． ………………………9分又222424(2,2121k k AP k k --=+++ ＝22284(,)2121k k k k -++， …………………………………11分 ∴2222161602121k k AP OM k k -⋅=+=++ ， ∴AP OM ⊥． …………………………………13分（3）222424(,)(2,4)2121k k OP OM k k k --⋅=⋅--++ =2222284168442121k k k k k -+++==++． ∴OP OM ⋅为定值4． (16)分已知椭圆:142x y C +=的上顶点为A ，直线:l y kx m =+交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k .（1）若0m =时，求12k k ⋅的值；（2）若121k k ⋅=-，证明直线:l y kx m =+过定点.（南通调研二）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆221 ( 0 )a b a b +=>>的左顶点为A ，右焦点为(0)F c ，.00( )P x y ，为椭圆上一点，且PA PF ⊥.（1）若3a =，b =，求0x 的值；（2）若00x =，求椭圆的离心率；右准线2a x c=相切.解：（1）因为3a =，b =，所以2224c a b =-=，即2c =， 由PA PF ⊥得，0000132y y x x ⋅=-+-，即22006y x x =--+, …… 3分 又2200195x y +=，所以2004990x x +-=，解得034x =或03x =-(舍去) ． …… 5分（2）当00x =时,220y b =， 由PA PF ⊥得，001y y a c⋅=--，即2b ac =，故22a c ac -=， …… 8分 所以210e e +-=，解得e =． …… 10分（3）依题意，椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c -，且2200221x y a b+=，① 由PA PF ⊥得，00001y y x a x c⋅=-+-,即2200()y x c a x ca =-+-+, ② 由①②得，()2002()0a b ac x a x c ⎡⎤-⎢⎥++=⎢⎥⎣⎦， 解得()2202a a ac c x c --=-或0x a =-(舍去). …… 13分所以PF ==c a x a=- ()222a a ac c c a a c --=+⋅2a c c =-， 所以以F 为圆心，FP 为半径的圆与右准线2a x c=相切. …… 16分（第18题）已知双曲线2241ax y -=a 的值为 ▲ ．8已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为▲ ．2双曲线2222 1 (0, 0)x y a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率3提示：双曲线唯一的重要性质：焦点到渐近线的距离等于b ；则有：222()22a ca cb ac ++=⇒+=2253250(35)()03c c ac a c a c a e a ⇒--=⇒-+=⇒==．双曲线2212y x -=的离心率为．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x =±，则该双曲线的离心率为 .103（南京盐城模拟一）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则a = ▲ .（苏北三市调研三）已知双曲线C 的离心率为2，它的一个焦点是抛物线28x y =的焦点，则双曲线C 的标准方程为 ▲ .2213x y -=（扬州期末）已知双曲线C ：22221(0x y a a b-=>，0)b >的一条渐近线与直线l ：x +＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为2，则C 的标准方程为＿＿＿＿＿＿.221412x y -=（淮安宿迁摸底）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线的渐近线方程是2y x =±， 且经过点，则该双曲线的方程是 ▲ ．2214y x -=(泰州二模)已知双曲线2214x y m -=的渐近线方程为y x =，则m = ▲． 2（南京三模）在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点F 作x 轴的垂线l ，则l 与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是 ▲ ． 43（苏锡常镇二模）已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为▲3x 2-y 2=1（金海南三校联考）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则双曲线C 的渐近线方程为.y ＝±3x（镇江期末）若双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的41，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .第53课抛物线（南通调研一）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物线24y x =焦点的双曲线的方程是.x 2－y 24=1（苏州期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为.2213y x -=（南京盐城二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，定点)0,22(A ，若射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN=。
2024年新高考版数学专题1_9.5 圆锥曲线的综合问题(分层集训)
解析 (1)设动点P的坐标为(x,y),因为| PF | = 5 ,
d5
所以
(x 1)2 y2
=
5 ,即5[(x+1)2+y2]=|x+5|2,整理得 x2 + y2 =1.所以动点P的
| x5|
5
54
轨迹方程为 x2 + y2 =1.
54
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由(1)可得点A的坐标为(0,-2),故直线AM:y=
AC
·BC
=1,
则点C的轨迹为 ( )
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
答案 A
3.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,8)已知圆C的方程为(x-1)2
+y2=16,B(-1,0),A为圆C上任意一点,若点P为线段AB的垂直平分线与直线
AC的交点,则点P的轨迹方程为 ( )
A. x2 + y2 =1
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的离心率e=
2 ,四
2
个顶点组成的菱形的面积为8 2 ,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过☉O:x2+y2= 8
上任意点P作☉O的切线l与椭圆E交于点M,N,求证:
PM
·
3
PN
为定值.
解析 (1)由题意得2ab=8 2 ,e= c = 2 ,a2=b2+c2,
2
3
6
,
0
,∴
PM
=
0,
2
3
6
,
PN
=
0,
2
6 3
,
∴
高中数学-圆锥曲线练习题含答案,推荐文档
2．C 2a 2b 18, a b 9, 2c 6, c 3, c2 a2 b2 9, a b 1
得 a 5,b 4 ， x2 y2 1或 x 2 y 2 1
25 16
16 25
3．C
2a2
2
2 2 c2
c, c 2a , e 2,e 2
c
a2
4．B 2 p 10, p 5 ，而焦点到准线的距离是 p
A． 0, B． 0,2 C． 1, D． 0,1
二. 填空题
7. 双曲线的渐近线方程为 x 2 y 0 ，焦距为10 ，这双曲线的方程为
。
8.
设
AB
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1的不垂直于对称轴的弦，
M 为 AB 的中点， O 为坐标原点，
则 kAB kOM
。
三.解答题
9. 已知顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y 2x 1截得的弦长为 15 ，求抛物线的方程。
C.
x 2 y
2
x2 y2 1或
1
D. 以上都不对
9 16
25 16
25 16
16 25
3. 设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为 d ，且 c d ，那么双曲线的离心率e 等于（
A. 2
B． 3
C． 2
D． 3
4. 抛物线 y 2 10x 的焦点到准线的距离是
A． 5
B． 5
C． 15
2
2
5. 若抛物线 y2 8x 上一点 P 到其焦点的距离为9 ，则点 P 的坐标为
（
D．10
（
A． (7, 14)
B． (14, 14)
C． (7,2 14)
高中数学-高考圆锥曲线高考真题解析
高中数学-高考圆锥曲线高考真题解析一、单选题1．（2011·湖北高考真题（文））（2011•湖北）将两个顶点在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则（ ）A ．n=0B ．n=1C ．n=2D ．n≥3 【答案】C2．（2013·全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．112⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭， C ．113⎛⎤-⎥ ⎝⎦， D ．1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B二、解答题3．（2014·上海高考真题（文）） 在平面直角坐标系中，对于直线：0ax by c和点记1122)().ax by c ax by c η=++++（若<0，则称点被直线分隔.若曲线C 与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C 的一条分隔线.⑴求证：点被直线分隔；⑵若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；⑶动点M 到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明轴为曲线E的分割线.【答案】(1)证明见解析；（2）11(,][,)22k ∈-∞-⋃+∞；（3）证明见解析. 4．（2014·福建高考真题（文））已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2. （1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.【答案】（1）24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明见解析.5．（2011·山东高考真题（文））在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆．如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=﹣3于点D（﹣3，m）．（1）求m2+k2的最小值；（2）若|OG|2=|OD|∙|OE|，（i）求证：直线l过定点；（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由．【答案】（1）2 （2）见解析6．（2013·浙江高考真题（理））图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．【答案】（1）（2）7．（2013·湖北高考真题（文））（2013•湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1=λS 2？并说明理由．【答案】（1）（2）见解析8．（2011·广东高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，给定抛物线21:4L y x =，实数,p q 满足240p q -≥，12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记(){}12,max ,p q x x φ=（1）过点()20001,04A P P P ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭作L 的切线交y 轴于点B ，证明：对线段AB 上的任一点(),Q p q ，均有()0,2P p q φ=； （2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足2400a b a ->≠，，过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),'(,)44E P P E P P ，12,l l 与y 轴分别交于,'F F ，线段EF 上异于两端点的点集记为X ，证明：112(,)(,)2P M a b X P P a b φ∈⇔>⇔=；（3）设()21(,)|15144y x D x y y x ⎧⎫≤-⎧⎪⎪⎪=⎨⎨⎬≥+-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，当点(),p q 取遍D 时，求(),p q φ的最小值（记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）min 1ϕ=，max 54ϕ=. 9．（2019·全国高考真题（理））已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G . （i ）证明：PQG 是直角三角形； （ii ）求PQG 面积的最大值.10．（2018·浙江高考真题）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）⎡⎢⎣⎦.11．（2017·山东高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为2，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：1y k x =E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.【答案】（1）2212x y += （2）SOT ∠ 的最大值为π3 ，取得最大值时直线l 的斜率为12k =±. 12．（2017·浙江高考真题）如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q（I ）求直线AP 斜率的取值范围；（II ）求·PA PQ 的最大值 【答案】（I ）（-1，1）；（II ）2716. 13．（2014·重庆高考真题（理））如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F ∆.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 14．（2015·湖北高考真题（文））一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子在滑槽AB 内作往复运动时，带动绕O 转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221164x y +=；（Ⅱ）存在最小值8． 15．（2014·重庆高考真题（文））如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F ∆.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 16．（2015·江苏高考真题）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.【答案】（1）x 22+y2=1（2）y=x−1或y=−x+1．17．（2015·重庆高考真题（文））（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如图，椭圆x 2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1,F2,且过F2的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ⊥PF1.（Ⅰ）若|PF1|=2+√2，|PF2|=2-√2，求椭圆的标准方程.（Ⅱ）若|PQ|=λ|PF1|，且34≤λ≤43，试确定椭圆离心率的取值范围.【答案】（Ⅰ）x 24+y2=1，（Ⅱ）√22<e≤√53.。
高中数学圆锥曲线常考题型(含解析)
(1)当5AC =时，求cos POM ∠(2)求⋅PQ MN 的最大值．7．已知抛物线1C ：28x y =的焦点点，1C 与2C 公共弦的长为4(1)求2C 的方程；(2)过F 的直线l 与1C 交于A ，（i ）若AC BD =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与系.8．已知圆()(2:M x a y b -+-点O 且与C 的准线相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)点()0,1Q -，点P （与Q 不重合）在直线切线，切点分别为,A B ．求证：9．已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为于y 轴的直线l 交曲线1C 于点Q 两点．a b (1)求椭圆的方程；(2)P 是椭圆C 上的动点，过点P 作椭圆为坐标原点）的面积为5217，求点12．过坐标原点O 作圆2:(2)C x ++参考答案：）(),0a-，(),0F c，所以AF时，在双曲线方程中令x c=，即2bBFa=，又AF BF= ()所以BFA V 为等腰直角三角形，即易知2BFA BAF ∠=∠；当BF 与AF 不垂直时，如图设()()0000,0,0B x y x y >>00tan(π)y BFA x c -∠=-即tan -又因为00tan y BAF x a∠=+，002tan 2y x aBAF +∠=4．(1)21±2(2)证明见解析.【分析】（1）求出椭圆左焦点F1 1x5．(1)21 2x y =(2)1510,33 P⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式可解；【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：三角换元法；（5）平面向量；（7．(1)2213x y -=(2)（i ）36±；（ii ）点F 在以【分析】（1）根据弦长和抛物线方程可求得交点坐标，结合同焦点建立方程组求解可得；（2）（i ）设()11,A x y ，(2,B x 物线方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合以及点M 坐标，利用FA FM ⋅【详解】（1）1C 的焦点为(0,2F 又1C 与2C 公共弦的长为46，且所以公共点的横坐标为26±，代入所以公共点的坐标为(26,3±所以229241a b -=②联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，得28160x kx --=，Δ=联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2231129k x kx -++则3421231kx x k +=--，342931x x k =-，9．(1)2212x y +=，2212x y -=(2)12y x =-或12y x=(3)2【分析】（1）用b 表示12,e e ，由12e e ⋅=10．(1)2222114222x y x y +=-=，；(2)1；(3)是，=1x -【分析】（1）根据椭圆和双曲线的关系，结合椭圆和双曲线的性质，求得343+因为AB 既是过1C 焦点的弦，又是过所以2212||1()AB k x x =+⋅+-且121||()()22p p AB x x x =+++=所以212(1)k +=2240123(34)k k +,【点睛】因为//l OT ，所以可设直线l 的方程为由22x y =，得212y x =，得y '所以曲线E 在T 处的切线方程为联立22y x m y x =+⎧⎨=-⎩，得2x m y m =+⎧⎨=⎩()2,22N m m ++NT。
(完整版)历年圆锥曲线高考题(带答案)
历年高考圆锥曲线2000年：（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直03422=+++x y x 线的方程是（ ）（A ） （B ） （C ）（D ）x y 3=x y 3-=x 33x 33-（11）过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线()02>=a ax y段PF 与FQ 的长分别是、，则等于（ ）p q qp 11+（A ）（B ）（C ） （D ）a 2a21a 4a4（14）椭圆的焦点为、，点P 为其上的动点，当为钝角14922=+y x 1F 2F 21PF F ∠ 时，点P 横坐标的取值范围是________。
（22）（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中，点E 分有向线段所成的比为，CD AB 2=AC λ双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。
当时，求双曲线离心率4332≤≤λ的取值范围。
e 2004年3．过点（－1，3）且垂直于直线的直线方程为（ ）032=+-y x A ．B ．C ．D ．12=-+y x 052=-+y x 052=-+y x 072=+-y x 8．已知圆C 的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C 相切，则圆x 0443=++y x C 的方程为（ ）A ．B ．03222=--+x y x 0422=++x y x C ．D ．3222=-++x y x 0422=-+x y x 8．（理工类）已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线21=e 的焦点重合，x y 42-= 则此椭圆方程为（ ）A ．B ．13422=+y x 16822=+y x C ．D ．1222=+y x 1422=+y x 22．（本小题满分14分）双曲线的焦距为2c ，直线过点（a ，0）和（0，b ），且点)0,1(12222>>=-b a by a x l （1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e l l .54c s ≥的取值范围.2005年：9．已知双曲线的焦点为，点在双曲线上且则点1222=-y x 12,F F M 120,MF MF ⋅= 到M 轴的距离为（x ）A ．B ．CD435310．设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△为12,,F F 2F 12F PF等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A B C ．D 2121、（理工类）（本小题满分12分）设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。
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（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
12．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
3．（12分）如题图，椭圆 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1
（Ⅰ）若|PF1|=2+ |=2﹣ ，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
6．（2分）（2017•新课标Ⅰ）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
7（本小题满分12分）
设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .
8．（12分）
16.已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
13．抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点在 轴上，直线 交 于 ， 两点，且 ．已知点 ，且 与 相切．
（1）求 ， 的方程；
（2）设 ， ， 是 上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，并说明理由．
(2)设过点 的直线与 交抛物线于 ， 两点，若斜率为2的直线 与直线 ， ， ， 轴依次交于 ， ， ， ，且满足 ，求直线 在 轴上截距的取值范围．
22.已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若 ，求|AB|．
9.已知A、B分别为椭圆E： （a>1） 左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
4．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y= 与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．
（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）
5．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
14. 已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成 四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点 的直线 斜率为 ，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交 于点M、N，直线AC交 于点N，若 ，求k的取值范围．
15．（15分）如图，已知 为抛物线 的焦点， 是抛物线的准线与 轴的交点，且 ．
(1)求抛物线的方程；
1．在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ， ，点 满足 ．记 的轨迹为 ．
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 ， 两点和 ， 两点，且 ，求直线 的斜率与直线 的斜率之和．
2．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求E 方程；
（2）证明：直线CD过定点.
10.已知椭圆C1： (a>b>0) 右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= |AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.