大一高等数学第九章第四节重积分的应用

薄片对 z 轴上单位质点的引力 F {Fx , Fy , Fz },
Fx f
D
( x, y) x
(x y a )
2 2 2
3 2
d , Fy f
D
3 2
( x, y) y
(x y a )
2 2 2
3 2
d ,
Fz af
D
( x, y)
练习题
一、求锥面 z x 2 y 2 被柱面 z 2 2 x 所割下部分的 曲面面积. 二、设 薄 片 所 占 的 闭 区 域 D 是 介 于 两 个 圆 r a cos , r b cos ( 0 a b ) 之间的闭区域,求 均匀薄片的重心. 三、设有一等腰直角三角形薄片,腰长为 a ,各点处的 面密度等于该点到直角顶点的距离的平方,求薄片 的重心. D 四、设均匀薄片(面密度为常数 1)所占闭区域 由抛物 9 2 线 y x 与直线 x 2 所围成,求I x 和I y . 2
练习题答案
一、 2 . a 2 ab b 2 ,0 ) . 二、( 2(a b ) 2 2 三、( a , a ). 5 5 72 96 四、 I x , I y . 5 7 五、
2 2 R2 R2 a R2 R1 F 2 f(ln ), 2 2 2 2 2 2 R1 R1 a R2 a R1 a 1 1 0, fa( ) 2 2 2 2 R2 a R1 a
(x y a )
2 2 2
d .
f 为引力常数
例6 求面密度为常量、半径为 R 的均匀圆形 2 2 2 薄片： x y R ，z 0 对位于 z 轴上的 点 M 0 ( 0,0, a ) 处的单位质点的引力．(a 0)
解
由积分区域的对称性知 Fx Fy 0,
Fz af

a , 2 2 2 a x y
面积 A 4 1
2
a dxdy 2 2 2 a x y
a cos 0 0
4a d
1 rdr 2 2 a r
2a 2 4a 2 .
例 2 求由曲面 x 2 y 2 az 和 z 2a (a 0) 所围立体的表面积.
对 y 轴的转动惯量为
y
b
o
a
x
I y x 2dxdy,
D
0 dy 0
b
y a ( 1 b )
x 2dx 1 a 3b .
12
同理：对x 轴的转动惯量为
1 3 I x y dxdy ab . 12 D
2
例 5 已知均匀矩形板（面密度为常数 ）的长 b h 和宽分别为 和 ，计算此矩形板对于通过其形 心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.
x a( t sin t ) 例 3 设平面薄板由 ，( 0 t 2 ) y a(1 cos t ) 与x 轴围成，它的面密度 1 ，求形心坐标．
解
先求区域 D 的面积 A，
y( x )
0 t 2 ， 0 x 2a
D
a
2a
A
思考题解答
薄片关于 x 轴对称
则 y 0,
y
o
a
b x
x
xd
D
d
3 3

2 d
2 0
b cos
a cos
r cos rdr
D

D 8 4
2 2 (b a ) b ba a . 2 2 (b a ) 2(b a )
的转动惯量依次为
I x m i yi
i 1
n
2
，
I y mi xi
i 1
n
2
.
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点( x , y ) 处的面密度为 ( x , y )，假定 y x ( x , y )在D 上连续，平面薄片对于 轴和 轴 的转动惯量为
薄片对于x 轴的转动惯量
d 为 dA 在 xoy 面上的投影, d dA cos ,
1 cos , 2 2 1 fx f y
dA 1 f x2 f y2 d 曲面S的面积元素
A 1 f x2 f y2 d ,
D
z z A 1 ( x )2 ( y )2 dxdy 曲面面积公式为： Dxy
1 解 先求形心 x xdxdy, AD
区域面积 A b h,
建立坐标系如图
h
o
b
1 y ydxdy. AD
y
因为矩形板均匀,
x
b h ，y . 由对称性知形心坐标 x 2 2
y
v
将坐标系平移如图
对u 轴的转动惯量
h
o
u
b
o
x
I u v 2dudv
bh3 . h v 2dv b du 12 2 2
h 2 b 2
D
对v 轴的转动惯量
b 3 h I v u2dudv . 12 D
平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 ， D 在点( x , y ) 处的面密度为 ( x , y ) ，假定 ( x , y ) 在 z D 上连续，计算该平面薄片对位于 轴上的点 M 0 ( 0,0, a ) 处的单位质点的引力．(a 0)
2x zx , a
2y zy , a
1 z z
2 x 2 y
2x 2 y 1 a a
2
2
2 1 z x z 2 2, 由 z 2a x y 知 y
1 2 a 4 x2 4 y2 , a
2 2
同理可得 ２．设曲面的方程为：x g( y , z ) 曲面面积公式为：A

D yz
1
x 2 y
dydz;
x 2 z
３．设曲面的方程为：y h( z , x ) 曲面面积公式为：A

Dzx
1
y 2 z
dzdx.
y 2 x
( x1 , y1 ) ，( x 2 , y 2 ) ， , ( x n , y n ) 处，质量分别
为 m1 , m 2 , , m n ．则该质点系的重心的坐标为
x
My M

mi xi
i 1 n
n
mi
i 1
，
Mx y M
mi yi
i 1 n
n
mi
i 1
．
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 ， D 在点( x , y ) 处的面密度为 ( x , y ) ，假定 ( x , y ) 在 D 上连续，平面薄片的重心
2 a
0
y( x )dx a(1 cos t )d[a( t sin t )]
0
2
a 2 (1 cos t ) 2 dt 3a 2 .
0
2
由于区域关于直线x a 对称 ，
所以形心在x a 上，
即
x a ,
y( x ) 1 1 2 a y ydxdy dx ydy 0 AD A 0
在 xoy 面上的投影区域为D,
z
s
M
如图， 设小区域 d D,
点 ( x , y ) d ,
为 S 上过 M ( x , y , f ( x , y )) 的切平面.
x
dA


o
d
( x, y)
y
以 d 边界为准线，母线平行于 z 轴的小 柱面，截曲面 s 为 ds；截切平面 为 dA， 则有dA ds .
1 1 . 0, 0, 2fa 2 2 R a a
三、小结
几何应用：曲面的面积
物理应用：重心、转动惯量、 对质点的引力
（注意审题，熟悉相关物理知识）
思考题
求位于两圆 r a cos , r b cos 之间的均匀薄片的重心 . (0 a b)
D
z
( x, y)
(x y a )
2 2 2
3 2
d
3 d
F
o
x
y
af
D
1
( x 2 y 2 a 2 )2
af d
0
2
R 2
1 (r a )
2
3 2
0
rdr
1 1 2fa . 2 2 R a a
所求引力为
x2 y2
解
x 2 y 2 az , 解方程组 z 2a x 2 y 2
x2 y2 a2 , 得两曲面的交线为圆周 z a 2 2 2 在xy 平面上的投影域为 Dxy : x y a ,
1 2 2 由 z ( x y )得 a
一、曲面的面积
实例 一颗地球的同步轨道通讯
卫星的轨道位于地球的赤道平面 内，且可近似认为是圆轨道．通 讯卫星运行的角速率与地球自转 的角速率相同，即人们看到它在 R 天空不动．若地球半径取为 ， h 问卫星距地面的高度 应为多少？ 通讯卫星的覆盖面积是多大？
z
卫星
h
o
x
１．设曲面的方程为： z f ( x , y )
1 2 a a 2 5 2 3 [ y( x )] dx 2 0 0 [1 cos t ] dt 6 . 6 a 6
所求形心坐标为 ( a, 5 ) . 6