沪科版九年级数学上册课件：21.2.2二次函数y=a(x+h)^2+k的图象与性质件(第三课时)
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-3 -1.5
-1 -1.5
-3 -5.5 …
再描点
后连线.
解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 .5 … 直线x=－1
1 y
二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图象和性质
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
y=a(x+h)2+k(a>0)
向上
y=a(x+h)2+k(a<0)
向下
直线x h
直线x h
h，k
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
左右平移 |h|个单位
|k|个单位
y = ax2
1
2
C(3,0) x 3
各种形式的二次函数的关系
左 个 右 单 平 位 移
y = a( x + h )2 + k
上 个 下 单 平 位 移
|k|
y = ax2 + k
上下平移
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2形状相同，位置不同。
|h|
y = a ( x +h ) 2
（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0）， 则a= 。 （2）设抛物线的顶点为（1，-2），且经 过点（2，3），求它的解析式。 （3）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平 移2个单位得到的抛物线是 。 （4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是 。
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装 一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头, 使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平 距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地 处离池中心3m,水管应多长?
平移方法2:
x=－1
1 1 2 向左平移 1 2 2 向下平移 y ( x 1 ) 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2 1个单位
一般地,抛物线y=a(x+h)2＋k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x+h)2＋k.平移的方向、距离 要根据h、k的值来决定.
1.完成下列表格: 二次函数 y=2(x+3)2+5 开口方向 向上 对称轴 顶点坐标
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1 , －2 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
向下
向上 向下
直线x=3
直线x=2
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
y=－5(2－x)2－6
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。 k>0 上移 y=ax2 k<0 下移 左加 y=ax2 右减 y=a(x+h)2 y=ax2+k
y=a(x+h)2+k 的图象和性质
1 2 例3.画出函数 y ( x 1) 1 的图像.指出它的开口方向、 2 顶点与对称轴、
解:
x
先列表
… -4 -5.5 -3 -2 -1 0 1 2 …
解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 0=a(3－1)2＋3
y
3 A 2
B(1，3)
3 ∴ 解得: a=－ 4 1 因此抛物线的解析式为: 3 y= － 4(x－1)2＋3 (0≤x≤3) O 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
h，k
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x h时, 最小值为k
当x h时，最大值为k
如何平移：
3 y ( x 1) 2 4
3 2 y ( x 1) 2 4
3 y ( x 3) 2 3 4
3 y ( x 5) 2 2 4
再描点、连线 (1)抛物线
1 y ( x 1) 2 1 2
的开口方向、对称轴、顶点? 1 2 抛物线 y ( x 1) 1 2 的开口向下,
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y 1 ( x 1) 2 1
2
1 (2)抛物线 y ( x 1) 2 1 2 1 y x2 2
有什么关系?
1
y x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 1 2 -2 y ( x 1 ) 1 平移方法1: 2 -3 -4 1 2向下平移 1 2 y x y x 1 -5 2 1个单位 2 -6 -7 向左平移 y 1 ( x 1) 2 1 -8 2 1个单位 -9 -10
平移方法: y=ax2向左(右)平移 y=a(x+h)2 向上(下)平y=a(x+h)2+k |h|个单位 移|k|个单位 y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x+h)2+k 移|h|个单位 移|k|个单位
抛物线y=a(x+h)2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下; (2)对称轴是直线x=-h; (3)顶点是(-h,k).
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沪科版数学九年级上册21.2.2第2课时二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
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21.2 二次函数的图象和性质
2.二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
第2课时 二次函数y=a(x+h)²的图象和性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
灿若寒星
课堂小结
学习目标
1.会用描点法画出二次函数y=a(x+h)²的图象； 2.掌握形如y=a(x+h)²的二次函数图象的性质，并会应用； （重点） 3.理解y=a(x+h)²与 y=ax²之间的联系.（难点）
2
2
2
有什么关系？
灿若寒星
可以发现，把抛物线 y 1 x2 向左平移1个单位，就得到抛物
2
线 y 1 (x 1)2；把抛物线 y 1 x2 向右平移1个单位，就得到
2
2
抛物线 y 1 (x 1)2 ．
2
y
－4
y 1 x 12
2
o －2
－2
－4
x 24
y 1 x 12
2
y 1 x2 －6
2
灿若寒星
灿若寒星
画出函数y 1 x2 3
和y 1 x 22
3
象之间的区别和联系.
的图象，说明这两个图
灿若寒星
当堂练习
1.二次函数 y 15(x 1)2 的最小值是（ C）
A.-1
B.1
C.0
D.没有最小值
2.抛物线 y 3(x 1)2 不经过的象限是（ A）
A.第一、二象限 C.第三、四象限
B.第二、四象限 D.第二、三象限
灿若寒星
3.（1）抛物线 y x2 向__左___平移__1__个单位得抛物线 y (x 1)2 ; (2)抛物线_y_=_2_x_2_向右平移2个单位得抛物线 y 2(x 2)2.
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21.2 二次函数的图象和性质
2.二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
第2课时 二次函数y=a(x+h)²的图象和性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
灿若寒星
课堂小结
学习目标
1.会用描点法画出二次函数y=a(x+h)²的图象； 2.掌握形如y=a(x+h)²的二次函数图象的性质，并会应用； （重点） 3.理解y=a(x+h)²与 y=ax²之间的联系.（难点）
2
2
2
有什么关系？
灿若寒星
可以发现，把抛物线 y 1 x2 向左平移1个单位，就得到抛物
2
线 y 1 (x 1)2；把抛物线 y 1 x2 向右平移1个单位，就得到
2
2
抛物线 y 1 (x 1)2 ．
2
y
－4
y 1 x 12
2
o －2
－2
－4
x 24
y 1 x 12
2
y 1 x2 －6
2
灿若寒星
灿若寒星
画出函数y 1 x2 3
和y 1 x 22
3
象之间的区别和联系.
的图象，说明这两个图
灿若寒星
当堂练习
1.二次函数 y 15(x 1)2 的最小值是（ C）
A.-1
B.1
C.0
D.没有最小值
2.抛物线 y 3(x 1)2 不经过的象限是（ A）
A.第一、二象限 C.第三、四象限
B.第二、四象限 D.第二、三象限
灿若寒星
3.（1）抛物线 y x2 向__左___平移__1__个单位得抛物线 y (x 1)2 ; (2)抛物线_y_=_2_x_2_向右平移2个单位得抛物线 y 2(x 2)2.
沪科初中数学九上《21.2 二次函数的图象和性质》PPT课件 (9)
二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质
二次函数y=ax2+c的性质
y＝ax2+c
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点 增减性
c>0
c<0
开口向上
c>0 c<0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
(0,c)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
顶点是(-1,0);对称轴
的增大而减小.当x=1时,函数
是直线:x=-1.
y的值最大(是0); 抛物线y=-3(x+1)2在对称轴
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是
(x=-1)的左侧,当x<-1时, y随 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1
着x的增大而增大;在对称轴 (x=-1)右侧,当x>-1时, y随着 x的增大而减小.当x=-1时,函 数y的值最大(是0).
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 3x2
27 12 3 0 3 12 27
y 3x 12
27 12 3 0 3 12 27
y 3x 12 27 12 3 0 3 12 27
1. 函 数 y=3(x+1)2 的 图 象
y 3x2
与 y=3x2 和 y=3(x-1)2 的 图 y 3x 12
(3)函数y=3(x-1)2的图象 与 y=3x2 的 图 象 有 什 么 关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
y 3x2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2
二次函数y=ax2+c的性质
y＝ax2+c
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点 增减性
c>0
c<0
开口向上
c>0 c<0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
(0,c)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
顶点是(-1,0);对称轴
的增大而减小.当x=1时,函数
是直线:x=-1.
y的值最大(是0); 抛物线y=-3(x+1)2在对称轴
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是
(x=-1)的左侧,当x<-1时, y随 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1
着x的增大而增大;在对称轴 (x=-1)右侧,当x>-1时, y随着 x的增大而减小.当x=-1时,函 数y的值最大(是0).
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 3x2
27 12 3 0 3 12 27
y 3x 12
27 12 3 0 3 12 27
y 3x 12 27 12 3 0 3 12 27
1. 函 数 y=3(x+1)2 的 图 象
y 3x2
与 y=3x2 和 y=3(x-1)2 的 图 y 3x 12
(3)函数y=3(x-1)2的图象 与 y=3x2 的 图 象 有 什 么 关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
y 3x2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2
(沪科版)九年级数学全册(课件)21.2.2 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
=2x2-1
-1
y=2x2
+1
y=2x2+1
点的坐标 (x,2x2-1 ) 函数对应值表
(x, 2x2 )
x y=2x2-1 y=2x2 y=2x2+1
… -1.5 -1 … x
… 3.5 1 … 4.5 2 … 5.5 3
… 2x2-1
… 2x2
…
2x2+1
(x, 2x2+1 )
-4
(5)顶点都是最__高__点，函数都有
最__大__值，从上而下最大值分别 为__y_=_2___、__y_=_0___﹑__y_=_-_2___ (6) 函数的增减性都相同：
___对__称__轴__左__侧__y_随__x_增__大__而__增__大___
y1
1 3
x2
2
y 1 x2 3
4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k__=_2_；若顶点位于x轴 上方，则k__>_2_；若顶点位于x轴下方，则k <2 .
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
向下平移1个单位. （2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大而减小； 当x =0 时，函数y有最大值，最大值y是 1 ，其图 象与y轴的交点坐标是 (0,1)，与x轴的交点坐标是 (-1,0),(1,0).
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
能力提升
6.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则
-1
y=2x2
+1
y=2x2+1
点的坐标 (x,2x2-1 ) 函数对应值表
(x, 2x2 )
x y=2x2-1 y=2x2 y=2x2+1
… -1.5 -1 … x
… 3.5 1 … 4.5 2 … 5.5 3
… 2x2-1
… 2x2
…
2x2+1
(x, 2x2+1 )
-4
(5)顶点都是最__高__点，函数都有
最__大__值，从上而下最大值分别 为__y_=_2___、__y_=_0___﹑__y_=_-_2___ (6) 函数的增减性都相同：
___对__称__轴__左__侧__y_随__x_增__大__而__增__大___
y1
1 3
x2
2
y 1 x2 3
4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k__=_2_；若顶点位于x轴 上方，则k__>_2_；若顶点位于x轴下方，则k <2 .
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
向下平移1个单位. （2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大而减小； 当x =0 时，函数y有最大值，最大值y是 1 ，其图 象与y轴的交点坐标是 (0,1)，与x轴的交点坐标是 (-1,0),(1,0).
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
能力提升
6.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则
上海沪科版初中数学九年级上册21.2.2 第3课时 二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质1
相信自己，就能走向成功的
TB:小初高题库
上海沪科版初中数学
第一步 教师不光要传授知识，还要 告诉学生学会生活。数学思 维可以让他们更理性地看待
人生
TB:小初高题库
象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物
线的表达式为__________________．
1．会用描点法画出 y＝a(x＋h)2＋k 的
解析：由题意可设抛物线的表达式为 y
图象；
＝a(x＋2)2＋3，把 x＝－1，y＝5 代入得 5
2．掌握形如 y＝a(x＋h)2＋k 的二次函 ＝a(－1＋2)2＋3，所以 a＝2，所以抛物线
图象的增减性不同．故选 C. 方法总结：对于抛物线 y＝a(x＋h)2＋
1 将抛物线 y＝ x2 向右平移 2 个单
3
k，其对称轴为 x＝－h，顶点坐标为(－h， 位，再向下平移 1 个单位，所得的抛物线
k)．当 a>0 时，对称轴左边的图象，y 随 x 是( )
的增大而减小，对称轴右边的图象，y 随 x 的增大而增大，当 a<0 时，反之．
2
A．－3 B．1 C．5 D．8
二、合作探究
探究点一：二次函数 y＝a(x＋h)2＋k
的图象与性质
【类型一】 抛物线 y＝a(x＋h)2＋k 的
开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性
对于抛物线 y＝3(x－3)2＋6，下
解析：C、D 两点是抛物线与 x 轴的交
列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴 点，当 C 的横坐标取得最小值时，抛物线
三、板书设计
二次函数 y＝a（x＋h）2＋k
的图象和性质
1.顶点坐标、对称轴、开口方向
{
2.抛物线的增减性 3.函数的最值
沪科版初三数学上册《21.2.2 第2课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质》课件
当x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
函数的增减性
最值
x=0时，y最小值=k
x=0时，y最大值=k
问题2 二次函数 y=ax2+k（a≠0）与 y=ax2（a ≠ 0）
的图象有何关系？
二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的图象可以由 y=ax2（a ≠ 0） 的图象平移得到： 当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到.
21.2 二次函数的图象和性质
2.二次函数y=ax² +bx+c的图象和性质
第2课时 二次函数y=a(x+h)² 的图象和性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.会用描点法画出二次函数y=a(x+h)² 的图象； 2.掌握形如y=a(x+h)² 的二次函数图象的性质，并会应用； （重点） 3.理解y=a(x+h)² 与 y=ax² 之间的联系.（难点）
当k < 0 时，向下平移-k个单位长度得到.
思考：二次函数 y = a﹙x-h﹚² (a≠0)的图象和性质,以及与
y=ax² (a≠0)的联系与区别.
讲授新课
1 1 2 2 探究归纳 例1 画出二次函数 y x 1 , y x 1 2 2 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
－3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a的值．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关
系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a ∴平移后二次函数关系式为y＝
1 4
1 = ， 4
(x－3)2.
函数的增减性
最值
x=0时，y最小值=k
x=0时，y最大值=k
问题2 二次函数 y=ax2+k（a≠0）与 y=ax2（a ≠ 0）
的图象有何关系？
二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的图象可以由 y=ax2（a ≠ 0） 的图象平移得到： 当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到.
21.2 二次函数的图象和性质
2.二次函数y=ax² +bx+c的图象和性质
第2课时 二次函数y=a(x+h)² 的图象和性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.会用描点法画出二次函数y=a(x+h)² 的图象； 2.掌握形如y=a(x+h)² 的二次函数图象的性质，并会应用； （重点） 3.理解y=a(x+h)² 与 y=ax² 之间的联系.（难点）
当k < 0 时，向下平移-k个单位长度得到.
思考：二次函数 y = a﹙x-h﹚² (a≠0)的图象和性质,以及与
y=ax² (a≠0)的联系与区别.
讲授新课
1 1 2 2 探究归纳 例1 画出二次函数 y x 1 , y x 1 2 2 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
－3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a的值．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关
系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a ∴平移后二次函数关系式为y＝
1 4
1 = ， 4
(x－3)2.
沪科版九年级数学上册《二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质》课件
1．(4 分)抛物线 y＝－2(x－2)2＋3 的开口方向为___向__下_____，顶点坐标 是__(2_，__3_)__，对称轴是__直__线__x_＝__2______.
2．(4 分)在平面直角坐标系中，将二次函数 y＝(x－2)2＋2 的图象向左平 移 2 个单位，所得的图象对应的函数解析式为__y_＝__x_2_＋__2__．
▪1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” ▪2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 ▪3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 ▪4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 ▪5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021
18．(10分)某次体育测试中，一名男生推铅球的路线是抛物 线，最高点为(6，5)，出手处点A的坐标为(0，2)．
(1)求函数的解析式； (2)他的铅球成绩是多少米？
解：(1)y＝－112(x－6)2＋5 (2)令 y＝0，得－ 112(x－6)2＋5＝0，解得 x1＝6＋2 15，x2＝6－ 2 15(舍)，他的铅球成绩是(6＋2 15)m
19．(12 分)已知二次函数的图象的顶点是(－1，2)，且过点(0，32)． (1)求二次函数的表达式，并画出它的图象； (2)求证：对任意实数 m，点 M(m，－m2)都不在这个二次函数的图象上．
解：(1)y＝－12(x＋1)2＋2，图象略 (2)假设点 M 在函数图象上，则－ m2＝－21(m＋1)2＋2，整理得 m2－2m＋3＝0，Δ<0，∴该方程无实解，满足 条件的 m 不存在，即对任意实数 m，点 M(m，－m2)都不在这个二次函数的 图象上
沪科初中数学九年级上册《21.2 二次函数的图象和性质》精品课件 (17)
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14．如图所示，已知抛物线y＝－2x2－4x的图象E，将其向右平移两个单位 后得到图象F.求图象F所表示的抛物线的解析式．
解：由平移知图象F的二次项系数为－2，y＝－2x2－4x＝－2(x＋1)2＋ 2，顶点坐标为(－1，2)，平移后图象F的顶点坐标为(1，2)，所以图象F 的解析式为y＝－2(x－1)2＋2
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15．已知二次函数 y＝ax2＋bx－3 的图象经过点 A(2，3)，B(－1，0)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)填空：要使二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，应把图象沿 y 轴 25
向上平移___8___个单位．
解：(1)∵二次函数 y＝ax2＋bx－3 的图象经过点 A(2，3)，B(－1，0)， ∴4aa－＋b2－b－3＝3＝0，3，解得ba＝＝2－，1，∴二次函数的解析式为 y＝2x2－x－3 (2)y＝2x2－x－3＝2(x－14)2－285，所以要使二次函数的图象与 x 轴只有一个 交点，应把图象沿 y 轴向上平移285个单位
解：依题意设抛物线的解析式为 y＝a(x－2)2＋k，将 A(1，0)，B(0， 3)代入得a4a＋＋kk＝＝0， 3，解得ak＝＝1－，1.即抛物线的解析式为 y＝(x－2)2－1＝x2 －4x＋3
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12．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点 B(3，0)．
(1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标 原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
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解：(1)设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－4，∵二次函数图象过点B(3， 0)．∴0＝4a－4，得a＝1.∴二次函数的解析式为y＝(x－1)2－4 (2)令y＝0， 得(x－1)2－4＝0.解方程，得x1＝3，x2＝－1.∴二次函数图象与x轴的两个 交点坐标分别为(3，0)和(－1，0)．∴二次函数图象向右平移1个单位后所得 图象经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为(4，0)
14．如图所示，已知抛物线y＝－2x2－4x的图象E，将其向右平移两个单位 后得到图象F.求图象F所表示的抛物线的解析式．
解：由平移知图象F的二次项系数为－2，y＝－2x2－4x＝－2(x＋1)2＋ 2，顶点坐标为(－1，2)，平移后图象F的顶点坐标为(1，2)，所以图象F 的解析式为y＝－2(x－1)2＋2
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15．已知二次函数 y＝ax2＋bx－3 的图象经过点 A(2，3)，B(－1，0)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)填空：要使二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，应把图象沿 y 轴 25
向上平移___8___个单位．
解：(1)∵二次函数 y＝ax2＋bx－3 的图象经过点 A(2，3)，B(－1，0)， ∴4aa－＋b2－b－3＝3＝0，3，解得ba＝＝2－，1，∴二次函数的解析式为 y＝2x2－x－3 (2)y＝2x2－x－3＝2(x－14)2－285，所以要使二次函数的图象与 x 轴只有一个 交点，应把图象沿 y 轴向上平移285个单位
解：依题意设抛物线的解析式为 y＝a(x－2)2＋k，将 A(1，0)，B(0， 3)代入得a4a＋＋kk＝＝0， 3，解得ak＝＝1－，1.即抛物线的解析式为 y＝(x－2)2－1＝x2 －4x＋3
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12．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点 B(3，0)．
(1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标 原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
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解：(1)设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－4，∵二次函数图象过点B(3， 0)．∴0＝4a－4，得a＝1.∴二次函数的解析式为y＝(x－1)2－4 (2)令y＝0， 得(x－1)2－4＝0.解方程，得x1＝3，x2＝－1.∴二次函数图象与x轴的两个 交点坐标分别为(3，0)和(－1，0)．∴二次函数图象向右平移1个单位后所得 图象经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为(4，0)
上海沪科版初中数学九年级上册21.2.2 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质1
次函数 y＝ax2＋2 的图象经 过 点 (－ 2， 10)， 则 下 列 说 法 错 误 的 是 ( )
A．a＝2 B．当 x＜0，y 随 x 的增大而减小 C．顶点坐标为(2，0) D．图象有最低点 解析：把 x＝－2，y＝10 代入 y＝ax2 ＋2 可得 10＝4a＋2，所以 a＝2，抛物线开 口向上，有最低点，当 x＜0，y 随 x 的增 大而减小，所以 A、B、D 均正确，顶点坐 标为(0，2)，而不是(2，0)．故选 C. 方法总结：抛物线 y＝ax2＋k(a≠0)的 顶点为(0，k)． 【类型四】 在同一坐标系中确定 y＝ ax2＋k 的图象与一次函数的图象
抛物线 y＝x2－4 与 x 轴的交点坐 标是________．
解析：因为抛物线 y＝x2－4 与 x 轴的 交 点 纵 坐 标 是 0， 即 y＝ 0， 此 时 x2－ 4＝ 0，解得 x＝±2，所以抛物线 y＝x2－4 与 x 轴的交点坐标是(2，0)与(－2，0)．
方法总结：求抛物线与 x 轴交点坐标 时，可利用交点纵坐标为 0 构造关于 x 的 方程来求抛物线的横坐标．
【类型二】 确定 y＝ax2 与 y＝ax2＋k 的关系
抛物线 y＝ax2＋c 与 y＝－5x2 的 形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标 是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物 线 y＝－5x2 怎样得到的？
解 ： 抛 物 线 y＝ ax2＋ c 与 y＝ － 5x2 的 形状大小相同，开口方向也相同，∴a＝－ 5.
又∵其顶点坐标为(0，3)， ∴c＝3. ∴y＝－5x2＋3.它是由抛物线 y＝－5x2 向上平移 3 个单位得到的． 方法总结：对于二次函数 y＝ax2 的图 象来说，向上平移|c|个单位，就在 ax2 后面 加|c|，向下平移|c|个单位，就在 ax2 后面减 |c|. 三、板书设计
A．a＝2 B．当 x＜0，y 随 x 的增大而减小 C．顶点坐标为(2，0) D．图象有最低点 解析：把 x＝－2，y＝10 代入 y＝ax2 ＋2 可得 10＝4a＋2，所以 a＝2，抛物线开 口向上，有最低点，当 x＜0，y 随 x 的增 大而减小，所以 A、B、D 均正确，顶点坐 标为(0，2)，而不是(2，0)．故选 C. 方法总结：抛物线 y＝ax2＋k(a≠0)的 顶点为(0，k)． 【类型四】 在同一坐标系中确定 y＝ ax2＋k 的图象与一次函数的图象
抛物线 y＝x2－4 与 x 轴的交点坐 标是________．
解析：因为抛物线 y＝x2－4 与 x 轴的 交 点 纵 坐 标 是 0， 即 y＝ 0， 此 时 x2－ 4＝ 0，解得 x＝±2，所以抛物线 y＝x2－4 与 x 轴的交点坐标是(2，0)与(－2，0)．
方法总结：求抛物线与 x 轴交点坐标 时，可利用交点纵坐标为 0 构造关于 x 的 方程来求抛物线的横坐标．
【类型二】 确定 y＝ax2 与 y＝ax2＋k 的关系
抛物线 y＝ax2＋c 与 y＝－5x2 的 形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标 是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物 线 y＝－5x2 怎样得到的？
解 ： 抛 物 线 y＝ ax2＋ c 与 y＝ － 5x2 的 形状大小相同，开口方向也相同，∴a＝－ 5.
又∵其顶点坐标为(0，3)， ∴c＝3. ∴y＝－5x2＋3.它是由抛物线 y＝－5x2 向上平移 3 个单位得到的． 方法总结：对于二次函数 y＝ax2 的图 象来说，向上平移|c|个单位，就在 ax2 后面 加|c|，向下平移|c|个单位，就在 ax2 后面减 |c|. 三、板书设计
上海沪科版初中数学九年级上册21.2.2 第2课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质1
1．会用描点法画出 y＝a(x＋h)2 的图
1 状与函数 y＝－ x2 的图象相同的抛物线的
2
象；
解析式为( )
2．掌握形如 y＝a(x＋h)2 的二次函数 图象的性质，并会应用；(重点)
1
1
A．y＝ (x－2)2 B．y＝ (x＋2)2
2
2
3． 理 解 二 次 函 数 y＝ a(x＋ h)2 与 y＝ ax2 之间的联系．(难点)
象与性质
C．当 x＝－1 时，y 有最小值 0
【类型一】 y＝a(x＋h)2 的顶点坐标
D．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大
已知抛物线 y＝a(x＋h)2(a≠0)的
解析：因为 a＝9＞0，所以抛物线开口
顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4， 向上，且 h＝－1，顶点坐标为(1，0)，所
方法总结：决定抛物线形状的是二次
项的系数，二次项系数相同的抛物线的形
状完全相同．
【类型三】 二次函数 y＝a(x＋h)2 的
增减性及最值
对于二次函数 y＝9(x－1)2，下列
结论正确的是( )
二、合作探究
A．y 随 x 的增大而增大
探究点一：二次函数 y＝a(x＋h)2 的图
B．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大
得
x＝2， y＝2，
y＝x，
{ ) 或
x＝8， y＝8.
∵ 点 A 在 点 B 的 左 边 ， ∴ A(2， 2)， 1
B(8，8)，∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝2OC× 1
8－ OC×2＝12. 2 方法总结：两个函数交点的横、纵坐
标与两个解析式组成的方程组的解是一致 的．
三、板书设计
沪科版九年级上册数学教学课件21.2.2 第2课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
增减性
当x＜h时，y随x 当x＞h时，y随x的 的增大而减小；x 增大而减小；x＜h ＞h时，y随x的增 时，y随x的增大而
练一练
若抛物线y＝3(x＋ 2 )2的图象上的三个点，A(－3 2 ，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小 y2＜ y3＜y1 关系为 ________________ ． 解析：∵抛物线y＝3(x＋ 2 )2的对称轴为x＝－ 2 ，a＝ 3＞0，∴x＜－ 2 时，y随x的增大而减小；x＞－ 2 时 ，y随x的增大而增大．∵点A的坐标为(－2 3 ，y1)，
例1. 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4) ，求a的值和平移后的函数关系式． 解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二
次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，
1 a = 把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， 4 1 ∴平移后二次函数关系式为y＝ 4 (x－3)2.
1 2
－2
y
0
－4.5 －2
1 2 1 2
3
· · · · · ·
－2 0
－4.5 －8
－2
· · ·
－2 0 －2 －4
2
4 x
－6
－4
－2 －2 －4 －6
2
4
抛物线
1 2 y x 1 2 1 2 y x 2 1 2 y x 1 2
开口方向 向下 向下 向下
的图象平移得到： 当k > 0 时，向上平移c个单位长度得到. 当k < 0 时，向下平移-c个单位长度得到.
1 问题3 函数 y ( x 2) 2 的图象，能否也可以由函数 2 1 2 y x 平移得到？ 2