您的位置：文档网› 新版北师大初中数学九年级(上册)第一章特殊平行四边形分节练习题(带答案)【菱形矩形正方形练习题】

新版北师大初中数学九年级(上册)第一章特殊平行四边形分节练习题(带答案)【菱形矩形正方形练习题】

九（上）第一章特殊平行四边形重点题目菱形的性质1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等2、菱形的周长为100cm，一条对角线长为14cm，它的面积是（）A. 168cm2B. 336cm2C. 672cm2D. 84cm23、下列语句中，错误的是（）A. 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到4、菱形的两条对角线分别是6 cm，8 cm，则菱形的边长为_____，面积为______．5、四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，已知AB＝5, AO＝4，求对角线BD和菱形ABCD的面积.6、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则BD：AC等于（）．（A 2 （B 3（C）1：2 （D 17、菱形ABCD的周长为20cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积。

8、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC＝16cm，BD＝12cm，求菱形ABCD的高DH。

9、如右上图，在菱形ABCD中,∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为．10、在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．11、如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）12、（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：113、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．第7题15、【提高题】 如图，在菱形ABCD 中，顶点A 到边BC 、CD 的距离AE 、AF 都为5， EF ＝6，那么，菱形ABCD 的边长是_____菱形的判定1、能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角2、平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O, AB=5, AO=2, OB=1. 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？3、 如左下图，AD 是△ABC 的角平分线。

DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F.四边形AEDF 是菱形吗？说明你的理由。

4、如右上图，□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 分别交于E 、F ，四边形AFCE 是否是菱形？为什么？ 5、已知DE ∥AC 、DF ∥AB ，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF 为菱形的是（ ） A. AD 平分∠BACB. AB ＝AC ＝且BD ＝CDC. AD 为中线D. EF ⊥AD6、 如右图，已知四边形ABCD 为菱形，AE ＝CF. 求证：四边形BEDF 为菱形。

7、已知ABCD 为平行四边形纸片，要想用它剪成一个菱形。

小刚说只要过BD 中点作BD 的垂线交AD 、BC 于E 、F ，沿BE 、DF 剪去两个角，所得的四边形BFDE 为菱形。

你认为小刚的方法对吗？为什么？第6题DACF H E B9、如左下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，点M 、N 分别在BD 、AC 上，且AO ＝ON ＝NC ，BM ＝MO ＝OD. 求证：BC ＝2 DN10、如右上图，已知四边形ABCD 为矩形，AD ＝20㎝、AB ＝10㎝。

M 点从D 到A ，P 点从B 到C ，两点的速度都为2㎝/s ；N 点从A 到B ，Q 点从C 到D ，两点的速度都为1㎝/s 。

若四个点同时出发。

（1）判断四边形MNPQ 的形状。

（2）四边形MNPQ 能为菱形吗？若能，请求出此时运动的时间；若不能，说明理由。

11、 【提高题】 如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC 的平分线BD•交AC 于点D ，CH⊥AB 于H ，且交BD 于点F ，DE⊥AB 于E ，四边形CDEF 是菱形吗？请说明理由．矩形的性质1．矩形具备而平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．邻角互补C ．对角相等D ．对角线相等 2．在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）A ．对角线互相平分且相等B ．四个角相等C ．既是轴对称图形，又是中心对称图形D ．对角线互相垂直平分3、如左下图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC 和BD 相交于点O ，AB ＝OA ＝4 cm ，求BD 与AD 的长.4、如右上图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB ＝2，则矩形的对角线AC 的长是______.5、已知：△ABC 的两条高为BE 和CF ，点M 为BC 的中点. 求证：ME ＝MF第10题6、如左下图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于一点O ，AE 平分∠BAD ,若∠EAO ＝15°,求∠BOE 的度数．7、（2006·成都）把一张长方形的纸片按右上图所示的方式折叠，EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在B ′M 或B ′M 的延长线上，那么∠EMF 的读度为（ ）A ．85°B ．90°C ．95°D ．100°8、如右图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L ”形图案，则∠FAC=_______，∠FCA=________．9、（2006·黑龙江）如右图，在矩形ABCD 中，EF ∥AB ，GH ∥BC ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，图中面积相等 的四边形有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对10、如图4，矩形ABCD 的周长为68，它被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD •的面积为（ ）A ．98B ．196C ．280D ．28411、如左下图所示，矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ，若矩形的周长为36 cm ，求此矩形的面积。

12、如右上图，折叠矩形，使AD边与对角线BD重合，折痕是DG ，点A 的对应点是E ，若AB=2，BC=1，求AG .13、如右下图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上一点，EF CE =，且,2EF CE DE cm ⊥=，矩形ABCD 的周长为16cm ，求AE 与CF 的长． GEDCBA15、【提高题】（2009年佳木斯中考卷第25题）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.矩形的判定1、下列识别图形不正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形2、四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（）A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°3、如左下图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连结E、F、G、H所得的四边形EFGH是矩形吗？4、已知：如右上图，□ABCD各角的角平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：•四边形EFGH是矩形．5、如右图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN. 求证：四边形NDMB是矩形.6、两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是（）A. 一般平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形7、在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，且AB＝CD，四边形ABCD是矩形吗？为什么？8、如左下图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F为AB上的两点，且△DAF≌△CBE.求证：四边形ABCD是矩形.D ACF PEB10、如图所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，AE•是∠CAF 的平分线且∠CAF 是△ABC 的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE 是矩形吗？为什么？11、【提高题】如图，在△AB C 中，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于D ，P •为BC 上的任意一点，过P 点分别作PE ⊥AB ，PF ⊥CA ，垂足分别为E ，F ，则有PE ＋PF ＝CD ，你能说明为什么吗？正方形1、 四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）A. OA ＝OB ＝OC ＝OD ，AC ⊥BDB. AB ∥CD ，AC ＝BDC. AD ∥BC ，∠A ＝∠CD. OA ＝OC ，OB ＝OD ，AB ＝BC2、在正方形ABCD 中，AB ＝12cm ，对角线AC 、BD 相交于O ，则△ABO 的周长是（ ）A. 12+122B. 12+62C. 12+2D. 24+623、如图，四边形ABCD 是正方形，延长BC 至点E ，使CE ＝CA ，连结AE 交CD •于点F ，•则∠AFC 的度数是（ ）．（A ）150° （B ）125° （C ）135° （D ）112．5°4、已知正方形的面积为4，则正方形的边长为________，对角线长为________．5、如左下图，四边形ABCD 是正方形，△CDE 是等边三角形，则∠AED ＝______，∠AEB ＝______．6、如右上图，四边形ABCD 是正方形，△CDE 是等边三角形，求∠AEB 的度数.7、已知：如左下图，在正方形ABCD 中，AE ⊥BF ，垂足为P ，AE 与CD 交于点E ，•BF 与AD 交于点F ，求证：AE ＝BF ．8、如图，正方形ABCD ，AB ＝a ，M 为AB 的中点，ED ＝3AE ，（1）求ME 的长； （2）△EMC 是直角三角形吗？为什么？9、如左下图，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH . 四边形EFGH 是什么特殊的四边形，你是如何判断的？10、如右上图所示，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，EF ⊥BC ，EG ⊥CD ，垂足分别是F 、G ．试说明AE＝FG ．11、以锐角△ABC 的边AC 、AB 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，连结BE 、CF.（1）试探索BE 和CF 的关系？并说明理由。

合集下载

北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形各小节练习题(含答案)

北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形各小节练习题(含答案)

北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形各小节练习题（含答案）菱形巩固练习一.选择题1．（2015•潍坊模拟）下列说法中，错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D.对角线互相垂直的四边形是菱形2．（2016•莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直3．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )A.4B.8C.12D.164.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（）A．20 B．15 C．10 D．55.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（）A．40° B．50° C．80° D．100°6．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )A.1B. 2C.D.二.填空题 7．已知菱形的周长为40，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______．8．（2015•南充）如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，高AE 长为cm ，则对角线AC 长和BD 长之比为 .9. 已知菱形ABCD 两对角线AC ＝ 8, BD ＝ 6, 则菱形的高为________.10. （2016•内江）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，OE ⊥BC ，垂足为点E ，则OE= ．11. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝13，AC ＝10，过点D 作DE∥AC 交BC 的延长线于点E ，则△BDE 的周长为_____.12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点B 的坐标为（8，4），则C 点的坐标为_______.三.解答题13．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB ＋PE 的最小值是，求AB 的值．23cm cm cm cm 314．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．15（2015春•泰安校级期中）如图，在△ABC中，△ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE△BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．矩形巩固练习一.选择题1．（2015春•宜兴市校级期中）下列说法中正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.平行四边形的对角线平分一组对角D.矩形的对角线相等且互相平分2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )．A. 3.6cmB. 7.2cmC. 1.8cmD. 14.4cm3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为( )．A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm 4．（2016•海南）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°5. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三角形是否都为直角6. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A. B. C.4 D.二.填空题7．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．9. （2016•巴中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=度．10.（2015•重庆模拟）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED=90°，AD=10，则AB的长为．11.如图，ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为_______.12. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是______.三.解答题13.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE＝1∶3，OF＝4，求∠ADB的度数和BD的长.14.如图,在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.15.（2015•通州区一模）已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点F在BC的延长线上，且CF=BC，连接DF，点G是DF中点，连接CG．求证：四边形ECGD是矩形．正方形巩固练习一.选择题1. （2016•陕西）如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于两点M ′、N ′，则图中的全等三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对2. （2015•漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A. 四条边相等B. 对角线互相垂直平分C. 对角线平分一组对角D. 对角线相等3. 如图，正方形ABCD 的边长为4，则图中阴影部分的面积为( )．A.6B.8C.16D.不能确定4. 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是 ( )A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形5.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E ，使ME ＝MC ，以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边CD 上，则DG 的长为（ ）AB.cm 2cm 13116.如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，则图中的等腰三角形有（ ）A ．4个B ．6个C ．8个D ．10个二.填空题7．若正方形的边长为，则其对角线长为______，若正方形ACEF 的边是正方形ABCD 的对角线，则正方形ACEF 与正方形ABCD 的面积之比等于______．8. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，对角线AC 与BD 相交于点O ，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD 是正方形，则还需增加一个条件是_________.9. 如图，将边长为2的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△，若两个三角形重叠部分的面积是1，则它移动的距离等于____.10. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是_______.a cm A B C '''2cm AA 'cm11. 如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是______．12.（2015•长春）如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为．三.解答题13．（2016•乐山）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结CE、DF．求证：CE=DF．14．（2015•铁力市二模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE△BC于点E；PF△CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP△EF；③△PFE=△BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？．15．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD 于H ，求DH 的长．菱形答案与解析一.选择题1.【答案】D ；2.【答案】D【解析】∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直； 平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D ．3.【答案】D ；【解析】BC ＝2EF ＝4，周长等于4BC ＝16.4.【答案】B ；【解析】∵∠BCD=120°，∴∠B=60°，又∵ABCD 是菱形，∴BA=BC，∴△ABC 是等边三角形，故可得△ABC 的周长=3AB=15．5.【答案】C ；【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BAC＝∠BAD，CB∥AD，∵∠BAC＝50°，∴∠BAD ＝100°，∵CB∥AD，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∴∠ABC＝180°－100°＝80°．6.【答案】D ；【解析】∠DAF ＝∠FAO ＝∠OAE ＝30°，所以2BE ＝CE ＝AE ，3BE ＝3，BC＝.二.填空题7.【答案】；【解析】由题意，菱形相邻内角为60°和120°，较长对角线为8．【答案】1：；【解析】如图，设AC ，BD 相较于点O ， 123=△菱形ABCD 的周长为8cm ，△AB=BC=2cm ，△高AE 长为cm ，△BE==1（cm ），△CE=BE=1cm ，△AC=AB=2cm ，△OA=1cm ，AC △BD ，△OB==（cm ）， △BD=2OB=2cm ， △AC ：BD=1：． 9.【答案】； 【解析】菱形的边长为5，面积为，则高为. 10.【答案】.【解析】∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，在Rt △OBC 中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，∵OE ⊥BC ，∴OE •BC=OB •OC ，∴OE==． 故答案为． 11.【答案】60；【解析】因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB 中利用勾股定理求出OB ＝12，BD ＝2OB ＝24，DE ＝2OC ＝10，BE ＝2BC ＝26，△BDE 的周长为60．12.【答案】（3,4）；【解析】过B 点作BD ⊥OA 于D ，过C 点作CE ⊥OA 于E ，BD ＝4，OA ＝，AD ＝8－，，解得，所以OE ＝AD ＝8－5＝3，C 点坐标为（3,4）.三.解答题13.【解析】解：∵∠ABC ＝120°∴∠BCD ＝∠BAD ＝60°；245cm 168242⨯⨯=245cm x x ()22284x x =-+5x =∵菱形ABCD 中， AB ＝AD∴△ABD 是等边三角形；又∵E 是AB 边的中点， B 关于AC 的对称点是D ，DE ⊥AB连接DE ，DE 与AC 交于P ，PB ＝PD ；DE 的长就是PB ＋PE 的最小值； 设AE ＝，AD ＝，DE ＝，所以，AB ＝.14.【解析】四边形BFDE 是菱形，证明：∵AD⊥BD，∴△ABD 是直角三角形，且AB 是斜边，∵E 为AB 的中点，∴DE＝AB ＝BE ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC∥AB，DC ＝AB ，∵F 为DC 中点，E 为AB 中点，∴DF＝DC ，BE ＝AB ， ∴DF＝BE ，DF∥BE，∴四边形DFBE 是平行四边形，∵DE＝EB ，∴四边形BFDE 是菱形．15.【解析】证明：△△ABC=90°，BD 为AC 的中线，△BD=AC ，△AG △BD ，BD=FG ，△四边形BGFD 是平行四边形，△CF △BD ，△CF △AG ，又△点D 是AC 中点，△DF=AC ，△BD=DF ；（2）证明：△BD=DF ，△四边形BGFD 是菱形，（3）解：设GF=x ，则AF=13﹣x ，AC=2x ，△在Rt △ACF 中，△CFA=90°，3x 2x ()22233x x x -==1x =22x =121212△AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．矩形答案与解析一.选择题1.【答案】D；【解析】△对角线相等的平行四边形是矩形，△A不正确；△对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，△B不正确；△平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，△C不正确；△矩形的对角线互相平分且相等，△D正确；2.【答案】B；【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半.3.【答案】B；【解析】由勾股定理，可算得邻边长为6cm和8cm，则周长为28cm.4.【答案】C．【解析】过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C．5.【答案】D；6.【答案】A；【解析】先证△ADF ≌△BEF ，则DF 为△ABC 中位线，再证明四边形BCDE 是矩形，BE 可求面积.二.填空题7．【答案】5，53；【解析】可证△AOB 为等边三角形，AB ＝AO ＝CO ＝BO.8．【答案】2【解析】由勾股定理算得斜边AB CD ＝12AB 9.【答案】15.【解析】连接AC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BE ，AC=BD ，且∠ADB=∠CAD=30°，∴∠E=∠DAE ，又∵BD=CE ，∴CE=CA ，∴∠E=∠CAE ，∵∠CAD=∠CAE +∠DAE ，∴∠E +∠E=30°，即∠E=15°，故答案为：15．10.【答案】5；【解析】△矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，△AB=CD ，BE=CE ，△B=△C=90°，可证得△ABE △△DCE （SAS ），△AE=DE ，△△AED=90°，△△DAE=45°，△△BAE=90°﹣△DAE=45°，△△BEA=△BAE=45°，△AB=BE=AD=×10=5．11.【答案】3；【解析】根据平行四边形的性质求出AD ＝BC ，DC ＝AB ，证△ADC ≌△CBA ，推出△ABC 的面积是3，求出AC ×AE ＝6，即可求出阴影部分的面积．12.【答案】12；【解析】推出四边形FCGE 是矩形，得出FC ＝EG ，FE ＝CG ，EF ∥CG ，EG ∥CA ，求出∠BEG＝∠B ，推出EG ＝BG ，同理AF ＝EF ，求出矩形CFEG 的周长是CF ＋EF ＋EG ＋CG＝AC＋BC，代入求出即可．三.解答题13.【解析】解：由矩形的性质可知OD＝OC.又由OE∶BE＝1∶3可知E是OD的中点.又因为CE⊥OD，根据三线合一可知OC＝CD，即OC＝CD＝OD，即△OCD是等边三角形，故∠CDB＝60°.所以∠ADB＝30°.又因为CD＝2OF＝8，即BD＝2OD＝2CD＝16.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DC＝AB.∴∠DAE＝∠AFB.∵DE＝DC，∴DE＝AB.∵DE⊥AG，∴∠DEA＝∠ABF＝90°.∴△ABF≌△DEA.15.【解析】证明：△CF=BC，△C点是BF中点，△点G是DF中点，△CG是△DBF中位线，△CG△BD，CG=，△四边形ABCD是菱形，△AC△BD，DE=，△△DEC=90°，CG=DE，△CG△BD，∴四边形ECGD是矩形．正方形答案与解析一.选择题1.【答案】C．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，在△ABD和△BCD中，，∴△ABD≌△BCD，∵AD∥BC，∴∠MDO=∠M′BO，在△MOD和△M′OB中，，∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，∴全等三角形一共有4对．故选C．2.【答案】D；【解析】正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；故选：D ．3．【答案】B ；【解析】阴影部分面积为正方形面积的一半.4.【答案】A ；5.【答案】D ；【解析】利用勾股定理求出CM ＝，即ME 的长，有DM ＝DE ，所以可以求出DE ＝，进而得到DG 的长．6.【答案】C ；二.填空题7.【答案】，2∶1 ；【解析】正方形ACEF 与正方形ABCD 的边长之比为.8.【答案】AC ＝BD 或AB⊥BC；【解析】∵在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA∴四边形ABCD 是菱形∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是AC ＝BD 或AB⊥BC .9.【答案】1；【解析】移动距离为，重叠部分面积为CE ×，所以，得，所以.10.【答案】1；【解析】由题可知△DEO≌△BFO，阴影面积就等于三角形BOC 面积．11.【答案】；【解析】，重叠部分面积为. 12.【答案】5；【解析】解：过E 作EM △AB 于M ，△四边形ABCD 是正方形，△AD=BC=CD=AB ，△EM=AD ，BM=CE ，△△ABE 的面积为8，△×AB ×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，△CE=3，由勾股定理得：BE===5， 551-2a 2:1B C x '=1B C '=()21x x -=()210x -=1x =21-21D E D C ''==-()12121212⨯⨯⨯-=-故答案为：5．三.解答题13.【解析】证明：∵ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD ，∠EBC=∠FCD=90°，又∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴BE=CF ，在△CEB 和△DFC 中，，∴△CEB ≌△DFC ，∴CE=DF ．14.【解析】解：①正确，连接PC ，可得PC=EF ，PC=PA ，△AP=EF ；②正确；延长AP ，交EF 于点N ，则△EPN=△BAP=△PCE=△PFE ，可得AP △EF ； ③正确；△PFE=△PCE=△BAP ；④错误，PD=PF=CE ；⑤正确，PB 2+PD 2=2PA 2．所以正确的有4个：∴∴∴∴.15.【解析】解：如图，连接CH ，∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°，∴∠BCF＝30°，则∠DCF＝60°，在Rt△CDH 和Rt△CFH 中，∴Rt△C DH ≌Rt△CF H ，CH CH CD CF =⎧⎨=⎩∴∠DCH＝∠FCH＝∠DCF＝30°，在Rt△CDH中，DH＝，CH＝2，CD，∴DH12x x3。

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题(含答案,教师版)

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题(含答案,教师版)

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题1.如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为(a，b)，则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是(D)A．(a－b，a) B．(b，a) C．(a－b，0) D．(b，0)2.如图，菱形ABCD边长为6，∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，AD上且BE＝AF，则EF的最小值为(A)．A．B．．D3.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C4.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C＋B′C5.菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA ＝5，OC ＝3.若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为(－95，125)．7.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝4，BC ＝1，在运动过程中，点D 到点O8.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点E 是AD 的中点，点F 是AB 上一动点．将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 落在点A ′处．在EF 上任取一点G ，连接GC ，GA ′，CA ′，则△CGA ′周长的最小值为9.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG ＝BD ，连接BG ，DF.(1)求证：四边形BDFG 为菱形；(2)若AG ＝13，CF ＝6，则四边形BDFG 的周长为20．证明：∵∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线， ∴BD ＝12AC.∵AG ∥BD ，BD ＝FG ，∴四边形BDFG 是平行四边形．∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG.又∵点D 是AC 中点，∴DF ＝12AC.∴BD ＝DF.∴四边形BDFG 是菱形．10.如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，EF ＝EC ，且EF ⊥EC. (1)求证：AE ＝DC ； (2)若DC ＝2，则BE ＝2．证明：在矩形ABCD 中， ∠A ＝∠D ＝90°， ∴∠EFA ＋∠AEF ＝90°. ∵EF ⊥EC ，∴∠FEC ＝90°. ∴∠AEF ＋∠CED ＝90°. ∴∠EFA ＝∠CED. 在△AEF 和△DCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，∠EFA ＝∠CED ，EF ＝CE ，∴△AEF ≌△DCE(AAS)． ∴AE ＝DC.11.已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F. (1)如图1，求证：AE ＝CF ；(2)如图2，当∠ADB ＝30°时，连接AF ，CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC. ∴∠ABE ＝∠CDF. ∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠CDF ，∠AEB ＝∠CFD ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．∴AE ＝CF. (2)S △ABE ＝S △CDF ＝S △BCE ＝S △ADF ＝18S 矩形ABCD .12.如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，点E 为AD 的中点，点F 为AE 的中点，AC⊥CD ，连接BE ，CE ，CF.(1)判断四边形ABCE 的形状，并说明理由；(2)如果AB ＝4，∠D ＝30°，点P 为BE 上的动点，求△PAF 周长的最小值．解：(1)四边形ABCE 是菱形，理由如下： ∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝12AD.∵BC ＝12AD ，∴AE ＝BC.∵BC ∥AD ，∴四边形ABCE 是平行四边形． ∵AC ⊥CD ，点E 是AD 的中点，∴CE ＝AE ＝DE. ∴四边形ABCE 是菱形． (2)∵四边形ABCE 是菱形．∴AE ＝EC ＝AB ＝4，点A ，C 关于BE 对称．∵点F是AE的中点，∴AF＝12AE＝2.∴当PA＋PF最小时，△PAF的周长最小，即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小．此时△PAF的周长为PA＋PF＋AF＝CF＋AF.∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°－30°＝60°.∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4.∵AF＝EF，∴CF⊥AE.∴CF＝AC2－AF2＝2 3.△PAF周长的最小值为CF＋AF＝23＋2.13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D 作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于点E，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D为AB的中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.(2)四边形CDBE是菱形．理由：∵D为AB的中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形．(3)当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.∵D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.又∵四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形．14.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP，交CE于点H.(1)若∠PBA∶∠PBC＝1∶2，判断△PBC的形状，并说明理由；(2)求证：四边形AECF为平行四边形．解：(1)△PBC是等边三角形，理由如下：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠PBA∶∠PBC＝1∶2，∴∠PBC＝60°.由折叠的性质，得PC＝BC.∴△PBC是等边三角形．(2)证明：由折叠的性质，得△EBC≌△EPC.∴BE＝PE.∴∠EBP＝∠EPB.∵E为AB的中点，∴BE＝AE.∴AE＝PE.∴∠EPA＝∠EAP.∵∠EBP ＋∠EPB ＋∠EPA ＋∠EAP ＝180°， ∴∠EPB ＋∠EPA ＝90°. ∴∠BPA ＝90°，即BP ⊥AF.由折叠的性质，得BP ⊥CE ，∴AF ∥CE. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥CF. ∴四边形AECF 为平行四边形．15.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MNDN的值．解：(1)证明：由折叠的性质，得∠ENM ＝∠DNM ， 又∵∠ANE ＝∠CND ， ∴∠ANM ＝∠CNM. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC. ∴∠ANM ＝∠CMN. ∴∠CMN ＝∠CNM. ∴CM ＝CN.(2)过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形， ∴HC ＝DN ，NH ＝DC. ∵S △CMN S △CDN ＝12MC ·NH12ND ·NH ＝MC ND＝3， ∴MC ＝3ND ＝3HC.∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x. ∴CM ＝CN ＝3x.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x. 在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋HN 2＝23x. ∴MN DN ＝23x x＝2 3. 16.在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，DE ＝EF ，过点D 作DG ⊥EF 于点H ，交AB 边于点G.(1)如图1，求证：DE ＝DG ；(2)如图2，将EF 绕点E 逆时针旋转90°得到EK ，点F 对应点K ，连接KG ，EG.若H 为DG 的中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG 长度相等的线段(不包括EG)．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝DC ，AD ∥BC ，∠DAG ＝∠DCE ＝90°. ∴∠DEC ＝∠EDF.∵DE ＝EF ，∴∠EFD ＝∠EDF. ∴∠EFD ＝∠DEC.∵DG ⊥EF ，∴∠GHF ＝90°. ∴∠DGA ＋∠AFH ＝180°. ∵∠AFH ＋∠EFD ＝180°， ∴∠DGA ＝∠EFD ＝∠DEC. 在△DAG 和△DCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DGA ＝∠DEC ，∠DAG ＝∠DCE ，DA ＝DC ，∴△DAG ≌△DCE(AAS)． ∴DG ＝DE.(2)与线段EG 相等的线段有：DE ，DG ，GK ，KE ，EF.17.如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，线段BC 在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ ，连接PA ，过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA ，OP.(1)如图1所示，求证：AP ＝2OA ；(2)如图2所示，PQ 在BC 的延长线上，如图3所示，PQ 在BC 的反向延长线上，猜想线段AP ，OA 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ＝45°. ∵QO ⊥BD ，∴∠BOQ ＝90°. ∴∠BQO ＝∠CBD ＝45°.∴OB ＝OQ. ∵PQ ＝BC ，∴AB ＝PQ.在△ABO 和△PQO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OQ ，∠ABO ＝∠PQO ，AB ＝PQ ，∴△ABO ≌△PQO(SAS)． ∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ. ∵∠BOP ＋∠POQ ＝90°，∴∠BOP ＋∠AOB ＝90，即∠AOP ＝90°. ∴△AOP 是等腰直角三角形． ∴AP ＝2OA.(2)当PQ 在BC 的延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA ； 当PQ 在BC 的反向延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA.。

北师大版九年级上册数学 第一章 特殊平行四边形 解答题训练(一)解析版

北师大版九年级上册数学 第一章 特殊平行四边形 解答题训练(一)解析版

北师大版九年级上册数学第一章特殊平行四边形解答题训练（一）解析版1．在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：（1）△ABF≌△DAE；（2）DE＝BF+EF．2．（1）计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（﹣2）0；（2）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．3．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．4．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连结AE，AF．求证：AE＝AF．5．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．6．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD 边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．7．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．8．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．9．如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE 与AC相交于点O．（1）求证：△OEC为等腰三角形；（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．10．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD 于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．11．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．12．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．13．如图，在矩形ABCD中，分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，求证：四边形EFGH是菱形．14．如图，矩形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）只需添加一个条件，即，可使四边形BEDF为菱形．15．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．（1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．16．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP、BQ、PQ．（1）求证：△APD≌△BQC；（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．17．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD 是正方形．18．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．19．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．M、N在对角线AC上，且AM＝CN，E、F分别是AD、BC的中点．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．第一章特殊平行四边形解答题训练（一）参考答案与试题解析1．【分析】（1）根据菱形的性质得到AB＝AD，AD∥BC，由平行线的性质得到∠BOA＝∠DAE，等量代换得到∠BAF＝∠ADE，求得∠ABF＝∠DAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AE＝BF，DE＝AF，根据线段的和差即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∴∠BPA＝∠DAE，∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE，∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，∴∠ABF＝∠DAE，∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE（ASA）；（2）∵△ABF≌△DAE，∴AE＝BF，DE＝AF，∵AF＝AE+EF＝BF+EF，∴DE＝BF+EF．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．2．【分析】（1）先根据相反数，绝对值，零指数幂进行计算，再求出即可；（2）先求出四边形ABCD是平行四边形，再求出AC＝BD，最后根据矩形的判定得出即可．）【解答】解：（1）﹣（﹣1）+|﹣2|+（﹣2）0＝1+2+1＝4；（2）证明：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了相反数，绝对值，零指数幂，平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能求出四边形ABCD是平行四边形是解（2）的关键．3．【分析】（1）根据矩形的性质得到EH＝FG，EH∥FG，得到∠GFH＝∠EHF，求得∠BFG＝∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF＝∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得AE＝BG，AE∥BG，得到四边形ABGE 是平行四边形，得到AB＝EG，于是得到结论．【解答】解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG，∵EG＝FH＝2，∴AB＝2，∴菱形ABCD的周长＝8．【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．4．【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝CF．【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．5．【分析】由SAS证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝CE．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．6．【分析】（1）根据矩形的性质得到AB∥CD，由平行线的性质得到∠DFO＝∠BEO，根据全等三角形的性质得到DF＝BE，于是得到四边形BEDF是平行四边形；（2）推出四边形BEDF是菱形，得到DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x 根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE（ASA），∴DF＝BE，又因为DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形∴四边形BEDF是菱形，∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2∴x2+62＝（8﹣x）2，解之得：x＝，∴DE＝8﹣＝，在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2∴BD＝，∴OD＝BD＝5，在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2﹣OD2＝OE2，∴OE＝，∴EF＝2OE＝．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．7．【分析】（1）设出正方形CEFG的边长，然后根据S1＝S2，即可求得线段CE的长；（2）根据（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出HD和HG的长，即可证明结论成立．【解答】解：（1）设正方形CEFG的边长为a，∵正方形ABCD的边长为1，∴DE＝1﹣a，∵S1＝S2，∴a2＝1×（1﹣a），解得，（舍去），，即线段CE的长是；（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1，∴CH＝0.5，∴DH＝＝，∵CH＝0.5，CG＝，∴HG＝，∴HD＝HG．【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．【分析】由菱形的性质得出AD＝CD，由SAS证明△ADF≌△CDE，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1＝∠2．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．9．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ACB，根据平移得出AB∥DE，求出∠B＝∠DEC，再求出∠ACB＝∠DEC即可；（2）求出四边形AECD是平行四边形，再求出四边形AECD是矩形即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵△ABC平移得到△DEF，∴AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，∴∠ACB＝∠DEC，∴OE＝OC，即△OEC为等腰三角形；（2）解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形，理由是：∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，BE＝EC，∵△ABC平移得到△DEF，∴BE∥AD，BE＝AD，∴AD∥EC，AD＝EC，∴四边形AECD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴四边形AECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、平移的性质、等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．10．【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，∠DAG ＝∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB ＝FB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．11．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG ∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．【分析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB＝OA，根据AM⊥BE，即可得出∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，从而证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE＝OF．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．∴△BOE≌△AOF（AAS）．∴OE＝OF．【点评】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．13．【分析】连接AC，BD，根据三角形的中位线定理和矩形的对角线相等证明EF＝FG＝GH＝HE，即可得出结论．【解答】证明：连接AC，BD，如图所示：∵E为AB的中点，F为BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝AC，同理HG＝AC，EH＝FG＝BD，∵矩形ABCD，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形．【点评】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定定理和矩形的性质，根据题意正确找出辅助线是解决问题的关键．14．【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）根据根据菱形的性质作出判断：EF与BD互相垂直平分．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，∴AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）EF⊥BD或DE＝BE或∠EDO＝∠FDO．∵四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形．故答案为：EF⊥BD或DE＝BE或∠EDO＝∠FDO（答案不唯一）【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形以及全等三角形的判定与性质，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．15．【分析】（1）这里利用正方形的轴对称性质和线段垂直平分线的性质证明PC＝PC，再利用三角形的内角和的关系证明∠CPF＝∠FDE，再结合正方形的每个内角是90°，证明∠CPF＝90°即可．（2）由菱形轴对称性质，利用题（1）的方法证明∠CPF＝60°，又因为PC＝PE，所以△PCE是等边三角形，因此CE＝PC＝AP．【解答】解：（1）PC＝PE，PC⊥PE证明：∵正方形ABCD，点P是对角线上一点∴PA＝PC∵点P位于AE的垂直平分线上∴PA＝PE∴PC＝PE由正方形的轴对称性质可得，∠PAD＝∠PCD，∵PA＝PE∴∠PAD＝∠E∴∠PCD＝∠E∵∠PFC＝∠DFE∴∠CPF＝∠FDE∵正方形ABCD∴∠ADC＝90°∴∠FDE＝90°∴∠CPF＝90°∴PC⊥PE（2）PA＝CE．理由如下：∵菱形ABCD，点P是对角线BD上一点∴AP＝PF，∠PAD＝∠PCD∵点P在AE的垂直平分线上∴AP＝PE∴PE＝PC，∠PAD＝∠PED∵∠PFC＝∠DFE∴∠CPF＝∠EDF∵菱形ABCD，∠ABC＝120°∴∠ADC＝∠ABC＝120°∴∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°∴∠CPF＝60°∵PE＝PC∴△PCE是等边三角形∴CE＝PE∴AP＝CE【点评】本题主要考查了线段垂直平分线、等边三角形、正方形和菱形的性质．注意正方形和菱形是轴对称图形．16．【分析】（1）只要证明AD＝BC，∠ADP＝∠BCQ，DP＝CQ即可解决问题；（2）首先证明四边形ABQP是平行四边形，再证明AB＝AP即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵CQ∥DB，∴∠BCQ＝∠DBC，∴∠ADB＝∠BCQ∵DP＝CQ，∴△ADP≌△BCQ．（2）证明：∵CQ∥DB，且CQ＝DP，∴四边形CQPD是平行四边形，∴CD＝PQ，CD∥PQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AB＝PQ，AB∥PQ，∴四边形ABQP是平行四边形，∵△ADP≌△BCQ，∴∠APD＝∠BQC，∵∠APD+∠APB＝180°，∠ABP+∠BQC＝180°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∴四边形ABQP是菱形．【点评】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．【分析】先判断出AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，进而求出∠AFD＝∠AEB＝75°，进而判断出△AEB≌△AFD，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．【点评】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，判断出∠AFD＝∠AEB是解本题的关键．18．【分析】（1）如图1，连接DF，根据对称得：△ADE≌△FDE，再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得结论；（2）证法一：如图2，作辅助线，构建AM＝AE，先证明∠EDG＝45°，得DE＝EH，证明△DME ≌△EBH，则EM＝BH，根据等腰直角△AEM得：EM＝AE，得结论；证法二：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE＝HN，AD＝EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．【解答】证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF＝GC；（2）BH＝AE，理由是：证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ADC＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴2∠2+2∠3＝90°，∴∠2+∠3＝45°，即∠EDG＝45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，∴∠1＝∠BEH，在△DME和△EBH中，∵，∴△DME≌△EBH，∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM＝AE，∴BH＝AE；证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH＝90°，由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENH，∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝HN＝AE．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．19．【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周长公式解答．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°．∵E是AB的中点，∴AE＝BE．在△ADE与△BCE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS）；（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE＝EC．在直角△ADE中，AD＝4，AE＝AB＝3，由勾股定理知，DE＝＝＝5，∴△CDE的周长＝2DE+CD＝2DE+AB＝2×5+6＝16．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．20．【分析】（1）根据四边形的性质得到AB∥CD，求得∠MAB＝∠NCD．根据全等三角形的判定定理得到结论；（2）连接EF，交AC于点O．根据全等三角形的性质得到EO＝FO，AO＝CO，于是得到结论．【解答】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠MAB＝∠NCD．在△ABM和△CDN中，，∴△ABM≌△CDN（SAS）；（2）解：如图，连接EF，交AC于点O．在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴EO＝FO，AO＝CO，∴O为EF、AC中点．∵∠EGF＝90°，OG＝EF＝，∴AG＝OA﹣OG＝1或AG＝OA+OG＝4，∴AG的长为1或4．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．。

北师大版数学九年级上册 《特殊平行四边形》 各节含答案

北师大版数学九年级上册 《特殊平行四边形》 各节含答案

北师大版数学九年级上册第一章 特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定菱形的性质和判定的应用 同步课堂练习1．菱形的两条对角线的长为a 和b ，且a ，b 满足(a －1)2＋b －4＝0，那么菱形的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．82．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD＝120°，已知△ABC 的周长是15，则菱形ABCD 的周长是( )A ．25B ．20C ．15D ．103．菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较短的对角线长是( )A ．3B ．4C ．8D ．64. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，对角线AC ＝6，若过点A 作AE⊥BC，垂足为点E ，则AE 的长为( )A ．4 B.125 C.245D ．5 5．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )A．15°或30° B．30°或45°C．45°或60° D．30°或60°6.如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A＝∠EDF＝60°，有下列结论：①AE＝BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE＝∠BEF.其中结论正确的个数是( )A．3 B．4 C．1 D．27．在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，则它的面积是________．8．在菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为点E，AB＝4，那么菱形ABCD的面积是__________，对角线BD的长是________．9．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为________．10. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为________．11．如图，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5 km，村庄C到公路l1的距离为4 km，则村庄C到公路l2的距离是________km.12．如图，菱形ABCD的周长为8 cm，高AE长为3cm，则对角线AC和BD的长之比为________．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D 作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为________．14．已知菱形ABCD的周长为16 cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．15．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O是对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为点E.(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长；(3)求菱形ABCD的面积．1.1答案;1---6 BBCCD A7. 968. 8 3 4 39. 1210. 2411. 412. 1∶ 313. 2414. 设AC与BD交于点O(图略)，由已知得AB＝4 cm，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形．∴BD＝4 cm ，∴AO＝2 3 cm ，AC ＝4 3 cm ，∴S 菱形＝12AC·BD＝83(cm 2)．15. (1)∵四边形ABCD 是菱形，∠A＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ABD＝60°.1.2矩形的判定一．【基础题】1．下列命题中，真命题是（ ）A ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形C ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分3．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的边长BC 的长是（ ）A ．2B ．4C ．2D ．44．若O是四边形ABCD对角线的交点且OA=OB=OC=OD，则四边形ABCD是（）A．平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形5．下列条件之一能使平行四边形ABCD是矩形的为（）①AC⊥BD ②∠BAD=90°③AB=BC ④AC=BD．A．①③B．②④C．③④D．①②③6在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD 为矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AO=CO，BO=DO，∠A=90°C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD D．∠A=∠B=90°，AC=BD7．下列判断正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．两条对角线互相平分的四边形是矩形C．有三个角是直角的四边形是矩形D．两条对角线互相垂直的四边形是矩形8．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．9．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．10．如图，在矩形ABCD中，AB=3，点P是直线AD上一点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AD的长为．二．11．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过点O且EF⊥AC分别交DC于点F，交AB于点E，点G是AE中点且∠AOG=30°，给出以下结论：①∠AFC=120°；②△AEF是等边三角形；③AC=3OG；④S△AOG=S△ABC其中正确的是．（把所有正确结论的序号都选上）12．（2017•奉化市模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O 作OE⊥AC交AB于E．若BC=4，△AOE的面积为5，则BE= ．13．（2017•盐城）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．14．（2017•蓝田县二模）如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．15．（2017•沈阳二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN 是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．16．（2017•启东市一模）如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE=DF，∠AEC=90°．求证：四边形AECF为矩形．17．（2017•蒙阴县二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．（1）求证：AD=CE；（2）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．18．（2017•崇安区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，AE∥BC，DE∥AB．求证：四边形ADCE为矩形．1.2矩形的判定答案1．A．2．C．3．C．4．B．5．B．6．C．7．C．8．．9．．10．3或2 ．11．①②④．12．3．13．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC、AD∥BC，∴∠ABD=∠CDB，∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，∴∠EBD=∠ABD，∠FDB=∠BDC，∴∠EBD=∠FDB，∴BE∥DF，又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°，∴∠EDB=∠EBD=30°，∴EB=ED，又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．14．【解答】证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．∴∠ABE=∠CDF．∵在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）．（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形DFBE是平行四边形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．∴平行四边形DFBE是矩形．15．【解答】证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．16．【解答】证明：连接AC交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵BE=DF，OE=OF．∵OA=OC，∴AECF是平行四边形；∵∠AEC=90°，∴四边形AECF为矩形．17．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，又∵▱ABDE中，AB=DE，AB∥DE，∴∠B=∠EDC=∠ACB，AC=DE，在△ADC和△ECD中，，∴△ADC≌△ECD（SAS）．（2）解：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，理由如下：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，AE∥BC，∵D为边长BC的中点，∴BD=CD，∴AE=CD，AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵△ADC≌△ECD，∴AC=DE，∴四边形ADCE是矩形．18．【解答】证明：∵AE∥BC，∴AE∥BD．又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD．∵D为BC的中点，∴BD=DC，∴AE=DC；∵AE∥CD，AE=BD=DC，即AE=DC，∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥CD，∴平行四边形ADCE为矩形．第一章检测卷时间：120分钟满分：150分班级：__________姓名：__________得分：__________一、选择题(每小题3分，共45分)1．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是（）A．平行四边形、菱形B．矩形、菱形C．矩形、正方形D．菱形、正方形2．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A．AC⊥BD B．AB∥CD C．∠A＝90°D．∠A＝∠C3．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（）A．20°B．40°C．80°D．100°4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC第4题图第5题图第6题图5．如图，点P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，且PE＝2.连接PC，若菱形的周长为24.则△BCP的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．126．如图，在△ABC中，BC＝12，AC＝5，AB＝13，点D是AB的中点，则CD的长为（）A．6.5 B．6 C．2.5 D．不能确定7．如图，已知面积为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O任意作一条直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分的面积是（）A．1 B．0.5 C．0.25 D．无法确定第7题图第8题图第9题图8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为（）A．4 B．3 C．2 D．19．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，点A 的坐标为(2，0)，则点B的坐标为（）A．(2，1) B．(1，2) C．(1，2＋1) D．(2＋1，1)10．如图，四边形ABCD是正方形，点E在对角线BD上，且BE＝BC，则∠ACE的度数等于（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°第10题图第11题图第12题图11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，作OE∥AB，交BC于点E，则OE的长一定等于（）A．BE B．AO C．AD D．OB12．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE＝2.5dm，DF ＝4dm，那么EF的长为（）A．6.5dm B．6dm C．5.5dm D．4dm13．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是（）A．矩形B．平行四边形C．菱形D．任意四边形14．如图，将边长为2cm的菱形ABCD沿边AB所在的直线l翻折得到四边形ABEF，若∠DAB＝30°，则四边形CDFE的面积为（）A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．6cm2第14题图第15题图15．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD＝6，则AF等于（）A．4 3 B．3 3 C．4 2 D．8二、填空题(每小题5分，共25分)16．Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD＝4cm，那么斜边AB＝cm.17．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为度时，两条对角线长度相等．第17题图18．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为1cm，则其对角线长为cm，矩形的面积为cm2.19．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是.第19题图第20题图20．如图，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B ＝60°，则菱形ABCD的面积为.三、解答题(共80分)21．(8分)如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：OE＝BC.22．(8分)如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.求证：△BCE≌△DCF.23.(10分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD 于点E，BE∶ED＝1∶3，AD＝6cm，求AE的长．24. (12分)如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.(1)求证：四边形EBFC是菱形；(2)如果∠BAC＝∠ECF，求证：AC⊥CF.25．(12分)如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A，C重合，点D落在点G处，AC与EF交于点H.(1)求证：△ABE≌△AGF；(2)若AB＝6，BC＝8，求△ABE的面积．26．(14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD(如图所示)．(1)在下图中，用尺规作∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE(保留作图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED是菱形；(2)若∠ABC＝60°，EC＝2BE.求证：ED⊥DC.27．(16分)如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)求证：四边形AECF是菱形；(3)若AD＝3，AE＝5，则菱形AECF的面积是多少？上册第一章检测卷1．D 2.C 3.C 4.C 5.B 6.A7.C8.A9．D10.B11.A12.A13.C14.C15．A解析：∵纸片ABCD为矩形，∴AB＝CD＝6.∵矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，∴AE＝AB＝6，∠EAF＝∠F AB.∵E为DC的中点，∴DE＝3.在Rt△ADE中，∵AE＝6，DE＝3，∴∠DAE ＝30°，∴∠EAF＝∠F AB＝30°.在Rt△ABF中，∵∠BAF＝30°，AB＝6，∴由勾股定理得(2BF)2＝BF2＋62，∴BF＝23，∴AF＝2BF＝4 3.16．817.9018.2319.45°20．83 解析：∵菱形ABCD 的边长为4，∴AB ＝BC ＝4.∵AE ⊥BC ，∠B ＝60°，∴∠BAE ＝30°，∴BE ＝12AB ＝2，∴由勾股定理可得AE ＝23，∴S菱形ABCD ＝4×23＝8 3.21．证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 是平行四边形．(2分)∵四边形ABCD 是菱形，∴∠COD ＝90°，CD ＝BC .(4分)∴四边形OCED 是矩形，∴OE ＝CD .(6分)又∵CD ＝BC ，∴OE ＝BC .(8分)22．证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ＝DC ，∠BCD ＝90°，∴∠BCE＝∠DCF ＝90°.(3分)在△BCE 与△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ，CE ＝CF ，∴△BCE ≌△DCF .(8分)23．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，OB ＝OD ＝12BD ＝AO .∵BE ∶ED ＝1∶3，∴BE ＝OE .(4分)∵AE ⊥BD ，∴AB ＝AO ，∠AED ＝90°，∴AB ＝AO ＝OB ，(6分)∴∠ABO ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴AE ＝12AD ＝3cm.(10分)24．证明：(1)∵AB ＝AC ，AH ⊥CB ，∴BH ＝HC .(2分)∵FH ＝EH ，∴四边形EBFC 是平行四边形．(4分)又∵AH ⊥CB ，∴四边形EBFC 是菱形；(6分)(2)如图，∵四边形EBFC 是菱形，∴∠2＝∠3＝12∠ECF .(7分)∵AB ＝AC ，AH ⊥CB ，∴∠4＝12∠BAC .(8分)∵∠BAC ＝∠ECF ，∴∠4＝∠3.(9分)∵AH ⊥CB ，∴∠4＋∠1＋∠2＝90°，∴∠3＋∠1＋∠2＝90°.即AC ⊥CF .(12分)25．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠BAD ＝∠BCD .(2分)由折叠的性质得AG ＝CD ，∠EAG ＝∠BCD ，∠G ＝∠D ＝90°，∴AB ＝AG ，∠BAD ＝∠EAG ，∴∠BAE ＝∠GAF .(4分)在△ABE 和△AGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠GAF ，AB ＝AG ，∠B ＝∠G ，∴△ABE ≌△AGF (ASA)；(7分)(2)解：根据折叠的性质可得AE ＝EC ，设BE ＝x ，则AE ＝EC ＝8－x .在直角△ABE 中，根据勾股定理可得62＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝74，(10分)则S △ABE ＝12AB ·BE ＝12×6×74＝214.(12分)26．(1)解：作图如图所示．(2分)在△ABE 与△ADE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAE ＝∠DAE ，AE ＝AE ，∴△ABE ≌△ADE ，∴∠AEB ＝∠AED .(5分)∵AD ∥BE ，∴∠AEB ＝∠DAE ，∴∠BAE ＝∠AED ，∴AB ∥DE ，∴四边形ABED 是平行四边形．∵AB ＝AD ，∴四边形ABED 为菱形；(7分)(2)证明：取EC 的中点F ，连接DF .∵四边形ABED 是菱形，∴EC ＝2BE ＝2DE ＝2EF ＝2CF ，∠CED ＝∠ABC ＝60°，∴△DEF 是等边三角形，(10分)∴DF ＝EF ＝CF ，∠DFE ＝60°，∴∠CDF ＋∠C ＝∠DFE ＝60°＝2∠C .即∠C ＝30°，∴∠EDC ＝180°－∠CED －∠C ＝90°，即ED ⊥DC .(14分)27．(1)证明：∵PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AD ＝CD .∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED .(3分)在△AED 与△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAD ＝∠FCD ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD ；(6分) (2)证明：由(1)可知△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF .(7分)∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝F A ，(9分)∴EC ＝EA ＝FC ＝F A ，∴四边形AECF 为菱形；(11分)(3)解：∵AD ＝3，AE ＝5，∴根据勾股定理得ED ＝4，(13分)∴EF ＝8，AC ＝6，∴S 菱形AECF ＝8×6÷2＝24.(16分)1.3 第1课时 正方形的性质知识点 1 利用正方形的性质求解与线段有关的问题1．如图1－3－1，在正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ＝4，EC ＝2，则AE 的长为________．1－3－11－3－22．如图1－3－2，正方形ABCD 的边长为1，点E 在边DC 上，AE 平分∠DAC ，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．3．2017·广安如图1－3－3，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD 上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.图1－3－3知识点2利用正方形的性质求解与角有关的问题4．如图1－3－4，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为()A．10°B．12.5°C．15°D．20°1－3－41－3－55．如图1－3－5，E为正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，则∠DCE＝________°.6．2017·怀化如图1－3－6，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．图1－3－6知识点3利用正方形的性质求解与面积有关的问题7．若正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是()A．8 B．4 2 C．8 2 D．16图1－3－78．如图1－3－7，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．9．如图1－3－8，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．图1－3－8知识点4正方形对称性的应用10．如图1－3－9，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是()A．(1，1) B．(－1，－1)C．(1，－1) D．(－1，1)1－3－91－3－1011.如图1－3－10，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．12．如图1－3－11，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE 相交于点F，则∠BFC的度数为()A．45°B．55°C．60°D．75°1－3－111－3－1213.如图1－3－12，正方形ABCD的边长为2，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，F A⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．14．如图1－3－13，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC 边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．1－3－131－3－14 15．如图1－3－14，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．16．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.图1－3－1517．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图1－3－16①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图1－3－16②)，求证：EF2＝ME2＋NF2.图1－3－161．2132.2－13．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴AF＝BE.4．C5．22.56．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，∴BA＝BC＝CD＝BE＝CE，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠EBC＝∠ECB＝60°，∴∠ABE＝∠ECD＝30°.在△ABE和△DCE中，AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，BE＝CE，∴△ABE≌△DCE(SAS)．(2)∵BA＝BE，∠ABE＝30°，∴∠BAE＝12×(180°－30°)＝75°.∵∠BAD ＝90°，∴∠EAD ＝90°－75°＝15°， 同理可得∠ADE ＝15°，∴∠AED ＝180°－15°－15°＝150°. 7．A 8．29．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD ＝AB ，∠D ＝∠B ＝90°，BC ＝DC . ∵E ，F 分别为DC ，BC 的中点， ∴DE ＝12DC ，BF ＝12BC ， ∴DE ＝BF .在△ADE 和△ABF 中，AD ＝AB ，∠D ＝∠B ，DE ＝BF ， ∴△ADE ≌△ABF (SAS)．(2)由题知△ABF ，△ADE ，△CEF 均为直角三角形，且AB ＝AD ＝4，DE ＝BF ＝12×4＝2，CE ＝CF ＝12×4＝2，∴S △AEF ＝S 正方形ABCD －S △ADE －S △ABF －S △CEF ＝ 4×4－12×4×2－12×4×2－12×2×2＝6. 10．C11．10 12.C 13．4 14．3 cm15．(0，21009)16．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OD ＝OC . 又∵DE ＝CF ，∴OD －DE ＝OC －CF ，即OE ＝OF .在△AOE 和△DOF 中，AO ＝DO ，∠AOE ＝∠DOF ，OE ＝OF ， ∴△AOE ≌△DOF (SAS)， ∴∠OAE ＝∠ODF .∵∠OAE ＋∠AEO ＝90°，∠AEO ＝∠DEM ， ∴∠ODF ＋∠DEM ＝90°， 即AM ⊥DF .17．证明：(1)∵△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ， ∴AG ＝AF ，∠GAF ＝90°. ∵∠EAF ＝45°，∴∠GAE ＝∠GAF －∠EAF ＝90°－45°＝45°， 即∠GAE ＝∠EAF .在△AEG 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AF ，∠GAE ＝∠EAF ，AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF (SAS)．(2)把△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ，如图，连接GM ，则△ADF ≌△ABG ，∴DF ＝BG .由(1)知△AEG≌△AEF，∴EG＝EF.∵∠CEF＝45°，∴△BME，△DNF，△CEF均为等腰直角三角形，∴CE＝CF，BE＝BM，NF＝2DF，∴BE＝DF，∴BE＝BM＝DF＝BG，∴∠BMG＝45°，∴∠GME＝45°＋45°＝90°，∴EG2＝ME2＋MG2.又∵EG＝EF，MG＝2BM＝2DF＝NF，∴EF2＝ME2＋NF2.1.2正方形的判定1．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD 是平行四边形的基础上，进一步证明()A．AB＝BD且AC⊥BDB．∠A＝90°且AB＝ADC．∠A＝90°且AC＝BDD．AC和BD互相垂直平分2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件：________________．知识点2利用菱形判定四边形是正方形3．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD 是正方形的是()A．OA＝OC，OB＝ODB．OA＝OB＝OC＝ODC．OA＝OC，OB＝OD，AC＝BDD．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD图1－3－174．如图1－3－17，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成()A．22.5°角B．30°角C．45°角D．60°角5．教材习题1.8第3题变式题如图1－3－18，有4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动．请判断四边形PQEF的形状．图1－3－186．2017·齐齐哈尔矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件：________，使其成为正方形．(只填一个即可)图1－3－197．如图1－3－19所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判定的方法是__________________________．8．2017·邵阳如图1－3－20所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD 相交于点O，∠OBC＝∠OCB.(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．图1－3－209．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是()A．矩形B．对角线互相垂直的四边形C．菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形图1－3－2110．如图1－3－21，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能判定四边形ECFB 为正方形的是()A．BC＝AC B．CF⊥BFC．BD＝DF D．AC＝BF图1－3－2211．教材习题1.8第3题变式题如图1－3－22，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是() A．30 B．34 C．36 D．4012．2017·贵阳期末如图1－3－23，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．图1－3－2313．如图1－3－24，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为N.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？并给出证明．图1－3－2414．观察如图1－3－25所示图形的变化过程，解答以下问题：图1－3－25如图1－3－26，在△ABC中，D为BC边上的一动点(点D不与B，C两点重合)，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.(1)试探索当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；(2)在(1)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形？为什么？图1－3－2615．如图1－3－27，在四边形ABCD中，E，G分别是AD，BC的中点，F，H分别是BD，AC的中点．(1)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？并证明你的结论；(2)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论；(3)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？并证明你的结论．图1－3－271．B 2.AB＝BC(答案不唯一)3．D4．C.5．解：在正方形ABCD中，AP＝BQ＝CE＝DF，AB＝BC＝CD＝DA，∴AF＝BP＝CQ＝DE.又∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，∴FP＝PQ＝QE＝EF，∴四边形PQEF是菱形．∵△AFP≌△BPQ，∴∠APF＝∠BQP.∵∠BPQ＋∠BQP＝90°＝∠BPQ＋∠APF，∴∠FPQ＝90°，∴四边形PQEF为正方形．6．AB＝BC或AC⊥BD(答案不唯一)7．有一组邻边相等的矩形是正方形8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．(2)AB＝AD(或AC⊥BD，答案不唯一)．9．D10.D11．B12．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.又∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.又∵△ACE是等边三角形，∴EO平分∠AEC，∴∠AED＝12∠AEC＝12×60°＝30°.又∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝15°＋30°＝45°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，∴四边形ABCD是正方形．13．解：(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC.∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE，∴∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ＝12×180°＝90°. 又∵AD ⊥BC ，CE ⊥AN ， ∴∠ADC ＝∠CEA ＝90°， ∴四边形ADCE 为矩形．(2)当△ABC 满足∠BAC ＝90°时，四边形ADCE 为正方形． 证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ACB ＝∠B ＝45°.∵AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠ACD ＝45°， ∴DC ＝AD .又∵四边形ADCE 是矩形， ∴矩形ADCE 是正方形．∴当∠BAC ＝90°时，四边形ADCE 是正方形．14．解：(1)当AD 平分∠BAC 时，四边形AEDF 为菱形． 理由：∵AE ∥DF ，DE ∥AF ， ∴四边形AEDF 为平行四边形． ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠EAD ＝∠F AD . 又∵DE ∥AF ， ∴∠F AD ＝∠ADE ， ∴∠EAD ＝∠ADE ， ∴AE ＝DE ，∴平行四边形AEDF 为菱形．(2)当∠BAC ＝90°时，菱形AEDF 是正方形．因为有一个角是直角的菱形是正方形．15．解：(1)当AB ⊥CD 时，四边形EFGH 是矩形．证明：∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，G ，H 分别是BC ，AC 的中点， ∴EF ∥AB ，EF ＝12AB ， GH ∥AB ，GH ＝12AB ， FG ∥CD .∴EF ∥GH ，EF ＝GH ， ∴四边形EFGH 是平行四边形． ∵AB ⊥CD ，∴EF ⊥FG ，即∠EFG ＝90°， ∴四边形EFGH 是矩形．(2)当AB ＝CD 时，四边形EFGH 是菱形．证明：∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，H ，G 分别是AC ，BC 的中点， ∴EF ＝12AB ，GH ＝12AB ，FG ＝12CD ，EH ＝12CD . 又∵AB ＝CD ， ∴EF ＝FG ＝GH ＝EH ， ∴四边形EFGH 是菱形．(3)当AB ＝CD 且AB ⊥CD 时，四边形EFGH 是正方形． 证明：∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点， ∴EF ∥AB ，EF ＝12AB ，同理，EH ∥CD ，EH ＝12CD ，FG ＝12CD ，GH＝12AB.∵AB＝CD，∴EF＝EH＝GH＝FG，∴四边形EFGH是菱形．∵AB⊥CD，∴EF⊥EH，即∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形．第一章特殊平行四边形一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．下列说法中错误的是()A．平行四边形的对角线互相平分B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．矩形的对角线相等D．有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形2．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则该菱形两邻角的度数比为() A．3∶1B．4∶1C．5∶1D．6∶13．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定满足()A．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线互相垂直D ．对角线相等且互相平分4．如图1－Z －1，P 是矩形ABCD 的边AD 上的一个动点，矩形的两条边AB ，BC 的长分别为3和4，那么点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是( )图1－Z －1A.125B.65C.245 D ．不能确定5．如图1－Z －2，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是( )图1－Z －2A ．2.5 B. 5 C.32 2 D ．26．如图1－Z －3，过矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 作EF ⊥AC ，交BC 边于点E ，交AD 边于点F ，分别连接AE ，CF .若AB ＝3，∠DCF ＝30°，则EF 的长为( )图1－Z －3A．2 B．3 C.32 D. 3二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)7．如图1－Z－4，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数为________．图1－Z－48．如图1－Z－5，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC 上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为________．图1－Z－59．如图1－Z－6，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为________．图1－Z－610．如图1－Z－7所示，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED＝2∠CED，G是DF的中点，若BE＝1，AG＝4，则AB的长为________ .图1－Z－711．如图1－Z－8，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠F AC＝60°.连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠HAE＝60°……按此规律所作的第2018个菱形的边长是________．图1－Z－8三、解答题(本大题共4小题，共45分)12．(10分)如图1－Z－9，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF,连接AF，CE交于点G.求证：AG＝CG.图1－Z－913．(10分)如图1－Z－10，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，菱形ABCD的周长是20，BD＝6.(1)求AC的长；(2)求菱形ABCD的高DE的长．图1－Z－1014．(10分)如图1－Z－11，已知矩形ABCD，把矩形ABCD按图中所示方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF.(1)连接BE，求证：四边形BFDE是菱形；(2)若AB＝8 cm，BC＝16 cm，求线段DF和EF的长．图1－Z－1115．(15分)已知：如图1－Z－12，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC 的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；。

2020--2021学年北师大版九年级上册数学 第一章 特殊的平行四边形 练习(附答案)

2020--2021学年北师大版九年级上册数学 第一章 特殊的平行四边形 练习(附答案)

北师大版九年级上册数学第一章特殊的平行四边形三习题练习（附答案）一、选择题1.如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将△AEH, △CFG分别沿EH,FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的时，则为（）A．B． 2 C．D． 42.如图，矩形ABCD中，，，则AC的长是A． 2 B． C． 4 D． 83.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD、CM分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是（）A． CM=ACB．∠ACM=∠DCBC． AD=DMD． DB=4AD4.下列性质中正方形具有而菱形不具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．每一条对角线平分一组对角5.在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E为CD的中点,连接AE交BC的延长线于F点,P为BC上一点,当∠PAE=∠DAE时,AP的长为()A． 4 B． C． D． 56.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）A． 10 B．4√5 C． 10或4√5D． 10或2√177.如图，中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的是（）A ．B ．C ．D．8.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C． AC=BD D． AB⊥BC9.．一个菱形的边长为，面积为，则该菱形的两条对角线的长度之和为()A． B． C． D．二、填空题10.已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为6cm，则这个菱形的面积是_____cm2．11.如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件_____使平行四边形ABCD是菱形．12.如图，在▱ABCD中，∠D＝120°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE＝AB，则∠EBC的度数为_______.13.如图，正方形ABCD的边长为，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长是__________.14.如果菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，那么菱形的边长为_____cm．三、解答题15.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、√5、√13；（3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，AE∥CD，CE∥AB．(1)试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．(2)连接BE，若∠BAC＝30°，CE＝1，求BE的长．17.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC=4，求四边形CODE的周长．答案解析1.【答案】C【解析】设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，得出EN=BE=y，EM=x+y，由相似的性质得出AB=4MN=4x，求出AE=AB-BE=4x-y，得出方程4x-y=x+y，得出x=y，AE=y，即可得出结论．详解：如图：设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，∴AE=EM，EN=BE=y，EM=x+y，∵当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的，且两个菱形相似，∴AB=4MN=4x，∴AE=AB−BE=4x−y，∴4x−y=x+y，解得：x=y，∴AE=y，∴==；故选：C.2.【答案】D【解析】由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝4，由AC＝2OA，即可得出结果．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝4，∴AC＝2OA＝8；故选：D．3.【答案】D【解析】根据三角形的内角和定理求出∠A=60°，再结合根据直角三角形的斜边上的中线性质和等边三角形的性质逐项进行判断．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°∴∠A=60°又∵CM是斜边上的中线∴CM=AM=BM∴△ACM是等边三角形∴A. CM=AC，正确∵CD是斜边上的高∴∠ACD=∠DCM=∠MCB=∠B=30°∴∠ACM=∠DCB=60°∴B. ∠ACM=∠DCB，正确；C. AD=DM正确∵AM=BM，AD=DM∴DB=3AD∴D. DB=4AD，错误故选：D.4.【答案】B【解析】菱形的对角线垂直且互相平分，正方形的对角线垂直相等且互相平分．解：菱形的对角线垂直且互相平分，正方形的对角线垂直相等且互相平分.对角线相等是正方形具有而菱形不具有的.故选B.5.【答案】B【解析】在中，得6.【答案】C【解析】图形的剪拼，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理考虑两种情况，分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的。

北师大版九年级上册 第一章 单元练习题：《特殊的平行四边形》(含答案)

北师大版九年级上册 第一章 单元练习题：《特殊的平行四边形》(含答案)

单元练习题：《特殊的平行四边形》一．选择题1．下列说法中错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．菱形的对角线平分一组对角C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．矩形的对角线互相平分2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形3．如图，菱形ABCD对角线AO＝4cm，BO＝3cm，则菱形高DE长为（）A．5cm B．10cm C．4.8cm D．9.6cm4．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为（）A．0.8km B．1.2km C．1.3km D．5.2km5．已知平行四边形ABCD，下列条件中，能判定这个平行四边形为菱形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD6．如图，▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（）A．BE＝EO B．EO＝AC C．AC⊥BE D．AE＝AF7．已知矩形的对角线长为10，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（）A．50 B．48 C．24 D．128．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，∠AOD＝60°，则AB的长为（）A．3 B．2C．3D．69．如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，E点恰好为AB的中点，则菱形ABCD的较大内角度数为（）A．100°B．120°C．135°D．150°10．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝（）A．20.5°B．30.5°C．21.5°D．22.5°11．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（）A．4.2 B．4.5 C．5.2 D．5.512．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．2二．填空题13．如果菱形的边长为17，一条对角线长为30，那么另一条对角线长为．14．如图，正方形ABCD的边长为5，点E在CD上，DE＝2，∠BAE的平分线交BC于点F，则CF的长为．15．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P为AD边上的一点，过点P 分别作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F．若PE+PF＝5，则正方形ABCD的面积为．16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD 于点E，则BE的长为．17．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．以上结论正确的有（把所有正确结论的序号都填上）．三．解答题18．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AD＝5，BE＝3，求线段OE的长．20．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG，DE．（1）求证：BG＝DE；（2）连接BD，若CG∥BD，BG＝BD，求∠BDE的度数．21．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH．在EF上取一点G，使∠ECG＝∠DAH．（1）若点F在边CD上，如图1，①求证：CH⊥CG．②求证：△GFC是等腰三角形．（2）取DF中点M，连接MG．若MG＝3，正方形边长为4，则BE＝．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D为AB边的中点，连接DC过D作DE ⊥DC交AC于点E．（1）求∠EDA的度数；（2）如图2，F为BC边上一点，连接DF，过D作DG⊥DF交AC于点G，请判断线段CF 与EG的数量关系，并说明理由．23．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．参考答案一．选择题1．解：A．平行四边形的对边相等，正确，不符合题意；B．菱形的对角线平分一组对角，正确，不符合题意；C．对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，符合题意；D．矩形的对角线互相平分，正确，不符合题意．故选：C．2．解：A、错误，有一个角为90°的平行四边形是矩形B、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C、正确，对角线相等的平行四边形是矩形；D、错误，一组邻边相等的平行四边形是菱形；故选：C．3．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2OA＝2×4cm＝8cm，BD＝2BO＝2×3cm＝6cm，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5（cm），菱形ABCD的面积＝AC•BD＝AB•DE，即×8×6＝5DE，解得：DE＝4.8（cm），故选：C．4．解：在Rt△ACB中，点M是AB的中点，∴CM＝AB＝×2.6＝1.3（km），故选：C．5．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C；故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD1矩形；故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；故选：D．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，A、BE＝EO时，不能判定四边形AECF为矩形；故选项A不符合题意；B、EO＝AC时，EF＝AC，∴四边形AECF为矩形；故选项B符合题意；C、AC⊥BE时，四边形AECF为菱形；故选项C不符合题意；D、AE＝AF时，四边形AECF为菱形；故选项D不符合题意；故选：B．7．解：∵矩形的两邻边之比为3：4，∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，∵对角线长为10，∴（3x）2+（4x）2＝102，解得：x＝2，∴矩形的两邻边长分别为：6，8；∴矩形的面积为：6×8＝48．故选：B．8．解：∵四边形AABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，OA＝OD＝OB，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝OD＝AD＝3，∴BD＝2OD＝6，∴AB＝＝3．故选：C．9．解：连接AC，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠D，AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵CE⊥AB，点E是AB中点，∴BC＝AC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°；即菱形ABCD的较大内角度数为120°；故选：B．10．解：设AC与BD交于点O，在四边形ABCD中，∠EOC＝90°，∠1＝∠2＝45°．∵BE＝BC，∴∠3＝∠ECB＝67.5°．∴∠ACE＝OCE＝90°﹣∠3＝90°﹣67.5°＝22.5°．故选：D．11．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠1＝∠E．又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠E．∴BE＝BD．∵AE＝10，∴BD＝BE＝10﹣AB．在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．∴AB＝4.2．故选：A．12．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P 1P 2∥CE 且P 1P 2＝CE ．当点F 在EC 上除点C 、E 的位置处时，有DP ＝FP ．由中位线定理可知：P 1P ∥CE 且P 1P ＝CF ．∴点P 的运动轨迹是线段P 1P 2，∴当BP ⊥P 1P 2时，PB 取得最小值．∵矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为AB 的中点，∴△CBE 、△ADE 、△BCP 1为等腰直角三角形，CP 1＝1．∴∠ADE ＝∠CDE ＝∠CP 1B ＝45°，∠DEC ＝90°．∴∠DP 2P 1＝90°．∴∠DP 1P 2＝45°．∴∠P 2P 1B ＝90°，即BP 1⊥P 1P 2，∴BP 的最小值为BP 1的长．在等腰直角BCP 1中，CP 1＝BC ＝1．∴BP 1＝．∴PB 的最小值是． 故选：C ．二．填空题（共5小题）13．解：在菱形ABCD 中，AB ＝17，BD ＝30，∵对角线互相垂直平分，∴∠AOB ＝90°，BO ＝15，在Rt △AOB 中，AO ＝＝＝8，∴AC ＝2AO ＝16．即另一条对角线长为16，故答案为：16．14．解：延长CD 到N ，使DN ＝BF ，连接AN ，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABF＝∠ADN＝90°，在△ABF和△ADN中，，∴△ABF≌△ADN（SAS），∴∠BAF＝∠DAN，∴∠NAF＝90°，∴∠EAN＝90°﹣∠FAE，∠N＝90°﹣∠DAN＝90°﹣∠BAF，∵∠BAF＝∠FAE，∴∠EAN＝∠N，∴AE＝EN，∵，∴，∴，∴，故答案为：7﹣．15．解：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AC⊥BD，AO＝CO＝BO＝DO，∠EAP＝45°，∵PE⊥AC，∴△AEP是等腰直角三角形，∴PE＝AE，∵PF⊥BD，∴四边形OEPF是矩形，∴PF＝OE，∴PE+PF＝AE+OE＝OA＝5，＝，∴S△AOD＝4×＝50．∴S正方形ABCD故答案为：50．16．解：如图，过点E作EH⊥AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，BD＝AC＝2，OD＝OB＝，∵EA平分∠BAO，EH⊥AB，EO⊥AC，∴EH＝EO，设EH＝EO＝a，则BE＝a，∴a+a＝，解得a＝2﹣，∴BE＝a＝2﹣2．故答案为：2﹣2．17．解：如图，连接DH，HM．由题可得，AM＝BE，∴AB＝EM＝AD，∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，∴EH＝AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM＝2HM，故②正确；当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，∴Rt△ADM中，DM＝2AM，即DM＝2BE，故①正确；∵CD∥EM，EC∥DM，∴四边形CEMD是平行四边形，∵DM＞AD，AD＝CD，∴DM＞CD，∴四边形CEMD不可能是菱形，故③错误，∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC＝45°，∴∠CHM＞135°，故④正确；由上可得正确结论的序号为①②④．故答案为①②④．三．解答题（共6小题）18．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AF＝AE，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）解：连接BD，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵点E是边AD的中点，∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°，∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∴AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×＝2．19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，即AF∥EC，∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：如图所示：∵四边形ABCD为菱形，四边形AECF为矩形，且BE＝3，AD＝5 ∴OA＝OC，AB＝BC＝AD＝5 DF＝EB＝3，∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝4，CE＝BC+BE＝8，∴AC＝＝＝4，∵OA＝OC，∠AEC＝90°，∴OE＝OC＝AC＝×4＝2．20．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE；（2）连接BE，∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°．∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE．∵CG＝CE，BC＝BC，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE．∵由（1）可知BG＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE为等边三角形，∴∠BDE＝60°．21．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，在△DAH和△DCH中，，∴△DAH≌△DCH（SAS），∴∠DAH＝∠DCH．∵∠ECG＝∠DAH，∴∠ECG＝∠DCH．∵∠ECG+∠FCG＝∠FCE＝90°，∴∠DCH+∠FCG＝90°，∴CH⊥CG；②∵在Rt△ADF中，∠DFA+∠DAF＝90°，由①得∠DCH+∠FCG＝90°，∠DAH＝∠DCH；∴∠DFA＝∠FCG，又∵∠DFA＝∠CFG，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∴△GFC是等腰三角形；（2））①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∵FG＝GE，FM＝MD，∴DE＝2MG＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC+CE＝4+2．②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1．综上所述，BE的长为 4+或4﹣．22．（1）解：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵D为AB边的中点，∴CD＝BD＝AD，∴△BCD是等边三角形，∠ACD＝∠A＝30°，∵∠CDE＝90°，∴∠CED＝60°，∴∠EDA＝30°；（2）解：如图2，在Rt△CDE中，∠ACD＝30°，∴tan30°＝，∴＝，∵∠FDG＝∠CDE＝90°，∴∠FDC＝∠GDE，∴∠FCD＝∠GED＝60°，∴△FCD∽GED，∴＝，∴FC＝GE．23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵AC的垂直平分线EF，∴AO＝OC，AC⊥EF，在△AEO和△CFO中∵，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：设AF＝acm，∵四边形AECF是菱形，∴AF＝CF＝acm，∵BC＝8cm，∴BF＝（8﹣a）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2，a＝5，即AF＝5cm；（3）解：①在运动过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，P点运动的时间是：（5+3）÷1＝8，Q的速度是：4÷8＝0.5，即Q的速度是0.5cm/s；②分为三种情况：第一、P在AF上，∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，∴Q只能在CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；第二、当P在BF上时，Q在DE上，如图，∵AQ＝8﹣（0.8t﹣4），CP＝5+（t﹣5），∴8﹣（0.8t﹣4）＝5+（t﹣5），t＝，第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；即t＝．。

北师大版九年级上册数学1.1 菱形的性质与判定同步练习(附答案)

第一章特殊平行四边形1．1 菱形的性质与断定第1课时菱形的性质1．有一组__邻边__相等的平行四边形是菱形．2．菱形是__轴__对称图形，菱形的四边__相等__，菱形的对角线__互相垂直__．知识点一：菱形的定义1．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是(B)A．AB＝CD B．AB＝BCC．AD＝BC D．AC＝BD2．如图，在▱ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴▱ABCD是菱形__有一组邻边相等的平行四边形是菱形__．(请在横线上填上理由)知识点二：菱形的性质3．假设菱形两条对角线的长分别为6和8，那么这个菱形的周长为(A)A．20B．16C．12D．104．(易错题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的选项是(B)A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC,第4题图),第5题图) 5．如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是(C)A．四边形ABCD是平行四边形B．AC⊥BDC．△ABC是等边三角形D．∠CAB＝∠CAD6．在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝5，那么△ABD的周长是(C)A．10 B．12 C．15 D．207．菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较短的对角线长是(C)A．3 B．4 C．8 D．8 38．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD边中点，菱形ABCD 的周长为28，那么OH的长等于(A)A．B．4C．7 D．149．(2021·烟台)如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接OB.假设∠DAC＝28°，那么∠OBC的度数为(C) A．28°B．52°C．62°D．72°10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且BO＝DO.在Rt△AOB中，∵AB＝5，AO＝4，由勾股定理，得BO＝3，∴BD＝611．(2021·上海)如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，那么以下结论一定正确的选项是(B)A．△ABD与△ABC的周长相等B．△ABD与△ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍,第11题图),第12题图) 12．如图，菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，那么BC＝__5__．13．如图是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15 cm的可活动菱形衣架．假设墙上钉子间的间隔AB＝BC＝15 cm，那么∠1＝__120__°.,第13题图),第14题图) 14．(2021·白银)如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白局部．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，那么阴影局部的面积为__12__．15．(2021·宜宾)菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，那么较长的对角线长度是16．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点．求证：AE＝CF.解：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.∵点E，F分别是CD，AD的中点，∴DE＝12CD，DF＝12AD，∴DE＝DF.又∵∠ADE＝∠CDF，∴△AED≌△CFD(SAS)，∴AE＝CF17．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)假设∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D，∵点E，F分别是边BC，AD的中点，∴BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)(2)易得△ABC是等边三角形，点E为BC的中点，从而AE⊥BC，AE＝2318．如图，在菱形ABCD中，点F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．解：(1)证明：连接AC.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC.∴AE＝EC(2)点F是线段BC的中点．理由：∵ABCD是菱形，∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.∴AF是△ABC的角平分线．又∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF.∴点F是线段BC的中点第2课时菱形的断定对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形；__四边相等__的四边形是菱形．知识点：菱形的断定1．小明和小亮在做一道习题，假设四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形．小明补充的条件是AB＝BC；小亮补充的条件是AC＝BD，你认为以下说法正确的选项是(B)A．小明、小亮都正确B．小明正确，小亮错误C．小明错误，小亮正确D．小明、小亮都错误2．以下命题中正确的选项是(D)A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形3．如图，以下条件之一能使▱ABCD是菱形的是(D)①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.A．①③B．②③C．③④D．①③④,第3题图),第4题图) 4．如下图，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，那么四边形AFDE是(A)A．菱形B．长方形C．正方形D．以上都不对5．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如下图，能得到四边形ABCD 是菱形的根据是(B)A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形,第5题图),第6题图) 6．(易错题)如图，以下条件能断定四边形ABCD为菱形的有(C)①AB＝BC＝CD＝DA；②AC，BD互相垂直平分；③平行四边形ABCD，且AC⊥BD；④平行四边形ABCD，且AC＝BD.A．1个B．2个C．3个D．4个7．(2021·淄博)▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是__AD＝DC(答案不唯一)__．8．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件__OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC__，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)9．(2021·舟山)：如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EF 分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF.(1)求证：△DOE ≌△BOF ； (2)当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由． 解：(1)证明：∵▱ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，∴BO ＝DO ，∠EDB ＝∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中⎩⎨⎧∠EDO ＝∠OBF ，DO ＝BO ，∠EOD ＝∠FOB ，∴△DOE ≌△BOF (ASA )(2)当∠DOE ＝90°时，四边形BFDE 为菱形，理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴BF ＝DE ，又∵BF ∥DE ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BO ＝DO ，∠EOD ＝90°，∴EB ＝DE ，∴四边形BFDE 为菱形10．(2021·徐州)假设顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，那么该四边形一定是( C )A ．长方形B ．对角线相等的梯形C ．对角线相等的四边形D ．对角线互相垂直的四边形11．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下： 甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于点M ，O ，N ，连接AN ，CM ，那么四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于点E ，F ，连接EF ，那么四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断( C )A ．甲正确，乙错误B ．乙正确，甲错误C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误12．(2021·十堰)如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE ＝DF.给出以下条件：①BE ⊥EC ；②BF ∥CE ；③AB ＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为这个条件是__③__．(只填写序号)13．(2021·新疆)如图，△ABC ，按如下步骤作图：①分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交点P ，Q 两点； ②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；③过点C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF.(1)求证：△AED ≌△CFD ；(2)求证：四边形AECF 是菱形．解：(1)由作图知：PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD ，∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，在△AED 与△CFD 中，⎩⎨⎧∠EAC ＝∠FCA ，AD ＝CD ，∠CFD ＝∠AED ，∴△AED ≌△CFD(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形14．(2021·南京)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F.(1)求证：四边形DBFE 是平行四边形；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形DBFE 是菱形？为什么？解：(1)证明：∵点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，又∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形 (2)当AB ＝BC 时，四边形是菱形．理由如下：∵点D 是AB 的中点，∴BD ＝12AB ，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，∵AB ＝BC ，∴BD ＝DE ，又∵四边形DBFE 是平行四边形，∴四边形DBFE 是菱形15．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全一样的且含60°角的直角三角形ABC 与AFE 按如图①所示位置放置，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图②，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P .(1)求证：AM ＝AN ；(2)当旋转角α＝30°，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由．解：(1)证明：∵α＋∠EAC ＝90°，∠NAF ＋∠EAC ＝90°，∴α＝∠NAF.又∵∠B ＝∠F ，AB ＝AF ，∴△ABM ≌△AFN ，∴AM ＝AN (2)四边形ABPF 是菱形．理由：∵α＝30°，∠EAF ＝90°，∴∠BAF ＝120°.又∵∠B ＝∠F ＝60°，∴∠B ＋∠BAF ＝60°＋120°＝180°，∠F ＋∠BAF ＝60°＋120°＝180°.∴AF ∥BC ，AB ∥EF.∴四边形ABPF 是平行四边形．又∵AB ＝AF ，∴四边形ABPF 是菱形。

新北师大版九年级数学上册：第一章 特殊平行四边形同步练习(含答案)

第一章 特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质01 基础题 知识点1 菱形的定义及对称性1．如图，若要使▱ABCD 是菱形，则需要添加的条件是(C)A ．AB ＝CD B ．AD ＝AC C ．AB ＝BCD ．AC ＝BD2．(葫芦岛中考)如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为(2，3)，则点C 的坐标为(2，－3)．知识点2 菱形的边的性质3．在菱形ABCD 中，若AB ＝2，则菱形的周长为(C)A ．4B ．6C ．8D ．104．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，则对角线BD 的长为2．【变式】 如图，菱形ABCD 的周长是8，相邻两内角之比为3∶1，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是2．5．(广元中考)如图，在菱形ABCD 中，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F.求证：AE ＝CF.证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴BA ＝BC ，∠A ＝∠C. ∵BE ⊥AD ，BF ⊥CD ， ∴∠BEA ＝∠BFC ＝90°.在△ABE 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEA ＝∠BFC ，∠A ＝∠C ，BA ＝BC ，∴△ABE ≌△CBF(AAS)．∴AE ＝CF.知识点3 菱形的对角线的性质6．(益阳中考)下列性质中菱形不一定具有的性质是(C)A ．对角线互相平分B ．对角线互相垂直C ．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形7．(大连中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是(A) A．8 B．7C．4 D．38．如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线．若∠BAC＝55°，则∠ADB等于35°.9．如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是4cm.易错点点的位置不确定导致漏解(分类讨论)10．(哈尔滨中考改编)四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上．若OE＝3，则CE的长为43或23．02中档题11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA＝OB；③∠ADB＝∠CDB；④△ABC是等边三角形．其中一定成立的是(D)A．①②B．③④C．②③D．①③12．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC ＝28°，则∠OBC的度数为(C)A．28°B．52°C．62°D．72°13．(广州中考)如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是(－5，4)．14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为24. 15．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥AB，垂足为E.(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD. 又∵∠A ＝60°，∴△ABD 为等边三角形． ∴∠ABD ＝60°.(2)∵△ABD 为等边三角形，AB ＝4， ∴BD ＝AB ＝4.∵O 是对角线BD 的中点，∴OB ＝12BD ＝2.∵OE ⊥AB ，∠ABD ＝60°，∴∠BOE ＝30°.∴BE ＝12OB ＝12×2＝1.16．如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE ＝AB ，连接CE. (1)求证：BD ＝EC ； (2)若∠E ＝50°，求∠BAO 的大小．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. 又∵BE ＝AB ，∴BE ＝CD ，BE ∥CD.∴四边形BECD 是平行四边形． ∴BD ＝EC.(2)∵四边形BECD 是平行四边形， ∴BD ∥EC.∴∠ABO ＝∠E ＝50°.又∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD. ∴∠BAO ＝90°－∠ABO ＝40°.03 综合题17．如图，已知菱形ABCD 的两条对角线长分别为6和8，M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM ＋PN 的最小值为5．18．【实践探究】如图，菱形公园内有四个景点，请你用两种不同的方法，按下列要求设计成四个部分： (1)用直线分割；(2)每个部分内各有一个景点；(3)各部分的面积相等．(可用铅笔画，只要求画图正确，不要求写画法)解：答案不唯一，如图所示．第2课时菱形的判定01基础题知识点1有一组邻边相等的平行四边形是菱形1．如图，要使▱ABCD成为菱形，下列添加的条件正确的是(B)A．AC＝AD B．BA＝BCC．∠ABC＝90°D．AC＝BD2．如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G.求证：四边形ACGF 是菱形．证明：∵AF∥CD，FG∥AC，∴四边形ACGF是平行四边形，∠FCG＝∠AFC.∵CE平分∠ACD，∴∠ACF＝∠FCG.∴∠ACF＝∠AFC.∴AC＝AF.∴四边形ACGF是菱形．知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形3．下列命题中正确的是(D)A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形4．(教材P6例2变式)如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB＝10，AC＝12，当BD＝16时，▱ABCD 是菱形．5．(遂宁中考)如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵DE＝BF，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．知识点3四边相等的四边形是菱形6．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是(B)A ．一组邻边相等的四边形是菱形B ．四边相等的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D ．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形7．如图，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，点E ，F 分别为AC ，BC 的中点．求证：四边形EFCD 是菱形．证明：∵△ABC ，△CDE 都是等边三角形， ∴AB ＝AC ＝BC ，ED ＝DC ＝EC. ∵点E ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴EF ＝12AB ，EC ＝12AC ，FC ＝12BC.∴EF ＝EC ＝FC.∴EF ＝FC ＝ED ＝DC. ∴四边形EFCD 是菱形．02 中档题8．如图，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DCE ，连接AD ，下列条件中能够判定四边形ACED 为菱形的是(B)A ．AB ＝BC B ．AC ＝BC C ．∠B ＝60°D ．∠ACB ＝60°9．如图是一张平行四边形纸片ABCD ，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下： 甲：连接AC ，作AC 的中垂线交AD ，BC 于点E ，F ，则四边形AFCE 是菱形．乙：分别作∠A 与∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC 于点E ，交AD 于点F ，则四边形ABEF 是菱形． 对于甲、乙两人的作法，可判断(C)A ．甲正确，乙错误B ．甲错误，乙正确C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误10．如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE ＝DF.给出下列条件：①BE ⊥EC ；②BF ∥CE ；③AB ＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为这个条件是③(只填写序号)．11．如图，点E ，F ，G ，H 分别是任意四边形ABCD 中AD ，BD ，BC ，CA 的中点，当四边形ABCD 的边满足条件AB ＝CD 时，四边形EFGH 是菱形．12．如图，△ABC ≌△ABD ，点E 在边AB 上，CE ∥BD ，连接DE.求证： (1)∠CEB ＝∠CBE ；(2)四边形BCED 是菱形．证明：(1)∵△ABC ≌△ABD ， ∴∠CBE ＝∠DBE. ∵CE ∥BD ，∴∠CEB ＝∠DBE. ∴∠CEB ＝∠CBE.(2)∵△ABC ≌△ABD ， ∴BC ＝BD.∵∠CEB ＝∠CBE ， ∴CE ＝CB. ∴CE ＝BD. ∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形． ∵BC ＝BD ，∴四边形BCED 是菱形．13．如图，已知△ABC ，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连接CE ，过点C 作CF ∥BA 交PQ 于点F ，连接AF.求证：(1)△AED ≌△CFD ；(2)四边形AECF 是菱形．证明：(1)∵PQ 为线段AC 的垂直平分线， ∴AD ＝CD. ∵CF ∥AB ，∴∠EAD ＝∠FCD ， ∠AED ＝∠CFD.在△AED 和△CFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAD ＝∠FCD ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD(AAS)． (2)∵△AED ≌△CFD ， ∴DE ＝DF ，AD ＝CD.∴四边形AECF 是平行四边形． 又∵EF 为线段AC 的垂直平分线， ∴EF ⊥AC.∴四边形AECF 是菱形．03 综合题14．【注重实践探究】某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与三角板AFE 按如图1所示放置，现将三角板AEF 绕点A 按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P.(1)求证：AM ＝AN ； (2)当旋转角∠α＝30°时，判断四边形ABPF 的形状，并说明理由． 解：(1)证明：∵∠α＋∠EAC ＝90°，∠NAF ＋∠EAC ＝90°，∴∠α＝∠NAF. 又∵∠B ＝∠F ，AB ＝AF ，∴△ABM ≌△AFN(ASA)．∴AM ＝AN. (2)当旋转角∠α＝30°时，四边形ABPF 是菱形． 理由：∵∠α＝30°，∠EAF ＝90°， ∴∠BAF ＝120°. 又∵∠B ＝∠F ＝60°， ∴∠B ＋∠BAF ＝60°＋120°＝180°， ∠F ＋∠BAF ＝60°＋120°＝180°. ∴AF ∥BC ，AB ∥EF.∴四边形ABPF 是平行四边形．又∵AB ＝AF ，∴四边形ABPF 是菱形．第3课时 菱形的性质与判定的运用01 基础题知识点1 菱形面积的计算1．若菱形的两条对角线长分别为6和8，求菱形的面积． 解：S 菱形＝6×8＝48.上述解法正确吗？若不正确，请写出正确的解题过程．解：不正确．菱形的面积等于对角线乘积的一半，所以S 菱形＝12×6×8＝24.【变式】 (黔西南中考)已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为23，则这个菱形的面积是2.如图，菱形ABCD 的边长是2 cm ，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，则菱形ABCD 的面积为cm .3．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC 与∠BAD 的度数比为1∶2，周长是32 cm.求： (1)两条对角线的长度； (2)菱形的面积．解：(1)∵四边形ABCD 为菱形，且周长为32 cm ， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝32÷4＝8(cm)，AD ∥BC. ∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°. 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°，∠BAD ＝120°. ∴△ABC 是等边三角形． ∴AC ＝AB ＝8 cm.∵菱形ABCD 对角线AC ，BD 相交于点O ， ∴AO ＝CO ＝4 cm ，BO ＝DO ，AC ⊥BD. ∴BO ＝AB 2－AO 2＝4 3 cm. ∴BD ＝2BO ＝8 3 cm.(2)S 菱形ABCD ＝12AC·BD ＝12×8×83＝323(cm 2)．知识点2 菱形的性质与判定的综合4．如图，在▱ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB ＝2，则▱ABCD 的周长为(C)A ．4B ．6C ．8D ．125．(日照中考)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AO ＝CO ，BO ＝DO.添加下列条件，不能判定四边形ABCD 为菱形的是(B)A ．AB ＝AD B ．AC ＝BDC ．AC ⊥BD D ．∠ABO ＝∠CBO6．(教材P8“做一做ABCD 中，AB ＝5，AC ＝4，则BD 的长为221．7．(襄阳中考)如图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAE ，且交BF 于点C ，BD 平分∠ABF ，且交AE 于点D ，连接CD. (1)求证：四边形ABCD 是菱形； (2)若∠ADB ＝30°，BD ＝6，求AD 的长．解：(1)证明：∵AE ∥BF ， ∴∠ADB ＝∠CBD. 又∵BD 平分∠ABF ， ∴∠ABD ＝∠CBD.∴∠ABD ＝∠ADB.∴AB ＝AD. 同理：AB ＝BC. ∴AD ＝BC.∴四边形ABCD 是平行四边形． 又∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．(2)∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝6，∴AC ⊥BD ，OD ＝OB ＝12BD ＝3.设AO ＝x ，则AD ＝2x ，OD ＝AD 2－AO 2＝3x ＝3. ∴x ＝ 3.∴AD ＝2 3.02 中档题 8．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F ，且AD 交EF 于点O ，则∠AOF 为(B)A ．60°B ．90°C ．100°D ．110°9．如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝24，BD ＝10，DH ⊥AB 于点H ，则线段DH 的长为(C)A.14013B.132 3C.12013D.13210．如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，将△ABC 沿射线BC 向右平移到△DCE ，连接AD ，BD ，下列结论错误的是(D)A ．AD ＝BCB ．BD ⊥DEC ．四边形ACED 是菱形D. 四边形ABCD 的面积为4 311．如图，在∠MON 的两边上分别截取OA ，OB ，使OA ＝OB ，分别以点A ，B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，AB ，OC.若AB ＝2 cm ，四边形OACB 的面积为4 cm 2，则OC 的长为4cm.12．如图，在菱形ABCD 中，过对角线BD 上任一点P ，作EF ∥BC ，GH ∥AB ，下列结论正确的是①②④．(填序号)①图中共有3个菱形；②△BEP ≌△BGP ；③四边形AEPH 的面积等于△ABD 的面积的一半；④四边形AEPH 的周长等于四边形GPFC 的周长．13．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 在对角线AC 上，AE ＝CF ，顺次连接D ，E ，B ，F ，已知四边形DEBF 是菱形． (1)求证：四边形ABCD 是菱形； (2)若∠BAD ＝60°，AD ⊥DF ，求证：AE ＝EF.证明：(1)连接BD 交AC 于点O. ∵四边形DEBF 是菱形， ∴EF ⊥BD ，即AC ⊥BD.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是菱形．(2)∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴∠DAC ＝12∠BAD ＝30°.∵AD ⊥DF ， ∴∠AFD ＝60°. ∵DE ＝DF ，∴△DEF 是等边三角形．∴∠DEF ＝60°，DE ＝EF.∵∠DEF ＝∠EAD ＋∠EDA ， ∴∠EDA ＝∠EAD ＝30°. ∴AE ＝ED. ∴AE ＝EF.14．(广西中考)如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝DF. (1)求证：▱ABCD 是菱形；(2)若AB ＝5，AC ＝6，求▱ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ABC ＝∠ADC. ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ， ∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°.∵BE ＝DF ，∴△AEB ≌△AFD(ASA)． ∴AB ＝AD.∴四边形ABCD 是菱形． (2)连接BD 交AC 于点O.∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝12AC ＝12×6＝3.∵AB ＝5，AO ＝3，∴BO ＝AB 2－AO 2＝52－32＝4.∴BD ＝2BO ＝8.∴S ▱ABCD ＝12AC·BD ＝24.15．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，E 是CD 上的点，BE 交AC 于点F ，连接DF. (1)求证：∠BAF ＝∠DAF ，∠AFD ＝∠CFE ； (2)若AB ∥CD ，试证明：四边形ABCD 是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定点E 的位置，使得∠EFD ＝∠BCD ，并说理由．证明：(1)在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，CB ＝CD ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS)．∴∠BAF ＝∠DAF.在△ABF 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△ADF(SAS)．∴∠AFB ＝∠AFD. ∵∠CFE ＝∠AFB ， ∴∠AFD ＝∠CFE. (2)∵AB ∥CD ， ∴∠BAC ＝∠ACD. ∵∠BAC ＝∠DAC ， ∴∠DAC ＝∠ACD. ∴AD ＝CD.∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴AB ＝CB ＝CD ＝AD. ∴四边形ABCD 是菱形．(3)当BE ⊥CD 时，∠EFD ＝∠BCD.理由如下： ∵四边形ABCD 是菱形， ∴BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF. ∵CF ＝CF ，∴△BCF ≌△DCF. ∴∠CBF ＝∠CDF. ∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠DEF ＝90°. ∴∠EFD ＝∠BCD.03 综合题16．(教材P9习题T4变式)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ≠CD ，BD ＝AC. (1)求证：AD ＝BC ；(2)若E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，求证：线段EF 与线段GH 互相垂直平分．证明：(1)过点B 作BM ∥AC 交DC 的延长线于点M ， ∵AB ∥CD ，∴四边形ABMC 为平行四边形．∴AC ＝BM ＝BD ，∠BDC ＝∠M ＝∠ACD.在△ACD 和△BDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，∠ACD ＝∠BDC ，CD ＝DC ，∴△ACD ≌△BDC(SAS)．∴AD ＝BC.(2)连接EH ，HF ，FG ，GE ，∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，∴HE ∥AD ，且HE ＝12AD ，FG ∥AD ，且FG ＝12AD ，EG ∥BC ，且EG ＝12BC.∴HE ∥FG ，HE ＝FG .∴四边形HFGE 为平行四边形． 由(1)，知AD ＝BC.∵HE ＝12AD ，EG ＝12BC ，∴HE ＝EG.∴四边形HFGE 为菱形． ∴EF 与GH 互相垂直平分．对角线互相垂直的四边形的面积我们已经知道：菱形的面积等于对角线乘积的一半，那么，如果是对角线互相垂直的任意一个四边形，还有这样的结论吗？如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 互相垂直，其中对角线BD 长为15，AC 长为20，垂足为O ，求四边形ABCD 的面积．(请写出求解过程)解：∵S 四边形ABCD ＝S △ADC ＋S △BAC ＝12AC·OD ＋12AC·BO ＝12AC·(OD ＋OB)＝12AC·BD ，∴S 四边形ABCD ＝12×20×15＝150.结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．2 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质01 基础题知识点1 矩形的边、角性质1．矩形一边长为6 cm ，对角线长为10 cm ，则周长为(B)A ．14 cmB ．28 cmC ．20 cmD ．22 cm2．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是矩形，若∠BAG ＝20°，则∠DAE ＝(B)A ．10°B ．20°C ．30°D ．45°3．如图，在矩形ABCD 中，相邻两边AB ，AD 的长度分别为15 cm 和25 cm ，∠BAD 的平分线与BC 相交于点E ，则BE ＝15__cm ，CE ＝10__cm ．4．(济南中考)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F.求证：AB ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°. ∴∠AEB ＝∠DAF. ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B ＝90°.在△ABE 和△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠DAF ，∠B ＝∠AFD ，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△DFA(AAS)．∴AB ＝DF.知识点2 矩形对角线的性质5．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠ACB ＝60°，则∠AOB 的大小为(C)A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，AC ，BD 相交于点O ，则图中等腰三角形的个数是(C)A ．8B ．6C ．4D ．27．(株洲中考)如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝10，P ，Q 分别为AO ，AD 的中点，则PQ 的长度为2.5．8．如图，在矩形ABCD 中，过点B 作BE ∥AC 交DA 的延长线于点E ，求证：BE ＝BD.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC ＝BD ，AD ∥BC. 又∵BE ∥AC ，∴四边形AEBC 是平行四边形． ∴BE ＝AC. ∴BE ＝BD.知识点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝16 cm ，点D 为AB 的中点，则CD 的长为(D)A ．2 cmB ．4 cmC ．6 cmD ．8 cm10．如图，在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，D 为AB 的中点，若∠ACD ＝20°，则∠B ＝70°．11．如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于点F ，BE ⊥AC 于点E ，M 为BC 的中点，BC ＝10，EF ＝4.求△MEF 的周长．解：∵CF ⊥AB ，BE ⊥AC ，M 为BC 的中点，∴EM ＝12BC ＝5，FM ＝12BC ＝5.∴△MEF 的周长为EF ＋EM ＋FM ＝4＋5＋5＝14.易错点 考虑不全面而致错12．【分类讨论思想】如图是一张矩形纸片ABCD ，已知AB ＝8，AD ＝7，E 为AB 上的一点，AE ＝5，点P 在矩形ABCD 的一边上，要使△AEP 是等腰三角形，则△AEP 的底边长为5或52或4 5.02 中档题13．如图，P 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，E 是AD 的中点．若AB ＝6，AD ＝8，则四边形ABPE 的周长为(D)A ．14B ．16C ．17D ．1814．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，AC 于点E ，O ，连接CE ，则CE 的长为(C)A ．3B ．3.5C ．2.5D ．2.815．【方程思想】(葫芦岛中考)如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB ＝9，BC ＝6，则FC′的长为(D)A.103B ．4C ．4.5D ．5 16．如图，在矩形ABCD 中，AB BC ＝35，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边AD 于点E.若AE·ED ＝43，则矩形ABCD 的面积为5．17．【关注数学文化】(北京中考)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》) 请根据图1完成这个推论的证明过程．证明：S 矩形NFGD ＝S △ADC －(S △ANF ＋S △FGC )，S 矩形EBMF ＝S △ABC －(S △AEF ＋S △FCM )． 易知，S △ADC ＝S △ABC ，S △ANF ＝S △AEF ，S △FGC ＝S △FMC ． 可得S 矩形NFGD ＝S 矩形EBMF .图1 图2【变式】 (遵义中考改编)如图2，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB ，CD于点E ，F ，连接PB ，PD.若AE ＝2，PF ＝8，则图中阴影部分的面积为16．18．(南宁中考)如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，BE ＝DF. (1)求证：AE ＝CF ；(2)若AB ＝6，∠COD ＝60°，求矩形ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ， AC ＝BD. ∵BE ＝DF ，∴OB －BE ＝OD －DF ，即OE ＝OF.在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝CO ，∠AOE ＝∠COF ，OE ＝OF ，∴△AOE ≌△COF(SAS)．∴AE ＝CF.(2)∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ， ∴OA ＝OB.∵∠AOB ＝∠COD ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形．∴OA ＝AB ＝6.∴AC ＝2OA ＝12.在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝6 3. ∴矩形ABCD 的面积为AB·BC ＝6×63＝36 3. 03 综合题19．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，且AE ＝CF ，作EG ∥FH ，分别与对角线BD 交于点G ，H ，连接EH ，FG. (1)求证：△BFH ≌△DEG ；(2)连接DF ，若BF ＝DF ，则四边形EGFH 是什么特殊四边形？证明你的结论．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， OB ＝OD.∴∠FBH ＝∠EDG .∵AE ＝CF ，∴BF ＝DE. ∵EG ∥FH ，∴∠OHF ＝∠OGE.∴∠BHF ＝∠DGE.在△BFH 和△DEG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FBH ＝∠EDG ，∠BHF ＝∠DGE ，BF ＝DE ，∴△BFH ≌△DEG(AAS)．(2)四边形EGFH 是菱形．证明：由(1)得△BFH ≌△DEG ， ∴FH ＝EG. 又∵EG ∥FH ，∴四边形EGFH 是平行四边形． ∵BF ＝DF ，OB ＝OD ，∴EF ⊥BD. ∴EF ⊥GH.∴四边形EGFH 是菱形．第2课时 矩形的判定01基础题知识点1有一个角是直角的平行四边形是矩形1．如图，要使▱ABCD成为矩形，需要添加的条件是(C)A．AB＝BC B．AO＝COC．∠ABC＝90°D．∠1＝∠22．如图，已知点D是△ABC的边BC(不含点B，C)上的一点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，要使四边形AFDE是矩形，则在△ABC中要增加的一个条件是：∠A＝90°(答案不唯一)．3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.求证：四边形AODE是矩形．证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形．又∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.∴∠AOD＝90°.∴四边形AODE是矩形．知识点2对角线相等的平行四边形是矩形4．下列命题中正确的是(C)A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是矩形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2.若要使▱ABCD为矩形，则OB的长应该为(C)A．4B．3C．2D．16．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB.求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO.又∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC.∴AO＝BO＝CO＝DO.∴AO＋CO＝BO＋DO，即AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．知识点3有三个角是直角的四边形是矩形7．对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有(B)A．1组B．2组C．3组D．4组8．如图，直角∠AOB内一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长是12．9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠D＝180°－∠BAD＝90°.又∵在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，∴AB2＋BC2＝AC2，即△ABC是直角三角形，且∠B＝90°.∴∠BAD＝∠D＝∠B＝90°.∴四边形ABCD是矩形．易错点对矩形的判定方法理解错误导致出错10．下列说法中正确的是(D)A．一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形02中档题11．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.下列组合中，不能使四边形ABCD成为矩形的是(C) A．①②③B．②③④C．②⑤⑥D．④⑤⑥12．顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是矩形．13．如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A，C两点，过A，C两点作两组内错角的平分线，交于B，D，则四边形ABCD是矩形．14．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.(1)求证：CD＝AN；(2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．证明：(1)∵CN ∥AB ， ∴∠DAC ＝∠NCA.在△AMD 和△CMN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DAC ＝∠NCA ，MA ＝MC ，∠AMD ＝∠CMN ，∴△AMD ≌△CMN(ASA)． ∴AD ＝CN. 又∵AD ∥CN ，∴四边形ADCN 是平行四边形． ∴CD ＝AN.(2)∵∠AMD ＝2∠MCD ，∠AMD ＝∠MCD ＋∠MDC ， ∴∠MCD ＝∠MDC. ∴MD ＝MC.由(1)知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD ＝MN ＝MA ＝MC. ∴AC ＝DN.∴四边形ADCN 是矩形．03 综合题15．如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC.设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F. (1)求证：OE ＝OF ；(2)若CE ＝12，CF ＝5，求OC 的长；(3)当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．解：(1)证明：∵CF 平分∠ACD ，且MN ∥BD ， ∴∠ACF ＝∠FCD ＝∠CFO. ∴OF ＝OC.同理：OC ＝OE.∴OE ＝OF.(2)由(1)知OF ＝OC ，OC ＝OE ，∴∠OCF ＝∠OFC ，∠OCE ＝∠OEC. ∴∠OCF ＋∠OCE ＝∠OFC ＋∠OEC.而∠OCF ＋∠OCE ＋∠OFC ＋∠OEC ＝180°， ∴∠ECF ＝∠OCF ＋∠OCE ＝90°. ∴EF ＝CE 2＋CF 2＝122＋52＝13.∴OC ＝12EF ＝132.(3)当点O 运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形． 理由：连接AE ，AF.由(1)知OE ＝OF ， 当点O 运动到AC 中点时，有OA ＝OC ， ∴四边形AECF 是平行四边形． 又∵∠ECF ＝90°，∴四边形AECF 是矩形．第3课时 矩形的性质与判定的运用01基础题知识点矩形的性质与判定的运用1．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AB＝6，则AC的长为(C) A．8 B．1 0 C．12 D．182．(上海中考)已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B)A．∠A＝∠B B．∠A＝∠CC．AC＝BD D．AB⊥BC3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是(D)A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线相等4．如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合(点C在正半轴上)，AB＝5，BC＝12，点A表示的数是－1，则对角线AC，BD的交点表示的数是(A)A．5.5 B．5 C．6 D．6.55．如图，在矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD＝60°，OE⊥AC.若AD＝3，则OE的长为(A) A．1 B．2 C．3 D．46．如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角．7．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，且∠ADE∶∠EDC＝2∶1，求∠BDE的度数．解：在矩形ABCD中，∠ADC＝90°.∵∠ADE∶∠EDC＝2∶1，∴∠ADE＝60°，∠EDC＝30°.又∵DE⊥AC，∴∠DCO＝90°－30°＝60°.又∵OC＝OD，∴△OCD为等边三角形．又∵DE⊥AC，∴∠BDE＝∠EDC＝30°.8．(咸阳兴平期末)如图，在▱ABCD中，AC＝BC，M，N分别是AB和CD的中点．求证：四边形AMCN是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵M ，N 分别是AB 和CD 的中点，∴AM ＝BM ＝12AB ，CN ＝DN ＝12CD.∴AM ＝CN.∴四边形AMCN 是平行四边形． 又∵AC ＝BC ，AM ＝BM ， ∴CM ⊥AB. ∴∠CMA ＝90°.∴四边形AMCN 是矩形．02 中档题9．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有(A)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．(山西中考)如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到△BC′D ，C′D 与AB 交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为(A)A ．20°B ．30°C ．35°D ．55°11．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC ，AB 于点D ，F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E.已知∠A ＝30°，BC ＝2，AF ＝BF ，则四边形BCDE 的面积是(A)A ．2 3B ．3 3C ．4D ．4 312．将一个含30°角的直角三角尺(∠AMF ＝90°)按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M 是BC 边的中点，则∠AFE 的度数为15°．13．(教材P27复习题T14变式)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝20 cm ，点P 和点Q 分别从点B 和点D 出发，按逆时针方向沿矩形ABCD 的边运动，点P 和点Q 的速度分别为3 cm/s 和2 cm/s ，则最快4s 后，四边形ABPQ 成为矩形．14．如图，在▱ABCD 中，点P 是AB 边上一点(不与A ，B 重合)，CP ＝CD ，过点P 作PQ ⊥CP ，交AD 边于点Q ，连接CQ.(1)若∠BPC ＝∠AQP ，求证：四边形ABCD 是矩形； (2)在(1)的条件下，当AP ＝2，AD ＝6时，求AQ 的长．解：(1)证明：∵PQ ⊥CP ， ∴∠CPQ ＝90°.∴∠APQ ＋∠BPC ＝90°.∵∠BPC ＝∠AQP ，∴∠APQ ＋∠AQP ＝90°.∵∠APQ ＋∠AQP ＋∠A ＝180°， ∴∠A ＝90°.又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠CPQ ＝90°.在Rt △CDQ 和Rt △CPQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧CQ ＝CQ ，CD ＝CP ，∴Rt △CDQ ≌Rt △CPQ(HL)． ∴DQ ＝PQ.设AQ ＝x ，则DQ ＝PQ ＝6－x.在Rt △APQ 中，AQ 2＋AP 2＝PQ 2. ∴x 2＋22＝(6－x)2.解得x ＝83.∴AQ 的长是83.03 综合题15．如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，点P 在AB 上(不与A ，B 重合)，过点P 作PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，垂足分别是E ，F ，连接EF ，M 为EF 的中点． (1)请判断四边形PECF 的形状，并说明理由；(2)随着P 点在边AB 上位置的改变，CM 的长度是否也会改变？若不变，求CM 的长度；若有变化，求CM 的变化范围．解：(1)四边形PECF 是矩形．理由：在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC 2＋BC 2＝32＋42＝52＝AB 2. ∴∠ACB ＝90°.∵PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，∴∠PEC ＝∠ECF ＝∠CFP ＝90°. ∴四边形PECF 是矩形． (2)CM 的长度会改变．理由：连接PM ，由(1)证得四边形PECF 是矩形， 又∵M 为EF 的中点，∴C ，M ，P 三点在一条直线上．∴EF ＝PC ，CM ＝12PC.过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D. 当PC ＝CD 时，PC 最小，且PC ＝AC·BC AB ＝125＝2.4.∵点P 在斜边AB 上(不与A ，B 重合)， ∴PC ＜BC ＝4.∴PC 的范围是2.4≤PC ＜4， 即EF 的范围是2.4≤EF ＜4. ∴CM 的范围是1.2≤CM ＜2.3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质01 基础题知识点 正方形的性质1．正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，则∠CBO 等于(B)A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 2．正方形是轴对称图形，它的对称轴共有(D)A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 3．如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝4，则以AC 为边的正方形ACEF 的周长为(C)A ．14B ．15C ．16D ．174．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是(A)A ．8B ．4 2C ．8 2D ．165．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，则图中的等腰三角形有(C)A ．4个B ．6个C ．8个D ．10个6．(宜昌中考)如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG ⊥AB ，EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J ，则图中阴影部分的面积等于(B)A ．1 B.12 C.13 D.147．如图，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到E ，使AE ＝AC ，则∠BCE 的度数是22.5°.8．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，F 为BA 延长线上一点，且CE ＝AF ，连接DE ，DF.求证：DE ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝CD ，∠DAB ＝∠C ＝90°. ∴∠FAD ＝180°－∠DAB ＝90°. 在△DCE 和△DAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝AD ，∠C ＝∠DAF ，CE ＝AF ，∴△DCE ≌△DAF(SAS)． ∴DE ＝DF.9．如图，在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，连接BP ，DP ，延长BC 到E ，使PB ＝PE.求证：∠PDC ＝∠PEC.证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝CD ，∠BCP ＝∠DCP. 在△BCP 和△DCP 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCP ＝∠DCP PC ＝PC ，， ∴△BCP ≌△DCP(SAS)． ∴∠PBC ＝∠PDC. ∵PB ＝PE ，∴∠PBC ＝∠PEC. ∴∠PDC ＝∠PEC.易错点 对题意理解不透彻导致漏解10．已知正方形ABCD 中，点E 为直线BC 上一点，若AE ＝2BE ，则∠DAE ＝60°或120°． 02 中档题11．如图，四边形ABCD ，AEFG 都是正方形，点E ，G 分别在AB ，AD 上，连接FC ，过点E 作EH ∥FC 交BC 于点H.若AB ＝4，AE ＝1，则BH 的长为(C)A ．1B ．2C ．3D ．3 212．(沈阳期末)如图，已知正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在DC 边的延长线上．若∠CAE ＝15°，则AE ＝8.13．如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE ＝3，则线段BE 的长为5．14．(潍坊中考)如图，正方形ABCD 的边长为1，点A 与原点重合，点B 在y 轴的正半轴上，点D 在x 轴的负半轴ABCD 绕点A 逆时针旋转30°至正方形AB′C′D′的位置，B′C′与CD 相交于点M ，则点M 的坐标为(－1，33)．15．如图，在正方形ABCD 的外侧作等边△ADE ，连接BE ，CE. (1)求证：BE ＝CE ； (2)求∠BEC 的度数．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°. ∵△ADE 为等边三角形，∴AE ＝AD ＝DE ，∠EAD ＝∠EDA ＝60°. ∴∠BAE ＝∠CDE ＝150°.在△BAE 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△BAE ≌△CDE(SAS)．∴BE ＝CE.(2)∵AB ＝AD ，AD ＝AE ，∴AB ＝AE. ∴∠ABE ＝∠AEB. 又∵∠BAE ＝150°，∴∠ABE ＝∠AEB ＝15°. 同理：∠CED ＝15°. ∴∠BEC ＝60°－15°－15°＝30°.03 综合题16．(教材P19习题T5变式)已知正方形ABCD 的边长为a ，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，P 是射线AB 上任意一点，过P 点分别作直线AC ，BD 的垂线PE ，PF ，垂足为E ，F.(1)如图1，当P 点在线段AB 上时，PE ＋PF 的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明； (2)如图2，当P 点在线段AB 的延长线上时，求PE －PF 的值． 解：(1)PE ＋PF 的值是定值． ∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD.∴∠AOB ＝90°. ∵PF ⊥BD ，PE ⊥AC ， ∴∠PFO ＝∠PEO ＝90°.∴∠EOF ＝∠PFO ＝∠PEO ＝90°. ∴四边形PFOE 为矩形．∴PE ＝OF. 又∵∠PBF ＝45°，∴PF ＝BF.∴PE ＋PF ＝OF ＋BF ＝OB ＝22a.(2)∵∠EOF ＝∠PEO ＝∠PFO ＝90°， ∴四边形PFOE 为矩形．∴PE ＝OF. 又∵∠PBF ＝∠ABO ＝45°，∴PF ＝BF.小专题1 教材P21例1的变式与应用【教材母题变式】(教材P21例1变式)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别在BC ，CD 上，BE ＝CF.AE 与BF 之间有怎样的关系？请说明理由． 解：AE ＝BF 且AE ⊥BF.理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠C. 又∵BE ＝CF ，∴△ABE ≌△BCF(SAS)． ∴∠BAE ＝∠CBF ，AE ＝BF. 又∵∠BAE ＋∠AEB ＝90°， ∴∠CBF ＋∠AEB ＝90°. ∴∠BOE ＝90°. ∴AE ⊥BF.【变式1】 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，AE ，BF 交于点O ，∠AOF ＝90°.求证：BE ＝CF.证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ＝90°. ∵∠AOB ＝180°－∠AOF ＝90°， ∴∠BAE ＋∠OBA ＝90°.又∵∠ABE ＝∠CBF ＋∠OBA ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CBF.在△ABE 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠BCF ，AB ＝BC ，∠BAE ＝∠CBF ，∴△ABE ≌△BCF(ASA)．∴BE ＝CF.【变式2】 (长春中考改编)如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 上一点(点E 不与C ，D 重合)，连接BE ，M 为BE 上一点，过点M 作GF ⊥BE 交BC 于点F ，交AD 于点G.求证：BE ＝FG .证明：过点G 作GP ⊥BC 于点P. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠A ＝∠ABC ＝90°. ∴四边形ABPG 是矩形． ∴PG ＝AB.∴PG ＝BC. ∵∠EBC ＋∠BEC ＝90°，∠EBC ＋∠GFP ＝90°， ∴∠BEC ＝∠GFP.又∵∠BCE ＝∠GPF ＝90°，。

北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解(含例题及答案)

北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解（含例题及答案）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 【知识关系】【知识点梳理】知识点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 知识点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点二、菱形高底平行四边形⨯=S1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.知识点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 知识点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 宽＝长矩形⨯S1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=1 2BC，进而得到EF=12CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．【答案与解析】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC，∴EF=DF-DE=BC-12CB=12CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCAMA MCAMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD＝MN ＝MA ＝MC ， ∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】 解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6， 又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ． 在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+， 即，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解． 举一反三： 【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，10AC =222(8)4x x -=+222DC FC DF +=解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1. 类型四、正方形5、如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE ＝EF ．根据正方形的性质推出AB ＝BC ，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，得到BH ＝BE ，∠H＝45°，HA ＝CE ，根据CF 平分∠DCE 推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF 即可得到答案． 【答案与解析】 探究：AE ＝EF证明：∵△BHE 为等腰直角三角形, ∴∠H ＝∠HEB ＝45°，BH ＝BE.又∵CF 平分∠DCE ，四边形ABCD 为正方形， ∴∠FCE ＝12∠DCE ＝45°， ∴∠H ＝∠FCE.由正方形ABCD 知∠B ＝90°，∠HAE ＝90°＋∠DAE ＝90°＋∠AEB, 而AE ⊥EF ，∴∠FEC ＝90°＋∠AEB ， ∴∠HAE ＝∠FEC.由正方形ABCD 知AB ＝BC ，∴BH －AB ＝BE －BC ， ∴HA ＝CE,∴△AHE ≌△ECF （ASA ）, ∴AE ＝EF. 【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三： 【变式】（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 ．【答案】 65°。

北师大新版九年级数学上册：第1章《特殊的平行四边形》单元复习试题 (含答案)

第1章特殊的平行四边形一．选择题（共15小题）1．已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．∠ABC＝∠BAC 2．菱形的边长是2cm，一条对角线的长是2cm，则另一条对角线的长约是（）A．4cm B．1 cm C．cm D．2cm3．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，AH⊥BC于H，则AH等于（）A．B．C．4 D．54．菱形的两条对角线分别为8和6，则菱形的周长和面积分别是（）A．20，48 B．14，48 C．24，20 D．20，245．如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠ABD的度数为（）A．20°B．35°C．40°D．50°6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连结OE．若OE＝3，则菱形ABCD的周长是（）A．6 B．12 C．18 D．247．如图，在菱形ABCD中，AE，AF分别垂直平分BC，CD，垂足分别为E，F，则∠EAF的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，AB的垂直平分线交AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF＝（）A．50°B．40°C．30°D．15°9．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，添加一个条件不正确的是（）A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．AC平分∠BAD 10．在平面直角坐标系内，点O是原点，点A的坐标是（3，4），点B的坐标是（3，﹣4），要使四边形AOBC是菱形，则满足条件的点C的坐标是（）A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（6，0）D．（5，0）11．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，当它满足以下：①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠B＝∠3；④∠1＝∠3中某一条件时，平行四边形ABCD是菱形，这个条件是（）A．①或②B．②或③C．③或④D．①或④12．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（0，2），C（3，0），D（0，﹣2），则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形13．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AB＝2，∠ACB＝30°，则矩形的面积为（）A．4B．2 C．4 D．214．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOD＝120°，AC＝4，则CD的长为（）A．2 B．3 C．2D．215．如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是（）A．6 B．5 C．3D．4二．填空题（共9小题）16．工人师博常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师博此种检验方法依据的道理是．17．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．18．如图，平行四边形ABCD，添加一个条件使它成为一个矩形，你会加上．19．如图，P是正方形ABCD内一点，且PA＝PD，PB＝PC．若∠PBC＝60°，则∠PAD＝．20．如图，将边长为6cm的正方形ABCD先向下平移2cm，再向左平移1cm，得到正方形A'B'C'D'，则这两个正方形重叠部分的面积为cm2．21．已知正方形的对角线长为2，则它的面积．22．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为．23．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE ＝BF，请你添加一个条件，使四边形BECF是正方形．24．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．三．解答题（共5小题）25．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；（2）求证：EO＝DC．26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，连结AC．（1）求证：四边形AECD是矩形；（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a．（1）求证：四边形ABCF是正方形；（2）求BG的长．28．如图，在正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上，且AE＝BF＝CG＝DH，求证：四边形EFGH是正方形．29．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，试判定四边形EFGH的形状，并证明你的结论．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD；故选：A．2．【解答】解：如图，设AC＝2cm，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝1cm，BO＝DO，AC⊥BD，∵BO＝＝＝cm，∴BD＝2cm，故选：D．3．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴CO＝AC＝6，BO＝BD＝8，AO⊥BO，∴BC＝＝10，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×16×12＝96，∵S菱形ABCD＝BC×AH，∴BC×AH＝96，∴AH＝＝故选：B．4．【解答】解：如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，AC⊥BD，∴AB＝＝＝5，∴此菱形的周长是：5×4＝20，面积是：×6×8＝24．故菱形的周长是20，面积是24，故选：D．5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠BCD，AB＝AD，∵∠1＝50°，∠2＝20°，∴∠BCD＝180°﹣50°﹣20°＝110°，∴∠A＝110°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝＝35°，故选：B．6．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴△AOD为直角三角形．∵OE＝3，且点E为线段AD的中点，∴AD＝2OE＝6．C菱形ABCD＝4AD＝4×6＝24．故选：D．7．【解答】解：连接AC，∵AE垂直平分边BC，∴AB＝AC，又∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BCD＝120°，又∵AF垂直平分边CD，∴在四边形AECF中，∠EAF＝360°﹣180°﹣120°＝60°．故选：B．8．【解答】解：如图，连接BF，在△BCF和△DCF中，∵CD＝CB，∠DCF＝∠BCF，CF＝CF∴△BCF≌△DCF（SAS）∴∠CBF＝∠CDF∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×100°＝50°∴∠ABF＝∠BAF＝50°∵∠ABC＝180°﹣100°＝80°，∠CBF＝80°﹣50°＝30°∴∠CDF＝30°．故选：C．9．【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项不符合题意；B、邻边相等的平行四边形是菱形，此选项不符合题意；C、由对角线相等不能证明平行四边形ABCD是菱形，此选项符合题意；D、对角线平分对角的平行四边形是菱形，此选项不符合题意；故选：C．10．【解答】解：如图，连接AB交OC于D，∵四边形AOBC是菱形，∴AD⊥OC，OD＝CD，∵点A的坐标是（3，4），点B的坐标是（3，﹣4），∴OD＝3，∴OC＝6，∴C（6，0），故选：C．11．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；故①④能判定．故选：D．12．【解答】解：如图所示：∵A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），∴OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵BD⊥AC，∴四边形ABCD为菱形，故选：B．13．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC＝90°，且∠ACB＝30°∴BC＝AB＝2，∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝2×2＝4故选：A．14．【解答】解：∵∠AOD＝120°，∴∠COD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝CO＝DO＝2，∴△COD是等边三角形，∴CD＝DO＝2，故选：A．15．【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），∴线段AC＝＝5，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝5，故选：B．二．填空题（共9小题）16．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．17．【解答】解：添加EB＝DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∴DE∥BC，又∵DE＝AD，∴DE＝BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB＝DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB＝DC．18．【解答】解：答案不唯一，∵四边形ABCD是平行四边形，∴可添加：∠A＝90°、AC＝BD等．故答案为：∠A＝90°．19．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠DAB＝∠CBA＝90°，∵PB＝PC，∠PBC＝60°，∴△PAB是等边三角形，∴∠APB＝∠PBA＝60°，PA＝PB＝AB，∴∠DAP＝∠CBP＝30°，∵PA＝PD，∴∠PDA＝＝75°．∴∠PAD＝15°，故答案为：15°．20．【解答】解：如图，向下平移2cm，即AE＝2，则DE＝AD﹣AE＝6﹣2＝4cm 向左平移1cm，即CF＝1，则DF＝DC﹣CF＝6﹣1＝5cm则S矩形DEB'F＝DE•DF＝4×5＝20cm2故答案为：2021．【解答】解：∵正方形的一条对角线的长2，∴这个正方形的面积＝＝4，故答案为422．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴AB＝BC，且∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝3，∵四边形ACEF是正方形，∴AC＝EF＝3故答案为：323．【解答】解：添加条件：AC＝BC．理由如下：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°∴菱形BECF是正方形．故答案为AC＝BC．24．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴当∠BAD＝90°时，四边形ABCD为正方形．故答案为∠BAD＝90°．三．解答题（共5小题）25．【解答】解：（1）四边形AEBO是矩形．证明：∵BE∥AC，AE∥BD∴四边形AEBO是平行四边形．又∵菱形ABCD对角线交于点O∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．∴四边形AEBO是矩形．（2）∵四边形AEBO是矩形∴EO＝AB，在菱形ABCD中，AB＝DC．∴EO＝DC．26．【解答】解：（1）证明：∵AD∥BC，EC＝AD，∴四边形AECD是平行四边形．又∵∠D＝90°，∴四边形AECD是矩形．（2）∵AC平分∠DAB．∴∠BAC＝∠DAC．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB．∴∠BAC＝∠ACB．∴BA＝BC＝5．∵EC＝2，∴BE＝3．∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝4．27．【解答】解：（1）∵CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，∴FC＝FD，∴∠D＝∠FCD＝45°，∴∠CFD＝90°，即∠AFC＝90°，又∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝90°，∴四边形ABCF是矩形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCF是正方形；（2）∵FG垂直平分CD，∴CE＝DE，∠CEG＝∠DEF＝90°，∵BG∥AD，∴∠G＝∠EFD，在△CEG和△DEF中，，∴△CEG≌△DEF（AAS），∴CG＝FD，又∵正方形ABCF中，BC＝AF，∴AF+FD＝BC+CG，∴AD＝BG＝a．28．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴OE＝OF＝OG＝OH，EG⊥FH，∴四边形EFGH是正方形．29．【解答】答：四边形EFGH的形状是正方形，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH，∴△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAB，∴EF＝FG＝GH＝HE，∠AEH＝∠EFB，∵∠B＝90°，∴∠EFB+∠FEB＝90°，∴∠AEH+∠FEB＝90°，∴∠HEF＝90°，∵EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH的形状是正方形．。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相关文档
最新文档