教案-两条直线的交点坐标

3.3 直线的交点坐标与距离公式

3.3.1两条直线的交点坐标

教材分析

本节内容是数学必修2第三章直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式的第一课时．本节课是在学习了二元一次方程组的解、直线的位置关系和直线的方程后进行的，是对前面学习内容的延续与深入，也是后继学习距离公式、圆锥曲线以及曲线与曲线的交点的基础．本节课通过利用代数的方法来解决两条直线相交的交点坐标问题，渗透数形结合、坐标法的思想，通过探究过定点的直线系的方程问题进一步培养学生转化化归的思想．

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解两条直线的位置关系、两条相交直线的交点坐标以及二元一次方程组的解与两条直线位置的对应关系．

教学目标

重点:能判断两条直线的位置关系，会求两直线的交点坐标．

难点：二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，过两条直线的交点的直线系方程．

知识点：两条直线的交点的求法，二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，过两条直线的交点的直线系方程．

能力点：通过学习两条直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法，培养学生的数形结合能力，通过研究两条直线的位置与它们对应方程组的解的关系，进一步渗透坐标法及转化化归的思想．

教育点：通过两直线交点与二元一次方程组的解的关系，认识事物之间的内在联系，能用辩证的观点看问题；在探究和解决问题的过程中，培养学生细心观察、勇于探索、互相合作的精神，

自主探究点：二元一次方程组的解与两条直线的位置对应关系的探究与发现，过两条直线的交点的直线系方程问题．

考试点：求两直线的交点坐标，判断两条直线的位置关系，．

易错易混点：利用直线系方程求解直线方程、求未知参．

拓展点：探究直线恒过定点问题，探究对称与最值问题．

教具准备课件、几何画板、三角板

课堂模式学案导学

一、引入新课

知识回顾：（教师出示多媒体课件并提出问题）

问题1. 直线的一般式方程与二元一次方程之间有什么关系？

问题2. 如何求二元一次方程组的解? 二元一次方程组的解有几种情况？

问题3：直角坐标系中两条直线的位置关系有几种？

【师生活动】

师：展示课件、提出问题． 生：思考、讨论并回答问题．

师：每一个关于,x y 的二元一次方程都表示条直线，而二元一次方程组的解有三种情况，直角坐标系中两 条直线的位置关系也有三种，那么试想两条直线的位置关系与对应二元一次方程组解的情况有关系吗？如果有，那么又有怎样的对应关系呢？

【设计意图】复习巩固，以旧带新；简单的知识回顾，为学生自主探究铺平道路，唤起学生的记忆，引发学生探究新知识的的学习兴趣和学习热情，并自然导入新课．

二、探究新知

探究1：两条直线的交点坐标

问题1：教师引导学生从点与直线的位置关系入手完成下表，并讨论直线上的点与对应方程

0Ax By C ++=的解有怎样的关系？

师：因为直线1l 与2l 的交点是A ，故点A 在直线1l ，也在直线2l ． 所以点A 坐标),(00y x 既满足1l 的方程，又满足直线2l 的方程，即：10101202020,

0.

A x

B y

C A x B y C ++=⎧⎨

++=⎩

问题2：由上述问题可知，两条直线的交点坐标满足由两条直线方程所组成的方程组．那么，如果两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 相交，如何求这两条直线的交点坐标？ 生：交流，讨论．

师生共同总结：要求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．

【设计意图】设置问题串，以旧带新，通过对熟悉知识点的温故讨论，引发学生探究新知的兴趣，培养学生发现、归纳、概括数学问题的能力．

探究2：两条直线的位置关系

师：求解下列方程组，判断对应两条直线是否相交（教材例2变式）．

（1）0,33100.x y x y -=⎧⎨+-=⎩

（2）340,6210.x y x y -+=⎧⎨--=⎩

（3）3450,68100.x y x y +-=⎧⎨+-=⎩

生：自主完成练习，并请学生到前面板演解题过程.

（1）方程组有唯一解55

(,)33，所以直线1:0l x y -=与2:33100l x y +-=即为相交，交点55(,)33

． （2）方程组无解．

（3）两个方程可化为同一个方程，所以方程组有无数解．

师：（1）中方程组有唯一解对应直线1l 与2l 相交；（2）中方程组无解，两个方程就没有公共解，那么方程对应的两条直线有交点吗？它们具有怎样的位置关系？ 生：没有．两条直线平行．

师：（3）中方程组有无数解，两条直线具有怎样的位置关系？ 生：两条直线重合．

【设计意图】通过动手操作，直观感知，深入理解方程组的解与直线的位置之间的关系． 问题：两条直线方程所组成的二元一次方程组的解的个数与直线的位置关系有什么联系？ 已知1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，

将方程联立，得⎩⎨⎧=++=++00

222

111C y B x A C y B x A ，对于这个方程组解的情况分三种讨论：

（1）若方程组有唯一解，则1l 、2l 相交，有唯一的公共点； （2）若方程组无解，则1l 、2l 没有公共点，即平行；

（3）若方程组有无数多个解，则1l 、2l 有无数多个公共点，即重合．

【设计意图】通过学生独立思考、师生共同总结加强对知识的理解；由具体问题的解通过思考、感悟得到一般性结论，循序渐进，符合学生的认知规律，便于理解记忆；在问题探究的过程中，让学生体会数形结合的思想．

三、理解新知

师：如何求解两条直线的交点？如何判断两条直线的位置关系？ 生：写出两条直线方程，联立求解：

方程组有唯一解⇔错误！未找到引用源。两直线相交

方程组无解错误！未找到引用源。两直线平行 方程组有无穷多解错误！未找到引用源。两直线重合

师：如何根据两直线的方程的系数之间的关系来判定两直线的位置关系呢？请大家完成下列表格：