MathStudio35 阿基米德螺线分析讲解
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（35）
阿基米德螺线
2016年5月6日
阿基米德螺线
一动点以常速 v 沿一射线运动，而这一射线又以定角速度ω绕极点O转动时，该动点所描成的轨迹为阿基米德螺线
极坐标方程式ρ=aθ
因为a=v/ω，阿基米德螺线亦称等速螺线
a 与 v 成正比，v 越大，a越大，螺线形状趋宽松
a 与ω成反比，ω越大，a越小，螺线形状趋紧凑
等距性过极点的射线与阿基米德螺线的所有交点，
相邻交点的间隔相等（2πa）
阿基米德螺线与大自然息息相通
★自然界里像茑萝、紫藤、牵牛花等攀缘植物，为其生存需用最少的材料、最低的能耗，使其茎或藤延伸到光照充足的地方。螺线状态就起到省材、节约能量消耗的作用，在相同的空间中使其叶子获取较多的阳光，有利于进行光合作用。
★生活在水中的螺类软体动物，来自水流的阻力经锥状螺线能转化变为前进的动力。并且，分布在螺类外壳上的螺线像一条肋筋，大大增加了壳体的强度，也分散了作用在壳体上的水压。
摘自《阿基米德螺线》百度百科
阿基米德螺线
a=1
θ=0～12π
曲线与X轴交点±各6个相邻交点间距=2π
阿基米德螺线
由两支曲线组成
a=0.5
θ=0～12π
曲线与X轴交点±各12个相邻交点间距=π
a=0.1
y=0
θ=4π
x=2π/5=0.4π
a=0.1
y=0
θ=2π
x=π/5=0.2π
a=0.1
相邻两点角差θ=4π-2π=2π
相邻两交点间隔 x=0.4π-0.2π=0.2π
x=2πa
a=0.1
y=0
θ=π
x= -π/10= -0.1π
a=0.1
y=0
θ=3π
x=-3π/10=-0.3π
a=0.1
y=0
θ=5π
x=-π/2=-0.5π
a=0.1
相邻两点角差θ=5π-3π =3π-π =2π
相邻两交点间隔 x=-π+0.3π =-
0.3π+0.5π
=0.2π
x=2πa
a=1 y=0 θ=6πx=6π
a=1
y=0
θ=4π
x=4π
a=1
相邻两点角差θ=6π-4π=2π
相邻两交点间隔 x=6π-4π=2π
x=2πa
a=2
y=0
θ=6π
x=12π=6π×2
a=2
y=0
θ=8π
x=16π=8π×2
a=2
相邻两点角差θ=8π-6π=2π
相邻两交点间隔 x=16π-12π=4π
x=2πa
MathStudio 的数据表a=0.1
左列 x=2πa×k=0.2π×k k=1, 2, 3, 4……
x=0.2π,0.4π,0.6π……
x是等差为0.2π的等差级数
右列
y→0
MathStudio 的数据表a=1
左列 x=2πa×k=2π×k
k=1, 2, 3, 4……
x=2π, 4π, 6π……
x是等差为2π的等差级数
右列
y→0
百度百科《阿基米德螺线》
给出的极坐标方程式
ρ=aθ+b
与前述相比，多了个常数项
左上图 b=0, 螺线起点在极点
左下图 b=2,螺线起点在(2,0) 过极点射线与螺线的各交点
间距无变化
WolframAlpha给出的 Archimedean Spiral 极坐标方程式
ρ=aθ(1/n)
与前述相比，θ改变为指数项
左上图 n=0.5 即ρ=aθ2
过极点射线与螺线的各交点间距趋向增大
左中图 n=1 即ρ=aθ
过极点射线与螺线的各交点等距
左下图 n=2 即ρ=aθ1/2 （费马螺线）
过极点射线与螺线的各交点间距趋向减小
参考文献数学手册《数学手册》编写组
高等教育出版社1979年阿基米德螺线百度百科
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背景音乐步步高民乐
2016年 6月20日
阿基米德原理实流程及数据
第十章第2节：阿基米德原理 说明：此页用来搜集实验数据 实验1：测量物体的浮力 测量浮力的方法：称重法 实验准备： 勾码，弹簧测力计，烧杯，水 实验步骤： 1.用弹簧测力计测出物体的重G=______N 2.将勾码浸没在水中，记录此时弹簧测力计的读F=________N 3.示数变_______（大/小），示数差_______N 4.F浮=_______N 实验2：阿基米德原理 实验准备： 勾码，弹簧测力计，上端开口的烧杯1，烧杯2，水 实验步骤： 步骤一：用弹簧测力计测出勾码的重力F1=_____N，测出空烧杯2的重力G杯2=_____N； 步骤二：将水倒入烧杯中至开口处； 步骤三：将勾码浸没在水中，排出水，并测出此时测力计的示数F2=_____N，求出勾码所受到的浮力F 浮 = F1- F2=_____N 步骤四：用弹簧测力计测量出G 水+G 杯2 =____N； 步骤五：计算出水的重力G 水 =______N； 步骤六：比较G 水与F 浮 的大小。 G水______F浮
课堂练习 1、一个盛有盐水的容器中悬浮着一个鸡蛋，容器放在斜面上， 如图所示．图上画出了几个力的方向，你认为鸡蛋所受浮力的方向应 是( ) A．F l B．F2C．F3 D．F4 2、体积相等，形状不同的铅球、铁板和铝块浸没在水中不同深 度处，则( ) A．铁板受到的浮力大 B．铝块受到的浮力大 C．铅球受到的浮力大 D．它们受到的浮力一样大 3、弹簧测力计的下端吊着一个金属球，当静止时，弹簧测力计的示数是4 N；若将金属球慢慢浸入水中，弹簧测力计的读数将逐渐(变大/变小)，金属球受到的浮力将逐渐_______ (变大/变小)；当金属球的一半浸在水中时，弹簧测力计的示数是2．4 N，这时金属球受到的浮力是N；当金属球全部浸没在水中后，这时金属球受到的浮力是N，弹簧测力计的示数是N． 4、如图所示，用弹簧测力计悬挂重l0N的金属块浸入水中，弹簧测力计的示数为7N，此时金属块所受浮力的大小和方向是( ) A．7N，竖直向上 B．10N，竖直向下 C．3N，竖直向下 D．3N，竖直向上 5、所受重力相等的铜球、铁球和铝球分别用细线悬挂而浸没在水 中，则（） A.悬挂铜球的细线所受的拉力最大 B.悬挂铁球的细线所受的拉力最大 C.悬挂铝球的细线所受的拉力最大 D.三根细线所受拉力一样大 6、在打捞过程中潜水员多次下潜勘查，当潜水员浸没海水后继续下潜的过程中，其所受浮力的大小，压强的大小。（选填“增大”、“减小”或“不变”） 7、质量相同的实心铜球，铁球，铝球分别投入水中静止时，它们受到的浮力()． Ａ．铝球最大Ｂ．铁球最大Ｃ．铜球最大Ｄ．三个球一样大 8芳芳在家探究鸡蛋受到的浮力大小与哪些因素有关，如图6所示。请仔细观察图示并回答下列问题： （1）从A、B两图可知，鸡蛋在水中受到的浮力大小是 ___N。 （2）根据B、C两实验，她就得出鸡蛋受到的浮力大小 与液体的密度有关，你认为对吗？________，理由是 ________。
阿基米德螺线图形设计_Java基础实验报告
南京工程学院 实验报告 课程名称 JAVA基础 实验项目名称图形用户界面设计 实验题目阿基米德螺线图形设计 实验学生班级网络132 实验学生姓名薛康威 学号 202130834 实验时间 2015.5.25 实验地点信息楼 实验成绩评定 指导教师签字年月日
一、实验目的和要求 掌握Java Swing组件的使用方法，理解委托事件处理模型，掌握多种布局方式，掌握窗口菜单和快捷菜单设计方式，熟悉在组件上绘图的方法，设计出具有图形用户界面的、能够响应用户界面的、能够响应事件并处理异常的Java应用程序。要求如下： （1）采用Swing组件设计图形用户界面，使用3个以上相同组件要声明组件数组。 （2）响应事件。 （3）异常处理，当输入数据错误时，弹出对话框，提示重新输入信息。 二、实验题目 阿基米德螺线图形设计，指定图形大小、位置和颜色。 三、实验方法与步骤（需求分析、算法设计思路、流程图等） （1）需求分析 这个程序主要由两大块组成，自定义图形用户界面和阿基米德螺线图形算法。 （2）算法设计思路 首先是界面设计。内容窗格采用边布局，North处添加设置面板，Center处添加画布。其中设置面板采用流布局，添加设置圈数的文本框、选择颜色的单选按钮和最终“确定”的按钮。 其次是阿基米德螺线图形算法。根据数学公式r = aθ，转换成直角坐标方程组后，在图形类Graphics中标点填充即可。 最后便是事件处理。在按钮“确定”上注册事件监听，在响应方法里获得圈数（需要做异常处理）、颜色的参数，并调用画布类，将阿基米德螺线画出。
四、实验原始纪录（源程序、数据结构等） import java.awt.*; import java.awt.event.*; import javax.swing.*; public class ArchimedesJFrame extends JFrame implements ActionListener{ private ArchimedesCanvas archimedes; //画布类声明 private JButton jb3; private JPanel jp1; private JTextField text_q; private JRadioButton bcolor[]; private double n; public ArchimedesJFrame(){ super("阿基米德螺线"); Dimension dim=getToolkit().getScreenSize(); this.setBounds(dim.width/4,dim.height/4,dim.width/2,dim.height/2); this.setDefaultCloseOperation(EXIT_ON_CLOSE); text_q=new JTextField(10); jp1=new JPanel(); jp1.add(new JLabel("圈数：")); jp1.add(text_q); jb3=new JButton("确定"); jp1.add(jb3); jb3.addActionListener(this); String lk[]={" "," "}; for(int i=0;i 《阿基米德原理》教学设计 一、教材分析： 阿基米德原理是初中物理教学的重要内容，在力学知识的学习过程中起着承上启下的作用。浮力是前面所学的力学知识的延伸扩展，是初中力学部分的又一个重点；浮力是本章的关键，为以后研究物体浮沉条件奠定基础；浮力知识对人们的日常生活、生产技术、科学研究有着广泛的现实意义。由于这部分内容有一定的难度，学生学起来总有种望而生畏的感觉。因此，教学过程中我注重学生对知识的理解，通过实验、推理等方法，努力激发使这一部分教学不枯燥，争取调动全体学生学习兴趣提高学生成绩。 二、学生情况分析： “浮力”对于学生来说，既熟悉又陌生。说熟悉，是因为在日常生活的积累中和在小学自然常识课的学习中已有了一定的感性认识；说陌生，是因为要把有关浮力的认识从感性提高到理性，需要综合运用各方面的知识，如力的测量、重力、二力平衡、二力的合成等重要知识，还需要对这些知识进行科学的分析、推理、归纳等。在第一节浮力的教学过程中，已经学习了称重法求浮力的方法，学习了影响浮力的相关因素，为进一步学习《阿基米德原理》做好了铺垫和准备。如何调动他们的学习兴趣是一个关键问题。 三、教学目标 知识与技能 1、能用溢水杯等器材探究浮力的大小。 2、会利用阿基米德原理解释简单的现象和计算。 过程与方法 1．经历科学探究，培养探究意识，发展科学探究能力。 2．培养学生的观察能力和分析概括能力，发展学生收集、处理、交流信息的能力。 情感、态度与价值观 1．增加对物理学的亲近感，保持对物理和生活的兴趣。 2．增进交流与合作的意识。 3．保持对科学的求知欲望，勇于、乐于参与科学探究。 四、教学重点、难点 （1）重点：阿基米德原理。 （2）难点：①探索阿基米德原理的实验设计及操作过程；②对阿基米德原理的理解。 五、教法的选择 1、将被动观察改为主动探究，将演示实验改为学生探索实验。 2、探究模式采用与物理研究方法相同的模式，猜想——设计——验证——分析归纳——评估。 六、学法的指导 在课堂上着力开发学生的三个空间 1、学生的活动空间。将演示实验改为学生的分组试验，全体学生参与，使每个学生都能体验探究过程，得到发展。 2、学生的思维空间。创设问题情景，让学生自己体验、感知知识的发生、发展过程，通过思维碰撞，培养思维能力。 3、学生的表现空间。通过把自己的想法、结果展示给大家，学习交流与合作，体验成功的愉悦。 七、教学准备 空易拉罐（自备，每组1个）、盘子每组1个、弹簧秤每组1只、小石块每组1块、溢水杯每组1套、细线、烧杯、水等 八、课堂主线设计： 知识线索：（隐线）探究阿基米德原理的实验设计及操作过程。 情景线索：（明线）阿基米德鉴定王冠是否掺假 逻辑线索：（思维线索）在不损坏王冠的情况下，怎样才能测出王冠的体积，进而求出王冠的密度。 九、教学过程 钢桶卷边剖析 海南省金鼎实业发展总公司丁进义 近年来有关钢桶卷边的文章很多。通过学术讨论使我们对钢桶卷边的认识不断地深化，对提高我国钢桶卷边质量是颇有好处的。笔者在此就卷边问题提出自己看法。 一、卷边基本概念 卷边最初的含义是：为了提高薄壁零件边缘刚性和强度，将其边缘卷曲的工作叫卷边，如图1所示。在手工制作铁水桶等日用杂品上，经常采用这种卷边。 图1 卷边图 本文所指的卷边实际上是一种咬合形式。咬合一般分为平面咬合和折角咬合。 平面咬合是把两块钢板的边缘（或一块板的两个边缘）折转扣合，并彼此压紧。平面咬合又称咬缝或咬口。这种咬缝较牢靠，不少地方代替了钎焊。在小桶（或小罐）生产中经常用在桶身（或罐身）两边的咬缝。 平面咬合分半咬和整咬。咬缝分立缝单扣、立缝双扣、卧缝挂扣，卧缝单扣、卧缝双扣等，如图2所示。 图2 平面咬合 桶身的咬缝主要是采用卧缝挂扣。卧缝单扣和卧缝双扣主要用在建筑上，如屋顶排水沟。折角咬合（如图3所示）是我们讨论的重点。 图3 折角咬合 钢桶卷边外形根据其用途不同可分为矩形、圆形、梯形、三角形等。根据重叠次数又分为二重卷边和三重卷边。 钢桶的卷边是桶身和桶顶底折角咬合的一种工序。通过滚压形式用若干个卷封轮将桶身和桶顶（底）咬合在一起达到设计所要求的结构和尺寸。一般要求卷边有一定的密封性，有良好的抗渗漏性能和抗冲击能力，从而，保证钢桶在运输、贮存中能承受各种形式的碰撞、跌落。过去由于我国钢桶卷边质量不过关造成渗漏事故，损失很大。近年来，各制桶厂努力学习和掌握先进的卷边技术，消化和吸收国际先进卷边技术使我国，钢桶卷边质量跨入国际先进行列。 二、卷边对金属材料的要求 卷边用金属板材必须有良好的可塑性。金属的可塑性是指在外力作用下金属，产生永久变形的能力。金属的塑性一般可由两个方面来反映，一个叫 浅谈阿基米德螺线 摘要： 本文从生活中有趣的自然现象出发，介绍了阿基米德螺线的发现、定义、方程、作图以及自然界和实际生活中的应用，浅谈了对于阿基米德螺线定义的不同观点，并以蚊香为例，建模，证明了阿基米德螺线应用的广泛性。 关键词： 阿基米德螺线、极坐标、自然界实例，生活中应用 引言 很多人都知道飞蛾扑火这个故事。但是，为什么飞蛾会这么执着地扑向火光呢?这要从它的祖先谈起。飞蛾的历史远比人类悠久。在亿万年前，没有人造火光，飞蛾完全靠天然光源(日光、月光或星光)指引飞行。由于太阳、月亮、星星距离地球都很远，它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。当飞蛾直线飞行时，它在任何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值(如图1)。可是，如果光源离得很近，不能将它们发出的光线看作平行光时，飞蛾再按照固有的习惯飞行，飞出的路线就不是直线，而是一条不断折向灯光光源的螺旋形路线(如图2)。这在数学上称为阿基米德螺线。通俗的说，阿基米德螺线就是既作匀速转动又作匀速直线运动而形成的轨迹。举一个形象一点的例子：时钟上的指针在作匀速转动，假如有一只小虫子从时钟的中心，沿指针作匀速爬动，那么虫子最终走出的轨迹就是阿基米德螺线（如图3）。 1.阿基米德螺线简介 1.1阿基米德简介及螺线的发现 阿基米德 Archimedes（约公元前287～前212），古希腊伟大的数学家、力学家。他公元前287年生于希腊叙拉古附近的一个小村庄．11岁时去埃及，到当时世界著名学术中心、被誉为“智慧之都”的亚历山大城跟随欧几里得的学生柯农学习，以后和亚历山大的学者保持紧密联系，因此他算是亚历山大学派的成员。公元前240年，阿基米德由埃及回到故乡叙拉古，并担任了国王的顾问．从此开始了对科学的全面探索，在物理学、数学等领域取得了举世瞩目的成果，成为古希腊最伟大的科学家之一．后人对阿基米德给以极高的评价，常把他和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。 据说，阿基米德螺线最初是由阿基米德的老师柯农(欧几里德的弟子)发现的．柯农死后，阿基米德继续研究，又发现许多重要性质，因而这种螺线就以阿 浮力阿基米德原理计算题 1、把体积为4×10- 3m3的小球浸没在酒精中，问：小球受到的浮力是多少？（ρ酒精＝0.8×103 kg/m3）（g取10N/kg） 2、重力为54N的实心铝球浸没在水中时，铝球受的浮力是多大？（g取10N/kg）(ρ =2.7×103kg/m3） 铝 3、有一金属块，在空气中称得重3.8N，将它浸没在盛满水的溢水杯中时，有50mL 的水从溢水杯中流入量筒，求：（1）金属块的体积；（2）金属块在水中受到的浮力；（3）金属块在水中时弹簧秤的读数；（4）金属的密度是多少？（g取10N/kg） 4、如图13所示，在空气中用弹簧测力计测得物体重为2.7N，将其一半浸入水中，此时弹簧测力计的示数变为2.2N，求：（g取10N/kg） （1）物体浸没时所受的浮力大小（2）物体的体积是多少 （2）物体的密度为多少。 5、如图所示，在水中有形状不同，体积都是100厘米3的A、B、C、D四个物块，A的体积有2/5露出水面，D的底面与容器底紧密贴合，求各个物块所受的浮力。 6、一个实心石块，在空气中用弹簧测力计测得示数是10N，当把石块完全浸没在水中时，弹簧测力计测得示数是6N，求：石块密度。（取g=10N/kg）. =7.9×103kg/m3）挂在弹簧测力计上，若将铁7、一个体积为1000cm3的铁球（ρ 铁 球浸没在水中，则弹簧测力计的示数是它在空气中称时的4/5，求铁球受到的浮力和重力？（g取10N/kg） 8、将一个挂在弹簧测力计上的物体完全浸没盛满水的容器中（未碰到容器底及侧壁），溢出了0.24kg的水，此时弹簧测力计示数是1.2N， 求：（1）该物体在水中受到的浮力（2）该物体的体积（3）该物体的密度 9、如图所示，烧杯内盛有某种液体，把一体积为1×104m3的铝块用细线系在弹 簧测力计下浸没在液体中，静止时弹簧测力计的示数为1.5N，已知铝的密度为2.7×l03kg/m3。 求(1)铝块在液体中受到的浮力 (2)液体的密度 毕业论文（设计）螺旋输送机的设计 院系： 专业： 年级（班级）： 姓名： 学号: 指导教师： 职称： 完成日期： 摘要 螺旋输送机是利用电动机带动螺旋轴转动,使螺旋推移物料从而实现输送目的的机械,它能水平、倾斜或垂直输送,适合短距离输送，具有结构结构简单、体积紧凑、占地面积小、易于密闭、操作和管理方便等优点。 本次任务是设计一台水平输送小麦、水稻等种类粮食螺旋输送机，输送量为30t/h，输送距离为8米，室内外均能适应。重点研究在与驱动装置的合理选择，驱动装置的合理给螺旋输送机的效率、稳定、安全性的提高都有比较大的作用。尽可能发挥其本有的运输特点，尽可能的减小物料输送的阻力，尽可能不要让物料与螺旋叶片黏结而使输送机失去其输送的能力。 本设计阐明了螺旋输送机的工作原理。根据输送量和传输距离确定的螺杆直径，求出所需要的最低螺旋功率，从而根据螺旋功率选择电机、减速器、联轴器。 关键词：螺旋输送机；螺旋轴；连续运输 Abstract Screw conveyor is the use of motor driven screw axis rotation, the spiral passage materials so as to realize the purpose of mechanical transmission, it can be horizontal, inclined or vertical transmission, suitable for short distance transportation, has the advantages of simple structure, compact structure, cover an area of an area small, easy to sealed, convenient operation and management. The mission is to design a horizontal conveying of wheat, rice and other kinds of food screw conveyor, the throughput of 30 t/h, conveying distance is 8 meters, inside and outside are able to adapt to. Key research in with the reasonable choice of drive, drive the reasonable for screw conveyor in the efficiency, stability and security of all has a bigger role. As far as possible the transport of its characteristics, as far as possible the reduction of the resistance of the material conveying, as far as possible, don't let the material and the spiral vane bond and make the conveyor to lose its ability to deliver. This design illustrates the working principle of screw conveyor. According to throughput and transmission distance of the screw diameter, and the minimum needed to spiral power, so as to choose according to the spiral power motor, reducer, coupling. Keywords: screw conveyor；screw axis；continuous transportation 阿基米德螺线浅析 作者:姜荣 200911181013 环境学院09级黄鲁霞 200911181004 环境学院09级荣镭 200911181017 环境学院09级 摘要: 本文就自然界中阿基米德螺线的存在，探讨了它的产生、原理、性质。并对阿基米德螺线在生活中的应用进行了说明。 关键词：阿基米德螺线产生原理性质应用 Abstract： This paper mainly discuss the cause, the principium and the habitude of Archimedes spiral because of its existence in nature. In addition, we make some introductions to its application in our daily life. Key words: Archimedes spiral cause principium habitude application 引言: 阿基米德与阿基米德螺线 Archimedes（阿基米德）是古希腊数学家、力学家。 他在数学、物理方面都有极高的成就。 公元前287年，阿基米德出生于西西里岛(Sicilia)的叙拉古(Syracuse)(今意大利锡拉库萨)。他出生于贵族，与叙拉古的赫农王有亲戚关系，家庭十分富有。阿基米德的父亲是天文学家兼数学家，学识渊博，为人谦逊。他十一岁时，借助与王室的关系，被送到古希腊文化中心亚历山大里亚城，跟随欧几里得的学生埃 拉托塞和卡农学习，他以后和亚历山大的学者保持紧密联系，因此他算是亚历山大学派的成员。 阿基米德螺线 阿基米德螺线ρ=aθ 极坐标图形的绘制 数学原本不是枯燥的学科，只有真正喜欢数学，才会体会数学中的美，可是在功利化教育体制下，在应试教育的大棒下，数学的美已经被叠套拷贝类型题的海洋淹没，在公式和数字的背后留下的只是枯燥、乏味、深奥和不可琢磨。很多学生畏惧数学，应该说不全是学生本身的问题。高层次的涉及体制的问题，我们高不可攀，学子们对数学的遗憾、怨叹乃至于 憎恨，目前还是应该由教师的教学的手段和方法去化解。 数学中的有些内容，理论性较强，初学者较难很快接受，其中极坐标就是一例。其实极坐标及其涉及的螺线，不仅不枯燥不乏味，而且对其的探索，能很有力地展现数学的美。 极坐标的概念出现在高中数学中，但鉴于该内容在高考所占比例较少，限于许多学校数学教学手段、方法比较传统，极坐标的教学内容比较简单，涉及螺线部分，更是单薄。现在 可以使用Excel图表工具，轻松地将各种螺线画出，数形结合，研究其性质。 螺线种类很多，最具有代表性的就是阿基米德螺线。关于阿基米德螺线的运用可见【注】。 古希腊数学家阿基米德(前287,前212)不只对物理做出了贡献，他的几何学研究也称得上是希腊数学的巅峰。他不光研究圆、椭圆、抛物线、旋转抛物体，还提出了一种特殊的螺旋线，这种螺旋线由两种运动形成:设想一个虫子站在匀速旋转的圆盘之上，从圆心沿某个半径向外爬行，它的影子会在天花板上绘出一条螺线。这螺线就是阿基米德螺线。 阿基米德螺线又称“等速螺线”。当一点P沿动射线OP用速度v做等速率直线运动的同时，这条射线又以等角速度ω绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线”，其极坐 标表示式是: ρ,aθ 这里a为实数，ρ是点P到极点的距离，θ是用弧度表示的射线与极轴的夹角。 尤其注意的是:角θ是以弧度表示的角。弧度这一概念在高一数学中介绍过。初接触弧度制时，不少学生是在朦朦胧胧中接受的，知其然不知其所以然:角度蛮好的嘛，为什么要用弧度,弧度、弧度搞得人糊里糊涂。而在这里实际作图时，可以理解弧度作为实数可以和实数a相乘了，可以作出美丽的曲线了，如果是沿袭角度制，两者相乘，那其结果就不伦 不类、风马牛不相干了。解决了过去的悬念，可以“知新而温故”。 另外之所以称之为等速螺线，是因为点P做等速直线运动、射线做等角速度圆周运动， 两项运动的时间都为t，则: 点P沿动射线OP用速度v做等速率直线运动，则ρ,vt; 而同时，射线OP又以等角速度ω绕点O旋转, 则θ,ωt。 Excel图表没有专门的极坐标作图图形类别，要从极坐标转化为直角坐标: X,ρCOSθ Y,ρSINθ 以下以画出ρ,10θ图形为例(a=10)。 【步骤01】设置数据表: 专题库使用说明 机械制造工程学是研究机械加工机理与规律、工艺系统的组成与功能的一门科学，是机械工程专业的主干必修课程，具有综合性、系统性、实践性等特点。本课程从培养学生在机械制造方面的综合素质出发，以机械制造工艺为主线，以优质、高效、低成本为目标，将加工原理、加工质量控制、加工工艺与装备等有机地结合起来，形成宽结构、重素质、强实践的课程结构体系。 机械制造工程学课程内容是由原机械制造专业三门课程（切削原理及刀具；机床；工艺与夹具）整合而成。由于本课程涉及知识面宽、内容多、学时又不断压缩，造成教学过程的教与学“两方为难”的现实。在国家实施“高等学校本科教学质量与教学改革工程”、我校建设研究型大学的背景下，研究新的教学方法对提高课程教学质量和人才培养质量具有重要意义。 在机械制造工程学课程教学中开展“专题驱动式”教学法实践，就是在讲授课程基本内容的前提下，选择适合深入研究（设计）的内容(包括由于课时限制，课堂不讲的课程内容)，以不同形式的专题，提供给学生个人或团队进行自主研究。通过相关文献资料的检索、调研、试验、设计计算等过程，培养学生综合利用相关知识、手段和技能，分析解决生产实际问题的能力。以期做到：专题驱动兴趣、专题驱动创新、专题驱动能力、专题驱动发展。 考虑到学生的兴趣和擅长，做到因材施教，将专题设计为学术研究型（A）和工程应用型（B）两类。前者主要侧重制造过程中机理、基本规律以及加工质量的控制；后者主要侧重工艺参数设计计算及优化、工艺规程 与工装的设计。 在课程学习过程中，学生根据个人兴趣和擅长，从专题库中选择某一专题开展研究（设计），并利用业余时间完成。课程结束后一周内提交研究论文、报告，图纸、工艺文件等，论文、报告题目可根据专题内容自拟）。可以将两个内容相关的简单的专题融合为一个专题研究；有一定难度的专题可以2人一组共同完成；同一专题重复研究不超过3组（应体现不同的视角、不同的方法、不同的方案）。各班学习委员要掌握专题选的选择动态，课程结束前将专题选择结果报给任课老师。 在课程结束后、考试前，教师根据专题完成情况选择一定数量的专题，组织同学汇报并点评。专题完成的质量将以一定的比例记入课程成绩。 一、切削加工基础 1-1 切削运动与切削用量分析（基本定义；各主要加工方法的切削运动与切削用量） 1-2刀具注角度和工作角度（基本概念；标注角度→工作角度的变化规律分析） 1-3 复合成形运动与简单成形运动。加工如图1-1所示三维自由曲面的成形原理，并且进一步机床上的实现方法。 实验十二、验证阿基米德原理的实验 或者 【实验目的】： 探究浸在液体中的物体受到的浮力大小与物体排开液体的重力之间的关系。 【实验原理】： 阿基米德原理。 【实验器材】： 弹簧测力计、金属块、量筒（小桶）、水、溢水杯、 【实验步骤】： ①把金属块挂在弹簧测力计下端，记下测力计的示数F1。 ②在量筒中倒入适量的水，记下液面示数V1。 ③把金属块浸没在水中，记下测力计的示数F2和此时液面的示数 V2。 ④根据测力计的两次示数差计算出物体所受的浮力（F 浮=F1-F2）。 ⑤计算出物体排开液体的体积（V2-V1），再通过G水=ρ（V2-V1）g 计算出物体排开液体的 重力。 ⑥比较浸在液体中的物体受到浮力大小与物体排开液体重力之间的关系。（物体所受浮力 等于物体排开液体所受重力） 【实验数据】： 次数物重 G（N） 拉力 F拉（N） F浮＝ G－F拉（N） 杯重 G杯（N） 杯＋水重 G杯＋水（N） 排开水重 G排＝G杯＋水－G杯（N） 比较F浮和 G排 1 2 3 【实验结论】：液体受到的浮力大小等于物体排开液体所受重力的大小 【考点方向】： 1、为了验证阿基米德原理，实验需要比较的物理量是：。 1、弹簧测力计使用之前要上下拉动几下目的是：。 2、实验中溢水杯倒水必须有水溢出后才能做实验，否则会出现什么结果： 答：。 3、实验前先称量小桶和最后称量小桶有何差异：。 4、实验结论：。 5、实验时进行了多次实验并记录相关测量数据目的是：。 6、实验中是否可以将金属块替换为小木块，为什么？ 答：。 7、如果用塑料方块来验证阿基米德原理，实验需要改进的地方是：。 8、实验过程中，难免有误差存在，请说出一些容易导致误差的原因：。 【创新母题】：某实验小组利用弹簧测力计、小石块、溢水杯等器材，按照图所示的步骤，来验证阿基米德原理。 （1）先用弹簧测力计分别测出空桶和石块的重力，其中石块的重力大小为N。 （2）把石块浸没在盛满水的溢水杯中，石块受到的浮力大小为N．石块排开的水所受的重力可由（填字母代号）两个步骤测出。 （3）由以上步骤可直接得出结论：浸在水中的物体所受浮力的大小等于。 （4）另一实验小组同学认为上述实验有不足之处，其不足是：。 （5）为了改善上述不足之处，下列继续进行的操作中不合理的是。 A．用原来的方案和器材多次测量取平均值 B．用原来的方案将水换成酒精进行实验 C．用原来的方案将石块换成体积与其不同的铁块进行实验 阿基米德原理习题精选 班级姓名学号 一、选择题 1．根据阿基米德原理，物体受到的浮力大小跟下面的哪些因素有关外？（）． A．物体的体积B．物体的密度C．液体的密度D．物体所在的深度 E．物体的形状F．物体排汗液体的体积G．物体的重力 2．如图所示是同一长方体放在液体中的情况．长方体在图（）中 受到的浮力最大，在图（）中受到的浮力最小． 3．选择正确答案（）． A．密度大的液体对物体的浮力一定大 B．潜水员在水面下50米比在水面下10米受到的浮力大 C．将体积不同的两个物体浸入水中，体积大的物体受到的浮力一定大 D．体积相同的铁球和木球浸没在水中，它们受到的浮力一定相等 4．将挂在弹簧秤下的物体放入酒精中，弹簧秤的示数等于（）． A．物体受到的重力 B．物体受到的重力减去它受到的浮力 C．物体受到的浮力 D．物体受到的浮力减去它受到的重力 5．如图所示，A为木块，B为铝片，C为铁球，且 V A=V B=V C，把它们都浸没在水中则（）． A．由于铁的密度大，所以铁球受的浮力最大 B．由于木块要上浮，所以木块受的浮力最大 C．由于铝片面积大，水对它向上的压力也大，因此铝片受到的浮力最大 D．三个物体所受浮力一样大 6．如图所示,若A物压在B物上,A物露出水面体积为 V1,若将物A用细绳挂在B下,B 物露出水面体积 V2,则（） A．V1> V2 B．V1= V2 C．V1< V2 D．无法比 较大小 7．把一个密度为10．2×103kg／m3的实心合金块投入水银中，这时合金块浸入水银中的体积和总体积之比为（） (已知水银的密度为13．6×103kg／m3) 8．一木块浮在水面上时,总体积的1/5露出水面,把它放在另一种液体中,总体积的1/3露出液面,则水与这种液体的密度之比为（） A．5∶6 B．15∶8 C．6∶ 5 D．3∶5 9．在盛水的烧杯中漂浮着一块冰,待冰全部熔化后将发现杯中水面（） A．升高 B．降低 C．不变 D．无法判断 10．一木块浮在煤油中,露出体积的1/4,当它浮在另一种液体中时,露出体积的1/2,则木块在这两种液体中受到的浮力之比和煤油与这种液体密度之比分别是（） A．1∶1,1∶2 B．1∶1,2∶3 C．1∶3,1∶2 D．3∶1,3∶2 11．有一木块在水中上浮，从开始露出水面最后静止漂浮在水面上的过程中（） A．木块所受的浮力，重力都在逐渐变小 B．木块所受的浮力，重力都不变 C．木块所受的浮力变大，重力不变 D．木块所受的浮力变小，重力不变 12．重38Ｎ的铁桶里装满水，水重98Ｎ，用手提住铁桶，将这桶水浸没在河里（桶未露出水面，也不碰到河底）此时所用力为（） A．零B．小于38Ｎ C．大于38Ｎ而小于136ＮD．等于38Ｎ 阿基米德原理公式的巧妙理解 刘 勤 （电子科技大学） 本文通过巧妙的理想实验的分析，得出任意形状物体所受浮力的阿基米德原理公式，可以让广大学生更容易理解不规则形状物体在液体或气体中所受浮力的公式。并且我们也可以用很接近理想实验的真实实验进行验证和课堂演示。 一切浸入液体（气体）的物体都受到液体（气体）对它的竖直向上的力，叫浮力。 对浮力的计算来源于阿基米德，提出了阿基米德原理：浸入液体（气体）的物体受到向上的浮力，浮力的大小等于它排开液体（气体）受到的重力。 下面，我们以液体为例对阿基米德原理进行讨论分析，同样的结果可以应用于气体中的浮力。对于形状规则的物体，可以通过物体各侧面受到的压力公式推导出物体所受浮力： 排液浮V g F ..ρ= (1) 如图1所示。 图1形状规则的物体在液体中 对于形状不规则的物体，公式（1）不容易直接理解，需要通过实验测定。 本文提出一个理想实验，可以更简单地理解各种形状（包括规则形状及不规则形状）物体受到的浮力，而且可以被真实实验验证。 排 V 图2 形状不规则的物体在液体中 如图2所示，假设有一个形状不规则的物块如图中所示，全部体积悬浮在液体中。因此，物块所排开的那部分液体的量等于物块所占据的那部分体积所包含的液体。我们将物块体积占据部分标记为排V ，如图2中所示。 现在我们假设理想地将排V 体积物块全部移出，而盛进与容器里面完全一样的液体，如图3所示。 图3形状不规则的物体在液体中的理想实验 我们将这部分体积的液体作为一个整体进行分析，显然，这部分液体在全部液体里应该处于受力平衡状态，因此其周围液体对这部分液体应该有一个整体向上的力（即浮力），而且这个力的大小应该和盛进这部分液体的重力相等，这样才能使那部分液体处于受力平衡。 所以，无论物块是什么形状，我们都可以用上述理想替换的方式将物块所占体积里盛入液体，从而都可以推出：浮力等于所排开液体（等于所占体积可以盛的液体）的重力。用公式表达即是： 排液排液浮V g G F ..ρ== (2) 浮 F V 专题21 力学综合训练（四） 一、选择题 1.（2019广西北部湾）“足球进校园”活动的开展，使同学们越来越喜欢足球运动，下列现象不属于力改变物体运动状态的是（） A．足球在空中沿弧线飞行B．足球在草地上越滚越慢 C．被踩在脚下的足球变扁D．守门员抱住飞来的足球 【答案】C 【解析】A．足球在空中沿弧线飞行时由于运动方向在不断改变，说明足球的运动状态发生了变化，故A 属于力改变物体运动状态的情形；B．足球在草地上越滚越慢，说明足球的速度变小，即运动状态发生了变化，故B属于力改变物体运动状态的情形；C．被踩在脚下的足球变扁，说明在力的作用下足球发生了形变，属于力改变物体的形状的情形；D．守门员抱住飞来的足球，说明足球的速度变小了，即运动状态发生了变化，故D属于力改变物体运动状态的情形。故选C。 2.（2019·四川巴中）下列列关于力说法正确的是( ) A.空中自由下落的小球速度越来越快，小球的惯性力越来越大 B.踢足球时脚对足球的力和足球对脚的力是一对平衡力 C.力的大小、方向和作用点都可能影响力的作用效果 D.物体的重心一定在物体上 【答案】C 【解析】A．物体保持原来运动状态不变的性质叫惯性，惯性只与质量有关，且惯性不是力，故A错误；B．踢足球时脚对足球的力和足球对脚的力是作用在两个物体上，是相互作用力，不是一对平衡力，故B错误；C．力的大小、方向和作用点称为力的三要素，都会影响力的作用效果，故C正确；D．重心不一定在物体上，如空心的球，铁环等，故D错误。故选C。 3．（2019山东德州）如图所示，在“测量花岗石密度”的实验中。下列说法正确的是（） A．称量时左盘放砝码，右盘放花岗石 母线在绕轴线做匀速圆周运动的同时，做匀速或变速轴向运动，母线的运动轨迹形成等螺距或变螺距螺旋面。 螺旋面与同轴的圆柱面或同轴圆锥面的交线，称为圆柱螺线或圆锥螺线。[4] 混凝土搅拌车中常用的螺旋线是直纹正螺旋面和直纹斜螺旋面。 直纹：母线为直线。 正螺旋和斜螺旋：母线与轴线垂直或斜交。 螺旋角 螺旋线上某点（取正对着的那一点）的切线与圆柱面或圆锥面的母线之间的夹角称为螺旋角，一般用β表示[6] 升角 螺旋线上某点（取正对着的那一点）的切线与通过该点的圆柱截面在该点的切线之间的夹角，称为螺旋升角，简称升角，常用δ表示[6] ?=+90βδ 相当于在圆柱面上有一张白纸，并转动，铅笔紧靠白纸，并作轴向运动，形成的轨迹，称为螺旋线。把白纸展开，即可得螺旋升角。 图片来自文献[15] 阿基米德螺旋线：螺距相等的螺旋线。 既做匀速转动又做等速直线运动（两速度要同步），而形成的轨迹，称为“阿基米德螺旋”，又称等螺距螺线。[8]圆锥的阿基米德螺线的螺旋角是变化的。[6] 如果选用阿基米德螺线，在筒体的几何参数和螺旋角选定的情况下，螺旋角是从圆锥小端至圆锥大端递增的 对数螺旋线： 对数螺旋线又称等角螺旋线或等升角螺旋线或等螺旋角螺旋线，其螺距是变化的。[6] 如果选择对数螺线，在筒体的几何参数和螺旋角选定的情况下，螺距是随各截面处直径的变化而成正比变化的，这时的螺旋角可以设计为不变。 阿基米德螺旋叶片螺距相等，但是螺旋角不等； 对数螺旋叶片的螺距不相等，但是螺旋角相等。 螺旋角越大，升角就越小，搅拌性能就越差，出料性能越好； 螺旋角越小，升角就越大，搅拌性能就越好，出料性能越差。 搅拌性性能差，容易离析 所以罐车的两头的螺旋角大，中间的螺旋角小。 第十章第2节阿基米德原理导学案 一．学习目标 1.通过实验探究，理解阿基米德原理内容。 2.能根据阿基米德原理进行简单的浮力计算。 【学习重点】探究浮力的大小及阿基米德原理的理解及应用。 【学习难点】探究浮力的大小及阿基米德原理的理解及应用。 二．知识回顾 1，浮力：______________________________________。 2.用弹簧测力计测浮力表达式：_________________________。 3.浮力的方向：____________________。 4.物体在液体中的浮力大小与__________________和__________________有关。三．导入新课：1.复习 2.讨论由阿基米德原理的灵感导入新课。 四．自主学习，合作探究: (一）阿基米德原理实验探究 问题1：通过教材图10.2-1的操作，试试看。 当饮料罐浸入水中更深、排开的水更多时，浮力是否更大？ 问题2：探究浮力的大小跟排开液体所受重力的关系。 猜想：_________________________________________ 实验： 实验设计： 讨论：（1）如何测出浮力？ （2）如何收集物体排开的液体并知道其受到的重力？ 实验器材：弹簧测力计、圆柱形物块、小桶、溢水杯、水 实验步骤：（1）用弹簧测力计在空气中测出圆柱形物块的重力G物； （2）用弹簧测力计在空气中测出小桶的重力G桶； （3）将圆柱形物块浸入盛满水的水杯中，记录弹簧测力计的示数F示； （4）用弹簧测力计测出盛水小桶的总重力G总； （5）计算出圆柱形物块受到水的浮力和排开水的重力，并记录在表格中。（6）换用不同的圆柱形物块，重复以上实验，并做好实验数据记录。 丙丁 阿基米德螺线和三等分角 数学家对螺线的探索最早可以追溯到古希腊时代，阿基米德就在他的著作《论螺线》中对等速螺线的性质做了详细的讨论，于是后世的数学家们也把等速螺线称为“阿基米德螺线”。（最早发现等角螺线的其实是阿基米德的老师柯农，在他死后阿基米德继承了他的工作。） 什么是阿基米德螺线呢？想象有一根可以绕着一点转动的长杆，有一只小虫沿着杆匀速向外爬去。当长杆匀速转动的时候小虫画出的轨迹就是阿基米德螺线。阿基米德螺线的方程写成极坐标形式就是ρ = aθ。 阿基米德螺线生活中随处可见。在早期的留声机中，电机带动转盘上的唱片匀速转动，沿着一条直线轨道匀速向外圈移动的唱头在唱片上留下的刻槽就是阿基米德螺线。同理，由匀速盘香机生产出来的盘状蚊香也是阿基米德螺线的形状。等螺距的螺钉从钉头方向看去也是阿基米德螺线。就连缝纫机中也有阿基米德螺线出没，一般的机械缝纫机中有一个凸轮，手轮旋转的时候用来带动缝纫针头直线运动，这个凸轮的轮廓就是把阿基米德螺线的一部分经过对称得到的。 一个很有趣的事情是，在阿基米德螺线的配合下，尺规就能完成三等分一个任意角θ。步骤如下： 1、将θ角的一边与极轴重合，顶点与原点O重合 2、延长角的另一边与阿基米德螺线交于A 3、尺规三等分OA得到三等分点B’、C’ 4、分别以OB’、OC’为半径，O为圆心画圆交螺线于B、C 5、根据ρ=aθ 容易证得OB、OC三等分θ 当然，只利用尺规是无法画出阿基米德螺线的，所以我们大可不必担心关于尺规三等分任意角不可能的证明就此被推倒。 渐开线和机械齿轮 另一种有名的螺线叫做渐开线。当一根绳沿着另一曲线绕上或脱下时，它描出一条渐伸线。许多曲线都有自己的渐开线，把一条没有弹性的细绳绕在一个定圆上，拉开绳子的一端并拉直，使绳子与圆周始终相切，绳子端点的轨迹就是圆的渐开线。 与阿基米德螺线相比，渐开线在日常生活中出场的机会似乎要少一点，但仔细寻找还是能发现它的踪迹，例如棕榈等一些植物叶尖的轮廓就是渐开线。其实它还在机械设备中发挥着重要的作用，机械设备用于传动的齿轮中，就活跃着渐开线的身影。早在1694 年，法国学者就讨论了把渐开线作为齿轮齿形的可能性。1765 年，欧拉对相啮合的一对齿轮齿形曲线的曲率半径和曲率中心位置的关系进行了计算，认为渐开线相当适合作为齿轮的齿形。与其他齿形相比，渐开线齿形具有传动平稳、两轮中心距允许有一定的安装误差等等优点。目前工业中渐开线齿轮被广泛应用，占到世界齿轮市场的90% 以上。 阿基米德原理 浮力：浸在液体(或气体)里的物体受到液体(或气体)向上托的力。 浮力的方向：与重力方向相反，竖直向上。 浮力产生的原因：浸在液体或气体里的物体受到液体或气体对物体向上的和向下的压力差。 浮力的测量：先用弹簧测力计在空气中测量出重物的重力G，再测量出其在水中时弹簧测力计的示数F，浮力的表达式F浮=G—F 浮力大小影响因素：浮力的大小与液体的密度有关，还与物体排开液体的体积有关，而与浸没在液体中的深度无关。 阿基米德原理：浸在液体中的物体受到竖直向上的浮力，浮力的大小等于该物体排开的液体所受的重力的大小。 公式：F浮=G排=ρ液gV排 物体浮沉条件： ρ物>ρ液，下沉，G物>F浮 ρ物=ρ液，悬浮，G物=F浮 ρ物<ρ液，上浮，G物《_阿基米德原理》教学设计[1]
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