数学文化之将军饮马问题
女将军饮马问题的九种变形与习题
女将军饮马问题的九种变形与习题女将军饮马问题是一道经典的数学问题，有许多不同的变形。
在本文中，我们将介绍九种常见的变形，并提供相应的题供读者练。
1. 基本问题问题描述女将军饮马问题的基本形式是：女将军骑着马从A地到B地，每次都喝完马槽里的水后，马会用4个钟头再到达下一个水源。
在A地到B地之间，有3个水源，每个水源的位置都相互独立，且离A地的距离依次递增。
女将军想知道她最短需要多长时间才能从A地骑到B地。
解答在基本问题中，女将军只需找到最短时间的方法来获得最优解。
我们可以使用迭代的方法来解决这个问题，不断更新最优解直到收敛。
2. 变形一：增加水源数量问题描述将基本问题中的3个水源增加到4个水源，求女将军从A地到B地的最短时间。
解答通过增加水源的数量，问题的复杂度增加了。
我们可以使用动态规划的方法来解决，将问题转化为一个多维数组的最优化搜索。
3. 变形二：不同时间到达水源问题描述将基本问题中的每个水源到达时间从4个钟头改变为不同的时间，求女将军从A地到B地的最短时间。
解答当每个水源到达时间不同的时候，我们需要考虑如何安排女将军的出发时间，以获得最短时间。
这个问题可以通过动态规划和贪心算法来解决。
4. 变形三：不同马的速度问题描述将基本问题中的马的速度从相同改为不同，求女将军从A地到B地的最短时间。
解答当马的速度不同的时候，问题变得更加复杂。
我们可以使用动态规划和二分查找等方法来解决这个问题。
5. 变形四：增加马的数量问题描述将基本问题中的女将军从一匹马增加到两匹马，求女将军从A 地到B地的最短时间。
解答通过增加马的数量，女将军可以选择不同的骑行策略来获得最短时间。
我们可以使用贪心算法和动态规划来解决这个问题。
6. 变形五：考虑马的疲劳问题问题描述将基本问题中的马的疲劳问题考虑进去，求女将军从A地到B 地的最短时间。
解答当马的疲劳问题考虑在内时，女将军需要合理安排马的休息时间，以获得最短时间。
我们可以使用动态规划和回溯算法等方法来解决这个问题。
初中数学58种模型之12、“将军饮马”三种模型详解
当两淀点A 、R 在克罐/何侧时，在亞线』上携一点几便|阳一户创最大°将军饮马”三种模型"将军饮马"问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
晋两定点A.U 在点线F 异創时-在肖践f 上找一点Pt 使PA+PB 锻小*述接也交h 纱/于点P.点卩閒为所求作的点.肖两远点上B 在直雜I 同测时,在直刻上拥一点P,使PA+PB 最小'作庖U 芸于宜线F 的对称点V ■连楼AB'交直线于点P.点P 即为用求作的点"―二I \PA-P^\荊卩址大值洵丽。
连接班并延长交直戦』十点几点卩即为所求作的点。
当两定点仏k 在直找门司侧时，在直线』上找一点人使PA-PB\^扎作点B 关于直统』的对称点B'h 谨接恋’井延快交宜鏡于点巴点F 即为所求作的点。
皓论PAPI1的颯小°PA-PB 的盘小值为AB'□冋-卿的最大值为上的动点，则户创的圮大值是多少？A ■B ■\A\PA-PB\的 1当两定点限廿在宜线/同删时，在直线丿上找--点片使f4-砂|最小“ 叫连接馭作■-朋的垂直平分钱交直线f 于点P ，点卩即沟所求作的点-最小值为叽模型实例例1一如图"止厅形的面积是1氛是等边三博形，点E 在止方刑ABCI ）内“在对角纯蚯上有一点卩*则PD+FE 的艮小值为°^12.如圜已S11AABC 为辱展宜角匸角形…怔-氏=4”ZBCD 15".P 拘匚D热搜掃练I.如虱^AABC 中「ZACB-fJO 3，乃是就边的中点，II 是屈边b -动直+则LCIED 的最小悄是°])2・如图.点C的坐标为（3,y）,当△ABC的周长最短时，求丿的值。
3.如图.正方形ABCD中,AB-7,M是DCI：的一点，且DM-3,N是AC上的一动点.求|DN-MN|的嚴小值与战大值.△PCD 周氏最小为点P 在ZAOB 的内部，在0B 上找点D,在0A 上找点C,使得△PCD 周长最小。
将军饮马(最完整讲义)
第1讲将军饮马模型➢知识点睛一、“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题, 会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合, 在近年的中考和竞赛中经常出现, 而且大多以压轴题的形式出现。
二、定直线与两定点模型作法结论当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.二、角到定点模型作法结论点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得周长最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得四边形周长最小.点在的外部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点在的内部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点分别在的边是, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.三、两定点一定长模型作法结论如图在直线上找上两点（在左）, 使最小,且.如图, , 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 且最小.如图, , ,之间的距离为, 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 在上分别找两点, 使且最小.如图, 在⊙上找一点, 在直线找一点,使得最小.➢精讲精练例1: 如图, 点P是∠AOB内任意一点, ∠AOB=30°, OP=8, 点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值.例2: 如图, 正方形ABCD 的边长是4, M 在DC 上, 且DM=1, N 是AC 边上的一动点, 则△DMN 周长的最小值.A ．例3: 如图, 在Rt △ABO 中, ∠OBA=90°, A （4,4）, 点C 在边AB 上, 且AC:CB=1:3, 点D 为OB 的中点, 点P 为边OA 上的动点, 当点P 在OA 上移动时, 使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为 B. ,C ．,D ．第3题图 第4题图 第5题图例4: 如图, 在△ABC 中, AC=BC, ∠ACB=90°, 点D 在BC 上, BD=3, DC=1, 点P 是AB 上的动点, 则PC+PD 的最小值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7例5：如图, 在等边△ABC 中, AB=6, N 为AB 上一点且BN=2AN, BC 的高线AD 交BC 于点D, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值是___________．A BCDMN例6: 如图, 在Rt △ABD 中, AB=6, ∠BAD=30°, ∠D=90°, N 为AB 上一点且BN=2AN, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值.例7: 如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, AC=6. AB=12, AD 平分∠CAB, 点F 是AC 的中点, 点E 是AD 上的动点, 则CE+EF 的最小值为 A. 3 B. 4 C.D.第7题图 第8题图 第9题图A ．例8: 如图, 在锐角三角形ABC 中, BC=4, ∠ABC=60°, BD 平分∠ABC, 交AC 于点D, M 、N 分别是BD, BC 上的动点, 则CM+MN 的最小值是B. 2C.D. 4例9: 如图, 在菱形ABCD 中, AC=, BD=6, E 是BC 的中点, P 、M 分别是AC.AB 上的动点, 连接PE 、PM, 则PE+PM 的最小值是A. 6B.C.D. 4.5E AFCDBNM DCBAEPDCBAMA ．例10: 如图, 矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5）, D 是OB 的中点, E 是OC 上的一点, 当△ADE 的周长最小时, 点E 的坐标是B. C. D.第10题图 第11题图 第12题图例11: 如图, 在矩形ABCD 中, AB=6, AD=3, 动点P 满足, 则点P 到A.B 两点距离之和PA+PB 的最小值为A. B. C. D.例12: 如图, 矩形ABCD 中, AB=10, BC=5, 点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上, 且AE=CG, BF=DH, 则四边形EFGH 周长的最小值为A. B. C. D.例13: 如图, ∠AOB=60°, 点P 是∠AOB 内的定点且OP=, 若点M 、N 分别是射线OA.OB 上异于点O 的动点, 则△PMN 周长的最小值是A. B. C. 6 D. 3第13题图 第14题图CBH FGEDCB AABMOPN例14: 如图, ∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合, 点P 是OA 上的一动点, 点N （3,0）是OB 上的一定点, 点M 是ON 的中点, ∠AOB=30°, 要使PM+PN 最小, 则点P 的坐标为 .例15：如图, 已知正比例函数y=kx （k>0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°, 定点A 的坐标为（0, 4）, P 为y 轴上的一个动点, M 、N 为函数y=kx （k>0）的图像上的两个动点, 则AM+MP+PN 的最小值为___________．第15题图例16: 如图, 在平面直角坐标系中, 矩形ABCD 的顶点B 在原点, 点A.C 在坐标轴上, 点D 的坐标为（6, 4）, E 为CD 的中点, 点P 、Q 为BC 边上两个动点, 且PQ=2, 要使四边形APQE 的周长最小, 则点P 的坐示应为______________.例17：如图, 矩形ABCD 中, AD=2, AB=4, AC 为对角线, E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点, 且EF ⊥AC 于点M,连接AF 、CE, 求AF+CE 的最小值．x例18: 如图, 正方形ABCD的面积是12, △ABE是等边三角形, 点E在正方形ABCD内, 在对角线AC上有一点P, 求PD+PE的最小值。
数学将军饮马基础练习题
数学将军饮马基础练习题1. 题目一：将军饮马问题基础某将军从A点出发，要到B点饮马，途中需要经过一条河流。
已知A点到河流最近点C的距离为3公里，河流宽为1公里，B点到河流最近点D的距离为4公里。
求将军从A点到B点的最短路径长度。
2. 题目二：将军饮马问题进阶将军从A点出发，要到B点饮马，途中需要经过两条河流。
已知A点到第一条河流最近点C的距离为5公里，第一条河流宽为2公里，第二条河流宽为1.5公里，B点到第二条河流最近点D的距离为6公里。
求将军从A点到B点的最短路径长度。
3. 题目三：将军饮马问题综合将军从A点出发，要到B点饮马，途中需要经过三条河流。
已知A点到第一条河流最近点C的距离为4公里，第一条河流宽为1公里，第二条河流宽为1.2公里，第三条河流宽为0.8公里，B点到第三条河流最近点D的距离为3公里。
求将军从A点到B点的最短路径长度。
4. 题目四：将军饮马问题变体将军从A点出发，要到B点饮马，途中需要经过一条河流和一座山。
已知A点到河流最近点C的距离为6公里，河流宽为1.5公里，山高为2公里，B点到山最近点D的距离为5公里。
求将军从A点到B点的最短路径长度。
5. 题目五：将军饮马问题应用将军从A点出发，要到B点饮马，途中需要经过一条河流和一个山谷。
已知A点到河流最近点C的距离为7公里，河流宽为2公里，山谷深为1.8公里，B点到山谷最近点D的距离为4公里。
求将军从A点到B点的最短路径长度。
6. 题目六：将军饮马问题优化将军从A点出发，要到B点饮马，途中需要经过两条河流和一个湖泊。
已知A点到第一条河流最近点C的距离为8公里，第一条河流宽为2.5公里，第二条河流宽为1公里，湖泊周长为10公里，B点到湖泊最近点D的距离为6公里。
求将军从A点到B点的最短路径长度。
7. 题目七：将军饮马问题复杂地形将军从A点出发，要到B点饮马，途中需要经过三条河流、两座山和一个峡谷。
已知A点到第一条河流最近点C的距离为9公里，第一条河流宽为3公里，第二条河流宽为1.5公里，第三条河流宽为2公里，第一座山高为2.2公里，第二座山高为1.8公里，峡谷深为1.6公里，B点到峡谷最近点D的距离为7公里。
数学中将军饮马问题
嘿，朋友们，你们有没有想过，数学里居然有个问题叫做“将军饮马”？听起来是不是像古代战场上，一位威风凛凛的将军，在硝烟弥漫中还不忘优雅地找个小溪喝口水？哈哈，那你们可就大错特错啦！这“将军饮马”啊，其实跟马儿喝水没半毛钱关系，它可是数学界里一个既烧脑又好玩的几何问题。
想象一下，你是一位古代的将军，骑着你的战马，在广袤无垠的草原上巡逻。
突然，你发现前方不远处有一条清澈的小溪，你心想：“哎呀，这马儿跑了一路了，也该让它喝点水解解渴了。
”但是，你可不是个随便找个地儿就下马饮水的人，你得找个最短的路径到小溪边，再回到你的巡逻路线上，毕竟时间就是生命，效率就是战斗力嘛！
这时候，数学里的“将军饮马”问题就登场了。
它其实是在考我们怎么在平面上找到一条最短的路径，使得将军从起点出发，经过小溪边，再回到起点或者某个指定的终点。
这可不是简单的直线行走哦，因为中间得拐个弯去喝水嘛！
为了解决这个问题，数学家们可是费了不少心思。
他们发现，这个问题其实跟平面几何里的“对称”和“反射”有关。
简单来说，就是你得想象一下，把你的战马和将军都“复制”一份，然后让这份“复制体”沿着小溪做个“镜像反射”。
接着，你连接起点和“复制体”的某个点，这条线跟小溪的交点，就是你要找的最佳饮水点啦！
听起来是不是有点像变魔术？其实啊，这就是数学的魅力所
在。
它能把看似复杂的问题，通过巧妙的转换和推理，变得简单明了。
就像这个“将军饮马”问题，虽然一开始让人摸不着头脑，但一旦你理解了其中的奥秘，就会觉得：“哦，原来是这样啊，数学还真是有趣呢！”
所以，下次当你再听到“将军饮马”这个问题时，可别真的以为将军在喝水哦！它可是数学界里一个充满智慧和趣味的小挑战呢！。
初二数学将军饮马相关题目及解答
初二数学将军饮马相关题目及解答1. 概述数学是一门让人们大开脑洞的学科，而初二数学中的将军饮马问题就是一个让人们纠结的数学难题。
在这篇文章中，我们将深入探讨初二数学中的将军饮马相关题目，并提供解答和个人见解。
2. 将军饮马问题概述将军饮马问题是一道古代数学难题，描述了将军要带着马队过河的情境。
题目会给出一条河、若干个将军和马队，以及一定的过河规则，要求通过这些信息求解出最短的时间或者最少的过河步骤。
3. 将军饮马相关题目在初二数学中，将军饮马问题常常会涉及到以下几种类型的题目：（1）河岸有多个将军和马队，且只有一条船可供过河。
（2）河岸有多个将军和马队，且只有一艘船可供过河，但船的可承载量有限。
（3）河岸有多个将军和马队，但有多艘船可供过河。
4. 将军饮马问题的解答（1）对于第一种类型的题目，可以采用贪心算法来解决。
即每次都选择最优的将军和马队组合过河，直到所有的人和马都过河为止。
（2）对于第二种类型的题目，可以尝试使用递归或者动态规划的方法，找到最优的过河方案。
（3）对于第三种类型的题目，可以采用图论中的最短路径算法来解决，找到河的两岸之间最短的过河路径。
5. 关于将军饮马的个人见解将军饮马问题是一道很有趣的数学难题，它不仅考验着我们的数学思维和逻辑推理能力，还能锻炼我们的动手能力和解决问题的能力。
通过解决将军饮马问题，我们可以培养自己的耐心和毅力，同时也能提高我们的数学水平。
6. 总结与回顾将军饮马问题是初二数学中的一道重要难题，它涉及到贪心算法、递归、动态规划和最短路径算法等数学知识。
通过解答这一系列的问题，我们可以更加全面、深刻和灵活地理解数学知识。
解决将军饮马问题也能够锻炼我们的数学思维和解决问题的能力。
在这篇文章中，我们深入探讨了初二数学中的将军饮马相关题目，并提供了解答和个人见解。
通过对这一系列问题的研究，希望能够帮助人们更好地理解数学知识，并不断提高自己的数学水平。
将军饮马问题是一个古老而有趣的数学难题，它涉及到数学知识、逻辑推理、动手能力和问题解决能力。
将军饮马二次函数问题
将军饮马二次函数问题将军饮马是一道经典的二次函数问题，它涉及到求解一个关于时间和距离的函数关系。
这个问题在中国数学史上有着重要的地位，不仅因为它是求解一元二次方程的基础问题，还因为它体现了中国古代数学家高超的几何创造力和智慧。
将军饮马的问题可以概括为：一位将军从一座城市出发，骑着马奔向另一座城市。
在途中，将军发现一个河流横亘在他的路径上，他必须走一个弯曲的道路来绕过河流。
在整个过程中，将军骑马的速度是恒定的。
问题要求我们用数学方法来求解将军饮马的最短时间。
为了更好地理解问题，我们可以把这个问题绘制成图形。
假设河流是一条笔直的线段，将军出发点到河流的距离为a，河流的宽度为b，将军需要绕过河流走一段曲线，曲线的起点和终点都是河流的两端。
设曲线的长度为L，曲线与河流垂直相交。
将军的速度为v，问题要求我们求解将军饮马的最短时间。
为了解决这个问题，我们可以先考虑将军直接穿过河流的情况。
如果将军选择穿过河流，他需要经过一段距离为b的直行道路。
由于将军的速度是恒定的，所以他穿过河流的时间为t1=b/v。
接下来，我们可以考虑将军绕过河流走曲线的情况。
由于曲线是垂直相交于河流的，所以曲线与每个平行于河流的切线都有一个交点。
假设将军从某个切点出发，经过曲线走到另一个切点，然后再重新回到河流的对岸。
将军沿曲线行进的时间与他直行到达对岸的时间是相等的，因为他的速度是恒定的。
现在，我们需要找到一个与直行距离b相对应的最小曲线长度L。
假设将军在上游走曲线，然后沿着河流下游走直线到达对岸。
我们可以计算出将军顺时针绕过河流的距离，设为L1，将军逆时针绕过河流的距离，设为L2。
由于将军的速度是恒定的，所以他绕过河流的时间为t2=(L1+L2)/v。
接下来的问题是，如何确定使得t2最小的曲线长度L。
我们可以使用勾股定理来解决这个问题。
根据勾股定理，河流的宽度b和曲线长度L之间存在如下关系：L^2 = b^2 + a^2。
将这个关系带入到t2的公式中，我们可以得到t2 = (2L/v)v^2 / (v^2 + g)。
将军饮马18道典型习题
将军饮马18道典型习题将军饮马"是一个古希腊数学问题，源于2000多年前。
当时，一位将军向城里的著名数学家海伦请教：他每天早上都要骑马到河边让马喝水，然后到河岸同一侧的一块草地上让马吃草。
将军想知道，在河岸的哪个具体位置让马喝水，可以让他和马儿走的路程最短。
经过思考，海伦给出了答案，这就是"将军饮马"问题。
以下是"将军饮马"问题的五种常见模型：1.一动两定（和最小）模型：假设点A是将军和马儿居住的营帐，点B是指定的草地，小河L在两点之间流过。
问题是，将军和马儿在哪个具体位置喝水，可以让他们走的路程最短？解决方法是，做A点关于L的对称点A'，连接A'B，与L的交点即为P点。
这时，PA+PB最小。
为什么呢？因为在L 上任意取一点M（不与P重合），根据几何原理，PA+PB=A'P+PB=A'B，AM+MB>A'B，所以动点P在A'B与L 交点处时，PA+PB最小。
2.一定两动模型：假设点A和小河L1与第一种模型一样，但是这次，草地不是指定的点，而是由L2代表的一片草地。
问题是，在哪个具体位置喝水和吃草，可以让将军和马儿走的路程最短？解决方法是，做A点关于L1的对称点A'，做A点关于L2的对称点A''，连接A'A''，与L1和L2的交点即为P、Q。
这时，AP+PQ+QA的和最小。
为什么呢？因为在L1上取点M（不与P重合），在L2上取点N（不与Q重合），根据几何原理，AP+PQ+AQ=A'P+PQ+A''Q=A'A''，AM+MN+AN>A'A''，所以动点P和Q在A'A''与L1、L2的交点处时，AP+PQ+QA的和最小。
3.两动一定模型：假设点A和小河L1与第一种模型一样，但是这次，将军要骑马到L2代表的一片草地吃草，然后再回到营帐。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
将军饮马问题
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?
从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传.
“将军饮马”问题实际是平面几何里的线段问题，平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有：①线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系；
②垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短.
【模型1】一定直线、异侧两定点
直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小.
【模型2】一定直线、同侧两定点
直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小.
【模型3】一定直线、一定点一动点
已知直线l和定点A，在直线k上找一点B（点A、B在直线l同侧），在直线l上找点P，使得AP+PB最小.
【模型4】一定点、两定直线
点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小.
【模型5】两定点、两定直线
点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B，使四边形PAQB的周长最小.。