多目标最优化模型
多目标最优化数学模型
第六章 最优化数学模型§1 最优化问题1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值 2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划§4 最优化问题数值算法 4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法§5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法 5．5 投资收益风险问题第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。
而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。
它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。
最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。
最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。
（2）变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。
一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。
设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X 表示。
（3）约束条件在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。
例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。
在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。
第六章 多目标最优化方法
影响，有影响为2，无影响为1。 v 13.外来物资的装卸次数：U13(x) v 方案xi运输外来物资至坝址的装和卸总次
数。
v 以上各指标及方案的值详见表3（运输系统决 策分析技术经济指标表）
v 6.4.4 决策意见
v
U9(x)=U1(x)/Q(x) 效益投资比
v 式中Q(x)为交通运输方案xi担负的总货运量(吨)
v 10．运输系统职工总人数：U10(x) (人) v 方案xi完成运输系统运行管理的职工总人数
（反映管理的难易、繁简）。
v 11.运输工具能源消耗费用：U11(x)(万元)
v 方案xi完成商品材料、砂石料和客运、总 运量消耗的能源费用。
员） v 2. 目标函数 v (1) 总的投资最省； v (2) 工期最短； v (3) 生产均衡，不均系数小，施工高峰强度小； v (4) 工程质量优，良率最高； v (5) 能源及原材料消耗最少；
v (6) 劳力及机械设备用量最少。 v 显然目标间存在矛盾，彼长此短，无一
方案全面最优，只能整体最优。 v 6.1.3 多目标决策的一般数学表达式 v 设有m个约束条件，k个目标函数，
表3 运输系统决策分析技术经济指标表
v 表42 火车轮渡直达两岸(杨家湾设码头) v 加权多指标决策对比优序数矩阵的计算
序数法，排出如表44，从该表44中的aij'排出 加权多目标优序数决策矩阵如表45中Ki'的大 小为序，其决策顺序应为
v
x3 → x4 → x2 → x1
v 铁路 公路 水运 火车轮渡
v 建议对三峡工程施工对外交通运输方案
做决策时，应采用铁路为主，水运与公路为 辅的方案，就铁路工程本身，应采用铁二院 推荐的姜家庙电力机车牵引方案见表46 。
多目标最优化模型
多目标最优化模型多目标最优化是一种将多个目标函数优化问题组合在一起的方法，旨在找到一个让所有目标函数达到最优的解。
这种方法广泛应用于工程、经济学和决策科学等领域，因为在现实世界中，很少有问题只涉及一个目标。
通过解决多目标最优化问题，我们可以在平衡各种需求和限制条件的基础上做出更好的决策。
在多目标最优化问题中，我们需要同时考虑多个冲突的目标函数。
这些目标函数可以是相互独立的，也可以存在相互依赖关系。
例如，对于一个制造公司来说，我们可能希望同时最小化生产成本和最大化产量，这两个目标是相互矛盾的。
当我们试图减少成本时，产量可能会受到影响，而当我们试图提高产量时，成本可能会增加。
在解决多目标最优化问题时，我们需要定义一个衡量目标函数的目标向量。
这个向量通常包含所有目标函数的值，通过改变决策变量的值，我们可以在目标向量中找到不同的点。
我们的目标是找到一个解，使得目标向量达到最优，即找到一个无法通过改变决策变量的值而得到更好结果的点。
多目标最优化问题的解可以有多个，这些解通过一种称为帕累托前沿的概念呈现。
帕累托前沿是指在不改变任何目标函数值的前提下，无法找到另一个解使得一些目标函数值变得更好的解。
换句话说，帕累托前沿是指在一个多目标最优化问题中，无法一次达到所有目标函数的最优值，因为它们往往是相互冲突的。
解决多目标最优化问题的方法有很多，包括传统的数学编程方法和启发式算法。
在数学编程方法中，我们可以使用多目标规划模型来定义和求解问题。
这种方法的优点是准确性和可解释性高，但在面对大规模和复杂问题时效率较低。
另一种方法是使用启发式算法，如遗传算法、模拟退火算法和粒子群优化算法等。
这些算法通过模拟生物进化和物理过程，逐步解空间并逐渐改进解的质量。
启发式算法的优点是能够在较短的时间内找到满足要求的解，但无法保证最优解。
除了解决问题的方法外，还有一些问题需要考虑。
首先，我们需要定义目标函数，这是一个非常关键和困难的任务。
多目标优化数学模型
多目标优化数学模型是指在优化问题中存在多个目标函数的情况下，通过数学建模来求解最优解。
多目标优化问题可以形式化为如下形式：
$$
\begin{align*}
\text{minimize} \quad f_1(x) \\
\text{subject to} \quad f_2(x) \leq 0 \\
\quad f_3(x) \leq 0 \\
\quad \vdots \\
\quad f_m(x) \leq 0 \\
\end{align*}
$$
其中，$x$是决策变量，$f_1(x), f_2(x), \ldots, f_m(x)$是目标函数，$m$是目标函数的个数。
在多目标优化中，通常存在多个不同的最优解，这些最优解构成了一个被称为Pareto前沿（Pareto front）的集合。
Pareto前沿是指在所有满足约束条件的解中，无法通过改变一个目标函数的值而使其他目标函数的值变得更好的解。
求解多目标优化问题的常用方法包括遗传算法、粒子群算法、模拟退
火算法等。
这些算法通过在解空间中搜索，逐步逼近Pareto前沿，从而得到一组近似最优解。
多目标优化数学模型的应用非常广泛，例如在工程设计中，可以通过多目标优化来平衡不同的设计目标，如成本、性能、可靠性等；在金融投资中，可以通过多目标优化来平衡风险和收益等。
多目标优化方法及实例解析
图1 多目标规划的劣解与非劣解
而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们就被称为多目标规划问题的非劣解或有效解， 其余方案都称为劣解。 所有非劣解构成的集合称为非劣解集。
当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。
每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决 ？
3
每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？
多目标规划的非劣解
在图1中，max(f1, f2) .就方案①和②来说，①的 f2 目标值比②大，但其目标值 f1 比②小，因此无法确定这两个方案的优与劣。 在各个方案之间，显然：④比①好，⑤比④好, ⑥比②好, ⑦比③好……。
120
70
单件利润
3000
10
3
设备台时
2000
5
4
煤炭
3600
4
9
钢材
资源限制
乙
甲
单位 产品 资源 消耗
解:设生产甲产品: x1 ，乙产品: x2 ,
(1)
若在例3中提出下列要求： 1、完成或超额完成利润指标 50000元； 2、产品甲不超过 200件，产品乙不低于 250件； 3、现有钢材 3600吨必须用完。 试建立目标规划模型。
求解多目标规划的方法大体上有以下几种： 一种是化多为少的方法 ， 即把多目标化为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等； 另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。 对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。
多目标优化模型
多目标优化模型多目标优化模型是指在优化问题中存在多个目标函数的情况下，同时优化这些目标函数的模型。
多目标优化模型的出现是为了解决现实问题中存在的多因素、多目标的情况，通过将多个目标函数综合考虑，寻求最优的方案。
多目标优化模型的基本特点是：1. 多目标函数：多目标优化模型中存在多个目标函数，每个目标函数反映了不同的优化目标。
2. 目标函数之间的相互制约：目标函数之间往往存在相互制约的关系，即对某一个目标函数的优化可能会对其他目标函数产生不利影响。
3. 非单一最优解：多目标优化模型往往存在多个最优解，而不是唯一的最优解。
这是因为不同的最优解往往对应了不同的权衡方案，选择最终解需要根据决策者的偏好进行。
解决多目标优化模型的常用方法有：1. 加权法：将多个目标函数进行线性加权求和的方式，转化为单一目标函数的优化问题。
通过调整目标函数的权重系数，可以实现对不同目标函数的调节。
2. 约束优化法：将多目标优化问题转化为带有约束条件的优化问题。
通过引入约束条件来限制不同目标函数之间的关系，使得在满足约束条件的情况下，尽可能地优化各个目标函数。
3. Pareto最优解法：Pareto最优解是指在多目标优化问题中，不存在能够同时优化所有目标函数的方案。
Pareto最优解的特点是，在不牺牲任何一个目标函数的前提下，无法再进一步优化其他目标函数。
通过构建Pareto最优解集合，可以提供决策者在权衡不同目标函数时的参考。
多目标优化模型在现实生活中有着广泛的应用，比如在工程设计中，不仅需要考虑成本和效率，还需要考虑安全性和可持续性等因素。
通过引入多目标优化模型，可以使得决策者能够综合考虑多个因素，选择出最优的方案。
同时，多目标优化模型还能在制定政策和规划城市发展等方面提供决策支持。
多目标优化问题
多目标优化问题5.1多目标优化的基本概念大多数工程设计问题都具有多个目标，设计工作需要同时极大化（或极小化）这些目标，并且满足约束条件。
一般情况下，这些和被设计系统的性能相关的目标是内在冲突的。
这种多于一个的数值目标在给定区域上的最优化问题称为多目标优化（Multi-Objective Optimization,MO）问题。
解MO 问题通常的做法是根据某效用函数将多目标合成单一目标来进行优化。
但大多数情况下，在优化前这种效用函数是难以确知的。
另一方面单目标优化问题中的任意两个解都是可以比较其好坏的，因此说问题有一个最优解（如果存在最优解）是毫无争议的；而多目标优化问题中各目标之间通过决策变量相互制约，对其中一个目标优化必须以其它目标劣化作为代价，也就是说，要同时使这多个子目标都一起达到最优值是不可能的，而只能是在它们中间进行协调合折衷处理，使各个子目标函数都尽可能地达到最优。
而且各目标的单位又往往不一致，因此很难客观地评价多目标问题解的优劣性。
与单目标优化问题的本质区别在于，多目标优化问题的解不是唯一的，而是存在一个最优解集合，这是多目标优化问题与单目标优化问题最大的区别。
因此在多目标优化问题中往往有一些无法简单进行相互比较的解。
这种解称作非支配解或Pareto 最优解，5.1.1多目标优化问题的数学模型在工程实际中许多实际问题往往期望几项指标同时达到最优值，如在机型工程中，可能希望机器（或零部件）的强度、刚度、经济性、工艺性、使用性及动力性能都有最优。
一般的多目标优化问题，就是在可行设计空间中寻找一组设计变量以同时优化几个不同的设计目标。
多目标优化问题一般可描述为下面的数学模型：T p x f x f x f x f V )](,),(),([)(min21"=−（读作x 属于集合X 。
满足约束条件的解x 称为可行解） X x t s ∈.. （读作X 是m R X ⊆m R 的子集。
最优化多目标规划动态规划
最优化多目标规划动态规划多目标规划是指在决策问题中同时考虑多个目标的优化问题，其目标可能相互矛盾或者相互关联。
动态规划是一种通过将问题划分为子问题并利用子问题的最优解来求解整体最优解的方法。
将多目标规划与动态规划结合起来，可以解决一些具有多个相互关联目标的决策问题。
下面将介绍最优化多目标规划动态规划的原理和应用举例。
1.定义决策变量：确定需要作出的决策，并定义决策变量。
2.建立状态转移方程：将问题划分为多个子问题，并建立它们之间的状态转移方程。
状态转移方程描述了子问题之间的关系，通过子问题之间的转移可以得到整体问题的最优解。
3.确定初始状态和边界条件：确定初始状态和边界条件，即子问题的初始状态和边界条件，用于递归地求解子问题。
4.递推求解：使用动态规划的递推求解方法，从初始状态开始，逐步求解子问题，直到求解出整体的最优解。
5.分析最优解：根据求解结果分析得到的最优解，并根据需要进行调整和优化。
假设有一家公司要进行产品的生产安排，公司有多个产品需要安排生产，每个产品有不同的生产时间和利润，同时公司还要考虑生产能力的限制和产品订单的要求。
问题可以建立如下的数学模型：决策变量：对于每个产品，决定其生产数量。
目标函数：最大化总利润。
约束条件：生产时间不能超过生产能力限制，同时生产数量要满足订单要求。
利用动态规划方法可以将问题分解为多个子问题，以子问题的最优解作为动态规划的递推依据。
具体步骤如下：1.将产品的生产时间和利润作为状态，根据时间顺序划分为多个子问题。
2.定义状态转移方程，将子问题的最优解与前面子问题的最优解关联起来。
3.初始状态为生产时间为0的情况，边界条件为订单要求。
4.递推求解，根据状态转移方程求解每个子问题的最优解。
5.分析最优解，确定每个产品的生产数量，以及总利润。
通过最优化多目标规划动态规划的方法，可以在满足多个目标和约束条件的情况下，求解出最优的决策方案。
这种方法可以应用于生产调度、资源分配、物流配送等领域，帮助企业做出合理的决策，达到优化目标。
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第六章 最优化数学模型§1 最优化问题1．1 最优化问题概念1．2 最优化问题分类1．3 最优化问题数学模型§2 经典最优化方法2．1 无约束条件极值2．2 等式约束条件极值2．3 不等式约束条件极值§3 线性规划3．1 线性规划3．2 整数规划§4 最优化问题数值算法4．1 直接搜索法4．2 梯度法4．3 罚函数法§5 多目标优化问题5．1 多目标优化问题5．2 单目标化解法5．3 多重优化解法5．4 目标关联函数解法5．5 投资收益风险问题第六章 最优化问题数学模型§1 最优化问题1．1 最优化问题概念（1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。
而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。
它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。
最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。
最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。
（2）变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。
一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。
设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X 表示。
（3）约束条件在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。
例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。
在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。
用数学语言描述约束条件一般来说有两种：等式约束条件 m i X g i ,,2,1,0)( == 不等式约束条件 r i X h i ,,2,1,0)( =≥ 或 r i X h i ,,2,1,0)( =≤注：在最优化问题研究中，由于解的存在性十分复杂，一般来说，我们不考虑不等式约束条件0)(>X h 或0)(<X h 。
这两种约束条件最优化问题最优解的存在性较复杂。
（4）目标函数在最优化问题中，与变量有关的待求其极值（或最大值最小值）的函数称为目标函数。
目标函数常用),,,()(21n x x x f X f =表示。
当目标函数为某问题的效益函数时，问题即为求极大值；当目标函数为某问题的费用函数时，问题即为求极小值等等。
求极大值和极小值问题实际上没有原则上的区别，因为求)(X f 的极小值，也就是要求)(X f -的极大值，两者的最优值在同一点取到。
1．2 最优化问题分类最优化问题种类繁多，因而分类的方法也有许多。
可以按变量的性质分类，按有无约束条件分类，按目标函数的个数分类等等。
一般来说，变量可以分为确定性变量，随机变量和系统变量等等，相对应的最优化问题分别称为：普通最优化问题，统计最优化问题和系统最优化问题。
按有无约束条件分类：无约束最优化问题，有约束最优化问题。
按目标函数的个数分类：单目标最优化问题，多目标最优化问题。
按约束条件和目标函数是否是线性函数分类：线性最优化问题（线性规划），非线性最优化问题（非线性规划）。
按约束条件和目标函数是否是时间的函数分类：静态最优化问题和动态最优化问题（动态规划）。
按最优化问题求解方法分类：①解析法（间接法）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧-⎩⎨⎧图克定理库恩极大值原理有约束古典变分法古典微分法无约束②数值算法（直接法）⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧随机搜索法单纯形法方向加速法步长加速法坐标轮换法多维搜索法插值法黄金分割法斐波那西法一维搜索法 ③数值算法（梯度法）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧复形法法法化有约束为无约束梯度投影法可行方向法有约束梯度法变尺度法共轭梯度法拟牛顿法最速下降法无约束梯度法SWIFT SUMT ④多目标优化方法⎪⎩⎪⎨⎧目标关联函数法多重目标化方法单目标化方法⑤网络优化方法1．3 最优化问题的求解步骤和数学模型（1）最优化问题的求解步骤最优化问题的求解涉及到应用数学，计算机科学以及各专业领域等等，是一个十分复杂的问题，然而它却是需要我们重点关心的问题之一。
怎样研究分析求解这类问题呢？其中最关键的是建立数学模型和求解数学模型。
一般来说，应用最优化方法解决实际问题可分为四个步骤进行：步骤1：建立模型提出最优化问题，变量是什么？约束条件有那些？目标函数是什么？建立最优化问题数学模型：确定变量，建立目标函数，列出约束条件——建立模型。
步骤2：确定求解方法分析模型，根据数学模型的性质，选择优化求解方法——确定求解方法。
步骤3：计算机求解编程序（或使用数学计算软件），应用计算机求最优解——计算机求解。
步骤4：结果分析对算法的可行性、收敛性、通用性、时效性、稳定性、灵敏性和误差等等作出评价——结果分析。
（2）最优化问题数学模型最优化问题的求解与其数学模型的类型密切相关，因而我们有必要对最优化问题的数学模型有所掌握。
一般来说，最优化问题的常见数学模型有以下几种： ①无约束最优化问题数学模型由某实际问题设立变量，建立一个目标函数且无约束条件，这样的求函数极值或最大值最小值问题，我们称为无约束最优化问题。
其数学模型为： ),,,(min 21n x x x f ——目标函数例如：求一元函数)(x f y =和二元函数),(y x f z =的极值。
又例如：求函数323121232221321242643),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=的极值和取得极值的点。
②有约束最优化问题数学模型由某实际问题设立变量，建立一个目标函数和若干个约束条件（等式或不等式），这样的求函数极值或最大值最小值问题，我们称为有约束最优化问题。
其数学模型为：),,,(min 21n x x x f ——目标函数m i x x x g n i ,,2,10),,,(21 == ——约束条件有约束最优化问题的例子：求函数n x x x x x x f 31321),,(=在约束条件条件 n i x x x x i n ,,2,1,0,200831 =≥=+++下的最大值和取得最大值的点。
③线性规划问题数学模型由某实际问题设立变量，建立一个目标函数和若干个约束条件，目标函数 和约束条件都是变量的线性函数，而且变量是非负的，这样的求函数最大值最小值问题，我们称为线性最优化问题，简称为线性规划问题。
其标准数学模型为： n n n x c x c x c x x x f +++= 221121),,,(m in ——目标函数 0,,2,12211≥==+++i in im i i x m i b x a x a x a ——约束条件矩阵形式： X C X f T =)(m in ——目标函数 0≥=X B AX ——约束条件 其中 T n x x x X ),,,(21 =，T n c c c C ),,,(21 =，T m b b b B ),,,(21 =在线性规划问题中，关于约束条件我们必须注意以下几个问题。
注1：非负约束条件),,2,1(0n i x i =≥，一般来说这是实际问题要求的需要。
如果约束条件为i i d x ≥，我们作变量替换0≥-=i i i d x z ；如果约束条件为i i d x ≤，我们作变量替换0≥-=i i i x d z 。
注2：在线性规划的标准数学模型中，约束条件为等式。
如果约束条件不是等式，我们引入松驰变量，化不等式约束条件为等式约束条件。
情况1：若约束条件为i n im i i b x a x a x a ≥+++ 2211，引入松驰变量原约束条件变为 i i n im i i b z x a x a x a =-+++ 2211。
情况2：若约束条件为i n im i i b x a x a x a ≤+++ 2211，引入松驰变量原约束条件变为 i i n im i i b z x a x a x a =++++ 2211在其它最优化问题中，我们也常常采取上述方法化不等式约束条件为等式约束条件。
实际问题中，我们经常遇到两类特殊的线性规划问题。
一类是：所求变量要求是非负整数，称为整数规划问题；另一类是所求变量要求只取0或1，称为0-1规划问题。
例如：整数规划问题⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥且为整数0,028*******.3..21212x x x x x t s 。
又例如：0-1规划问题 321523m ax x x x z +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≤+≤+≤++≤-+10,,6434422..3213221321321或x x x x x x x x x x x x x t s 。
④非线性规划问题数学模型由某实际问题设立变量，建立一个目标函数和若干个约束条件，如果目标函数或约束条件表达式中有变量的非线性函数，那么，这样的求函数最大值最小值问题，我们称为非线性规划最优化问题，简称为非线性规划问题。
其数学模型为： ),,,(min 21n x x x f ——目标函数m i x x x g n i ,,2,10),,,(21 == ——约束条件其中目标函数或约束条件中有变量的非线性函数。
例如：非线性规划问题 y x y x f +-=2)1(),(m in⎩⎨⎧≤-=≤-+=0),(02),(21y y x g y x y x g 。
上述最优化问题中，目标函数是非线性函数，故称为非线性规划问题。
前面介绍的四种最优化数学模型都只有一个目标函数，称为单目标最优化问题，简称为最优化问题。
⑤多目标最优化问题数学模型由某实际问题设立变量，建立两个或多个目标函数和若干个约束条件，且目标函数或约束条件是变量的函数，这样的求函数最大值最小值问题，我们称为多目标最优化问题。
其数学模型为：s i x x x f n i ,,2,1),,,(m in 21 = ——目标函数 m i x x x g n i ,,2,10),,,(21 == ——约束条件上述模型中有s 个目标函数，m 个等式约束条件。
例如：“生产商如何使得产值最大而且消耗资源最少问题”“投资商如何使得投资收益最大而且风险最小问题”等都是多目标最优化问题。
§2 经典最优化方法经典最优化方法包括无约束条件极值问题和等式约束条件极值问题两种，不等式约束条件极值问题可以化为等式约束条件极值问题。