第二章1 问题求解的基本方法
最优化方法第二章(1)
min c j x j j 1 n s.t. aij x j bi , i 1, 2, , m j 1 x j 0, j 1, 2, , n.
无关。
定理2.3 设 x D ,则
x R 引理2.2 设 A a1 , a2 , , an mn ， ( A) m ， D。则
D {x Ax b , x 0}
x 是（2.2）的基本容许解 x
是 D 的极点。 从几何角度讲，例2.3中的约束条件 x1 x2 x3 6 x1 2 x2 4 x3 18 x1 , x2 , x3 0 表示空间一条直线在第一象限中的直线段部分。 如图所示：
不失一般性，假定单位矩阵位于前 m 列，即典范 形式呈现为
min c1 x1 c2 x2 cn xn s.t. x1 x2
其中 bi 0(i 1, 2,, m) 。 用向量－矩阵表示法，那么（2.3）可简写成
x j 0,
a1, m 1 xm 1 a1, n xn b1 a2, m 1 xm 1 a2, n xn b2 （2.3） xm am , m 1 xm 1 am , n xn bm j 1, 2, , n
x1 x2 1 x1 x2 3 x1 , x2 0. 化为标准形式，并用图解法求解原问题，给出标准形 式的解。
解 对第1个约束引入松弛变量 x3 ，对第2个约束引入 剩余变量 x4 。于是，该线性规划的标准形式为
第二章 算法概述(下)
枚举法的应用
打印“九九乘法表” 可使用枚举法的问题还有如
完全平方数 完全平方数是指能写成一个正整 数的平方的数，如25=5^2，所以， 25是完全平方数。100=10^2，所 以，100也是完全平方数。
17
百钱买百鸡问题：有一个人有一百块钱，打算买 一百只鸡。到市场一看，大鸡三块钱一只，小鸡 一块钱三只，不大不小的鸡两块钱一只。现在， 请你编一程序，帮他计划一下，怎么样买法，才 能刚好用一百块钱买一百只鸡？ 此题很显然是用枚举法，我们以三种鸡的个数 为枚举对象（分别设为x,y,z）,以三种鸡的总数（ x+y+z）和买鸡用去的钱的总数(x*3+y*2+z/3)为 判定条件，穷举各种鸡的个数。
11
问题分析：
使用列表保存5种水果名。 通过三重循环结构，枚果（解空间） 它们互不相等（筛选条件） 摆放先后次序有区别
•
输出所有可能的方案。
12
算法步骤描述：
步骤1：建立水果列表fruit； 步骤2：使变量x遍历fruit 步骤3：对于x的每个值，使变量y遍历fruit 步骤4：对于x、y的每个值，使变量z遍历fruit 步骤5： 若zx且 zy 且xy 打印该方案
29
递推与迭代
递推的过程实际上就是迭代的过程，即 不断用变量的旧值推出新值的过程。 一般递推使用数组（列表），在循环处 理时利用其下标的变化实现变量的迭代 ，而狭义的迭代是指使用简单变量来完 成这一过程。
30
程序设计中的数组（列表）是指具有相同 名称、通过下标区分的一组变量。 如：a[0]、a[1]、a[2]或b[1,1]、b[1,2] 、b[1,3]、b[2,1]、b[2,2]、b[2,3]等。 在循环结构中，通过变量控制其下标值的 变化(如a[i]、b[i,j])，达到变量轮换的目的。 例如：循环：从a[0]到a[9] 循环：a[i]， i从0到9
《第二章1有理数》作业设计方案-初中数学鲁教版五四制12六年级上册
（二）加减法运算
1.练习题：选择若干道有理数的加减法混合运算题目，要求学生独立完成并核对答案。
2.实际应用：设置几个与日常生活相关的有理数加减法问题，如温度变化、购物找零等，让学生运用所学知识解决。
（三）拓展提高
1.引导学生探究有理数加减法运算的规律，如利用加法交换律和结合律简化计算。
3.老师会根据学生的作业情况，调整教学计划和教学方法，以更好地满足学生的学习需求。
作业设计方案（第二课时）
一、作业目标
本作业旨在巩固学生在《有理数》第一课时所学的知识，加深学生对有理数概念的理解，掌握有理数的加减法运算，并能够熟练运用有理数解决实际问题。
二、作业内容
（一）复习巩固
1.复习有理数的定义及分类，包括正数、负数和零。
2.评价方式：老师将根据学生的作业完成情况进行评分，并结合课堂表现和平时学习态度进行综合评价。同时，老师会针对学生的不足之处进行指导和帮助，以提高学生的数学学习能力。
五、作业反馈
1.老师将对学生的作业进行认真批改，及时反馈学生的完成情况和存在的问题。
2.对于学生在作业中出现的错误和不足，老师将进行详细的讲解和指导，帮助学生改正错误并提高学习能力。
4.拓展提高
（1）提供一些拓展题目，如复杂的四则运算、混合运算等，以提高学生的计算能力和思维能力。
（2）引导学生进行小组讨论，探讨有理数在实际生活中的应用和意义。
三、作业要求
1.复习与预习部分要求学生在家长的陪同下完成，并签字确认。
2.基础知识练习部分要求学生认真阅读课本，掌握相关知识点，并完成课本上的相关练习题。
2.基础知识练习
（1）掌握有理数的定义，能正确区分正数、负数和零。
《第二章1有理数》作业设计方案-初中数学北师大版12七年级上册
《有理数》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次《有理数》第一课时的作业设计，旨在帮助学生巩固对有理数的基本概念和运算法则的理解。
通过练习，让学生熟练掌握有理数的加减乘除运算，并能解决简单的实际问题。
同时，通过作业的完成，培养学生的逻辑思维能力和解题能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
二、作业内容1. 基础练习（1）熟练掌握有理数的定义和分类，能正确区分正数、负数和零。
（2）掌握有理数的加减法运算法则，能正确进行有理数的加减运算。
（3）了解有理数的乘除法运算法则，能正确进行简单的有理数乘除运算。
2. 拓展应用（1）通过实际问题，让学生理解有理数在实际生活中的应用，如温度的表示、方向的表示等。
（2）通过一些综合性的题目，让学生综合运用所学知识，解决较为复杂的问题。
3. 思考题设计一些具有挑战性的题目，让学生进行思考和探索，培养学生的逻辑思维能力和创新精神。
三、作业要求1. 基础练习部分要求学生对每个题目进行详细的思考和计算，确保答案的准确性。
对于计算题，要求步骤清晰、计算准确。
2. 拓展应用部分要求学生能够理解题目的实际背景，将所学知识应用到实际问题中。
对于综合性的题目，要求学生进行综合分析和解答。
3. 思考题部分要求学生进行独立思考和探索，可以查阅相关资料或与同学进行讨论。
对于有创意的解题思路和方法，老师会在课堂上进行讲解和评价。
四、作业评价1. 对学生的作业进行批改和评价，对于正确的答案给予肯定和鼓励，对于错误的答案要进行纠正和指导。
2. 对于学生的解题过程和思路进行分析和评价，了解学生的薄弱环节和需要加强的地方。
针对学生的不同情况，制定个性化的教学方案。
3. 将学生的作业情况及时反馈给学生，让学生了解自己的学习状况和进步情况，激励学生努力学习。
五、作业反馈1. 对于学生在作业中遇到的问题和困难，老师要及时进行解答和指导，帮助学生解决问题。
2. 对于学生在作业中的优秀表现和创意，要在课堂上进行表扬和展示，激励学生继续努力。
第二章(1)电路基本分析方法
I3
U s1
R1
R2
I2
②
U s3
R3
①
1
3
2
②
2.1.1 电路图与拓扑图
②
R2
① R3
R4
R5
③
R6 ④
U s1
R1
实际电路图
②
2
4
①
5
③
3
6
④
1
对应的线图
线图是由点（节点）和线段（支路）组成，反映实际 电路的结构（支路与节点之间的连接关系）。
有向图
如果线图各支路规定了一个方向（用 箭头表示，一般取与电路图中支路电流 方向一致），则称为有向图。
回路2：I3×R3＋US3－I4×R4＋I2×R2=0
回路3：I4×R4＋I6×R6－I5×R5=0
网孔回路电压方程必为独立方程。
网孔回路电压方程数=b（支路数）－n（节点数）＋1
解出支路电流
4>. 由n1个节点电流方程和bn+1个网孔电压方程（共b
个方程）可解出b个支路电流变量。
R3
I 3
U s3
第二章(1) 电路基本分析方法
本章内容
1.网络图论初步 2.支路电流法 3.网孔电流法 4.回路电流法 5.节点电压法
2.1 网络图论的概念
图的概念：对于一个由集中参数元件组成的电网络，
若用线段表示支路，用黑圆点表示节点，由此得到一
个由线条和点所组成的图形，称此图为原电网络的拓
扑图，简称为图。
I1 ①
－ I1 ＋ I2 － I3 =0
I1 －10＋3× I2 =0 3×I2 ＋2× I3 －13=0
解得： I1 =1A， I2 =3A， I3 =2A
《第二章1认识有理数》作业设计方案-初中数学北师大版24七年级上册
《认识有理数》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本课时的作业设计，旨在让学生进一步理解有理数的概念，掌握有理数的分类、运算法则以及应用，加强学生对正数和负数、整数和分数的认识，培养学生解决与有理数相关问题的能力，以及逻辑思维和推理能力。
二、作业内容1. 基础知识练习：设计一组有理数的概念填空题和选择题，如填空题：请用所学的知识填出_____和_____都属于有理数等。
通过此类基础练习题加深学生对有理数基本概念的理解。
2. 运算法则训练：编写与有理数加减法、乘除法、乘方运算相关的习题，例如通过一系列的计算题训练学生熟练进行有理数的混合运算。
3. 分类应用题：设计一些实际生活中的问题，要求学生运用所学知识进行分类和计算，如“温度的表示”、“超市购物找零”等情景问题，加深学生对有理数应用的理解。
4. 探索拓展题：提供一些稍具难度的拓展题目，如要求学生在数轴上标出指定的有理数等，激发学生自主探究的欲望，提升思维能力。
三、作业要求1. 所有题目应遵循循序渐进的原则，从简单到复杂，由浅入深地布置题目。
2. 每个题目应配备答案或解答提示，便于学生自主检查或家长辅导。
3. 要求学生独立完成作业，并鼓励他们使用所学知识解决实际问题。
4. 作业量适中，不宜过多过难，保证学生有足够的时间完成作业并巩固所学知识。
四、作业评价1. 教师需及时批改作业，对正确答案进行标记并记录学生的错误点。
2. 对学生的作业情况进行总结分析，找出普遍存在的问题和困难点。
3. 针对学生的作业表现给予鼓励或指导性意见，帮助学生建立自信心并改进学习方法。
五、作业反馈1. 对于普遍存在的问题，教师需在课堂上进行讲解和纠正。
2. 对于个别学生的问题，教师需进行个别辅导和指导。
3. 定期收集学生的反馈意见和建议，对作业设计进行改进和优化。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标1. 巩固学生对有理数概念的理解，掌握有理数的分类和基本运算。
2. 提高学生运用有理数解决实际问题的能力。
第二章一元二次方程-配方法、公式法(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调配方法和公式法这两个重点。对于难点部分，如配方法的转化思想和公式法的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用图形或实物演示配方法的基本原理。
课堂上的实践活动和小组讨论非常活跃，学生们能够积极参与，提出自己的观点。我尝试作为一个引导者，提出一些开放性问题，让学生们思考一元二次方程在实际生活中的应用。从成果分享来看，学生们对于这个话题有很深的思考，这让我感到很欣慰。
然而，我也注意到在小组讨论中，部分学生可能过于依赖同伴，没有独立思考。在未来的教学中，我需要更加关注这部分学生，鼓励他们在讨论中提出自己的见解，提高他们的自主学习能力。
c.能够运用配方法求解典型的一元二次方程。
（2）掌握一元二次方程求解公式的推导和应用：公式法是求解一元二次方程的通用方法，重点在于：
a.理解韦达定理的推导过程；
b.掌握一元二次方程求解公式的形式；
c.学会使用公式法求解一元二次方程，包括计算判别式、求解根号内部分等；
d.能够根据实际问题选择合适的求解方法。
具体内容包括：
《第二章1有理数》作业设计方案-初中数学北师大版12七年级上册
《有理数》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 掌握有理数的概念，能正确区分正数、负数及零。
2. 理解有理数的相反数、绝对值概念及其求法。
3. 学会有理数在数轴上的表示，并理解其大小关系。
4. 掌握有理数的基本运算，包括加法、减法、乘法和除法。
二、作业内容1. 基础知识巩固学生需完成以下题目，以检验对有理数基础知识的掌握情况：（1）填空题：请填写正数、负数和零的例子，并说明它们在数轴上的位置。
（2）选择题：关于相反数和绝对值的判断题，要求学生判断正误并说明理由。
2. 理解性练习完成下列与有理数有关的应用题，以加强学生对有理数实际意义的理解：（1）利用数轴表示法，解决简单的排序问题。
（2）通过实际问题（如温度变化、收支情况等），理解正负数的实际意义。
3. 运算技能训练（1）进行有理数的加减法混合运算练习，包括同号运算和异号运算。
（2）进行简单的有理数乘法与除法运算，特别强调运算顺序和结果的正确性。
4. 拓展提高学生可选择完成以下挑战性题目，以增强学习的挑战性和趣味性：（1）编制几个与日常生活相关的有理数应用题，与同学交流并求解。
（2）尝试编写包含正负号和括号的复杂算式，并求解。
三、作业要求1. 作业需独立完成，不得抄袭他人答案。
2. 每个题目需有明确的解题步骤和答案。
3. 书写工整，计算过程需体现思路清晰。
4. 遇到不懂的问题，需尝试自己思考或寻求老师帮助后再行作答。
5. 按照课程进度和教师指定的日期上交作业。
四、作业评价教师根据以下标准对学生作业进行评价：1. 知识点的掌握程度。
2. 解题步骤的正确性及逻辑性。
3. 作业书写的整洁度和规范性。
4. 学生解决问题的能力和创新思维的体现。
5. 能否及时解决作业中遇到的问题。
五、作业反馈教师将对每位学生的作业进行批改，并将批改结果及时反馈给学生，针对学生的不足之处进行指导，鼓励学生在今后的学习中加以改进。
同时，教师将选取优秀作业进行展示，以激励学生努力学习。
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• 状态空间抽象和生成-测试法
• 启发式搜索的适用性讨论
状态空间及其搜索技术
№5
状态空间 描述待求解问题的状态的集合 搜索算法 在状态空间中搜索解答或解答路径
解决组合爆炸问题
状态空间定义
№6
状态空间以SP指示，其可表示为一个二元组： SP = （S, O） S--在问题求解（即搜索）过程中所有可达的 合法状态构成的集合； O--操作算子的集合，操作算子的执行导致状 态的变迁。
以N=3，k=2为例求解。
№9
N=3，K=2 变量m——传教士在左岸或船上实际人数 变量c——野人在左岸或船上的实际人数 变量 b指示船是否在左岸（值 1指示船在左岸， 否则为0） 从而上述约束条件转变为 在船上m + c <=2 在岸上 m >= c
№ 10
№ 11
问题状态以三元组（m,c,b）表示 则 问 题 求 解 任 务 可 描 述 为 ： (3 ， 3 ， 1 ） → （ 0 ， 0 ， 0 ）
6, EXPAND(n) →{mi}, G:=ADD(mi, G);
7, IF 目标在{mi}中 THEN EXIT(SUCCESS); 8, ADD(OPEN, mj), 并标记mj到n的指针; 9, GO LOOP;
№ 33
宽度优先搜索的性质
№ 34
当问题有解时，一定能找到解 当问题为单位耗散值，且问题有解时，一定能 找到最优解 方法与问题无关，具有通用性 效率较低 属于图搜索方法
状态空间可描述为一个有向图，其节点指示状态， 节点间的有向弧表示状态的变迁，用标签表示 操作算子
№7
传教士与野人
№8
例1：传教士与野人问题（M-C问题） 问题：N个传教士，N个野人，一条船，可同 时乘坐k个人，要求在任何时刻(包括河的两岸 和船上），传教士人数不能少于野人的人数。 问：如何过河。
№ 25
搜索算法的一般过程：
1） G := s； 2） OPEN := (s), CLOSE := (
)；
3） 若OPEN是空表，则算法以失败结束； 4） n := MOVE-FIRST(OPEN)； 5） 若n是目标状态节点，则搜索成功结束，并给出解答路径； 6） 扩展节点n，将非节点n祖先的子节点置于子节点集合SNS 中，并插入搜索图G中；
№ 18
或关系：一个状态有几个操作算子供选择 这样的有向图，就称为“或图” 状态空间用“或图”表示，称为一般图
搜索图——在搜索解答路径的过程中只画出搜 索时直接涉及到的节点和弧线
八数码游戏
№ 19
№ 20
9!=362880
№ 21
设计搜索策略（搜索算法）的关键考虑是解决组 合爆炸问题
状态图、搜索图和解答路径的关系
№ 26
7） 标记和修改指针： 把SNS中的子节点分为三类：（1）全新节点， （2）已出现于OPEN表的节点，（3）已出现于CLOSE 表的节点； 加第1类子节点于OPEN表，并建立从子节点 到父节点n的指针； 比较第2类子节点经由新、老父节点到达初始 状态节点s的路径代价，若经由新父节点的代价较小， 则 移动子节点指向老父节点的指针，改为指向新父节点n 对于第3类子节点作与第2类同样的处理，并 把这些子节点从CLOSE表中移出，重新加入OPEN表；
问题求解的基本方法
№2
人工智能技术的一个主要目的就是解决非平凡 问题 非平凡问题：难以用常规（数值计算，数据库应 用等）技术直接解决的问题
• 知识贫乏系统——搜索技术 • 知识丰富系统——识别技术
本章内容
№3
经典搜索技术： 一般图搜索 基于问题归约的与或图搜索
经典的逻辑推理技术 基于归结的谓词演算 基于规则的演绎推理
8） 按某种原则重新排序OPEN表中的节点； 9） 返回语句3）；
№ 27
№ 28
3、盲目搜索
优化OPEN表中节点的排序方式
常用的方式是深度优先和宽度优先
深度优先搜索
1, G:=G0(G0=s), OPEN:=(s), CLOSED:=( ); 2, LOOP: IF OPEN=( ) THEN EXIT (FAIL); 3, n:=FIRST(OPEN); 4, IF GOAL(n) THEN EXIT (SUCCESS); 5, REMOVE(n, OPEN), ADD(n, CLOSED); 6, IF DEPTH(n)≥Dm GO LOOP;
№ 29
7, EXPAND(n) →{mi}, G:=ADD(mi, G);
8, IF 目标在{mi}中 THEN EXIT(SUCCESS); 9, ADD(mj, OPEN), 并标记mj到n的指针; 10, GO LOOP;
№ 30
深度优先搜索的性质
№ 31
一般不能保证找到最优解
当深度限制不合理时，可能找不到解，可以将 算法改为可变深度限制 最坏情况时，搜索空间等同于穷举
故而总共有10个操作算子
规则集合：
№ 14
№ 15
渡河问题的状态空间有向图：
红色小圆圈指示船在河的左岸 蓝色小圆圈指示船在河的右岸
无数条操作路径，但只有4条是最短
№ 16
№ 17
状态空间的搜索以SE指示，其可表示为1 个五元组： SE = (S,O,E,I,G) E--搜索引擎； I--问题的初始状态，I ∈ S; G--问题的目标状态集，G S。 解答路径 ：状态序列或相应的操作算子调用序列
包括两部分：路径建立代价和路径选择代价
№ 23
假定：
任意相临节点间的路径代价相同，代价为1
设：目标状态相应的节点： ng 从ni到ng的路径代价： C（ ni , ng）= C（ ni , nj ）+ C（ nj , ng ）
2、一般图搜索算法
№ 24
定义：
s——指示初始状态节点 G——指示搜索图 OPEN——作为存放待扩展节点的表 CLOSE——作为存放已被扩展节点的表 MOVE-FIRST（OPEN）——指示取OPEN表首的节 点作为当前要被扩展的节点n，同时将节点n移至 CLOSE表 SNS——子节点集合
与回溯法的差别：图搜索 是一个通用的与问题无关的方法
宽度优先搜索
№ 32
1, G:=G0(G0=s), OPEN:=(s), CLOSED:=( ); 2, LOOP: IF OPEN=( ) THEN EXIT (FAIL); 3, n:=FIRST(OPEN); 4, IF GOAL(n) THEN EXIT (SUCCESS); 5, REMOVE(n, OPEN), ADD(n, CLOSED);
一般图搜索策略
№ 22
1、搜索术语
节点深度: 根节点0，后面的节点递归定义 路径：由相邻节点间的弧线构成的折线 节点扩展：应用操作算子从节点ni变迁到nj
• 路径代价——相临节点ni和nj间路径的代价记为 C（ ni , nj ）
包括两部分：路径本身代价和路径搜索代价
路径本身代价：操作算子的执行代价 路径搜索代价
状态空间可能的状态总数为4×4×2 = 32
这个问题总共只有16个可达的合法状态
№ 12
№ 13
渡河问题中的操作算子可以定义2类：L(m,c)、R(m,c)
L(m,c)——指示从左岸到右岸的划船操作
R(m,c) ——从右岸回到左岸的划船操作
m和c取值的可能组合只有5个：10，20，11，01，02