知识点7 无穷大与无穷小的概念与关系
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1-7无穷小与无穷大
1 x 1 M
即 lim
1 x 1
x 1
.
渐近线
注 1° 不可把无穷大与很大的固定的数混为一谈,
无穷大是变量，而再大的固定的数也是常量； 2°不能笼统地说某函数是无穷大，而应当说 函数是自变量趋向某个值时的无穷大； 3°切勿将
x x0
x x0
lim f ( x ) 认为极限存在.
-M
故 x U ( x0 ), 使 f ( x ) M
∴ f ( x )在某U ( x0 )内无界.
反例 (
f ( x) 1 x
):
sin 1 x
在 U 0)上无界 , （
但
x 0
lim f ( x ) .
(1) 证无界
xn 0, ( n )
N 1 Z ,当n N 1时，有 xn U (0)
lim
k
C 0 , 则称
是关于 的 k 阶无穷小.
例如 , 当 x 0 时
x o( 6 x 2 ) ;
3
sin x ～ x ;
tan x ～ x
arcsin x～x
又如 ，
x 0
lim
1 cos x x
2
2 x 2 sin 2 lim x 2 x 0 4( ) 2
2. 几何意义
x x0
lim f ( x ) ：
M 0, 0, 使得
当 0 x x0 时,
总有 f ( x) M .
总有f ( x ) M 或f ( x ) M
例5 证明 证 M > 0, 要使 故取
即 lim
1 x 1
x 1
.
渐近线
注 1° 不可把无穷大与很大的固定的数混为一谈,
无穷大是变量，而再大的固定的数也是常量； 2°不能笼统地说某函数是无穷大，而应当说 函数是自变量趋向某个值时的无穷大； 3°切勿将
x x0
x x0
lim f ( x ) 认为极限存在.
-M
故 x U ( x0 ), 使 f ( x ) M
∴ f ( x )在某U ( x0 )内无界.
反例 (
f ( x) 1 x
):
sin 1 x
在 U 0)上无界 , （
但
x 0
lim f ( x ) .
(1) 证无界
xn 0, ( n )
N 1 Z ,当n N 1时，有 xn U (0)
lim
k
C 0 , 则称
是关于 的 k 阶无穷小.
例如 , 当 x 0 时
x o( 6 x 2 ) ;
3
sin x ～ x ;
tan x ～ x
arcsin x～x
又如 ，
x 0
lim
1 cos x x
2
2 x 2 sin 2 lim x 2 x 0 4( ) 2
2. 几何意义
x x0
lim f ( x ) ：
M 0, 0, 使得
当 0 x x0 时,
总有 f ( x) M .
总有f ( x ) M 或f ( x ) M
例5 证明 证 M > 0, 要使 故取
无穷小无穷大
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结束
f ( x) M ,
过 时 程 刻
f (x)是负无穷大
0 x x0
x x0
xx
从此时刻以后 0 x x0
0 x x0
x x0 0
f ( x)
f (x)
f ( x) M ,M 0 f (x)是无穷大
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若
若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) (自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
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证
设 lim f ( x ) .
x x0
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) ,
1 即 . f ( x) 1 当x x 0时, 为无穷小. f ( x)
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反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
不是无穷大．
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例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 的一切 x , 有
1 只要取 , 则对满足 M
所以 说明: 若 为曲线 则直线 x x 0 的铅直渐近线 . 铅直渐近线
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三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
无穷小与无穷大
3．函数极限与无穷小的关系
在自变量的某一变化过程中，函数 f (x)以 A为极限的充要 条件是 f (x) 可以表示为极限A与一个无穷小 的和，即
lim f (x) A f (x) A α
二 无穷大 1．无穷大的概念
定义2 在自变量的变化过程中，绝对值无限增大的变量X称为无穷 大量，简称无穷大，记作 lim X 。
lim arcsin 4x lim 4x 2 x0 ln(1 2x) x0 2x
（3）因为当 x 0 时，1 cos x ～ 1 x2，ex2 1～ x2 ，所以 2
1 cos x
lim
x0
ex2 1
lim x0
1 x2 2 x2
1 2
高等数学
x 1
1 时， x 1 为无穷小。
（2）因为 lim( 2x 1) ，所以当 x 时，2x 1 为无穷小。
x
（3）因为 lim 2x ，所以当 x 时，2x 为无穷小。 x
（4）因为lim x
1 4
x
，所以当
x
时，
1 4
x
为无穷小。
例5 【银行存款】假设某人在银行存入10 000元，银行的年利率 为 ，试分析存款时间越长，本利和如何变化？ 解
如果变量 X 取正值无限增大，则称变量 X为正无穷大，记作 lim X ；如果变量 X 取负值而绝对值无限增大，则称变量X为负 无穷大，记作 lim X 。
例4 讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大：
（1）
y
1 x 1
（2）y 2x 1（3）y 2x
（4）y
1 4
x
解
（1）因为 lim 1 ，所以当 x1 x 1
第四节无穷小与无穷大
f (2nπ ) = 2 nπ → ∞ (当 n → ∞ )
但 所以
f ( π + nπ ) = 0 2
y
y = x cos x
x → ∞ 时 , f ( x) 不是无穷大 !
o
x
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1 例 . 证明 lim =∞ x →1 x − 1 1 1 证: 任给正数 M , 要使 > M , 即 x −1 < , M x −1 1 只要取 δ = , 则对满足 0 < x − 1 < δ 的一切 x , 有 M 1 y 1 >M y= x −1 x −1 1 = ∞. 所以 lim o 1 x x →1 x − 1
x → x0
f ( x) = A + α , 其中α 为 x → x0
时的无穷小量 .
∀ε > 0 , ∃δ > 0 , 当 0 < x − x0 < δ 时,有 f ( x) − A < ε
α = f ( x) − A
x → x0
lim α = 0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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( lim f ( x) = ∞ )
x →∞
若在定义中将 ①式改为 f ( x) > M ( f ( x) < − M ) , 则记作 lim f ( x) = +∞ ( lim f ( x) = − ∞)
x → x0 ( x →∞ ) x → x0 ( x →∞ )
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注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 f ( x) = x cos x , x ∈ (−∞ , + ∞ )
无穷小与无穷大
无穷小与无穷大无穷小和无穷大是数学中重要的概念，它们在极限运算和微积分中有着重要的作用。
本文将介绍无穷小和无穷大的定义、性质以及它们在数学和物理中的应用。
一、无穷小的定义与性质无穷小是指函数在某一点附近取值时，其值趋近于零的特殊情况。
具体说，对于函数f(x)，如果当x无限接近某一点a时，f(x)也无限接近于零，那么f(x)就是在点a处的无穷小。
常表示为lim x→a f(x) = 0。
1.1 阶与比较无穷小可以根据其趋近于零的速度分为不同的阶。
例如，当x无限接近零时，x^2相比于x，其趋近于零的速度更快，因此x^2是x的高阶无穷小。
同样，x^n（n>1）相比于x，其趋近于零的速度更快，因此x^n是x的高阶无穷小。
1.2 运算性质无穷小具有一些运算性质。
例如，两个无穷小的和仍然是无穷小，若f(x)为无穷小，g(x)为有界函数，则f(x)g(x)为无穷小。
此外，无穷小与有界函数的乘积也为无穷小。
1.3 等价无穷小在无穷小的研究中，等价无穷小也是一个重要的概念。
如果两个无穷小f(x)和g(x)满足li m x→a (f(x)/g(x)) = 1，那么称f(x)和g(x)是在点a处等价的无穷小。
等价无穷小具有相似的性质，在一些极限运算中可以互相替换。
二、无穷大的定义与性质无穷大是指函数在某一点附近取值时，其值趋近于正无穷或负无穷的情况。
具体说，对于函数f(x)，如果当x趋近于某一点a时，f(x)的值无限增大或无限减小，那么f(x)就是在点a处的无穷大。
2.1 正无穷和负无穷无穷大可以分为正无穷大和负无穷大。
当x趋近于某一点a时，若f(x)的值无限增大，则称f(x)为正无穷大。
若f(x)的值无限减小，则称f(x)为负无穷大。
2.2 无穷大的性质无穷大具有一些基本性质。
例如，正无穷大与负无穷大的和仍然是无穷大。
另外，无穷大与常数的乘积仍然是无穷大。
然而，无穷大的乘积与除法需要谨慎处理。
2.3 无穷大与极限在求解极限问题时，无穷大也扮演了重要的角色。
无穷小与无穷大
下页
例、求
1 1 1 lim + +L + 2 n →∞ n2 + 2 n2 + k n +1 1 1 k
因为
.
解
n +k
2
<
n +1
2
+L +
Q
又
lim
k n2 + k
lim
n →∞
n →∞
= lim
k n +1
2
k n
n +k
2
<
k n2 + 1
n →∞
k 1+ 2 n k
例8 求m si x . l i 3n xsnx i x =i lm 2 = . lm 3 i = lim 3 0 3 x→ x + 3 3 3 x 0 x + x x →0 x + 3 x → 3
结束
tan x − sin x x−x 0 例9、 lim = lim 3 = lim 3 = 0 3 x →0 x → 0 sin x x →0 sin x sin x
下页
关于等价无穷小的定理 •定理1
β 与α是等价无穷小的充分必要条件为 β =α+o(α).
•定理2
′ ′ β=lmβ β i i l i 设~ ′, β β′, 且m 存 , 则m αα ~ 在 l . ′ ′ α α α
定理2的意义: 求两个无穷小比值的极限时, 分子及分母都可用等 价无穷小来代替. 因此, 如果用来代替的无穷小选取得 适当, 则可使计算简化.
x x →0
lm f(x = (或i f(x = ). i ) ∞ lm ) ∞
例、求
1 1 1 lim + +L + 2 n →∞ n2 + 2 n2 + k n +1 1 1 k
因为
.
解
n +k
2
<
n +1
2
+L +
Q
又
lim
k n2 + k
lim
n →∞
n →∞
= lim
k n +1
2
k n
n +k
2
<
k n2 + 1
n →∞
k 1+ 2 n k
例8 求m si x . l i 3n xsnx i x =i lm 2 = . lm 3 i = lim 3 0 3 x→ x + 3 3 3 x 0 x + x x →0 x + 3 x → 3
结束
tan x − sin x x−x 0 例9、 lim = lim 3 = lim 3 = 0 3 x →0 x → 0 sin x x →0 sin x sin x
下页
关于等价无穷小的定理 •定理1
β 与α是等价无穷小的充分必要条件为 β =α+o(α).
•定理2
′ ′ β=lmβ β i i l i 设~ ′, β β′, 且m 存 , 则m αα ~ 在 l . ′ ′ α α α
定理2的意义: 求两个无穷小比值的极限时, 分子及分母都可用等 价无穷小来代替. 因此, 如果用来代替的无穷小选取得 适当, 则可使计算简化.
x x →0
lm f(x = (或i f(x = ). i ) ∞ lm ) ∞
无穷小与无穷大的关系PPT课件
一、无穷小
1、定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x0 ( 或 x X ) 的一切x , 对应的函数 值
f ( x)都满足不等式 f ( x) ,
那末 称函数 f ( x)当 x x0(或x )时为无穷小,
恒有 f (x) 1 , 即 1 . f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
第12页/共20页
反之,设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0. x x0
M 0, 0,使得当0 x x0 时
恒有 f (x) 1 , M
由于 f ( x) 0, 从而 1 M . f (x)
其中 ( x)是当x x0时的无穷小,
则 lim f ( x) lim ( A ( x)) A lim ( x) A.
x x0
x x0
x x0
第3页/共20页
意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);
（2）给出了函数 f ( x) 在 x0 附近的近似表达
式 f ( x) A, 误差为 ( x).
一、填空题:
练习题
1、凡无穷小量皆以________为极限.
2、在 __________条件下,直线 y c 是函数 y f ( x) 的水平渐近线 .
3、lim f ( x) A _______ f ( x) A , x x0 ( 其中 lim 0 ) . x x0
4、在同一过程中,若 f ( x) 是无穷大, 则 ______是无穷小 .
第14页/共20页
1、定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x0 ( 或 x X ) 的一切x , 对应的函数 值
f ( x)都满足不等式 f ( x) ,
那末 称函数 f ( x)当 x x0(或x )时为无穷小,
恒有 f (x) 1 , 即 1 . f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
第12页/共20页
反之,设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0. x x0
M 0, 0,使得当0 x x0 时
恒有 f (x) 1 , M
由于 f ( x) 0, 从而 1 M . f (x)
其中 ( x)是当x x0时的无穷小,
则 lim f ( x) lim ( A ( x)) A lim ( x) A.
x x0
x x0
x x0
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意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);
（2）给出了函数 f ( x) 在 x0 附近的近似表达
式 f ( x) A, 误差为 ( x).
一、填空题:
练习题
1、凡无穷小量皆以________为极限.
2、在 __________条件下,直线 y c 是函数 y f ( x) 的水平渐近线 .
3、lim f ( x) A _______ f ( x) A , x x0 ( 其中 lim 0 ) . x x0
4、在同一过程中,若 f ( x) 是无穷大, 则 ______是无穷小 .
第14页/共20页
无穷小与无穷大的关系
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
f ( x ) 总满足不等式 f ( x ) M ,
则称函数 f ( x ) 当 x x 0 ( 或 x ) 时为无穷大, 记作
x x0
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
又设是当x x0时的无穷小 ,
0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时 恒有 . M
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小.
0, N 1 0, N 2 0, 使得
当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 1 恒有 f ( x ) , 即 . f ( x) 1 当x x0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
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解析：由 xk
1 2k
2
0 ，则 f ( xk ) (2k
2
) 2 （ k ），故当 x 0 时，
1 1 1 ) 0 0 （ k ），故当 x 0 时， sin 无界.又由 xk 0 ， f ( xk 2 x x k 1 1 f ( x) 2 sin 不是无穷大.故选（D）. x x 解：（D）. f ( x)
学科：高等数学
第一章 函数与极限
知识点7 无穷大与无穷小的概念与关系 精选习题 作者：邹群
例7.1(难度系数0.2) 给定 x 的变化趋势，下列函数为无穷小量的是( ).
（A）
x2 x4 x 1
( x )
1 （B） 1 1 ( x ) x
x
（C） 1 2 x ( x 0 )
N max( N1 , N 2 ) ，当 n N 时, M | yn || xn yn | ，即 | yn |
M
，故 yn 必为无穷小..
解：（D）.
则下列结论正确的是( ). （A）若 xn 发散，则 yn 必发散. （B）若 xn 无界，则 yn 必无界.
1 为无穷小，则 yn 必为无穷小. xn
（C）若 xn 有界，则 yn 必为无穷小. （D）若
解析：用排除法易将（A）、（B）排除. 对于（C），例如取 xn 0 , 则只要 yn , 就有
x
x
解析：当 x 为有理数时，由 0 a 1 知， lim a x 0 ；当 x 为无理数时， lim 0 0 .故
当 x 时， f x 是无穷小，选（B）. 注意：（C）、（D）均不正确，因为当 x 时，包含x为有理数及无理数两种情况，在 两种情况下x的趋向不同，容易找到无理数及有理数的子列，在两个子列下的极限不同， 因此此时无极限，更不可能为无穷小.
解：（B）. 例7.6(难度系数0.4) 下列说法正确的是( ).
（A）无限个无穷小之和为无穷小
（B）无限个无穷小之积未必是无穷小
（C）无穷小与无界量的乘积必为无穷小 （D）无界量必为无穷大
解析：可举反例通过排除法判断.
1 1 1 1 例如 xn n 0 （ n ），则 lim xn lim i lim 2 0 ，即无限 n n n 1 2 2 n 1 i 1 2 1 2
n
lim xn yn 0 , 而 yn 不必是无穷小.通过排除法知（D）正确.
下面证明（D）正确, 若
1 为无穷小， xn
等价于 xn 为无穷大，即对于任意的 M 0 ，存在 N1 0 .当 n N1 时， | xn | M .又
n
lim xn yn 0 ，故对于任意的 0 ，存在 N 2 0 ，当 n N 2 时, | xn yn | .取
解析：通过求极限来判定即可，显然， lim
x2 x 2 1000
lim
x
x 2 1000 1 1000 lim 1 2 0 ，故 2 x x x x
( x ) 为无穷大量.
1 arcsin 2 ( x 1) ( x 1) 2 x 1 1 arctan ， lim lim 0; lim cos 1 lim x 1 x 1 x 2 1 x 1 x 1 x x 0 x 2 x2 1 x .
a x , 例7.6(难度系数0.4) 设函数 f x 0 ,
（A）当 x 时， f x 是无穷大 （C）当 x 时， f x 是无穷大
x是有理数 x是无理数
（ 0 a 1 ），则(
).
（B）当 x 时， f x 是无穷小 （D）当 x 时， f x 是无穷小
x 0
lim arctan
1 1 ，则 lim arctan 不存在.故选（B）. x 0 x 2 x 解：（B）. 1 1 sin 是（ ）. 2 x x
例7.5(难度系数0.4) 当 x 0 时， f ( x)
（A）无穷小量 （B）无穷大量 （C）有界量，但非无穷小量 （D）无界，但非无穷大量
所以选（B）. 注意：书中的结论是：有限个无穷小之积是无穷小.我们很容易想当然认为无限个无 穷小的积是无穷小，实际上并非如此，反例不好找，因此此题一般要靠排除法来做.
解：（B）. 例7.7(难度系数0.6) (1998年高数二真题) 设数列 xn 与 yn 满足 lim xn yn 0 ,
n
n
个无穷小之和不一定是无穷小，排除（A）. 例如 x 0 时， x 为无穷小， 乘积不一定为无穷小，排除（C）. 例如 f ( x)
1 1 为无界量，则 lim x 1 0 ，即无穷小与无界量的 x 0 x x
1 1 sin 在 x 0 时为无界量，但它不是无穷大，排除（D）. x x
（D）
x (x0) sin x
解析：通过求极限来判定即可，显然， lim
lim(1 2 x ) 0 ， lim
x 0
x 0
x
1 1 ， lim 1 1 e 1 ， 4 x x x x 1
x2
x
x 1 ，故选（C）. sin x
x 2
0，
解：（C）. 例7.3(难度系数0.2) 下列变量在给定的变化过程中是无穷小量的是( ).
（A）
x2 x 2 1000
( x )
（B）
arcsin 2 ( x 1) ( x 1) x2 1
1 （C） cos x x
1 （D） arctan ( x 0) x
解：（C）.
例7.2(难度系数0.2)
（A） x 0
x 使函数 y
2
1 x 2 2 x3 1
为无穷小量的 x 的变化趋势是( ).
（B） x 1
（C） x 2
（D） x
解析：在选项中的变化趋势下依次求极限判定即可，显然 lim
故选（C）.
x
2
1 x 2 2 x3 1