北师大版数学九年级上册矩形的性质与判定 同步练习题 含答案
第一章特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定1. 如图，在△ABC中，BD，CE是高，点G，F分别是BC，DE的中点，则下列结论中错误的是( )A．∠DGE＝60° B．GF⊥DE C．GF平分∠DGE D．GE＝GD2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD 的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长等于( )A. 7cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm3. 如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )A. 13B. 14 C, 15 D. 164. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别为边BC，AC，AB的中点，AH⊥BC于点H，若FD＝8 cm，则HE等于( )A. 11cmB. 10cmC. 9cmD. 8cm5. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．对边相等B ．对角线相等C ．对角相等D ．对角线互相平分 6. 下列四边形不是矩形的是( ) A ．有三个角都是直角的四边形 B ．四个角都相等的四边形 C ．对角线相等且互相平分的四边形 D ． 一组对边平行，且对角相等的四边形7. 如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是( )A ．AC⊥BDB ．AC ＝BD C ．AB∥DC D ．AB ＝DC8. 在数学活动课上， 老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形， 下面是某合作学习小组的4位同学拟订的方案， 其中正确的是( ) A ．测量两组对边是否分别相等 B ．测量对角线是否相互平分 C ．测量其内角是否都为直角 D ． 测量对角线是否垂直9. 如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F ，在下列结论中，不一定正确的是( )A ．BE ＝AD －DFB ．AF ＝12ADC ．AB ＝AFD ．△AFD ≌△DCE10. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A．4.8 B．5 C．6 D．7.211. 如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2=12. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝2，则矩形ABCD的面积=13. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知条件：①AB∥CD；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD，则下列条件的组合不能使四边形ABCD成为矩形的选项是 (填序号)14. 在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，2)，要使四边形OBCA为矩形，则C点的坐标为________．15. 已知一直角三角形的周长是4＋26，斜边的中线长是2，则这个三角形的面积是16. 如图，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件，使四边形ABCD为矩形．17. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形OCED的周长为18. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为19. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，D 是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为20. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，点E，F分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝________．21. 如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC 的交点为点O，连接DE.(1)求证：△ADE≌△CED；(2)求证：DE∥AC.22. 如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且EA＝ED.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若BC＝6 cm，AE＝5 cm，求S▱ABCD.23. 如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且EF ＝ED ，EF⊥ED.求证：AE 平分∠BAD.24. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，已知O 是AC 的中点，AE ＝CF ，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论．25. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．答案：1---10 ACBDB DADBA 11. 60° 12. 4 3 13. ② ⑤ ⑥ 14. (3，2) 15. 5216. ∠B＝90°或∠BAC＋∠BCA＝90° 17. 8 18. 60° 19. (3，43)20. 221. 解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，由折叠知BC ＝CE ＝AD ，AB ＝AE ＝CD ，又∵DE ＝ED ，∴△ADE ≌△CED(SSS )．(2)∵△ADE ≌△CED ，∴∠EDC ＝∠DEA ，由折叠知∠OAC ＝∠CAB ，又∵∠OCA ＝∠CAB ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∵∠EOC ＝∠EAB ，∴2∠OAC ＝2∠DEA ，∴∠OAC ＝∠DEA ，∴DE ∥AC.22. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD ，又∵EA＝ED ， BE ＝EC ，∴△ABE≌△DCE，∴∠B＝∠C，∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝12×180°＝90°，∴▱ABCD 是矩形(2)在Rt△ABE 中，BE ＝12BC ＝3(cm)，∴AB＝AE 2－BE 2＝4(cm)，∴S ▱ABCD ＝AB·BC＝4×6＝24(cm 2)．23. 证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB ＝CD ， ∴∠BEF＋∠BFE＝90°，∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°， ∴∠BFE＝∠CED，同理∠BEF＝∠EDC.在△EBF 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFE＝∠CED，EF ＝ED ，∠BEF＝∠EDC，∴△EBF≌△DCE(ASA )．∴BE＝CD.∴BE＝AB.∴∠BAE＝∠BEA＝45°.∴∠EAD＝45°. ∴∠BAE＝∠EAD，即AE 平分∠BAD.24. (1)证明：∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，∵OA＝OC ， AE ＝CF ，∴OE＝OF ，∴△BOE≌△DOF(AAS )．(2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是矩形．证明如下：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD ，又∵OD＝12AC ，OA ＝OC ，∴OA＝OB ＝OC ＝OD ，∴BD＝AC ，∴四边形ABCD 为矩形． 25. (1)证明：如图所示，∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO ＝CO ，FO ＝CO ，∴OE ＝OF.(2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°， ∵CE＝8，CF ＝6，∴EF＝82＋62＝10，∴OC＝12EF ＝5.(3)当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ，∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵∠ECF ＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形．1、最困难的事就是认识自己。
20.7.217.21.202010:3310:33:11Jul -2010:332、自知之明是最难得的知识。
二〇二〇年七月二十一日2020年7月21日星期二3、越是无能的人，越喜欢挑剔别人。
10:337.21.202010:337.21.202010:3310:33:117.21.202010:337.21.20204、与肝胆人共事，无字句处读书。
7.21.20207.21.202010:3310:3310:33:1110:33:115、三军可夺帅也。
Tuesday, July 21, 2020July 20Tuesday, July 21, 20207/21/20206、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。
10时33分10时33分21-Jul -207.21.20207、人生就是学校。
20.7.2120.7.2120.7.21。
2020年7月21日星期二二〇二〇年七月二十一日8、你让爱生命吗，那么不要浪费时间。
10:3310:33:117.21.2020Tuesday, July 21, 2020亲爱的用户： 烟雨江南，画屏如展。
在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。
1、在最软入的时候，你会想起谁。
20.7.217.21.202010:3310:33:11Jul -2010:33 2、人心是不待风吹儿自落得花。
二〇二〇年七月二十一日2020年7月21日星期二 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。
10:337.21.202010:337.21.202010:3310:33:117.21.202010:337.21.2020 4、与肝胆人共事，无字句处读书。
7.21.20207.21.202010:3310:3310:33:1110:33:11 5、若注定是过客，没何必去惊扰一盏灯。
Tuesday, July 21, 2020July 20Tuesday, July 21, 20207/21/2020 6、生的光荣，活着重要。
10时33分10时33分21-Jul -207.21.2020 7、永远叫不醒一个装睡的人。
20.7.2120.7.2120.7.21。
2020年7月21日星期二二〇二〇年七月二十一日8、人生能有几回搏。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1-2矩形的性质与判定》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题（附答案）一．选择题1．已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（）A．①B．②C．③D．④2．下列说法正确的是（）A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度3．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）A．矩形B．菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．5．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（）A．66°B．60°C．57°D．48°6．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为（）A．B．4C．4.5D．5二．填空题7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．8．我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是．9．如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连接OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．在点D的运动过程中，当线段OF 有最大值时，则点F的坐标为．10．如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为．11．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接CE，过点E作CE的垂线交AB于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知AF＝，CF＝5，则EF＝．12．如图，矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AC，垂足为点H，若∠ADH＝2∠CDH，则AD的长为．13．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N 运动过程中，则以下结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①点M、N的运动速度不相等；②存在某一时刻使S△AMN＝S△MON；③S△AMN逐渐减小；④MN2＝BM2+DN2．三．解答题14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．15．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG．（1）求证：AD∥CF；（2）求证：四边形ADCF是矩形．16．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．17．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．18．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE．过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形OCFD是矩形．20．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．21．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．参考答案一．选择题1．解：A．AB＝BC，邻边相等的平行四边形是菱形，故A不符合题意；B．AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，故B符合题意；C．AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C不符合题意；D．AC平分∠BAD，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D不符合题意．故选：B．2．解：A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确；C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°；不正确；D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确；故选：D．3．解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD 的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故选：C．4．解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故选：C．5．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，∴∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠DBC）＝（90°﹣24°）＝33°，∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°．故选：C．6．解：设FC′＝x，则FD＝9﹣x，∵BC＝6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，∴AD＝BC＝6，C′D＝3．在Rt△FC′D中，∠D＝90°，FC′＝x，FD＝9﹣x，C′D＝3，∴FC′2＝FD2+C′D2，即x2＝（9﹣x）2+32，解得：x＝5．故选：D．二．填空题7．解：连接AD，∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．8．解：∵顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形.理由如下：∵E、F、G、H分别为各边中点∴EF∥GH∥AC，EF＝GH＝AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵DB⊥AC，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵EH＝BD＝3cm，EF＝AC＝4cm，∴HF＝＝5cm．故答案为：5cm．9．解：当点D与点A重合时，如图：∵S矩形CDEF＝2S△CBD＝12，S矩形OABC＝2S△CBD，∴S矩形OABC＝12，∵C点坐标为（0，3），∴OC＝3，∴OA＝4，∵∠CFB＝90°，C、B均为定点，∴F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M，则MF＝BC＝2，OM＝＝，∴OF的最大值＝OM+BC＝+2，即O、M、F三点共线，设点F的横坐标为2x，则纵坐标为3x，∴（2x）2+（3x）2＝（+2）2，解得：x＝（负值舍去）∴2x＝+2，3x＝+3∴点F坐标（，+3）故答案为：（，+3）10．解：如图，取AD的中点H，连接CH，OH，∵矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，∴CD＝AB＝1，AD＝BC＝2，∵点H是AD的中点，∴AH＝DH＝1，∴CH＝＝＝，∵∠AOD＝90°，点H是AD的中点，∴OH＝AD＝1，在△OCH中，CO＜OH+CH，当点H在OC上时，CO＝OH+CH，∴CO的最大值为OH+CH＝+1，故答案为：+1．11．解：∵点E是AD中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEG中，，∴△AEF≌△DEG（ASA），∴EF＝EG，AF＝DG＝，∵CE⊥EF，∴CF＝CG＝5，∵∠G＝∠G，∠EDG＝∠CEG＝90°，∴EG2＝DG•CG＝，∴EG＝＝EF，故答案为．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，∠ADC＝90°，∵∠ADH＝2∠CDH，∴∠CDH＝30°，∠ADH＝60°，∵DH⊥AC，∴∠DHA＝90°，∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝CD＝3，故答案为：3．13．解：如图，当M与B点重合时，此时NO⊥BD，∵在矩形ABCD中，AD＝AB，∴∠ADB＝∠DAC＝30°，∴∠AOD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠NAO＝∠AOD﹣∠NOD＝120°﹣90°＝30°，∴∠DAO＝∠NOA＝30°，∴AN＝ON＝DN，∵AN+DN＝AD，∴AN＝AD，当M点运动到M'位置时，此时OM'⊥AB，N点运动到了N'，∵AC和BD是矩形ABCD的对角线，∴M点运动的距离是MM'＝AB，N点运动的距离是NN'＝＝＝AD，又∵AD＝AB，∴NN'＝×AB＝AB＝MM'，∴N点的运动速度是M点的，故①正确，当M在M'位置时，∵∠OM'A＝90°，∠N'AB＝90°，∠M'ON'＝90°，∴四边形AM'ON'是矩形，∴此时S△AMN＝S△MON，故②正确，令AB＝1，则AD＝，设BM＝x，则N点运动的距离为x，∴AN＝AD+x＝+x，∴S△AMN＝AM•AN＝（AB﹣BM）•AN＝（1﹣x）（+x）＝﹣x2，∵0≤x≤1，在x的取值范围内函数﹣x2的图象随x增加而减小，∴S△AMN逐渐减小，故③正确，∵MN2＝（AB﹣BM）2+（AD﹣DN）2＝AB2﹣2AB•BM+BM2+AD2﹣2AD•DN+DN2＝（AB2﹣2AB•BM+3AB2﹣2•DN）+BM2+DN2＝（4AB2﹣2AB•BM﹣2AB•DN）+BM2+DN2，∵AN＝AD+BM＝AB+BM，∴DN＝AD﹣AN＝AB﹣（AB+BM）＝AB﹣BM，∵2AB•DN＝2AB×（AB﹣BM）＝4AB2﹣2AB•BM，∴MN2＝（4AB2﹣2AB•BM﹣2AB•DN）+BM2+DN2＝BM2+DN2，故④正确，方法二判定④：如图2，延长MO交CD于M'，∵∠MOB＝∠M'OD，OB＝OD，∠DBA＝∠BDC，∴△OMB≌△OM'D（ASA），∴BM＝DM'，OM＝OM'，连接NM'，∵NO⊥MM'，则MN＝NM'，∵NM'2＝DN2+DM'2，∴MN2＝BM2+DN2，故④正确，故答案为：①②③④．三．解答题14．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．15．证明：（1）∵E，G分别是AC，DC的中点，∴EG是△ACD的中位线，∴EG∥AD，∵∠FCA＝∠CEG，∴EG∥CF，∴AD∥CF；（2）由（1）得：AD∥CF，∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF，∴四边形ADCF是平行四边形，又∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCF是矩形．16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF．∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AD＝BC，AD＝AF，∴BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．18．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，∴OC＝OE＝EF＝5；（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．19．证明：（1）∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE，∵E是CD中点，∴CE＝DE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD＝FC，∵CF∥BD，∴四边形OCFD是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴四边形OCFD是矩形．20．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵O为BD的中点，∴OB＝OD，又∵EF⊥BD，∴∠EOD＝∠FOB＝90°，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形，根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，即（8﹣x）2＝x2+62，解得：，∴，∴四边形BFDE的周长＝．21．解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG，∵EG＝FH＝2，∴AB＝2，∴菱形ABCD的周长＝8．。
北师大版九年级数学上册--第一章 1.2《矩形的性质和判定》同步练习题(含答案)
1.2《矩形的性质和判定》同步练习1、矩形的对边 ，对角线 且 ，四个角都是 ，即是 图形又是 图形。
2、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是________。
3、已知矩形ABCD 的对角线相交于O ，对角线长8cm ，∠AOD=60°，则AD=________，AB=________。
4、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，∠1=∠2，∠BOC=120°，AB=4，则四边形ABCD 的面积=________。
5、矩形的面积是60，一边长为5，则它的一条对角线长等于 。
6、如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。
7、 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________。
8、已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 。
题4图 题8图9、若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 。
10、平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ）A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角相等 11、下列叙述错误的是（ ）A.平行四边形的对角线互相平分B.平行四边形的四个内角相等。
C.矩形的对角线相等。
D.有一个角是90º的平行四边形是矩形12、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（ ）A ．测量两条对角线是否相等B ．用曲尺测量对角线是否互相垂直C ．用曲尺测量门框的三个角是否都是直角 D.测量两条对角线是否互相平分13、矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则AD 的长是（ ）A 、5cmB 、7.5cmC 、10cmD 、12.5cm14、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A 、平行四边形B 、等边三角形C 、矩形D 、直角三角形15、如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（ ）A.B. C. D.题15图 题16图16、如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC 与BD 相交于点O ，AB=6，OA=4，则AD 的长为（ ）A 、4B 、8C 、33D 、72yxP D CB A O解答题：1、如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，︒=∠120AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。
20xx-20xx北师大版数学九年级上册矩形的性质与判定同步课时练习题含答案.doc
北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定1.2.1矩形的性质同步课时练习题1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是()A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对边平行2．矩形具有而菱形不具有的性质是()A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3.如图，矩形 ABCD的顶点 A，C分别在直线 a，b上，且 a∥b，∠ 1＝60°，则∠2的度数为()A．30°B．45°C．60°D．75°4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为()A. 3 cm B．2 cm C．2 3 cm D．4 cm5.如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AB与 DC重合得到折痕 EF，将纸片展平；再一次折叠，使点 D落到 EF 上点 G处，并使折痕经过点 A，展平纸片后∠ DAG的大小为()A．30°B．45°C．60°D．75°6.如图，已知矩形 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点 O，AE⊥BD于点 E，若∠DAE∶∠ BAE＝3∶1，则∠ EAC的度数是()A．18°B．36°C．45°D．72°7.如图，在矩形 ABCD中， AB＝4，BC＝6，点 E 为 BC的中点．将△ ABE沿AE折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，连接 CF，则 CF的长为( )A. 9B.12C.16D.18 5 5 5 58. 已知四边形 ABCD，若 AB∥CD，AD∥BC，且∠ D＝90°，则四边形 ABCD为____．9.2cm，则该矩形的对角线长已知矩形的面积为 40 cm，一边长为 5为．10.如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，且CD＝5，则AB＝____ cm.11.如图， Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点E是斜边AB上任意一点，作 EF⊥AC于点 F，EG⊥BC于点 G，则矩形 CFEG的周长是 ____．12.如图，在Rt△ABC中，∠ ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若 EF＝4cm，则 CD＝____cm.13.如图，“人字形”屋梁中，AB＝AC，点E，F，D分别是AB，AC，BC的中点，若AB＝6m，∠B＝30°，则支撑“人字形”屋梁的木料DE，AD，DF共有____m.14.直角三角形斜边上的高与中线分别是 5 cm和 6 cm，则它的面积是．15.如图，点 O是矩形 ABCD的对角线 AC的中点，点 M是 AD的中点，若 AB＝5，AD＝12，则四边形 ABOM的周长为 ____．16.如图，在矩形 ABCD中， AB＝3，对角线 AC，BD相交于点 O，AE垂直平分 OB 于点 E，则 AD的长为．17.如图所示，在△ ABC中， BD，CE是高，点 G，F分别是 BC，DE的中点，则下列结论中：① GE＝GD；② GF⊥DE；③ GF平分∠ DGE；④∠ DGE＝60°. 其中正确的是．( 填写序号)18.如图，矩形 ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，若 AB＝AO，求∠ ABD的度数．19.如图所示，矩形 ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，AE⊥BD，垂足为点E，∠1＝∠ 2，OB＝6cm.(1) 求∠ BOC的度数；(2)求△ DOC的周长．20.准备一张矩形纸片，按下图操作：将△ ABE沿 BE翻折，使点 A 落在对角线 BD上的 M点，将△ CDF沿 DF翻折，使点 C落在对角线 BD上的 N点．(1)求证：四边形 BFDE是平行四边形；(2)若四边形 BFDE是菱形， AB＝2，求菱形 BFDE的面积．参考答案：1---7CBCDC CD8.矩形9.89cm10.1011.1212. 413.9214. 30cm15. 2016. 3 317.①②③18. 解：在矩形 ABCD中， AC＝BD，AO＝1AC，BO＝1BD，2 2∴AO＝BO.又∵ AB＝AO，∴ AO＝BO＝AB，即△ ABO为等边三角形．∴∠ ABD＝60°19.解： (1) ∵AE⊥BD,∴∠ AEO＝∠ AEB＝90°，又∵ AE＝AE，∠ 1＝∠ 2，∴△ AEO≌△ AEB.∴AB＝AO.又∵ OA＝OB,∴△ AOB为等边三角形，∴∠ AOB＝60°，∴∠ BOC＝120°(2) 由矩形的性质可得△ OCD ≌△ OAB ，∴OC ＝OA ＝OB ＝6 cm.∴△ DOC 的周长为 18 cm20. (1) ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ A ＝∠ C ＝90°，AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ ABD＝∠ CDB ，由折叠可知，∠ EBD ＝∠ FDB ，∴ EB ∥DF ，∵ ED ∥BF ，∴四边形 BFDE为平行四边形(2) ∵四边形 BFDE 为菱形，∴ BE ＝BF ，∠ EBD ＝∠ FBD ＝∠ ABE ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD ＝BC ，∠ ABC ＝90°，∴∠ ABE ＝30°，∵∠ A ＝90°， AB ＝2，∴AE ＝2 3，BF ＝BE ＝2AE ＝43，33∴菱形 BFDE 的面积为43×2＝8 33 3。
北师大版九年级数学上册《1.2 矩形的性质与判定》同步练习题-附答案
北师大版九年级数学上册《1.2 矩形的性质与判定》同步练习题-附答案一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若OB=5．则AC=（）A．10 B．8 C．5√3D．52．如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C.则AB的长度为（）A．1 B．√2C．√3D．23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC 的度数是（）A．18°B．36°C．45°D．72°4．如图，在矩形ABCD中E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，BF，且G，H分别是BE，BF的中点，已知BD=20，则GH的长为( )A．4B．5C．8D．105．如图∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点（点P不与点B，C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC 于点F，则EF的最小值为（）A．4 B．4.8C．5.2D．66．如图，在矩形纸片ABCD中AB=10，AD=6点E为AD边上一点，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在CD边上点F处，则AE长为（）A．83B．72C．103D．1347．如右图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，则在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（）A．15 B．5+5√5C．10+5√2D．18二、填空题9．在矩形ABCD中AB=2，对角线AC与BD相交于点 O，若∠BAO=60°，则边BC的长为．10．如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOD=120°若AB=3cm，则AC=cm．11．如图所示的长方形纸条ABCD，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，若∠1=70°，则∠KNC=°12．如图，在矩形ABCD中AB=2AD=6，点P为AB边上一点，且AP≤3，连接DP，将ΔADP沿DP折叠，点A落在点M处，连接CM,BM，当ΔBCM为等腰三角形时，BP的长为．13．如图，在矩形ABCD中AB=8，BC=12，E为BC上一点，CE=4，M为BC的中点．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且PE=2QE．若PD和AQ交于点F，连接MF，则MF的最小值为．三、解答题14．如图，折叠长方形纸片ABCD的一边，使点D落在BC边的D′处AB=6cm，BC=10cm求CE的长．15．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，点F在CD边上，且AB=4，BE=3，EF=6，AF=√61求三角形AEF的面积．16．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且AE=CG,BF=DH，连接EG、FH．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）若EG=FH,∠AHE=35°，求∠DHG的度数．17．如图，四边形ABCD中∠DAB=45°，AB=8，AD=3√2，E为AB中点，且CD⊥DE，连接CE．（1）求DE的长度；（2）若∠BEC=∠ADE，求BC的长度．18．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点。
北师大版数学九年级上册：1.2.1 矩形的定义及性质 同步练习(含答案)
1.2.1 矩形的定义及性质一、选择题1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等2.如图K-4-1,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.已知∠AOB=60°,AC=16,则图中长度为8的线段的条数为()图K-4-1A.4B.6C.8D.103.如图K-4-2,在△ABC中,∠A+∠B=90°,D为AB上一点,AD=DB,CD=3,则AB的长度为()图K-4-2A.3B.4C.5D.64.如图K-4-3,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是CD边的中点.若AB=12,OM=92,则线段OB的长为()图K-4-3A.7B.8C.152D.1725.如图K-4-4,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C'处,点B落在点B'处,其中AB=9,BC=6,则FC'的长为()图K-4-4A.10B.4C.4.5D.53二、填空题6.如图K-4-5,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,若∠C=55°,则∠ABD=°.图K-4-57.如图K-4-6,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O的直线与AD,BC分别交于点E,F,已知AD=4 cm,图中阴影部分的面积为6 cm2,则对角线AC的长为cm.图K-4-68.如图K-4-7,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是直线BC上一点,且BE=OB,连接AE,若∠BAC=60°,则∠CAE的度数是.图K-4-79.如图K-4-8,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A,B分别在边OM,ON上,当点B在边ON上运动时,点A也随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=4,BC=2,运动过程中点D到点O的最大距离是.图K-4-8三、解答题10.如图K-4-9,在矩形ABCD中,E是AB的中点,连接DE,CE.(1)求证:△ADE≌△BCE;(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周长.图K-4-911.如图K-4-10,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,且BE=DF.(1)求证:AE=CF;(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.图K-4-1012.如图K-4-11,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ACB=90°,且E是AB的中点,CE∥AD.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若AC=6,CE=5,求四边形ABCD的面积.图K-4-1113.如图K-4-12,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.(1)求证:BD=BE;(2)若∠DBC=30°,BO=4,求四边形ABED的面积.图K-4-1214.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图K-4-13①所示,两阴影部分面积相等)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》) 请根据图①完成这个推论的证明过程.证明:S矩形NFGD=S△ADC-(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF=S△ABC-(+),易证S△ADC=S△ABC,=,=,可得S矩形NFGD=S矩形EBMF.图K-4-13[变式]如图②,P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于点E,F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8,则图中阴影部分的面积为.参考答案1.B2.B [解析] 根据题意可知,△AOB 和△COD 都是边长为8的等边三角形,所以长度为8的线段有6条.3.D [解析] ∵在△ABC 中,∠A+∠B=90°,∴∠ACB=90°. ∵AD=DB ,∴CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线, ∴AB=2CD=6.故选D .4.C [解析] ∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点,M 是CD 边的中点, ∴OM 是△ADC 的中位线,∴AD=2OM=9.∵四边形ABCD 是矩形,AB=12,∴∠D=∠ABC=90°,CD=AB=12, ∴AC=2+CD 215,∴OB=12AC=152.故选C .5.D [解析] 设FC'=x ,则FC=x ,FD=9-x.∵BC=6,四边形ABCD 为矩形,C'为AD 的中点,∴AD=BC=6,C'D=3,∠D=90°.在Rt △FC'D 中,∠D=90°,FC'=x ,FD=9-x ,C'D=3,∴FC'2=FD 2+C'D 2,即x 2=(9-x )2+32,解得x=5.故选D . 6.357.5 [解析] ∵图中阴影部分的面积为6 cm 2,AD=4 cm,则12AD ·CD=12×4×CD=6,∴CD=3(cm).在Rt △ACD 中,AD=4 cm,CD=3 cm,由勾股定理得AC=5 cm,即对角线AC 的长为5 cm . 8.15° [解析] ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABC=90°,OA=OC ,OB=OD ,AC=BD ,∴OA=OB. 又∵∠BAC=60°,∴△AOB 是等边三角形, ∴AB=OB.又∵BE=OB ,∴AB=BE , ∴△ABE 是等腰直角三角形,∴∠BAE=45°,∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-45°=15°.故答案为15°. 9.2+2√210.解:(1)证明:在矩形ABCD 中,AD=BC ,∠A=∠B=90°. ∵E 是AB 的中点,∴AE=BE.在△ADE与△BCE中,∵AD=BC,∠A=∠B,AE=BE,∴△ADE≌△BCE(SAS).(2)由(1),知△ADE≌△BCE,∴DE=CE.AB=3,在Rt△ADE中,AD=4,AE=12由勾股定理,知DE=√AD2+AE2=√42+32=5,∴△CDE的周长=DE+CE+CD=2DE+AB=2×5+6=16.11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD.又∵BE=DF,∴OE=OF.在△AOE和△COF中,∵OA=OC,∠AOE=∠COF,OE=OF,∴△AOE≌△COF(SAS),∴AE=CF.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC=OB=OD.又∵∠AOB=∠COD=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB=6,∴AC=2OA=12.在Rt△ABC中,BC=√AC2-AB2=6√3,∴矩形ABCD的面积=AB·BC=6×6√3=36√3.12.解:(1)证明:∵AB∥CD,CE∥AD,∴四边形AECD是平行四边形.∵∠ACB=90°,E是AB的中点,AB,∴四边形AECD是菱形.∴CE=AE=12(2)由(1)知AB=2CE=10.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,∴BC=√AB2-AC2=8,∴S △ABC =12BC ·AC=24.∵E 是AB 的中点,四边形AECD 是菱形, ∴S △AEC =S △EBC =S △ACD =12, ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =36.13.[解析] (1)根据“矩形的对角线相等”可得AC=BD ,然后证明四边形ABEC 是平行四边形,再根据“平行四边形的对边相等”可得AC=BE ,从而得证;(2)根据矩形的对角线相等且互相平分求出BD 的长度,再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD 的长度,然后利用勾股定理求出BC 的长度,再利用梯形的面积公式列式计算即可得解.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形, ∴AC=BD ,AB ∥CD. 又∵BE ∥AC ,∴四边形ABEC 是平行四边形, ∴AC=BE , ∴BD=BE.(2)∵在矩形ABCD 中,BO=4, ∴BD=2BO=2×4=8. ∵∠DBC=30°,∠DCB=90°, ∴CD=12BD=12×8=4, ∴AB=CD=4,∴DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8.在Rt △BCD 中,BC=√BD 2-CD 2=√82-42=4√3, ∴AD=BC=4√3,∴四边形ABED 的面积=12×(4+8)×4√3=24√3.14.S △AEF S △FCM S △ANF S △AEF S △FGC S △FCM变式 16。
北师大版数学九年级上册矩形的性质与判定 同步练习题 含答案
第一章特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定1. 如图，在△ABC中，BD，CE是高，点G，F分别是BC，DE的中点，则下列结论中错误的是( )A．∠DGE＝60° B．GF⊥DE C．GF平分∠DGE D．GE＝GD2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD 的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长等于( )A. 7cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm3. 如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )A. 13B. 14 C, 15 D. 164. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别为边BC，AC，AB的中点，AH⊥BC于点H，若FD＝8 cm，则HE等于( )A. 11cmB. 10cmC. 9cmD. 8cm5. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A．对边相等 B．对角线相等 C．对角相等 D．对角线互相平分6. 下列四边形不是矩形的是( )A．有三个角都是直角的四边形B．四个角都相等的四边形C．对角线相等且互相平分的四边形D．一组对边平行，且对角相等的四边形7. 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AB∥DC D．AB＝DC8. 在数学活动课上， 老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形， 下面是某合作学习小组的4位同学拟订的方案， 其中正确的是( ) A ．测量两组对边是否分别相等 B ．测量对角线是否相互平分 C ．测量其内角是否都为直角 D ． 测量对角线是否垂直9. 如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F ，在下列结论中，不一定正确的是( )A ．BE ＝AD －DFB ．AF ＝12ADC ．AB ＝AFD ．△AFD ≌△DCE10. 如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB ，BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是( )A ．4.8B ．5C ．6D ．7.211. 如图，矩形ABCD 的顶点A ，C 分别在直线a ，b 上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2=12. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝2，则矩形ABCD的面积=13. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知条件：①AB∥CD；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD，则下列条件的组合不能使四边形ABCD成为矩形的选项是 (填序号)14. 在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，2)，要使四边形OBCA为矩形，则C点的坐标为________．15. 已知一直角三角形的周长是4＋26，斜边的中线长是2，则这个三角形的面积是16. 如图，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件，使四边形ABCD为矩形．17. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形OCED的周长为18. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为19. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，D 是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为20. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，点E，F分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝________．21. 如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC 的交点为点O，连接DE.(1)求证：△ADE≌△CED；(2)求证：DE∥AC.22. 如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且EA＝ED.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若BC＝6 cm，AE＝5 cm，求S▱ABCD.23. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.24. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，已知O 是AC 的中点，AE ＝CF ，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论．25. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．答案：1---10 ACBDB DADBA 11. 60° 12. 4 3 13. ② ⑤ ⑥ 14. (3，2) 15. 5216. ∠B＝90°或∠BAC＋∠BCA＝90° 17. 818. 60°19. (3，43) 20. 221. 解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，由折叠知BC ＝CE ＝AD ，AB ＝AE ＝CD ，又∵DE ＝ED ，∴△ADE ≌△CED(SSS )．(2)∵△ADE ≌△CED ，∴∠EDC ＝∠DEA ，由折叠知∠OAC ＝∠CAB ，又∵∠OCA ＝∠CAB ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∵∠EOC ＝∠EAB ，∴2∠OAC ＝2∠DEA ，∴∠OAC ＝∠DEA ，∴DE ∥AC.22. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD ，又∵EA＝ED ， BE ＝EC ，∴△ABE≌△DCE，∴∠B＝∠C，∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝12×180°＝90°，∴▱ABCD 是矩形 (2)在Rt△ABE 中，BE ＝12BC ＝3(cm)， ∴AB＝AE 2－BE 2＝4(cm)，∴S ▱ABCD ＝AB·BC＝4×6＝24(cm 2)．23. 证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB ＝CD ， ∴∠BEF＋∠BFE＝90°，∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°，∴∠BFE＝∠CED，同理∠BEF＝∠EDC.在△EBF 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFE＝∠CED，EF ＝ED ，∠BEF＝∠EDC，∴△EBF≌△DCE(ASA )．∴BE＝CD.∴BE＝AB.∴∠BAE＝∠BEA＝45°.∴∠EAD＝45°.∴∠BAE＝∠EAD，即AE 平分∠BAD.24. (1)证明：∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，∵OA＝OC ， AE ＝CF ，∴OE＝OF ，∴△BOE≌△DOF(AAS )．(2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是矩形．证明如下：∵△BOE≌△DOF， ∴OB＝OD ，又∵OD＝12AC ，OA ＝OC ，∴OA＝OB ＝OC ＝OD ， ∴BD＝AC ，∴四边形ABCD 为矩形．25. (1)证明：如图所示，∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO ＝CO ，FO ＝CO ，∴OE ＝OF.(2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°，∵CE＝8，CF ＝6，∴EF＝82＋62＝10，∴OC＝12EF ＝5. (3)当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ，∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵∠ECF ＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形．1、最困难的事就是认识自己。
2023学年九年级上学期数学同步精讲精练(北师大版)1-2 矩形的性质与判定(习题)(含详解)
1.2矩形的性质及判定分层训练提分要义【基础题】1．下列说法中正确的是（ ）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 平行四边形的对角线平分一组对角D. 矩形的对角线相等且互相平分2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm ，则对角线的长为( )．A. 3.6cmB. 7.2cmC. 1.8cmD. 14.4cm3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm ，则周长为( )．A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm4．如图，矩形ABCD 的顶点A 、C 分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°5. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则它的面积为（ ）A.32cmB. 42cmC. 122cmD. 42cm 或122cm 6. 如图，矩形ABCG(AB ＜BC)与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是( )A.0B.1C.2D.37. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM 、FM 为折痕,折叠后的C 点落在B ′M 或B ′M 的延长线上,那么∠EMF 的度数是( )A.85°B.90°C.95°D.100°8．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD 的面积为8，则BE＝( )2A.2B.3C.22D.39.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（）A. 2aB. 22a C. 3a D.10.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A. 5B. 4C.D.【中档题】11．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．12. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形对角线AC长为________cm．13.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为_______.14.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为_________.15.在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，当点E、A'、C三点在一条直线上时，DF的长度为．16.已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．17.如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD 的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．【综合题】18. 如图在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,M,N在对角线AC上,且AM＝CN,E,F分别是AD,BC的中点.(1)求证:△ABM≌△CDN;(2)点G是对角线AC上的点,∠EGF＝90°,求AG的长.19．如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE∽△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF 的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．1.2矩形的性质及判定分层训练提分要义【基础题】1．下列说法中正确的是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 平行四边形的对角线平分一组对角D. 矩形的对角线相等且互相平分【答案】D；【解析】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴A不正确；∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴B不正确；∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，∴C不正确；∵矩形的对角线互相平分且相等，∴D正确；2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )．A. 3.6cmB. 7.2cmC. 1.8cmD. 14.4cm【答案】B；【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半.3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为( )．A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm【答案】B；【解析】由勾股定理，可算得邻边长为6cm和8cm，则周长为28cm.4．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45° C．60° D．75°【答案】C．【解析】过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C ．5. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则它的面积为（ ）A.32cmB. 42cmC. 122cmD. 42cm 或122cm 【答案】D ；【解析】矩形的短边可能是1，也可能是3，所以面积为4×1或4×3.6. 如图，矩形ABCG(AB ＜BC)与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是( )A.0B.1C.2D.3【答案】C ；【解析】当BP=AB 或BP=BC 时，∠APE 是直角.7. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM 、FM 为折痕,折叠后的C 点落在B ′M 或B ′M 的延长线上,那么∠EMF 的度数是( )A.85°B.90°C.95°D.100°【答案】B ；【解析】∠EMF ＝∠EMB ′＋∠FMB ′＝21∠BMC ′＋21∠CMC ′＝21×180°＝90°. 8．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝( )A.2B.3C.22D.32【答案】C ；【解析】过点C 做BE 垂线，垂足为F ，易证△BAE ≌△CBF ，所以BF ＝AE ，BE ＝CF ，所以总面积＝AE ×BE ＋CF ×EF ＝ AE ×BE ＋BE ×（BE －AE ）＝28BE =，22BE =.9.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB的中点，CD=DE=a ，则AB 的长为（ ）A. 2aB. 22a C. 3a D.【答案】 B 【考点】直角三角形斜边上的中线【解析】 【解答】解：∵CD ⊥AB ，CD=DE=a ，∴CE= a ，∵在△ABC 中，∠ACB=90°，点E 是AB 的中点，∴AB=2CE=2 a ， 故选B ．【分析】根据勾股定理得到CE= a ，根据直角三角形的性质即可得到结论10.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM=3，BC=10，则OB 的长为（ ）A. 5B. 4C.D.【答案】 D 【考点】矩形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=90°，∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB ，∴OM 是△ADC 的中位线，∴OM=3，∴DC=6，∵AD=BC=10，∴AC==2 ， ∴BO= AC= ，故选D ．【分析】已知OM 是△ADC 的中位线，再结合已知条件则DC 的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC 的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO 的长即可求出．【中档题】11．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连结CE ，则CE 的长______． 【答案】136； 【解析】设AE ＝CE ＝x ，DE ＝3x -，()22232x x =-+，136x =. 12. 如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB ＝4cm ，则矩形对角线AC 长为________cm ．【答案】8；【解析】由矩形的性质可知△AOB 是等边三角形，∴ AC ＝2AO ＝2AB ＝8cm ．14. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为_______.【答案】6；【解析】设AB ＝AF ＝x ，BE ＝EF ＝3，EC ＝5，则CF ＝4，()22284x x +=+，解得6x =.14.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P 是边AD 上的动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为_________. 【答案】125； 【解析】BD ＝5，利用面积法，PE ＋PF ＝△AOD 中OD 边上的高＝345⨯. 15.在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝3，E 是AB 边上一点，AE ＝2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A '，当点E 、A '、C 三点在一条直线上时，DF 的长度为 ．【答案】1或11；【解析】在旋转过程中A 有两次和E ，C 在一条直线上，第一次在EC 线段上，第二次在CE 线段的延长线上，利用平行的性质证出CF ＝CE ，即可求解；如图1：将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A '，∴∠AEF ＝∠EA 'F ，AE ＝A 'E ，∵AB ∥CD ，∴∠AEF ＝∠CFE ，∴CF ＝CE ，∵AB ＝6，AD ＝3，AE ＝2，∴CF ＝CE ＝6﹣DF ，A 'E ＝2，BE ＝4，BC ＝3，∴EC ＝5，∴6﹣DF ＝5，∴DF ＝1；如图2：由折叠∠FEA '＝∠FEA ，∵AB ∥CD ，∴∠CFE＝∠CEF，∴CF＝CE，∴CF＝5，∴DF＝11；故答案为1或11；16.已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）证明：∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形．17.如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．【答案】见解析。
北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题-附答案
北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数为（）A．60°B．75°C．72° D2．关于矩形的性质、下面说法错误的是（）A．矩形的四个角都是直角B．矩形的两组对边分别相等C．矩形的两组对边分别平行D．矩形的对角线互相垂直平分且相等3．在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点，以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点，若AD=2，CD=√5则EF=（）A．1B．4−√5C．√5−2 D4．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC边于点E，点F是AE的中点，连接OF，若∠BDC=2∠ADB，AB=1则FO的长度为（）A．√32B．12C．√3−1 D6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=2，则四边形CODE的周长是（）A．2.5B．3C．4D．57．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确．．．的是（）A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当AB=AC时，四边形ABCD是菱形8．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（）A．B．C．D．二、填空题9．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）10．如图，矩形ABCD中，点A坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是；11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE=5且OE=2DE，则DE的长为.12．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为cm213．如图，在矩形ABCD中AD=4，AB=6作AE平分∠BAD，若连接BF，则BF的长度为。
1.2矩形的性质与判定同步练习 2024-2025学年北师大版九年级数学上册
1.2矩形的性质与判定一、单选题1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直2．如图，在矩形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，连接AE ，若610CD AE ==，，则AD 的长为（）A ．12B ．14C ．16D ．203．如图，在矩形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，AE BD ⊥于点E ，若:1:2OE OD =，2cm OD =，则AE 的长为（）A ．1cmB ．2cmCD ．3cm4．如图，在ABCD 中，添加下列一个条件仍不能说明四边形ABCD 是菱形的是（）A ．AB AD =B ．AC BD =C ．AC BD ⊥D ．AC 平分BAD ∠5．如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，FC 交AD 于点E ．若AB ＝4，BC ＝8，则图中阴影部分的面积为（）A ．8B ．10C ．12.5D ．7.56．如图，矩形OABC 的顶点B 的坐标为()2,3，则AC 长为（）AB C ．5D ．4二、填空题7．如图，在矩形ABCD 中，46AB AD E ==，，是AB 边的中点，F 是线段BC 上的动点，将EBF △沿EF 所在直线折叠得到EB F '△，连接B D '，则B D '的最小值是．8．如图，将6AB =，10AD =的矩形纸片ABCD 放在直角坐标系中，顶点B 、C 在x 轴上，E 为AB 边上一点，连接CE ，将纸片ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在AD 边与y 轴的交点F 处，则E 点的坐标为．9．如图，在矩形ABCD 中，1610AD AB ==，，EF 在边AD 上，8EF =，连接EB FC ，，则线段EB FC +的最小长度为．10．如图，在四边形ACBD 中，60906BAC BAD ACB ADB BC ∠=∠=︒∠=∠=︒=，，，连接CD AB 、交于点O ，点E 为AB 上一动点，连接CE ，点P 为CE 的中点，连接OP DP 、，则OP DP +的最小值为．11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝M 为对角线BD 所在直线的一个动点，点N 是平面上一点．若四边形MCND 为平行四边形，MN ＝BM 的值为．12．如图，在四边形ACBD 中，5BC =，90ACB ADB ∠+∠=︒，连接AB ，CD ，若AB AD =，ABC V 的面积为152，则CD 的长为．三、解答题13．如图，点O 是△ABC 内一点，连结OB 、OC ，并将AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连结，得到四边形DEFG ．（1）求证：四边形DEFG 是平行四边形；（2）若M 为EF 的中点，OM=3，∠OBC 和∠OCB 互余，求DG 的长度．14．如图，在ABC V 中，O 是AB 边的中点，D 是CO 上一点，AE ∥B 交CO 的延长线于点E ．(1)求证：AE BD =；(2)若90ACB ∠=︒，BDO CAO ∠=∠，6AC =，求B 的长．15．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连接BM 、DN ．(1)求证：四边形BNDM 是菱形；(2)若BD =5MD =，求AB 的长．16．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，△BOC ≌△CE B ．(1)求证：四边形OBEC 是矩形；(2)若∠DAC ＝30°，AB ＝4，求矩形OBEC 的周长．17．如图，点M 在ABCD 的边AD 上，5BM CM ==，请从以下三个选项：①M 为AD 的中点，②12∠=∠，③34∠=∠中，选择一个合适的选项作为条件，使ABCD 为矩形．(1)你选择的条件是______（填序号），并证明ABCD 为矩形；(2)若3AM =，求矩形ABCD 的面积．18．将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，10OA =，8OC =.(1)如图①，在OC 边上取一点D ，将BCD 沿BD 折叠，使点C 恰好落在OA 边上，记作点E ，求点E 的坐标及折痕DB 的长.(2)如图②，在OC ，CB 边上选取适当的点F ，G ，将FCG ∆沿FG 折叠，使点C 落在OA 边上，记作点H ，设OH a =，四边形OHGC 的面积为S .求：S 与a 之间的函数关系式.。
数学九年级上学期《矩形的性质与判定》同步练习
北师大新版数学九年级上学期《1.2矩形的性质与判定》同步练习一．选择题（共10小题）1．如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（）A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）=40°C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）=70°D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°2．矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征（）A．对角相等B．对角线相等C．对角线互相平分D．对边相等3．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，EB∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是（）A．B．C．D．4．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．B．C．D．不确定5．如图，在矩形ABCD中，AD=30，AB=20，若点E、F三等分对角线AC，则△ABE的面积为（）A．60 B．100 C．150D．2006．如图，利用四边形的不稳定性改变矩形ABCD的形状，得到▱A1BCD1，若▱A1BCD1的面积是矩形ABCD面积的一半，则∠ABA1的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=4cm，则矩形ABCD的面积为（）A．12cm2B．4cm2C．8cm2D．6cm28．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=2，则AC的长是（）A．4 B．6 C．8D．109．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，O为对角线AC的中点，点P、Q分别从A和B两点同时出发，在边AB和BC上匀速运动，并且同时到达终点B、C，连接PO、QO并延长分别与CD、DA交于点M、N．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先减小后增大D．先增大后减小10．如图，矩形ABCD由3×4个小正方形组成，此图中不是正方形的矩形有（）A．34个B．36个C．38个D．40个二．填空题（共6小题）11．如果▱ABCD成为一个矩形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．12．如图，在平行四边形中，∠B=60°，AB=4，AD=6，动点F从D出发，以1个单位每秒的速度从D向A运动，同时动点E以相同速度从点C出发，沿BC方向在BC的延长线上运动，设运动时间为t，连接DE、CF．探究：①当t=s，四边形DECF是菱形；②当t=s，四边形DECF是矩形．13．的平行四边形是矩形（填一个合适的条件）．14．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，P为BC上一点，PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，则DF与DE的关系为．15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是．16．如图，在矩形ABCD中，M为CD的中点，连接AM、BM，分别取AM、BM 的中点P、Q，以P、Q为顶点作第二个矩形PSRQ，使S、R在AB上．在矩形PSRQ中，重复以上的步骤继续画图…．若AM⊥MB，矩形ABCD的周长为30．则（1）PQ=；（2）第n个矩形的边长分别是．三．解答题（共5小题）17．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AD的延长线于点E，试说明AC=CE．18．如图，在长方形ABCD中，点E，F分别在边AB和BC上，∠AEF的平分线与边AD交于点G，线段EG的反向延长线与∠EFB的平分线交于点H．（1）当∠BEF=50°（图1），试求∠H的度数．（2）当E，F在边AB和BC上任意移动时（不与点B重合）（图2），∠H的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠H的度数．19．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、G分别在AD、BC上，且DE=BG=1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFGH是什么特殊四边形？并证明你的判断．20．已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE=AD，DF⊥AE，垂足为F，求证：DF=AB．21．如图，在矩形ABCD中，E是BC上的一点，且AE=AD，又DF⊥AE于点F（1）求证：CE=EF；（2）若EF=2，CD=4，求矩形ABCD的面积．参考答案与试题解析一．选择题1．A分析:依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得∠ABC=θ2+80°﹣θ1，∠BCD=θ3+130°﹣θ4，再根据矩形ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°，即可得到（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°．2．B分析:举出矩形和平行四边形的所有性质，找出矩形具有而平行四边形不具有的性质即可．3．C分析:过点D作DG⊥BE，垂足为G，则GD=3，首先证明△AEB≌△GED，由全等三角形的性质可得到AE=EG，设AE=EG=x，则ED=4﹣x，在Rt△DEG中依据勾股定理列方程求解即可．4．C分析:首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA=OD=5，=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF求得答案．△AOD的面积，然后由S△AOD5．B分析:先求出矩形的面积，根据矩形得到△ABC≌△CDA，即可求出△ABC的面积，根据等底等高的三角形的面积相等即可求出答案．6．D分析:过A1作A1H⊥BC于H，根据▱A1BCD1的面积是矩形ABCD面积的一半，求出A1H=A1B，根据含30度角的直角三角形性质求出∠A1BH=30°即可．7．B分析:根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD=OC，由∠AOB=60°，判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB，进而利用勾股定理得出BC，利用矩形的面积公式解答即可．8．A分析:由四边形ABCD为矩形，根据矩形的对角线互相平分且相等，可得OA=OB，又∠AOB=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得三角形AOB为等边三角形，根据等边三角形的每一个角都相等都为60°可得出∠BAO为60°，在直角三角形ABC中，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠ACB为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的半径，由AB的长可得出AC的长．9．C分析:根据矩形对角线将矩形分成了面积相等的四部分，找到三个分界处P与Q 点的位置及面积的变化，作对比，进行比较可得结论．10．D分析:解答此题要从矩形的两边长进行分类分析，在由3×4个小正方形组成矩形ABCD中，不是正方形的矩形的两边长存在以下几种情况：2、1；3、1；4、1；3、2；3、4；4、2．二．填空题11．∠A=90°分析:根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．12．①4；②2．分析:根据平行四边形的性质可得出DF∥CE，由点D、C的运动速度可得出DF=CE，从而得出四边形DECF为平行四边形．①利用菱形的判定定理可得出：当DF=CF时，平行四边形DECF为菱形．由CF=DF 结合∠ADC=60°可得出△CDF为等边三角形，进而可得出DF=4，此题得解；②利用矩形的判定定理可得出：当∠CFD=90°时，平行四边形DECF为矩形．通过解直角三角形可得出DF=2，此题得解．13．有一个角是直角（答案不唯一）分析:根据矩形的判定添上即可，答案不唯一：如①有一个角是直角，②对角线相等等．14．DF=DE且DF⊥DE分析:如图，连接AD．欲证明DF=DE，只要证明△ADF≌△CDE即可．15．≤AM＜2分析:首先连接AP，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，可证得四边形AEPF是矩形，即可得AP=EF，即AP=2AM，然后由当AP⊥BC时，AP最小，可求得AM的最小值，又由AP＜AC，即可求得AM的取值范围．16．10×，5×分析:（1）AM⊥MB，且M为CD的中点，AM=MB，可得∠DAM=∠DMA，可得AD=DM=CD，再根据矩形ABCD的周长为30，可求的CD的长，进而得出PQ．（2）由第一问求得：第一个矩形的长为：10，宽为5，根据三角形中位线定理，PQ=5，则宽为，由此以此类推可得第n个矩形的边长．三．解答题17．分析:由矩形的性质，可得AC=BD，欲求AC=CE，证BD=CE即可．可通过证四边形BDEC是平行四边形，从而得出BD=CE的结论．解答: 解：在矩形ABCD中，AC=BD，AD∥BC．又∵CE∥DB，∴四边形BDEC是平行四边形．∴BD=EC，∴AC=CE．18．分析:（1）根据三角形的内角和是180°，可求∠EFB=40°，所以∠EFH=20°，又由平角定义，可求∠AEF=130°，所以∠GEF=65°，又根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可得∠H=45度．（2）运用（1）中的计算方法即可得到，∠H的大小不发生变化．解答: 解：（1）∵∠B=90°，∠BEF=50°，∴∠EFB=40°．∵GE是∠AEF的平分线，HF是∠BFE的平分线，∴∠GEF=65°，∠EFH=20°．∵∠GEF=∠H+∠EFH，∴∠H=65°﹣20°=45°．（2）不变化．∵∠B=90°，∴∠EFB=90°﹣∠BEF．∵GE是∠AEF的平分线，HF是∠BFE的平分线，∴∠GEF=∠AEF=（180°﹣∠BEF），∠EFH=∠EFB=（90°﹣∠BEF）．∵∠GEF=∠H+∠EFH，∴∠H=∠GEF﹣∠EFH=（180°﹣∠BEF）﹣（90°﹣∠BEF）=45°．19．分析:（1）根据矩形性质得出CD=2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE2+BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理求出即可；（2）根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBG和AECG，推出EH∥FG，EF∥HG，推出平行四边形EFGH，根据矩形的判定推出即可．解答:解：（1）△BEC是直角三角形：理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，由勾股定理得：CE===，同理BE=2，∴CE2+BE2=5+20=25，∵BC2=52=25，∴BE2+CE2=BC2，∴∠BEC=90°，∴△BEC是直角三角形．（2）四边形EFGH为矩形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BG，∴四边形DEBG是平行四边形，∴BE∥DG，∵AD=BC，AD∥BC，DE=BG，∴AE=CG，∴四边形AECG是平行四边形，∴AG∥CE，∴四边形EFGH是平行四边形，∵∠BEC=90°，∴平行四边形EFGH是矩形．20．分析:根据矩形性质得出∠B=∠DFA=90°，AD∥BC，求出∠DAF=∠AEB，△AFD≌△EBA，根据全等得出即可．解答:证明：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE，∴∠B=∠DFA=90°，AD∥BC，∴∠DAF=∠AEB，在△AFD和△EBA中，∴△AFD≌△EBA（AAS），∴DF=AB．21．分析:（1）连接DE，利用矩形的性质，则可证得Rt△ABE≌Rt△DFA，进一步可证得Rt△DFE≌Rt△DCE，则可证得结论；（2）设BE=x，则AF=x，AE=x+2，在Rt△ABE中，利用勾股定理，可求得AE，则可求得BC的长，可求得矩形ABCD的面积．解答:证明：（1）如图，连接DE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD=∠B=90°．又∵AD=AE，∴Rt△ABE≌Rt△DFA．∴AB=CD=DF．又∵∠DFE=∠C=90°，DE=DE，∴Rt△DFE≌Rt△DCE．∴EC=EF；（2）∵EF=EC=2，CD=AB=4，∴设BE=x，则AF=x，AE=x+2．在Rt△ABE中，∵BE2+AB2=AE2，∴42+x2=（x+2）2．解这个方程得：x=3，∴BC=5．∴矩形ABCD的面积=5×4=20．北师大新版数学九年级上学期《1.3正方形的性质与判定》同步练习一．选择题（共10小题）1．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE=DF ，②∠DAF=15°，③AC 垂直平分EF ，④S △CEF =2S △ABE ，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．正方形ABCD 中，点P ，Q 分别是边AB ，AD 上的点，连接PQ 、PC 、QC ，下列说法：①若∠PCQ=45°，则PB +QD=PQ ；②若AP=AQ=，∠PCQ=36°，则；③若△PQC 是正三角形，若PB=1，则AP=．其中正确的说法有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个3．如图，在正方形ABCD 的外侧作等边△ADE ，则∠AEB 的度数为（ ）A ．10°B ．12.5°C ．15°D ．20°4．下列说法错误的是（ ）A ．平行四边形的内角和与外角和相等B ．一组邻边相等的平行四边形是菱形C ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D ．四条边都相等的四边形是正方形5．在3×4的方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子，至少要去掉（ ）枚围棋子，才能使得剩下的棋子中任意四枚都不够成正方形的四个顶点．A ．2B ．3C ．4D ．5 6．下列命题正确的是（ ）A ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形B ．对角线相等的四边形一定是矩形C ．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形D ．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形7．直角梯形ABCD 中，∠A=∠D=90°，DC ＜AB ，AB=AD=12，E 是边AD 上的一点，恰好使CE=10，并且∠CBE=45°，则AE的长是（）A．2或8 B．4或6 C．5 D．3或78．下列说法中，正确的是（）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B．对角线相等的平行四边形是正方形C．相等的角是对顶角D．角平分线上的点到角两边的距离相等9．如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（）A．四边形AEDF一定是平行四边形B．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形C．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形D．若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形10．在△ABC中，AC=AB，D，E，F分别是AC，BC，AB的中点，则下列结论中一定正确的是（）A．四边形DEBF是矩形B．四边形DCEF是正方形C．四边形ADEF是菱形D．△DEF是等边三角形二．填空题（共6小题）11．如图，以正方形ABCD的边AD为一边作等边三角形ADE，F是DE的中点，BE、AF相交于点G，连接DG，若正方形ABCD的面积为36，则BG=．12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且DE∥AC，DF∥AB．（1）如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是形；（2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是形；（3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是形．13．如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH=FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG=3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为．14．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，连接OE，DE=6，OE=8，则另一直角边AE的长为．15．已知如图，△ABC为等腰三角形，D为CB延长线上一点，连AD且∠DAC=45°，BD=1，CB=4，则AC长为．16．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B=90°，∠ADC=∠ACB+45°，BC=AB+，若AC=CD，则边AD的长为．三．解答题（共4小题）17．在正方形ABCD中，CE⊥DF．（1）如图1，证明：BE=CF．（2）如图2，设正方形对角线交点为O，连接EO，FO猜想：OE与OF之间的关系．并说明理由．（3）在（2）中，若OE=，FC=1，求正方形的边长．18．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，（1）求DE的长；（2）过点EF作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．19．如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，垂足为O，连接DE、DF．（1）判断四边形AEDF的形状，并证明；（2）直接写出△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？20．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？参考答案一．选择题1．D．2．A．3．C．4．D．5．C．6．D．7．B．8．D．9．B．10．C．二．填空题11．3．12．矩形；菱形；正方形．13．914．10．15．2．16．．三．解答题17．（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠BCD=90°，∵CE⊥DF，∴∠CDF+∠DCE=90°，又∵∠BCE+∠DCE=90°，∴∠BCE=∠CDF，在△BCE和△CDF中，∴△BCE≌△CDF（ASA），∴BE=CF；（2）OE=OF；理由：∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，在△OEB和△OCF中，∴△OEB≌△OCF（SAS），∴OE=OF；（3）解：如图，连接EF，∵△OEB≌△OCF，∴∠EOB=∠FOC，OE=OF=∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°，∴EF==，又∵BE=CF=1∴BF==3∴BC=BF+FC=3+1=4；即正方形的边长是4．18．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ADC=90°，∠DBC=∠BCA=∠ACD=45°，∵CE平分∠DCA，∴∠ACE=∠DCE=∠ACD=22.5°，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+22.5°=67.5°，∵∠DBC=45°，∴∠BEC=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°=∠BCE，∴BE=BC=，在Rt△ACD中，由勾股定理得：BD==2，∴DE=BD﹣BE=2﹣；（2）∵FE⊥CE，∴∠CEF=90°，∴∠FEB=∠CEF﹣∠CEB=90°﹣67.5°=22.5°=∠DCE，∵∠FBE=∠CDE=45°，BE=BC=CD，∴△FEB≌△ECD，∴BF=DE=2﹣；（3）延长GE交AB于F，由（2）知：DE=BF=2﹣，由（1）知：BE=BC=，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∴△DGE∽△BFE，解得：DG=3﹣4．19．解：（1）四边形AEDF是菱形，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO，∵EF垂直平分AD，∴EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形；（2）当△ABC中∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；∵∠BAC=90°，∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．20．解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°．∴∠ABC=∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA=∠BAD=45°．∵∠EDA=∠BDE﹣∠BDA=∠BDE﹣45°，∠DAG=360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD=360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°=225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG=∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC=180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG=90°．则∠BAC=360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC=360°﹣45°﹣90°﹣90°=135°，即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形；（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，且AG=AD．由（2）知，当∠DAG=90°时，∠BAC=135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD=AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC=AG，∴AC=AB．∴当∠BAC=135°且AC=AB时，四边形ADEG是正方形．数学九年级上册同步练习1.3 正方形的性质与判定学校:___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共12小题）1．下列哪种四边形的两条对角线互相垂直平分且相等（）A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形2．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角形互相垂直平分3．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A．B．C．1 D．1﹣4．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E为边BC上的点，以DE为边向外作矩形DEFG，使EF过点A，若DE=9，那么DG的长为（）A．3 B．3 C．4 D．45．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形6．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形D．四边形ACDF不可能是正方形7．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）A．①B．②C．③D．④8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（）A．BD=AB B．AC=AD C．∠ABC=90°D．OD=AC9．下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D．邻边相等的矩形是正方形10．如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD、AC、BC于M、O、N，连结AN，CM，则四边形ANCM是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．无法判断11．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高，得到下面四个结论：①OA=OD ；②AD ⊥EF ；③当∠BAC=90°时，四边形AEDF 是正方形；④AE 2+DF 2=AF 2+DE 2．其中正确的是（ ）A ．②③B ．②④C ．②③④D ．①③④12．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 作EF 垂直于BD 交AB ，CD 分别于点F ，E ，连接DF ，BE ．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF ；小何：四边形DFBE 是正方形；小夏：S 四边形AFED =S 四边形FBCE ；小雨：∠ACE=∠CAF ．这四位同学写出的结论中不正确的是（ ）A ．小青B ．小何C ．小夏D ．小雨二．填空题（共6小题）13．如图，将正方形OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点E 的坐标为（2，3），则点F 的坐标为 ．14．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BEA的度数是度．15．如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB=2cm．则图中阴影部分面积为．16．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是．（请写出正确结论的序号）．17．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是．18．如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH=FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG=3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为．三．解答题（共5小题）19．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．20．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．21．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．22．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE；（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．23．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB=2，CE=，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．参考答案一．选择题（共12小题）1．D．2．B．3．A．4．C．5．D．6．B．7．C．8．C．9．B．10．B．11．C．12．B．二．填空题（共6小题）13．（﹣1，5）．14．67.5．15．．16．①②．17．3．18．9三．解答题（共5小题）19．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF．20．解：（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，∴∠CFH=∠CBG，∵BF=CF，∴△BGF≌△FHC，（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EF⊥GH且EF=GH，∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，∴GH=，且GH∥BC，∴EF⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB=EF=GH=a，∴矩形ABCD的面积=．21．证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠A=∠C=90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∴∠DFG=90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF=GC；（2）BH=AE，理由是：证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM=AE，∵AD=AB，∴DM=BE，由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ADC=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EDG=45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH，∴∠1=∠BEH，在△DME和△EBH中，∵，∴△DME≌△EBH，∴EM=BH，Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，∴EM=AE，∴BH=AE；证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH=90°，由方法一可知：DE=EH，∠1=∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENH，∴AE=HN，AD=EN，∵AD=AB，∴AB=EN=AE+BE=BE+BN，∴AE=BN=HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH=HN=AE．22．解：（1）四边形BECF是菱形．∵EF垂直平分BC，∴BF=FC，BE=EC，∴∠3=∠1，∵∠ACB=90°，∴∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°，∴∠2=∠4，∴EC=AE，∴BE=AE，∵CF=AE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形．（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠1=45°，∴∠EBF=2∠A=90°，∴菱形BECF是正方形．23．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA=∠BCA，∴EQ=EP，∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，∴∠QEF=∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD，∴EF=ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC=AB=2，∵EC=，∴AE=CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG=．（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC=120°，②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC=30°综上所述，∠EFC=120°或30°．。