导数----极值点偏移
第15讲 导数中的极值点偏移问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案
第15讲导数中的极值点偏移问题（高阶拓展、竞赛适用）（8类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【备考策略】1能用导数解决函数的基本问题2能理解并掌握极值点偏移的含义3能结合极值点偏移的形式综合证明及求解【命题预测】极值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高，需要综合复习1. 极值点偏移的含义众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则mx =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有0212x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则221x x +与极值点m 必有确定的大小关系：若221x x m +<，则称为极值点左偏；若221x x m +>，则称为极值点右偏.如函数xe xx g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，我们称之为极值点左偏.2. 极值点偏移问题的一般题设形式1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f ；4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f .3. 极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）4. 对数平均不等式5. 运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；（3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()ln xf x x a x x e -=+-．(1)若()0f x ³，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.1．（2022·全国·模拟预测）设函数()()ln f x x ax a =-∈R .(1)若3a =，求函数()f x 的最值；(2)若函数()()g x xf x x a =-+有两个不同的极值点，记作12,x x ，且12x x <，求证：12ln 2ln 3x x +>.1．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数()2ln ,R a xf x x a x=+∈.(1)当12a =-时，求函数()f x 的极值；(2)若()f x 有两个极值点12x x ，，求证：()()12124f x f x x x +>+.2．（2024·河北保定·二模）已知函数()ln ,()f x ax x x f x '=-为其导函数．(1)若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围；(2)若存在两个不同的正数12,x x ，使得()()12f x f x =，证明：0f '>．1．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数()e -=x k f x x ．(1)若()f x 在()0,¥+上单调递增，求实数k 的取值范围；(2)若()()ln g x f x k x =-存在极小值，且极小值等于()2ln k -，求证：ln 2e k k +>．1．（2023·全国·模拟预测）已知函数()()221e 1e e e 2xf x x x x =---+．(1)求函数()f x 的单调区间与极值．(2)若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，求证：31e 12x x -<-．2．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设a ，b 为函数()e xf x x m =×-（0m <）的两个零点．(1)求实数m 的取值范围；(2)证明：e e 1a b +<．1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()e x f x x a =-恰有两个零点12,x x ．(1)求a 的取值范围；(2)证明：122x x +<-．2．（2023·山西·模拟预测）已知函数()ln 1,f x x a =-∈R .(1)若()0f x ≤，求a 的取值范围；(2)若关于x 的方程()22e e axf x x =-有两个不同的正实根12,x x ，证明：12x x +>3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数()2e (0)xf x ax a =->．(1)当2e 4a =时，判断()f x 在区间()1,+¥内的单调性；(2)若()f x 有三个零点123,,x x x ，且123x x x <<．（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：1233x x x ++>.1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()()2ln R af x x x a x=+∈有两个零点()1212,x x x x <．(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x +>．2．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()22ln 1f x x x x =-+．(1)证明：()1f x <；(2)若120x x <<，且()()120f x f x +=，证明：122x x +>．3．（2024高三·全国·专题练习）设函数23115e ()e e (1),[0,)232x f x x x x =---+∈+¥．(1)判断函数()f x 的单调性；(2)若12x x ≠，且()()126e f x f x +=，求证：122x x +<．1．（23-24高二下·云南·期中）已知函数()23ln 4(0)f x x ax x a =+->.(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当12a =时，若方程()f x b =有三个不相等的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，证明：314x x -<.1．（23-24高三上·河南·开学考试）()()2ln e 124x ax x f x b +=+-++有两个零点()1212,x x x x <．(1)0a =时，求b 的范围；(2)1b =-且54a <时，求证：21x x -<2．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数2()24ln f x x ax x =-+．(1)讨论()f x 的单调区间；(2)已知[4,6]a ∈，设()f x 的两个极值点为()1212,l l l l <，且存在b ∈R ，使得()y f x =的图象与y b =有三个公共点()123123,,x x x x x x <<；①求证：1212x x l +>；②求证：31x x -<．1．（22-23高三上·云南·阶段练习）已知函数()1ln xf x ax+=，0a >．(1)若()1f x ≤，求a 的取值范围；(2)证明：若存在1x ，2x ，使得()()12f x f x =，则22122x x +>．2．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()1ln af x x a x=--∈R ．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()f x 有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：212e x x a <-．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数ln 1()xf x x+=，e ()=xg x x ．(1)若对任意的,(0,)m n ∈+¥都有()()f m t g n ≤≤，求实数t 的取值范围；(2)若12,(0,)x x ∈+¥且12x x ≠，121221ex x x x x x -=，证明：33122x x +>．1．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数()2ln f x x ax =-.(1)讨论函数()f x 的单调性：(2)若12,x x 是方程()0f x =的两不等实根，求证：22122e x x +>；2．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数()ln 1x f x ax+=.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()2112e e xxx x =（e 是自然对数的底数），且1>0x ，20x >，12x x ≠，证明：22122x x +>.3．（2023·山西·模拟预测）已知函数()ln xf x ax x=-.(1)若()1f x ≤-，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 有2个不同的零点12,x x （12x x <），求证：221212235x x a+>.1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数()e ln xf x x x a x=-+-.若()f x 有两个零点12,x x ，证明：121x x <.2．（2024·广东湛江·一模）已知函数()()1ln1ln e axf x x =+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若方程()1f x =有两个根1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明：121x x >．3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数21()ln (1),(R)2f x x ax a x a =+-+∈.(1)当1a =时，判断函数()y f x =的单调性；(2)若关于x 的方程21()2f x ax =有两个不同实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明212e x x ×>.1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数21()(21)2ln (R)2f x ax a x x a =-++∈.(1)若()f x 有唯一极值，求a 的取值范围；(2)当0a ≤时，若12()()f x f x =，12x x ≠，求证：124x x <.2．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）设()()211ln 2f x ax a x x =-++，a ∈R .(1)当2a =时，求()f x 的极值；(2)若0x ∀>有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；(3)当0a <时，若()()12f x f x =，求证：121x x <.3．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知()2sin f x x x x =-．(1)当1a =时，讨论函数()f x 的极值点个数；(2)若存在1x ，212(0)x x x <<，使12()()f x f x =，求证：12<x x a ．1．（2022高三·全国·专题练习）已知函数()e (0)xa f x x a =->有两个相异零点1x ､2x ，且12x x <，求证：12e x x a<.2．（福建省宁德市2021届高三三模数学试题）已知函数()()ln 1xf x ae x a R -=+-∈.（1）当a e ≤时，讨论函数()f x 的单调性：（2）若函数()f x 恰有两个极值点()1212,x x x x <，且122ln 3x x +≤，求21x x 的最大值.3．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数()2f x ax =，()()1lng x x x =-.(1)若对于任意()0,x ∈+¥，都有()()f x g x <，求实数a 的取值范围；(2)若函数()y g x m =-有两个零点12,x x ，求证：12112x x +>.1．（22-23高二下·湖北·期末）已知函数()ln 1xa x f x e -=+-（a ∈R ）.（1）当a e ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 恰有两个极值点1x ，2x （12x x <），且()1221ln 221e e x x e +×+≤-，求21x x 的最大值.2．（21-22高二上·湖北武汉·期末）已知函数()()2ln f x e x x =-，其中 2.71828e =×××为自然对数的底数.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()12,0,1x x ∈，且()21121212ln ln 2ln ln x x x x ex x x x -=-，证明：1211221e e x x <+<+.6．（2023·湖北武汉·三模）已知函数()()11ln f x ax a x x=+-+，a ∈R ．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若关于x 的方程()1e ln xf x x x x=-+有两个不相等的实数根1x 、2x ，（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：122112e e 2x x a x x x x +>．1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数()lnf x x x =的图像与直线y m =交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，求证：1221e x x <．2．（2023·江西·模拟预测）已知函数()e xm f x x=+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．3．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数()2ln f x x ax x x =+-的导函数为()f x '，若()f x '存在两个不同的零点12,x x .(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x +>.4．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数()()()21ln 12f x x ax a x a =+-+∈R .(1)当1a =时，求函数()y f x =的零点个数.(2)若关于x 的方程()212f x ax =有两个不同实根12,x x ，求实数a 的取值范围并证明212x x e ×>.5．（2024·云南·二模）已知常数0a >，函数221()2ln 2f x x ax a x =--.(1)若20,()4x f x a ∀>>-，求a 的取值范围;(2)若1x 、2x 是()f x 的零点，且12x x ≠，证明:124x x a +>.6．（22-23高二下·安徽·阶段练习）已知函数()()3213log 0,132a f x x x x a a =-+>≠．(1)若()f x 为定义域上的增函数，求a 的取值范围；(2)令e a =，设函数()()314ln 93g x f x x x x =--+，且()()120g x g x +=，求证：123x x +³+．7．（2023·山东日照·二模）已知函数()ln f x x a x =-．(1)若()1f x ³恒成立，求实数a 的值：(2)若1>0x ，20x >，1212e ln xx x x +>+，证明：12e 2x x +>．8．（2023·江西南昌·二模）已知函数()()ln f x x x a =-，()()f xg x a ax x=+-．(1)当1x ³时，()ln 2f x x --≥恒成立，求a 的取值范围．(2)若()g x 的两个相异零点为1x ，2x ，求证：212e x x >．9．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知函数()232ln x f x x a æö=-ç÷èø，a 为实数．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在e x =处取得极值，()f x '是函数()f x 的导函数，且()()12f x f x ''=，12x x <，证明：122ex x <+<10．（2023·北京通州·三模）已知函数()ln (0)af x ax x a x=-->(1)已知f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，求实数a 的值；(2)已知f （x ）在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围.(3)已知()()a g x f x x=+有两个零点1x ，2x ，求实数a 的取值范围并证明212e x x >.11．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）已知函数()()2ln f x x x a a =-∈R .(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，证明121x x <+<.12．（2022高三·全国·专题练习）已知函数()2ln (R)2a f x x x x x a a =--+∈在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求a 的取值范围；(2)记两个极值点为12,x x ，且12x x <. 若1l ³，证明：112e x x l l+<×.13．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知函数()()()2ln 3,0f x x a x x a a =+-->.(1)当1x ³时，()0f x ³，求a 的取值范围.(2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：12122e x x -+>.14．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数()()()()2e xf x x ax a =--∈R ．(1)若2a =，讨论()f x 的单调性．(2)已知关于x 的方程()()3e 2xf x x ax =-+恰有2个不同的正实数根12,x x ．（i ）求a 的取值范围；（ii ）求证：124x x +>．15．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知函数()232ln x f x x a æö=-ç÷èø，a 为实数．(1)当23a =时，求函数在1x =处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间；(3)若函数()f x 在e x =处取得极值，()f x '是函数()f x 的导函数，且()()12f x f x ''=，12x x <，证明：122e x x <+<．16．（23-24高三上·重庆渝中·期中）已知函数()2ln ,R f x x x ax x a =-+∈．(1)若函数()f x 是减函数，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个零点12,x x ，且212x x >，证明：1228e x x >．17．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数()()21ln 02f x x x ax a =->.(1)若函数()f x 在定义域内为减函数,求实数a 的取值范围;(2)若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <,证明：121x x a>.18．（2023·辽宁阜新·模拟预测）已知函数()e xf x ax=+(1)若2a =-时，求()f x 的最值；(2)若函数()()212g x f x x =-，且12,x x 为()g x 的两个极值点，证明：()()122g x g x +>19．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()()2ln 2g x x ax a x =-+-（R a ∈）．(1)求()g x 的单调区间；(2)若函数()()()212f x g x a x x =++-，()1212,0x x x x <<是函数()f x 的两个零点，证明：1202x x f +æö'<ç÷èø．20．（2023·山东泰安·二模）已知函数()1e ln xf x m x -=-，R m ∈.(1)当1m ³时，讨论方程()10f x -=解的个数；(2)当e m =时，()()2eln 2tx g x f x x +=+-有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，若2e e 2t <<，证明：（i ）1223x x <+<；（ii ）()()1220g x g x +<.1．（全国·高考真题）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.2．（天津·高考真题）已知函数()()x f x xe x R -=∈（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >（Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>。
高中数学专题 微专题13 极值点偏移问题
由 f′(x)＝1－1x＋ln x－2x＋a＝0 得
a＝2x＋1x－ln x－1，
所以直线 y＝a 与函数 g(x)＝2x＋1x－ln x－1 的图象有两个交点，
由
g(x)
＝
2x
＋
1 x
－
பைடு நூலகம்
ln
x－1
得
g′(x)
＝
2
－
1 x2
－
1 x
＝
2x2－x－1 x2
＝
2x＋1x－1
x2
，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，因此g(x)min＝g(1)＝2， 当x→0时，g(x)→＋∞， 当x→＋∞时，g(x)→＋∞， 作出y＝g(x)的大致图象，如图所示. 所以若有两个交点，只需a>2，即a的取值范围为 (2，＋∞).
(2)设x1，x2是函数f(x)的两个极值点，证明：x1＋x2>2.
因为x1，x2是函数f(x)的两个极值点， 所以f′(x1)＝f′(x2)＝0，由(1)可知g(x1)＝g(x2)＝a，不妨设0<x1<1<x2， 要证明x1＋x2>2，只需证明x2>2－x1， 显然2－x1>1， 由(1)可知，当x∈(1，＋∞)时，g(x)单调递增，所以只需证明g(x2)>g(2 －x1)， 而g(x1)＝g(x2)＝a， 所以证明g(x1)>g(2－x1)即可， 即证明函数h(x)＝g(x)－g(2－x)>0在x∈(0,1)时恒成立，
123
(2)若f′(x0)＝0(f′(x)为f(x)的导函数)，方程f(x)＝m有两个不相等的实数 根x1，x2，求证：x1＋x2>2x0.
一题多解11---导数--极值点偏移
已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=． （I ）讨论)(x f 的单调性；（II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x a f x a f ->+； （III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于B A 、两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0)(0'<x f ．命题说明：一、命题来源：个人原创二、主要考查以下几方面内容：（1）考查求导公式（包括形如)(b ax f +的复合函数求导）及导数运算法则；（2）考查对数的运算性质；（3）导数法判断函数的单调性；（4）考查用构造函数的方法证明不等式；（5）考查分类讨论、数形结合、转化划归思想；三、难度：属于理科导数压轴题，难；四、解题方法：（Ⅰ）解：)(x f 的定义域为),0(+∞， （解决函数问题，定义域优先的原则）1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x+-'=-+-=- （常见函数的导数公式及导数的四则运算） （ⅰ）若,0≤a 则0)('>x f ，所以)(x f 在),0(+∞单调递增；（ⅱ）若,0>a 则由0)('=x f 得ax 1=， 当)1,0(a x ∈时，0)('>x f ，当),1(+∞∈a x 时，0)('<x f （导数法研究函数单调性，涉及分类讨论的思想） ∴1()(0,)f x a 在单调递增，在1(,)a+∞单调递减. 综上，当0≤a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增；当0>a 时，1()(0,)f x a 在单调递增，在1(,)a+∞单调递减. 归纳小结：本小问属导数中常规问题，易错点有二：易错点一是忽略函数的定义域，易错点二是分类讨论的分类标准的选取。
（II ）分析：函数、导数综合问题中的不等式的证明，主要是构造函数的思想，利用所构造的函数的最值，来完成不等式的证明。
导数极值点偏移
极值点偏移一、题组导语①x x x f 2)(2+=②x x x f ln )(=③x x x f 1ln)(2= ④x e x x f =)(注：极值点会偏向变化速度快的一侧一、题组突破例1、设函数)0(ln )(>=a ax x x f —，且实数m 使得方程m x f =)(有两个不等实根1x ，2x ，其中21x x <.（1）求证：2110x a x <<<；（2）求证：a x x 1221>+.例2、设函数2)1()2()(——x a e x x f x +=有两个零点.（1）求a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是)(x f 的两个零点，证明221<+x x .例3、设函数xx x f ln )(=，且实数m 使得方程m x f =)(有两个不等实根1x ，2x ，其中21x x <. （1）求证：210x e x <<<；（2）求证：e x x >+221；（3）求证：e x x 21121>+.例4、设函数ax e x f x —=)(，其中e a >.（1）求证：函数)(x f 有且仅有两个零点1x ，2x ，且2110x x <<<；（2）对于（1）中的1x ，2x ，求证：0)(')('21>+x f x f二、题组点睛极值点偏移问题的证明实质上时双变元的不等式的证明1、基本方法用消元法将问题转化为单元的不等式证明问题，通过构造函数，利用函数单调性进行证明。
2. 消元方式：利用)(x f 的单调性和)()(21x f x f =来消元。
3. 思想方法：消元法得方向 分析法找思路 构造函数证明4.。
导数之极值点的偏移
导数之极值点的偏移基础内容讲解：一、极值点偏移的含义单峰函数()x f 顶点的横坐标0x 就是极值点。
如果对定义域内的任意自变量x 都有()()x x f x f －＝02成立。
说明函数()x f 的图像关于直线0x x ＝对称，故在0x 两侧()x f 的图像的升降走势相同。
若()x f ＝a 存在两个根1x 与2x ，则有2210x x x ＋＝成立，此时极值点不偏移。
反之极值点偏移。
如果2210x x x ＋＜，则极值点左偏；如果2210xx x ＋＞，则极值点右偏。
二、极值点偏移的判定定理对于可导函数()x f y ＝在区间D 上只有一个极值点0x ，方程()0＝x f 在区间D 上的解分别为21x x 、。
其中21x x ＜ （1）、若0221＞＋⎪⎭⎫⎝⎛'x x f ，当2210x x x ＋＜时，极小值点左偏，当2210x x x ＋＞时，极大值点右偏；（2）若0221＞＋⎪⎭⎫⎝⎛'x x f ，当2210x x x ＋＜时，极大值点左偏，当2210x x x ＋＞时，极小值点右偏；三、极值点偏移的用处函数存在两个零点时关于零点间不等式的证明。
四、极值点偏移的用法例一、已知函数()x x x f ln ＝的图像与直线m y ＝交于不同的两个点()11y x A ，，()22y x B ，。
求证：2211ex x ＜变式练习一、已知函数()x x f ln ＝和()ax x g ＝，若存在两个不相同的实数21x x 、满足()()11x g x f ＝，()()22x g x f ＝。
求证： （1）、e x x 221＞＋ （2）、221e x x ＞例二、已知()x x x f ln －＝，若存在两个不相同的正实数21x x 、满足()()21x f x f ＝。
求证：()()021＜＋x f x f ''变式练习二、已知函数()x x x f ln 2＝的图像与直线m y ＝交于不同的两个点()11y x A ，，()22y x B ，。
高中数学解题思路与方法--极值点偏移
−
2t − 2 t +1
,
(0
<
t
<
1)
求导由单调性易得原不等式成立，略.
4 / 19
法二：接 后续解:
由 得：(x1
+
x2 )(x1
−
x2 ) − (a
− 2)(x1
−
x2 ) − a ln
x1 x2
=
0
构造函数 ， m(t)
=
ln
t
−
2(t −1) t +1
,
(0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
<
t
<
1)
求导由单调性易得 m(t) < 0在t ∈(0,1) 恒成立，
llnn
x1 x2
− −
mx1 mx2
=0 =0
，设 ，则 ， ．欲证 ， t1
t2
= =
met1 met2
⇒
t1 t2
= et1−t2
k = t1 − t2 < 0
t1
=
kek ek −1
t2
=
k ek −1
x1x2 > e2
解法五 巧引变量（二）
证法 ：设 ， ，则由 得 5 t1 = ln x1 ∈(0,1) t2 = ln x2 ∈(1, +∞)
22
等价于证明： x1 + x2
>
x12 + 2x1 − x22 − 2x2 x1 + ln x1 − x2 − ln x2
⇔ ln x1 x2
< 2x1 − 2x2 x1 + x2
=
2 x1 − 2 x2 x1 +1
导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)
导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)极值点偏移问题是在求解函数的极值点时，由于函数表达式的特殊性质，导致极值点位置发生偏移，需要采用特殊的解决方法。
常见的处理方法有以下几种：1.构造一元差函数F(x)=f(x)-f(2x-x)或F(x)=f(x+x)-f(x-x)，其中x为函数y=f(x)的极值点。
2.利用对数平均不等式ab<a-b+a+b。
3.变换主元等方法lna-lnb^2<ln(a-b^2)。
接下来，我们以一个具体的例子来说明极值点偏移问题的解决方法。
题目：设函数f(x)=-alnx+x-ax(a∈R)，试讨论函数f(x)的单调性；若f(x)=m有两解x1,x2(x12a。
解析：1.讨论函数f(x)的单调性由f(x)=-alnx+x-ax可知：f'(x)=-a/x+1-a=-(a/x+a-1)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞)，所以：①若a>0时，当x∈(0,a)时，f'(x)0，函数f(x)单调递增。
②若a=0时，当f'(x)=1/x>0在x∈(0,+∞)XXX成立，函数f(x)单调递增。
③若a0，函数f(x)单调递增。
2.求证x1+x2>2a因为f(x)=m有两解x1,x2(x1<x2)，所以：alnx1+x1-ax=m，-alnx2+x2-ax=m将两式相减，整理得：lnx1-lnx2+ln(x1-x2)=a根据对数平均不等式，有：ln(x1-x2)<(lnx1-lnx2)/2代入上式得：a>-[(lnx1-lnx2)/2]化XXX：x1-x2<2e^-2a因为x1+x2>2x2>a，所以：x1+x2>2a综上所述，极值点偏移问题的解决方法包括构造一元差函数、利用对数平均不等式和变换主元等方法。
在具体求解中，需要根据函数表达式的特殊性质，选择合适的方法进行处理。
2(t-1)x2-1)/(4(t-1)2+1)为减函数，且在(1,∞)上递增，所以原不等式得证。
高三数学二轮复习专题讲解10 导数中的极值点偏移
高三数学二轮复习专题讲解 第10讲 导数中的极值点偏移问题专题综述极值点偏移问题在高考和模考中都是一个热点问题，试题设问灵活新颖，综合性强，难度较大，往往作为压轴题出现. 极值点偏移的定义：对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，函数()f x 的零点分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0212x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2）若0212x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏；（3）若0212x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏.极值点偏移问题大致分为4中类型：加法型、减法型、商型、平方型，本专题重点探究这类问题的一般解法.专题探究探究1：构造对称的和（或差）已知函数()f x 在区间(),a b 的两个零点为12,x x ，或()()12f x f x =，且极值点为0x ，证明关于12,x x 的加法型不等式、乘法型不等式问题，可进行对称化构造，解决此类问题. 答题思路：例：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+，或2120x x x <（1）定极值点：讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ，设102x x x <<；假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.（2）构造函数)2()()(0x x f x f x F --=或2()()()x F x f x f x=-；分析：①要证1202x x x +<⇐只需证02012x x x x <<-⇐只需证()()2012f x f x x <-⇐即证()()1012f x f x x <-，构造函数()00()()(2),0,F x f x f x x x x =--∈.②要证2120x x x <⇐只需证20021x x x x <<⇐只需证()2021x f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭⇐即证()2011x f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，构造函数()20()()(),0,x F x f x f x x x=-∈.（3）利用单调性比较大小：通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，求出函数()F x 的最值.（4）转化：转化为()()101,2f x f x x -，或()2011,x f x f x ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系.若要证明12'()2x x f +的符号问题，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.(2022江苏省扬州市月考)已知函数()ln .f x ax x =+（1）讨论()f x 的单调性：（2）若1x ，212()x x x <是()f x 的两个零点.证明：122x x a+>-；【审题视点】证明()f x 的两个零点的加法型不等式，构造函数()()02y f x f x x =--解决.【思维引导】通过讨论单调性，明确有两个零点时的极值点及单调区间，根据上述答题思路，构造函数()21,0,y f x f x x a a ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求最值，从而得出()2f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，再利用函数()f x 的单调性，得出自变量值的大小关系.【规范解析】解：（1）由题意得 11()axf x a x x+'=+=，则当0a …时()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞为增函数当0a <时，令()0f x '>，则1x a <-∴()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a -+∞上单调递减综上，0a …时，()f x 在(0,)+∞为增函数；0a <时，()f x 在1(0,)a-上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减（2）由（1）知，当0a <时函数()f x 有两个零点且max 11()()1ln 0f x f a a ⎛⎫=-=-+-> ⎪⎝⎭，∴10a e-<<，又210x x >>，∴1210x x a <<-<，则2121x x a a >-->-，设21()()(),0,g x f x f x x a a ⎛⎫=---∈- ⎪⎝⎭ 则22(1)()02ax g x ax x a +'=>⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴()g x 在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增()10g x g a ⎛⎫∴<-= ⎪⎝⎭即当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()()f x f x a <--故()2112()()f x f x f x a=<--()f x 在区间1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减212x x a ∴>--，即122x x a+>-【探究总结】本题证明的不等式中含有两个变量,对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧,然后根据函数的单调性,通过两个变量之间的关系“减元”,建立新函数,最终将问题转化为函数的最值问题来求解.解题时，按照答题思路，逐步呈现，较容易的证明出结论，注意细节的处理. 证明乘法型不等式有时也可以通过取对数，变为加法型解决.(2022江苏南京联考)已知函数2()ln 1.f x x x ax =-+（1）若()0f x …恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若函数3()1y f x ax ax =-+-的两个零点为1x ，2x ，证明：212.x x e >探究2：消参减元消参减元的主要目的就是减元,进而构造与所求解问题相关的函数.主要是利用函数极值点乘积所满足的条件进行消参减元.其解题要点如下:答题思路：（1）建立方程组：若12,x x 为函数()f x 的两个零点，则()()1200f x f x =⎧⎪⎨=⎪⎩，若12,x x 为函数()f x 的两个极值点，则()()1200f x f x '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，方程组中都含有参数；（2）定关系：利用方程之间的和差积商的运算，建立12,x x 与参数的关系；（3）消参减元：将所需证明的不等式或需求取值范围的代数式表示出来，表示的过程中，要12,x x 与参数的关系式消去参数，将12,x x 以比值或差值的形式呈现，将比值或差值设为t ，减元. （4）构造函数求解：构造关于t 的函数，转化为求函数的单调性、极值、最值问题.(2022湖北省荆州市高三模拟)已知函数21()2ln .2f x x ax x =-+（1）讨论()f x 的单调性; （2）设31()()22g x xf x x x =-+有两个不同的零点1x ，2x ，且2130x x -…，证明：2126.x x e -+>【审题视点】2130x x -≥转化为213x x ≥，可以利用消参减元的方法求12x x +的范围.【思维引导】第（2）问中得出2112ln 22ln 22x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，可用1x ，2x 表示出a ，通过两方程相加，等号左侧凑出12ln x x ，右侧变形出现21x x ，换元完成减元. 【规范解析】解：（1）由题意得2121()2x ax f x x a x x-+'=-+=①当0a …时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上为单调递增；②当0a >时，2210x ax -+=的判别式2440a =-…，i ）当01a <…时，()0f x '…，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数；ii ）当1a >时，令()0f x '=，则3x a =-4x a =34(0,)(,)x x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在3(0,)x ，4(,)x +∞上单调递增，当34(,)x x x ∈时，()0f x '<，()f x 在34(,)x x 上为单调递减.综上所述：当1a …时，()f x 在(0,)+∞上为增函数，当1a >时，()f x在(0,a和()a +∞上单调递增，在(a a -+上单调递减.（2）证明：31()()2(ln 22)2g x xf x x x x x ax =-+=-+，∴1x ，2x 是方程ln 220x ax -+=的两个不等实根，则2112ln 22ln 22x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，∴2121ln ln 2()x x a x x -=-，∴21121221ln ln ln ln 4()x x x x x x x x -++=+-，即212122111ln()4ln 1x x xx x x x x ++=-，设21x t x =，则3t …， 设1()ln 1t g t t t +=-，(3)t …，则212l n ()(3)(1)t tt g t t t --'=-…，设1()2ln (3)h t t t t t=--…，则()22(1)0t h t t -'=>，∴()h t 在[3,)+∞上为增函数，∴1()(3)3ln303h t h =-->…， 则212ln ()0(1)t t t g t t --'=>-， ∴()g t 在[3,)+∞上为增函数，∴()(3)2ln3ln9g t g ==…，即12ln()4ln9x x +…，即1249x x e …，又120x x <<，∴212266x x e e -+>=，即2126.x x e -+> 【探究总结】求解本题的关键点有两个：一个是消参，列出零点12,x x 的方程组，需要利用两个变量12,x x 把参数a 表示出来，这是解决问题的基础；二是减元,即减少变量的个数,把方程转化为一个“变量”的式子后,构造与之相应的函数,转化为函数问题求解.(2022安徽蚌埠月考)已知函数()ln 1f x x ax =-+有两个零点．（1）求a 的取值范围；（2）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：()121.f x x a '⋅<-探究3：比（差）值换元比(差)值换元的目的也是消参、减元,就是根据已知条件首先建立12,x x 之间的关系, 然后利用两个极值点之比(差)作为变量t ,实现消参、减元的目的.结合12,x x 满足的方程组，使12,x x 分别用t 表示，带入需证明或求范围的代数式，转化为关于t 的函数求解.(2022山东青岛联考)设函数()(1)ln af x x a x b x=++-+，,a b R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，若函数()()ln F x f x x x =+-恰有两个零点1x ，212(0)x x x <<，求证：22122.x x +> 【审题视点】思路一：12,x x 为函数两个零点，且函数()F x 中含有参数，需要消参；求证平方型不等式，利用()()120,0F x F x ==，凑不出平方和，故使用比值换元法，构造关于t 的函数.思路二：根据基本不等式可得()21222122x x x x ++>，可利用探究一中的方法证明122x x +>，再证明22122x x +>.【思维引导】设21x t x =，再利用()()120,0F x F x ==，分别用t 表示12,x x ，带入2212x x +，构造关于t 的函数. 【规范解析】（1）解：由题意得221(1)()()1a a x x a f x x x x -+-'=-+=，(0).x > ①当0a …时，()0f x '>，即()f x 在(0,)+∞上是增函数; ②当0a >时，若(0,)x a ∈，则()0f x '<，此时()f x 单调递减; 若(,)x a ∈+∞，则()0f x '>，此时()f x 单调递增. 综上可得：当0a …时，()f x 在(0,)+∞上单调递增;当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.（2）证明：当1a =时，1()()ln ln F x f x x x x b x=+-=++， 则11221ln 01ln 0x b x x b x ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩相减得121212ln ln x x x x x x -=-121212.ln ln x x x x x x -∴=-令211x t x =>，则21x tx =，111212ln x tx x x x x -∴=10x >，211ln ln t t x t t--∴==- 211ln x t x t t t-∴== 21211111(1)ln ln ln ln t t t t x x t t t t t t t----∴+=+=+=设2()12ln (1)g t t t t t =-->，则()22(1ln )g t t t '=-+设()()h t g t ='，则2()20h t t'=-> ()g t ∴'在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g t g ∴'>'= ()g t ∴在(1,)+∞上单调递增()(1)0g t g ∴>=，即212ln 0t t t -->，212ln t t t ∴->1t >，ln 0t t ∴>212ln t t t -∴>，即222121212()2.22x x x x x x ++>∴+>> 2212 2.x x ∴+>【探究总结】平方型的不等式，利用方程组()()120,0f x f x ==通过加减难以变形出现的情况下，利用比（差）值换元，将12,x x 用t 表示，带入不等式，转化为关于t 的函数.但处理这类问题，方法不唯一，也可以巧妙变形利用消参减元证明，或构造对称和（或差）证明.（2022福建宁德模拟）已知函数()1()x f x ae lnx a R -=+-∈．（1）当a e …时，讨论函数()f x 的单调性：（2）若函数()f x 恰有两个极值点1x ，212()x x x <，且1223x x ln +…，求21x x 的最大值． 专题升华导数中的极值点偏移问题，题干中出现12,x x 为函数零点或极值点，证明关于12,x x 的不等式或求代数式的范围，这类问题能较好考查学生的逻辑推理能力,数据处理能力,转化与化归思想,函数与方程思想等.常见的需证明的12,x x 的关系有加法型、减法型、乘法型和商型，每种类型没有唯一的解题方法，上述方法要灵活运用.以探究一的变式训练为例：方法一：构造对称的和（或差）函数极值点为1a ，证明21221x x e a >>，构造函数()()211,0,F x h x h x a x a ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 方法二：构造对称的和（或差）结合基本不等式函数极值点为1a ，可以先证明122x x a +>，构造函数()()21,0,F x h x h x x a a ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用基本不等式证明212x x e >；方法三：消参换元由1122ln 0ln 0x ax x ax -=⎧⎨-=⎩得()12121212ln ln ln x x a x x x x a x x -⎧=⎪-⎨⎪=+⎩，合并()112211212112221ln ln ln ln 1xx x x xx x x x x x x x x+-=⋅+=⋅--， 设12x t x =，直接构造关于t 的函数； 方法四：引入变量t设1122ln ,ln t x t x ==，则121200t t t ae t ae ⎧-=⎨-=⎩，则1212t t t e t -= 设()12,0,1t k k t =∈，则12ln ln ,11k k kt t k k ==--，则证明1212ln 2x x t t =+> 设()()ln ln ,0,111k k kF k k k k =+∈--，求最值. 极值点偏移问题，方法不唯一，解题时选择适当方法，灵活解题.【答案详解】变式训练1【解答】（1）解：()0,x ∀∈+∞，2ln 10x x ax -+…，即1ln a x x x+…恒成立.设1()ln g x x x x =+，则21()ln 1g x x x'=-+，易知()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0.g '=所以当(0,1)x ∈时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0.g x '>∴()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，∴min ()(1)1g x g ==，∴(],1a ∈-∞（2）证明：由题意得 方程ln 0x ax -=的两不相等的根为1x ，2x 设()ln h x x ax =-，则1122ln 0ln 0x ax x ax -=-=⎧⎨⎩，∴1212ln ()x x a x x =+又11()ax h x a x x-'=-=当0a …时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增，不存在两个零点;当0a >时，()h x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减，则max 11()()ln 10h x h a a ==->，得10.a e<< 设1210x x a<<< 令222()()()ln()()ln F x h x h x x a x x ax a a a =--=----+2ln()ln 22x x ax a=--+-，1(0,).x a ∈则22(1)()0(2)ax F x x ax -'=<-，∴()F x 在1(0,)a 上单调递减，故1()()0.F x F a >=∴1112()()()0F x h x h x a =-->，即1122()()()0.h x h x h x a->==2x ，121(,)x a a -∈+∞，且()h x 在1(,)a +∞上单调递减，∴212x x a>-，即122x x a +>， ∴1212ln ln ()2x x a x x +=+>故212x x e >成立.变式训练2【解答】（1）解：由题意得 ()1f x a x'=- ①当0a ≤时，()0f x '>∴()f x 在区间()0,+∞上单调递增②当0a >时，令()0f x '>，则1x a<∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 ∴()max 1ln 11ln 0f x f a a a ⎛⎫==--+=-> ⎪⎝⎭,故1a < 当1a <时，1110a a f e e e ⎛⎫=--+=-< ⎪⎝⎭，ln 11ln 0e e e f a a a ⎛⎫=-+=> ⎪⎝⎭ ∴()f x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上分别有一个零点 (),1a ∴∈-∞（2）证明：由题意得 1122ln 10ln 10x ax x ax -+=⎧⎨-+=⎩ 1212ln ln x x a x x -∴=- 又()12121f x x a x x '⋅=-要证()121f x x a '⋅<-，只需证121x x ⋅>，即证12ln ln 0x x +>，即证()()12110ax ax -+->， 即证122a x x >+，即证121212ln ln 2x x x x x x ->-+ 设120,x x <<故11122121222(1)2()ln1x x x x x x x x x x --<=++， 令122(1)(0,1),()ln 1x t t h t t x t -=∈=-+， 则22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t -'=-=>++ ∴()h t 在()0,1上单调递增，∴()()10h t h <=，故11122121222(1)2()ln1x x x x x x x x x x --<=++式成立，即()121f x x a '⋅<-.变式训练3【解答】解：（1）由题意得 1()x xx e ax f x ae x xe --'=-+=， ①当0a …时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②当0a e <…时，设()x g x e ax =-，则()x g x e a '=-， 令()0g x '>，则ln x a >∴()g x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增 ()()(1)0lna g x g lna e alna a lna ∴=-=-厖，()0f x ∴'…，()f x 在(0,)+∞上单调递增；综上，当a e …时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；（2）由题意得 12()()0f x f x ''==，即121200x x e ax e ax ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ ∴2121x x x e x -=，设21x t x =，则1t >，21x tx =，1(1)t x e t -=， ∴12,11lnt tlnt x x t t ==--， ∴12(1)1t lnt x x t ++=-， 设(1)()(1)1t lnt h t t t +=>-，则212()(1)t lnt t h t t --'=-， 设1()2(1)t t lnt t tϕ=-->，则22212(1)()10t t t t t ϕ-'=+-=>， ()t ϕ∴在(1,)+∞单调递增，则()t ϕϕ>（1）0=， ()0h t ∴'>，则()h t 在(1,)+∞单调递增，又1223x x ln +…，即()23h t ln …，h （3）23ln =， (1t ∴∈，3]，即21x x 的最大值为3．。
导数_极值点偏移问题
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导数-极值点偏移问题
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9.已知函数f (x) = eax ln x(a > 0, e为自然对数)
（1）若f (x)在定义域内递增，求a的取值范围；
（2）令g(x)
=
f ′(x) eax
,若存
在相
异实数x1,
x2
,满足g(x1)
=
g(x2),求证：x1
+
x2
>
2 .
a
10.已知f (x) = ax 的图像在x = 0处的切线方程为y = x. ex
f (x)
−
f (−x)
=
1 − x ex 1 + x2
−
1+x 1 + x2
·
e−x
=
e−x [(1
1 + x2
−
x)e2x
−1
−
x].
令g(x) = (1 − x)e2x − 1 − x, x > 0, g′(x) = (1 − 2x)e2x − 1
令h(x) = (1 − 2x)e2x − 1, h′(x) = (1 − 2x)e2x = −4xe2x < 0.
12.设函数f (x) = a ln x − bx2,其图像在点P (2, f (2))处切线的斜率为−3.当a = 2时，令g(x) = f (x) − kx.设x1, x2(x1 < x2)是g(x) = 0的两个根，x0是x1, x2的等差中项，求证：g′(x0) < 0.
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导数-极值点偏移问题
（1）求实数a;
（2）对任意的x
∈
(0, 2),都有f (x)
导数极值点偏移知乎
导数极值点偏移知乎导数极值点偏移是高等数学中的一个重要的概念。
在求导数的过程中，若导数为零，这一点称为导数的极值点。
然而，在实际应用中，有时由于种种原因，原先的极值点偏离了实际的极值点，我们需要对这些偏移进行处理。
下面，我们将就导数极值点偏移问题展开讨论。
一、导数极值点的判定对于一个函数$f(x)$，通过求导数可以得到其导函数$f'(x)$。
若$f'(x)$在某个点$x_0$处为零，则$x_0$为函数$f(x)$在该点处的导数极值点。
此时，若$f'(x)$由负变正，则$x_0$为极小值点；若$f'(x)$由正变负，则$x_0$为极大值点。
二、导数极值点偏移的原因1. 数据采样不均在实际应用中，我们采集到的数据可能存在采样不均的情况。
这可能会导致极值点的偏移。
例如，某一区间内的数据点较少，导致导数估计不够准确，从而得到了错误的极值点。
2. 噪声在实际应用中，由于某些外部干扰因素（如测量误差、传感器故障等），我们采集到的数据可能出现噪声。
由于噪声的存在，导数的计算可能会出现误差，从而导致极值点的偏移。
3. 数据异常当数据中出现异常值时，这些异常值会对导数计算产生影响，从而导致极值点的偏移。
三、导数极值点偏移的处理方法1. 数据去噪为避免噪声对导数计算的干扰，可以采用去噪技术，如滑动平均、中值滤波等。
这样可以减少噪声的影响，提高估算精度，降低误差。
2. 数据插值为消除数据采样不均带来的影响，可以进行数据插值。
插值采用某种算法对数据点进行插值，使其在整个区间内的数据点更均匀分布。
这样能够提高导数的估算精度，减小误差。
3. 剔除异常值为避免数据异常值对极值点计算的干扰，应在计算前对数据进行处理，将异常值剔除。
例如，可以采用3σ原则（即标准差原则）对数据进行筛选，去掉超过3倍标准差的数据点。
四、总结导数极值点的偏移是一个常见的问题，这会对函数的拟合和预测造成巨大影响。
在实际应用中，我们应该注意到这个问题，并采取相应的处理方法，以提高数据估算的准确性，降低误差。
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导数---极值点偏移
做题步骤： （1）求极值点0x ；
（2）构造函数0()()(2)F x f x f x x =--； （3）判断极值点左移还是右移；
（4）若是左移，求导时研究极值点左侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点右侧区间利用()f x 单调性，得出结论；若是右移，求导时研究极值点右侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点左侧区间利用()f x 单调性，得出结论；
（5）若极值点求不出来，由'0()0f x =，使用替换的思想，简化计算步骤.
1.已知函数()2ln f x x ax =-，其中a R ∈
（1）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围；
（2）若函数()f x 有极大值为1
2
-，且方程()f x m =的两根为12,x x ，且
12x x <，证明：124x x a +>.
2.已知函数()()x f x e ax a a R =-+∈，其中e 为自然对数的底数. （1）讨论函数()y f x =的单调性；
（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：122ln x x a +<. 3.设函数()()22ln f x a x x ax a R =-+-∈. （1）试讨论函数()f x 的单调性；
（2）如果0a >且关于x 的方程()f x m =有两解1x ，2x （12x x <），证明
122x x a +>.
4. 已知函数()2ln (0).f x ax x x a =+-> (Ⅰ)求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设()f x 极值点为0x ，若存在()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，使
()()12f x f x =，求证：1202.x x x +>
分析：极值点偏移，+替换
'22
00000()0,210,21f x ax x ax x =+-==-
5.设函数()()22ln f x a x x ax a R =-+-∈. （1）试讨论函数()f x 的单调性；
（2）设()()22ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程
()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12
'02
x x h +⎛⎫
>
⎪⎝⎭
. 6.设函数()()21
1ln .2
f x x a x a x =--- （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）若()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证120.2x x f +⎛⎫
> ⎪⎝⎭
' 7.设函数()2ln f x x a x =-，()g x =()2a x -. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点12,x x . (1)求满足条件的最小正整数a 的值； (2)求证：1202x x F +⎛⎫
>
⎪⎝⎭
'.
（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）。