6.导数应用之极值点偏移
导数的极值点偏移问题
导数极值点偏移问题如上图所示，0x 为函数的极值点，0x 处对应的曲线的切线的斜率为0极值点左移：0212x x x >+，221x x x +=处切线与x 轴不平行 极值点右移：0212x x x <+，221x x x +=处切线与x 轴不平行由上面图像可知，函数的图像分为凸函数和凹函数。
当函数图像为凸函数，且极值点左偏时，有()020'21'=<⎪⎭⎫⎝⎛+x f x x f ；当函数图像为凸函数，且极值点右偏时，有()020'21'=>⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x x f 。
当函数图像为凹函数，且极值点左偏时，()020'21'=>⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x x f ；当函数图像为凹函数，且极值点右移时，有()020'21'=<⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x x f 。
如图所示，上图的函数图像为凸函数，且极值点右移，1x 和2x 处对应的函数值相等，我们可以作2x 关于0x 的对称点3x ，则12032x x x x >-=，且03x x <，故()()13x f x f >，即()()1202x f x x f >-，故我们可以构造函数()()()1202x f x x f x F --=，只需要判断函数()x F 的单调性，然后根据单调性判断函数的最小值，只要满足()0min >x F ，我们就可以得到0212x x x <+。
同理，我们可以得到凸函数极值点左移以及凹函数极值点左移或右移的构造函数。
做题步骤：（1）求极值点0x ；（2）构造函数0()()(2)F x f x f x x =--； （3）判断极值点左移还是右移；（4）若是左移，求导时研究极值点左侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点右侧区间利用()f x 单调性，得出结论；若是右移，求导时研究极值点右侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点左侧区间利用()f x 单调性，得出结论；（5）若极值点求不出来，由'0()0f x =，使用替换的思想，简化计算步骤.经典题型：1.已知函数()2ln f x x ax =-，其中a R ∈（1）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 有极大值为12-，且方程()f x m =的两根为12,x x ，且12x x <，证明：124x x a +>.2.已知函数()()xf x e ax a a R =-+∈，其中e 为自然对数的底数.（1）讨论函数()y f x =的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：122ln x x a +<.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）如果0a >且关于x 的方程()f x m =有两解1x ，2x （12x x <），证明122x x a +>.(Ⅰ)求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()f x 极值点为0x ，若存在()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，使()()12f x f x =，求证：1202.x x x +>（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设()()22ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'02x x h +⎛⎫>⎪⎝⎭.6.设函数()()211ln .2f x x a x a x =--- （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证120.2x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭'7.设函数()2ln f x x a x =-，()g x =()2a x -.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点12,x x . (1)求满足条件的最小正整数a 的值； (2)求证：1202x x F +⎛⎫> ⎪⎝⎭'.8. （2016年全国卷1）已知函数()()()212-+-=x a e x x f x有两个零点（1）求a 的取值范围；（2）设21,x x 是()x f 的两个零点，证明：221<+x x9.（2018年湖北省七市州联考）已知函数()()R a x axe x f x ∈--=-,1222 （1）当4-=a 时，谈论函数()x f 的单调性；（2）当10<<a 时，求证：函数()x f 有两个不相等的零点21,x x ，且221>+x x10.（广西桂林2017年第一次联合模拟考试）已知函数()()R m x x m x f ∈-+=1ln 21的两个零点为()2121,x x x x <（1）求实数m 的取值范围；（2）求证：e x x 21121>+11.已知函数()ax e x f x -=-有两个零点（1）求实数a 的取值范围；（2）设21,x x 是函数()x f 的两个零点，证明：221-<+x x12.已知函数()k kx e x f x 21--=+（1）讨论函数()x f 的单调性；（2）当函数()x f 有两个零点21,x x 时，证明：221->+x x。
极值点偏移四种题型的解法及例题
极值点偏移是高中数学中的一个重要概念，也是学生们比较头疼的一个知识点。
在解决数学问题时，我们经常会遇到一些与极值点有关的题型，比如函数的极值问题、优化问题等。
而在解决这些问题时，极值点偏移方法是一种非常实用的解题技巧。
本文将从四种题型出发，对极值点偏移方法进行详细解析，并结合具体例题进行说明。
1. 函数的极值问题函数的极值问题是高中数学中的一个重要内容。
在解决这类问题时，我们常常会用到导数的概念，来求函数的极值点。
但有些情况下，我们可以通过极值点偏移方法更快地得到函数的极值点。
比如对于一些简单的函数，通过极值点的平移和对称性，可以用更简洁的方法求得函数的极值点。
举例说明：已知函数 $f(x)=x^3-3x^2+2$，求 $f(x)$ 的极值点。
解：求导得 $f'(x)=3x^2-6x$。
令导数为零，得到 $x=0$ 或 $x=2$。
根据导数的符号，可知 $x=0$ 是极小值点，$x=2$ 是极大值点。
但通过极值点偏移方法，我们可以发现，当 $x=0$ 时，$f(x)=2$；而当$x=2$ 时，$f(x)=2$。
也就是说，极小值点 $x=0$ 对应的函数值和极大值点 $x=2$ 对应的函数值相等。
这就是极值点偏移的思想。
2. 优化问题优化问题是数学建模中常见的类型之一，也是考察学生综合运用数学知识解决实际问题的一种形式。
当我们遇到优化问题时，常常需要求解函数的极值点。
而极值点偏移方法可以帮助我们更快地找到函数的极值点，从而解决优化问题。
举例说明：一块长为20厘米的铁皮，可以做成一个底面积为 $x cm^2$ 的正方形盒子和一个底面积为 $y cm^2$ 的开口放平盒子，求怎样分割这块铁皮才能使总体积最大。
解：设正方形盒子的边长为 $a$，开口朝下的放平矩形盒子的底边长为 $b$，高为 $h$。
则根据题意可知，$b=a+2h$，且 $x=a^2$，$y=bh$。
问题转化为求 $x+y$ 的最大值。
极值点偏移学生版
极值点偏移专题1、极值点偏移以函数函数2x y =为例，极值点为0，如果直线1=y 与它的图像相交，交点的横坐标为1-和1，我们简单计算：0211=+-.也就是说极值点刚好位于两个交点的中点处，此时我们称极值点相对中点不偏移.当然，更多的情况是极值点相对中点偏移，下面的图形能形象地解释这一点.那么，如何判断一道题是否属于“极值点偏移”问题呢？其具体特征就是：2、主元法破解极值点偏移问题2016年全国I 卷的第21题是一道导数应用问题，呈现的形式非常简洁，考查了函数的双零点的问题，也是典型的极值点偏移的问题, 是考生实力与潜力的综合演练场．所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用．例1.（2016全国1-21）已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点.(I)求a 的取值范围；(II)设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明221<+x x .变式、（2010年天津理科21题）已知函数()()xf x xe x R -=∈（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >（Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>．通法提炼一般地，主元法破解极值点偏移问题思路是：第一步：根据()()()1212f x f x x x =≠建立等量关系，并结合()f x 的单调性，确定12,x x 的取值范围； 第二步：不妨设12x x <，将待证不等式进行变形，进而结合原函数或导函数的单调性等价转化．第三步：构造关于1x （或2x ）的一元函数()()()()21,2i i T x f x f a x i =--=，应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．例2.（2016年绵阳二诊）3、极值点偏移问题的不等式解法（1）我们熟知平均值不等式：,a b R +∈2221122a b a b ab a b ++≤≤≤+ 即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值” 等号成立的条件是a b =.（2）我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：ln ln a ba b --那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式,∀>≠a b a b ln ln 2a b a b ab a b -+-＜＜ 以下简单给出证明：不妨设a b >，设a bx =，则原不等式变为：2(1)1,ln1x x x x -∀><<+那么例2还可以如下解答：变式1（2011辽宁理）已知函数()2ln (2)f x x ax a x =-+-.(I)讨论)(x f 的单调性；（II ）设a ＞0，证明：当a x 10<<时，)1()1(x a f x a f ->+；（III ）若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：()0'0f x <.变式2.(2010天津理) 已知函数()x f x xe -= ()x R ∈.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数)(x g y =的图象与函数)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，证明当1>x 时，)()(x g x f >. （Ⅲ）如果12x x ≠，且()()12f x f x =. 证明：122x x +>.变式2.（2016年资阳二诊）练习（1）主元法破解极值点偏移问题：(2) 极值点偏移问题的不等式解法.1.（2014年江苏省南通市二模第20题）设函数()xf x e ax a =-+，其图象与轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，且12x x <．(1)求的取值范围；(2)证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）；2.（2011年辽宁理科21题）已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设0a >，证明：当10x a <<时，11f x f x a a ⎛⎫⎛⎫+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）若函数()y f x =的图象与轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0()0f x '<．3.（2013年湖南文科第21题）已知函数()211x x f x e x -=+. (1)求()f x 的单调区间；(2)证明:当()()()1212f x f x x x =≠时，120x x +<.4.函数()4343f x x x =-与直线13y a a ⎛⎫=>- ⎪⎝⎭交于12(,),(,)A x a B x a ，证明：122x x +<.5（2015长春四模题）已知函数()x f x e ax =-有两个零点12x x <，则下列说法错误的是 .A. a e >B.122x x +>C.121x x >D.有极小值点0x ，且1202x x x +<6.（2014江苏南通市二模）设函数()x f x e ax a =-+ ()a R ∈，其图象与x 轴交于()()12,0,0A x B x 两点，且12x x <.证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）.7.已知函数()ln f x x x =与直线y m =交于1122(,),(,)A x y B x y 两点. 求证：12210x x e<<。
导数之极值点的偏移
导数之极值点的偏移基础内容讲解：一、极值点偏移的含义单峰函数()x f 顶点的横坐标0x 就是极值点。
如果对定义域内的任意自变量x 都有()()x x f x f －＝02成立。
说明函数()x f 的图像关于直线0x x ＝对称，故在0x 两侧()x f 的图像的升降走势相同。
若()x f ＝a 存在两个根1x 与2x ，则有2210x x x ＋＝成立，此时极值点不偏移。
反之极值点偏移。
如果2210x x x ＋＜，则极值点左偏；如果2210xx x ＋＞，则极值点右偏。
二、极值点偏移的判定定理对于可导函数()x f y ＝在区间D 上只有一个极值点0x ，方程()0＝x f 在区间D 上的解分别为21x x 、。
其中21x x ＜ （1）、若0221＞＋⎪⎭⎫⎝⎛'x x f ，当2210x x x ＋＜时，极小值点左偏，当2210x x x ＋＞时，极大值点右偏；（2）若0221＞＋⎪⎭⎫⎝⎛'x x f ，当2210x x x ＋＜时，极大值点左偏，当2210x x x ＋＞时，极小值点右偏；三、极值点偏移的用处函数存在两个零点时关于零点间不等式的证明。
四、极值点偏移的用法例一、已知函数()x x x f ln ＝的图像与直线m y ＝交于不同的两个点()11y x A ，，()22y x B ，。
求证：2211ex x ＜变式练习一、已知函数()x x f ln ＝和()ax x g ＝，若存在两个不相同的实数21x x 、满足()()11x g x f ＝，()()22x g x f ＝。
求证： （1）、e x x 221＞＋ （2）、221e x x ＞例二、已知()x x x f ln －＝，若存在两个不相同的正实数21x x 、满足()()21x f x f ＝。
求证：()()021＜＋x f x f ''变式练习二、已知函数()x x x f ln 2＝的图像与直线m y ＝交于不同的两个点()11y x A ，，()22y x B ，。
极值点偏移定义及判定定理
极值点偏移定义及判定定理所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。
若函数()f x 在0x x =处取得极值，且函数()y f x =与直线y b =交于1(,)A x b ,2(,)B x b 两点，则AB 的中点为12(,)2x x M b +，而往往1202x x x +≠.如下图所示.极值点没有偏移一、极值点偏移判定方法1、极值点偏移的定义对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0212x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2） 若0212x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏； （3）若0212x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏。
2、极值点偏移的判定定理判定定理： 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0)2('21>+x x f ，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；（2）0若0)2('21<+x x f ，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 左（右）偏。
二、极值点偏移问题的一般题设形式：1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f三、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；（3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+.（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.（2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.（5）若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.21世纪教育网版权所有。
导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)
导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)极值点偏移问题是在求解函数的极值点时，由于函数表达式的特殊性质，导致极值点位置发生偏移，需要采用特殊的解决方法。
常见的处理方法有以下几种：1.构造一元差函数F(x)=f(x)-f(2x-x)或F(x)=f(x+x)-f(x-x)，其中x为函数y=f(x)的极值点。
2.利用对数平均不等式ab<a-b+a+b。
3.变换主元等方法lna-lnb^2<ln(a-b^2)。
接下来，我们以一个具体的例子来说明极值点偏移问题的解决方法。
题目：设函数f(x)=-alnx+x-ax(a∈R)，试讨论函数f(x)的单调性；若f(x)=m有两解x1,x2(x12a。
解析：1.讨论函数f(x)的单调性由f(x)=-alnx+x-ax可知：f'(x)=-a/x+1-a=-(a/x+a-1)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞)，所以：①若a>0时，当x∈(0,a)时，f'(x)0，函数f(x)单调递增。
②若a=0时，当f'(x)=1/x>0在x∈(0,+∞)XXX成立，函数f(x)单调递增。
③若a0，函数f(x)单调递增。
2.求证x1+x2>2a因为f(x)=m有两解x1,x2(x1<x2)，所以：alnx1+x1-ax=m，-alnx2+x2-ax=m将两式相减，整理得：lnx1-lnx2+ln(x1-x2)=a根据对数平均不等式，有：ln(x1-x2)<(lnx1-lnx2)/2代入上式得：a>-[(lnx1-lnx2)/2]化XXX：x1-x2<2e^-2a因为x1+x2>2x2>a，所以：x1+x2>2a综上所述，极值点偏移问题的解决方法包括构造一元差函数、利用对数平均不等式和变换主元等方法。
在具体求解中，需要根据函数表达式的特殊性质，选择合适的方法进行处理。
2(t-1)x2-1)/(4(t-1)2+1)为减函数，且在(1,∞)上递增，所以原不等式得证。
极值点偏移极值点偏移定理
精心整理极值点偏移1-2---极值点偏移判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，0x ，二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=； （3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+.（1（2（3(0x f 得出)(x F （4 02x -.（5）若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221xx +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故0)2('21<+x x f . 【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心； （2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f -（或)(x f 与)2(0x x f -）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或0)2('21<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题. 三、对点详析，利器显锋芒 ★已知函数)()(R x xe x f x ∈=-. (1)求函数)(x f 的单调区间和极值；(2)若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：221>+x x .∵12>x ，∴122<-x ，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，∴212x x ->，∴221>+x x .★函数3434)(x x x f -=与直线)31(->=a a y 交于),(1a x A 、),(2a x B 两点.证明：221<+x x .★已知函数2()ln f x x x=+，若1x ≠2x ，且)()(21x f x f =，证明：421>+x x .【解析】由函数2()ln f x x x=+单调性可知：若)()(21x f x f =，则必有212x x <<，。
6.导数应用之极值点偏移
导数应用之极值点偏移1.(1)设不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 均在二次函数2()f x ax bx c =++(0abc ≠)的图像上,记直线AB 的斜率为k ,求证:12'()2x x k f +=； (2)设不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 均在“伪二次函数”2()ln g x ax bx c x =++(0abc ≠)的图像上,记直线AB 的斜率为k ,试问:12'()2x x k g +=还成立吗？ 2.设函数2()(12)ln ()f x ax a x x a =+--∈R ．(1)当0a >时,求函数()f x 的单调递增区间；(2)记函数()y f x =的图像为曲线C ,设11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线C 上不同的两点,M 为线段AB 的中点,过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．试问:曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？3.设函数2()(2)ln f x x a x a x =---．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值；(3)若方程()f x c =有两个不等实根12,x x ,求证:12()02x x f +'>． 4.设函数2ln 2)(x mx x x f -+=.(1)若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为n x y +=2,求实数n m ,的值；(2)若4->m ,求证:当0>>b a 时,有2)()(22->--ba b f a f ； (3)若函数()f x 有两个零点21,x x )(21x x <,且0x 是21,x x 的等差中项,求证:0)('0<x f .5.设函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ,2x ,求证:212x x e >.6.设函数()x f x e ax a =-+的两个零点为1x ,2x ,求证:2121x x x x +<.7.设函数()x f x e ax =-,其中a e >,(1)求证:函数()f x 有且仅有两个零点1x ,2x ,且1201x x <<<；(2)对于(1)中的1x ,2x ,求证:12'()'()0f x f x +>.8.设函数()x f x e mx =+的图像在点(0,(0))P f 处的切线方程为210x y -+=,求证:对满足a b c <<的实数,,a b c ,都有()()()()f b f a f c f b b a c b --<--成立.。
极值点偏移问题的典型方法剖析
２０２３年１１月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀极值点偏移问题的典型方法剖析◉深圳市福田区红岭中学高中部㊀蔡晓纯㊀㊀摘要:所谓极值点偏移问题,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速度不同,使得函数图象没有出现对称性．此类问题是导数题型中的热点问题,常以压轴题的形式出现．本文中从一道例题出发,分析学生在解极值点偏移问题时常犯的典型错误,并给出该类问题的常见解法．关键词:极值点偏移问题;解法探究;方法总结㊀㊀极值点偏移问题是高考中常出现的一类导数问题,难度大,技巧性较强,学生在解决此类问题时经常出现不求甚解地构造函数所造成的解题错误[１]．下面结合一道例题,对解题中需要注意的事项进行剖析．１例题呈现已知f (x )＝x l n x －１２m x ２－x ,m ɪR ．若f (x )有两个极值点x １,x ２,且x １＜x ２,求证:x １x ２＞e ２(e 为自然对数的底数)．简析:f ᶄ(x )＝l n x －m x ,记g (x )＝l n x －m x ,由题意知x １,x ２是f (x )的两个极值点,故x １,x ２是g (x )的两个零点．由g ᶄ(x )＝１x －m ,令g ᶄ(x )＝０,可得x ０＝１m,且x １＜１m＜x ２．(若m ɤ０,则g (x )单调递增,不合题意．)当x ɪ(０,１m)时,gᶄ(x )＞０,可得g (x )在(０,１m )上单调递增;当x ɪ(１m,＋ɕ)时,gᶄ(x )＜０,可得g (x )在(１m,＋ɕ)上单调递减．此时g (x )m a x ＝g(１m )＝l n １m －m ˑ１m＞０,故１m ＞e ;又g (e )＝l ne －m e ＞０,进而x １＜e ＜１m＜x ２．２学生常见的解题思维受阻分析２．１不明确极值点要证x １x ２＞e ２,即证x １＞e２x ２．又e ２x ２＜１m ２x ２＜１m ,x １＜１m ,且g (x )在(０,１m)上单调递增,因此只需要证明g (x １)＞g (e２x ２)．又g (x １)＝g (x ２),即证g (x ２)＞g (e２x ２)．令G (x )＝g (x )－g(e２x ),x ɪ(e ,＋ɕ),则G ᶄ(x )＝g ᶄ(x )－[g (e ２x )]ᶄ＝１x －m ＋(xe２－m )e ２x ２＝m (x m －x ２＋x m－e ２)x２,此时,x m －e ２＞０,但x m－x ２无法判断其正负符号,思路受阻．(１)受阻原因我们知道,若要证明x １＋x ２＞２x ０,可根据极值点构造对称函数G (x )＝g (x )－g (２x ０－x );若要证明x １x ２＞x ２０,可根据极值点构造对称函数G (x )＝g (x )－g (x ２０x)．那么,为什么由上述构造的对称函数证不出结论呢?回顾解题过程不难发现,函数g (x )的极值点是１m,而不是e ,那么e 是哪个函数(同时x １,x ２又是该函数的零点)的极值点呢?(２)修正后的方法方法一:设h (x )＝l n x x －m ,则h ᶄ(x )＝１－l n xx ２,容易发现e 是函数h (x )的极值点,且x １,x ２是该函数的零点．下面构造对称函数H (x )＝h (x )－h(e２x),x ɪ(０,e),则H ᶄ(x )＝h ᶄ(x )－h (e ２x )éëêêùûúúᶄ＝１－l n x x ２＋１－l n e ２x (e ２x)２ˑe ２x ２＝(１－l n x )(１x ２－１e２)．又x ɪ(０,e ),故H ᶄ(x )＞０,H (x )在(０,e)上单调递增,H (x )＜H (e )＝０．又x １ɪ(０,e ),故H (x １)＝h (x １)－h (e２x １)＜０;又h (x １)＝h (x ２),故h (x ２)＜h (e ２x １);又x ２＞e ,e２x １＞e ,易知h (x )在(e ,＋ɕ)单调９６解法探究２０２３年１１月上半月㊀㊀㊀递减,故x ２＞e ２x １,即x １x ２＞e ２．２．２未明确偏移方向注意到１m ＞e ,要证x １x ２＞e ２,只需要证x １x ２＞１m ２．令T (x )＝g (x )－g (１m ２x),x ɪ(１m ,＋ɕ),则T ᶄ(x )＝g ᶄ(x )－g (１m ２x )éëêêùûúúᶄ＝１x －m ＋(m ２x －m )１m ２x ２＝(１－m x )ˑ１x２(x －１m )．又因为x ɪ(１m,＋ɕ),所以T ᶄ(x )＜０,T (x )在(１m ,＋ɕ)单调递减,T (x )＜T (１m)＝０．又x ２ɪ(１m,＋ɕ),所以T (x ２)＝g (x ２)－g (１m ２x ２)＜０,即g (x ２)＜g (１m ２x ２)．又g (x １)＝g (x ２),故g (x １)＜g (１m ２x ２);又x １＜１m ,１m ２x ２＜１m ,g (x )在(０,１m)上单调递增,故x １＜１m ２x ２,即x １x ２＜１m２．学生反复检查推导过程,并没有发现错误．那么,为什么会出现与要证明的x １x ２＞１m２符号相反呢?学生思路受阻．(１)受阻原因事实上,在１m ＞e 的前提条件下,x １x ２＞１m２是x １x ２＞e２的充分不必要条件,并非等价条件．函数图象在极值点左侧比右侧陡峭,则极值点左偏;函数图象在极值点右侧比左侧陡峭,则极值点右偏．由本题中的g ᶄ(x )＝１x －m 可知,当x ɪ(０,１m)时,随着x 的增大,g ᶄ(x )＞０且|gᶄ(x )|急剧减小,图象上升相对陡峭;当x ɪ(１m,＋ɕ)时,随着x 的增大,g ᶄ(x )＜０且|gᶄ(x )|缓慢变大,图象下降相对平缓．故g (x )的极值点左偏．因此有x １＋x ２２＞１m ＝x １－x ２l n x １－l n x ２＞x １x ２(对数均值不等式)．故上述学生的解答出现了未明确极值点偏移的方向,未明确是否为等价命题而盲目往下求解的错误．回顾解答过程,１m是g (x )的极值点,能否等价转化目标不等式x １x ２＞e ２,使之成为与极值点１m 直接有关的不等式呢?(２)修正后的方法方法二:注意到要证x １x ２＞e ２,即证l n x １＋l n x ２＞２,又l n x １＝m x １,l n x ２＝m x ２,l n x １＋l n x ２＝m (x １＋x ２),所以即证m (x １＋x ２)＞２,也即证x １＋x ２＞２m．令S (x )＝g (x )－g (２m －x ),x ɪ(０,１m),则S ᶄ(x )＝g ᶄ(x )－g (２m －x )éëêêùûúúᶄ＝１x －m ＋１２m－x －m ＝２(m x －１)２x (２－m x )．又x ɪ(０,１m ),故S ᶄ(x )＞０,S (x )在(０,１m)单调递增,S (x )＜S (１m )＝０．又x １ɪ(０,１m ),故g (x １)－g (２m－x １)＜０．又g (x １)＝g (x ２),故g (x ２)＜g (２m－x １)．又x ２＞１m ,２m －x １＞１m ,g (x )在(１m,＋ɕ)上单调递减,故x ２＞２m －x １,即x １＋x ２＞２m．评注:方法一和方法二均是利用构造的新函数来达到消元的目的,本质上是为了将双变元不等式转化为单变元不等式．事实上,还可以通过构造新变元,将两个旧变元都换成新变元来表示,从而达到消元的目的．３另外两种方法欣赏方法三:注意到l n x ２l n x １＝x ２x １,不妨设x ２x １＝t ,则t ＞１,l n x １＝l n t t －１．要证l n x １＋l n x ２＞２,即证l n tt －１＋t ˑl n tt －１＞２,即证l n t ＋t l n t －２(t －１)＞０．令h (t )＝l n t ＋t l n t －２(t －１)(t ＞１),则h ᶄ(t )＝１t＋l n t －１＞０,故h (t )在(１,＋ɕ)上单调递增,h (t )＞h (１)＝０得证．方法四:运用对数均值不等式,即当x １ʂx ２时,x １x ２＜x １－x ２l n x １－l n x ２＜x １＋x ２２(用构造新变元可以证明[２]),注意到l n x １＝m x １,l n x ２＝m x ２,故x １－x ２l n x １－l n x ２＝１m ,进而１m ＝x １－x ２l n x １－l n x ２＜x １＋x ２２,即x １＋x ２＞２m,得证．参考文献:[１]荣兵．探讨极值点偏移问题[J ]．高考,２０２１(３０):１５０Ｇ１５１．[２]李荣．解答函数极值点偏移问题的两种方法[J ]．语数外学习(高中版下旬),２０２２(１):５６．Z０７。
极值点偏移教师版
极值点偏移专题1、极值点偏移以函数函数2x y =为例，极值点为0，如果直线1=y 与它的图像相交，交点的横坐标为1-和1，我们简单计算：0211=+-.也就是说极值点刚好位于两个交点的中点处，此时我们称极值点相对中点不偏移.当然，更多的情况是极值点相对中点偏移，下面的图形能形象地解释这一点.那么，如何判断一道题是否属于“极值点偏移”问题呢？其具体特征就是：2、主元法破解极值点偏移问题2016年全国I 卷的第21题是一道导数应用问题，呈现的形式非常简洁，考查了函数的双零点的问题，也是典型的极值点偏移的问题, 是考生实力与潜力的综合演练场．所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用．例1.（2016全国1-21）已知函数错误！未找到引用源。
有两个零点. (I)求a 的取值范围；(II)设x 1,x 2是()f x 错误！未找到引用源。
的两个零点,证明：122x x +<. (1)解析：详细解答⑴方法一：由已知得：()()()()()'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+①若0a =，那么()()0202x f x x e x =⇔-=⇔=，()f x 只有唯一的零点2x =，不合题意； ②若0a >，那么20x x e a e +>>，所以当1x >时，()'0f x >，()f x 单调递增当1x <时，()'0f x <，()f x 单调递减，即：故()f x 在()1,+∞上至多一个零点，在(),1-∞上至多一个零点 由于()20f a =>，()10f e =-<，则()()210f f <， 根据零点存在性定理，()f x 在()1,2上有且仅有一个零点． 而当1x <时，x e e <，210x -<-<，故()()()()()()()222212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--则()0f x =的两根11t +，21t =+， 12t t <，因为0a >，故当1x t <或2x t >时，()()2110a x e x e -+-->因此，当1x <且1x t <时，()0f x >又()10f e =-<，根据零点存在性定理，()f x 在(),1-∞有且只有一个零点． 此时，()f x 在R 上有且只有两个零点，满足题意．③ 若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，当()ln 2x a <-时，()1ln 210x a -<--<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()'120x f x x e a =-+>，()f x 单调递增； 当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()'120x f x x e a =-+<，()f x 单调递减；当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增．即：而极大值()()()(){}22ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+<⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故当1x ≤时，()f x 在()ln 2x a =-处取到最大值()ln 2f a -⎡⎤⎣⎦，那么()()ln 20f x f a -<⎡⎤⎣⎦≤恒成立，即()0f x =无解而当1x >时，()f x 单调递增，至多一个零点，此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．④ 若2ea =-，那么()ln 21a -=当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增 当()1ln 2x a >=-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增又()f x 在1x =处有意义，故()f x 在R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．⑤ 若2ea <-，则()ln 21a ->当1x <时，10x -<，()ln 212220a x e a e a ea -+<+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增 当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()'0f x <，()f x 单调递减当()ln 2x a >-时，()1ln 210x a ->-->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增，即：故当()ln 2x a -≤时，()f x 在1x =处取到最大值()1f e =-，那么()0f x e -<≤恒成立，即()0f x =无解 当()ln 2x a >-时，()f x 单调递增，至多一个零点，此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意． 综上所述，当且仅当0a >时符合题意，即a 的取值范围为()0,+∞．简要解析（Ⅰ）方法二：'()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+．（i ）设0a =,则()(2)x f x x e =-,()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln2a b <,则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->, 故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-． 若2ea ≥-,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点． 若2ea <-,则ln(2)1a ->,故当(1,ln(2))x a ∈-时,'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点．综上,a 的取值范围为(0,)+∞．⑵ 方法一：由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠，故可整理得：()()()()121222122211x x x e x e a x x ---==--设()()()221x x e g x x -=-，则()()12g x g x =，那么()()()2321'1x x g x e x -+=-， 当1x <时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增． 设0m >，构造代数式： ()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭设()2111mm h m e m -=++，0m > 则()()2222'01m m h m e m =>+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=．因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上，不妨设12x x <，则必有121x x << 令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--⇔->=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->⇔-> 整理得：122x x +<．(2)方法二：不妨设12x x <，由（1）知，()()()122,1,1,,2,1x x x ∈-∞∈+∞-∈-∞，()f x 在(),1-∞上单调递减，所以122x x +<等价于()()122f x f x >-，即()()222f x f x >-． 由于()()22222221x f x x ea x --=-+-，而()()()2222221x f x x e a x =-+-，所以()()()222222222x x f x f x x e x e ---=---．令()()22xx g x xex e -=---，则()()()21x x g x x e e -'=--，所以当1x >时，()0g x '<，而()10g =，故当1x >时，()()10g x g <=．从而()()2220g x f x =-<，故122x x +<． (二)对解析的分析本问待证是两个变量的不等式，官方解析的变形是122x x <-，借助于函数的特性及其单调性，构造以2x 为主元的函数．由于两个变量的地位相同，当然也可调整主元变形为212x x <-，同理构造以1x 为主元的函数来处理．此法与官方解析正是极值点偏移问题的处理的通法．不妨设12x x <，由（1）知，()()()121,1,1,,21,x x x ∈-∞∈+∞-∈+∞，()f x 在()1,+∞上单调递增，所以122x x +<等价于()()212f x f x <-，即()()1120f x f x --<．令()()()()()2221xx u x f x f x xex e x -=--=--<，则()()()210x x u x x e e -'=-->，所以()()10u x u <=，即()()()21f x f x x <-<， 所以()()()1212f x f x f x =<-； 所以212x x <-，即122x x +<.变式、（2010年天津理科21题）已知函数()()x f x xe x R -=∈ （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x > （Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>．解：（21）本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分（Ⅰ）解：f ′()(1)x x x e -=-，令f ′(x )=0,解得x =1 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所以f (x )在(,1-∞)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数。
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导数应用之极值点偏移
1.(1)设不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 均在二次函数2()f x ax bx c =++(0abc ≠)的图像上,记直线AB 的斜率为k ,求证:12'()2
x x k f +=； (2)设不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 均在“伪二次函数”2()ln g x ax bx c x =++(0abc ≠)的图像上,记直线AB 的斜率为k ,试问:12'()2
x x k g +=还成立吗？ 2.设函数2()(12)ln ()f x ax a x x a =+--∈R ．
(1)当0a >时,求函数()f x 的单调递增区间；
(2)记函数()y f x =的图像为曲线C ,设11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线C 上不同的两点,M 为线段AB 的中点,过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．试问:曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？
3.设函数2()(2)ln f x x a x a x =---．
(1)求函数()f x 的单调区间；
(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值；
(3)若方程()f x c =有两个不等实根12,x x ,求证:12(
)02x x f +'>． 4.设函数2ln 2)(x mx x x f -+=.
(1)若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为n x y +=2,求实数n m ,的值；
(2)若4->m ,求证:当0>>b a 时,有2)()(22->--b
a b f a f ； (3)若函数()f x 有两个零点21,x x )(21x x <,且0x 是21,x x 的等差中项,求证:0)('0<x f .
5.设函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ,2x ,求证:212x x e >.
6.设函数()x f x e ax a =-+的两个零点为1x ,2x ,求证:2121x x x x +<.
7.设函数()x f x e ax =-,其中a e >,
(1)求证:函数()f x 有且仅有两个零点1x ,2x ,且1201x x <<<；
(2)对于(1)中的1x ,2x ,求证:12'()'()0f x f x +>.
8.设函数()x f x e mx =+的图像在点(0,(0))P f 处的切线方程为210x y -+=,求证:对满足a b c <<的实数,,a b c ,都有
()()()()f b f a f c f b b a c b --<--成立.。