极值点偏移问题
极值点偏移问题
若 f (x) 下凸（ f (x) 递增），则 f ( x1 x2 ) 0 2
五、解决极值点偏移问题的通法:主元法
第一步：根据 f x1 f x2 x1 x2 建立等量关系，并结合 f x 的单调性，确定
x1, x2 的取值范围； 第二步：不妨设 x1 x2 ，将待证不等式进行变形，进而结合原函数或导函数的单调性等
2(t 1) t 1
，∴ g '(t)
(t 1)2 t(t 1)2
0 ，∴ g(t) 在 (1, ) 上单调递增，
∴
g(t)
g(1)
0
，∴ ln t
2(t 1) t 1
，∴ ln
x1
ln
x2
2．
1、设 k R ，函数 f (x) ln x kx ． （3）若 f (x) 有两个相异零点 x1 ， x2 ，求证： ln x1 ln x2 2 ．
价转化；
第三步：构造关于 x1（或 x2 ）的一元函数T x f xi f 2a xi i 1, 2 ，这里 a
是 f (x) 的极值点，应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．
所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问题化归为 该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用．
x 1
x 1
解决极值点偏移问题策略三：比值换元法
1、设 k R ，函数 f (x) ln x kx ．
（3）若 f (x) 有两个相异零点 x1 ， x2 ，求证： ln x1 ln x2 2 ． （3）设 f (x) 的两个相异零点为 x1 ， x2 ，设 x1 x2 0 ，
极值点偏移四种解题方法
极值点偏移四种解题方法极值点偏移是数学中一个重要的概念，它指的是极值点在函数图像上偏移的现象。
本文将介绍四种解决极值点偏移问题的解题方法。
下面是本店铺为大家精心编写的5篇《极值点偏移四种解题方法》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《极值点偏移四种解题方法》篇1一、定义法定义法是解决极值点偏移问题的一种基本方法。
该方法的主要思路是利用函数的定义式，通过分析函数在某一点处的导数值，来判断该点是否为极值点。
如果函数在某一点处的导数值等于零，则该点为极值点。
如果函数在某一点处的导数值不存在，则该点也可能是极值点。
二、导数法导数法是解决极值点偏移问题的另一种基本方法。
该方法的主要思路是利用函数的导数，通过分析函数在某一点处的导数值，来判断该点是否为极值点。
如果函数在某一点处的导数值等于零，则该点为极值点。
如果函数在某一点处的导数值不存在，则该点也可能是极值点。
三、极值判定法极值判定法是解决极值点偏移问题的一种重要方法。
该方法的主要思路是利用函数的极值判定条件，通过分析函数在某一点处的极值条件，来判断该点是否为极值点。
如果函数在某一点处满足极值条件，则该点为极值点。
四、图像法图像法是解决极值点偏移问题的一种直观方法。
该方法的主要思路是通过绘制函数的图像，来判断函数的极值点是否偏移。
如果函数的图像在某一点处发生变化，则该点可能是极值点。
如果函数的图像在某一点处出现拐点，则该点可能是极值点。
综上所述，极值点偏移四种解题方法分别为定义法、导数法、极值判定法和图像法。
《极值点偏移四种解题方法》篇2极值点偏移是高中数学中常见的问题之一，通常出现在导数相关的题目中。
极值点偏移指的是，在可导函数的一个区间内，如果存在一个极值点，且该极值点左右两侧的增减速度不同，那么这个极值点可能会偏移到区间的中点，从而造成函数图像的不对称。
解决极值点偏移问题的方法有很多种，以下是四种常见的解题方法： 1. 构造函数法：该方法的本质是构造一个新的函数，使得新函数的导数与原函数的导数之间存在一定的关系。
极值点偏移的问题(含答案)
极值点偏移的问题(含答案)1.已知 $f(x)=\ln x-ax$，其中 $a$ 为常数。
1）若函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线与 $x$ 轴平行，求$a$ 的值；2）当 $a=1$ 时，比较 $f(m)$ 和 $f(1)$ 的大小；3）$f(x)$ 有两个零点 $x_1$ 和 $x_2$，证明：$x_1\cdotx_2>e^2$。
变式：已知函数 $f(x)=\ln x-ax^2$，其中 $a$ 为常数。
1) 讨论 $f(x)$ 的单调性；2) 若有两个零点 $x_1$ 和 $x_2$，试证明：$x_1\cdotx_2>e$。
2.已知 $f(x)=x^2+ax+\sin (\pi x)$，$x\in(0,1)$。
1）若 $f(1)=0$，求函数 $f(x)$ 的最大值；2）令 $g(x)=f(x)-(ax-1)$，求函数 $g(x)$ 的单调区间；3）若 $a=-2$，正实数 $x_1$ 和 $x_2$ 满足$f(x_1)+f(x_2)+x_1x_2=0$，证明：$x_1+x_2\geq \frac{5}{2}$。
3.已知 $f(x)=\ln x-ax^2+x$，其中 $a\in R$。
1）若 $f(1)=0$，求函数 $f(x)$ 的最大值；2）令 $g(x)=f(x)-(ax-1)$，求函数 $g(x)$ 的单调区间；3）若 $a=-2$，正实数 $x_1$ 和 $x_2$ 满足$f(x_1)+f(x_2)+x_1x_2=0$，证明：$x_1+x_2\geq \frac{5}{2}$。
4.设 $a>0$，函数 $f(x)=\ln x-ax$，$g(x)=\ln x-\frac{2(x-1)}{x+1}$。
1）证明：当 $x>1$ 时，$g(x)>0$ 恒成立；2）若函数 $f(x)$ 无零点，求实数 $a$ 的取值范围；3）若函数$f(x)$ 有两个相异零点$x_1$ 和$x_2$，求证：$x_1\cdot x_2>e^2$。
高中数学专题 微专题13 极值点偏移问题
由 f′(x)＝1－1x＋ln x－2x＋a＝0 得
a＝2x＋1x－ln x－1，
所以直线 y＝a 与函数 g(x)＝2x＋1x－ln x－1 的图象有两个交点，
由
g(x)
＝
2x
＋
1 x
－
பைடு நூலகம்
ln
x－1
得
g′(x)
＝
2
－
1 x2
－
1 x
＝
2x2－x－1 x2
＝
2x＋1x－1
x2
，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，因此g(x)min＝g(1)＝2， 当x→0时，g(x)→＋∞， 当x→＋∞时，g(x)→＋∞， 作出y＝g(x)的大致图象，如图所示. 所以若有两个交点，只需a>2，即a的取值范围为 (2，＋∞).
(2)设x1，x2是函数f(x)的两个极值点，证明：x1＋x2>2.
因为x1，x2是函数f(x)的两个极值点， 所以f′(x1)＝f′(x2)＝0，由(1)可知g(x1)＝g(x2)＝a，不妨设0<x1<1<x2， 要证明x1＋x2>2，只需证明x2>2－x1， 显然2－x1>1， 由(1)可知，当x∈(1，＋∞)时，g(x)单调递增，所以只需证明g(x2)>g(2 －x1)， 而g(x1)＝g(x2)＝a， 所以证明g(x1)>g(2－x1)即可， 即证明函数h(x)＝g(x)－g(2－x)>0在x∈(0,1)时恒成立，
123
(2)若f′(x0)＝0(f′(x)为f(x)的导函数)，方程f(x)＝m有两个不相等的实数 根x1，x2，求证：x1＋x2>2x0.
极值点偏移问题
高考数学优质专题（附经典解析）极值点偏移问题基本方法：极值点偏移的含义：对定义域内任意自变量x 都有()(2)f x f m x =-，则函数()f x 关于直线x m =对称：可以理解为函数()f x 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同. 若()f x 为单峰函数，则x m =必为()f x 的极值点. 如二次函数()f x 的顶点就是极值点0x ，若()f x c =的两根的中点为122x x +，则刚好有1202x x x +=，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数()f x 的极值点为m ，且函数()f x 满足定义域内x m=左侧的任意自变量x 都有()(2)f x f mx >-或()(2)f x f m x <-，则函数()f x 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数()f x 定义域内任意不同的实数12,x x 满足12()()f x f x =，则122x x +与极值点m 必有确定的大小关系：若122x x m +<，则称为极值点左偏；若122x x m +>，则称为极值点右偏.如图，函数()ex x f x =的极值点01x =刚好在方程()f x c =的两根中点122x x +的左边，我们称之为极值点左偏.极值点偏移问题的一般题设形式：1. 函数()f x 存在两个零点12,x x 且12x x ≠，求证：1202x x x +>（0x 为函数()f x 的极值点）；2. 若函数()f x 中存在12,x x 且12x x ≠满足12()()f x f x =，求证：1202x x x +>（0x 为函数()f x 的极值点）；3. 若函数()f x 存在两个零点12,x x 且12x x ≠，令1202x x x +=，求证：0()0f x '>；4. 若函数()f x 中存在12,x x 且12x x ≠满足12()()f x f x =，令1202x x x +=，求证：0()0f x '>.方法一：①利用对称性构造函数 ⅰ)求出函数()f x 的极值点0x ；ⅱ)构造一元差函数0()()(2)F x f x f x x =--或0()(2)()F x f x x f x =--； ⅲ)确定函数()F x 的单调性；ⅳ)结合0()0F x =，判断()F x 的符号，从而确定0(2)f x x -、()f x 的大小关系； ⅴ)再结合102,2x x x -或201,2x x x -的大小和函数()f x 的单调性得出所求结论. 方法二：②双变量转化单变量，构造函数不等式从代数层面来看，极值点偏移问题是条件不等式的证明：在等量条件12()()f x f x =的约束条件下求证12,x x 的二元不等式一个自然的想法是：能否将双变量的条件不等式化为单变量的函数不等式呢？ 方法③：利用对数平均不等式对数平均不等式的介绍与证明：两个正数a 和b 的对数平均定义：()(,)ln ln ()a ba b L a b a ba ab -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：(,)2a b L a b +≤≤（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当a b =时，等号成立. 只证：当a b ≠时，(,)2a bL a b +<. 不失一般性，可设a b >. 证明如下：（i）先证：(,)L a b <……①不等式①1ln ln ln 2ln (1)a a b x x x bx ⇔-<⇔<⇔<-=>其中 构造函数1()2ln (),(1)f x x x x x=-->，则22211()1(1)f x x x x'=--=--. 因为1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递减， 故()(1)0f x f <=，从而不等式①成立； （ii ）再证：(,)2a b L a b +<……②不等式②2(1)2()ln ln ln (1)aa b a b a b a a b b b --⇔->⇔>++2(1)ln (1)x x x -⇔>+(1)x =其中构造函数2(1)()ln ,(1)(1)x g x x x x -=->+，则22214(1)()(1)(1)x g x x x x x -'=-=++.因为1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0g x g >=，从而不等式②成立；综合（i ）（ii ）知，对,a b +∀∈R ，都有对(,)2a bL a b +≤≤成立，当且仅当a b =时，等号成立. 一、典型例题1. 已知函数()e ()x f x x x -=∈R .（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明：当1x >时，()()f x g x >；（3）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>.2. 已知函数()()()22e 1x f x x a x =-+-有两个零点. （1）求a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.二、课堂练习1. 已知函数()()2ln 21f x a x x a x =-+-()a ∈R 有两个不同的零点. （1）求a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x a +>.2. 已知函数()ln g x x bx =-，若()g x 有两个相异零点12,x x ，求证：12ln ln 2x x +>.三、课后作业1. 已知函数()ln f x x x m =--（m 为常数）.（1）求函数()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值；（2）设12,x x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，证明：121x x ⋅<.2. 已知函数()e 23x f x x m =-++，1212,()x x x x ≠是函数()f x 的两个零点. （1）求m 的取值范围； （2）求证120x x +<.3. 已知函数()()2ln g x a x x =--，已知关于x 的方程()0g x =有两个实根12,x x ，求证：126x x a+>.。
导数中的极值点偏移问题(学生版)
极值点偏移问题高考要求结合函数与导数的知识能够处理极值点偏移问题.知识解读1.极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。
若函数f (x )在x =x 0处取得极值，且函数y =f (x )与直线y =b 交于A (x 1,b ),B (x 2,b )两点，则AB 的中点为M x 1+x 22,b ，而往往x 0≠x 1+x 22。
如下图所示。
图1极值点不偏移图2极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数y =f (x )在区间(a ,b )内只有一个极值点x 0，方程f (x )的解分别为x 1、x 2，且a <x 1<x 2<b ，(1)若x 1+x 22≠x 0，则称函数y =f (x )在区间(x 1,x 2)上极值点x 0偏移；(2)若x 1+x 22>x 0，则函数y =f (x )在区间(x 1,x 2)上极值点x 0左偏，简称极值点x 0左偏；(3)若x 1+x 22<x 0，则函数y =f (x )在区间(x 1,x 2)上极值点x 0右偏，简称极值点x 0右偏。
2.极值点偏移问题的解法(1)对称化构造法：构造辅助函数：对结论x 1+x 2>(<)2x 0型，构造函数F (x )=f (x )-f (2x 0-x )；对结论x 1x 2>(<)x 20型，构造函数F (x )=f x -f x 20x，通过研究F (x )的单调性获得不等式．(2)比值代换法：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t =x 1x 2化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．题型突破题型1求和型极值点偏移1.(2024高三下·全国·专题练习)已知函数f x =2x ln x-x2+1．(1)证明：f x <1；(2)若0<x1<x2，且f x1=0，证明：x1+x2>2．+f x2x2-ax-2a2ln x.2.(2024·云南·二模)已知常数a>0，函数f(x)=12(1)若∀x>0,f(x)>-4a2，求a的取值范围;(2)若x1、x2是f(x)的零点，且x1≠x2，证明:x1+x2>4a.3.(2024·四川南充·一模)已知函数f(x)=x-ln x-a有两个不同的零点x1,x2.(1)求实数a的取值范围；(2)求证：x1+x2>2.e x-k(x-1),x>-1,k∈R．4.(2024·安徽淮南·二模)已知函数f(x)=1-2x+1(1)若k=0，证明：x∈(-1,0)时，f(x)<-1；(2)若函数f(x)恰有三个零点x1,x2,x3，证明：x1+x2+x3>1．5.(23-24高三下·天津·阶段练习)已知函数f(x)=x2-2ax+4ln x．(1)讨论f(x)的单调区间；(2)已知a∈[4,6]，设f(x)的两个极值点为λ1,λ2λ1<λ2，且存在b∈R，使得y=f(x)的图象与y=b有三个公共点x1,x2,x3x1<x2<x3；①求证：x1+x2>2λ1；②求证：x3-x1<47．6.已知函数f x =3ln x+ax2-4x(a>0).(1)当a=1时，讨论f x 的单调性；,x2,x3，且x1<x2<x3，证明：x3-x1<4. (2)当a=12时，若方程f x =b有三个不相等的实数根x17.(2024·广东湛江·一模)已知函数f x =1+ln xe ln1 ax．(1)讨论f x 的单调性；(2)若方程f x =1有两个根x1，x2，求实数a的取值范围，并证明：x1x2>1．8.(2024高三·全国·专题练习)已知函数f(x)=ln x+12ax2-(a+1)x,(a∈R).(1)当a=1时，判断函数y=f(x)的单调性；(2)若关于x的方程f(x)=12ax2有两个不同实根x1,x2，求实数a的取值范围，并证明x1⋅x2>e2.9.(23-24高三上·河南·阶段练习)已知函数f(x)=12ax2-(2a+1)x+2ln x(a∈R).(1)若f(x)有唯一极值，求a的取值范围；(2)当a≤0时，若f(x1)=f(x2)，x1≠x2，求证：x1x2<4.10.(23-24高三上·云南昆明·阶段练习)设a，b为函数f x =x⋅e x-m(m<0)的两个零点．(1)求实数m的取值范围；(2)证明：e a+e b<1．11.(2023·湖北武汉·三模)已知函数f x =ax+a-1ln x+1x，a∈R．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若关于x的方程f x =xe x-ln x+1x有两个不相等的实数根x1、x2，(ⅰ)求实数a的取值范围；(ⅱ)求证：e x1x2+ex2x1>2ax1x2．12.(2024·全国·模拟预测)设函数f x =ln x-ax a∈R.(1)若a=3，求函数f x 的最值；(2)若函数g x =xf x -x+a有两个不同的极值点，记作x1,x2，且x1<x2，求证：ln x1+2ln x2>3.13.(2024高三下·全国·专题练习)已知函数g x =ln x-ax2+2-ax(a∈R)．(1)求g x 的单调区间；(2)若函数f x =g x +a+1x2-2x，x1,x20<x1<x2是函数f x 的两个零点，证明：fx1+x22<0．14.(2024·吉林·二模)在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，另一个顶点B在函数f x =ln xx图象上(1)当顶点B在x轴上方时，求Rt△OAB以x轴为旋转轴，边AB和边OB旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值；(2)已知函数g x =e ax 2-ex+ax2-1x，关于x的方程f x =g x 有两个不等实根x1，x2x1<x2.(i)求实数a的取值范围; (ii)证明：x21+x22>2e.15.(2024·全国·模拟预测)已知函数f(x)=ln x+1x，g(x)=e x x．(1)若对任意的m,n∈(0,+∞)都有f(m)≤t≤g(n)，求实数t的取值范围；(2)若x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，e x2-x1=x x12x x21，证明：x31+x32>2．反馈训练1.(2021·全国·统考高考真题)已知函数f x =x1-ln x. (1)讨论f x 的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且b ln a-a ln b=a-b，证明：2<1a +1b<e.2.设函数f x =ln x-ax a∈R.(1)若a=3，求函数f x 的最值；(2)若函数g x =xf x -x+a有两个不同的极值点，记作x1,x2，且x1<x2，求证：ln x1+2ln x2>3.3.(2024·广东湛江·一模)已知函数f x =1+ln xe ln1 ax．(1)讨论f x 的单调性；(2)若方程f x =1有两个根x1，x2，求实数a的取值范围，并证明：x1x2>1．4.(23-24高二下·云南·期中)已知函数f x =3ln x+ax2-4x(a>0).(1)当a=1时，讨论f x 的单调性；(2)当a=12时，若方程f x =b有三个不相等的实数根x1,x2,x3，且x1<x2<x3，证明：x3-x1<4.5.(2024·辽宁·模拟预测)已知函数f x =e x-ax2(a>0)．(1)当a=e2内的单调性；4时，判断f x 在区间1,+∞(2)若f x 有三个零点x1,x2,x3，且x1<x2<x3．(i)求a的取值范围；(ii)证明：x1+x2+x3>3.6.(2024·河北保定·二模)已知函数f(x)=ax-x ln x,f (x)为其导函数．(1)若f(x)≤1恒成立，求a的取值范围；(2)若存在两个不同的正数x1,x2，使得f x1>0．=f x2，证明：f x1x2117.(2023·山东日照·二模)已知函数f x =x-a ln x．(1)若f x ≥1恒成立，求实数a的值：(2)若x1>0，x2>0，e x1+ln x2>x1+x2，证明：e x1+x2>2．12。
(完整版)极值点偏移问题
(完整版)极值点偏移问题
判定方法
1极值点偏移的定义
对于函数yf(x)在区间(a,b)内只有一个极值点X.,方程f(x)0的解分别为 Xpx,且aXX ₂b.
(2)若空-x ₙ,则函数yf(x)在区间(x,x ₂)上极值点X ₀左偏,简称极值点X 。
2左偏：
(3)若XC,2贝u 函数yf(x)在区间(x,x ₂)上极值点X,右偏,简称极值点X 。
右偏。
2、极值点偏移的判定定理
证明:(1)因为可导函数yf(x),在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x ₀. '。
(a,b)由于f(-^o.故匹。
(a,x),所以
222
公令(风。
即函数极大(小)值点X 。
右(左)偏。
判定定理2对于可导函数yf(x)，在区间(a ，b)上只有一个极大(小)值点沧，方程f(x)0的解分别为x[X,且aXX,b. (1) 若冬=x 。
则称函数yf(x)在区间(x, x ₂ )上极值点X ₐ偏移: 2。
（完整word版）高中数学极值点偏移问题
（完整word版）⾼中数学极值点偏移问题极值点偏移问题沈阳市第⼗⼀中学数学组：赵拥权⼀：极值点偏移（俗称峰⾕偏）问题的定义对于可导函数y=f(x)在区间（a,b）上只有⼀个极⼤（⼩）值点x0,⽅程f(x)=0(f(x)=m)的解分别为x1,x2且a 若x1+x22≠x0，,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点x0偏移；（1）x1+x22>x0,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点x0左偏移；（2）x1+x22⼆：极值点偏移的判定定理对于可导函数y=f(x)在区间（a,b）上只有⼀个极⼤（⼩）值点x0,⽅程f(x)=0（f(x)=m)的解分别为x1,x2且a （1）若f(x1)2（2）若f(x1)2>x0即函数f(x)在区间上（a,b）极⼩值点x0左偏;（即⾕偏左）（3）若f(x1)>f(2x0?x2)则x1+x22>x0即函数f(x)在区间上（a,b）极⼤值点x0左偏;（即峰偏左）（4）若f(x1)>f(2x0?x2)则x1+x22拓展：1）若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2ba x +=①f(x)在(0,a)递增，在(a,2a)递减,且f(a -x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a -x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a -x)>(<)f(x+a)(f(x)> (<)f(2a -x))则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰⾕偏函数)其中①极⼤值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极⼩值偏左（或偏右）也称⾕偏左（或右）；性质：1) )(x f 的图象关于直线a x =对称若x 1,x 2∈(0,2a)x 1≠x 2则 x 1+x 2=2a <=>f (x 1)=f(x 2),(f ′(x 1)+f ′(x 2)=0,f ′(x 1+x 22)=0);2)已知函数是满⾜条件的极⼤值左偏（峰偏左）若x 1,x 2∈(0,2a)x 1≠x 2则f (x 1)=f(x 2)则x 1+x 2>2a ,及f ′(x 1+x 22)<0极值点偏移解题步骤：①求函数f(x)的极值点x 0；②构造函数F(x)=f(x+x 0)-f(x 0?x) (F(x)=f(x 0?x )-f(x 0+x), F(x)=f(x+2x 0)-f(?x) , F(x)=f(x)-f(2x 0?x))确定F(x)单调性③结合F(0)=0（F(-x 0)=0,F(x 0)=0)判断F(x)符号从⽽确定f(x+x 0),f(x 0?x)( f(x+2x 0)与f(?x); f(x)与f(2x 0?x)）的⼤⼩关系; 答题模式：已知函数y=f(x)满⾜f (x 1)=f(x 2),x 0为函数y=f(x)的极值点,求证：x 1+x 2<2x 0 ①求函数f(x)的极值点x 0；②构造函数F(x)=f(x+x 0)-f(x 0?x) 确定F(x)单调性③判断F(x)符号从⽽确定f(x+x 0),f(x 0?x) 的⼤⼩关系;假设F(x)在(0,+∞）上单调递增则F(x)>F(0)=0，从⽽得到x>0时f(x+x 0)>f(x 0?x) ④1.（2016年全国I ⾼考）已知函数有两个零点. 设x 1，x 2是的两个零点，证明：+x 2<2.2. (2010年⾼考天津卷理科21)（本⼩题满分14分）已知函数f(x)=xe -x（x ∈R ）.(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)(Ⅲ)如果12,x x ≠且12()(),f x f x =证明122x x +> 证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)2x e-令F(x)=f(x)-g(x),即2()(2)xx F x xe x e --=+-于是22'()(1)(1)x x F x x ee --=--当x>1时，2x-2>0,从⽽2x-2e 10,0,F x e -->>⼜所以’(x)>0,从⽽函数F （x ）在[1,+∞)是增函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016版导数分类提高
第八讲极值点偏移一(纯偏型)
课类：技巧与方法课型：体验式
主讲：江海桃
电话：微信：dh
一、学习目标
1了解极值偏移的两种类型
2•掌握两种极值偏移的处理方法
二、学习过程
【定义】什么是极值点偏移？
我们知道二次函数f(X)的顶点就是极值点x o，若f(X)=C的两根的中
点为凶X2，贝侧好有西X2=X o，即极值点在两根的正中间，也
2 2
就是极值点没有偏移；而函数g(X)二的极值点X o=1刚好在两根的中
e
点X1 X2的左边，我们称之为极值点左偏。
2
【分类】
【分类一】按极值点的偏移来分
分为两类：左偏乞4>X0 ；右偏d^Vx。
.
2 2
【分类二】按极值点偏移的处理方法分
分为两类：纯偏移，非纯偏移.
【类型一】纯偏移型
纯偏移的处理策略为：构造函数F(x) f(x) f(2X o x)或
是F(x) f(X。
x) f(x° x).
例题1.已知函数f(x) xe x(x R).
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)已知函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，证明：当x>1 时，f(x)>g(x);
(3)若X i X2，且f( X i)=f( X2),证明：X I+X2>2.
练习.已知函数f (X) ln X ax2(2 a)x .
(1)讨论f(X)的单调性；
(2)设 a 0，证明：当0 X -时，f (丄X) f (- X)；
a a a
(3)若函数y f(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横
坐标为X o,
证明：f (X o)V 0.
例题2.已知函数f(x) - Xre x. 1 x
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)证明：若X i X2，且f( X i)=f( X2)时，则X i+X2<0.
练习.已知函数f(x) e x ax a,a R ,其中图像与x轴交于A( X i,0) , B (X2‘0),且
X-I x2.
(i)求a的取值范围;
(2)证明：f'C, X i X2)0 ；
(3)设点C在函数y f(x)的图像上，且ABC为等腰直角三角形，记
t，求
(a-1) (t-1)的值.
【课后总结】
纯极值点偏移的处理步骤：
1. 构造一元差函数F(x) f(x) f(2x。
x)或是
F(x) f(x。
x) f(x。
x)；
2.对差函数F(x)求导，判断单调性；
3.结合F(0)=0，判断F(x)的符号，从而确定f(x o x)与f(x o x)的大小关系；
4.由f(xj f(X2) f[x°(X o X2)] _____ f[X o (x o X2)]=f(2X o x)的大小关系，得到f (x i) _________ f (2x o x)，(横线上为不等号)；
5.结合f(x)单调性得到x i ______________________ 2x o X2 _，进而得到
X—XL X o .
2
三、课后作业
已知函数f (x) alnx x2.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a=2时，函数h(x)=f(x)-mx 的图像与x轴交于两点A(x「o)，
B( X2,0)，且
o X i X2，又h'(x)是h(x)的导函数，若正常数，满足条件1，证明： 1
'( x1 x2) 0.
（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）。