极值点偏移问题ppt课件

函数极值点偏移问题

1. 定义

- 对于函数y = f(x)，若在区间(a,b)内有极值点x_0，且满足x_1+x_2>2x_0（或x_1 + x_2<2x_0），其中x_1,x_2是f(x)=m（m为常数）的两个根，就称函数y =

f(x)存在极值点偏移现象。

2. 常见函数类型

- 例如f(x)=ln x - ax（a>0）这种对数函数与一次函数组合的函数，f(x)=e^x-ax

- b这种指数函数与一次函数组合的函数等都可能出现极值点偏移问题。

二、典型例题及解析

例1：已知函数f(x)=x^2-2ln x，若存在x_1,x_2且x_1≠ x_2，使得f(x_1)=f(x_2)，求证：x_1 + x_2>2。

1. 求函数f(x)的极值点

- 首先对f(x)=x^2-2ln x（x>0）求导，f^′(x)=2x-(2)/(x)=frac{2(x^2-1)}{x}=(2(x

+ 1)(x - 1))/(x)。

- 令f^′(x)=0，解得x = 1。当0时，f^′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f^′(x)>0，f(x)单调递增。所以x = 1是f(x)的极小值点。

2. 构造函数证明不等式

- 因为f(x_1)=f(x_2)，不妨设0。

- 要证x_1 + x_2>2，即证x_2>2 - x_1。

- 因为1，1>2 - x_1（0），且f(x)在(1,+∞)上单调递增，所以只需证f(x_2)>f(2

- x_1)。 - 又因为f(x_1)=f(x_2)，所以只需证f(x_1)-f(2 - x_1)>0。

- 设g(x)=f(x)-f(2 - x)（0），g(x)=x^2-2ln x-(2 - x)^2+2ln(2 - x)

- 化简得g(x)=x^2-(2 - x)^2-2ln x+2ln(2 - x)=4x - 4 - 2ln x+2ln(2 - x)。

极值点偏移问题

2016版导数分类提高

第八讲极值点偏移一(纯偏型)

课类：技巧与方法课型：体验式

主讲：江海桃

电话：微信：dh

一、学习目标

1了解极值偏移的两种类型

2•掌握两种极值偏移的处理方法

二、学习过程

【定义】什么是极值点偏移？

我们知道二次函数f(X)的顶点就是极值点xo，若f(X)=C的两根的中点为凶X2，贝侧好有西X2=Xo，即极值点在两根的正中间，也

2 2

就是极值点没有偏移；而函数g(X)二的极值点Xo=1刚好在两根的中

e

点X1 X2的左边，我们称之为极值点左偏。

2

【分类】

【分类一】按极值点的偏移来分

分为两类：左偏乞4>X0 ；右偏d^Vx。.

2 2

【分类二】按极值点偏移的处理方法分

分为两类：纯偏移，非纯偏移.

【类型一】纯偏移型

纯偏移的处理策略为：构造函数 F(x) f(x) f(2Xo x)或

是 F(x) f(X。x) f(x° x).

例题1.已知函数f(x) xe x(x R).

(1) 求函数f(x)的单调区间和极值；

(2) 已知函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，证明：当 x>1 时，f(x)>g(x);

(3)若 Xi X2，且 f( Xi)=f( X2),证明：XI+X2>2.

练习.已知函数f (X) ln X ax2 (2 a)x .

(1) 讨论f(X)的单调性；

(2) 设 a 0，证明：当 0 X -时，f (丄 X) f (- X)；

a a a

(3) 若函数y f(x)的图像与x轴交于A， B两点，线段AB中点的横

坐标为Xo,

证明：f (Xo)V 0.

例题2.已知函数f(x) - Xrex. 1 x

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)证明：若 Xi X2，且 f( Xi)=f( X2)时，则 Xi+X2<0.

练习.已知函数f(x) ex ax a,a R ,其中图像与x轴交于A( Xi,0) , B

极值点偏移问题

1 x

x

x x

．．极值点偏移问题

一﹑预备知识:相关不等式(应用时,一般须给出证明)

1. x  1  ln x  x  1 ; 2.

x ln x  1 x ;

e

3. ex  x  1; ex  ex. 4. x  0 时ex  x2 ,ex  x2  1.

x  1 x2  1 2( x  1) 1 x2  1

5. x  1 时, x  x2  1 x  1  ln x    x  1 ; 2x

x  1 x2  1 1 2( x  1) x2  1

6. 0  x  1 时, x 2x    ln x x  1  x2  1  x  1 ;

二﹑应对极值点偏移问题的若干思路

思路一: 零点排序.

将 f ( x) 的零点及相关常数﹑变量排序到同一单调区间上,即“大路通天,只走一边”.

含: ①伪对称法;(即设 f ( x) 极值点为m ,构造函数 F(x)  f (x)  f (2m  x) 或

F(x)  f (m  x)  f (m  x) 并参照零点 x1 (或 x2 )注明定义域,然后确定 F( x) 的符号,并依据极值点一侧的单调性证之).

②分析法; ③其它方法.

思路二: 零点作商(差)代换.

先选定新自变量t ,如:设 x2  t(t  1),or x  x  t(t  0)or( x  1)  ( x

 1)  t(t  0)

2 1 2 1

1

并求出解析式,然后构造函数证之. (有时用到齐次代换)

 思路三:双．向．型超越不等式.

ln x  2( x  m) + ln m ( x  m)

借助形如ln x x  m

2( x  m)

x  m

+ ln m

(0  x  m) (m  0) 的双向型超越不等式(应予附证！)化超

极值点偏移问题专题 —拐点偏移PK极值点偏移常规套路

极值点偏移问题专题

极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移）

极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路）

极值点偏移问题专题（2）——函数的选取（操作细节）

极值点偏移问题专题（3）——变更结论（操作细节）

极值点偏移问题专题（4）——比值代换（解题方法）

极值点偏移问题专题（5）——对数平均不等式（本质回归）

极值点偏移问题专题（6）——泰勒展开（本质回归）

极值点偏移问题专题（7）——好题精选一题多解23例

极值点偏移问题专题（8）——利用对数平均不等式处理极值点偏移压轴难题

极值点偏移问题专题（9）——一题学懂极值点偏移五大处理套路

极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移）

例1已知函数22lnfxxxx，若正实数1x，2x满足12+=4fxfx，求证:122xx。

证明：注意到1=2f，12+=21fxfxf

12+=21fxfxf

2=+210fxxx

22=2fxx，1=0f，则（1,2）是fx图像的拐点，若拐点（1,2）也是fx的对称中心，则有12=2xx，证明122xx则说明拐点发生了偏移，作图如下

想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理．

不妨设1201xx，要证

1221212212xxxxfxfx

11114242fxfxfxfx

2Fxfxfx，0,1x，则

222212212Fxfxfxxxxx

141102xxx，

得Fx在0,1上单增，有1214FxF，得证。

极值点偏移问题-----比值代换

1 极值点偏移问题

---------------比值代换（解题方法）

极值点偏移问题的一般形式是：已知函数xf的极值点为0x，两相异实数1x，2x满足21xfxf，求证0212xxx，或0212xxx，或2021xxx或2021xxx或其它关于1x，2x的不等式，从代数层面来看，极值点偏移问题是条件不等式证明：在等量条件21xfxf的约束下求证1x，2x的二元不等式.能否将双变量的条件不等式化为单变量的函数不等式呢？先看一个例子：

已知函数xxxfln，设021xx，求证1212122211xxxfxfxxx.

证明：212122211xxxfxfxxx21212122211lnlnxxxxxxxxx

11lnln212122211xxxxxxx0lnln212122211xxxxxxx

0lnln212221211xxxxxxx 0ln12122121221xxxxxxxx.

令121xxt，即证0ln122tttt.

设tttttgln122，,1t，则tttttg1112'220111223ttttt，所以tg在，1上单调递减，所以01gtg.

上述证法通过代数变形，将所证的双变量1x，2x的不等式化为单变量21xxt的函数不等式，从而得证.能否一开始就做这个代换呢？

令121xxt，则21txx，代入0lnln212122211xxxxxxx，得到 2 0lnlnln2222222222xtxxxtxxttx01ln12tttt0ln112tttt，往下就可以构造函数来证明不等式了.

极值点偏移问题 2

第 1 页共 8 页极值点偏移问题

10181.(1)设1122(,),(,)AxyBxy是函数2()fxaxbxc(0)abc图象上不同的两点,求证:直线AB的斜率12'()2xxkf；

(2)设1122(,),(,)AxyBxy是函数2()lngxaxbxcx(0)abc图象上不同的两点,试问:直线AB的斜率12'()2xxkg还成立吗？

解:(1)由题意可得2111yaxbxc,2222yaxbxc,且12xx,故直线AB的斜率

2222111221()()axbxcaxbxckaxxbxx.

又由于'()2fxaxb,因此

121212'()2()22xxxxfabaxxb.

所以,直线AB的斜率12'()2xxkf.

(2)由题意可得21111lnyaxbxcx,22222lnyaxbxcx,且12xx,故直线AB的斜率

2121122121lnln()yyxxkaxxbcxxxx.

又由于1'()2gxaxbcx,因此

1212121212'()2()22xxxxgabcaxxbcxxx.

令函数()'()hxkgx,则

212112lnln2()xxhxccxxxx

212121212()[lnln]cxxxxxxxx

221221112(1)[ln]1xcxxxxxxx. 第 2 页共 8 页不妨令120xx,则211xtx,2(1)()ln1tttt,

则由22214(1)'()0(1)(1)tttttt可知()t在(1,)上递增.

故()(1)0t.

从而,由可得()0hx,即直线AB的斜率12'()2xxkg.

(完整版)极值点偏移问题

极值点偏移是指某个函数的最大值或最小值在其定义域内发生改变的现象。这种现象多出现在对某些因素进行调整或改变时，导致函数的极值点位置发生偏移或移动，使得函数的最大值或最小值也相应地发生改变。

极值点偏移问题在实际生活中比较常见，例如在优化生产、优化销售、优化成本等领域中应用比较广泛。在这些领域中，常常需要对某些条件进行调整，以实现最佳效益，从而使得函数的极值点位置发生变化。

例如，在优化生产过程中，如果加入了一些新的设施或流程，将会导致生产效率的变化。这时，需要重新调整生产程序，使得在新的条件下，生产效率最高。这个问题可以看做是一个优化问题，需要找到使得函数（生产效率）最大值或最小值的最优解。然而，由于新的条件的影响，函数的极值点位置会发生偏移，需要重新计算最优解。

另一个例子是在销售领域中。销售策略的不同会导致客户对某种产品的需求量发生变化，从而导致该产品的销量发生变化。这时，需要重新制定销售策略，以实现最佳销售效果。同样地，由于销售策略的变化，函数的极值点位置也会发生偏移，需要重新计算最佳销售策略。

总之，极值点偏移问题在实际生活中十分常见，需要我们在进行优化时认真分析和计算，以找到最佳的解决方案。

双变量问题之极值点偏移

知识与方法

1.设函数fx在定义域上有极值点0x，但由于函数在极值点0x左右两侧的增减速率不对称，造成函数fx的图象不关于直线0xx对称，那么当12fxfx时，极值点0x会偏向1x或2x中的某一个，也即1202xxx或1202xxx，在给定的函数背景下，证明上面的两个不等式，这类问题称为极值点偏移问题.

2．极值点偏移问题常用的解题方法有三种：

（1）构造对称差函数，研究其单调性，证明不等式；

（2）通过变形，转化为双变量问题，用齐次换元化归成单变量不等式证明问题；

（3）利用对数平均不等式证明.（由于在作答时要先证明此不等式，故一般正式作答时不使用此法）

3.对数平均不等式：设0a，0b，且ab，则lnln2abababab.

典型例题

【例1】已知函数ln2fxxx

（1）求函数fx的最大值；

（2）设12xx，若12fxfx，证明：122xx.

【解析】（1）由题意，111xfxxx0x，所以001fxx，01fxx，从而fx在0,1上单调递增，在1,上单调递减，故max11fxf.

（2）证法1：不妨设12xx，由（1）易得1201xx，要证122xx，只需证212xx，因为1122x，且fx在1,上单调递减，所以只需证212fxfx，

结合12fxfx知只需证112fxfx，即证1120fxfx，

设2gxfxfx，01x，则221112022xxxgxfxfxxxxx，

所以gx在0,1上单调递增，因为101x，所以111 210gxfxfxg，故122xx.

极值点偏移问题3

极值点偏移问题（3）

——变更结论（操作细节）

杨春波（高新区枫杨街郑州外国语学校，河南郑州 450001)

不知细心的读者是否发现，在前面所举的诸例中，求证结论只有两种类型：1202xxx和2120xxx，不妨称为常规类型．如果求证结论是关于12,xx的其他不等式呢？别慌，本讲就教你变“不常规”为“常规”．

例5 已知函数lnfxxx，若两相异正实数12,xx满足12fxfx，求证：120fxfx．

分析：11fxx，则1212121111202fxfxxxxx．所证结论不常规怎么办？可以尝试如下两种处理方法．

解法1（换元法）：通过换元将不常规的结论变更为常规结论．

令110ax，210bx，即证2ab．12fxfx即1122lnlnxxxx，11lnlnabab，记函数1lngxxx，则gagb，原问题变更为：

已知函数1lngxxx，若两相异正实数,ab满足gagb，求证：2ab．

这是第一讲中处理过的常规问题，交给读者．

解法2（加强命题）：试图证明更强的结论121xx．

而这是例4第（4）问已证过的结论，由基本不等式得121211122xxxx．

注1：在用换元法变更结论时，选取的函数也要变更．其实是将原问题（不常规）变更为另一个问题（常规）．

注2：加强命题只是一种充分性的尝试，可能会面临失败．即使尝试失败，即121xx不成立，也不影响所证结论12112xx的正确性，只是方法不合适而已．

例6 已知函数2lnfxxx，若方程fxm有两个不相等的实根12,xx，求证：22122xxe．

解：用换元法证．令21ax，22bx，则12fxfx即221122lnlnxxxx，22221122lnlnxxxx，lnlnaabb．记函数lngxxx，则gagb，即证2abe，这是常规问题，交给读者．

极值点偏移1-4-第2招--含参数的极值点偏移问题

含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元12,xx的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.

★例1. 已知函数xaexxf)(有两个不同的零点12,xx，求证：221xx.

不妨设12xx，记12txx，则0,1tte，

因此只要证明：121ttete01)1(2tteet，

再次换元令xtxetln,1，即证),1(,01)1(2lnxxxx

构造新函数2(1)()ln1xFxxx，0)1(F

求导2'2214(1)()0(1)(1)xFxxxxx，得)(xF在),1(上递增，

所以0)(xF，因此原不等式122xx获证.

★例2. 已知函数()lnfxxax，a为常数，若函数()fx有两个零点12,xx，证明：212.xxe

法二：利用参数a作为媒介，换元后构造新函数：

不妨设12xx，

∵1122ln0,ln0xaxxax，∴12121212lnln(),lnln()xxaxxxxaxx，

∴1212lnlnxxaxx，欲证明212xxe，即证12lnln2xx.

∵1212lnln()xxaxx，∴即证122axx，

∴原命题等价于证明121212lnln2xxxxxx，即证：1122122()lnxxxxxx，令12,(1)xttx，构造2(1)ln,1)1(ttgttt，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略.

法三：直接换元构造新函数：

12221211lnlnln,lnxxxxaxxxx设2121,,(1)xxxttx，