高中数学复习典型题专题训练83---函数的零点
高中数学函数零点问题必考点梳理+真题精练(附答案)
f
x
mx
m
2 3
有四个解，即直线
y
mx
m
2 3
与函数
f
x
的图象有四个交点，
因为直线
y
mx
m
2 3
过定点
1,
2 3
，
在同一直角坐标系中作出直线 y mx m 2 与函数 f x 的图象，如下图所示，
3
当直线
y
mx
m
2 3
过原点时，
m
2 3
；
当直线
y
mx
m
2 3
与函数
y
ln
x
1
,
x
0
的图象相切时，
4、函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系 （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的 单调性确定是否存在零点. （2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两 个可分析的函数，为作图做好铺垫. （3）图象的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间.
专题 08 函数零点问题面面观 【热点聚焦与扩展】
函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助 于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1） 零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根分布问题；（3）判断根的个数问题；（4） 根据方程解的情况确定求参数的值或范围.上述情形除（1）简单，其它往往与分段函数结合或 与导数的应用结合，难度往往较大. 一、基础知识：
函数零点高中数学解题方法含详解
【分析】
分别解函数对应的方程，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
A选项，由 可得 ，即函数 有零点；
B选项，由 得 ，即函数 有零点；
C选项，由 解得， 不存在，即函数 没有零点；
D选项，由 解得 或 ，即函数 有零点.
故选：C.
6．A
【分析】
直接令 ，求方程的实数根，确定零点个数.
【详解】
令 ，解得： 或 ，
故选：C
8．D
【分析】
由已知，根据奇函数的对称性有(－∞,0)上也有1009个零点，由奇函数在R上有定义即f(0)＝0，即可知零点的总个数.
【详解】
∵f(x)为奇函数且在(0,＋∞)内有1009个零点，
∴在(－∞,0)上也有1009个零点，
又∵f(0)＝0，
∴共有2018＋1＝2019(个)零点．
故选：D
故选：C
2．C
【分析】
根据函数的零点存在性定理即可求解.
【详解】
因为函数 的图象是连续的曲线，
且 ， ，
所以 ，
根据零点存在性定理可得函数 必定存在零点位于区间 ，
故方程 必存在有根的一个区间是 ，
故选：C.
3．B
【分析】
令 ，利用零点存在性定理即可求解.
【详解】
令 ，则f(0)＝－4<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0，
（2）若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围；
（3）设函数 ，若 在 上有零点，求实数 的取值范围.
参考答案
1．C
【分析】
题目是让我们找零点所在的一个区间，注意是一个区间，意味着只要找到一个，问题就解决，利用零点存在定理即可判断.
高中数学专题练习-函数零点问题
高中数学专题练习-函数零点问题[题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围.常考题型精析题型一 零点个数与零点区间问题例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3}D.{－2－7，1,3}(2)(2015·北京)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.①若a ＝1，则f (x )的最小值为________；②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法；(2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3D.4题型二 由函数零点求参数范围问题例2 (·天津)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________.点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.变式训练2 (·北京东城区模拟)函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x ).当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x .若在区间[－2,3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______.高考题型精练1.已知x 1，x 2是函数f (x )＝e -x －|ln x |的两个零点，则( ) A.1e <x 1x 2<1 B.1<x 1x 2<e C.1<x 1x 2<10D.e<x 1x 2<102.(·天津)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 3.(·福州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B.－2,0 C.12D.04.函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6D.75.设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( ) A.[－4，－2] B.[－2,0] C.[0,2]D.[2,4]6.(·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A.(2，＋∞)B.(－∞，－2)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)7.定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧log 0.5(x ＋1)，0≤x <1，1－|x －3|，x ≥1，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为( ) A.1－2a B.2a －1 C.1－2－aD.2－a －18.(·北京朝阳区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.9.已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)，当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.10.方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________.11.(·江苏)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎨⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________.12.已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1 (k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是__________.答案精析函数零点问题 常考题型精析例1 (1)D (2)①－1 ②⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)解析 (1)令x <0，则－x >0， 所以f (－x )＝(－x )2＋3x ＝x 2＋3x . 因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (－x )＝－f (x ).所以当x <0时，f (x )＝－x 2－3x .所以当x ≥0时，g (x )＝x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.当x <0时，g (x )＝－x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2＋4x －3＝0，解得x ＝－2＋7>0(舍去)或x ＝－2－7.所以函数g (x )有三个零点，故其集合为{－2－7，1,3}. (2)①当a ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1.当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1,1)， 当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2) ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －322－14≥－1， ∴f (x )min ＝－1.②由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论： 当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点； 当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点. 因此a ≥2满足题意.当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2.变式训练1 B [函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数可转化为函数f (x )与g (x )图象的交点个数，作出函数f (x )＝x －[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧…x ＋1，－1≤x <0，x ，0≤x <1，x －1，1≤x <2，…与函数g (x )＝log 4(x －1)的大致图象如图，由图可知两函数图象的交点个数为2，即函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是2.]例2 1<a <2解析 画出函数f (x )的图象如图所示.函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a >0).当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点.故a <2.当y ＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎨⎧y ＝－ax ，y ＝－x 2－5x －4得x 2＋(5－a )x ＋4＝0. 由Δ＝0得(5－a )2－16＝0，解得a ＝1，或a ＝9(舍去)， 则当1<a <2时，两个函数图象有4个交点. 故实数a 的取值范围是1<a <2. 变式训练2 25<a <23解析 由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期是2. 由ax ＋2a －f (x )＝0得f (x )＝ax ＋2a ，设y ＝f (x )，y ＝ax ＋2a ，作出函数y ＝f (x )，y ＝ax ＋2a 的图象，如图，要使方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根， 则直线y ＝ax ＋2a ＝a (x ＋2)的斜率满足k AH <a <k AG ， 由题意可知，G (1,2)，H (3,2)，A (－2,0)， 所以k AH ＝25，k AG ＝23， 所以25<a <23. 高考题型精练1. A [在同一坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0,1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，即在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞).不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1,1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －1)，e －x 2－e －x 1＝ ln x 2＋ln x 1＝ln x 1x 2∈(－1,0)，于是有e －1<x 1x 2<e 0，即1e <x 1x 2<1.] 2.D [方法一 当x >2时，g (x )＝x ＋b －4，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝b －x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝b －x 2，f (x )＝2＋x . 由于函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点， 所以方程f (x )－g (x )＝0恰有4个根.当b ＝0时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋8＝0，无解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x －(－x )＝0，无解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x ＋2＝0，无解. 所以b ≠0，排除答案B.当b ＝2时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为(x －2)2＝x －2，得x ＝2(舍去)或x ＝3，有1解；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝2－x ，有无数个解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x 2＝x ＋2，得x ＝0(舍去)或x ＝－1，有1解. 所以b ≠2，排除答案A.当b ＝1时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋7＝0，无解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为1－x ＝2－x ，无解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x ＋1＝0，无解. 所以b ≠1，排除答案C.因此答案选D.方法二 记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y ＝x －4，当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ′，y ＝(x －2)2，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74，所以曲线h (x )向上平移74个单位后，所得图象与f (x )的图象有两个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当74＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有4个不同的交点，即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点.选D.]3.D [当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解.综上，函数f (x )的零点只有0.]4.B [∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.]5.A [f (0)＝4sin 1>0，f (2)＝4sin 5－2，由于π<5<2π， 所以sin 5<0，故f (2)<0，则函数在[0,2]上存在零点；由于f (－1)＝4sin(－1)＋1<0，故函数在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点； 令x ＝5π－24∈[2,4]，则f (5π－24)＝4sin 5π2－5π－24＝4－5π－24＝18－5π4>0， 而f (2)<0，所以函数在[2,4]上存在零点.选A.] 6.B [f ′(x )＝3ax 2－6x ，当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－6x ＝3x (3x －2)，则当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；x ∈(0，23)时，f ′(x )<0；x ∈(23，＋∞)时，f ′(x )>0，注意f (0)＝1，f (23)＝59>0，则f (x )的大致图象如图1所示.图1不符合题意，排除A 、C.当a ＝－43时，f ′(x )＝－4x 2－6x ＝－2x (2x ＋3)，则当x ∈(－∞，－32)时，f ′(x )<0，当x ∈(－32，0)时，f ′(x )>0，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，注意f (0)＝1，f (－32)＝－54，则f (x )的大致图象如图2所示.图2不符合题意，排除D.] 7.A [当0≤x <1时，f (x )≤0.由F (x )＝f (x )－a ＝0，画出函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图.函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点. 当－1<x <0时，0<－x <1，所以f (－x )＝log 0.5(－x ＋1)＝－log 2(1－x )， 即f (x )＝log 2(1－x )，－1<x <0. 由f (x )＝log 2(1－x )＝a ， 解得x ＝1－2a ， 因为函数f (x )为奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为1－2a .] 8.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 解析 画出函数f (x )的图象如图.要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同交点，则图易知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.9.2解析 由于2<a <3<b <4， 故f (1)＝log a 1＋1－b ＝1－b <0， 而0<log a 2<1,2－b ∈(－2，－1)， 故f (2)＝log a 2＋2－b <0， 又log a 3∈(1,2)，3－b ∈(－1,0)， 故f (3)＝log a 3＋3－b >0，因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n ＝2. 10.2解析 方程变形为3－x 2＝2－x ＝(12)x ，令y 1＝3－x 2，y 2＝(12)x .如图所示，由图象可知有2个交点.11.4解析 令h (x )＝f (x )＋g (x )， 则h (x )＝⎩⎨⎧－lnx ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2.当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x 2x ＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示.由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4. 12.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析 由题意作出f (x )在[－1,3]上的图象如图，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1).记B (2,0)，由图象知，方程有四个根， 即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点， 故k AB <k <0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13<k <0.。
高中数学专题练习-函数零点问题
高中数学专题练习-函数零点问题[题型分析•高考展望]函数零点问题是高考常考题型,一般以选择题、填空题的形式考查,难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数;二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围.常考题型精析题型一零点个数与零点区间问题例1 (1)(•湖北)Ax)是定义在R上的奇函数,当x20时.,夫x)=/一3x,那么函数g(x)=/W —x+3的零点的集合为()A.{1,3)B.{-3, -1,1,3)C.{2—" 1,3}D.{-2—6 1,3}2'—,(2)(206北京)设函数加0= ' 'I4(x—«)(x—2«),①假设a = 1,那么«r)的最小值为;②假设JU)恰有2个零点,那么实数a的取值范围是 ______ .点评确定函数零点的常用方法：⑴假设方程易求解时,用解方程判定法；(2)数形结合法,在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手时, 可以转化为某一易入手的等价问题求解,如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.变式练习1 (•东营模拟)因表示不超过x的最大整数,例如[2.9] = 2, [―4.1] = —5.J(x)=x -M(xGR), g(x)=log4(x—1),那么函数力(x)=/m)—g(x)的零点个数是( )A.lB.2C.3D.4题型二由函数零点求参数范围问题fLv2+5x+4l, xWO,例2 (•天津)函数於)=j 假设函数y=/(x)—恰有4个零点,那么实数,2k—21, x>0.a的取值范围为.点评利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法:〔1〕利用零点存在性定理构建不等式求解.〔2〕别离参数后转化为求函数的值域〔最值〕问题求解.⑶转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.变式练习2 〔•北京东城区模拟〕函数段〕是定义在R 上的偶函数,且满足於+2〕=%〕.当不引0川 时,於〕 = 2x.假设在区间[—2,3]上方程一外〕=0恰有四个不相等的实数根,那么实数.的取 值范围是 ___________ .高考题型精练1 .X],也是函数於尸e-r-llnxl 的两个零点,那么〔〕A."<A1X2<1BA<X\X2<C eC.1<AI X2<10D.e<xi%2<10[2-Lvl, A <2, 2 .〔•天津〕函数兀t 〕={ >函数g 〔x 〕=h —/〔2—x 〕,其中假设函数y=/〔x 〕 2〕、x>2,—g 〔x 〕恰有4个零点,那么8的取值范围是〔〕A© +8〕 Jc 〔o, 3 D.g, 2〕出一1 v < 13.〔•福州模拟〕函数,' ' ' 那么函数/〔x 〕的零点为〔〕11 +log2X, X>\,A.；, 0B. —2,0 4 .函数/U 〕=2sin4—x+1的零点个数为〔〕A.4B.5C.6D.7 5 .设函数/U 〕=4sin 〔2x+1〕—x,那么在以下区间中函数/U 〕不存在零点的是〔〕A.[-4, -2]B.[-2,0]C.[0,2]D.[2,4]6 .〔•课标全国I 〕函数於〕=加一3f+1,假设於〕存在唯一的零点如 且x 〔〕>0,那么.的取值 范围是〔〕1-2 ・A.〔2, +8〕B.〔—8, -2〕D.〔-8, -1〕C.〔l, +8〕log〔〕,5〔x+ 1〕, OWxvl,7.定义在R上的奇函数"r〕,当xNOH寸,J 那么关于x的函数F〔x〕11 —lx—31, xNl,=/a〕—a〔o<〃vi〕的所有零点之和为〔〕A.l—2"B.2a~\CA-2~a曾"x>28.〔.北京朝阳区模拟〕函数f〔x〕=y V4'"' 假设函数以幻=/〔幻—攵有两个不同的零「Og2X, 0<x<2. 点,那么实数攵的取值范围是__________ .9.函数"〕=logox+x-b〔a>0,且aWl〕,当2v"3v/x4时,函数段〕的零点冲£〔小〃+1〕, 〃WN*,那么〃=.10.方程2「+r=3的实数解的个数为.fo, OVxWl,11.〔・江苏〕函数於〕 = llnxl, g〔x〕=J ?,一那么方程！/〔x〕+g〔x〕l=l实根的个数为心―一41 —2, x>\912.大刈是以2为周期的偶函数,当x£［0』］时,兀t〕=x,且在［-1,3］内,关于x的方程=Ax+k+l 〔A£R, ZW - 1〕有四个根,那么A的取值范围是_____________________ .答案精析函数零点问题常考题型精析例 1 (1)D (2)©-1 1)U[2, +8)解析⑴令xvO,贝1x>0,所以 /(= (—x)2+3x=x1+3x.由于Ax)是定义在R上的奇函数,所以人一x)=-/U).所以当xvO 时,J(x) = -x1-3x.所以当xNO时,g(x)=『一4x+3.令g(x)=O,即/一4工+3=0,解得x=l或x=3.当xvO时, g(x)=-f—4%+3.令g(x)=O,即『+4工一3 = 0,解得工=-2+小>0(舍去)或工二一2一巾.所以函数g(x)有三个零点,故其集合为{-2—6,1,3}.2A— 1 XV1⑵①当4=1 时,J(X)= * ' ；、I4(x— l)(x—2),当x<l 时,/(x) = 2A-lG(-l,l),当时,兀0=4(广一3工+2)〞(•LA/-I,* *f(.x)min = - L②由于J(x)恰有2个零点,分两种情况讨论：当兀6二2、一〞,x<l没有零点时,或.W0.当心2时,«r)=4(x—〃)(x—20, QI时,有2个零点；当“Wo 时,J(x)=4(x—a)(x—2a'), 时无零点.因此满足题意.当f(x) = 2x~a, xv 1 有一个零点时,0<«<2.f(x)=4(x-a)(x— 2a), 有一个零点,此时“<1,24力1,因此gw4Vl.综上知实数.的取值范围是%或二L )变式练习1 B ［函数Mr 〕=/a 〕—g 〔x 〕的零点个数可转化为函数/U 〕与g 〔x 〕图象的交点个数,作x+1, - lWx<0, 出函数 f(x)=x —[x]=<X, OWxvl, x — 1, lWx<2, 可知两函数图象的交点个数为2,即函数力〔幻=/〔幻一以外的零点个数是21例 2 1V"<2解析 画出函数人工〕的图象如下图.函数〕,=/W —.改1有4个零点,即函数?=.1%1的图象与函数7U 〕的图象有4个交点〔根据图象知 需 «>0〕.当a=2时,函数兀¥〕的图象与函数?=4国的图象有3个交点.故a<2.当y=akl 〔xWO 〕与〉=酎+5犬+41相切时,在整个定义域内,凡0的图象与V=〃kl 的图象有5个 交点,由1=0得〔5—4〕2—16 = 0,解得4=1,或4 = 9〔舍去〕, 那么当lva<2时,两个函数图象有4个交点.故实数,的取值范围是\<a<2.2 2变式练习2 解析由/(x+2)=/H ・)得函数的周期是2. 由 6u+ lei —f[x) = 0 得兀1)= 44+2«, 设)'=於),y=〃x+2a,作出函数y=/(x),y=ax+2a 的图象,如图,与函数g 〔X 〕= log4〔X —l 〕的大致图象如图,由图y= 此时,由< b=—ax. —x 2 —5x —4 得『+(5—a)x+4 = 0.要使方程ca+2a—人工)=0恰有四个不相等的实数根,那么直线),=内+ 2〃 = 4(工+ 2)的斜率满足kAH<U<kAG,由题意可知,G(l,2), H(3,2), A(-2,0), 2 2所以心〃=q, kAG=y2 2所以'VYQ.高考题型精练1. A [在同一坐标系中画出函数),=e「与),=llnxl的图象,结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0』),另一个交点的横坐标属于区间(1, +8),即在修,初中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1, +8).不妨设X]£(0』),犯£(1, +°°), 那么有e—xi =llnxil = —Injq £住一「1), e ~X2 = lln X2I=In X2 (0, e 1), e—必一e一修二Inxz+lnxi = lnxiX2^(—1,0),于是有e*l<x-iX2<e°,即‘UixzvL] e2.D [方法一当x>2 时,g(x)=x+〃-4,凡?二.一2产；当04W2 时,g(x)=b-x9 f(x)=2-x;当xvO 时,g(x)=b~x2t f(x)=2+x.由于函数y=/U)—g.)恰有4个零点,所以方程/U)—g(x)=O恰有4个根.当〃=0时,留神>2时,方程次此一g(x)=O可化为『一5x+8 = 0,无解；当0WxW2时,方程凡¥)—g(x)=O可化为2—x—(―x)=0,无解；当xvO时,方程兀0—g(x) = O可化为f+x+2 = 0,无解.所以AWO,排除答案B.当b=2时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=O可化为(x—2)2=x—2,得x=2(舍去)或x=3,有1 解；当0WxW2时,方程共幻一gQ)=O可化为2—x=2—x,有无数个解；当xvO时,方程火x)—g(x) = O可化为2—f=x+2,得x=O(舍去)或x= -1,有1解.所以8W2,排除答案A.当b=1时,留神＞2时,方程兀0—g(x) = O可化为/一5工+7 = 0,无解；当0WxW2时,方程共幻一g(x)=O可化为1—x=2—x,无解；当XV.时,方程/U)—g(x) =.可化为f+x+luO,无解.所以8W1,排除答案C.因此答案选D.方法二记/?(工)=一八2一工)在同一坐标系中作出於)与力(x)的图象如图,直线AB：y=x-4,当fv=A-+Z?Z ,直线/〃48且与凡独的图象相切时,由£ ,.U'=(L2)-,9 9 7解得沙=一0 一Z一(一4)=不7所以曲线力(X)向上平移;个单位后,所得图象与Ax)的图象有两个公共点,平移2个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当(＜人＜2时,兀0与g(x)的图象有4个不同的交点,即),=/5) 一g(x)恰有4个零点.选D.]3.D [当xWl时,由力＞)=2]- 1=0,解得x=0;留神＞1时,由兀t)=l+log2X=0,解得x=J, 又由于Q1,所以此时方程无解.综上,函数/⑴的零点只有014.B 「••2sin7LLx+l=O,,2sin心・=x—1,图象如下图,由图象看出y=2sin7L¥ 与y=x—1有5个交点,•\Ax)=2sin7LY—x+1 的零点个数为 5.]5.A ［/(0)=4sin 1＞0, /(2)=4sin 5 —2,由于兀v5V2兀, 所以sin5vO,故/(2)v0,那么函数在［0,2］上存在零点；由于/(—l)=4sin(—1)+1<0,故函数在［—1⑼上存在零点,也在［—2⑼上存在零点;5 兀 5 兀-2 5 K —2 18 —5 兀 了一F-=4—丁=1^>0,而4)V0,所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]6.B [f (x) = 3ax 2~6x f 当.=3 时,f (x)=9/一6x=3x(3x —2),那么当 x£( —8, 0)时,,Q ?0；x£(0, |)时,/ (x)v0;x£(|,十8)时,/ (x)>0,注意/(0)=1, 式|)=|>0,那么於)的大致图象如图1所示.不符合题意,排除A 、C.,/ (x)<0,当 x£(一* 3 5不符合题意,排除DJ7.A ［当 0<xvl 时,Ax)WO.由F(x)=/a)—.=0,画出函数y=/(x)与y=a 的图象如图.令x= 5兀一 2引2月, 5兀一2那么/Cy-)=4sin .)时,r .)>.,当x£(o, +8)时,.a)〈o,注意式0)=1,八一：)=—1,那么於)的大致图象 如图2所示.当.=一,时,r W = -4X 2-6x= -2x(2v+ 3),那么当 日一8, 一当时函数F(x)=/*)—.有5个零点.当一l<y0 时,0<-%<1,所以 /( —X)= log().5( —x+ 1)=—log2(l —A),即f(x) = log2(l —x), — 1 <x<0.由八T)= log2(l解得X=l—2.,由于函数J(x)为奇函数,所以函数F(x)=/U)—.(0<〃<1)的所有零点之和为1—2〞解析画出函数/(、)的图象如图.要使函数g(x)=/U)—k有两个不同零点,只需),=/*)与y=k 的图象有两个不同交点,那么图易知攵£停,1).9.2解析由于2v“v女〃<4,故y(i)=iogfli +1 —b= i —/?<o,而Ovlogn2V1,2—/?£( —2, — 1),故J(2)=loga2+2—b<0,又lo劭3£(1,2), 3—6£(—1,0),故/(3)—logn3 + 3—b>0,因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故〃=2.10.2解析方程变形为3—炉=2七=(；/,令yi=3_f, j2=(2)r-如下图,由图象可知有2个交点.11.4解析令/心・)=/m)+g(x),I — In x, 0W1, 那么/?Q) = < —A^+lnx+2, l<x<2,Lx2 + ln x—6, xN2.i ] —当1V X V2时,h f (x)=-2x+-=- .X<0,故当1VXV2时/z(x)单调递减,在同一坐标系中画出),=1/©)1和)=1的图象如下图.由图象可知!/U)+g(x)l=l的实根个数为4.12.(一；, 0)解析由题意作出/(x)在［-1用上的图象如图,记丁=攵.+1)+1,•••函数丁=k(x+l)+l的图象过定点4(—1,1) .记8(20),由图象知,方程有四个根, 即函数y =洲>)与y=kx+k+l的图象有四个交点,L(0— 1 1 1故kAB<k<0,抬8=._(_ ])= _',<一Q<kvO.。
高中数学函数的零点练习及答案
高中数学函数的零点练习及答案题型一：函数的零点【例1】 若1()x f x x-=，则方程(4)f x x =的根是( ) A ．12B ．－12C ．2D ．－2【考点】函数的零点 【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】A【例2】 若函数1y ax =+在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是（ ）.A. 1a >-B. 1a <-C. 1a >D. 1a < 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B【例3】 已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是 . 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 ∵在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =， 则(2)(0)0f f -≤，∴ (64)(4)0m --⨯-≤，解得23m ≤-.所以， 实数m 的取值范围是2(,]3-∞-.点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在性定理，转化得到有关参数的不等式【答案】2(,]3-∞-典例分析【例4】 函数()23x f x =-的零点所在区间为（ ）A. （-1，0）B. （0，1）C. （1，2）D. （2，3）【考点】函数的零点 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】C【例5】 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.A. (1, 2)B. (2 , 3)C. (3, 4)D. (4, 5) 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 易知函数()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数.∵(1)ln12640f =+-=-<，(2)ln 246ln 220f =+-=-<，(3)ln366ln30f =+-=>.∴ (2)(3)0f f <，即函数()f x 的零点在区间(2,3). 所以选B.【答案】B【例6】 函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间 （ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81B.⎪⎭⎫⎝⎛21,41C.⎪⎭⎫⎝⎛1,21 D.(1,2)【考点】函数的零点 【难度】2星【题型】选择【关键词】2009年，泉州市，高考模拟 【解析】 【答案】 C【例7】 函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为（ ）.A ．（－1，0） B ．（0，1） C ．（1，2） D ．（1，e ） 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】【答案】B【例8】 若函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 . 【考点】函数的零点【难度】2星【题型】填空【关键词】2009年，山东文，高考【解析】 设函数(0,xy a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点, 就是函数(0,xy a a =>且1}a ≠与函数y x a=+有两个交点,由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点,不符合,当1>a 时,因为函数(1)x y a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点（0，a ）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是}1|{>a a .【答案】}1|{>a a【例9】 利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）3()21f x x x =--+； （2）1()32x f x e x +=++.【考点】函数的零点 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）易知函数3()21f x x x =--+在定义域R 上是减函数.用计算器或计算机作出,()x f x 的对应值表或图象.x-3-2 -1 0 1 2 3 ()f x 34 13 4 1 -2 -11 -32由列表或图象可知，(0)0f >，(1)0f <，即(0)(1)0f f <，说明函数()f x 在区间(0,1)内有零点，且仅有一个. 所以函数()f x 的零点所在大致区间为(0,1). （2）易知函数1()32x f x e x +=++在定义域R 上是增函数.用图形计算器或计算机作出图象.由图象可知，(2)0f -<，(1)0f ->，即(2)(1)0f f --<，说明函数()f x 在区间(2,1)--内有零点，且仅有一个. 所以函数()f x 的零点所在大致区间为(2,1)--.【答案】（1）(0,1)（2）(2,1)--【例10】 已知函数()f x 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.x－2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ()f x －3.511.022.371.56－0.381.232.773.454.89【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点【例11】 画出函数3()231f x x x =-+的图象，判断函数在以下区间(-1.5，-1)，(0，0.5)，(0.8，1.5)内有无零点，并判断零点的个数.【考点】函数的零点【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】通过作出x、()f x的对应值表(如下).x-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5()f x-1.25 2 2.25 1 -0.25 0 3.25所以图象为由上表和上图可知，()f f-⋅-<，说明这个函数在区间1.510f-<，()10f->，即()()1.50()f=，所以1也是它的零1.5,1--内有零点.同样，它在区间(0，0.5)内也有零点.另外，()10点.由于函数()-∞-和(1，+∞)内是增函数，所以它共有3个零点.．f x在定义域(), 1.5【答案】共有3个零点【例12】求函数32=--+的零点，并画出它的图象.y x x x22【考点】函数的零点【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】因为322=--+=---=--+22(2)(2)(2)(1)(1)y x x x x x x x x x所以函数的零点为-1，1，23个零点把x轴分成4个区间：(-∞，-1)、(-1，1)、(1，2)、(2，+∞).在这四个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：x-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5y-4.38 0 1.88 2 1.13 2 -0.63 0 2.63在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.【答案】零点为-1，1，2【例13】 函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f >，则()y f x =在区间[1,2]上（ ）.A. 没有零点B. 有2个零点C. 零点个数为偶数D. 零点个数为k ，k N ∈【考点】函数的零点 【难度】3星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】D【例14】 已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.【考点】函数的零点 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2009年，北京市石景山，高考一模 【解析】 【答案】①③④【例15】 若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1x f x e =-D. ()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【考点】函数的零点 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2009年，福建文，高考【解析】 ()41f x x =-的零点为14x =,()2(1)f x x =-的零点为1x =, ()1x f x e =-的零点为0x =,()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点为32x =.现在我们来估算()422xg x x =+-的零点，因为()01g =-,112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以g(x)的零点x ∈(0, 21),又函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，只有()41f x x =-的零点适合，故选A 。
2023 届高考数学专项(函数零点问题)答题模板与练习(word版,附答案)
2023 届高考数学专项（函数零点问题）答题模板与练习【重要性分析】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.类型一 零点或零点存在区间的确定万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0； 第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例1 函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【同类习题1】方程220xx +-=的解所在的区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3) 【同类习题2】【山西省运城市2021届高三上学期9月调研数学（理）】已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,5【同类习题3】函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【出处】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（一）类型二 零点的个数的确定方法1：定义法万能模板内 容()2e xf x =()15g x x=+()0,1()1,2()2,3()3,4使用场景 一般函数类型解题模板第一步 判断函数的单调性；第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其 零点；第三步 得出结论.例2.函数x e x f x3)(+=的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【同类习题4】已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【出处】吉林省松原市长岭县第二中学2021届高三下学期三模考试数学试题 【同类习题5】方程3sin x x =的根的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【同类习题6】（多选）若函数f (x )＝恰有两个零点，则正整数m 的取值可能为（ ） A ．1B ．2C ．15D ．16【出处】山东省济南市章丘区2021届高三5月份模拟数学试题方法2：数形结合法万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 函数()g x 有零点问题转化为方程()()f x m x =有根的问题； 第二步 在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像； 第三步 观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数第四步 由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出()f x R ()()2f x f x +=[]0,1x ∈()πcos 2f x x =()y f x x =-4,22021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩结论.例3. 方程31()|log |3xx =的解的个数是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【同类习题7】【上海市徐汇区2021届高三上学期一模】方程8cos log x x =的实数解的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【同类习题8】己知函数，若存在两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【出处】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（二）数学试题【同类习题9】知关于x 的方程有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ． B ． C ．D ．【出处】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）数学试题【高考再现】1．【2021年北京市高考数学试题】已知函数，给出下列四个结论： ①若，则有两个零点； ①，使得有一个零点； ①，使得有三个零点； ①，使得有三个零点． 以上正确结论得序号是_______．2.【2021年天津高考数学试题】设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．()()()1,1,ln ,1x e x f x g x f x a x x -⎧≤==+⎨>⎩()g x [)1,0-()1,0-()0,1(]0,122xxaa -=()0,2()2,4()2,+∞()4,+∞()lg 2f x x kx =--0k =()f x 0k ∃<()f x 0k ∃<()f x 0k ∃>()f x a ∈R 22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩()f x (0,)+∞95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭3.【2020年高考天津卷9】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞4.【2020年高考上海卷11】已知a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件，①对任意0x R ∈，0()f x 的值为0x 或02x ；②关于x 的方程()f x a =无实数解；则a 的取值范围为 ．5. 【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)ax a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34} 6.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）】已知λ①R ，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________①7.【2017江苏】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 .8.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷）】已知a >0，函数f(x)={x 2+2ax +a, x ≤0,−x 2+2ax −2a,x >0.若关于x 的方程f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【专项练习】1．函数的图象与函数的图象交点横坐标所在的区间可能为（ ） A ．B ．C ．D ．【出处】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试数学试题2．已知函数在上有唯一零点，若，，则（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5()()=x f x e ()2ln g x x =-()0,1()1,2()2,3()3,4()ln (1)f x x x x k x =+--(1,)+∞(,1)k n n ∈+n Z ∈n =【出处】全国名校2021届高三高考数学（文）冲刺试题（二） 3．函数和存在公共点，则的范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【出处】陕西省西安中学2021届高三下学期第二次仿真考试理科数学试题4．已知函数，，若的图象与的图象在上恰有个交点，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【出处】“超级全能生”2021届高三全国卷地区4月联考试题（乙卷）数学（理）试题5．函数的零点，，则（ ） A ．B ．C ．D ．【出处】山西省吕梁市2021届高三上学期第一次模拟数学（文）试题6．（多选）【2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）】已知函数()ln(1)f x x x =+，则（ ）A ．()f x 在(0,)+∞单调递增B ．()f x 有两个零点C ．曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2-- D ．()f x 是偶函数7．【四川省成都市2020-2021学年高三上学期第一次诊断性检测数学（文）】已知函数()ln f x x x =+，()ln g x x x =，若()1ln f x t =，()2g x t =，则12ln x x t 的最小值为（ ）．A ．21eB ．2eC ．1e-D ．21e-8．已知函数()f x kx =，21x e e ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，()121x g x e +-=+，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ､N ，使得M ､N 关于直线1y x =+对称，则实数k 的取值范围是（ ）3y x =212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭()00,P x y 0x ()0,1()1,2()2,3()3,4()f x x a =+()ln g x x =()f x ()g x ()2020,20211a ()ln 20202020,ln 20212021--()ln 20202021,ln 20212020--()ln 20212020,ln 20202021--()ln 20212021,ln 20202020--()1542x f x x =+-[]01,x a a ∈-*a ∈N a =1234A ．1,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．24,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,3e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.【河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科】对于函数()y f x =与()y g x =，若存在0x ，使()()00f x g x =-，则称()()00,M x f x ，0(,N x -()0)g x -是函数()f x 与()g x 图象的一对“隐对称点”.已知函数()()1f x m x =+，()ln xg x x=，函数()f x 与()g x 的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()1,0-B ．(),1-∞-C ．()()0,11,+∞ D ．()(),11,0-∞--10.【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】已知函数()1ln 1x f x x ae-=++的图象与函数()11ln12x g x ae x-=---的图象有唯一公共点，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．2D ．1-11.【山东省枣庄市滕州一中2020-2021学年高三10月月考】定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，满足()()()'1f b f a f x b a -=-，()()()'2f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数，已知函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，则实数t 的取值范围是（ ） A ．36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．26,55⎛⎫⎪⎝⎭C ．23,55⎛⎫⎪⎝⎭D ．61,5⎛⎫ ⎪⎝⎭12.【广西南宁三中2020届高三数学（理科）】方程2221,(0)x x a a -=+>的解的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．413．【天津市耀华中学2021届高三（上）】已知函数21,1()ln ,1x x f x x x x⎧-⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程212[()]2()02f x tf x t ++-=有5个不同的实数根，则实数t 的取值范围是（ ） A ．111,22e ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．111,22e ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．113,22e ⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．113,22e ⎛⎫-⎪⎝⎭14.【河南省信阳市2021届高三（10月份）第一次质检数学（理科）】已知函数()21,1ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()()22120f x m f x m +--=⎡⎤⎣⎦有5个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______. 15．已知函数有两个不同的零点，则常数的取值范围是___________. 【出处】全国2021届高三高考数学（文）信息试题（一）16．已知函数有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是_________. 【出处】河北省衡水市饶阳中学2021届高三5月数学精编试题17．【陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试文科】已知函数2,0()12,02x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-+->⎪⎩. （1）求斜率为12的曲线()y f x =的切线方程； （2）设()()f x g x m x=-，若()g x 有2个零点，求m 的取值范围.()()212f x x k x =--k ()()112 ()1421x x f x k -=-+-参考答案分析【重要性分析】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.类型一 零点或零点存在区间的确定例1 函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【参考答案】B【分析】第一步，直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0：函数()43xf x e x =+-单调递增,只有一个零点,而0231414141<-=-+=⎪⎭⎫⎝⎛e e f ,0121>-=⎪⎭⎫⎝⎛e f ； 第二步，若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可：由02141<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ,可知函数的零点在11,42⎛⎫⎪⎝⎭．故选B ． 考点：零点存在定理．【同类习题1】方程220xx +-=的解所在的区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3) 【参考答案】B【分析】试题分析：由题意得，设函数()22xf x x =+-，则()()0102021,12121f f =+-=-=+-=，所以()()010f f <，所以方程220xx +-=的解所在的区间为(0,1)，故选B.考点：函数的零点.【同类习题2】【山西省运城市2021届高三上学期9月调研数学（理）】已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,5【参考答案】A 【分析】首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0ff x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93xf x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.【详解】当0x ≤时，()34f x <≤.当0x ≥时，()2932log 92log 9xxx f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以 令()()0ff x =，得()32log 93xf x x =+-=，因为()303f =<，337782log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫=+->⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以函数()()y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A【同类习题3】函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为（ ） ()2e xf x =()15g x x=+A ．B ．C ．D ．【出处】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（一） 【参考答案】B 【分析】构造函数，由零点存在定理判断． 【详解】设，是上的增函数，在和上都是减函数，，因此在和上都是增函数，由选项只考虑上的情形，，，所以在上有零点．所以函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为 故选：B ．类型二 零点的个数的确定方法1：定义法例2.函数x e x f x3)(+=的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【参考答案】B【分析】第一步，判断函数的单调性:由已知得03)(>+='x e x f ，所以)(x f 在R 上单调递增；第二步，根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0， 则该区间即为存在唯一的零点区间：()0,1()1,2()2,3()3,41()2e 5xh x x=--e x y =R 1y x =(0,)+∞(,0)-∞()h x (,0)-∞(0,)+∞(0,)+∞(1)215260h e e =--=-<22111(2)252022h e e =--=->()h x (1,2)()2e xf x =()15g x x=+又因为03)1(1<-=--ef ，03)1(>+=e f ，所以0)1-()1(<•f f第三步，得出结论：所以)(x f 的零点个数是1，故选B ． 考点：函数的零点．【同类习题4】已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【出处】吉林省松原市长岭县第二中学2021届高三下学期三模考试数学试题 【参考答案】A 【分析】函数的零点个数转化为两个函数图象交点的个数，转化条件为函数周期，当时，，根据周期性可画出它的图象，从图象上观察交点个数即可. 【详解】①，则函数是周期的周期函数． 又①函数是定义在上的偶函数，且时，， ①当时，，令，则函数的零点个数即为函数和的图象交点个数， 分别作出函数和的图象，如下图，显然与在上有1个交点，在上有一个交点，当时，，而，()f x R ()()2f x f x +=[]0,1x ∈()πcos 2f x x =()y f x x =-()y f x x =-()f x 2T =[]0,1x ∈()πcos 2f x x =()()2f x f x +=()f x 2T =()f x R []0,1x ∈()πcos 2f x x =[)1,0x ∈-()()ππcos cos 22f x f x x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭()0f x x -=()y f x x =-()y f x =()g x x =()y f x =()g x x =()f x ()g x [)1,0-0,11x >()1g x >()1f x ≤所以或时，与无交点．综上，函数和的图象交点个数为2，即函数的零点个数是2． 故选：A【同类习题5】方程3sin x x =的根的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6 【参考答案】C 【分析】试题分析：大致图形如图所示,接下来比较x x f =)(与x x g sin 3)(=在0=x 处的切线斜率,xx f 21)(=',0→x 时,+∞→')(x f ,即)(x f 在0=x 处的切线方程为y 轴,又x x g cos 3)(=',在3)0(='=g k ,因此在y 轴右侧)(x g 图象较缓,由图象可知,共有5个交点,故选C ．考点：图象的交点．【思路点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题．首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数的交点问题,再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关系画出两个基本函数图象,需要注意的是,两个函数都过)0,0(点,而y 轴右侧的高低情况需要比较两个函数在0=x 处的切线斜率得到,为本题的易错点．【同类习题6】（多选）若函数f (x )＝恰有两个零点，则正整数m 的取值可能为（ ） A ．1B ．2C ．15D ．161x >1x <-()f x ()g x ()y f x =()g x x =()y f x x =-4,22021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩【出处】山东省济南市章丘区2021届高三5月份模拟数学试题 【参考答案】AD 【分析】函数零点转化为方程解，每个选项验证即可解决此题． 【详解】函数f (x )的零点即为方程f (x )＝0的解．当m ＝1时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣1＝0，解得：x ＝0； 当x ≥2时，2021（x ﹣1）（x ﹣3）＝0，解得：x ＝1或3，只取x ＝3． ①函数有两个零点0或3．①A 对；当m ＝2时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣2＝0，解得：x ＝； 当x ≥2时，2021（x ﹣2）（x ﹣6）＝0，解得：x ＝2或6． ①函数有三个零点或2或6．①B 错；当m ＝15时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣15＝0，解得：x ＝log 415＜2； 当x ≥2时，2021（x ﹣15）（x ﹣45）＝0，解得：x ＝15或45． ①函数有三个零点log 415或15或45．①C 错；当m ＝16时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣16＝0，解得：x ＝2不成立； 当x ≥2时，2021（x ﹣16）（x ﹣48）＝0，解得：x ＝16或48． ①函数有两个零点16或48．①D 对； 故选：AD ．方法2：数形结合法第一步 函数()g x 有零点问题转化为方程()()f x m x =有根的问题； 第二步 在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像； 第三步 观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数第四步 由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论.1212例3. 方程31()|log |3xx =的解的个数是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【参考答案】B【分析】第一步，在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像：第二步，观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数 ： 由图象可知，函数1()3xy =与函数3log y x =有2个交点；第三步，由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论： 所以方程有2个解。
函数的零点(例、练及答案)
高三小专题二：函数的零点（例、练及答案）1．零点的判断与证明例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--， 求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4． 2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内， 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（） A ．ln 31,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 31,93e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．ln 31,92e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．ln 3ln 3,93⎛⎫⎪⎝⎭3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（） A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-4．复合函数的零点例4：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（） A ．()2,0- B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2专项练习一、选择题1．设()ln 2f x x x +-=，则函数()f x 的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．已知a 是函数()12log 2x x f x =-的零点，若00x a <<，则()0f x 的值满足（ ）A ．()00f x =B ．()00f x >C ．()00f x <D ．()0f x 的符号不确定3．函数2()2f x x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,24．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a -----+-=+的两个零点分别位于区间（ ） A ．(),a b 和(),b c 内B ．(,)a -∞和(),a b 内C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(,)a -∞和(),c +∞内5．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e 3x f x x =+-，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()221ln 0x x x xx f x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为（） A ．3B ．2C ．7D ．07．已知函数()101x x xf x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．(],2-∞-C ．()(),12,-∞+∞D ．(][),12,-∞+∞8．若函数()312f x ax a +-=在区间()1,1-内存在一个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-9．已知函数()00exx x f x ≤⎧=⎨>⎩，则使函数()()g x f x x m =+-有零点的实数m 的取值范围是（ ） A ．[)0,1B ．(1),-∞C ．(](),12,-∞+∞D ．(](),01,-∞+∞10．已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数，若函数221()()y f x f x λ++=-只有一个零点，则实数λ 的值是（ ）A ．14 B ．18C ．78-D ．38-11．已知当[]0,1x ∈时，函数21()y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,1][23,+)∞ B ．(]0,13[),+∞C ．[23,+)∞D ．[3,+)∞12．已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 （2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根 （3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根 （4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根则正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题13．函数()052log ||x f x x -=-．的零点个数为________．14．设函数31y x =与2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00(,)x y ，若0,1()x n n ∈+，n ∈N ，则0x 所在的区间是______．15．函数()22026ln 0f x x x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．16．已知函数()23||f x x x =+，R x ∈，若方程()1|0|f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________．三、解答题17．关于x 的二次方程21()10x m x ++-=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围．18．设函数()1()10f x x x=->．（1）作出函数()f x 的图象； （2）当0a b <<且()()f a f b =时，求11a b+的值； （3）若方程()f x m =有两个不相等的正根，求m 的取值范围．参考答案1．【答案】见解析 【解析】()111x f x x x-'=-=，()1,x ∈+∞，()0f x '∴>，()f x ∴在()1,+∞单调递增，()31ln30f =-<，()42ln 20f =->，()()340f f ∴<，()03,4x ∴∃∈，使得()00f x =因为()f x 单调，所以()f x 的零点唯一． 2．【答案】B 【解析】()()()33x f x f x f x f ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()ln 13ln 393xx f x xx ≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，而()()g x f x a x =-有三个不同零点⇔()y f x =与y ax =有三个不同交点，如图所示，可得直线y ax =应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln3193ea <<3．【答案】C【解析】先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称，由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。
高考数学-函数零点问题及例题解析
1函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：二分法：对于在区间对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二的零点所在的区间一分为二,,使区间的两个端点逐步逼近零点使区间的两个端点逐步逼近零点,,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法值的方法叫做二分法; ;二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间在区间[a,b][a,b][a,b]上的图象是连续不断的一上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（在区间（a,b a,b a,b）内有零点，即存在）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）（或方程在某个区间上是否有根）（或方程在某个区间上是否有根）时，时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如分不必要条件：如例、函数x x x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（的零点所在的大致区间是（） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
高中数学专题 微专题3 函数的零点问题
所以f(x＋4)＝f(x)＋f(2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数. 根据周期性及奇函数的性质画出函数y＝ f(x)在[－4,4]上的图象，如图. 由图可知，函数y＝f(x)在[－4,4]上的零点 有－4，－3.5，－3，－2，－1，－0.5,0,0.5,1,2,3,3.5,4，共13个零点.
－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则函数g(x)＝|cos πx|－f(x)在区间－1，32上 零点的个数为
A.4
B.5
C.6
√D.7
由f(－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于y轴对称，由f(x)＝f(2－x)，得f(x)的图 象关于直线x＝1对称， 令g(x)＝|cos πx|－f(x)＝0，得|cos πx|＝f(x)， 函数y＝|cos πx|是周期为1的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3， 在同一坐标系内作出函数 y＝f(x)在[－1,2]上的图象，函数 y＝|cos πx|在 －1，32上的图象，如图，
因为函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－17,5]上恰有20个零点， 则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间[－17,5]上有20个交点， 由f(x＋2)＝f(x)，知f(x)是周期为2的函数， 作出函数f(x)与函数g(x)的部分图象如图所示. 易知当x∈[－17,1]时，函数f(x)的 图象与函数g(x)的图象有17个交点， 故在(1,5]上有3个交点， 显然0<a<1不满足题意，
PART TWO
热点突破
1取.已值知范函围数是f(x)＝elnx，x，x≤x>00，，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的
A.[－1,0)
√C.[－1，＋∞)
函数的零点问题2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)
3.8函数的零点问题——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）一、单选题(共16题；共80分)1．（5分）已知函数f(x)= cos2x+cosx，且x∈[0，2π]，则f(x)的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（5分）已知函数f(x)={x，x≥0−x2，x<0，若方程f(x)=ae x有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（）A．(1e，+∞)B．(0，1e)C．(−∞，−1e)D．(−1e，0)3．（5分）已知函数f(x)为定义在R上的单调函数，且f(f(x)−2x−2x)=10．若函数g(x)={f(x)−2x−a，x≤0，|log2x|−a−1，x>0有3个零点，则a的取值范围为（）A．(2，3]B．(−1，3]C．(3，4]D．(−1，4]4．（5分）已知函数f(x)=ax3+bx+1，若f(x)存在零点x0<−1，且满足f′(x0)=f(x0)，则()A．1a+3b<0B．ab>0C．3a+b<0D．a+b>15．（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在[0，2π]上有且仅有4个零点，则ω的取值范围是（）A．[2312，2912]B．[2312，2912)C．(1130，1124]D．[1130，1124)6．（5分）已知函数f(x)=sin(√ax3+bx+bx⋅π)−1，a≥0在(1，+∞)上有且仅有1个零点，则下列选项中b的可能取值为（）A．0B．18C．12D．47．（5分）已知f(x)是定义在[−10，10]上的奇函数，且f(x)=f(4−x)，则函数f(x)的零点个数至少为（）A．3B．4C．5D．68．（5分）设函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是R上的增函数”是“任意a>0，y=f(x+a)−f(x)无零点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示，则x1⋅x2等于（）A．2B．43C．23D．1210．（5分）设函数f(x)=|2x−1|，函数g(x)=f(f(x))−log a(x+1)，(a>0，a≠1)在[0，1]上有3个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．(1，32)B．（1，2）C．(32，2)D．(2，+∞)11．（5分）已知函数f(x)={1−|1−x|，0≤x≤22f(x−2)，x>2，当x∈[0，8]时，函数F(x)=f(x)−kx恰有六个零点，则实数k的取值范围是（）A．(45，1)B．(23，45)C．[23，45)D．[45，1)12．（5分）已知函数f(x)={10x−m，x≤12xe x−2mx+m，x>12（e是自然对数的底数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．(e，+∞)B．(e，5]C．(e，5)D．[e，5]13．（5分）已知函数f(x)=2ae x−e a x2至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（）．A．0B．1C．2D．e14．（5分）已知函数f(x)={exlnx，x>0x3−3x，x≤0，若函数y=[f(x)]2−1与y=af(x)的图象恰有6个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）A．(0，32)B．(0，72)C．(1，72)D．(1，+∞)15．（5分）已知函数f(x)=|log2x|，g(x)={0，0<x≤1|x−2|−0.5，x>1，则方程|f(x)−g(x)|=1的实根个数为（）个．A．1B．2C．3D．416．（5分）定义在R上的偶函数f(x)满足f(2−x)=f(x+2)，当x∈[0，2]时f(x)=(√e)x，若在区间x∈[0，10]内，函数g(x)=f(x)−(x+1)m有个5零点，则实数m的取值范围是（）A．(0，log11e)B．(0，log11e)∪(12，log7e)C．(log11e，12)D．(log11e，12)∪(12，log7e)二、多选题(共2题；共10分)17．（5分）已知函数f(x)=a x−x a(a>1)的定义域为(0，+∞)，且f(x)仅有一个零点，则（）A．e是f(x)的零点B．f(x)在(1，e)上单调递增C．x=1是f(x)的极大值点D．f(e)是f(x)的最小值18．（5分）已知函数f(x)=2x−cosx的零点为x0，则（）A．x<12B．x0>13C．tanx0>√52D．x0−14<sinx0三、填空题(共10题；共65分)19．（10分）设a，b，c∈R，a≠0，若函数y=ax2+bx+c有且仅有一个零点，且2a2+3ab+ 8ac=1，则a+b的最小值为，a+b+ab的最小值为．20．（5分）已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)={(12)x，log16x，0≤x<2x≥2，若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0(a，b∈R)有且仅有7个不同实数根，则a+b=21．（10分）已知函数f(x)={e x−ax，x≥0，ax3−2x+1，x<0.当a=0时，f[f(−12)]=，若函数f(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是．22．（10分）设a∈R．函数f(x)={2e x−1，x≤0ax2+(a2−2)x−lnx，x>0，若f(f(0))=0，则a=，若f(x)只有一个零点，则a的取值范围是．23．（5分）函数f(x)={x3+2，x≤0x−3+e x，x>0的零点个数为.24．（5分）若函数f(x)={2x−b，x<0，√x，x≥0有且仅有两个零点，则实数b的一个取值为.25．（5分）已知函数f(x)=2|x|+x2+a.①对于任意实数a，f(x)为偶函数；②对于任意实数a，f(x)在(−∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；③存在实数a，使得f(x)有3个零点；④存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥2022的解集为(−∞，−1]∪[1，+∞).所有正确命题的序号为.26．（5分）已知函数f(x)满足f(x−2)=f(x+2)，0≤x<4时，f(x)=√4−(x−2)2，g(x)= f(x)−k n x(n∈N∗，k n>0)．若函数g(x)的图像与x轴恰好有2n+1个不同的交点，则k12+k22+⋅⋅⋅+k n2=．27．（5分）已知f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于点(2，0)对称，当x∈[0，2]时，f(x)=−√1−(x−1)2，若方程f(x)−k(x−2)=0的所有根的和为6，则实数k的取值范围是．28．（5分）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asinϖt.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+12sin2x.给出下列四个结论：①f(x)的最小正周期是π；②f(x)在[0，2π]上有3个零点；③f(x)在[0，π2]上是增函数；④f(x)的最大值为3√34.其中所有正确结论的序号是.四、解答题(共8题；共80分)29．（10分）设函数f(x)=−12x 2+(a −1)x +alnx +a2，a >0．（1）（5分）若a =1，求函数f(x)的单调区间和最值； （2）（5分）求函数f(x)的零点个数，并说明理由．30．（10分）已知a >0，设函数f(x)=(2x −a)lnx +x ，f ′(x)是f(x)的导函数．（1）（5分）若a =2，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（2）（5分）若f(x)在区间(1，+∞)上存在两个不同的零点x 1，x 2(x 1<x 2)， ①求实数a 范围；②证明：x 2f ′(x 2)x 1−1<(a−e)(a−2e)(a−3)2e ．注，其中e =2.71828⋅⋅⋅⋅⋅⋅是自然对数的底数．31．（15分）已知函数f(x)=xlnx +a ，(a ∈R)．（1）（5分）求函数f(x)的单调区间；（2）（5分）当0<a <1e时，证明：函数f(x)有两个零点；（3）（5分）若函数g(x)=f(x)−ax 2−x 有两个不同的极值点x 1，x 2（其中x 1<x 2），证明：x 1⋅x 22>e 3．32．（10分）已知函数f(x)=e x −xlnx −ax −1(a ∈R)有两个零点．（1）（5分）求a 的取值范围；（2）（5分）设x 1，x 2是f(x)的两个零点，证明：x 1+x 2>2．33．（10分）已知函数f(x)=mlnx −xe x +x ．（1）（5分）若m =1，求f(x)的最大值；（2）（5分）若f(x 1)+x 1e x 1+m =0，f(x 2)+x 2e x 2+m =0，其中x 1≠x 2，求实数m 的取值范围．34．（10分）已知函数f(x)=lnx +a x的极小值为1．（1）（5分）求实数a 的值；（2）（5分）设函数g(x)=f(x)−1x +m(1x2−1)．①证明：当0<m <12时，∀x ∈(0，m 1−m )，g(x)>0恒成立；②若函数g(x)有两个零点，求实数m 的取值范围．35．（5分）已知函数f(x)=x2⋅lnx.（Ⅰ）求函数y=f(x)−x的最小值；（Ⅱ）若方程f(x)=m(m∈R)有两实数解x1，x2，求证：1x12+1x22>e+11−|x1−x2|.（其中e=2.71828⋯为自然对数的底数）.36．（10分）已知函数f(x)=12(a−1)x2+ax−2lnx．（1）（5分）讨论f(x)的单调性；（2）（5分）当a=1时，g(x)=f(√x)，若m≤3−4ln2，求证：对于任意k>0，函数ℎ(x)= g(x)−mx−k有唯一零点．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由cos2x+cosx=2cos2x+cosx−1=(cosx+1)(2cosx−1)=0，可得cosx=−1或cosx=12，又因为x∈[0，2π]，则x=π，或x=π3，或x=5π3，则f(x)的零点个数为3。
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高中数学复习典型题专题训练83题型一：函数的零点【例1】 若1()x f x x-=，则方程(4)f x x =的根是( ) A ．12B ．－12C ．2D ．－2【考点】函数的零点 【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】A【例2】 若函数1y ax =+在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是（ ）.A. 1a >-B. 1a <-C. 1a >D. 1a <【考点】函数的零点 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】B【例3】 已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是 .【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 ∵在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =， 则(2)(0)0f f -≤g ，典例分析板块二.函数的零点∴ (64)(4)0m --⨯-≤，解得23m ≤-.所以， 实数m 的取值范围是2(,]3-∞-.点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在性定理，转化得到有关参数的不等式【答案】2(,]3-∞-【例4】 函数()23x f x =-的零点所在区间为（ ）A. （-1，0）B. （0，1）C. （1，2）D. （2，3）【考点】函数的零点 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】C【例5】 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.A. (1, 2)B. (2 , 3)C. (3, 4)D. (4, 5)【考点】函数的零点 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 易知函数()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数.∵(1)ln12640f =+-=-<，(2)ln 246ln 220f =+-=-<，(3)ln366ln30f =+-=>.∴ (2)(3)0f f <g ，即函数()f x 的零点在区间(2,3). 所以选B.【答案】B【例6】 函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间 （ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81B.⎪⎭⎫⎝⎛21,41C.⎪⎭⎫⎝⎛1,21 D.(1,2)【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2009年，泉州市，高考模拟 【解析】 【答案】 C【例7】 函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为（ ） .A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（1，e ）【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】B【例8】 若函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 .【考点】函数的零点【难度】2星【题型】填空【关键词】2009年，山东文，高考【解析】 设函数(0,xy a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点, 就是函数(0,xy a a =>且1}a ≠与函数y x a =+有两个交点,由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点,不符合,当1>a 时,因为函数(1)x y a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点（0，a ）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是}1|{>a a .【答案】}1|{>a a【例9】 利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）3()21f x x x =--+； （2）1()32x f x e x +=++.【考点】函数的零点【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）易知函数3()21f x x x =--+在定义域R 上是减函数.用计算器或计算机作出,()x f x 的对应值表或图象.x-3-2 -1 0 1 2 3 ()f x 34 13 4 1 -2 -11 -32由列表或图象可知，(0)0f >，(1)0f <，即(0)(1)0f f <g ，说明函数()f x 在区间(0,1)内有零点，且仅有一个. 所以函数()f x 的零点所在大致区间为(0,1). （2）易知函数1()32x f x e x +=++在定义域R 上是增函数. 用图形计算器或计算机作出图象.由图象可知，(2)0f -<，(1)0f ->，即(2)(1)0f f --<g ，说明函数()f x 在区间(2,1)--内有零点，且仅有一个. 所以函数()f x 的零点所在大致区间为(2,1)--.【答案】（1）(0,1)（2）(2,1)--【例10】 已知函数()f x 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.x－2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ()f x －3.511.022.371.56－0.381.232.773.454.89【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无 【解析】【答案】（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点【例11】 画出函数3()231f x x x =-+的图象，判断函数在以下区间(-1.5，-1)，(0，0.5)，(0.8，1.5)内有无零点，并判断零点的个数.【考点】函数的零点 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 通过作出x 、()f x 的对应值表(如下).x-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5()f x-1.25 2 2.25 1 -0.25 0 3.25所以图象为由上表和上图可知，()1.50-⋅-<，说明这f ff->，即()()1.510f-<，()10个函数在区间()--内有零点.同样，它在区间(0，0.5)内也有零点.另外，1.5,1()10, 1.5-∞-和(1，+∞)f x在定义域()f=，所以1也是它的零点.由于函数()内是增函数，所以它共有3个零点.．【答案】共有3个零点【例12】求函数32=--+的零点，并画出它的图象.y x x x22【考点】函数的零点【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】因为322=--+=---=--+22(2)(2)(2)(1)(1)y x x x x x x x x x所以函数的零点为-1，1，23个零点把x轴分成4个区间：(-∞，-1)、(-1，1)、(1，2)、(2，+∞).在这四个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：x-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5y-4.38 0 1.88 2 1.13 2 -0.63 0 2.63 在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.【答案】零点为-1，1，2【例13】 函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f >g ，则()y f x =在区间[1,2]上（ ）. A. 没有零点B. 有2个零点C. 零点个数为偶数D. 零点个数为k ，k N ∈【考点】函数的零点 【难度】3星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】D【例14】 已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.【考点】函数的零点【难度】3星【题型】填空【关键词】2009年，北京市石景山，高考一模 【解析】 【答案】①③④【例15】 若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1x f x e =-D. ()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【考点】函数的零点【难度】3星【题型】选择【关键词】2009年，福建文，高考 【解析】 ()41f x x =-的零点为14x =,()2(1)f x x =-的零点为1x =, ()1x f x e =-的零点为0x =, ()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点为32x =.现在我们来估算()422x g x x =+-的零点，因为()01g =-,112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以g(x)的零点x ∈(0, 21),又函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，只有()41f x x =-的零点适合，故选A 。
【答案】A题型二：二次函数的零点与方程函数在方程中的应用主要是构造函数，确定方程的实根的个数、讨论方程的实根的存在性和唯一性问题以及讨论方程的实根的范围问题.主要方法是构造各种函数，利用数形结合，观察函数图象的交点等等.【例16】 函数2243y x x =--的零点个数（ ）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 不能确定【考点】二次函数的零点与方程 【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】C【例17】 函数2()56f x x x =-+的零点是 . 【考点】二次函数的零点与方程 【难度】1星【题型】填空【关键词】无 【解析】【答案】2或3【例18】 方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2，求实数a 的取值范围 【考点】二次函数的零点与方程 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 令()()225f x x m x m =+-+-，要使()0f x =的两根都大于2，则应满足2(2)4(5)0(2)0222m m f m ⎧⎪=---⎪>⎨⎪-⎪>⎩Δ≥解得216042(2)502m m m m ⎧-⎪+-+->⎨⎪<-⎩≥ ∴4452m m m m ≥≤-⎧⎪>-⎨⎪<-⎩或即54m -<≤-. 【答案】54m -<≤-【例19】 若方程2(1)2(1)0m x m x m -++-=的根都为正数，求m 的取值范围. 【考点】二次函数的零点与方程 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)当此方程为一次方程时，即1m =时，方程的根为104x =>，满足题意 (2)当m ≠1时，依题意有24(1)4(1)02(1)101m m m m m mm ⎧⎪∆=++-≥⎪+⎪->⎨-⎪⎪->⎪-⎩，解得0＜m ＜1 综上，m 的取值范围是(0,1].【答案】(0,1].【例20】 若一元二次方程2330kx kx k ++-=的两根都是负数，求k 的取值范围. 【考点】二次函数的零点与方程 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 由题意，k ≠0，∴2(3)4(3)03030k k k kk k k⎧⎪∆=--≥⎪⎪-<⎨⎪⎪->⎪⎩解得125k ≤-或k ＞3.【答案】125k ≤-或k ＞3【例21】 关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 1232x x <<，则实数m 的取值范围 。