第12课 不等式
2019-2020学年新人教B版必修一 基本不等式及其应用 课件(65张)
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
多维探究
题型一 利用基本不等式求最值
命题点1 配凑法 2
例1 (1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为_3__. 解析 x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)
≤13·3x＋24－3x2＝43， 当且仅当 3x＝4－3x，即 x＝23时，取等号.
2x＋y2＋x－2y2
解析 由已知可得
15
＝1，
∴2x＋1 y2＋x－42y2＝2x＋y21＋5x－2y2×2x＋1 y2＋x－42y2
＝1155＋2x－x＋2yy22＋4x2－x＋2yy22≥115(5＋4)＝53， 当且仅当|x－2y|＝ 2|2x＋y|时取等号.
定积最大)
【概念方法微思考】
1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？ 提示 不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两 个正数不相等，则这两个正数的积无最大值. 2.函数 y＝x＋1x的最小值是 2 吗？ 提示 不是.因为函数 y＝x＋1x的定义域是{x|x≠0}，当 x<0 时，y<0，所以函 数 y＝x＋1x无最小值.
例 6 已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最 小值为_4__.
解析 已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意正实数 x，y 恒成立， 只要求(x＋y)1x＋ay的最小值大于或等于 9， ∵1＋a＋yx＋ayx≥a＋2 a＋1， 当且仅当 y＝ ax 时，等号成立， ∴a＋2 a＋1≥9， ∴ a≥2 或 a≤－4(舍去)，∴a≥4， 即正实数a的最小值为4.
123456
5.若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a＝_3__.
竞赛讲座之 12-1不等式的证明方法 (比较法)
证明不等式的基本方法现实世界中的量，相等是相对的、局部的，而不等的绝对的、普遍的。
不等式的本质是研究“数量关系”中的“不等关系”。
对于两个量，我们常要比较它们之间的大小，或者证明一个量大于另一个，这就是不等式的证明。
不等式的证明因题而异，灵活多变，常常要用到一些基本的不等式，如柯西不等式、平均值不等式等等，其中还需要用一些技巧性高的代数变形。
在这一部分我们主要来学习一些证明不等式的基本方法。
不等式是数学竞赛的热点之一。
由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。
而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。
证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。
但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
【知识概要】证明不等式的常用方法有：⒈比较法：依据实数的运算性质及大小顺序之间的关系，通过两个实数的差或商的符号（范围）确定两个数的大小关系的方法。
基本解题步骤是：作差（商）—变形—判号（范围）—定论。
证题时常用到配方、因式分解、换元、乘方、恒等式、重要不等式、优化假设、放缩等变形技巧。
⒉分析综合法：所谓“综合”指由“因”导“果”，从已知条件出发，依据不等式的性质、函数的性质、重要不等式等逐步推进，证得所要证的不等式。
所谓“分析”指的是执“果”索“因”，从欲证不等式出发，层层推求使之成立的充分条件，直至已知事实为止。
一般先用分析法分析证题思路，再用综合法书写证明过程。
⒊重要不等式法：主要有均值不等式、柯西不等式、排序不等式等。
⒋换元法：适当引入新变量，通过代换简化原有结构，实现某种变通，给证明的成功带来新的转机。
具体地讲，就是化超越式为代数式，化无理式为有理式，化分式为整式，化高次式为低次式等等。
人教A版必修第一册2.2基本不等式课件
3.已知 x 0 ， y 0 ，且 2x y 1 ，则 xy 的最大值是( )
1
1
A.
B.4
C.
D.8
4
8
解析：由题意得，
xy
1 2
2xy
1 2
2x 2
y
2
1 2
1 2
2
1 8
，
当且仅当 2x y ，即 x 1 ， y 1 时等号成立，所以 xy 的最大值是 1 .故选 C.
由题意可得 s
y
1 2
x2
300x 80000
x
80000
300
，其中300
x 600 .
x
x
2x
由基本不等式可得 x 80000 300 2 x 80000 300 400 300 100 ，
2x
2x
当且仅当
x 2
80000 x
，即
x
400
时，每吨的平均处理成本最低.故选
B.
y
0
，x 2y
4
，则 (x 1)(2 y 1) xy
的最小值为___2_____.
解析：由 x 0 ， y 0 ，得 x 2 y 4 2 2xy ，所以 xy 2 ，当且仅当 x 2y ，
即
x
2
，
y
1
时，等号成立，所以
(x
1)(2 xy
y
1)
2 xy
x xy
2y
1
2xy 5 xy
例 1 已知 x 0 ，求 x 1 的最小值. x
分析：求
x
1 x
的最小值，就是要求一个
y0 (
x0
1 x0
2021年初中数学人教版特色小组课程：第12讲：变种二人组的玄幻杀机—不等式的应用《讲义教师版》
第12讲变种二人组的玄幻杀机—不等式的应用学习目标1.会用一元一次不等式解决简单的实际问题.入门测单选题练习1.（2021春∙灵石县期末）某种记事本零售价每本6元，凡一次性购买两本以上给予优惠，优惠方式有两种，第一种：“两本按原价，其余按七折优惠”；第二种：全部按原价的八折优惠，若想在购买相同数量的情况下，要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，最少要购买记事本（）A．5本B．6本C．7本D．8本【解析】题干解析:设最少要购买记事本x本，根据题意得：6×2+4.2（x-2）<6×0.8x解得：x>6，填空题练习1.（2021春∙碑林区校级月考）在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛题共25道，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于60分得奖，那么，要得奖至少应选对____道题。
【答案】19题干解析:设应选对x道题，则不选或选错的有25-x道，依题意得：4x-2（25-x）≥60，解得：x≥18，∵x为正整数∴x最小为19，即至少应选对19道题．练习2.（2021∙开江县二模）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打___折．【答案】7【解析】题干解析:设至多打x折则1200800≥800×5%，解得x≥7，即最多可打7折．解答题练习1.五一期间,某校由4位教师和若干名学生组成的旅游团,拟到国家4A级旅游风景区—闽西冠豸山旅游.甲旅行社的收费标准是:如果买4张全票,则其余人按七折优惠;乙旅游行社的收费标准是:5人以上(含5人)可购团体票,旅游团体票按原价的八折优惠.这两家旅行社的全票价格均为每人300元.(1)若有10名学生参加该旅游团,问选择哪家旅行社更省钱?(2)参加该旅游团的学生人数在什么范围内时,选择乙旅行社更省钱?【答案】见解析【解析】题干解析:根据已知条件计算出各自的收费，进行比较可得；利用甲的收费大于乙的收费，建立不等关系。
人教A版数学必修第一册2.2基本不等式课件
由2x＋3y＝18，得x＝9－
3
y.
2
3
2
3
2
∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝y 9 − ＝ y(6－y)．
∵0<y<6，∴6－y>0.
∴S≤
3
2
6− + 2
2
＝
27
.
2
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
4
小
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最_____值2
.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
题型突破
典例深度剖析
重点多维探究
题型一
[例1]
(1)已知x<
利用基本不等式求最值
5
4
，求y＝4x－2＋
1
4−5
的最大值；
5
4
∵x< ，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋
1
为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：
元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建
为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费
购地总费用
用，平均购地费用＝ 建筑总面积)
随堂检测
1．思考辨析
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．( √ )
=
∴ + 的最小值为3＋2 2.
跟踪训练
1
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求
高中数学 第12课时 几个闻名的不等式 柯西不等式教案
第12课时 几个闻名的不等式之一：柯西不等式目的要求： 重点难点： 教学进程： 一、引入：除前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等闻名不等式。
这些不等式不仅形式优美、应用普遍，而且也是进一步学习数学的重要工具。
一、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，那么22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。
证明：几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点别离为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=•βα， 而22||b a +=α，22||d c +=β，因此柯西不等式的几何意义确实是：||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
二、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，那么||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，那么： 分析：试探：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推行形式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，那么：211212)(∑∑∑===≥ni i i n i i ni ib a b a ，其中等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=ni i n i i i ni ib x b a x ax f 121212)(2)()(由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，那么其0≤∆，即：0))((4)(4121221≤-=∆∑∑∑===ni i ni i ni i i b a b a ，即：))(()(121221∑∑∑===≤ni i n i i ni i i b a b a ，等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a ，即等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
高中数学课时作业十二基本不等式的应用湘教版必修第一册
课时作业(十二) 基本不等式的应用[练基础]1．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．62．已知a >0，b >0，ab ＝1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．63．某工厂过去的年产量为a ，技术革新后，第一年的年产量增长率为p ()p >0，第二年的年产量增长率为q ()q >0，p ≠q ，这两年的年产量平均增长率为x ，则( )A ．x ＝p ＋q2 B ．x ＝pqC ．x >p ＋q2D ．x <p ＋q24．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．55．某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1 m 2的铁架框(铁管的粗细忽略不计)，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m6．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b (a <b )，其全程的平均速度为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝abC ．ab <v <a ＋b2D ．v ＝2aba ＋b7．已知x >0，y >0，若2y x ＋8xy>m ＋2恒成立，则实数m 的取值范围是________．8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．9．已知x >0，y >0，且x ＋4y ＝40. (1)求xy 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值．10．某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A 产品，根据过去的经验，每月A 产品销售数量y (万件)与销售员的数量x (人)之间的函数关系式为y ＝920xx 2＋3x ＋1 600(x >0).在该月内，销售员数量为多少时，销售的数量最大？最大销售量为多少？(精确到0.1万件)[提能力]11．(多选)若对于任意的x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 可能的值为( )A ．0B ．15C ．1D ．212．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 13．若两个正实数x ，y 满足4x＋1y＝1，且不等式x ＋4y >m 2－6m 恒成立，则实数m的取值范围是________．14．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．15．某单位决定用18.8万元把一会展中心(长方体状，高度恒定)改造成方舱医院，假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱，正面用一种复合板隔离，每米造价40元，两侧用砖砌墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．问：(1)改造后方舱医院的面积S 的最大值是多少？(2)为使S 达到最大，且实际造价又不超过预算，那么正面复合板应设计为多长？[培优生]16．我们学习了二元基本不等式：设a >0，b >0，a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值．(1)对于三元基本不等式请猜想：设a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c3≥________，当且仅当a＝b ＝c 时，等号成立(把横线补全).(2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明：设a >0，b >0，c >0，求证：(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )≥9abc . (3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值：设a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝1，求(1－a )(1－b )(1－c )的最大值．课时作业(十二) 基本不等式的应用1．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，故选B. 答案：B2．解析：∵a >0，b >0，ab ＝1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n ＝a ＋1a ＋b ＋1b ≥2a ·1a＋2b ·1b＝4， 当且仅当a ＝1a，b ＝1b即a ＝1，b ＝1时取等号． 故选B. 答案：B3．解析：由题意，可得a (1＋p )(1＋q )＝a (1＋x )2，即(1＋p )(1＋q )＝(1＋x )2，因为(1＋p )(1＋q )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋1＋q 22，当且仅当p ＝q 时取等号，p ≠q ，所以(1＋p )(1＋q )<⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋1＋q 22， 则1＋x <2＋p ＋q 2＝1＋p ＋q 2，即x <p ＋q 2，故选D. 答案：D4．解析：可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a b＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b＝2ba时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.答案：C5．解析：设直角三角形两直角边长分别为x m ，y m ，则12xy ＝1，即xy ＝2.周长l ＝x ＋y ＋x 2＋y 2≥2xy ＋2xy ＝22＋2≈4.83(m)， 当且仅当x ＝y 时等号成立．结合实际问题，可知选C. 故选C. 答案：C6．解析：设甲、乙两地之间的距离为s ，则全程所需的时间为s a ＋s b， ∴v ＝2ss a ＋s b＝2aba ＋b .∵b >a >0，由基本不等式可得ab <a ＋b2，∴v ＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab ， 另一方面v ＝2ab a ＋b <2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22a ＋b ＝a ＋b2，v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a2a ＋b ＝0，∴v >a ，则a <v <ab . 故选AD. 答案：AD7．解析：因为x >0，y >0，所以2y x ＋8x y ≥8，当且仅当2y x ＝8x y时，“＝”成立．所以m ＋2<8，解得m <6.答案：m <68．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：89．解析：(1)因为x >0，y >0，∴40＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy (当且仅当x ＝4y ，即x ＝20，y ＝5时等号成立) 所以xy ≤100， 因此xy 的最大值为100.(2)因为x ＋4y ＝40，即140(x ＋4y )＝1，所以1x ＋1y ＝140(x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝140⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4y x ＋x y ≥140⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24y x ·x y ＝940， (当且仅当x ＝2y ，即x ＝403，y ＝203时等号成立)所以1x ＋1y 的最小值为940.10．解析：依题意得y ＝920x ＋3＋1 600x(x ∈N *). 因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(万件).所以当销售员为40人时，销售量最大，最大销售量约为11.1万件． 11．解析：对于∀x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立．即对∀x >0，不等式1x ＋1x＋3≤a 恒成立．∵x ＋1x＋3≥3＋2x ·1x ＝5.当且仅当x ＝1时，取等号，所以1x ＋1x＋3的最大值为15.所以a ≥15. 故选BCD. 答案：BCD12．解析：(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2y x ·axy＝1＋a ＋2a ， 当且仅当y x ＝axy，即y ＝ax 时取等号． 依题意得1＋a ＋2a ≥9，即(a －2)(a ＋4)≥0，又a ＋4>0， ∴a ≥2，解得a ≥4，故a 的最小值为4. 故选B. 答案：B 13．解析：∵4x＋1y＝1，∴x ＋4y ＝(x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝4＋16y x ＋x y＋4≥8＋216y x ·xy＝16.当且仅当x ＝16y ，即y ＝4且x ＝64时取等号．∵x ＋4y >m 2－6m 恒成立，则16>m 2－6m ，解得－2<m <8.答案：－2<m <814．解析：设两数分别为x ，y (x ，y ∈N *)，即4x ＋9y ＝60，1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 4x ＋9y 60 ＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋4x y ＋9y x ≥160×(13＋12)＝512，当且仅当4x y ＝9yx，且4x ＋9y ＝60，即x ＝6且y ＝4时，等号成立，故应分别填上6，4. 答案：6 415．解析：(1)设正面复合板长为x m ，侧面长为y m ，总造价为z 元，则方舱医院的面积S ＝xy ，总造价z ＝40x ＋2×45y ＋20xy ＝40x ＋90y ＋20xy .由条件知z ≤188 000，即4x ＋9y ＋2xy ≤18 800. ∵x >0，y >0， ∴y ≤18 800－4x 9＋2x .令t ＝9＋2x ，则x ＝t －92(t >9)，∴S ＝xy ≤t －92·18 800－（2t －18）t＝－t 2＋9 418t －9×9 409t＝－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋9×9 409t＋9 418 ≤－2t ·9×9 409t＋9 418＝－2×3×97＋9 418 ＝8 836，当且仅当t ＝9×9 409t，即t ＝291时等号成立．故S 的最大值为8 836 m 2.(2)由(1)知，当S ＝8 836 m 2时，t ＝291，t ＝9＋2x ，∴x ＝141，则y ＝8 836141＝1883.∴方舱医院的面积S 达到最大值8 836 m 2，实际造价又不超过预算时，正面复合板的长应设计为141 m ．16．解析：(1)对于三元基本不等式猜想：设a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(2)因为a >0，b >0，c >0，又因为a ＋b ＋c ≥33abc >0，a 2＋b 2＋c 2≥ 33a 2b 2c 2>0，所以(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )≥93a 3b 3c 3＝9abc ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 即(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )≥9abc ， (3)因为a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c3≥3abc ，所以abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33，又因为a ＋b ＋c ＝1，0<1－a <1，0<1－b <1，0<1－c <1，所以(1－a )(1－b )(1－c )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋1－b ＋1－c 33＝827，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．所以(1－a )(1－b )(1－c )的最大值为827.。
人教B版新课标高中数学必修一教案《基本不等式》
《基本不等式Jab色丰（第1课时）》教学设计“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛•同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.1. 学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2. 通过实例探究抽象基本不等式；3. 通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.♦教学重难点-------------- -- --------------- J【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式.ab 的证明过程;2 【教学难点】基本不等式■. ab -―b等号成立条件21•课题导入基本不等式，ab 乞上的几何背景：2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系.【设计意图】由北京召开的第24界国际数学家大会的会标引出新课，使数学贴近实际，来源于生活.2 •讲授新课1 •探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a, b那么正方形的边长为「a2b2.这样，4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为a2 b2.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2 b2 2ab .当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有2 2a b 2ab.2.得到结论:般的，如果a,b R,那么a2 b2 2ab(当且仅当a b时取""号)3. 思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为a2 b2 2ab (a b)22 2当a b时,(a b) 0,当 a b时,(a b) 0, 所以，(a b)20，即(a2 b2)2ab.a b4. (1)从几何图形的面积关系认识基本不等式,ab2特别的，如果a>0, b>0，我们用分别代替a、b，可得a b 2. ab ,通常我们把上式写作：ab ^-b(a>0,b>0)2(2)从不等式的性质推导基本不等式、ab 乞上22显然，(4)是成立的.当且仅当 a=b 时，(4)中的等号成立. (3)理解基本不等式•一不 的几何意义探究:用分析法证明： 要证a b ab2只要证a+b要证(2),只要证a+b-要证(3),只要证 (-)2(1) (2)(3) ⑷2在右图中，AB 是圆的直径，点 C 是AB 上的一点，AC=a , BC=b .过点 作垂直于 AB 的弦DE ，连接 AD 、BD .你能利用这个图形得出基本不等式ab〒的几何解释吗?易证 R 让 A C D S R t △ D C B ，那么 C D 2= C A • C B 即 C D = ab .这个圆的半径为，显然，它大于或等于 CD ，即.. ab ，其中当且仅当点2 2C 与圆心重合，即a = b 时，等号成立._ a b因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”2评述：1•如果把看作是正数a 、b 的等差中项，.ab 看作是正数a 、b 的等比中2项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称 为a 、b 的算术平均数，称.ab 为a 、b 的几何平均数.本2节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.［补充例题］例1 已知x 、y 都是正数，求证： (1) 1> 2;x y(2) (x + y ) (x 2 + y 2) ( x 3 + y 3)>8 x 3y 3.分析：在运用定理： 丄上 ,ab 时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把 2 握好每条性质成立的条件)，进行变形.解：T x , y 都是正数/• — >0, — >0, x 2>0, y 2 >0, x 3>0, y 3> 0y x/ 八 x v o i'x y 口口 x v (1)2 y = 2 即> 2.y x \ y x y x(2)x + y >2 . xy >0 x 2+ y 2>2 x y 2 >0 x 3+y 3>2 . x 3y 3•••( x+ y) (x2+ y2) (x3+ y3)> 2 xy • 2 x2y2• 2. x3y3=8 x3y3即(x+ y) (x2+ y2) (x3+ y3)>8 x3y3.【设计意图】例题讲解，学以致用.3•随堂练习1. 已知a、b、c都是正数，求证(a+ b) (b+ c) (c+ a)>8 abc分析：对于此类题目，选择定理：- ab (a>0, b>0)灵活变形，可求得结2果.解：••• a, b, c都是正数•- a+ b》2-/ab > 0b + c》2 be > 0c+ a > 2 - ac > 0■'■( a+ b) (b + c) (c+ a)》2 ■丿ab • 2、.，bc • 2 -h ac = 8 abc即(a+ b) (b + c) (c+ a)》8 abc.【设计意图】讲练结合，熟悉新知.4. 课时小结a b本节课，我们学习了重要不等式a2+ b2》2ab;两正数a、b的算术平均数( )，2几何平均数(JOb )及它们的关系(仝上》宅ab ).它们成立的条件不同，前者只要求a、2b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用) .我们还可以用它们下面的等价变形来解决2 b2问题：ab w a ----------- , ab w2【设计意图】课时小结，内化知识.本次课通过实例探究抽象基本不等式；由北京召开的第境引入，贴近24界国际数学家大会的会标情生活，贴近数学，能让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.《基本不等式,ab 乎（第2课时）》教学设计♦教材分析L_ 」“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛•同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.1. 进一步掌握基本不等式.ab ；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解2决一些简单的实际问题2. 通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式.Ob电上，并会用此定理求某些2函数的最大、最小值.3. 引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.♦教学重难点♦教学重点基本不等式、.ab的应用2教学难点利用基本不等式ab以求最大值、最小值.1•课题导入1. 重要不等式:如果a,b R,那么a2 b2 2ab(当且仅当a b时取""号)2.基本不等式：如果a, b是正数，那么 $卫..ab(当且仅当a b时取""号).a b --我们称 -------- 为a b的算术平均数，称J ab为a, b的几何平均数2 ，a2 b22ab和-__b. ab成立的条件是不同的：前者只要求a, b都是实数，2而后者要求a, b都是正数.【设计意图】复习引入.2•讲授新课例1 (1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？(2)段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：(1)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,贝U xy=100，篱笆的长为2 (x+y) m.由可得x y 2 100 , 2(x y) 40 .等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.(2)解法一：设矩形菜园的宽为x m,则长为(36 —2x) m,其中0v x v丄，其面积21 c " c、 1 2x 36 2x2 362S= x (36 —2x)= —• 2x (36 —2x)w —( )2 2 2 8当且仅当2x= 36 —2x,即x = 9时菜园面积最大，即菜园长9m,宽为9 m时菜园面积最大为81 m2解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m，则2 ( x+y) =36 , x+y=18，矩形菜园的面积为xy m 2.由当且仅当x=y ,即x=y=9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是81m 2归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 a , b € R +，且a + b = M ,则a + b 》2、P ，等号当且仅当a = b 时成立.例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ,如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低 总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化， 即建立函数关系式， 然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为xm ,水池的总造价为I 元，根据题意，得1600240000 720(x)x1600240000720 2 x ——240000 720 2 40297600当x 空°,即x 40时,1有最小值2976000.x因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600 元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用， 应注意数学语言的应用即函数解析式的建 立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行:x y 189，可得 xy 81M 为定值，则M ab w4，等号当且仅当a =b 时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ,b € R +，且 ab = P , P 为定值,(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.【设计意图】讲解例题，熟悉方法.3•随堂练习811. 已知X M 0,当x取什么值时，x2+ 2的值最小？最小值是多少？x2. 课本练习.【设计意图】讲练结合，巩固新知.4. 课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1 )函数的解析式中，各项均为正数；(2 )函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.【设计意图】课时小结，内化知识.本次课通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式 '、不丄卫，并会用此定理求某2些函数的最大、最小值.引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.《基本不等式、、不¥ (第3课时)》教学设计“基本不等式”是必修5的重点内容, 它是在系统学习了不等关系和不等式性质,握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究, 同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫， 起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利 好的思维品质.1.进一步掌握基本不等式 ab 皂上；会用此不等式证明不等式，会应用此不等式2求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题; 2. 通过例题的研究，进一步掌握基本不等式 的最大、最小值.3. 引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际 相结合的科学态度和科学道德.♦教学重难点----------- -------------教学重点掌握基本不等式..Ob，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的2 最值 教学难点利用此不等式求函数的最大、最小值.1•课题导入 1. 基本不等式：如果 a , b 是正数，那么 仝上 .ab （当且仅当a b 时取""号）.22. 用基本不等式.ab求最大（小）值的步骤.2 【设计意图】复习引入. 2•讲授新课1）利用基本不等式证明不等式基本不等式.于培养学生良 ..ab 丈亠，并会用此定理求某些函数 224已知m>0，求证 6m24. ［思维切入］因为m>0 ,所以可把24 一和6m 分别看作基本不等式中的 a 和b ,直接利用［证明］因为 m>0,,由基本不等式得246m 2m J 24 6m 2j24 6 2 12 2424 当且仅当24 =m=6m ，即m=2时，取等号. 规律技巧总结 24注意: m>0这一前提条件和 —— 6m =144为定值的前提条件.m 【设计意图】例题讲解，利用基本不等式证明不等式，熟练使用基本不等式. 3•随堂练习1［思维拓展1］已知a , b , c , d 都是正数，求证(ab cd)(ac bd) 4abcd .2 2 2 2 2［思维拓展 2］求证(a 2 b 2)(c 2 d 2) (ac bd)2. 例2求证: 4 当且仅当 =a-3即a=5时，等号成立.a 3 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值9例3 (1)若x>0，求f (x) 4x 的最小值； x9(2)若x<0,求f(x) 4x 的最大值.x9 ［思维切入］本题(1) x>0和4x - =36两个前提条件；(2)中x<0,可以用-x>0来转化.［思维切入］ 由于不等式左边含有字母a ，右边无字母，直接使用基本不等式，无法约 掉字母a ，而左边 a 丄(a a 3 3) 3 .这样变形后，在用基本不等式即可得证.［证明］3 a 34 厂(a 3)(a 3) 3 2.4 3 7解(1)因为x>0由基本不等式得9 j 9』— 9 3 n . f(x) 4x 2 4x 2.36 12，当 且仅当 4x 即 x= 时 x \ xx 29f (x) 4x 取最小值12. x (2)因为x<0, 所以-x>0,由基本不等式得： 所以 f (x) 12 .9 39即x=-时，f (x) 4x 取得最大-12. x 2x 规律技巧总结 利用基本不等式求最值时， 个项必须为正数，若为负数，则添负号变正.随堂练习29［思维拓展1］求f (x) 4x ( x>5)的最小值.x 5 2 8［思维拓展2］若x>0, y>0，且 1，求xy 的最小值.x y 【设计意图】讲练结合，巩固新知.4. 课时小结用基本不等式王上证明不等式和求函数的最大、最小值.2【设计意图】总结基本不等式在某些方面的运用，锻炼学生自我总结的能力.5•评价设计f(x)9 (4x -) x (4x)( -)2^( 4x)( 9) X x当且仅当 4x1.证明：a2 b2 2 2a 2b42 .若x 1，则x为何值时x ——有最小值，最小值为几？x 1【设计意图】将课堂知识延伸至课外，在巩固知识的同时，锻炼了学生的自主学习能力. ♦教学反思本次课是一次常规的习题课，复习知识、举例运用、学生练习、课外练习，从而达到巩固知识的效果.其实这次课还是可以采用老师引导，学生分组讨论研究，得到结果，得到解题方法，从而让学生体验自主研究题目，得到结论的乐趣.。
江苏省昆山市兵希中学九年级数学总复习：一轮复习第12课时：不等式(组)
初三第一轮复习第12课时：不等式（组）【课前预习】 一、知识梳理：1.不等式概念，不等式基本性质。
2.一元一次不等式,一元一次不等式组的定义及解法,并在数轴上表示出不等式(组)的解集。
3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况:（已知a b <）x a x b >⎧⎨>⎩的解集是x b >,“同大取大”； x ax b <⎧⎨<⎩的解集是x a <,“同小取小”； x a x b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<,“大小小大取中间”；x ax b <⎧⎨>⎩的解集是空集,“大大小小取不了”. 二、课前练习1、用不等式表示：m 的3倍与n 的31的差是非负数 .2、下列不等式变形正确的是（ ）A ．由a b >，得ac bc >B ．由a b >，得－2a ＞－2bC ．由a b >，得a b ->-D ．由a b >，得22a b -<-3、不等式5227x x ->-的解集是 ；正整数解有 .4、不等式组2131x x -<⎧⎨≥-⎩的解集是 ；整数解有 . 5、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--+2321123x ,x x ＞的解集在数轴上表示正确的是（ ）6、点P(x-3,3+x)在第二象限,则x 的取值范围是 .7、当ab<0时,(a+b)2 (a-b)2.☆8、若不等式x ＜a 只有4个正整数解，则a的取值范围是 ．☆9、若不等式2x ＜4的解都能使不等式（a ﹣1）x＜a+5成立，则a 的取值范围是（ ）A ．1＜a≤7B ．a≤7 C．a ＜1或a≥7D ．a=7A.B.C.D.【解题指导】例1 解不等式（组），并将它的解集在数轴上表示出来：（1）153x x -≤- （2）()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+>-x x x x 2371211325 (3) -3<21x -<1例2 已知不等式组: 3(21)283(1)12384x x x x -<+⎧⎪+-⎨+>-⎪⎩(1)求此不等式组的整数解;(2)若上述整数解满足方程62ax x a +=-,求a 的值.例3如果不等式组2223xa xb ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x <≤，那么a b +的值为 ．例4已知关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨->⎩≥，只有四个整数解，则实数a 的取值范围是222,5,519.(1)(2)A a B a a C a a B A A C =+=-+=+->例5.已知求证：；指出与哪个大，说明理由.例6、如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点， 则不等式122x kx b >+>-的解集为 ．【巩固练习】1、不等式012<+-x 的解为 ；不等式组⎩⎨⎧>+>-012023x x 的解为.2、(1)若不等式组2x x a≤⎧⎨≥⎩ 无解,那么a 的取值范围是(2）若关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨->⎩≥，有解，则实数a 的取值范围是 ．322152(5)735 (2)-6<7 (3)1323621722x x x x x x x x ->+⎧----+⎪->≤⎨-≤-⎪⎩5、解下列不等式（组），并将它的解集在数轴上表示出来：（1）【课后作业】 班级 姓名 一、必做题: 1、不等式组21511x x +<⎧⎨+≥-⎩的整数解的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2、 若不等式组0,122x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则a 的取值范围是( )(A)a ＞－1． (B)a ≥－1． (C)a ≤1． (D)a ＜1． 3、如果一元一次不等式组3x x a>⎧⎨>⎩的解集为3x >．则a 的取值范围是( )A ． 3a >B ．a ≥3C ．a ≤3D ．3a <-0 . .0 .0 D.5 11;24; 32; 41;2 .12 .23 .a b a A a b B ab C a b bx x x x A B C <>>>->->><>-4、若，则下列各式中一定正确的是（）、已知不等式:（）（）（）（）2-从这四个不等式中取两个，构成正整数解是的不等式组是（）（）与（）（）与（）（34 .14D ）与（）（）与（）66、关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是7、关于x 的不等式组12x m x m >->+⎧⎨⎩的解集是1x >-，则m = ．8、如果x －y ＜0，那么x 与y 的大小关系是x y ．（填＜或＞符号）b ax b x a a><9、不等式的解集是，那么的取值范围是。
高一数学复习知识讲解课件12 等式性质与不等式性质(第1课时) 不等关系与比较大小
2.1等式性质与高一数学复习知识不等关系性质与不等式性质(第1课时)习知识讲解课件等关系与比较大小1．网上发布了“明天气温是今天气温的(1)一位南方的网友做出的第一反应是(2)一位北方的网友做出的第一反应是(3)另一位北方的网友做出的第一反应是请从数学上解释为什么不同地方的网友会答：设今天的气温为x ℃，则明天的较，有2x －x ＝x ，则x >0，升温，x ＝0，不变，x <0，降温，所以不同气温的2倍”的信息，各地有不同的反应： 应是“明天升温了”； 应是“明天降温了”；反应是“明天的气温没有变化”． 网友会有不同的反应．明天的气温为2x ℃，将两天的气温进行比以不同地方的网友会有不同的反应．2．用作差法比较两个实数的大小时答：一般地，对差式分解因式或配方小时，对差式应如何变形？配方．题型一题型一 用不等式例1 某同学拿50元钱买纪念邮票，张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面表示为( )A.x ≥2，x ∈N ，y ≥2，x ∈N ，0.8×5x ＋2×4y ≤50 C ．0.8×5x ＋2×4y ≤50A 等式(组)表示不等关系 ，票面8角的每套5张，票面2元的每套4买票面8角的x 套与票面2元的y 套用不等式B.x ≥2，y ≥2，0.8×5x ＋2×4y ≤50 D ．以上都不对思考题1 如图，在一个面积为是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示A ．a >4bC. a >4b ，（a ＋4）（b ＋4）＝200200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周则表示上面叙述的不等关系正确的是( )CB ．(a ＋4)(b ＋4)＝200D. a >4b ，4ab ＝200题型二题型二 例2 (1)比较x 2＋3与3x 的大小，其中(2)已知x >3，比较x 3＋3与3x 2＋x 的大小(3)已知x ，y ∈R ，求证：x 2＋2y 2≥比较大小其中x ∈R . 的大小． 2xy ＋2y －1.探究2 (1)作差法比较a 与b 的大小，是指差的符号，至于差的值究竟是多少，(2)确定差的符号往往有两种方法(①将差式化成几个非负数或非正数的和②将差式化成几个因式乘积的形式(3)作差法比较大小的步骤： 作差→变形→定号→下结论．，归结为判断它们的差a －b 的符号(注意，在这里无关紧要)．类型)：数的和的形式(如(1)题)． (如(2)题)．思考题2(1)关于x的不等式ax－式(bx＋a)(x－3)>0的解集是()A．{x|x<－1或x>3}CC．{x|1<x<3}(2)已知a>b，求证：a3－b3>ab(a－b>0的解集是{x|x>－1}，则关于x的不等B．{x|－1<x<3}D．{x|x<1或x>3}b)．题型三题型三 重要不例3 已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 2 【证明证明】】 ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2∴(a －b )2≥0，(b －c )2≥0，(c －a )2∴(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，即2(a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca )≥0.∴a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )≥0.∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． 重要不等式的应用＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，≥0.探究3 (1)重要不等式：∀a ，b ∈号．(2)仔细观察，如果不等式具有重要不等来证明，注意等号成立的条件．R ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等要不等式的结构，就可以采用重要不等式题型四题型四 例4 某单位组织职工去某地参观学习买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型数，比较两车队的收费哪家更优惠．应用问题观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队．”乙车队说：“你们属团体票，按原价车型都是一样的，试根据此单位去的人探究4 (1)“最优方案”问题，首先要后把这个未知量用其他的已知量表示出来(2)这是一道与不等式有关的实际应用问整．首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然出来，通过比较即可得出结论．应用问题，解答时要有设有答，步骤完课 后 巩 固1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件A ．a ＝±1C ．a ＝－1解析解析 当a ＝1时等号成立．的条件是( )B ．a ＝1 B D ．a ＝03．(1)若x 为实数，则x 2－1与2x －5的大(2)若a ，b ∈R ，则a 2＋b2与2|ab |的大小 解析解析 (1)(x 2－1)－(2x －5)＝x 2－1∴2－－x 1>2x 5.(2)方法一：a 2＋b 2－2|ab |＝|a |2＋|b |2∴a 2＋b 2≥2|ab |.方法二：由a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |知a 2＋b 2≥2|ab |. 的大小关系是________________． 的大小关系是________________． x x 2－1>2x －5a 2＋b 2≥2|ab |－2x ＋5＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3≥3>0，－2|a |·|b |＝(|a |－|b |)2≥0，·|b |＝2|ab |，自 助 餐探究探究 比较含参数的两个数(式)大小的这种思想贯穿于数学的始终，应在平时的教 大小的问题，往往要用到分类讨论的思想，时的教学中有意识地加以培养．。
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第12课 不等式
〖知识点〗
不等式概念，不等式基本性质，不等式的解集，解不等式，不等式组，不等式组的解集，解不等式组，一元一次不等式，一元一次不等式组。
大纲要求
1.理解不等式，不等式的解等概念，会在数轴上表示不等式的解；
2.理解不等式的基本性质，会应用不等式的基本性质进行简单的不等式变形，会解一元一次不等式；
3.理解一元一次不等式组和它的解的概念，会解一元一次不等式组；
4.能应用一元一次不等式（组）的知识分析和解决简单的数学问题和实际问题。
内容分析
一元一次不等式、一元一次不等式组的解法
(1)只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为零的不等式，叫做一元一次不等式．
解一元一次不等式的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成1．要特别注意，不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，要改变不等号的方向．
(2)解一元一次不等式组的一般步骤是：
(i)先求出这个不等式组中各个一元一次不等式的解集；
(ii)再利用数轴确定各个解集的公共部分，即求出了这个一元一次不等式组的解集． 考查重点与常见题型
考查解一元一次不等式（组）的能力，有关试题多为解答题，也出现在选择题，填空题中。
考查题型
1．下列式子中是一元一次不等式的是（ ）
(A)-2>-5 (B)x 2>4 (C)xy>0 (D)x 2
–x< -1 2．下列说法正确的是（ ）
（A ） 不等式两边都乘以同一个数，不等号的方向不变；
（B ） 不等式两边都乘以同一个不为零的数，不等号的方向不变；
（C ） 不等式两边都乘以同一个非负数，不等号的方向不变；
（D ） 不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
3．对不等式的两边进行变形，使不等号方向改变，可采取的变形方法是（ ）
（A ）加上同一个负数 （B ）乘以同一个小于零的数
（C ）除以同一个不为零的数 （D ） 乘以同一个非正数
4．在数轴上表示不等式组x>-2x 1
⎧⎨≤⎩ 的解，其中正确的是（ ）
5．下列不等式组中，无解的是（ ）
(A) 2x+3<03x+2>0⎧⎨⎩ (B) 3x+2<02x+3>0⎧⎨⎩ (C) 3x+2>02x+3>0⎧⎨⎩ (D) 2x+3<03x+2<0⎧⎨⎩
6．若a<b 则下列不等式中正确的是（ ）
(A)a-b>0 (B)a+b<0 (C)ac<bc (D)-a> -b
7．解下列不等式（组）
(1)x －x-38 <2 + 3(x+1)2 (2) 2x-1<x+12x+35⎧⎨≥⎩
考点训练：
1． 以知a>b 用”>”或”<”连接下列各式；
（1）a-3 ---- b-3, (2)2a ----- 2b, (3)- a 3 ----- －b 3
(4)4a-3 ---- 4b-3 (5)a-b --- 0 2． 判断题：
(1) 若 a>b 则1a < 1b
( ) (2) 若a>b 则|a|>|b| ( ) (3)若ac >bc 则 a>b ( ) (4)若a c 2 >b c 2 则a>b ( ) 3．a,b 是已知数，当a>0时，不等式ax+b<0的解集为------------, 当a<0不等式ax+b<0的解集为----------------
4．已知正整数x 满足x-23 <0 ，则代数式(x －2)1999 － 7x
的值是----------------. 5．解不等式x －3x-24 ≥2(1+x)3
－1，将解集在数轴上表示出来，且写出它的正整数解 6．解不等式组x+1x+21->2 - 23x(x-1) <(x+3)(x-3)
⎧⎪⎨⎪⎩ 7． x 为何值时，代数式x 2
－3(x+4)的值是：（1）非负数（2）不大于零 8．已知三角形三边长分别为3，（1－2ａ），8，试求ａ的取值范围。
解题指导：
1． 解不等式1－7x －18 >3x －24
，并说明每一步的理由。
2． 比较x 2－4x －1与x 2
－6x ＋3的大小。
3． 已知不等式5(x －2)＋8 < 6(x －1)＋7的最小整数解为方程2x －ax=3的解，求代数式4a －14a 的值。
4． 求不等式组3x-10 < 0 16-1< 6x 3
⎧⎪⎨⎪⎩的整数解
5． 已知方程组 x+y=3a+9 x-y=5a+1⎧⎨⎩
的解为正数，求（1）a 的取值范围。
（2）化简|4a+5|－|a-4|
＊6．ａ、ｂ为任意实数。
解关于ｘ的不等式ａ（ｘ＋ｂ2）＞ｂ（ｘ＋ａ2）
独立训练：
1．用不等式表示：x 的23
与5的差小于1为________ 2.不等式5x －17≤0的正整数解是-------------_;不等式组 -4<x <x >-1
⎧⎨⎩
的解集是--------------
3．代数式1-x-22 的值不大于1+3x 3
的值，那么的取值范围是_____________. 4．不等式组 2x+3>5 3x-2<4
⎧⎨⎩的解集在数轴上的表示是（ ）
5．如果0<x<1则1x
,x,x 2 这三个数的大小关系可表示为（ ） (A)x< 1x < x 2 (B)x <x 2< 1x (C) 1x <x<x 2 (D) x 2<x<1x
6．如果方程(a-2)x= -3的解是正数，那么（ ）
(A)a>0 (B)a<0 (C)a<2 (D)a>2
7．已知不等式组 6x-13x-3 211<3
2x x ≥⎧⎪++⎨⎪⎩ 的整数解满足方程3(x+a)－5a= －2，求代数式633(a 2+2a )的值。
8．解不等式－1≤2x+13
< 4 9．不等式 2x-3a<7b 6b-3x<5a
⎧⎨⎩组的解5<x<22是求a,b 的值
10．解不等式 3 <|2x+1| < 5 11.解不等式－12 x 2－3x> 52。