2020-2021学年河南省天一大联考高一上学期期末数学试题及答案
2020-2021学年河南省天一大联考高一上学期期末数学试题一、单选题1．过点()1,3-且斜率为12的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．8- B ．7-C ．72-D ．72答案：B求出直线方程，令0y =可得结论． 解：由题意直线方程为13(1)2y x -=+，即270x y -+=，令0y =得7x =-， 所以直线在x 轴上截距为7-． 故选：B ．2．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}3B x R x =∈>，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1,2,3,4D ．{}0,1,2,3答案：D由图可知，阴影部分所表示的集合是()UA B ，根据补集、交集定义即可求出.解：由图可知，阴影部分所表示的集合是()UA B ，{}3B x R x =∈>，{}3U B x R x ∴=∈≤,(){}0,1,2,3U B A ∴⋂=.故选：D.3．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） A ．()f x x =，()lg10xg x =B ．()211x f x x -=+，()1g x x =-C ．()f x =()2g x =D ．()1f x =，()0g x x =答案：A两个函数是相等函数，需函数的三个要素相同，首先判断函数的定义域，再判断函数的对应关系，若这两点相同，就是相等函数.解：A.两个函数的定义域相同，并且函数()lg10xg x x ==，对应关系也相同，所以两个函数是相等函数；B.函数()211x f x x -=+的定义域是{}1x x ≠-，函数()1g x x =-的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；C.函数()f x =R ，函数()2g x =的定义域是[)0,+∞，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；D.函数()1f x =的定义域是R ，函数()0g x x =的定义域是{}0x x ≠，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数； 故选：A4．设点()1,1,1P 关于原点的对称点为P '，则PP '=（ ）A B ．C ．D ．6答案：B根据空间直角坐标系中的对称性写出P '坐标，然后计算线段长．解：由题意(1,1,1)P '---，∴PP '== 故选：B ．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π答案：C由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积． 解：由三视图，知原几何体是一个四棱锥P ABCD -，如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB ⊥底面ABCD ，由PB ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，得PB AD ⊥，又AD AB ⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而PA ⊂平面PAB ，所以AD PA ⊥，同理DC PC ⊥，同样由PB ⊥底面ABCD 得PB BD ⊥，所以PD 中点O 到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，PD 为球直径，222222PD PB BD PA AD AB =+=++=，∴外接球半径为12ADr ==， 表面积为2414S ππ=⨯=． 故选：C ．点评：关键点点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．6．已知ln 2a =，b =21log c e=，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>答案：D根据对数函数的单调性求出,a c 范围即可比较. 解：0ln1ln 2ln 1e =<<=，01a ∴<<，1b =>，22110log log c e=<=， b a c ∴>>.故选：D.7．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ，且12AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案：A证明CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，求出此角后，利用11//B C BC 可得结论， 解：∵90BAC ∠=︒，12AC BC =，∴30CBA ∠=︒， ∵1BC AC ，AB AC ⊥，1BC ABB ，1,BC AB ⊂平面1ABC ，∴AC ⊥平面1ABC ，∴CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，即BC 与平面1ABC 所成的角是30， ∵棱柱中11//B C BC ，∴11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为30， 故选：A ．点评：思路点睛：本题考查求直线与平面所成的角，解题方法是定义法，即过直线一点作平面的垂直，得直线在平面上的射影，由直线与其射影的夹角得直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角．解题过程涉及三个步骤：一作出图形，二证明所作角是直线与平面所成的角，三是计算．8．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],4-∞ B ．(]4,4-C ．()4,-+∞D ．[)4,4-答案：B令()23x x a g ax -+=，则可得()22240a g a ⎧≤⎪⎨⎪=+>⎩，解出即可. 解：令()23x x a g ax -+=，其对称轴为2a x =， 要使()f x 在[)2,+∞上是增函数，则应满足()22240a g a ⎧≤⎪⎨⎪=+>⎩，解得44a -<≤.故选：B.9．若222+=a b c （0c ≠），则直线0ax by c 被圆222x y +=所截得的弦长为（ ） A ．22B 2C ．2D ．22答案：C求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长．解：∵222+=a b c （0c ≠），圆心O 到直线的距离为1d ==，圆半径为r =所以弦长为2l ===． 故选：C ．10．已知函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断答案：A利用幂函数的定义求出m ，利用函数的单调性和奇偶性即可求解． 解：∵函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，∴25=1m m --，解得：m= -2或m=3． ∵对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，∴函数()f x 为增函数， ∴260m ->， ∴m=3（m= -2舍去） ∴()3=f x x 为增函数．对任意a ，b R ∈，且0a b +>， 则- a b >，∴()()()f a f b f b >-=- ∴()()0f a f b +>． 故选：A点评：(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x 前的系数为1； (2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．11．已知点(),x y 是曲线y =23y x --的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．[]0,2C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B在平面直角坐标系中作出曲线24y x =-，这是一个半圆，23y x --的几何意义是半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率，由几何意义易得结论． 解：曲线24y x =-是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，23y x --表示半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率， 由图，20232QB k -==-，当0QA k =时，直线QA 与半圆相切， ∴02PQk ≤≤，即23y x --的取值范围是[0,2]．故选：B ．点评：方法点睛：本题考查分式的取值范围，解题方法是数形结合思想，利用分式的几何意义：23y x --可以表示动点(,)x y 与定点(3,2)连线的斜率，从而作出动点所在曲线，由几何意义易得解．12．已知函数()2log ,0,1,0.x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩若()()()()1234f x f x f x f x ===（1x ，2x ，3x ，4x 互不相等），则1234x x x x +++的取值范围是（注：函数()1h x x x=+在(]0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增）（ ） A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦答案：D作出函数()f x 的图象，设1x <2x 0<<3x 1<<4x ，由图象的性质 求得12+2x x =-，341x x ⋅=，再利用双勾函数求得34522x x <+≤，代入可得选项． 解：作出函数()f x 的图象如下图所示：设1x <2x 0<<3x 1<<4x ，且()12+212x x =⨯-=-，当2324log log x x =时，即2324log log x x -=，所以()2324234log +log log 0x x x x ⋅==，所以341x x ⋅=，当2log 1x =时，解得312x =，42x =，所以412x <≤ 设34441t x x x x =+=+，又函数1y x x=+在()1,+∞上单调递增， 所以44111521+2+122t x x =<=+≤=，即34522x x <+≤， 所以123452+22+2x x x x -<+++≤-，即1234102x x x x <+++≤， 故选：D ．点评：关键点点睛：本题考查分段函数的函数值相等的问题，解决的关键在运用运用数形结合的思想，作出函数的图象，求得变量的范围． 二、填空题 13．函数()21f x x =--的定义域为______.答案：[2,3)(3,)⋃+∞． 求得使函数式有意义的x 的范围．解：由题意020210x x x ⎧>⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得2x ≥且3x ≠．故答案为：[2,3)(3,)⋃+∞．14．已知函数()()()2log 0102x x x f x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()4f a =，则a =______.答案：16或-2讨论0a >和0a ≤两种情况讨论，解方程，求a 的值. 解：当0a >时，2log 416a a =⇒=，成立，当0a ≤时，1422aa ⎛⎫=⇒=- ⎪⎝⎭，成立， 所以16a =或2-. 故答案为：16或2-15．圆221:24200O x y x y +-+-=与圆222:48160O x y x y ++--=的公切线条数是______. 答案：2求出圆心距，判断两圆的位置关系后可得化切线的条数．解：圆1O 标准方程是22(1)(2)25x y -++=，1(1,2)O -，半径为5R =，圆2O 标准方程是22(2)(4)36x y ++-=，2(2,4)O -，半径为6r =，又12O O ==∵12R r OO R r -<<+，∴两圆相交，公切线有2条． 故答案为：2．点评：结论点睛：本题考查两圆公切线问题，根据两圆位置关系可得公切线条数： 相离：4条；外切：3条；相交：2条；内切：1条；内含：无公切线． 16．已知函数()()1ln 11f x x x=+-+，若()()log 31a f f ≥（0a >且1a ≠），则a 的取值范围为______.答案：(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭分析出函数()f x 为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，由()()log 31a f f ≥可得出()()log 31a f f ≥，可得出lg lg3a ≤且1a ≠，利用对数函数的单调性解此不等式即可得解.解：函数()()1ln 11f x x x=+-+的定义域为R ， ()()()()11ln 1ln 111f x x x f x x x-=+--=+-=+-+，即函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，函数()()1ln 1ln 1y x x =+=+单调递增，函数21111y x x ==++单调递减，所以，函数()()1ln 11f x x x=+-+在[)0,+∞上单调递增， 由()()log 31a f f ≥可得()()log 31a f f ≥，则log 31a ≥，即lg31lg a≥，可得lg lg3a ≤，所以，1lglg3lg lg33a =-≤≤，解得133a ≤≤且1a ≠.因此，实数a 的取值范围是(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭. 故答案为：(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.点评：方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 三、解答题 17．设集合1,202xA y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}0ln 1B x x =≤≤，{}12,C x t x t t R =+<<∈.（1）求A B ；（2）若AC C =，求t 的取值范围.答案：（1）{}1x x e ≤≤（2）2t ≤.（1）先利用指数函数的单调性和对数函数的单调性，化简集合A,B ，再利用集合的交集运算求解. （2）根据AC C =，则C A ，然后分C =∅和 C ≠∅两种情况讨论求解.解：（1）因为集合{}14A y y =≤≤，{}1B x x e =≤≤， 所以AB {}1x x e =≤≤；（2）因为A C C =，则C A ，当C =∅时，12t t +≥，解得 1t ≤，当 C ≠∅时，则 121124t t t t +<⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，解得 12t <≤，综上：实数t 的取值范围是2t ≤.18．已知直线l 经过两直线1:3120l x y -+=，2:3260l x y +-=的交点，且与直线230x y --=垂直.（1）求直线l 的方程；（2）若第一象限内的点(),P a b 到x 轴的距离为2，到直线l的距离为+a b 的值.答案：（1）220x y +-=；（2）7．（1）求出12,l l 交点坐标，再由垂直得斜率（可设出直线方程），从而得直线方程；（2）由点到直线距离公式列出关于,a b 的方程解之可得．解：（1）由31203260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得26x y =-⎧⎨=⎩，即两直线交点为()2,6-， 由l 与直线230x y --=垂直，则2l k =-，∴l 方程为62(2)y x -=-+，即220x y +-=；（2）∵第一象限内的点(),P a b 到x 轴的距离为2，所以2b =，0a >，又P 到直线l的距离为=，5a =（∵0a >），∴7a b +=． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB平面ACM；（2）求三棱锥P ACM-的体积.答案：（1）证明见解析；（2）23．（1）连接BD交AC于点O，由中位线定理得//OM PB，从而得证线面平行；（2）由M是PD中点，得12M ACD P ACDV V--=，求出三棱锥P ACD-的体积后可得．解：（1）如图，连接BD交AC于点O，连接OM，则O是BD中点，又M是PD中点，∴//OM PB，又PB⊄平面ACM，OM⊂平面ACM，所以//PB平面ACM；（2）由已知12222ACDS=⨯⨯=，11422333P ACD ACDV S PA-=⋅=⨯⨯=△，又M是PD中点，所以1223M ACD P ACDV V--==，所以23P ACM P ACD M ACDV V V---=-=．点评：思路点睛：本题考查证明线面平行，求三棱锥的体积．求三棱锥的体积除掌握体积公式外，还需要注意割补法，不易求体积的三棱锥（或一个不规则的几何体）的体积可通过几个规则的几何体（柱、锥、台等）的体积加减求得．三棱锥的体积还可通过转化顶点，转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积，从而得出结论．20．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，若超出A万元，则奖励()2log 1A +万元，没超出部分仍按5%进行奖励.记奖金为y 万元，年销售利润为x 万元.（1）写出y 关于x 的函数解析式；（2）如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？答案：（1）()20.05,01005log 99,100x x y x x ≤≤⎧=⎨+->⎩；（2）131 （1）根据题意分别求出0100x ≤≤和100x >时的解析式即可；（2）可判断100x >，利用（1）中解析式即可求出.解：（1）由题可得当0100x ≤≤，0.05y x =，当100x >时，()()221000.05log 10015log 99y x x =⨯+-+=+-，()20.05,01005log 99,100x x y x x ≤≤⎧∴=⎨+->⎩； （2）105>，100x ∴>，则()25log 9910x +-=，解得131x =，所以他的年销售利润是131万元.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，12AA AB =，E 为1CC 的中点.（1）证明：1//AC 平面BDE ；（2）证明：平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）求二面角E BD C --的大小.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4π．（1）设BD C O =，由1//AC OE ，得证线面平行；（2）证明BD ⊥平面1ACC ，可得证面面垂直；（3）证明EOC ∠是二面角E BD C --的平面角，求出此角即可．解：（1）证明：设BD C O =，连接OE ，则O 是AC 中点，又E 是1CC 中点， ∴1//AC OE ，又OE ⊂平面BDE ，1AC ⊄平面BDE ，∴1//AC 平面BDE ．（2）1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴1CC BD ⊥，同理1CC AC ⊥，又正方形中BD CA ⊥，1AC CC C =，1,AC CC ⊂平面1ACC ，∴BD ⊥平面1ACC ，又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）∵BD ⊥平面1ACC ，OE ⊂平面1ACC ，∴BD OE ⊥，∴EOC ∠是二面角E BD C --的平面角， 由已知112CC AA AB ==，而2AC AB =，,E O 分别是1,CC AC 中点， ∴OC CE =，∴4EOC π∠=．即二面角E BD C --的大小为4π．点评：关键点点睛：本题考查证明线面平行，面面垂直，考查求二面角的大小．解题关键是掌握证明线面平行，面面垂直的判定定理，证明时需要满足定理的所有条件，一个都不能少地列举出来才能得出结论，否则证明过程不完整．而求二面角，只要作出二面角的平面角（并证明），然后解三角形即可．22．已知圆22:2410C x y x y +--+=.（1）若过点()0,5A 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的斜率；（2）从圆C 外一点P 向该圆引一条切线，切点为M ，若PM PA =，求PM 最小时点P 的坐标.答案：（1）13±；（2）341,1010P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）切线斜率存在，设切线方程为5y kx =+，由圆心到切线的距离等于半径求得k 值得切线方程；（2）设(,)P x y ，由已知求出P 点轨迹方程，得P 轨迹是直线，要使PM 最小，则只要PC 最小，因此只要有PC 与轨迹直线垂直即可，由此可求得P 点坐标．解：（1）圆C 标准方程是22(1)(2)4x y -+-=，圆心为(1,2)C ，半径为2r ， 过A 所作圆C 的切线斜率存在，设切线方程为5y kx =+，即50kx y -+=，2=，解得13k =± （2）设(,)P x y ，则由PM PA =得．=，化简得：3120x y -+=，此即为点P 的轨迹方程，轨迹是直线． 要使得PM 最小，则只要PC 最小即可，所以CP l ⊥，设(,)P m n ，则3120231m n n m -+=⎧⎪-⎨=-⎪-⎩，解得3104110m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．即341,1010P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 点评：关键点点睛：本题考查直线与圆相切问题，考查切线长最短问题．直线与圆相切的一般解法是圆心到切线的距离等于圆的半径，只要设出切线方程，由此列式可求得参数值，切线长最短，根据切线长的求法，只要圆外的点到圆心距离最小，则切线长最短．再利用圆外点的轨迹河得求解方法．。
专题05空间中的平行关系与垂直关系(解析版)
专题05空间中的平行关系与垂直关系1．在正四棱锥S ABCD -中，SO ⊥面ABCD 于O ，2SO =,P Q 分别在线段,BD SC 上移动，则,P Q 两点的最短的距离为（）A B C ．2 D ．1【答案】B,P Q 在,BD SC 上移动，则当PQ 为,BD SC 公垂线段时，,P Q 两点的距离最小；四棱锥S ABCD -为正四棱锥，SO ⊥平面ABCD ，O ∴为正方形ABCD 的中心，BD AC ∴⊥，又SO BD ⊥，SOAC O =，BD ∴⊥平面SOC ，过O 作OM SC ⊥，垂足为M ，OM ⊂平面SOC ，OM BD ∴⊥，OM ∴为,BD SC 的公垂线，又5SO OC OM SC ⋅===，,P Q ∴. 故选：B.2．【广西河池市2020-2021学年高一上学期期末】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，E 为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的正弦值为（）．A ．5B C ．5D ．5【答案】D连AC ，BD 相交于点O ，连OE 、BE ，因为E 为AP 的中点，O 为AC 的中点，有PC //OE ，可得OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，不妨设正方形中，2AB =，则2PA =， 由PA ⊥平面ABCD ，可得,PA AB PA AD ⊥⊥，则BE DE ===1122OD BD ==⨯=因为BE DE =，O 为BD 的中点，所以90EOD ∠=︒，sin5OD OED DE ∠===． 故选：D.3．【广西桂林市2020-2021学年高一上学期期末】已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α.B ．若直线m 、n 与平面α所成角相等，则//m n .C ．若m α⊂，n ⊂α且//m β，βn//，则//αβ.D ．若m α⊥，βn//且//αβ，则m n ⊥. 【答案】DA. 由题得//n α或n ⊂α，所以该选项错误；B. 由题得//m n 或,m n 相交或,m n 异面，所以该选项错误；C. 由题得//αβ或,αβ相交，所以该选项错误；D. 由题得m β⊥，又βn//，所以m n ⊥，所以该选项正确.故选：D4．【河南省天一大联考2020-2021学年高一上学期期末】在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ，且12AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【答案】A∵90BAC ∠=︒，12AC BC =，∴30CBA ∠=︒， ∵1BC AC ，AB AC ⊥，1BC ABB ，1,BC AB ⊂平面1ABC ，∴AC ⊥平面1ABC ，∴CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，即BC 与平面1ABC 所成的角是30， ∵棱柱中11//B C BC ，∴11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为30， 故选：A ．5．【河南省平顶山市2020-2021学年高一上学期期末】将如图的平面图形折成正方体，则在这个正方体中，正确的是（）A ．//AB CD ，AB EF ⊥ B ．AB CD ⊥，AB EF ⊥C ．//AB CD ，AB 与EF 所成的角为60 D ．AB CD ⊥，AB 与EF 所成的角为60【答案】D作出翻折后的正方体如下图所示：在正方体ANBF MCED -中，四边形MCED 为正方形，则CD ME ⊥，AM ⊥平面MCED ，CD ⊂平面MCED ，CD AM ∴⊥，AM ME M =，CD 平面ABEM ，AB CD ∴⊥，在正方体ANBF MCED -中，//AF CE 且AF CE =，所以，四边形ACEF 为平行四边形，所以，//AC EF ，所以，异面直线AB 与EF 所成的角为BAC ∠， 易知ABC 为等边三角形，所以，60BAC ∠=， 因此，AB 与EF 所成的角为60. 故选：D.6．【陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高一上学期期末】已知α、β是平面，m 、n 是直线，下列命题中不正确的是（） A ．若//m α，n αβ=，则//m n B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥【答案】A对于A 选项，若//m α，则直线m 与平面α内的直线平行或异面， 由于n αβ=，则直线m 、n 平行或异面，A 选项错误；对于B 选项，若//m n ，m α⊥，则n α⊥，B 选项正确； 对于C 选项，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，C 选项正确；对于D 选项，若m α⊥，m β⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，D 选项正确. 故选：A.7．【河南省焦作市2020-2021学年高一上学期期末】如图所示，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N 为其所在棱的中点，则异面直线AB 与MN 所成角的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C作如图所示的辅助线，由于M ，N 为其所在棱的中点，所以//MN PQ ，又因为//AC PQ ，所以//AC MN ，所以CAB ∠即为异面直线AB 与MN 所成的角（或补角），易得AB AC BC ==，所以60CAB ∠=︒.故选：C ．8．【陕西省铜川一中2020-2021学年高一上学期期末】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点，将四边形CDEF 沿EF 翻折，使得平面CDEF ⊥平面ABEF ，则异面直线BD 与AE 所成角的正弦值为（）AB．10C．10D【答案】D如图，连接BF 交AE 于点O ，取DF 的中点G ，连接OG ，AG ，则OG BD ∥且12OG BD =，所以AOG ∠(或其补角)为异面直线BD 与AE 所成的角.由在矩形ABCD中，AB =2BC =，则1DF FA ==，2AE BF ==，所以112AO AE ==. 平面CDFE ⊥平面ABEF ，平面CDFE ⋂平面ABEF EF =，DFEF ，DF ⊂平面DCEF ，所以DF ⊥平面BAFE ，又BF ，AF ⊂平面BAFE ，所以DF BF ⊥，DF FA ⊥，所以BD =所以12OG BD ==1122GF DF ==，所以AG ==在AOG中，112cos AOAOG GO ∠===sin 5AOG ∠=．所以异面直线BD 与AE. 故选：D ．9．【贵州省思南中学2019-2020学年高一下学期期末】如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，若24CD AB ==，EF BA ⊥，则EF 与CD 所成的角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A解：如图所示：取CB 的中点G ，连接EG ，FG ，则//EG AB ，//FG CD ，EF ∴与CD 所成的角为EFG (或其补角)， EF AB ⊥，EF EG ∴⊥，又112EG AB ==，122FG CD ==， ∴在Rt EFG 中，1sin 2EFG ∠=， EF ∴与CD 所成的角为30．故选：A ．10．已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是1θ，直线DA 与BC 所成的角是2θ，则（） A ．1θθ≥ B ．1θθ≤C ．2θθ≥D ．2θθ≤【答案】A设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ， 过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，DE CE ===2DC =，∴1cos 3θ==，233AO CO CE ===，∴13cos 33AO AD θ===， 取BC 中点F ，连结DF 、AF ，则DF BC ⊥，AF BC ⊥，又DF AF F ⋂=，∴BC ⊥平面AFD ，∴BC AD ⊥，∴290θ=︒， ∴21θθθ≥≥，排除B ，C ，当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ， 故选：A .11．如图（1），Rt ABC，1,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，沿AD 将ACD△折起到AC D '，使得C '在平面ABD 上的射影H 落在AB 上，如图（2），则以下结论正确的是（）A ．AC BD '⊥B ．AD BC '⊥ C ．BD C D ⊥' D ．AB C D ⊥'【答案】C设AH a =，则BH a =，因为'C H ⊥面ABD ，AB 面ABD ，DH ⊂面ABD ，所以'C H ⊥AB ，'C H ⊥DH ，'C H ⊥DB ，又Rt ABC ，1,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，所以'1,6C D BD B DAB π==∠=∠=，所以在'Rt AC H 中，'C H ==Rt C HD ’中，()2'222'211DH C D C H a a =-=--=，所以DH a AH ==，所以6ADH DAB π∠=∠=，又23ADB π∠=，所以2HDB π∠=，所以BD ⊥DH ，又'C HDH H =，所以BD ⊥面'C DH ，又'C D ⊂面'C DH ，所以BD ⊥'C D ， 故选：C.12．在正方体1111ABCD A BC D -中，过点C 做直线l ，使得直线l 与直线1BA 和11B D 所成的角均为o 70，则这样的直线l （） A ．不存在 B ．2条C ．4条D ．无数条【答案】C因为11//B D BD ，过点C 做直线l 可以转化为过B 做直线l 与直线1BA 和BD 所成的角均为o 70，由于1BA 与BD 所成的角都等于o 60，所以当直线l 是1A BD ∠的角平分线时与1A B BD 、都成o 30，然后直线l 绕着点B 转动，在与平面1A BD 垂直的过程中有一条直线与两条直线都成o 70，同理在1A BD ∠的对顶角中也有一条直线l 与两条直线都成o70， 因为1A BD ∠的补角是o 120，角平分线与两条直线都成o 60，当直线l 绕着点B 从1A BD ∠一侧的补角角平分线开始转动，在与平面1A BD 垂直的过程中有一条直线与两条直线都成o 70，同理另一侧的补角也存在一条，所以共有4条. 故选：C.13．【山东省烟台市第二中学2019-2020学年高一下学期期末】我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu meng ）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体ABCDEF 是一个刍甍，其中BCF △是正三角形，22AB BC EF ==，则以下两个结论：①//AB EF ；②BF ED ⊥，（）A ．①和②都不成立B ．①成立，但②不成立C ．①不成立，但②成立D ．①和②都成立【答案】B解：∵//AB CD ，CD 在平面CDEF 内，AB 不在平面CDEF 内， ∴//AB 平面CDEF ， 又EF 在平面CDEF 内，由AB 在平面ABFE 内，且平面ABFE 平面CDEF EF =，∴//AB EF ，故①对；如图，取CD 中点G ，连接BG ，FG ，由AB ＝CD ＝2EF ，易知//DE GF ，且DE ＝GF ，不妨设EF ＝1，则BG ==假设BF ⊥ED ，则222FG B G F B +=，即212FG +=，即FG ＝1，但FG 的长度不定，故假设不一定成立，即②不一定成立. 故选：B.14．【湖北省荆门市2019-2020学年高一下学期期末】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是（）A ．MN 与1AC 垂直B ．MN 与平面11ACC A 垂直 C ．MN 与平面1C BD 平行 D ．MN 与平面1A BD 平行【答案】C对于选项A ，连接1BC ，11B D ，由三角形中位线知识即可证得11//MN BD ，由选项B 可得11B D ⊥平面11ACC A ，所以MN 与1AC 垂直 对于选项B ，由三角形中位线知识即可证得11//MN B D ， 正方体中，易得1111B D AC ⊥及1AA ⊥平面1111D C B A ， 所以111AA B D ⊥，又1111B D AC ⊥所以11B D ⊥平面11ACC A ，所以MN 与平面11ACC A 垂直对于选项C ，因为M ∈1BC ，1BC ⊂平面1C BD ，所以MN 与平面1C BD 至少有一个公共点M ，MN 与平面1C BD 不可能平行.对于选项D ，由B 选项的证明可得11//MN B D ，又11//BD B D ， 所以//MN BD ，又MN ⊄平面1A BD 所以MN 与平面1A BD 平行 故选：C15．如图，在长方形ABCD 中，AD CD <，现将ACD △沿AC 折至1ACD △，使得二面角1A CD B --为锐二面角，设直线1AD 与直线BC 所成角的大小为α，直线1BD 与平面ABC 所成角的大小为β，二面角1A CD B --的大小为γ，则,,αβγ的大小关系是（）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．γαβ>>D ．不能确定【答案】B解决本题，先来了解最小角定理：平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于直线与平面内其他直线的夹角． 证明如下：直线AB 与平面α斜交，斜足为B ，AO ⊥平面α，BC OC ⊥，由AO ⊥平面α，BC OC ⊥， 可证明BC ⊥平面AOC ， 则BC AC ⊥． 则cos BOABO AB ∠=， cos BCABC AB ∠=，cos BCOBC BO∠=，所以cos cos BO BC BCABO OBC AB BO AB∠⋅∠=⨯=， 即cos cos cos ABC ABO OBC ∠=∠⋅∠， 故cos cos ABC ABO ∠<∠，ABC ABO ∠>∠．过点1D 作1D O ⊥平面ABC ， 过点B 作BO '⊥平面1ACD ， 连接OB .过O '作1O H CD '⊥， 连接BH ，如图：则1D BO ∠为直线1BD 与平面ABC 所成角， 即1D BO β∠=， 由BO '⊥平面1ACD ， 则1BO CD '⊥， 又1O H CD '⊥， 且BO O H O '''⋂= 所以1D C ⊥平面BO H '， 则1CD BH ⊥所以BHO '∠为二面角1A CD B --的平面角， 即BHO γ'∠=， 又11D ABC B AD C V V --=， 即111133ABC AD C S OD S O B '⨯⨯=⨯⨯△△， 且112AD C ABCDS ABC S S ==矩形△△， 所以1BO D O '=. 由sin ,BO BHO BH''∠=111sin D OD BO BD ∠=， 由1BH BD <，所以sin BHO '∠>1sin D BO ∠，即BHO '∠>1D BO ∠， 也即γβ>. 又在平面1AD C 内，111,AD DC O H DC '⊥⊥， 所以1//AD O H '.所以α等于直线O H '与BC 所成的角，BHO '∠也为直线O H '与平面1BCD 所成的角.根据上面已证的最小角定理有BHO α'∠<. 所以αγβ>>， 故选：B.16．【河南省洛阳市2020-2021学年高一上学期期末】四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，各条棱长均为2.则异面直线VC 与AB 所成角的大小为______. 【答案】60°如图示，因为ABCD 是正方形，所以AB ∥CD , 所以异面直线VC 与AB 所成角即为∠VCD. 又各条棱长均为2，所以△ VCD 为等边三角形，所以∠VCD =60°，异面直线VC 与AB 所成角的大小为60°. 故答案为：60°17．【河南省濮阳市2020-2021学年高一上学期期末】空间三条直线a ，b ，c 两两异面，则与三条直线都相交的直线有___________条. 【答案】无数在a 、b 、c 上取三条线段AB 、CC '、A D ''， 作一个平行六面体ABCD A B C D -''''，如图所示在c 上，即在直线A D ''上取一点P ，过a 、P 作一个平面β 平面β与'DD 交于Q 、与CC '交于R ，则 由面面平行的性质定理，得//QR a ，于是PR 不与a 平行，但PR 与a 共面．故PR 与a 相交，得直线PR 是与a ，b ，c 都相交的一条直线．根据点P 的任意性，得与a ，b ，c 都相交的直线有无穷多条． 故答案为：无数18．【河南省豫南九校2020-2021学年高一上学期期末】如图，圆柱的体积为16π，正方形ABCD 为该圆柱的轴截面，F 为AB 的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AC ，EF所成的角的余弦值为______．设圆柱底面半径为r ，则母线长为2r ，由2216r r ππ⋅=得2r．设底面圆心为O ，连接OE ，OF ．则//OE AC ，所以OEF ∠为异面直线AC ，EF 所成的角．在Rt OEF △中，2OF =，OE =EF =所以cos OE OEF EF ∠==故答案为：3．19．如图，在多面体ABC DEF -中，已知棱,,AE BD CF 两两平行，AE ⊥底面DEF ，DE DF ⊥，四边形ACFE 为矩形，23AE DE DF BD ====，底面△DEF 内(包括边界)的动点P 满足,AP BP 与底面DEF 所成的角相等.记直线CP 与底面DEF 的所成角为θ，则tan θ的取值范围是___________.【答案】⎣⎦连结,PD PE ，由题意易知,APE APB ∠∠即分别为,AP BP 与底面DEF 的所成角， 故tan tan APE APB ∠=∠，即AE BDPE PD=，可得2PE PD =， 以,DF DE 作为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，设(,)P x y ，而(3,0),(0,3)F E ，可得22(1)4x y ++=， 即点P 在以圆心(0,1)M -，半径为2r的圆弧上运动(点P 在△DEF 内且包括边界).设圆M 与坐标轴正半轴交于点(0,1)N ，Q ，连结PF ，显然QF PF NF ≤≤，又3QF =NF =而3tan PF θ=tan θ≤≤.故答案为：⎣⎦.20．【辽宁省沈阳市第二中学2019-2020学年度下学期高一年级数学期末】已知：平面l αβ=，∈A l ，B l ∈，4AB =，C β∈，CA l ⊥，3AC =，D α∈，DB l ⊥， 3.DB =直线AC 与BD 的夹角是60︒，则线段CD 的长为_________．【答案】5如图，作//AE BD 且AE BD =，连接,ED EC ，则CAE ∠（或其补角）为异面直线,AC BD 所成的角，所以60CAE ∠=︒或120CAE ∠=︒，因为//AE BD 且AE BD =，所以ABDE 是平行四边形，所以//DE AB ，4DE AB ==， 因为,AB AC AB BD ⊥⊥，所以,ED AC ED AE ⊥⊥，AC AE A ⋂=，所以BD ⊥平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以ED CE ⊥，3AC AE ==，若60CAE ∠=︒，则3CE =，5CD ==，若120CAE ∠=︒，则23sin60CE =⨯︒=CD ．故答案为：521．【云南省昆明市2019-2020学年高一下学期期末】如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，G 分别是棱11A D ，1AA ，AB 的中点.下列四个结论：①1//CD FG ；②//AC 平面EFG ；③平面BAC ⊥平面EFG ；④1B D EG ⊥.其中正确结论的编号是___________.【答案】①②④对于①，在正方体1111ABCD A BC D -中，11//CD BA ，1//BA FG ，所以1//CD FG ，故①正确；对于②，延长EF 交DA 的延长线于H ，连HG ，则1AH A E AG ==，所以//HG AC ，又HG ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ，所以//AC 平面EFG ，故②正确；对于③，平面BAC 与平面EFG 不垂直；故③不正确；对于④，在正方体中，因为11B D CD ⊥，1//CD FG ，所以1B D FG ⊥， 因为1B DAC ，//AC HG ，所以1B D HG ⊥，因为FG HG G ⋂=，所以1B D ⊥平面FHG ，又EG ⊂平面FHG ，所以1B D EG ⊥，故④正确. 故答案为：①②④22．如图在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，11AD AA ==，则点1B 到平面1D BC 的距离为______.解：设点1B 到平面1D BC 的距离为d ， 1111B BCD D BCB V V --=，∴11111133BCD BCB Sd SA B =．∴111111123232d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯．d ∴=．． 23．【黑龙江省鸡西市第一中学2019-2020学年度高一下学期期末】如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且EF =现有如下四个结论：①AC BE ⊥； ②平面EFC//平面1A BD③异面直线,AE BF 所成的角为定值； ④三棱锥A BEF -的体积为定值， 其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④①设AC 与BD 相交与G .根据正方体的性质可知1,AC BD AC BB ⊥⊥，而1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥平面11BDD B ，所以AC BE ⊥.故①正确.②根据正方体的性质可知11//A B D C ，1A B ⊂/平面11B CD ，1D C ⊂面11B CD ，所以1//A B 平面11B CD .同理可证//BD 平面11B CD ，而1A B BD B ⋂=，所以平面1//A BD 平面11B CD ，也即平面//EFC 平面1A BD .故②正确.③由于正方体的边长为1，所以112BD B D BG ===，而EF =性质可知//EF BG ，所以四边形BGEF 是平行四边形，所以//BF GE ，所以AEG ∠是异面直线,AE BF 所成的角，所以tan AGAEG GE∠=，其中AG 为定值，GE 长度不固定，所以AEG ∠不是定值，所以③错误. ④由①可知AC ⊥平面11BDD B ，所以111113322212A BEFBEF V S AG -⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭为定值，所以④正确.故答案为：①②④24．已知正ABC 的顶点A 在平面α上，顶点B 、C 在平面α的同一侧，D 为BC 的中点，若ABC 在平面α上的投影是以A 为直角顶点的三角形，则直线AD 与平面α所成角的正弦值的最小值为______.如图，结合题意绘出图像，AEF 即ABC 在平面α上的投影，作DG ⊥平面α于点G ，连接AG ，设BE a =，CF b =，2AB AC BC ===，则AD =， 因为AEF 即ABC 在平面α上的投影，D 为BC 的中点，所以点G 在线段EF 上且点G 是线段EF 的中点，22BE FCa bDG ， 因为AEF 是以A 为直角顶点的三角形，所以12GAEF ， 因为DG ⊥平面α于点G ，所以DG AG ⊥，DAG ∠即直线AD 与平面α所成角， 因为22224AE AB BE a ，22224AF AC CF b ，222EF AE AF =+，所以222228EF AE AF a b ，因为22222322EF a b AG AD DG ，即2212EFa b ，联立()22222128EF a b EF a b ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩，解得2ab =， 则323262sin 26633a b DGDAGa aADaa ，当且仅当a b ==AD 与平面α， 25．【辽宁省大连市2019-2020学年高一（下）期末】在正方体1111ABCD A BC D -中，P ，Q 分别为棱1AD ，1BC 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列命题中，所有正确命题的序号为______.①当点P 异于点A 时，直线1PB 与直线AQ 一定异面；②BPQ 的面积为定值；③P ，Q 运动过程中，均有BC PQ ⊥；④P ，Q 运动过程中，线段PQ 在面11BB C C 内射影所形成的区域面积是四边形11BB C C 面积的一半. 【答案】①③④ 对①，如图所示：当0PA >时，假设直线1PB 与直线AQ 是共面直线，则AP 与1B Q 共面， 与题意矛盾，所以直线1PB 与直线AQ 一定异面，故①正确； 对②，当点P 在A 处时，点Q 与1B 重合，如图所示：设正方体边长为1，111122BPQ S =⨯⨯=△. 当点P 在1AD 中点时，此时点Q 在1BC 的中点，如图所示：设正方体边长为1，11224BPQ S =⨯⨯=△， 故BPQ 的面积不是定值，故②错误；对③，过P 做PH AD ⊥，过Q 做QK BC ⊥，连接HK ，如图所示：因为1//PH DD ，1//QK BB ，1AP B Q =，11AD B C =，AD BC =， 所以11AP AH BQ BKAD AD B C BC===，即AH BK =. 所以四边形ABKH 为矩形，即BC HK ⊥. 又因为BC QK ⊥，QKHK K =，所以BC ⊥平面PHKQ .PQ ⊂平面PHKQ ，所以BC PQ ⊥，故③正确.对④，P 点在平面11BCC B 内的射影点的轨迹为线段1BC ， 设11BC B C O =，如图所示：线段PQ 在平面11BB C C 内射影所形成的区域为1B OB △和1C OC △，111112B OBC OCBB C C SSS +=四边形，故④正确. 故答案为：①③④26．在长方体1111A BCD A BC D -中，E ，F ，G 分别为所在棱的中点，H ，Q 分别为AC ，1AD ，的中点，连EF ，EG ，FG ，DQ ，CQ ，1D H ．（I ）求证：平面//EFG 平面ACQ（II ）问在线段CD 上是否存在一点P ，使得//DQ 平面1D PH ？若存在，求出P 点的位置若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析（2）当13DP DC =时，满足条件，证明见解析. 连接111,AC BC ,由E ，F ，G 分别为所在棱的中点 所以11//AC GF ,1//EF BC由11//AD BC ,所以1//AD EF ,又1AD ⊂平面ACQ , EF ⊄平面ACQ 所以//EF 平面ACQ又11//AC AC ,所以//GF AC ,又AC ⊂平面ACQ , GF ⊄平面ACQ 所以//GF 平面ACQ ,又GF EF F ⋂= 所以平面//EFG 平面ACQ（2）线段CD 上存在一点P ，当13DP DC =时，满足//DQ 平面1D PH . 证明如下：连接PH 并延长交AB 于点M ,连接1D M ，则平面1D PH 与平面1D PM 为同一平面.由H 为AC 的中点，则AMH 与CPH △全等.则2233AM AB CD == 取线段1D M 的中点N ，连接QN .由,Q N 分别为11,AD D M 的中点，所以111233QN AM AB DC ===且//QN AM又//DP AM 且13DP DC =, 即//QN DP 且QN DP = 所以四边形QDPN 为平行四边形，故//QD NP又QD ⊄平面1D PH ，NP ⊂平面1D PH ，所以//DQ 平面1D PH .27．【陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高一上学期期末】如图，ABC 中，22AC BC AB ==，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点．（1）求证：//GF 平面ABC ； （2）求证：AC ⊥平面EBC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. （1）证明：连接AE ．四边形ABED 为正方形，F 为BD 的中点，F ∴为AE 的中点， 又G 为CE 的中点，所以，//FG AC ，FG ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//FG ∴平面ABC ；（2）证明：四边形ABED 为正方形，BE AB ∴⊥，因为平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，BE ⊂平面ABED ，BE ∴⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC BE ∴⊥，AC BC AB ==，由勾股定理可得222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥， BCBE B =，AC ∴⊥平面BEC .28．【河南省驻马店市2020-2021学年高一上学期期末】如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，2PA PD AD ===，点M ，N 分别是线段PC ，AD 的中点．（1）求证：AD ⊥平面PNB ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥A NBM -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）14. （1）∵PA AD =，N 为AD 中点∴PNAD∵底面ABCD 为菱形，∴60BAD ∠=︒，∴三角形ABD 为等边三角形， ∴BN AD ⊥， ∵PNBN N ，∴AD ⊥面PNB（2）∵面PAD ⊥面ABCD ，面PAD 面ABCD AD =，PNAD∴PN面ABCD又∵2PA PD AD ===，3PN NB，1AN =，∴AD NB ⊥∴11122ABNSAN BN =⋅=⨯=∵M 为PC 中点，∴点M 到面ABN 的距离等于P 到面ABN 距离的12又∴1132A NBM M ANB ABNV V PN S --==⨯⋅∴111324A NBM V -=⨯= 29．【河南省洛阳市2020-2021学年高一上学期期末】在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，O 是底面ABCD 的中心.（1）求证:1BO//平面11DA C ; （2）求点O 到平面11DA C 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2（1）证明：连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO .11//O B DO 且11O B DO =， 11B O DO ∴是平行四边形.11//BO DO ∴.又1DO ⊂平面11DA C ，1B O ⊂/平面11DA C ，1//B O ∴平面11DA C .（2）1111AC B D ⊥，111AC BB ⊥，且1111BB B D B ⋂=，11AC ∴⊥平面11B D DB .∴平面11DAC ⊥平面11B D DB ，且交线为1DO .在平面11B D DB 内，过点O 作1OH DO ⊥于H ，则OH ⊥平面11DA C ， 即OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离.在矩形11B D DB 中，连接1OO ，1OOD OHD ∽△△，则11O D ODO O OH=，OH ∴==即点O 到平面11DA C30．【宁夏银川一中2020-2021学年高一上学期期末】如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，底面ABC 是直角三角形，4PA AB BC ===，O 是棱AC 的中点，G 是AOB∆的重心，D 是P A 的中点.（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求证：DG//平面PBC ；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）证明：PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥， 底面ABC 是直角三角形且AB BC =，AB BC ∴⊥，又PA ⊂平面P AB ，AB 平面P AB ，PA AB A =，∴BC ⊥平面PAB .(2)证明：连结OG 并延长交AB 于点E ，连结DO ，DE ,G 是AOB ∆的重心，∴OE 为AB 边上的中线，∴E 为AB 边上的中点，又有D 为PA 边上的中点，∴//DE PB ，PB ⊂平面PBC ，//DE ∴平面PBC ，同理可得//DO 平面PBC ，又DE ⊂平面DOE ，DO ⊂平面DOE ，DE DO D ⋂=， ∴平面DOE //平面PBC ，又有DG ⊂平面DOE ，DG //∴平面PBC。
2020-2021学年河南省天一大联考高二(上)期末数学试卷(文科)(附答案详解)
2020-2021学年河南省天一大联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若x=2，则x2=4”的逆否命题是()A. 若x≠2，则x2≠4B. 若x=2，则x2≠4C. 若x2≠4，则x≠2D. 若x2≠4，则x=22.不等式x−8x2+2<−1的解集为()A. (−3,2)B. (−3,−2)C. (−3,4)D. (−2,4)3.已知直线x+2y=4过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点及虚轴的一个端点，则此双曲线的标准方程是()A. x216−y212=1 B. x216−y24=1 C. x212−y24=1 D. x225−y28=14.已知{a n}为等差数列，公差d=2，a2+a4+a6=18，则a5+a7=()A. 8B. 12C. 16D. 205.已知直线l和两个不同的平面α，β，若α⊥β，则“l//α”是“l⊥β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，c=4，a=2√7，则sinAsinB=()A. 23B. √73C. √7D. 37.已知点P为函数y=x2lnx+4x3的图象上的一点，且点P的横坐标为1，则该函数图象在点P处的切线方程为()A. 8x−y−4=0B. 13x−y−9=0C. 8x−y−3=0D. 13x−y−8=08.当x>1时，f(x)=xx2+4的最大值为()A. 14B. 12C. 1D. 29.函数f(x)=x3−12x在区间[−3,1]上的最小值是()A. −10B. −11C. −15D. −1810. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的准线与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线所围成的三角形面积为2√2，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B. 4C. 6D. 911. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，a 1=1，a 3=a 2+2.若数列{b n }的前n 项和为T n ，a n+1=b n S n+1S n ，则T 9=( )A. 510511B. 10231024C. 10221023D. 1102312. 已知函数f(x)=xe x −e x −a 有且仅有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. [−4e 3,0)B. (−1,0]C. [−4e 3,−2e 3]D. (−1,0)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若命题p ：“∃x 0∈R ，x 02+6a ≤8x 0”为假命题，则实数a 的取值范围是______ ． 14. 已知x ，y 满足约束条件{x −y −1≤0x −2y +2≥0x ≥0，则z =x −3y 的最大值是______ ．15. 函数y =13x 3−2x 2−96x +8的极小值是______ ． 16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，其渐近线方程为y =±2x ，焦距为2√10.点P 在双曲线C 上，且在第一象限内，若△PF 1F 2的面积为4√10，则点P 的坐标为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|41−x >1}，B ={x|x 2+(1−2a)x +a 2−a <0}．(Ⅰ)求集合A ，B ；(Ⅱ)若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围．sinB)= 18.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且满足a(sinA−12 (sinC+sinB)(c−b)，c=4．(Ⅰ)求△ABC的外接圆的半径；(Ⅱ)求△ABC的面积的最大值．19.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n−1，数列{b n}满足b n=log2a n+log2a n+1．(Ⅰ)求{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{c n}满足c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．20.已知函数f(x)=e x−a−lnx(a∈R)．(Ⅰ)若f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与x轴负半轴有公共点，求a的取值范围；(Ⅱ)当a=1时，求f(x)的最值．21.已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是短轴长的2倍，椭圆上的动点P到左焦点距离的最大值为2+√3．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点(1,0)的直线l与椭圆C有两个交点A，B，△OAB(O为坐标原点)的面积为4，求直线l的方程．522.已知函数f(x)=a2lnx+a，且f(e)≥2，f(e2)≤3．(Ⅰ)求a的值；).(Ⅱ)若0<k≤2，求证：当x>1时，f(x)>k(1−3x答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，所以命题“若x=2，则x2=4”的逆否命题是：“若x2≠4，则x≠2”．故选：C．根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出即可．本题考查了命题与它的逆否命题应用问题，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由x−8x2+2<−1化简可得：x2+x−6x2+2<0，即解x2+x−6<0，解得：−3<x<2，故解集为：(−3,2)．故选：A．利用分式不等式定义求解不等式即可．命题意图本题主要考查一元二次不等式的求解．属于基础题．3.【答案】C【解析】解：设双曲线的半焦距为c，∵直线x+2y=4过点(4,0)和(0,2)，∴c=4，b=2，∴a=√42−22=2√3，双曲线C的标准方程是x212−y24=1．故选：C．利用已知条件求出b，c，推出a，然后求解双曲线方程即可．本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求解，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意知，2a4=a2+a6，a5+a7=2a4+4d，∵a2+a4+a6=18，∴3a4=18，∴a4=6．∴a5+a7=2a4+4d=2×6+4×2=20．故选：D．根据等差数列的性质得到2a4=a2+a6，a5+a7=2a4+4d，代入求值即可．本题考查等差数列的性质的应用，准确计算是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：已知直线l和两个不同的平面α，β，α⊥β，若l//α，则l与β平行，相交或在平面β内都有可能；若l⊥β，则l⊂α或l//α，故“l//α”推不出“l⊥β”，“l⊥β”推不出“l//α”，故“l//α”是“l⊥β”的既不充分也不必要条件．故选：D．根据线面垂直，线面平行的性质及判定，从而得到结论．本题本课程了充分必要条件，考查了线面垂直，线面平行的性质及判定，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccosA，即28=b2+16−4b，也即b2−4b−12=0，解得b=6或b=−2(舍去)，所以sinAsinB =ab=2√76=√73，故选：B．由题意利用余弦线定理求得b的值，再利用正弦定理求得sinAsinB的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由y =x 2lnx +4x 3，得y′=2x ⋅lnx +x +12x 2， ∴y′|x=1=13， 又x =1时，y =4，∴该函数图象在点P 处的切线方程为y −4=13(x −1)，即13x −y −9=0． 故选：B ．求出原函数的导函数，得到函数在x =1处的导数，再求出x =1时的y 值，利用直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是中档题．8.【答案】A【解析】解：因为x >1， 故f(x)=x x 2+4=1x+4x≤2√x⋅4x=14， 当且仅当x =4x ，即x =2时取等号， 故f(x)=x x 2+4的最大值为14． 故选：A ．将函数f(x)变形为f(x)=1x+4x，然后利用基本不等式进行求解，即可得到最值．本题考查了函数最值的求解，涉及了利用基本不等式求解最值的应用，在应用基本不等式求解最值的时候要注意三个条件是否成立：一正、二定、三相等，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：f′(x)=−12+3x 2=3(x +2)(x −2)，当−3≤x <−2时，f′(x)>0，f(x)递增；当−2<x ≤1时，f′(x)<0，f(x)递减， 所以当x =−2时f(x)取得极大值，即最大值，为f(−2)=22， 又f(−3)=15，f(1)=−5， 所以f(x)的最小值为f(1)=−11． 故选：B ．求导数f′(x)，利用导数判断f(x)的单调性，由单调性求极值，再与端点处函数值作比较，可得函数最值．本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，属中档题．10.【答案】A【解析】解：由题意，5+p2=6，即p=2，则抛物线y2=2px(p>0)的直线方程为x=−1，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±bax，取x=−1，可得A(−1,−ba )，B(−1,ba)，如图，则S△OAB=12×2ba×1=ba=2√2，则e=ca =√1+(ba)2=√1+8=3．故选：A．由已知求得抛物线的准线方程，可得抛物线的准线与双曲线的渐近线围成三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式，整理后即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线与抛物线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】C【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，(q>0)若a1=1，a3=a2+2.则q2=q+2，解可得q=2或−1，又由q>0，则q=2，则S n=a1(1−q n)1−q=2n−1，又由a n+1=b n S n+1S n，则b n=a n+1S n+1S n =S n+1−S nS n+1⋅S n=1S n−1S n+1，则T9=(1S1−1S2)+(1S2−1S3)+⋯…+(1S9−1S10)=1S1−1S10，又由S n=2n−1，则T9=121−1−1210−1=10221023，故选：C．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，(q>0)由等比数列的通项公式求出q的值，即可得S n=2n−1，又由a n+1=b n S n+1S n，变形可得b n=a n+1S n+1S n =S n+1−S nS n+1⋅S n=1S n−1S n+1，将S n=2n−1代入计算可得答案．本题考查数列的求和，涉及等比数列的性质和前n项和公式的应用，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：函数f(x)=xe x−e x−a有且仅有两个不同的零点，则a=(x−1)e x有且仅有两个不同的零点，则y=a和g=(x−1)e x的图象有且只有2个不同的交点，g′(x)=xe x，令g′(x)>0，解得：x>0，令g′(x)<0，解得：x<0，故g(x)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增，故g(x)min=g(0)=−1，而x→−∞时，g(x)→0，x→+∞时，g(x)→+∞，如图示：结合图象，−1<a<0，故选：D．问题转化为y=a和g=(x−1)e x的图象有且只有2个不同的交点，根据函数的单调性求出g(x)的范围，结合函数的图象求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，是中档题．13.【答案】(83,+∞)【解析】解：根据命题与它的否定命题一真一假，因为命题p：“∃x0∈R，x02+6a≤8x0”为假命题，所以它的否定命题是￢p：“∀x∈R，x2+6a>8x”为真命题；即“∀x∈R，x2−8x+6a>0”为真命题，所以△=64−24a<0，解得a>83；则实数a的取值范围是(83,+∞)．故答案为：(83,+∞)．根据命题与它的否命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求实数a的取值范围．本题考查了根据命题的真假求参数的范围，也考查了转化能力，是基础题．14.【答案】3【解析】解：由约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，由x−y−1=0，取x=0，解得A(0,−1)，化目标函数z=x−3y为y=x3−z3，由图可知，当直线y=x3−z3过点A(0,−1)时，直线在y轴上的截距最小，z取得最大值，代入得0−3×(−1)=3，故z=x−3y的最大值为3．故答案为：3．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．15.【答案】−856【解析】解：∵y=13x3−2x2−96x+8，∴y′=x2−4x−96，令y′>0，解得：x>12或x<−8，令y′<0，解得：−8<x<12，故函数在(−∞,−8)递增，在(−8,12)递减，在(12,+∞)递增，故函数y=13x3−2x2−96x+8的极小值是y|x=12=−856，故答案为：−856．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是基础题．16.【答案】(√6,4)【解析】解：如图，由已知可得，c=√10，ba=2，又a2+b2=c2，∴a=√2，b=2√2，则双曲线方程为x22−y28=1．由已知可得，|F1F2|=2√10，设P(m,n)(m>0,n>0)，则12×2√10×n=4√10，得n=4，∴m22−168=1，解得m=√6(m>0)．∴P的坐标为(√6,4)．故答案为：(√6,4)．由已知求得双曲线方程，再由已知三角形的面积求得P点纵坐标，进一步求得P的横坐标得答案．本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)A={x|x+3x−1<0}={x|−3<x<1}，B={x|(x−a)(x−a+1)< 0}={x|a−1<x<a}；(Ⅱ)∵A∩B=B，∴B⊆A，∴{a−1≥−3a≤1，解得−2≤a≤1，∴实数a的取值范围是[−2,1]．【解析】(Ⅰ)根据分式不等式和一元二次不等式的解法即可求出A={x|−3<x<1}，B={x|a−1<x<a}；(Ⅱ)根据A∩B=B可得出B⊆A，然后即可得出{a−1≥−3a≤1，然后解出a的范围即可．本题考查了描述法的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，交集及其运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意及正弦定理得到a(a−12b)=(c+b)(c−b)，即a2+b2−c2=ab2，由余弦定理可得cosC=14，所以sinC=√154．设△ABC的外接圆的半径为R．因为csinC =2R，即√154=2R，解得R=8√1515．(Ⅱ)因为c2=a2+b2−2abcosC，且c=4，所以16=a2+b2−ab2≥2ab−ab2=3ab2，即ab≤323，所以S△ABC=12absinC≤12×323×√154=4√153，当且仅当a=b时取等号．故△ABC的面积的最大值为4√153．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理将已知的等式角化边，然后利用余弦定理得到cosC=14，再利用同角三角函数关系得到sinC=√154，由正弦定理即可求得答案；(Ⅱ)利用余弦定理和基本不等式求得ab的最大值，然后再利用三角形的面积公式求解即可．本题考查了解三角形问题，涉及了正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是将已知的等式角化边，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意，当n=1时，a1=S1=2a1−1，解得a1=1，当n≥2时，由S n=2a n−1，可得S n−1=2a n−1−1，两式相减，可得a n=2a n−2a n−1，化简整理，得a n=2a n−1，∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n=1⋅2n−1=2n−1，n∈N∗，∴b n=log2a n+log2a n+1=log22n−1+log22n=n−1+n=2n−1，n∈N∗，(Ⅱ)由(Ⅰ)，可得c n=a n b n=(2n−1)⋅2n−1，∴T n=c1+c2+c3+⋯+c n=1×1+3×21+5×22+⋯+(2n−1)×2n−1，2T n=1×21+3×22+⋯+(2n−3)×2n−1+(2n−1)×2n，两式相减，可得−T n=1+2×21+2×22+⋯+2×2n−1−(2n−1)×2n=1+2×(21+22+⋯+2n−1)−(2n−1)×2n=1+2×2−2n1−2−(2n−1)×2n=−(2n−3)×2n−3，∴T n=(2n−3)×2n+3．【解析】(Ⅰ)先根据公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2代入进行计算即可发现数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可得数列{a n }的通项公式，然后代入b n =log 2a n +log 2a n+1，根据对数的运算性质即可计算出数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)先根据第(Ⅰ)题计算出数列{c n }的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出前n 项和T n ．本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n 项和．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，定义法，对数的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=e x−a −lnx ，则f′(x)=e x−a −1x ，故f(1)=e 1−a ，f′(1)=e 1−a −1，故切线方程是：y −e 1−a =(e 1−a −1)(x −1)，即y =(e 1−a −1)x +1， 切线过定点(0,1)，若f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与x 轴负半轴有公共点， 则e 1−a −1>0，解得：a <1；(Ⅱ)a =1时，f(x)=e x−1−lnx ，函数的定义域是(0,+∞)， f′(x)=e x−1−1x ，f″(x)=e x−1+1x 2>0，故f′(x)在(0,+∞)递增， 而f′(1)=0，故x ∈(0,1)时，f′(x)<0，x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0， 故f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增， 故f(x)min =f(1)=1．【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)，求出切线方程，根据切线的斜率，得到关于a 的不等式，解出即可；(Ⅱ)代入a 的值，求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题．21.【答案】解：(I)设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，半焦距为c ， 由已知得{2a =2⋅(2b)a +c =2+√3a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =1c =√3，∴椭圆的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)由题可知直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， { x 24+y 2=1x =my +1⇒(m 2+4)y 2+2my −3=0，∴y 1+y 2=−2m m 2+4，y 1y 2=−3m 2+4，△OAB 的面积S =12×|y 1−y 2|=45，∴|y 1−y 2|=85，∴|y 1−y 2|2=(y 1+y 2)2−4y 1y 2=(−2m m 2+4)2−4(−3m 2+4)=6425，整理可得4m 4+7m 2−11=0，解得m =±1，所以直线l 的方程为x −y −1=0或x +y −1=0．故答案为：(Ⅰ)椭圆的方程为x 24+y 2=1.(Ⅱ)直线l 的方程为x −y −1=0或x +y −1=0．【解析】(Ⅰ)由题意可得a =2b ，a +c =2+√3，a 2−b 2=c 2，解方程组即可； (Ⅱ)根据直线与椭圆的位置关系，建立联立方程组，列出未知参数方程，解方程即可． 本题主要考查用待定参数法求椭圆方程及直线方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)∵f(e)≥2，f(e 2)≤3，∴{a 2+a ≥22a 2+a ≤3，解得{a ≤−2或a ≥1−32≤a ≤1，故a =1； (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得f(x)=lnx +1，要证当x >1时，f(x)>k(1−3x )，即证x >1时，lnx +1>k ⋅x−3x，①当x =3时，ln3+1>0恒成立， ②当1<x <3时，x−3x<0，问题转化为k >x(lnx+1)x−3在(1,3)恒成立，∵x ∈(1,3)，∴x −3<0，x(lnx +1)>0，故k >0>x(lnx+1)x−3成立，③当x >3时，x−3x>0，问题转化为k <x(lnx+1)x−3在(3,+∞)恒成立， 令g(x)=xln(x+1)x−3(x >3)，则g′(x)=(1−x)(lnx+1)+1(x−3)2，当x >3时，1−x <−2，lnx +1>1，故(1−x)(lnx +1)+1<0，故g′(x)<0恒成立，故g(x)在(3,+∞)上单调递减，当x →+∞时，显然lnx +1>2， 故x(lnx +1)>2x >2(x −3)，故g(x)>2(x−3)x−3=2，结论成立，综上，当x >1时，f(x)>k(1−3x ).【解析】(Ⅰ)根据题意得到关于a 的不等式组，解出a 即可； (Ⅱ)通过讨论x 的范围，将问题转化为k >x(lnx+1)x−3在(1,3)恒成立或k <x(lnx+1)x−3在(3,+∞)恒成立，再根据函数的性质证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．。
2019-2020学年河南省天一大联考高一(下)期末数学试卷及答案
2019-2020学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题求的.1．（5分）若sin2α＜0，则α的终边在（）A．第二象限B．第四象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限2．（5分）向量＝（2，x），＝（x，8），若∥，且它们的方向相反，则实数x的值为（）A．﹣4B．4C．±4D．23．（5分）某中学初中部共有240名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该中学男教师的人数为（）A．93B．123C．162D．2284．（5分）一个魔方的六个面分别是红、橙、蓝、绿、白、黄六种颜色，且红色面和橙色面相对、蓝色面和绿色面相对，白色面和黄色面相对，将这个魔方随意扔到桌面上，则事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”（）A．是对立事件B．不是互斥事件C．是相等事件D．是互斥但不是对立事件5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n＝13，则输出的i，k的值分别为（）A．3，5B．4，7C．5，9D．6，116．（5分）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来一批米，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，若这批米内夹谷有160石，则这一批米约有（）A．600石B．800石C．1600石D．3200石7．（5分）已知f（α）＝，则f（﹣π）＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）某学校共有学生4000名，为了了解学生的自习情况，随机调查了部分学生的每周自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，估计该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．2800B．1200C．140D．609．（5分）如果函数y＝sin（2x+φ）的图象关于直线x＝π对称，那么|φ|取最小值时φ的值为（）A．B．C．﹣D．±10．（5分）把不超过实数x的最大整数记为[x]，则函数f（x）＝[x]称作取整函数，又叫高斯函数．在区间[2，4]上任取实数x，则[x]＝[]的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）函数f（x）＝sin x﹣cos x在[t，2t]（t＞0）上是增函数，则t的最大值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且其图象关于直线x＝1对称，若当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则F（x）＝f（x）﹣﹣（x∈（﹣7，8））的零点的个数为（）A．4B．5C．6D．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）某工厂甲、乙、丙三种不同型号的产品的产量分别为400，300，300（单位：件）．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取50件进行检验，则应抽取的甲种型号的产品件数为．14．（5分）一次体操比赛中，7位裁判为某运动员打出的分数如茎叶图所示（其中茎表示十位数，叶表示个位数），去掉一个最高分和一个最低分后，剩余数据的平均数为．15．（5分）已知方程sin（ωx+）＝（ω＞0）在[0，]上有两个不同的根，则实数m 的取值范围为．16．（5分）如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是．（填写所有正确说法的序号）①存在点P，使得；②存在点P，使得；③存在点P，使得；④存在点P，使得．三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）的图象向右平移2个单位长度得到函数y＝log2（x﹣2）的图象．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数g（x）＝[f（x）]2﹣f（x2）+7，求g（x）在[，4]上的最大值和最小值的和．18．（12分）在▱ABCD中，，，向量与的夹角为．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求和夹角的余弦值．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥AB，P A⊥BC，且AB＝BC，D为线段AC的中点，E在线段PC上．（Ⅰ）若P A∥平面BDE，确定E点的位置并证明；（Ⅱ）证明：平面BDE⊥平面P AC．20．（12分）新冠肺炎疫情期间，某定点医院从2020年2月11日开始收治新冠肺炎患者，前5天每天新收治的患者人数统计如表：2月x日1112131415新收治患者人数y2526292831（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）若该医院共有300张病床，不考虑出院的情况，按照这个趋势，该医院到哪一天病床会住满？附：回归直线方程为，其中，．21．（12分）已知函数f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）若α∈（0，π），f（）＝，求sin（α+）的值．22．（12分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，具体见表．质量指标Y[9.4，9.8）[9.8，10.2]（10.2，10.6]频数82416201一年内所需维护次数（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y都在[9.8，10.2]内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？2019-2020学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题求的.1．（5分）若sin2α＜0，则α的终边在（）A．第二象限B．第四象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限【分析】由题意利用二倍角的正弦公式，三角函数在各个象限中的符号，得出结论．【解答】解：若sin2α＝2sinαcosα＜0，则sinα与cosα异号，故α的终边在第二或第四象限，故选：D．【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式，三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．2．（5分）向量＝（2，x），＝（x，8），若∥，且它们的方向相反，则实数x的值为（）A．﹣4B．4C．±4D．2【分析】根据即可求出x＝±4，然后根据方向相反即可求出x的值．【解答】解：∵，∴16﹣x2＝0，解得x＝±4，又方向相反，∴x＝﹣4．故选：A．【点评】本题考查了平行向量的坐标关系，向量数乘的几何意义，方向相反向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．3．（5分）某中学初中部共有240名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该中学男教师的人数为（）A．93B．123C．162D．228【分析】根据题意，由图中的数据求出初中部、高中部男教师的人数，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，某中学初中部共有240名教师，其中男教师占30%，则男教师有240×30%＝72人，高中部共有150名教师，其中男教师占60%，则男教师有150×60%＝90人，所以该中学男教师共有72+90＝162人．故选：C．【点评】本题考查数据的分析，注意从图示中读取数据，属于基础题．4．（5分）一个魔方的六个面分别是红、橙、蓝、绿、白、黄六种颜色，且红色面和橙色面相对、蓝色面和绿色面相对，白色面和黄色面相对，将这个魔方随意扔到桌面上，则事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”（）A．是对立事件B．不是互斥事件C．是相等事件D．是互斥但不是对立事件【分析】事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”不能同时发生，但能同时不发生，从而事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”是互斥但不对立事件．【解答】解：将这个魔方随意扔到桌面上，则事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”不能同时发生，但能同时不发生，∴事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”是互斥但不对立事件，故选：D．【点评】本题考查互斥事件、对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n＝13，则输出的i，k的值分别为（）A．3，5B．4，7C．5，9D．6，11【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i，k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝13，i＝1，k＝1，s＝0不满足条件s＞n，执行循环体，s＝2，i＝2，k＝3不满足条件s＞n，执行循环体，s＝7，i＝3，k＝5不满足条件s＞n，执行循环体，s＝15，i＝4，k＝7满足条件s＞n，退出循环，输出i，k的值分别为4，7．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6．（5分）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来一批米，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，若这批米内夹谷有160石，则这一批米约有（）A．600石B．800石C．1600石D．3200石【分析】根据数得250粒内夹谷25粒，可得比例数，由此列式即可求得答案．【解答】解：设这一批米约有N石，由题意可得，即N＝1600石．故选：C．【点评】本题考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征应用，是基础题．7．（5分）已知f（α）＝，则f（﹣π）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】已知关系式右边利用诱导公式化简确定出f（α），即可求出所求式子的值．【解答】解：f（α）＝＝＝cosα，则f（﹣π）＝cos（﹣π）＝cos（673π+）＝﹣cos＝﹣．故选：B．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．8．（5分）某学校共有学生4000名，为了了解学生的自习情况，随机调查了部分学生的每周自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，估计该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．2800B．1200C．140D．60【分析】由频率分布直方图计算该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的频率和频数．【解答】解：由频率分布直方图知，该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的频率为1﹣（0.02+0.10）×（20﹣17.5）＝1﹣0.3＝0.7，所有估计该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的人数是4000×0.7＝2800（人）．故选：A．【点评】本题考查了由频率分布直方图计算频率和频数的问题，是基础题．9．（5分）如果函数y＝sin（2x+φ）的图象关于直线x＝π对称，那么|φ|取最小值时φ的值为（）A．B．C．﹣D．±【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】解：函数y＝sin（2x+φ）的图象关于直线x＝π对称，所以：2π+φ＝kπ+，所以：φ＝kπ﹣，所以：当k＝1或2时，|φ|取最小值时φ的值为±，故选：D．【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．（5分）把不超过实数x的最大整数记为[x]，则函数f（x）＝[x]称作取整函数，又叫高斯函数．在区间[2，4]上任取实数x，则[x]＝[]的概率为（）A．B．C．D．【分析】由已知分类求得使[x]＝[]的x的范围，再由测度比是长度比得答案．【解答】解：当2≤x＜3时，[x]＝[]＝2；当3≤x＜4时，[x]＝3，[]＝2；符合条件的x∈[2，3），由测度比为长度比可得，[x]＝[]的概率为＝．故选：B．【点评】本题主要考查几何概率、数学阅读理解能力、分类讨论思想，是基础题．11．（5分）函数f（x）＝sin x﹣cos x在[t，2t]（t＞0）上是增函数，则t的最大值为（）A．B．C．D．【分析】将函数f（x）化简，由正弦函数的单调性可得t的取值范围，然后求出t的最大值．【解答】解：f（x）＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣）在[t，2t]（t＞0）上是增函数，所以t﹣≤x﹣≤2t﹣，所以[t﹣，2t]⊆[﹣，]，则，又t＞0，所以0＜t≤π．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简及三角函数的单调性，属于基础题．12．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且其图象关于直线x＝1对称，若当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则F（x）＝f（x）﹣﹣（x∈（﹣7，8））的零点的个数为（）A．4B．5C．6D．8【分析】在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f（x）与y＝的图象，得到两函数图象在（﹣7，8）内的交点个数，即可求得F（x）＝f（x）﹣﹣（x∈（﹣7，8））的零点的个数．【解答】解：函数F（x）＝f（x）﹣﹣（x∈（﹣7，8））的零点的个数，即方程f（x）﹣﹣＝0在（﹣7，8））上的解的个数，也就是函数y＝f（x）与函数y＝在（﹣7，8））上的交点个数，又函数f（x）是定义域为R的偶函数，且其图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，作出函数y＝f（x）与y＝的图象如图：由图可知，F（x）＝f（x）﹣﹣（x∈（﹣7，8））的零点的个数为6个．故选：C．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，考查作图能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）某工厂甲、乙、丙三种不同型号的产品的产量分别为400，300，300（单位：件）．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取50件进行检验，则应抽取的甲种型号的产品件数为20．【分析】根据题意求出抽样比例，再计算应从甲种型号的产品中抽取的样本数据．【解答】解：抽样比例是＝，∴应从甲种型号的产品中抽取400×＝20（件）．故答案为：20．【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．14．（5分）一次体操比赛中，7位裁判为某运动员打出的分数如茎叶图所示（其中茎表示十位数，叶表示个位数），去掉一个最高分和一个最低分后，剩余数据的平均数为89．【分析】根据茎叶图写出这7个数据，计算去掉一个最高分和一个最低分后剩余数据的平均数．【解答】解：根据茎叶图知，这7个数据从小到大排列为：79，86，87，90，91，91，92；去掉一个最高分92，一个最低分79，剩余数据的平均数为＝×（86+87+90+91+91）＝89．故答案为：89．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的应用问题，是基础题．15．（5分）已知方程sin（ωx+）＝（ω＞0）在[0，]上有两个不同的根，则实数m 的取值范围为[2，4）．【分析】根据x∈[0，]上，求解内层ωx+的范围，结合正弦函数图象与性质，即可得y＝sin（ωx+）与y＝有两个不同的交点，再求出实数m的取值范围．【解答】解：由x∈[0，]，得ωx+∈[，]，根据正弦函数图象，可知函数y＝sin（ωx+）图象与函数y＝有两个不同的交点，所以，所以2≤m＜4．故答案为：[2，4）．【点评】本题考查三角函数的性质和图象的应用，考查转化思想以及计算能力，属基础题．16．（5分）如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是①④．（填写所有正确说法的序号）①存在点P，使得；②存在点P，使得；③存在点P，使得；④存在点P，使得．【分析】利用基底表示向量，结合图形即可作出判断．【解答】解：设，（λ，μ∈R，）由图可知，λ＞0，μ＞0，若B，P，C三点共线，则λ+μ＝1，而点P在阴影区域内，所以λ+μ＞1．即①④正确．故答案为：①④．【点评】本题主要考查平面向量基本定理的应用，属于基础题．三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）的图象向右平移2个单位长度得到函数y＝log2（x﹣2）的图象．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数g（x）＝[f（x）]2﹣f（x2）+7，求g（x）在[，4]上的最大值和最小值的和．【分析】（Ⅰ）利用图象变换法则直接求解即可；（Ⅱ）表示出g（x），由二次函数的性质即可得解．【解答】解：（Ⅰ）y＝log2（x﹣2）的图象向左平移2个单位长度得到函数的图象为y＝log2[（x+2）﹣2]＝log2x，∴f（x）＝log2x；（Ⅱ）2+6，当时，log2x∈[﹣1，2]，∴当log2x＝﹣1时，g（x）max＝10，当log2x＝1时，g（x）min＝6，∴最大值与最小值之和为16．【点评】本题考查函数图象的变换法则及对数函数，二次函数的图象及性质，属于基础题．18．（12分）在▱ABCD中，，，向量与的夹角为．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求和夹角的余弦值．【分析】（Ⅰ）根据题意，设，，由数量积公式可得•＝||，结合，求出||的值即可；（Ⅱ）根据题意，由数量积公式可得•＝0，即可得与的夹角为，进而求出和夹角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）设，，则，．向量与的夹角为，∴．∴，解得，即．（Ⅱ），则与的夹角为，故．【点评】本题考查平面向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥AB，P A⊥BC，且AB＝BC，D为线段AC的中点，E在线段PC上．（Ⅰ）若P A∥平面BDE，确定E点的位置并证明；（Ⅱ）证明：平面BDE⊥平面P AC．【分析】（Ⅰ）E点为线段PC的中点，通过P A∥平面BDE，推出P A∥DE，结合中位线定理推出结果即可．（Ⅱ）先证明P A⊥平面ABC，推出P A⊥BD，结合BD⊥AC，推出BD⊥平面P AC，然后证明平面BDE⊥平面P AC．【解答】证明：（Ⅰ）E点为线段PC的中点．证明：因为P A∥平面BDE，平面P AC∩平面BDE＝DE，所以P A∥DE，又因为D为线段AC的中点，所以E为线段PC的中点．（证明过程由“E是线段PC的中点”推出“P A∥平面BDE”也算对）（Ⅱ）因为P A⊥AB，P A⊥BC，AB∩BC＝B，所以P A⊥平面ABC，因为BD⊂平面ABC，所以P A⊥BD．因为AB＝BC，D为线段AC的中点，所以BD⊥AC．又因为AC∩P A＝A，所以BD⊥平面P AC，因为BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面P AC．【点评】本题考查空间位置关系的推理，考查空间想象能力，是中档题．20．（12分）新冠肺炎疫情期间，某定点医院从2020年2月11日开始收治新冠肺炎患者，前5天每天新收治的患者人数统计如表：2月x日1112131415新收治患者人数y2526292831（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）若该医院共有300张病床，不考虑出院的情况，按照这个趋势，该医院到哪一天病床会住满？附：回归直线方程为，其中，．【分析】（Ⅰ）由已知数据求得与的值，则线性回归方程可求；（Ⅱ）在线性回归方程中，分别取x＝16、17、18、19、20求得y值，然后作和判断．【解答】解：（Ⅰ），＝27.8，．．∴y关于x的线性回归方程为；（Ⅱ）根据线性回归方程，2月15日以后每天新收治的患者人数估计为：2月x日1617181920新收治患者人数y3233353638到2月20日，患者总人数预计为25+26+29+28+31+32+33+35+36+38＝313＞300，∴该医院到2月20日病床会住满．【点评】本题考查线性回归分析的应用，主要考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．21．（12分）已知函数f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）若α∈（0，π），f（）＝，求sin（α+）的值．【分析】（Ⅰ）把已知函数解析式变形，再由复合函数的单调性求解f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）由f（）＝，可得sin（）＝，进一步求得cos（），再由sin （α+）＝sin[（）+]，展开两角和的正弦求解．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1＝＝＝．由，可得，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴取k＝0和k＝1时，可得f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间为[0，]，[，π]；（Ⅱ）由f（）＝，得2sin（）＝，即sin（）＝．∵α∈（0，π），∴∈（），则cos（）＝﹣．∴sin（α+）＝sin[（）+]＝sin（）cos+cos（）sin＝＝．【点评】本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查y＝A sin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查计算能力，是中档题．22．（12分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，具体见表．质量指标Y[9.4，9.8）[9.8，10.2]（10.2，10.6]频数82416201一年内所需维护次数（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y都在[9.8，10.2]内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？【分析】（1）由样本数据能估计该厂产品的质量指标Y的平均值指标．（2）由分层抽样法知，先抽取的件产品中，指标Y在[9.8，10.2]内的有3件，记为A1，A2，A3，指标Y在（10.2，10.6]内的有2件，记为B1，B2，指标Y在[9.4，9.8）内的有1件，记为C，从6件产品中，随机抽取2件产品，共有基本事件15个，由此能求出指标Y都在[9.8，10.2]内的概率．（3）不妨设每件产品的售价为x元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x元，其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，由此能求出结果．【解答】解：（1）指标Y 的平均值为：≈10.07．（2）由分层抽样法知，先抽取的件产品中，指标Y在[9.8，10.2]内的有3件，记为A1，A2，A3，指标Y在（10.2，10.6]内的有2件，记为B1，B2，指标Y在[9.4，9.8）内的有1件，记为C，从6件产品中，随机抽取2件产品，共有基本事件15个，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C），（B1，B2），（B1，C），（B2，C），其中，指标Y都在[9.8，10.2]内的概率为P＝＝．（3）不妨设每件产品的售价为x元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x元，其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的消费费用为η＝（48x+16×300+8×600）＝x+200元．假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为48（x+100）元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出8×300＝2400元，平均每件产品的消费费用：ξ＝×[48（x+100）+8×300]＝x+150元，∴该服务值得购买．【点评】本题考查平均值、概率、平均每件产品的消费费用的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．。
2023届河南省天一大联考数学高一上期末监测试题含解析
（3）令 ，转化为存在 使得 成立，结合函数 的单调性，求得函数 最小值，即可求解.
【详解】（1）令 ，因为 ，则 ，
函数 化为 ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 取到最小值为 ，当 时， 取到最大值为5，
【详解】 ，令A＝{x|－2≤x≤10}；
令B＝ ，
p是q的必要不充分条件，
∴BA，
①B＝ 时，1－a＞1＋a，即a＜0；
②B≠ 时， 且1－a＝－2和1＋a＝10不同时成立，解得0≤a≤3；
综上，a≤3﹒
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．“ ”是“ ”的条件
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.即不充分也不必要条件
2．若一元二次不等式 的解集为 ，则 的值为（ ）
A. B.0
C. D.2
解得 ， ，
所以 的单调增区间为 ，
【小问2详解】
选择条件①：
令 ，
因为 ，
所以
所以
所以 ，
因为 在区间 上单调递增，
所以当 时， 取得最大值
所以当 时， 取得最大值
选择条件②：
令 ，
因为 ，
所以
所以当 时，即 时， 取得最大值
22、(－∞，3]
【解析】求解不等式 ，令A＝{x| }；令B＝{x| }；由题可知BA，根据集合的包含关系求解即可.
∴ ，
解得，k＝﹣1，m＝﹣1，
故m+k＝﹣2，
故选：C
河南省天一大联考2020-2021学年高一下学期期末数学试题
河南省天一大联考2020-2021学年高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某班现有60名学生，随机编号为0，1，2，…，59.依编号顺序平均分成10组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第7组中随机抽取的号码为（ ） A ．41B ．42C ．43D ．442．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则x y +=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．33．设向量(1,1),(2,)a b m ==,若()//2a a b +,则实数m 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．44．下列函数中是偶函数且最小正周期为4π的是 （ ） A ．22cos 4sin 4y x x =- B ．sin 4y x = C ．sin 2cos2y x x =+D ．cos 2y x =5．从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是（ ）A ．至少有1个白球；都是红球B ．至少有1个白球；至少有1个红球C ．恰好有1个白球；恰好有2个白球D ．至少有1个白球；都是白球6．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差2s 为（ ） A ．52B ．3C ．72D ．47．已知4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．7-B ．7C ．17-D ．178．已知,a b 是不共线的非零向量，2AB a b =+，3BC a b =-，23CD a b =-，则四边形ABCD 是 （ ） A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形9．执行如图所示的程序框图，则输出的s 的值为（ ）A ．34B ．45C ．56D ．6710．如图所示，某汽车品牌的标志可看作由两个同心圆构成，其中大、小圆的半径之比为3:2，小圆内部被两条互相垂直的直径分割成四块.在整个图形中任选一点，则该点选自白色部分的概率为（ ）A ．23πB ．29C ．8π D ．1211．已知tan 2α=，则()22sin 22cos 2sin 4ααπα-=-（ ）A B ．12C ．14D ．11212．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图像相邻的两个对称中心之间的距离为4π，且有一条对称轴为直线24x π=，则下列判断正确的是 （ ）A ．函数()f x 的最小正周期为4πB ．函数()f x 的图象关于直线724x π=-对称 C ．函数()f x 在区间713,2424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()f x 的图像关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称二、填空题13．已知变量x ，y 线性相关，其一组数据如下表所示.若根据这组数据求得y 关于x 的线性回归方程为 1.9y x a =+，则a =______.14．已知向量()cos5,sin5a =︒︒，()cos65,sin 65b =︒︒，则2a b +=______. 15．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是______.16．函数2cos cos y x x x +在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为______.三、解答题17．已知扇形的面积为6π，弧长为6π，设其圆心角为α （1）求α的弧度；（2）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.18．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （Ⅰ）若()2,c λ=，且//c a ，求c ；（Ⅱ）若()1,1b =，且ma b -与2a b -垂直，求实数m 的值.19．为了了解居民的用电情况,某地供电局抽查了该市若干户居民月均用电量(单位:kW h ),并将样本数据分组为[)160,180,[)180,200,[)20,220,[)220,240,[)240,260,[)260,280,[280,300] ,其频率分布直方图如图所示.(1)若样本中月均用电量在[)240,260的居民有30户,求样本容量; (2)求月均用电量的中位数;(3)在月均用电量为[)220,240,[)240,260,[)260,280,[280,300]的四组居民中,用分层随机抽样法抽取22户居民,则月均用电量在[)260,280的居民应抽取多少户?20．已知函数()214sin 2x f x x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（1）求()f x 的定义域；（2）设α是第三象限角，且1tan 2α=，求()f α的值. 21．某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近5个季度的销售额数据统计如下表（其中20181Q 表示2018年第一季度，以此类推）：（1）公司市场部从中任选2个季度的数据进行对比分析，求这2个季度的销售额都超过6千万元的概率；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司20193Q 的销售额.附：线性回归方程：y bx a =+其中()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---⋅==--∑∑∑∑，a y bx =-参考数据：511183i ii x y==∑.22．如图所示，在直角坐标系xOy 中，点()2,0A ，()2,0B -，点P ，Q 在单位圆上，以x 轴正半轴为始边，以射线OP 为终边的角为θ，以射线OQ 为终边的角为ϕ，满足2πϕθ-=.（1）若3πθ=，求OA QA ⋅（2）当点P 在单位圆上运动时，求函数()f AP BQ θ=⋅的解析式，并求()f θ的最大值.参考答案1．A 【解析】 【分析】由系统抽样．先确定分组间隔，然后编号成等差数列来求所抽取号码． 【详解】由题知分组间隔为以60610=，又第1组中抽取的号码为5，所以第7组中抽取的号码为66541⨯+=.故选：A. 【点睛】本题考查系统抽样，掌握系统抽样的概念与方法是解题基础． 2．D 【分析】由众数就是出现次数最多的数，可确定x ，题中中位数是中间两个数的平均数，这样可计算出y ． 【详解】由甲组数据的众数为11，得1x =，乙组数据中间两个数分别为6和10y +，所以中位数是61092y++=，得到2y =，因此3x y +=. 故选：D. 【点睛】本题考查众数和中位数的概念，掌握众数与中位数的定义是解题基础． 3．B 【分析】首先求出2a b +的坐标，再根据平面向量共线定理解答. 【详解】 解：(1,1),(2,)a b m ==()25,21a b m ∴+=+,因为()//2a a b +,所以2150m +-=,解得2m =. 故选：B 【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题. 4．A 【分析】本题首先可将四个选项都转化为()sin y A ωx φ=+的形式，然后对四个选项的奇偶性以及周期性依次进行判断，即可得出结果． 【详解】A 中，函数22cos 4sin 4cos8y x x x =-=，是偶函数，周期为284T ππ==； B 中，函数是奇函数，周期242T ππ==；C 中，函数sin 2224y x cos x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，是非奇非偶函数，周期T π=；D 中，函数是偶函数，周期22T ππ==. 综上所述，故选A ． 【点睛】本题考查对三角函数的奇偶性以及周期性的判断，考查三角恒等变换，偶函数满足()()f x f x -=，对于函数()sin y A ωx φ=+，其最小正周期为2T πω=，考查化归与转化思想，是中档题． 5．A 【分析】根据对立事件的定义判断． 【详解】从装有4个红球和3个白球的袋内任取2个球，在A 中，“至少有1个白球”与“都是红球”不能同时发生且必有一个事件会发生，是对立事件.在B 中，“至少有1个白球”与“至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件.在C 中，“恰好有1个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件，但不是对立事件.在D 中，“至少有1个白球”与“都是白球”不是互斥事件. 故选：A.6．C 【分析】由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差． 【详解】因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，由平均数和方差的计算公式可得75558x ⨯+==，()227455782s ⨯+-==. 故选：C. 【点睛】本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键． 7．D 【分析】由平方关系求得sin θ，再由商数关系求得tan θ，最后由两角和的正切公式可计算． 【详解】,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4cos 5θ=，3sin 5θ∴=-，3tan 4θ=-，tan tan14tan 471tan tan 4πθπθπθ+⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭-. 故选：D. 【点睛】本题考查两角和的正切公式，考查同角间的三角函数关系．属于基础题． 8．A 【分析】本题首先可以根据向量的运算得出23AD a b ，然后根据3BC a b =-以及向量平行的相关性质即可得出四边形ABCD 的形状． 【详解】 因为ADAB BC CD ，所以232323ADa b a b a b a b ，因为3BC a b =-，,a b 是不共线的非零向量，所以//AD BC 且AD BC ≠， 所以四边形ABCD 是梯形，故选A ． 【点睛】本题考查根据向量的相关性质来判断四边形的形状，考查向量的运算以及向量平行的相关性质，如果一组对边平行且不相等，那么四边形是梯形；如果对边平行且相等，那么四边形是平行四边形；相邻两边长度相等的平行四边形是菱形；相邻两边垂直的平行四边形是矩形，是简单题． 9．A 【分析】模拟程序运行，观察变量值，判断循环条件可得结论． 【详解】运行程序框图，11122s ==⨯，2k =；112263s =+=，3k =；2133124s =+=，4k =，此时满足条件，跳出循环，输出的34s =.故选：A. 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时只要模拟程序运行即可得结论． 10．B 【分析】设大圆半径为3r ，小圆半径为2r ，求出白色部分面积和大圆面积，由几何概型概率公式可得． 【详解】设大圆半径为3r ，小圆半径为2r ，则整个图形的面积为29S r π=，白色部分的面积为221422S r r ππ=⨯=白，所以所求概率29S P S ==白.故选：B. 【点睛】本题考查几何概型，考查面积型的几何概型，属于基础题． 11．D【分析】由正切二倍角公式求得tan2α，求值式由诱导公式和正弦的二倍角公式化角为2α，再弦化切后代入tan2α可得结论． 【详解】tan 2α=，22tan 4tan 21tan 3ααα∴==--，∴原式22222162sin 22cos 2sin 22cos 2tan 22194sin 42sin 2cos 22tan 21223ααααααααα----=====⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查正切的二倍角公式，正弦的二倍角公式，考查诱导公式及同角间的三角函数关系．三角函数化简求值时，遇到关于sin ,cos θθ的齐次式时可能用到弦化切后再求值． 12．C 【解析】 【分析】本题首先可根据相邻的两个对称中心之间的距离为4π来确定ω的值，然后根据直线24x π=是对称轴以及2πϕ<即可确定ϕ的值，解出函数()f x 的解析式之后，通过三角函数的性质求出最小正周期、对称轴、单调递增区间以及对称中心，即可得出结果． 【详解】图像相邻的两个对称中心之间的距离为4π，即函数的周期为242ππ⨯=，由22T ππω==得4ω=，所以()()sin 4f x x ϕ=+，又24x π=是一条对称轴，所以62k ππϕπ+=+，k Z ∈，得,3k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，得3πϕ=，所以()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.最小正周期242T ππ==，A 项错误； 令432x k πππ+=+，k Z ∈，得对称轴方程为424k x ππ=+，k Z ∈，B 选项错误；由242232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得单调递增区间为5,224224k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，C 项中的区间对应1k =，故C 正确； 由43x k ππ+=，k Z ∈，得对称中心的坐标为,0412k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈，D 选项错误， 综上所述，故选C ． 【点睛】本题考查根据三角函数图像性质来求三角函数解析式以及根据三角函数解析式得出三角函数的相关性质，考查对函数sin ωφf x A x B 的相关性质的理解，考查推理能力，是中档题． 13．4.3 【分析】由所给数据求出,x y ，根据回归直线过中心点(,)x y 可求解． 【详解】 由表格得到()1124534x =+++=，()15.49.610.614.4104y =+++=，将样本中心()3,10代入线性回归方程得10 1.93 4.3a =-⨯=.故答案为：4.3 【点睛】本题考查线性回归直线方程，掌握回归直线的性质是解题关键，即回归直线必过中心点(,)x y ．14 【分析】求出,,a b a b ⋅，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算． 【详解】由题意得222cos 5sin 51a =︒+︒=，1a =.222cos 65sin 651b =︒+︒=，1b =.1cos5cos65sin 5sin 65cos602a b ∴⋅=︒︒+︒︒=︒=，()22124444172a ba ab b ∴+=+⋅+=+⨯+=，27a b ∴+=.． 【点睛】本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算． 15．4 【分析】模拟程序运行，观察变量值的变化，寻找到规律周期性，确定输出结果． 【详解】第1次循环：1S =-，2i =；第2次循环：23S =，3i =；第3次循环：32S =，4i =；第4次循环：4S =，5i =；…；S 关于i 以4为周期，最后跳出循环时202114505i ==+⨯，此时4S =. 故答案为：4. 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构．解题关键是由程序确定变量变化的规律：周期性． 16．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】由二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可求得值域． 【详解】21cos 2111cos cos sin 22cos 2sin 22222262x y x x x x x x x π+⎛⎫=+=+=++=++ ⎪⎝⎭0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,666x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则1sin 2,162x π⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，13sin 20,622x π⎛⎫⎛⎤∴++∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.故答案为：3(0,]2． 【点睛】本题考查三角恒等变换（二倍角公式、两角和的正弦公式），考查正弦函数的的单调性和最值．求解三角函数的性质的性质一般都需要用三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质得出结论． 17．（1）12πα=（2）2【分析】（1）由弧长求出半径，再由面积求得圆心角；（2）先由诱导公式化简待求式为tan α，利用两角差的正切公式可求tan tan()1234πππ=-． 【详解】（1）设扇形的半径为r ，则6ar π=，所以6r πα=. 由12S rl =可得12666πππα⨯⨯=， 解得12πα=.（2）()cos sin sin sin 2tan 119sin cos cos sin 22παπααααππαααα⎛⎫+-- ⎪-⋅⎝⎭==-⋅⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. tantan34tantan 212341tan tan 34πππππππ-⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭+. 【点睛】本题考查扇形的弧长与面积公式，考查诱导公式，同角间的三角函数关系，考查两角差的正切公式．求值时用诱导公式化简是解题关键．. 18．（Ⅰ）（Ⅱ）47=m . 【分析】(1)根据向量平行的相关性质以及()1,2a =、()2,c λ=即可得出向量2,4c ，然后根据向量的模长公式即可得出结果；(2)首先可根据()1,2a =、()1,1b =写出ma b -与2a b -的坐标表示，然后根据向量垂直可得20ma ba b ，最后通过计算即可得出结果．【详解】(1)因为//c a ，()1,2a =，()2,c λ= 所以2210，4λ=，2,4c，所以222425c．(2)因为()1,2a =，()1,1b =，所以 1.21ma b m m ，()21,3a b -=.因为ma b -与2a b -垂直，所以20ma b a b ，即112130m m ，47=m ． 【点睛】本题考查向量平行以及向量垂直的相关性质，考查向量的坐标表示以及向量的模长公式，若11,ax y 、22,bx y 且a b ⊥，则12120x x y y +=，考查计算能力，是中档题．19．(1)200 (2)224 (3)4户 【分析】(1)因为(0.00200.00950.01100.01250.00500.0025)201x ++++++⨯=,所以月均用电量在[)240,260的频率为0.0075200.15⨯=,即可求得答案; (2)因为(0.00200.00950.0110)200.450.5++⨯=<,设中位数为a ,0.450.0125(220)0.5a +⨯-=,即可求得答案;(3)月均用电量为[)220,240,[)240,260,[)260,280,[280,300]的频率分别为,0.25,0.15,0.1,0.05.即可求得答案.【详解】 (1)(0.00200.00950.01100.01250.00500.0025)201x ++++++⨯=,得0.0075x =.∴ 月均用电量在[)240,260的频率为0.0075200.15⨯=.设样本容量为N ,则0.1530N =,∴ 200N =.(2)(0.00200.00950.0110)200.450.5++⨯=<,∴ 月均用电量的中位数在[)220,240内.设中位数为a ,0.450.0125(220)0.5a +⨯-=, ∴ 解得224a =,即中位数为224.(3)月均用电量为[)220,240,[)240,260,[)260,280,[280,300]的频率分别为0.25,0.15,0.1,0.05.∴ 应从月均用电量在[)260,280的用户中抽取0.12240.250.150.10.05⨯=+++(户)【点睛】本题考查了用样本估计总体的相关计算,解题关键是掌握分层抽样的计算方法和样本容量, 中位数定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.20．（1）,2x x k k ππ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭Z （2）5- 【分析】（1）由分母不为0可求得排烟阀；（2）由同角间的三角函数关系求得sin ,cos αα，由两角差的余弦公式展开，再由二倍角公式化为单角的函数，最后代入sin ,cos αα的值可得． 【详解】（1）由sin 02x π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得2x k ππ+≠，k ∈Z ，所以2x k ππ≠-，k ∈Z ，故()f x 的定义域为,2x x k k ππ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭Z （答案写成“,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ”也正确） （2）因为1tan 2α=，且α是第三象限角，所以由22sin cos1sin1cos2αααα⎧+=⎪⎨=⎪⎩可解得sinα=cosα=故()214cosfπααα⎛⎫-+⎪⎝⎭=221cosααα⎫++⎪⎪⎝⎭=cos2sin21cosααα++=22cos2sin coscosαααα+=()2cos sinαα=+=【点睛】本题考查三角函数的性质，考查同角间的三角函数关系，考查应用两角差的余弦公式和二倍角公式求值．三角函数求值时一般要先化简再求值，这样计算可以更加简便，保证正确．21．（1）310；（2）y关于x的线性回归方程为13312．xy=+，预测该公司20193Q的销售额为122.2百万元.【分析】（1）列举出所有的基本事件，并确定事件“这2个季度的销售额都超过6千万元”然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；（2）计算出x和y的值，然后将表格中的数据代入最小二乘法公式，计算出b和a的值，可得出y关于x的线性回归方程，然后将7x=代入回归直线方程即可得出该公司20193Q 的销售额的估计值.【详解】（1）从5个季度的数据中任选2个季度，这2个季度的销售额有10种情况：()4656,、()4667,、()4686,、()4696,、()5667,、()5686,、()5696,、()6786,、()6796,、()8696,设“这2个季度的销售额都超过6千万元”为事件A，事件A包含()6786,、()6796,、()8696,，3种情况，所以()310P A =； （2）1234535x ++++==，()1465667869670.25y =++++=，2222221462563674865965370.2130131********b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===++++-⨯，31.2a y bx ∴=-=.所以y 关于x 的线性回归方程为13312．x y =+， 令7x =，得137312122.2．y =⨯+=（百万元） 所以预测该公司20193Q 的销售额为122.2百万元． 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，同时也考查了利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了回归直线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.22．（1）4（2）()44f πθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，最大值4. 【分析】（1）由角的定义求出QOA ∠，再由数量积定义计算；（2）由三角函数定义写出,P Q 坐标，求出AP BQ ，的坐标，计算出()fAP BQ θ=⋅，利用两角和的正弦公式可化函数为一个三角函数形式，由正弦函数性质可求得最大值． 【详解】（1）由图可知，3POA πθ∠==，5326QOA πππ∠=+=. ()225221cos46OA QA OA OA OQ OA OA OQ π⋅=⋅-=-⋅=-⨯⨯=. （2）由题意可知()cos ,sin P θθ，()cos ,sin Q ϕϕ. 因为cos cos sin 2πϕθθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，sin sin cos 2πϕθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以()sin ,cos Q θθ-.所以()cos 2,sin AP θθ=-，()sin 2,cos BQ θθ=-+. 所以()fAP BQ θ=⋅()()cos 22sin sin cos θθθθ=--+2cos sin cos 2sin 4sin cos θθθθθθ=-+-+44πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.当24k πθπ=+（k ∈Z ）时，()fθ取得最大值4.【点睛】本题考查任意角的定义，平面向量的数量积的坐标运算，考查两角和的正弦公式、诱导公式及正弦函数的性质．本题解题关键是掌握三角函数的定义，表示出,P Q 坐标．。
2020-2021学年河南省天一大联考高三(上)期末数学试卷(理科) (解析版)
2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合，，则A∩B＝（）A．[﹣1，3）B．[﹣1，3]C．[﹣4，﹣1]D．[﹣4，3）2．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．23．已知的展开式中有常数项，则n的值可能是（）A．5B．6C．7D．84．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．5．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④6．从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x+cos x，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，△ABC的周长为15，且（sin A+sin B）2+cos2C＝1+sin A sin B，则cos B＝（）A．B．C．D．10．已知点A，B，C在半径为5的球面上，且AB＝AC＝2，BC＝2，P为球面上的动点，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（）A．B．C．D．11．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．12．已知α，β∈（0，2π），且满足sinα﹣cosα＝，cosβ﹣sinβ＝，则sin（α+β）＝（）A．1B．或1C．或1D．1或﹣1二、填空题（共4小题）.13．平面向量，若，则λ＝．14．若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是．16．设P为双曲线上的一个动点，点P到C的两条渐近线的距离分别为d1和d2，则3d1+d2的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．18．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，BD＝DD1，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求直线AD1和平面BDE所成角的正弦值．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x只能是1，2，3，…，24这24个整数中的一个，且是每个整数的可能性是相等的．（Ⅰ）当输入x＝12和x＝20时，求输出y的值；（Ⅱ）求输出的y值的分布列；（Ⅲ）某同学根据该程序框图编写计算机程序，并重复运行1200次，输出y的值为1，2，3的次数分别为395，402，403，请推测他编写的程序是否正确，简要说明理由．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．21．已知函数f（x）＝ln（x+1）+a，g（x）＝e x﹣a，a∈R．（Ⅰ）若a＝0，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线也是曲线y＝g（x）的切线，证明：ln（x0+1）＝．（Ⅱ）若g（x）﹣f（x）≥1，求a的取值范围．选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合，，则A∩B＝（）A．[﹣1，3）B．[﹣1，3]C．[﹣4，﹣1]D．[﹣4，3）解：因为，即，解得﹣4≤x＜3，故集合A＝{x|﹣4≤x＜3}，因为，所以x≥﹣1，故集合B＝{x|x≥﹣1}，所以A∩B＝[﹣1，3）．故选：A．2．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．2解：设z＝a+bi，则，因为z+2＝3﹣i，所以a+bi+2（a﹣bi）＝3﹣i，所以3a﹣bi＝3﹣i，所以3a＝3，﹣b＝﹣1，所以a＝1，b＝1，所以z＝1+i，故|z|＝．故选：B．3．已知的展开式中有常数项，则n的值可能是（）A．5B．6C．7D．8解：∵已知的展开式中的通项公式为T r+1＝•x2n﹣3r，由于它的展开式中有常数项，则2n﹣3r＝0，即2n＝3r，即n＝，r＝0，1，2，…，n．故当r＝4时，可得n＝6，故选：B．4．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．解：塔顶是正四棱锥P﹣ABCD，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面积为，因为，所以，所以△PAB是正三角形，面积为，所以．故选：D．5．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④解：因为，所以b＞a＞0，所以，故①正确；|b|＞|a|，故②错误；b3＞a3，故③错误；由指数函数f（x）＝为减函数，又b＞a，所以f（a）＞f（b），即，故④正确，故正确的是①④．故选：D．6．从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为（）A．B．C．D．解：根据题意，从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，有C83＝56种取法，其中任意两只都不成双的情况有C43×2×2×2＝32种，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率P＝＝，故选：C．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π解：∵点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，∴AB＝，点C是f（x）的一个最值点，则△ABC的高为2，∴三角形的面积S＝＝1，∴T＝2，∴＝2，∴ω＝π，故选：D．8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x+cos x，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝e﹣x+e x+cos x＝f（x），则f（x）是偶函数，f′（x）＝e x﹣e﹣x﹣sin x，为奇函数，[f′（x）]′＝e x+e﹣x﹣sin x≥2﹣sin x＞0，即f′（x）为增函数，当x＞0时，f′（x）＞f′（0）＝1﹣1﹣0＝0，即f（x）在（0，+∞）上为增函数，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）等价为不等式f（|2m|）＞f（|m﹣2|），即|2m|＞|m﹣2|，平方得4m2＞m2﹣4m+4，即3m2+4m﹣4＞0，得（m+2）（3m﹣2）＞0，得m＞或m＜﹣2，即不等式的解集为，故选：A．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，△ABC的周长为15，且（sin A+sin B）2+cos2C＝1+sin A sin B，则cos B＝（）A．B．C．D．解：由于a，b，c依次成等差数列，所以可设a＝x，b＝x+d，c＝x+2d，由于△ABC的周长为15，可得：x+d＝5，因为（sin A+sin B）2+cos2C＝sin2A+2sin A sin B+sin2B+1﹣sin2C＝1+sin A sin B，即sin2A+sin A sin B+sin2B﹣sin2C＝0，所以由正弦定理可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，可得cos C＝＝＝﹣，即＝﹣，将d＝5﹣x代入到上式中，解得：x＝3，d＝2，∴a＝3，b＝5，c＝7，∴由余弦定理可得：cos B＝＝＝．故选：B．10．已知点A，B，C在半径为5的球面上，且AB＝AC＝2，BC＝2，P为球面上的动点，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（）A．B．C．D．解：在△ABC中，由AB＝AC＝2，BC＝2，得cos A＝＝，∴sin A＝，设△ABC的外接圆的半径为r，则2r＝，即r＝4，又三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R＝5，则球心到△ABC外接圆圆心的距离为．则当P到平面ABC距离最大时，三棱锥P﹣ABC的体积最大，此时P到平面ABC的最大距离为R+3＝8，三棱锥P﹣ABC体积的最大值为V＝．故选：A．11．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．解：∵直线3x+y﹣6＝0与直线x﹣3y+8＝0垂直，且交点为（1，3），∴以AB为直径的圆过点（1，3），又圆C与x轴相切，∴圆C的面积最小时，其直径恰好为点（1，3）到x轴的距离，此时圆的直径为3，则圆C面积的最小值为．故选：C．12．已知α，β∈（0，2π），且满足sinα﹣cosα＝，cosβ﹣sinβ＝，则sin（α+β）＝（）A．1B．或1C．或1D．1或﹣1解：∵sinα﹣cosα＝，sin2α+cos2α＝1，∴8sin2α﹣4sinα﹣3＝0，8cos2α+4cosα﹣3＝0，又cosβ﹣sinβ＝，sin2β+cos2β＝1，∴8cos2β﹣4cosβ﹣3＝0，8sin2β+4sinα﹣3＝0，①若sinα＝cosβ，则α+β＝或，此时sin（α+β）＝1，②若sinα≠cosβ，则sinα，cosβ是方程8x2﹣4x﹣3＝0的根，故sinαcosβ＝﹣，同时cosα，sinβ是方程8x2+4x﹣3＝0的根，故cosαsinβ＝﹣，故sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝﹣，故sin（α+β）的值是1或﹣，故选：C．二、填空题13．平面向量，若，则λ＝．解：∵向量，∴﹣＝（3，﹣1），λ+＝（2λ﹣1，2λ+3）．∵，∴3（2λ﹣1）﹣1×（2λ+3）＝0，解得λ＝，故答案为：．14．若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），联立，解得B（1，2），则，，令，则≤t≤2，则＝t+，在t＝1时，取得最小值为2，在t＝或t＝2时，取得最大值为．∴的取值范围是[2，]．故答案为：[2，]．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+∞）．解：f（x）的零点个数等价于曲线y＝|e x﹣a|与直线y＝1的交点个数，作出函数图象如图所示，由题意可知a＞1．故答案为：（1，+∞）．16．设P为双曲线上的一个动点，点P到C的两条渐近线的距离分别为d1和d2，则3d1+d2的最小值为．解：设点P为（m，n），则﹣n2＝1，即（m﹣n）（m+n）＝2，∴|m+n|＝，双曲线C的两条渐近线方程为x±y＝0，所以d1＝＝，d2＝，所以3d1+d2＝3×+＝×（3|m﹣n|+）≥×2＝2，当且仅当3|m﹣n|＝，即|m﹣n|＝时，等号成立，所以3d1+d2的最小值为2．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．解：（Ⅰ）由题意，可得，整理，得S n＝2a n﹣2，当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，可得S n﹣1＝2a n﹣1﹣2．两式相减，可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，化简整理，得a n＝2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，n∈N*，（Ⅱ）由（Ⅰ），可得b n＝log4a n+1＝log42n+1＝，则，∴T n＝++…+＝4×（﹣）+4×（﹣）+…+4×（﹣）＝＝＝．18．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，BD＝DD1，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求直线AD1和平面BDE所成角的正弦值．【解答】（I）证明：由题意可得BD2＝AD2+AB2﹣2AB×AD cos∠BAD＝16，所以AD2+BD2＝AB2，因此AD⊥BD．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥BD．又因为AD∩DD1＝D，DD1⊂平面ADD1，AD⊂平面ADD1，所以BD⊥平面ADD1，因为BD⊂平面DBE，所以平面DBE⊥平面ADD1（II）解：由（I）知，DA，DB，DD1两两垂直，以D为原点，DA，DB，DD1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则D（0，0，0），A（3，0，0），D1（0，0，4），B（0，4，0）．由可得C（﹣3，4，0），所以E（﹣3，4，2）．则，，，设是平面BDE的一个法向量，则，令x＝2，可得设直线AD1和平面BDE所成的角为θ，则．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x只能是1，2，3，…，24这24个整数中的一个，且是每个整数的可能性是相等的．（Ⅰ）当输入x＝12和x＝20时，求输出y的值；（Ⅱ）求输出的y值的分布列；（Ⅲ）某同学根据该程序框图编写计算机程序，并重复运行1200次，输出y的值为1，2，3的次数分别为395，402，403，请推测他编写的程序是否正确，简要说明理由．解：（I）当输入x＝12时，因为12能被3整除，所以输出y＝1；当输入x＝20时，因为20不能被3整除，能被4整除，所以输出y＝2．（II）当x为3，6，9，12，15，18，21，24这8个数时，输出y＝1，所以；当x为4，8，16，20这4个数时，输出y＝2，所以；当x为其余12个数时，输出y＝3，所以．故y的分布列为：y123P（III）程序输出y的值为1，2，3的频率分别为，，，可近似地认为都是，与（II）中所得的概率分布相差较大，故推测该同学编写的程序不正确．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．解：（Ⅰ）设椭圆，根据条件可知，且，解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C1的标准方程为，曲线C2是以为焦点，为准线的抛物线，故C2的标准方程为y2＝9x；（Ⅱ）联立，解得x＝1，y＝±3，不妨取P（1，3），若直线l的斜率不存在，Q和R重合，不符合条件；故可设直线l：y＝k（x﹣1）+3，由题意可知k≠0，联立，解得，联立，解得，因为，所以P是QR的中点，所以，即，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x+2，其与x轴的交点坐标为（﹣2，0）．21．已知函数f（x）＝ln（x+1）+a，g（x）＝e x﹣a，a∈R．（Ⅰ）若a＝0，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线也是曲线y＝g（x）的切线，证明：ln（x0+1）＝．（Ⅱ）若g（x）﹣f（x）≥1，求a的取值范围．【解答】证明：（Ⅰ）若a＝0，则f（x）＝ln（x+1），g（x）＝e x．∴，g'（x）＝e x，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为，令，则，曲线y＝g（x）在点处的切线方程为，由题意知，整理可得，x0＝0显然不满足，因此；解：（Ⅱ）令h（x）＝g（x）﹣f（x）＝e x﹣a﹣ln（x+1）﹣a，若a＞0，h（0）＝e﹣a﹣a＜e0﹣0＝1，不符合条件；若a＝0，h（x）＝e x﹣ln（x+1），，当x∈（﹣1，0）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）≥h（0）＝1，符合条件；若a＜0，则h（x）＝e x﹣a﹣ln（x+1）﹣a＞e x﹣ln（x+1）≥1，符合条件．∴a的取值范围是（﹣∞，0]．选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．解：（Ⅰ）设直线l1和l2的倾斜角分别为β和γ，由参数方程知，则．（Ⅱ）令，得，所以A（1，0），令，得，所以B（﹣2，0），所以圆A的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝9，即x2+y2﹣2x＝8，所以圆A的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|2x+1|＝；当x≥1时，不等式f（x）≤5化为3x≤5，解得；当时，不等式f（x）≤5化为x+2≤5，解得；当时，不等式化为﹣3x≤5，解得．综上所述，不等式f（x）≤5的解集为．（Ⅱ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|≥|x+1+1﹣x|＝2，当且仅当﹣1≤x≤1时，等号成立，即f（x）的最小值为2．因为存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，所以2m﹣1＞2．解得，所以m的取值范围是．。
2020-2021学年河南省天一大联考高一上学期期末数学试题及答案
2020-2021学年河南省天一大联考高一上学期期末数学试题一、单选题1．过点()1,3-且斜率为12的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．8- B ．7-C ．72-D ．72答案：B求出直线方程，令0y =可得结论． 解：由题意直线方程为13(1)2y x -=+，即270x y -+=，令0y =得7x =-， 所以直线在x 轴上截距为7-． 故选：B ．2．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}3B x R x =∈>，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1,2,3,4D ．{}0,1,2,3答案：D由图可知，阴影部分所表示的集合是()UA B ，根据补集、交集定义即可求出.解：由图可知，阴影部分所表示的集合是()UA B ，{}3B x R x =∈>，{}3U B x R x ∴=∈≤,(){}0,1,2,3U B A ∴⋂=.故选：D.3．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） A ．()f x x =，()lg10xg x =B ．()211x f x x -=+，()1g x x =-C ．()f x =()2g x =D ．()1f x =，()0g x x =答案：A两个函数是相等函数，需函数的三个要素相同，首先判断函数的定义域，再判断函数的对应关系，若这两点相同，就是相等函数.解：A.两个函数的定义域相同，并且函数()lg10xg x x ==，对应关系也相同，所以两个函数是相等函数；B.函数()211x f x x -=+的定义域是{}1x x ≠-，函数()1g x x =-的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；C.函数()f x =R ，函数()2g x =的定义域是[)0,+∞，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；D.函数()1f x =的定义域是R ，函数()0g x x =的定义域是{}0x x ≠，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数； 故选：A4．设点()1,1,1P 关于原点的对称点为P '，则PP '=（ ）A B ．C ．D ．6答案：B根据空间直角坐标系中的对称性写出P '坐标，然后计算线段长．解：由题意(1,1,1)P '---，∴PP '== 故选：B ．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π答案：C由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积． 解：由三视图，知原几何体是一个四棱锥P ABCD -，如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB ⊥底面ABCD ，由PB ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，得PB AD ⊥，又AD AB ⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而PA ⊂平面PAB ，所以AD PA ⊥，同理DC PC ⊥，同样由PB ⊥底面ABCD 得PB BD ⊥，所以PD 中点O 到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，PD 为球直径，222222PD PB BD PA AD AB =+=++=，∴外接球半径为12ADr ==， 表面积为2414S ππ=⨯=． 故选：C ．点评：关键点点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．6．已知ln 2a =，b =21log c e=，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>答案：D根据对数函数的单调性求出,a c 范围即可比较. 解：0ln1ln 2ln 1e =<<=，01a ∴<<，1b =>，22110log log c e=<=， b a c ∴>>.故选：D.7．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ，且12AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案：A证明CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，求出此角后，利用11//B C BC 可得结论， 解：∵90BAC ∠=︒，12AC BC =，∴30CBA ∠=︒， ∵1BC AC ，AB AC ⊥，1BC ABB ，1,BC AB ⊂平面1ABC ，∴AC ⊥平面1ABC ，∴CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，即BC 与平面1ABC 所成的角是30， ∵棱柱中11//B C BC ，∴11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为30， 故选：A ．点评：思路点睛：本题考查求直线与平面所成的角，解题方法是定义法，即过直线一点作平面的垂直，得直线在平面上的射影，由直线与其射影的夹角得直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角．解题过程涉及三个步骤：一作出图形，二证明所作角是直线与平面所成的角，三是计算．8．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],4-∞ B ．(]4,4-C ．()4,-+∞D ．[)4,4-答案：B令()23x x a g ax -+=，则可得()22240a g a ⎧≤⎪⎨⎪=+>⎩，解出即可. 解：令()23x x a g ax -+=，其对称轴为2a x =， 要使()f x 在[)2,+∞上是增函数，则应满足()22240a g a ⎧≤⎪⎨⎪=+>⎩，解得44a -<≤.故选：B.9．若222+=a b c （0c ≠），则直线0ax by c 被圆222x y +=所截得的弦长为（ ） A ．22B 2C ．2D ．22答案：C求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长．解：∵222+=a b c （0c ≠），圆心O 到直线的距离为1d ==，圆半径为r =所以弦长为2l ===． 故选：C ．10．已知函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断答案：A利用幂函数的定义求出m ，利用函数的单调性和奇偶性即可求解． 解：∵函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，∴25=1m m --，解得：m= -2或m=3． ∵对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，∴函数()f x 为增函数， ∴260m ->， ∴m=3（m= -2舍去） ∴()3=f x x 为增函数．对任意a ，b R ∈，且0a b +>， 则- a b >，∴()()()f a f b f b >-=- ∴()()0f a f b +>． 故选：A点评：(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x 前的系数为1； (2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．11．已知点(),x y 是曲线y =23y x --的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．[]0,2C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B在平面直角坐标系中作出曲线24y x =-，这是一个半圆，23y x --的几何意义是半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率，由几何意义易得结论． 解：曲线24y x =-是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，23y x --表示半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率， 由图，20232QB k -==-，当0QA k =时，直线QA 与半圆相切， ∴02PQk ≤≤，即23y x --的取值范围是[0,2]．故选：B ．点评：方法点睛：本题考查分式的取值范围，解题方法是数形结合思想，利用分式的几何意义：23y x --可以表示动点(,)x y 与定点(3,2)连线的斜率，从而作出动点所在曲线，由几何意义易得解．12．已知函数()2log ,0,1,0.x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩若()()()()1234f x f x f x f x ===（1x ，2x ，3x ，4x 互不相等），则1234x x x x +++的取值范围是（注：函数()1h x x x=+在(]0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增）（ ） A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦答案：D作出函数()f x 的图象，设1x <2x 0<<3x 1<<4x ，由图象的性质 求得12+2x x =-，341x x ⋅=，再利用双勾函数求得34522x x <+≤，代入可得选项． 解：作出函数()f x 的图象如下图所示：设1x <2x 0<<3x 1<<4x ，且()12+212x x =⨯-=-，当2324log log x x =时，即2324log log x x -=，所以()2324234log +log log 0x x x x ⋅==，所以341x x ⋅=，当2log 1x =时，解得312x =，42x =，所以412x <≤ 设34441t x x x x =+=+，又函数1y x x=+在()1,+∞上单调递增， 所以44111521+2+122t x x =<=+≤=，即34522x x <+≤， 所以123452+22+2x x x x -<+++≤-，即1234102x x x x <+++≤， 故选：D ．点评：关键点点睛：本题考查分段函数的函数值相等的问题，解决的关键在运用运用数形结合的思想，作出函数的图象，求得变量的范围． 二、填空题 13．函数()21f x x =--的定义域为______.答案：[2,3)(3,)⋃+∞． 求得使函数式有意义的x 的范围．解：由题意020210x x x ⎧>⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得2x ≥且3x ≠．故答案为：[2,3)(3,)⋃+∞．14．已知函数()()()2log 0102x x x f x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()4f a =，则a =______.答案：16或-2讨论0a >和0a ≤两种情况讨论，解方程，求a 的值. 解：当0a >时，2log 416a a =⇒=，成立，当0a ≤时，1422aa ⎛⎫=⇒=- ⎪⎝⎭，成立， 所以16a =或2-. 故答案为：16或2-15．圆221:24200O x y x y +-+-=与圆222:48160O x y x y ++--=的公切线条数是______. 答案：2求出圆心距，判断两圆的位置关系后可得化切线的条数．解：圆1O 标准方程是22(1)(2)25x y -++=，1(1,2)O -，半径为5R =，圆2O 标准方程是22(2)(4)36x y ++-=，2(2,4)O -，半径为6r =，又12O O ==∵12R r OO R r -<<+，∴两圆相交，公切线有2条． 故答案为：2．点评：结论点睛：本题考查两圆公切线问题，根据两圆位置关系可得公切线条数： 相离：4条；外切：3条；相交：2条；内切：1条；内含：无公切线． 16．已知函数()()1ln 11f x x x=+-+，若()()log 31a f f ≥（0a >且1a ≠），则a 的取值范围为______.答案：(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭分析出函数()f x 为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，由()()log 31a f f ≥可得出()()log 31a f f ≥，可得出lg lg3a ≤且1a ≠，利用对数函数的单调性解此不等式即可得解.解：函数()()1ln 11f x x x=+-+的定义域为R ， ()()()()11ln 1ln 111f x x x f x x x-=+--=+-=+-+，即函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，函数()()1ln 1ln 1y x x =+=+单调递增，函数21111y x x ==++单调递减，所以，函数()()1ln 11f x x x=+-+在[)0,+∞上单调递增， 由()()log 31a f f ≥可得()()log 31a f f ≥，则log 31a ≥，即lg31lg a≥，可得lg lg3a ≤，所以，1lglg3lg lg33a =-≤≤，解得133a ≤≤且1a ≠.因此，实数a 的取值范围是(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭. 故答案为：(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.点评：方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 三、解答题 17．设集合1,202xA y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}0ln 1B x x =≤≤，{}12,C x t x t t R =+<<∈.（1）求A B ；（2）若AC C =，求t 的取值范围.答案：（1）{}1x x e ≤≤（2）2t ≤.（1）先利用指数函数的单调性和对数函数的单调性，化简集合A,B ，再利用集合的交集运算求解. （2）根据AC C =，则C A ，然后分C =∅和 C ≠∅两种情况讨论求解.解：（1）因为集合{}14A y y =≤≤，{}1B x x e =≤≤， 所以AB {}1x x e =≤≤；（2）因为A C C =，则C A ，当C =∅时，12t t +≥，解得 1t ≤，当 C ≠∅时，则 121124t t t t +<⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，解得 12t <≤，综上：实数t 的取值范围是2t ≤.18．已知直线l 经过两直线1:3120l x y -+=，2:3260l x y +-=的交点，且与直线230x y --=垂直.（1）求直线l 的方程；（2）若第一象限内的点(),P a b 到x 轴的距离为2，到直线l的距离为+a b 的值.答案：（1）220x y +-=；（2）7．（1）求出12,l l 交点坐标，再由垂直得斜率（可设出直线方程），从而得直线方程；（2）由点到直线距离公式列出关于,a b 的方程解之可得．解：（1）由31203260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得26x y =-⎧⎨=⎩，即两直线交点为()2,6-， 由l 与直线230x y --=垂直，则2l k =-，∴l 方程为62(2)y x -=-+，即220x y +-=；（2）∵第一象限内的点(),P a b 到x 轴的距离为2，所以2b =，0a >，又P 到直线l的距离为=，5a =（∵0a >），∴7a b +=． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB平面ACM；（2）求三棱锥P ACM-的体积.答案：（1）证明见解析；（2）23．（1）连接BD交AC于点O，由中位线定理得//OM PB，从而得证线面平行；（2）由M是PD中点，得12M ACD P ACDV V--=，求出三棱锥P ACD-的体积后可得．解：（1）如图，连接BD交AC于点O，连接OM，则O是BD中点，又M是PD中点，∴//OM PB，又PB⊄平面ACM，OM⊂平面ACM，所以//PB平面ACM；（2）由已知12222ACDS=⨯⨯=，11422333P ACD ACDV S PA-=⋅=⨯⨯=△，又M是PD中点，所以1223M ACD P ACDV V--==，所以23P ACM P ACD M ACDV V V---=-=．点评：思路点睛：本题考查证明线面平行，求三棱锥的体积．求三棱锥的体积除掌握体积公式外，还需要注意割补法，不易求体积的三棱锥（或一个不规则的几何体）的体积可通过几个规则的几何体（柱、锥、台等）的体积加减求得．三棱锥的体积还可通过转化顶点，转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积，从而得出结论．20．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，若超出A万元，则奖励()2log 1A +万元，没超出部分仍按5%进行奖励.记奖金为y 万元，年销售利润为x 万元.（1）写出y 关于x 的函数解析式；（2）如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？答案：（1）()20.05,01005log 99,100x x y x x ≤≤⎧=⎨+->⎩；（2）131 （1）根据题意分别求出0100x ≤≤和100x >时的解析式即可；（2）可判断100x >，利用（1）中解析式即可求出.解：（1）由题可得当0100x ≤≤，0.05y x =，当100x >时，()()221000.05log 10015log 99y x x =⨯+-+=+-，()20.05,01005log 99,100x x y x x ≤≤⎧∴=⎨+->⎩； （2）105>，100x ∴>，则()25log 9910x +-=，解得131x =，所以他的年销售利润是131万元.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，12AA AB =，E 为1CC 的中点.（1）证明：1//AC 平面BDE ；（2）证明：平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）求二面角E BD C --的大小.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4π．（1）设BD C O =，由1//AC OE ，得证线面平行；（2）证明BD ⊥平面1ACC ，可得证面面垂直；（3）证明EOC ∠是二面角E BD C --的平面角，求出此角即可．解：（1）证明：设BD C O =，连接OE ，则O 是AC 中点，又E 是1CC 中点， ∴1//AC OE ，又OE ⊂平面BDE ，1AC ⊄平面BDE ，∴1//AC 平面BDE ．（2）1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴1CC BD ⊥，同理1CC AC ⊥，又正方形中BD CA ⊥，1AC CC C =，1,AC CC ⊂平面1ACC ，∴BD ⊥平面1ACC ，又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）∵BD ⊥平面1ACC ，OE ⊂平面1ACC ，∴BD OE ⊥，∴EOC ∠是二面角E BD C --的平面角， 由已知112CC AA AB ==，而2AC AB =，,E O 分别是1,CC AC 中点， ∴OC CE =，∴4EOC π∠=．即二面角E BD C --的大小为4π．点评：关键点点睛：本题考查证明线面平行，面面垂直，考查求二面角的大小．解题关键是掌握证明线面平行，面面垂直的判定定理，证明时需要满足定理的所有条件，一个都不能少地列举出来才能得出结论，否则证明过程不完整．而求二面角，只要作出二面角的平面角（并证明），然后解三角形即可．22．已知圆22:2410C x y x y +--+=.（1）若过点()0,5A 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的斜率；（2）从圆C 外一点P 向该圆引一条切线，切点为M ，若PM PA =，求PM 最小时点P 的坐标.答案：（1）13±；（2）341,1010P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）切线斜率存在，设切线方程为5y kx =+，由圆心到切线的距离等于半径求得k 值得切线方程；（2）设(,)P x y ，由已知求出P 点轨迹方程，得P 轨迹是直线，要使PM 最小，则只要PC 最小，因此只要有PC 与轨迹直线垂直即可，由此可求得P 点坐标．解：（1）圆C 标准方程是22(1)(2)4x y -+-=，圆心为(1,2)C ，半径为2r ， 过A 所作圆C 的切线斜率存在，设切线方程为5y kx =+，即50kx y -+=，2=，解得13k =± （2）设(,)P x y ，则由PM PA =得．=，化简得：3120x y -+=，此即为点P 的轨迹方程，轨迹是直线． 要使得PM 最小，则只要PC 最小即可，所以CP l ⊥，设(,)P m n ，则3120231m n n m -+=⎧⎪-⎨=-⎪-⎩，解得3104110m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．即341,1010P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 点评：关键点点睛：本题考查直线与圆相切问题，考查切线长最短问题．直线与圆相切的一般解法是圆心到切线的距离等于圆的半径，只要设出切线方程，由此列式可求得参数值，切线长最短，根据切线长的求法，只要圆外的点到圆心距离最小，则切线长最短．再利用圆外点的轨迹河得求解方法．。
河南省天一大联考2020-2021学年(上)高一年级期末考试数学试题(扫描版)
大联考2020-2021学年（上）高一年级期末考试数学考生注息：1 •怎题前，考生务必将自己的M名、考生号堀写在试卷和答題卡上■并将考生号条形码粘貼在备題卡上的柑定位置.2.回答选择题时■选出毎小题答喩丘・用辂笔把零题卡对应题FJ的盛案标号涂黑.如宜改动•用橡皮隸干净后•再选涂其他答案标号.闵答非选择题时•箝冬叢场庄冬题卡上•1；在本试卷上尢效.3•考试结束心•新本试恋和答赵卡一并交同.一、选择題:本题共12小題，毎小題5分，共60分在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-过点（-1,3）且斜率为+的貢线在x抽上的截距为A. ■ 8B. -7 C・—~~ D. ~2・已知全集—R,集^4 = 10,1,23,4,51^= |xeRlx>3|,SI图中阴影部分所表示的集合是A. 2,1,2}B.门,2|C. 10,1.2.3.41D. |0.1t2,3|3・下列四组函数中•表示相等甬数的一组杲A・/(R) "£(£)=Ig 101=—9g(x) =x - 1■ +丨C./(x) =7? 9g(x) =(vf)2D./(x) =l t g(x) 4 •设点P（l.IJ）关于原点的对称点为P，,则IPPT二A・再B・2万C・2疗 D.65. 一个几何体的三视图如图所示■则该几何体的外接球的表面枳是侑机阳A. 2TTB. 3ITC. 4灯D. 16H数学试題第1页（共4页）二、填空題:本題共4小題,毎小题5分■共20分.磁心养的定义域为log 2x(x >0) • z 1 V- 若 /(o) =4.則 « - _____ •(1) (515.圓 0, ：?+4r -20 =0 与圆 02:? 4-/ +4x-8r - 16 ・0 的公切线条数是16.已知函数/（才）=ln （l ♦ 1刃）■比亓■若/（I 临3）刃⑴（a >0且狞［）•则a 的取值世国为.数学试超第2页（共4页）6•设 a ・ln 2,6 =握、c = log,丄，则 A ・ a > b>cB. a >c>bC.c>a>b7 •在三梭柱MCfBC 中，乙bIChQOo.BG 丄*C,且航二才DC,则直线与平面.MC,所成的角的大小为A ・30°B. 45°G 60° D. 90°&若函数/(x)=lo g2(x ,-axt3a)在[2.+8)上是堆函数.则实数。
2020-2021学年河南省天一大联考高三(上)期末数学试卷(文科) (解析版)
2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．62．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．23．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．124．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．1856．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．平面向量，若，则λ＝．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6解：∵A＝{x|0＜x＜5}，B＝Z，∴A∩B＝{1，2，3，4}，∴A∩B中元素的个数为：4．故选：B．2．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．2解：设z＝a+bi，则，因为z+2＝3﹣i，所以a+bi+2（a﹣bi）＝3﹣i，所以3a﹣bi＝3﹣i，所以3a＝3，﹣b＝﹣1，所以a＝1，b＝1，所以z＝1+i，故|z|＝．故选：B．3．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．12解：在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，设袋中球的总数为n，∵袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，∴，解得n＝10．则袋中球的总个数为10．故选：C．4．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．解：塔顶是正四棱锥P﹣ABCD，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面积为，因为，所以，所以△PAB是正三角形，面积为，所以．故选：D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．185解：i＝0，a＝1，b＝1；第一次执行循环体后，a＝3，b＝2，不满足退出循环的条件，i＝1；第二次执行循环体后，a＝7，b＝5，不满足退出循环的条件，i＝2；第三次执行循环体后，a＝15，b＝14，不满足退出循环的条件，i＝3；第四次执行循环体后，a＝31，b＝41，满足退出循环的条件；故输出a+b值为72，故选：C．6．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④解：因为，所以b＞a＞0，所以，故①正确；|b|＞|a|，故②错误；b3＞a3，故③错误；由指数函数f（x）＝为减函数，又b＞a，所以f（a）＞f（b），即，故④正确，故正确的是①④．故选：D．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π解：∵点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，∴AB＝，点C是f（x）的一个最值点，则△ABC的高为2，∴三角形的面积S＝＝1，∴T＝2，∴＝2，∴ω＝π，故选：D．8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．解：因为函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，所以f（﹣x）＝e﹣x+e x﹣（﹣x）2＝e x+e﹣x﹣x2＝f（x），所以函数为偶函数，又f′（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，故f″（x）＝e x+e﹣x﹣2≥0，所以f′（x）在R上单调递增，又f'（0）＝0，所以f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）等价于|2m|＞|m﹣2|，解得或m＜﹣2．故选：A．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．解：△ABC中，因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A+C，又A+B+C＝π，所以B＝．有余弦定理，可得b2＝a2+c2﹣2ac cos60°＝（a+c）2﹣3ac，即72＝132﹣3ac，所以ac＝40．所以△ABC的面积S＝ac sin B＝10．故选：C．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．解：由AB＝AC＝2，得cos∠BAC＝＝，则sin∠BAC＝，设OABC的外接圆半径为r，则2r＝＝＝8，所以r＝4，则球心O到平面ABC的距离等于＝3，则△ABC的面积S＝2×＝7，故三棱锥O﹣ABC的体积为＝7．故选：A．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．解：根据题意，函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），则f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为2的周期函数，又由f（x）为奇函数，则＝f（﹣log2257）＝f（8﹣log2257）＝﹣f（log2257﹣8），而8＝log2256＜log2257＜log2512＝9，则0＜log2257﹣8＝log2＜1，且当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝﹣f（log2）＝﹣（）＝﹣，故选：D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．解：∵直线3x+y﹣6＝0与直线x﹣3y+8＝0垂直，且交点为（1，3），∴以AB为直径的圆过点（1，3），又圆C与x轴相切，∴圆C的面积最小时，其直径恰好为点（1，3）到x轴的距离，此时圆的直径为3，则圆C面积的最小值为．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量，若，则λ＝．解：∵向量，∴﹣＝（3，﹣1），λ+＝（2λ﹣1，2λ+3）．∵，∴3（2λ﹣1）﹣1×（2λ+3）＝0，解得λ＝，故答案为：．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），联立，解得B（1，2），令z＝x﹣y，化为y＝x﹣z，作出直线x﹣y＝0，把直线平移，由图可知，当直线经过A时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最小，z有最大值1，当直线经过B时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最大，z有最小值﹣1，∴x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+∞）．解：f（x）的零点个数等价于曲线y＝|e x﹣a|与直线y＝1的交点个数，作出函数图象如图所示，由题意可知a＞1．故答案为：（1，+∞）．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．解：由题意知，A（﹣a，0），B（a，0），F（﹣c，0），把x＝﹣c代入双曲线方程中，有，∴y＝±，∴P（﹣c，），Q（﹣c，﹣），∵AP⊥BQ，∴＝（﹣c+a，）•（﹣c﹣a，﹣）＝c2﹣a2﹣＝0，化简得，a2＝b2，即a＝b，∴双曲线的离心率e＝＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．解：（Ⅰ）由题意，可得，整理，得S n＝2a n﹣2，当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，可得S n﹣1＝2a n﹣1﹣2．两式相减，可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，化简整理，得a n＝2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，n∈N*，（Ⅱ）由（Ⅰ），可得b n＝log4a n+1＝log42n+1＝，则，∴T n＝++…+＝4×（﹣）+4×（﹣）+…+4×（﹣）＝＝＝．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．解：（Ⅰ）由题意（0.005+0.010+a+0.030+a+0.015）×10＝1，解得a＝0.020．（Ⅱ）这些应聘者笔试成绩的平均数为：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15＝74.5．（Ⅲ）根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x，根据频率分布直方图可知x∈[60，70），且（70﹣x）×0.02+0.3+0.2+0.15＝0.75，解得x＝65．故估计应该把录取的分数线定为65分．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可得BD2＝AD2+AB2﹣2AB×AD cos∠BAD＝16，所以AD2+BD2＝AB2，因此AD⊥BD．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥BD．又因为AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1，DD1⊂平面ADD1，所以BD⊥平面ADD1，因为BD⊂平面DBE，所以平面DBE⊥平面ADD1．（Ⅱ）解：如图，在平面BCC1内作C1F⊥BE，垂足为F．由（Ⅰ）知BD⊥平面ADD1，因为平面ADD1∥平面BCC1，所以BD⊥平面BCC1，所以BD⊥C1F，又因为BD∩BE＝B，所以C1F⊥平面BDE．所以线段C1F的长就是点C1到平面BDE的距离．因为CC1＝DD1＝BD＝4，BC＝3，所以．在平面BCC1内，可知△BCE∽△C1FE，所以，得，所以点C1到平面BDE的距离为．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．解：（Ⅰ）设椭圆，根据条件可知，且，解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C1的标准方程为，曲线C2是以为焦点，为准线的抛物线，故C2的标准方程为y2＝9x；（Ⅱ）联立，解得x＝1，y＝±3，不妨取P（1，3），若直线l的斜率不存在，Q和R重合，不符合条件；故可设直线l：y＝k（x﹣1）+3，由题意可知k≠0，联立，解得，联立，解得，因为，所以P是QR的中点，所以，即，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x+2，其与x轴的交点坐标为（﹣2，0）．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数为．（1分）所以．又因为f（1）＝0，f（e）＝0，因此y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线方程分别为y＝﹣x+1和．令y＝1，可得M和N的坐标分别为（0，1）和，故．（Ⅱ）因为在（0，+∞）上单调递增，而，所以必然存在x0∈（1，2），满足f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0））时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．即f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，当x＝x0时，f（x）取得最小值f（x0）＝x0lnx0+1﹣x0﹣lnx0．由f′（x0）＝0，可得，所以．当x0∈（1，2）时，，所以．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．解：（Ⅰ）设直线l1和l2的倾斜角分别为β和γ，由参数方程知，则．（Ⅱ）令，得，所以A（1，0），令，得，所以B（﹣2，0），所以圆A的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝9，即x2+y2﹣2x＝8，所以圆A的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|2x+1|＝；当x≥1时，不等式f（x）≤5化为3x≤5，解得；当时，不等式f（x）≤5化为x+2≤5，解得；当时，不等式化为﹣3x≤5，解得．综上所述，不等式f（x）≤5的解集为．（Ⅱ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|≥|x+1+1﹣x|＝2，当且仅当﹣1≤x≤1时，等号成立，即f（x）的最小值为2．因为存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，所以2m﹣1＞2．解得，所以m的取值范围是．。
2023-2024学年河南省商丘市天一大联考高一(上)段考数学试卷(一)+答案解析(附后)
2023-2024学年河南省商丘市天一大联考高一（上）段考数学试卷（一）1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.已知集合，若，则满足条件的集合B的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 43.已知全集，集合，，则( )A. B. C. D.4.下列命题是真命题的是( )A. B. ，C. ，D. ，5.已知p：，q：关于x的不等式的解集为R，则p是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件6.若，则的最小值为( )A. 2B.C.D.7.已知集合，若，则实数a的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 48.已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是( )A.B.C. 不等式的解集为D. 不等式的解集为9.已知集合，则下列关系正确的是( )A. B. C. D.10.已知，，则下列关系正确的是( )A. B. C. D.11.下列说法正确的是( )A. 命题p：，使得，则p的否定：，B. 命题p：，，则p的否定：，C. 命题“任意一个平行四边形的四个顶点都在同一个圆上”的否定是假命题D. 命题“存在两个不全等三角形的面积相等”的否定是假命题12.已知关于x的方程，则下列结论正确的是( )A. 方程有一正一负两个实数根的充要条件是B. 方程有两个不相等的正实数根的充要条件是C. 方程无实数根的一个充分条件是D. 当时，方程的两实数根之和为113.不等式的解集为______ .14.已知集合，，且，则实数a的最大值为______ .15.若命题“，”是假命题，则实数m的最小值是______ .16.已知a，b为正实数，且满足，若存在a，b使不等式成立，则实数k的取值范围是______ .17.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断否定的真假.对任意，；存在，18.已知命题p：“，”，命题q：“，”，若p是真命题，q是假命题，求实数m的取值范围.19.已知集合，若，求；若中有且仅有一个元素，求实数m的值.20.已知集合，若，求a的取值范围；若是的充分不必要条件，求a的取值范围.21.某人投资180万元建成一座海水养殖场用于海参养殖，建成后每年可获得销售收入130万元，同时，经过预算可知年内须另外投入万元的经营成本.该海水养殖场从第几年起开始盈利总利润为正？该海水养殖场总利润达到最大时是第几年？请求出总利润的最大值.该海水养殖场年平均利润达到最大时是第几年？请求出年平均利润的最大值注：总利润=销售总收入-经营成本-投资费用22.已知关于x的方程其中m，p，q均为实数有两个不等实根，若，求m的取值范围；若，为两个整数根，p为整数，且，求，；若，满足，且，求p的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，则故选：根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．本题考查并集及其运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由，得，所以，又，则集合B可以为，或，故有3个．故选：求得集合，根据真子集的概念即可得出集合B的个数．本题考查真子集的概念，属基础题．3.【答案】B【解析】解：因为，，所以，又因为，所以故选：根据补集的概念与交集的运算，求解即可．本题考查了补集的概念与交集的运算问题，是基础题．4.【答案】C【解析】解：对于A，，当时，，该命题为假命题；对于B，因为，所以是无理数，该命题为假命题；对于C，是非负整数，也即自然数，所以该命题是真命题；对于D，因为，所以方程没有实数解，该命题为假命题．故选：结合绝对值的代数意义检验选项A；结合数的分类检验选项BC；结合二次方程根的存在条件检验选项本题考查量词及命题的真假关系的判断，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：p：，即p：，因为关于x的不等式的解集为R，所以，即，解得，因为可以推出，而推不出，所以p是q的充分不必要条件．故选：先求出p，q中m的取值范围，再结合充分条件和必要条件的定义判断．本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为故选：化，利用基本不等式求最小值即可．本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意得，即，解得，因为，所以，而，故故选：由已知结合集合相等条件即可求解．本题考查集合相等以及集合中元素的特性．8.【答案】C【解析】解：由已知可得，3是关于x的一元二次方程的两根，且，由根与系数的关系可得，所以，，故A错误；因为，所以，故B错误；因为，所以不等式可化为，而，所以，故C正确；不等式可化为，即，解得或，故D错误．故选：由题意可得，3是关于x的一元二次方程的两根，且，再利用韦达定理，以及一元二次不等式的解法求解即可．本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．9.【答案】ABC【解析】解：集合A中有两个元素：0和，则A，B正确，D错误；是任何非空集合的真子集，故C正确．故选：根据元素与集合，集合与集合的关系逐一检验选项即可．本题考查元素与集合，集合与集合的关系，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：对于A，不妨设，，满足，，但，故A错误；由，得，故B正确；，因为，，，，所以，故C正确；，因为，，，，所以，故D正确．故选：根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．本题考查不等式的基本性质，属于基础题．11.【答案】AD【解析】解：对于A，“，使得”的否定为“，”，故A 正确；对于B，命题p：，，故p的否定为“，”，故B错误；对于C，原命题的否定为“存在一个平行四边形的四个顶点不在同一个圆上”，为真命题，故C错误；对于D，对于两个等底等高的三角形，它们面积相等但不全等，故原命题为真命题，其否定为假命题，故D 正确．故选：根据已知条件，结合命题否定的定义，即可求解．本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，由题意得，解得，故A正确．对于B，由题意得，解得，故B正确．对于C，若方程无实数根，则，解得，故该条件的一个充分条件可以是，故C正确；对于D，当时，，方程无实数根，故D错误．故选：由题意，利用一元二次方程根的分布与系数的关系，得出结论．本题考查解一元二次方程和充要条件，属于基础题．13.【答案】【解析】解：由可得，解得故答案为：利用移项通分化简可求．本题考查解分式不等式的求解，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由题意得因为，所以，解得，故a的最大值为故答案为：求出集合A的补集，根据已知包含关系列不等式，可得实数a的最大值．本题考查集合间的关系及集合的运算，属于基础题．15.【答案】【解析】解：因为命题，是假命题，所以命题，是真命题，当时，，所以，即m的最小值是故答案为：题意得，是真命题，然后结合含有量词的命题的真假关系与最值关系的转化即可求解．本题考查量词和命题的真假判断．16.【答案】或【解析】解：因为a，b为正实数，且满足，所以，当且仅当，即，时，等号成立．因为存在a，b使成立，故只需，即，解得或故答案为：或利用基本不等式求的最小值，再解一元二次不等式，从而求得k的取值范围．此题考查了基本不等式求最值问题，考查了函数恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】解：对任意，为全称量词命题．其否定为：存在，，由方程可得，所以对任意，为假命题，故否定为真命题．存在，为存在量词命题．其否定为：对任意，，因为，所以对任意，，故否定为真命题．【解析】根据全称命题和命题否定的定义，并判断真假，即可求解；根据特称命题和命题否定的定义，并判断真假，即可求解；本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．18.【答案】解：根据题意，命题p：“，”，命题q：“，”，若p为真命题，即恒成立，又由，则有，故要使恒成立，则须若q是假命题，所以q的否定为真命题，即命题“，使得”为真命题，故有实根，所以，解得或综上，实数m的取值范围为【解析】根据题意，分析命题p是真命题，q是假命题时m的取值范围，综合可得答案．本题考查命题的真假判断，涉及存在量词命题和全称量词命题的定义，属于基础题．19.【答案】解：已知集合，当时，，联立消去y得，解得或当时，；当时，故联立，得，因为中有且仅有一个元素，所以方程有唯一解．可以分两种情况考虑：①当时，方程只有一个根，符合题意；②当时，方程有两个相等的实数根，即，从而可得，解得，故实数或【解析】联立求解即可；联立，得，因为中有且仅有一个元素，所以方程有唯一解，然后求解即可．本题考查集合的运算，重点考查了解方程，属中档题．20.【答案】解：，，，或，当时，，集得，当时，，且或，解得或，实数a的取值范围是或；由是的充分不必要条件，得，即，由知，又，，解得，故实数a的取值范围为【解析】先求出集合A，B，再利用集合的基本运算求解；由题意可知，即，列出关于a的不等式组，求出a的取值范围即可．本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于中档题．21.【答案】解：设第x年时，该海水养殖场的总利润为y万元，由题意可得，令，得，解得因为，所以该海水养殖场从第3年起开始盈利；，所以当，y取得最大值320，即第10年时，总利润达到最大，最大值为320万元；设年平均利润为W万元，则，当且仅当，即时等号成立，所以第6年时，年平均利润达到最大，最大值为40万元．【解析】设第x年时，该海水养殖场的总利润为y万元，由题意可得，解出x的范围即可；利用二次函数的性质求解；利用基本不等式求解．本题主要考查了函数的实际应用，考查了一元二次不等式和基本不等式的应用，属于中档题．第11页，共11页22.【答案】解：当，原方程为，由于该方程有两个不等实根，故有，解得，故实数m 的取值范围为将代入方程，可得，再根据，且，解得或因为，为两个整数根，p 为整数，所以为整数，所以或把代入方程，可得，解得，把代入方程，得，解得，综上，当时，，；当时，，因为，所以又方程有两个不等实根，，所以，整理得由根与系数的关系得由足整理可得，整理得，所以，解得则，解得，即p 的取值范围为【解析】由题意，利用判别式大于零，求得m 的取值范围．先利用判别式大于零，求出p 的范围，再利用韦达定理从而判断或1，再分别代入方程，求出，先利用判别式大于零，整理得，再利用由根与系数的关系，求得p 的取值范围．本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理，属于中档题．。