微积分 两个重要极限 第二个公式的变形,应用,技巧
两个重要极限的推广及应用
两个重要极限的推广及应用极限在微积分中占有重要的地位，是微积分的基石。
两个重要极限是极限内容中的重点和难点。
因此本文结合实例对其进行深入分析，来探究两个重要极限的基本形式及其推广应用。
标签：重要极限；推广；应用0 引言极限概念是微积分学的理论基础，极限方法是微积分学的基本分析方法，掌握和运用好极限方法是学好微积分学的关键。
在极限这部分内容的教学中，两个重要极限是重点、也是难点。
在极限计算、导数公式推导过程中，两个重要极限占有极其重要的地位。
两个重要极限能够简化复杂的极限运算，使我们更容易深刻理解并記忆导数公式；进而体现了两个重要极限的“重要性”。
1 两个重要极限的基本形式及其推广形式极限贯穿了微积分的全部内容，是微分和积分的基石。
利用两个重要极限求极限是极限内容中的重点和难点。
本文将通过实例对两个重要极限及其推广形式进行一些分析、归纳。
1.1 第一个重要极限的基本形式：运用这个极限时，我们应注意以下几点：（1）分数线上面与下面的x要保持一致；（2）x→0当时，分子、分母都趋于0，即型未定式；（3）x可以是一个未知数，也可以是一个函数：如当时，有。
因此，这一重要极限可以推广为，其中Δ代表一个未知量。
1.2 第二个重要极限的基本形式：运用这个极限时，我们应注意以下几点：（1）x可以是一个未知数，也可以是一个函数：（2）括号内1后面的部分与括号外的幂次互为倒数，这个重要极限可以转化为1∞这种未定式。
因此，这一重要极限可以推广为或，其中Δ代表一个未知量。
2 两个重要极限在微分学中的应用极限在微分学中应用非常广泛，其中导数定义就是由极限来定义的；而两个重要极限则是推导一些重要极限的有力工具，比如三角函数和对数函数导数的推导。
以上实例说明运用两个重要极限可以推导一些导数公式，而且有些时候必须用两个重要极限求导数，比如（sinx）/=cosx等用其他方法很难求出。
由此可见，在推导基本初等函数的求导公式的过程中，尤其是有关三角函数的求导过程中，两个重要极限起到了非常关键的作用。
微积分：极限存在准则与两个重要极限
02
两个重要极限
第一个重要极限
总结词
当x趋近于0时，sin(x)/x的极限为1。
详细描述
这个极限描述了正弦函数和x轴在x=0处的交点附近的相对大小关系。具体来说， 当x的值非常接近0时，sin(x)和x的大小关系近似相等。
第二个重要极限
总结词
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限为e。
= 2epsilon$。最后，我们得出结论 $lim_{n to infty} a_n = L$。
极限存在准则的应用
应用场景
极限存在准则在实数序列的收敛性判断中有着广泛的应用。例如，在判断一个数列是否收敛时，我们 可以先找到一个收敛的子序列，然后利用极限存在准则判断原序列是否收敛。
应用方法
首先，我们需要找到一个收敛的子序列。这可以通过选取适当的项或通过数学变换实现。然后，利用 极限存在准则，我们可以判断原序列是否收敛。如果原序列收敛，则极限值等于子序列的极限值；否 则，原序列发散。
详细Байду номын сангаас述
这个极限描述了一个增长速度的问题。 具体来说，当x的值非常大时， (1+1/x)^x的增长速度近似等于e，这 是自然对数的底数，约等于2.71828。
两个重要极限的证明
第一个重要极限的证明
通过使用三角函数的性质和等价无穷 小替换，可以证明当x趋近于0时， sin(x)/x的极限为1。
第二个重要极限的证明
通过使用二项式定理和等价无穷大替 换，可以证明当x趋近于无穷大时， (1+1/x)^x的极限为e。
03
微积分中的其他概念
导数
导数定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在 该点的切线斜率。
大学微积分上册第二章两个重要极限ppt课件
8
例3.求
sin 4x lim x0 x
lim x0
2sin 2x cos2x x
lim 4sin x cosx cos2x
x0
x
lim 4sin x cosx cos2x x0 x
4
方法2 lim sin 4x lim sin 4x 4 4
x0 x
x0 4x
9
推广: lim sin 1 ( lim 0 )
1
( x)(1)
)
x x
x x
lim 1 (
1
)
x
1
x x
e1
18
例12.求
lim
x
1x
x x 1
解 lim x 1x lim 1 2 x x x 1 x x 1
lim 1
2
x2121
2
1
e2
x x 1 x 1
方法2：lim x
x 1x
x 1
(1 lim
§2.4 极限存在准则 两个重要极限
1、夹逼定理 2、两个重要极限
1
一、极限存在准则
准则1. (夹逼定理)
如果变量 x, y及 z 满足：
1. y x z 2.lim y limz A
则 lim x A
准则2
单调有界数列必收敛. 单调增有上界数列必收敛. 单调减有下界数列必收敛.
2
例1. 利用夹逼定理证明 lim 1 1 1
x
(1
1)x x 1)x
lim (1 1 )x
x
x
lim (1 1 )x
e1 e2 e
x
x
x
19
练习一下
高数第-章极限存在准则两个重要极限PPT课件
高数第-章极限存在准 则两个重要极限ppt 课件
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REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存 在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的 方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、 微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各 种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其 稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市 场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策 制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研 究多元函数在某一点或某一区域内的极限行 为。
2023
PART 03
两个重要极限公式
两个重要极限公式
两个重要极限公式：极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。
1、第一个重要极限的公式：
lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1。
特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0。
2、第二个重要极限的公式：
lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）当x →∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x →0 时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。
极限的求法
连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。
利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）
利用无穷大与无穷小的关系求极限。
利用无穷小的性质求极限。
利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。
利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。
也谈两个重要极限的变形
也谈两个重要极限的变形作者：杨松林来源：《数学学习与研究》2019年第19期【摘要】本文总结了重要极限Ⅰ：limx→0sinxx=1和重要极限Ⅱ：limx→0（1+x）1x=e多种变形，结合实例讨论了这些变形在求极限中的应用，希望有助于提高学生求极限的能力.【关键词】极限;重要极限;无穷小量一、引言函数的极限是微积分学习的重要组成部分，在微积分的体系起着必不可少的纽带作用，也是微积分入门的主要障碍之一.重要极限Ⅰ：limx→0sinxx=1和重要极限Ⅱ：limx→0（1+x）1x=e[1]是极限运算的重要组成部分，是高等数学竞赛和研究生入学考试的重要考点.文献[2][3]等给出了重要极限Ⅱ的变形.[2]中给出重要极限Ⅱ的一种变形，这一变形是重要极限Ⅱ的考虑最全面的变形之一，但在该变形中要用到带Peano型余项的Taylor展开式，对一般的学生掌握有一定的难度.本文从便于学生学习和掌握的角度总结出重要极限的几种变形，一方面，学生在学完第一章[1]极限知识后，就可以直接使用这些变形来求具有一定难度的函数极限;另一方面，可以不用Taylor展开式来处理一类1∞型幂指函数的极限.本文通过多个实例来说明重要极限及其变形的应用和重要极限在微积分学习中的重要性，希望对学生学习和应用重要极限具有指导意义，以提高学生求极限的能力.二、重要极限的变形以下讨论仅给出x→x0的情形，如没特别注明对x→∞的情形，结论也成立.记o（α（x））为α（x）当x→x0时的高阶无穷小.重要极限Ⅰ limx→0sinxx=1[1].重要极限Ⅰ主要用来处理00型的极限.形式一：设limx→x0α（x）=0，则limx→x0sinα（x）α（x）=1.形式二：设α（x）和β（x）是x→x0时的同阶无穷小且limx→x0β（x）α（x）=k≠0，则limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））α（x）+o（α（x））=k.证明对极限进行变形，limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））α（x）+o（α（x））=limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））β（x）+o（β（x））·β（x）+o（β（x））α（x）+o（α（x））=limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））β（x）+o（β（x））·limx→x0β（x）+o（β（x））α（x）+o（α（x）），设g（x）=β（x）+o（β（x）），由limx→x0g（x）=0及形式一得limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））β（x）+o（β（x））=limx→x0sing（x）g（x）=1，limx→x0β（x）+o（β（x））α（x）+o（α（x））=limx→x0β（x）α（x）+β（x）α（x）·o（β（x））β（x）1+o（α（x））α（x）=k，因此，limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））α（x）+o（α（x））=1·k=k.文[4]给出重要极限Ⅰ的一个关于多元函数的变形.形式三[4] 设n为正整数，ai（i=1，2，…，n）为常数，则limxi→0i=1，2，…，na1sinx1+a2sinx2+…+ansinxna1x1+a2x2+…+anxn=1.重要极限Ⅱ limx→0（1+x）1x=e或limn→∞1+1nn=e[1].重要极限Ⅱ主要用来处理1∞型幂指函数的极限，其应用比重要极限Ⅰ的应用更为广泛，题型多种多样.形式一：设α（x）是x→x0时的无穷小，则limx→x0（1+α（x））1α（x）=e.形式二：设α（x）和β（x）是x→x0时的等阶无穷小，则limx→x0（1+α（x））1β（x）=e.形式三：设limn→∞xn=0，limn→∞yn=0且limn→∞xnyn=k≠0，则limn→∞（1+xn）1yn=ek.形式四：设limx→x0α（x）=1，limx→x0β（x）=0且limx→x0α（x）-1β（x）=k≠0，则limx→x0（α（x））1β（x）=ek.证明 limx→x0（α（x））1β（x）=limx→x0（1+（α（x）-1））1β（x），其中limx→x0α（x）-1β（x）=k，因此，由形式二得limx→x0（α（x））1β（x）=ek.形式五[2]：设α（x）和β（x）是x→x0时的同阶无穷小且limx→x0α（x）β（x）=k≠0，则limx→x0（1+α（x）+o（α（x）））1β（x）+o（β（x））=ek.形式五是重要极限Ⅱ的考虑最全面的变形之一，但在该变形中要用到带Peano型余项的Taylor展开式，对学生的要求比较高，学生应用起来有一定的难度，不便于对微积分中等要求的学生掌握.三、应用实例例1 求极限limx→0sin（x+sinx2）sin3x+tanx3.解这是一个00型的极限，通常可以用洛必達法则求其极限.我们利用重要极限Ⅰ的形式二，不需要导数的概念，只要利用等价无穷小.因为，当x→0时，sinx2～x2=o（x），tanx3～x3=o（x），所以，x+sinx2=x+o（x），sin3x+tanx3=sin3x+o（x），因此，limx→0sin（x+sinx2）sin3x+tanx3=limx→0sinxsin3x=13.例2 求极限limn→∞12+n（n+1-n）n+1+n+1n+1-n.解这是一个幂指函数型的数列极限，通常可以转化为函数的极限，然后用洛必达法则来求其极限.我们利用重要极限Ⅱ的形式三，可不用导数的概念直接计算.原式=limn→∞1+n-n+12（n+1+n）n+1+n+1n+1-n，其中limn→∞n-n+12（n+1+n）=0，因为limn→∞n-n+12（n+1+n）1n+1+n+1n+1-n=-12，所以由重要极限Ⅱ的形式三得，原式=e-12.例3 求极限limx→01+sinxcosax1+sinxcosbxcot3x（a≠b）.解这是一个1∞型的极限，通常可以用洛必达法则求其极限.我们利用重要极限Ⅱ的形式四，只要计算下列极限：l imx→01+sinxcosax1+sinxcosbx-1tan3x=limx→0sinxcosax-sinxcosbxtan3x（1+sinxcosbx）=limx→0cosax-cosbxsin2x=limx→0-2sina+b2xsina-b2xsin2x=12（b2-a2）.因此，原式=e12（b2-a2）.例4 设函数f（x）在x=a处二阶可导，且f（a）≠0，求limn→∞f（a+1n）f（a）n.解这是一个1∞型的数列极限，我们用重要极限Ⅱ的形式三来计算其极限.原式=limn→∞1+fa+1n-f（a）f（a）n，其中limn→∞f（a+1n）-f（a）f（a）=limn→∞f（a+1n）-f（a）1n·1nf（a）=0，因为limn→∞f（a+1n）-f（a）f（a）1n=f′（a）f（a），所以由重要极限Ⅱ的形式三得，原式=ef′（a）f（a）.该题也可以重要极限Ⅱ的形式五来计算其极限.因為函数f（x）在x=a处二阶可导，所以由Taylor展开式得fa+1n=f（a）+f′（a）n+o1n2，即有，fa+1n-f（a）f（a）=f′（a）nf（a）+o1n2，因为limn→∞f′（a）nf（a）1n=f′（a）f（a），所以由重要极限Ⅱ的形式五得，原式=ef′（a）f（a）.我们也可以用上述变形来处理二元函数的极限.例5 求极限limx→3y→∞1+yyx2x+y.解这是一个1∞型的二元函数极限，我们同样可以利用重要极限Ⅱ的形式四来计算，只要计算下列极限：limx→3y→∞1+yy-1x2x+y=limx→3y→∞x+yx2y=1，因此，原式=e1=e.本文总结了重要极限Ⅰ和Ⅱ的一些重要变形，通过实例探讨了这些变形的应用，希望能给学生在学习极限时有所帮助，提高学生学习微积分的兴趣，对后继知识的学习能起到一个很好的铺垫作用.【参考文献】[1]同济大学数学系.高等数学：第7版[M].北京：高等教育出版社，2014.[2]牛传择，桑波，颜红.第二重要极限的一种简易变形[J].大学数学，2016（5）：105-108.[3]潘花，仇海全，王颖.第二重要极限在函数极限计算中的应用[J].吉林工程技术师范学院学报，2016（32）：94-96.[4]杨东成.两个重要极限的新证法及推广[J].保山学院学报，2012（5）：57-59.。
第二类重要极限的简易算法
第二类重要极限的简易算法作者：孙明岩来源：《教育教学论坛·上旬》2012年第08期摘要：两个重要极限的计算问题是极限这一章的重点和难点，本文通过证明推导出关于第二类重要极限计算的一种简易算法。
关键词：第二类重要极限；系数；指数中图分类号：O13；G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）08-0053-02一、第二类重要极限及其常规算法第二类重要极限是高等数学、微积分极限这部分内容的难点之一，学生在计算时很容易出错。
第二类重要极限的公式形式有两种：■（1+■）x=e，■（1+x）■=e。
对于第二类重要极限计算题可以用换元法来做。
例1 求■（1+■）x解令u=■，当x→∞时，u→0，于是有■（1+■）x=■（1+u）■=[■（1+u）■]2=e2。
例2 求■（1+2x）■解令u=2x，当x→0时，u→0，于是有■（1+2x）■=■（1+2x）■=[■（1+u）■]2=e2第二类重要极限的推广型：x→x0，g（x）→0，■（1+■）g(x)=e（参见[1]）。
第二类重要极限的一些题目不换元，也可以直接计算：例3 求■（1-■）2x+1解■（1-■）2x+1=■（1-■）2x（1-■）=■（1-■）2x■（1-■）=■[（1-■）■]■■（1-■）=e■·1=e■二、第二类极限简易算法定理1：若a≠0，c≠0，则■（1+■）■=e■。
证明：■（1+■）■=■[（1+■）■]■■（1+■）■=e■·1=e■。
定理2：■（1+■）■=e■证明：■（1+■）■=■[（1+■）■]■■（1+■）■=e■·1=e■。
这类极限计算值里底数都是e，计算这类的极限值关键是计算e的指数。
根据上述证明的两个定理，我们可以得出一个重要的结论：推论1：第二类重要极限■（1+■）■极限值中的指数为x与■的系数乘积。
证明：易见■的系数为■，x的系数为■，根据定理1，■（1+■）■=e■，e的指数为■，恰为x与■的系数乘积。
极限第二重要公式
极限第二重要公式极限第二重要公式是微积分中的一条重要公式，它描述了函数在某一点的极限值的计算方法。
这个公式在微积分的学习中起到了至关重要的作用，为我们解决各种极限问题提供了有力的工具。
在微积分中，极限是一个重要的概念，它描述了函数在某一点无限接近于某个值的情况。
极限第二重要公式是计算函数在某一点的极限值的方法之一。
假设我们要计算函数f(x)在点x=a处的极限，那么极限第二重要公式的表达式为：lim(x→a) f(x) = f(a)这个公式的意义是，当x无限接近于a时，函数f(x)的取值趋近于f(a)。
也就是说，如果我们想知道函数在某一点的极限值，只需要将这个点的值代入函数中即可。
举个例子来说明极限第二重要公式的应用。
假设我们要计算函数f(x) = (x²+1)/(x+1) 在点x=2处的极限。
根据极限第二重要公式，我们只需要将x=2代入函数中即可得到极限值：lim(x→2) (x²+1)/(x+1) = (2²+1)/(2+1) = 5/3这样，我们就得到了函数在点x=2处的极限值为5/3。
极限第二重要公式在微积分的学习中有着广泛的应用。
它不仅能够帮助我们计算函数在某一点的极限值，还可以用于证明一些重要的定理和推导其他的极限公式。
它的应用涉及到函数的连续性、导数的计算以及曲线的切线斜率等方面。
除了极限第二重要公式，微积分中还有很多其他的重要公式，如极限第一重要公式、洛必达法则等。
这些公式共同构成了微积分的基础理论，为我们解决各种数学和物理问题提供了有力的工具。
极限第二重要公式是微积分中的一条重要公式，它描述了函数在某一点的极限值的计算方法。
通过这个公式，我们可以方便地计算函数在某一点的极限值，解决各种数学和物理问题。
同时，它也是微积分学习中的基础知识，为我们理解和应用微积分提供了重要的支持。
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微积分两个重要极限第二个公式的变形,应用,技巧
微积分中的两个重要极限是极限的无穷大的概念，即当一个连续函数的值不断接近无穷时，每个值与其前一个值的差也越来越小，甚至接近零。
极限可以用符号来表示，符号为“lim”，其后加上函数表达式，表示极限。
极限可以用来分析函数的行为，比如求得函数的极限值、求函数在某一点处的导数等。
两个重要极限，即表示函数极限的第二个公式，由拉格朗日来推导，并由它对函数的分析和应用构成了极限的基本理论。
以第二个公式的形式来表示，它可以用Symbol表示，即：
lim[f(x)/(x-a)] = f′(a)
即当x趋近于a时，f(x)/(x-a)的极限值等于f′(a)，其中f′(a)表示函数f在点a处的导数值。
又如：一元函数y=f(x)，当x趋近于某个常数a时，函数y=f(x)的值也趋近于某个常数L，则可以称L为函数y=f(x)在x=a时的极限，记为：
lim[f(x)]=L
由此可见，求函数在某一点处的极限值，可以用上述公式推导出极限值L。
若要求出函数在某一点处的导数值，则可以用上述第二个公式推导出函数在该点处的导数值。
极限的理论可以用来分析函数的行为，此外，由极限的理论可以推出许多应用，比如，解决积分和微分方面的问题，比如积分和微分
是两个重要的应用，而积分和微分的最基本原理却是极限。
此外，在数学分析中，极限还可以用来求函数的单调性、最值、极点等，以及判断函数的连续性等。
极限的技巧有很多，比如用比值法求极限，即：当函数不能直接求出极限值时，可以把函数分成多个分母分子的比值，比如：
lim[f(x)].lim[g(x)]/lim[h(x)]，然后再用极限技巧分别求出比值
中每一项的极限值，最后把求出的每一项极限值相乘，即可求出函数的总体极限值。
另外，还可以用变量技巧求极限，即：当极限值不能用比值法求出时，可以用变量技巧把函数变形成一个容易求出极限的形式，以达到求出极限的目的，比如将函数xx改写成(x-a)f(x)/(x-a)的形式，然后再用第二个公式推导出x=a时的极限。
综上所述，极限是微积分中非常重要的一个概念，它不仅可以推导出函数在某一点处的极限和导数，而且还可以推出许多有用的应用，例如解决积分和微分方面的问题，还可以分析函数的行为、求函数的单调性、最值、极点及连续性等，此外，它的技巧也有很多，比如用比值法和变量技巧来求函数的极限值。