二次函数一般式的图像和性质
二次函数一般式
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探究新知
□
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□ 练习提升
你能用上面的方法讨论二次函数 的开口方向、对称轴、顶点坐标。
y 3x 6 x 1
2
二次函数一般式
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□ 练习提升
你能把函数y=ax²+bx+c通过配方法化成顶点式吗？ 一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方 法推导出它的对称轴和顶点坐标.
二次函数一般式
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R 作业布置
作业：
1、必做: 第19页A组6、7 2、选做: 第19页B组9、10
二次函数一般式
R 知识回顾 □
开口 方向
向上 向下
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二次函数
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5
直线 x=－3 直线 x =1 直线 x=3
（－3，5） （1, －2） （ 3， 7 ）
y = -3(x-1)2 -2
y = 4(x-3)2 +7
向上
二次函数一般式
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□ 知识回顾 □
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R
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二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 图像
y=ax2+bx+c(a>0)
y x
y=ax2+bx+c(a<0)
y x
顶点坐标
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a
对称轴 开口方向 增减性 最值
y ax bx c
2
b a(x x) c a
2
b b 2 b 2 a[x x ( ) ( ) ] c a 2a 2a
2
b 2 b2 a(x ) c 2a 4a
b 2 4ac b 2 a(x ) . 2a 4a
二次函数一般式
直线 x
向上
b 2a
b 直线 x 2a
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
二次函数一般式
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R 练习提升
一、写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点
坐标．当x为何值时y的值最小（大）？
1、 y x 3x 2
2
1 2 2、 y x 2 x 1 3
二次函数一般式
□ 知识回顾 □
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□
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R 练习提升
二、填一填 坐标
（1，-1）
最值
-1
y 2x 4x 1
2
1 2 y x 2x 3 2
直线X=2
（2，5）
5
y 3x 9x 5
2
3 直线X= 2
3 7 （ ， ） 2 4
7 4
二次函数一般式
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□
知识归纳
R 练习提升
则mn
-90
列说法中.正确的是 ①②③④ ① 图象开口向下； ② 当x＞ -1时，y随x增大而减小； ③ 当x＜ -1时，y随x增大而增大； ④ 函数有最大值.
探究新知
□
知识归纳
□ 练习提升
思考：如何求二次函数 y 2 x 6 x 1
2
的开口方向、对称轴、顶点坐标。
二次函数一般式
□ 知识回顾 R
2
探究新知
□
知识归纳
□ 练习提升
y 2 x 6 x 1 通过配方可化为顶点式
3 2 7 y 2( x ) 2 2
你知道是怎样配方的吗？ 1、“提”：提出二次项系数； 2、“配”：括号内配成完全平方； 3、“化”：化成顶点式.
y
o
x
二次函数一般式
R 知识回顾 □
探究新知
□
知识归纳
□ 练习提升
上加下减 y=ax
2
y=a(x-h) +k
2
左加右减
二次函数一般式
R 知识回顾 □
探究新知
□
知识归纳
□ 练习提升
抛物线y=a(x-h)2+k有如下性质:
1.对称轴是 直线 X=h . 2.顶点坐标是 ( h,k ) . 3.当a＞0时，开口 向上 ，图象 左降右升 . 当a＜0时， 开口 向下 ，图象 左升右降 .
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
二次函数的图像及性质
与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向
二次函数图像与性质ppt课件
D．f(1)＞25
答案：A
三基能力强化
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足 f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 答案：C
三基能力强化
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区
间[0，m]上有最大值3，最小值2，则
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)待定系数法．(2) 二次函数的单调性．
【解】 (1)依题意，方程f(x)＝ax2 ＋bx＝x有等根，
则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1. 2分 又f(－x＋5)＝f(x－3)， 故f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－2ba＝1，解得 a＝－12，
∴f(x)＝－21x2＋x. 5 分
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？ 【思考·提示】 不会为奇 函数．
三基能力强化
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在
区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的
范围是( )
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤2＋2＝(x＋a)2＋2 －a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5，或－a≥5， 解得a≤－5，或a≥5. 10分
规律方法总结
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a ＞0)在区间[m，n]上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
2.4二次函数一般式的图像
二次函数c bx ax y ++=2的图像知识点一:k h x a y +-=2)(图像性质 1.二次函数k h x a y +-=2)(的图像平移2.二次函数k h x a y +-=2)(的图像性质（1）当0>a 时，抛物线k h x a y +-=2)(的开口方向向上，对称轴是直线h x =，顶点坐标是),(k h ；当h x >时，Y 随X 的增大而增大，当h x <时，Y 随X 的增大而减小，当h x =时，函数有最小值K（2）当0<a 时，抛物线k h x a y +-=2)(的开口方向向下，对称轴是直线h x =，顶点坐标是),(k h ；当h x >时，Y 随X 的增大而减小，当h x <时，Y 随X 的增大而增大，当h x =时，函数有最大值K【例1】将抛物线22x y =如何平移可得到抛物线1)4(22--=x y3.求二次函数k h x a y +-=2)(的函数解析式或解析式中的待定系数方法规律：（1）若点A ),(n m 在抛物线k h x a y +-=2)(上，则点A 坐标满足k h m a n +-=2)( (2) 求函数解析式中某个字母系数，常利用方程思想，注意解的验算。
练习：1.把抛物线23x y =先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为 2.抛物线2)1(2-=x y 的对称轴为 ，顶点坐标为 ，函数最值为 当X 图像从左到右上升。
3.抛物线2)21(+-=x y 可以看成是由抛物线 向 平移 个单位得到 4.2)(h x a y -=的图像如图所示，对h a ,的符号判断正确的是 （ A 0.0>>h a B 0.0<<h a C 0.0<>h a D .0><h a5.二次函数5)4(212+-=x y 的图像的开口方向是 对称轴是顶点坐标是6.二次函数b kx y kx y +=-=与一次函数2)(的图像在坐标系中的位置大概是（ ）7.若抛物线的顶点坐标为（2,3）且点（3,1）在图像上，则此抛物线的解析式为（ ）A 13)2(22-+=x yB 3)2(22+--=x y C 3)2(22--=x y D 3)2(22+-=x y8.K 为任意实数，则抛物线k k x y 21)(322+--=的顶点在（ ） A 直线x y =上 B 直线x y -=上 C 直线x y 21=上 D 直线x y 21-=上9.如图所示，b kx y h x a y +=-=221)(与交于A,B ， 其中A （0，-1），B （1,0）求（1）此 二次函数与直线的解析式 （2）当212121,,y y y y y y >=<时，分别确定自变量X 的取值范围DCBA知识点二：二次函数c bx ax y ++=2的图像性质【例1】已知抛物线10622++=x x y ，求（1）函数图像的开口方向，对称轴，顶点坐标 （2）作出草图 （3）根据函数图像指出X 为何值时，0,0,0<=>y y y （4）函数最大值或做小值是多少分析：把函数一般式配方化为顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=，即可求解练习：1.142+-=x x y 通过配方可以写成 ，该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ，最值是2.把二次函数342+-=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式是（ ） A 1)2(2--=x y B 1)2(2-+=x y C 7)2(2+-=x y D 7)2(2++=x y3.把642+-=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式是 4.抛物线3422+--=x x y 经过平移得到22x y -=，平移方法是（ ） A 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 D 向右平移1个单位，再向下平移3个单位5.抛物线3222--=x x y ，当X ，Y 随X 增大而增大；当X ，Y 随X 增大而减小6.抛物线1422-+-=x x y 的的对称轴是 ，顶点坐标是 ，最值是7.已知点),21(),,213(),,1(321y y y --在函数12632++=x x y 的图像上，则321,,y y y 的大小关系是（ ）A 321y y y >>B 231y y y <<C 312y y y >>D 312y y y <<8.配方法练习：（1）322--=x x y （2）522---=x x y（3）3222--=x x y (4) 3422---=x x y2.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像特征与ac b c b a 4,,2-及的符号之间的关系【例2】二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 2这四个代数式中，值为正数的是（ ）个A 4B 3C 2练习：1.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图像如图所示，则a 0，b 0，c 0 2．函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．3<k B ．03≠<k k 且 C ．3≤k D ．03≠≤k k 且3．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则 abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式子中，值为正数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．已知反比例函数xky =的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ）5.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图像大致是（ ）6.抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 过第二、三、四象限，则a 0，b 0，c 0． 7.已知)0(2≠++=a c bxax y 的图像如图所示，请根据信息回答下列问题 （1）确定c b a ,,的符号（2）确定c b a c b a -+++和的符号DCBA。
二次函数的图像和性质(共48张PPT)
即当 x＜－2ba时， 当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对 小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的 时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为 而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最 抛物线有最
1、二次函数的图像和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c 为常数，a≠0)
a<0
a>0
图象
13
开口 对称轴、顶点
抛物线开口向 抛物线开口向
上，并向上无限 下，并向下无限
延伸
延伸
对称轴是x＝－
b 2a
，顶点坐标是
－2ba，4ac4－a b2
14
增减性
在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧，即
低点，当 高点，当
x＝－2ba时， x＝－2ba时，
y 有最小值， y 有最大值，
y ＝ 最小值
y ＝ 最大值
4ac－b2 4a
4ac－b2 4a
16
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征
与系数a，b，c的关系
项目 字母
字母的符号
图象的特征
a＞0 a
a＜0
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质1.二次函数的图像与性质：解析式a 的取值开口方向函数值的增减顶点坐标对称轴图像与y轴的交点y = ax2当a0时；开口向上；在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大。
当a0时；开口向下；在对称轴的左侧y随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小。
（0，0）x=0（0，0）y = ax2+ k（0，c）x =0 (0，k）y = a( x + h)2（- h，0）x = - h(0，ah2）y=a(x+h)2+k（- h，k）x = - h(0，ah2+ k)y = ax2+bx+c b 4ac - b2 (- , )2a4a b x=-2a（0，c）2.抛物线的平移法则：（1）抛物线y = ax2+ k的图像是由抛物线y = ax2的图像平移k个单位而得到的。
当k 0时向上平移；当k0时向下平移。
（2）抛物线y = a（x + h）2的图像是由抛物线y = ax2的图像平移h个单位而得到的。
当h0时向左平移；当h0时向右平移。
（3）抛物线的y = a（x + h）2+ k图像是由抛物线y = ax2的图像上下平移k个单位，左右平移h个单位而得到的。
当k0时向上平移；当k0时向下平移；当h0时向左平移；当h0 时向右平移。
3.二次函数的最值公式：形如y =ax + bx + c的二次函数。
当a0时，图像有最低点，函数有最小值4ac-b24ac-b2y最小值=4a；当a0时，图像有最高点，函数有最大值，y最大值=4a；4.抛物线y =ax + bx + c与y轴的交点坐标是（0，c）5.抛物线的开口大小是由a决定的，a越大开口越小。
6.二次函数y =ax + bx + c的最值问题：（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。
（2）自变量的取值范围不是一切实数：b 自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴x = -2a ,把他与取值范围相比较，再进行求最值。
人教版九年级上册二次函数一般式的图像和性质精品系列PPT
新课
我们复习了将抛物线 y 3x2向左平移2个单位
再向下平移5个单位就得到y 3 x 22 5 的图 象，将 y 3 x 22 5 化为一般式为
y 3x2 12x 7 ，那么如何将抛物线 y 3x2的图 像移动，得到的 y 3x2 12x 7 图像呢？
那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
例1 用配方法把 y 1 x2 3x 5 化为
2
2
2．用公式法把抛物线 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
把 y ax2 bx c 变形为 y a x h2 k的方法
和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ax2 bx c 0 ”类似．具体演算如下：
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
解：列表 y 2x2 8x 6 0 x …0 1 2 3 4 … y … －6 0 2 0 －6 …
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
练习1 用配方法把 y 2x2 4x 7 化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标
和对称轴。
答案：y 2 x 12 5 ，顶点坐标是(1，5)，
对称轴是直线 x＝1．
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
二次函数的图象与性质
(1)求抛物线的解析式;
解:(1)当 y=0 时, 1 x- 4 =0,解得 x=4,即 A(4,0), 33
抛物线过点
A,对称轴是
x=
3 2
,得
16a 12
3 2a
3 2
,
c
0,
解得
a c
1, 4,
8
16
64
所以二次函数 y=- 3 x2+bx+c 的图象与 x 轴有公共点. 16
∵- 3 x2+ 9 x+3=0 的解为 x1=-2,x2=8,∴公共点的坐标是(-2,0)或(8,0). 16 8
2.(2019云南)已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且 与x轴有两个交点. (1)求k的值;
y 随 x 的增大而减小
二次函数的图象和性质
【例1】 (2018成都)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是( D ) (A)图象与y轴的交点坐标为(0,1) (B)图象的对称轴在y轴的右侧 (C)当x<0时,y的值随x值的增大而减小 (D)y的最小值为-3
【例2】 已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数). (1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点; (2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?
标可以看出对应 的函数值,4a+2b+c的值是x=2时对应的函数值,4a-2b+c的
的式子的值
值是x=-2时对应的函数值…
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系
二次函数的性质及其图象
象经过一、三、四象限，反比例函数 y
c x
经过二、四象限.故选择B.
经典考题
【例2】（2016年达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴
交于点A（-1,0），与y轴的交点B在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点），
对称轴为直线x=1，下列结论：
（ D）
①abc＞0
（2）c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上.
（3）c=0时，抛物线过原点.
3.4.5 二次函数图象的平移
y=ax2
平移 |h|个 左 单 位 加 向右 右 (h 减 0)、 左 （h 0） y=a(x-h)2
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
平移|k|个单位
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
经典考题
得
4a 2b 4 36a 6b 0
，解得
a
1 2
；
b 3
（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2,0）,
连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E、
F.则：S△OAD
1 2
OD
AD
1 2
2
4
4.
S△ACD
1 2
AD
CE
1 2
4x
2
2x
4.
S△BCD
1 2
BD
CF
1 2
3.4.2 二次函数的图象及性质
要点梳理
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象是抛物线.
1.当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x= b .当x= b 时， y有最小
值为4ac b2 .在对称轴左边（即x＜
一般式二次函数的图像和性质
二次函数与三角函数结合，可以用来解决周期性运动 等问题。
与微积分结合
在微积分中，二次函数是最简单的一类函数，可以用 来理解和学习其他更复杂的函数。
与线性代数结合
二次函数常常出现在线性代数中，如矩阵的特征值、 行列式等。
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二次函数的根的性质
总结词
二次函数的根的乘积等于常数项除以系数a， 根的和等于系数b除以系数a。
详细描述
根据Vieta定理，二次函数$ax^{2} + bx + c = 0$的两个根$x_{1}$和$x_{2}$满足$x_{1}
cdot x_{2} = frac{c}{a}$，$x_{1} + x_{2} = frac{b}{a}$。
一般式二次函数的图像和性质
目录
• 二次函数的一般形式 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的增减性 • 二次函数的根的性质 • 二次函数的应用
01
二次函数的一般形式
二次函数的一般定义
总结词
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
对称轴与系数关系
对称轴的x坐标可以通 过系数a、b、c计算得 出，对称轴的位置与二 次项系数a的正负有关。
03
二次函数的性质
二次函数的开口方向
开口方向
由二次项系数a决定。a>0时，开口向上；a<0时，开口向下 。
总结词
二次函数的开口方向由系数a的正负决定，影响函数的增减性 。
二次函数的开口大小
详细描述
二次函数的一般形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常数， 且$a neq 0$。$a$、$b$和$c$被称为 二次函数的系数。