第三章空间向量与立体几何导学案(20210203192008)

§ 3.1.1空间向量及其运算

…Hr …学习目标

1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及 它们的运算律；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立 体几何中的问题.

试试：1.分别用平行四边形法则和三角形法则求

小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若 干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量 的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平 移使它们转化为首尾相接的向量

.

学习过程 一、 课前准备 （预习教材P 84~ P 86，找出疑惑之处） 复习1：平面向量基本概念： 具有 ____ 和 ____ 的量叫向量， _________ 叫向量的 模（或长度）； 叫零向量，记

着 _____ ； ___ _________________ 叫单位向量. 叫相反向量，a 的相反向量记着 _____________________ . 叫相等向量.向量的表示方法 有 ____________________ , _____________________ , 和 _________________ 共三种方法. 复习2:平面向量有加减以及数乘向量运算： 1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则

_____________ 和 __________ 法则. 2. 实数与向量的积： 实数入与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长 度和方向规定如下： （1）1 乔

⑵当心0时，扫与A. _______ ； 当疋0时，扫与A. _______ ； 当 L 0 时，?a = _______ . 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 加法交换律：a + b = b + a 加法结合律：（a + b ）+ c = a +（ b + c ） 数乘分配律： Xa + b ） = Ja + ?b 二、 新课导学 探学习探究 探究任务一：空间向量的相关概念 问题：什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单 位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？

新知：空间向量的加法和减法运算：

AC 2.点C 在线段AB 上，且一— 7C _忌 BC CB 5,则

2A B.

反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗? ⑴加法交换律： ⑵加法结合律： ⑶数乘分配律： A. + B. = B. + a ；

(A. + b) + C. =A. + (B. + c); X A. + b)=入 A+ 入 b 探典型例题

例1已知平行六面体 ABCD A'B'C'D'（如图）， 化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： ⑴ AB BC ； ⑵"AB AD AA*； ⑶AB

)•

⑷K

2

,AA 表示AC, BD '和

上图中，用

DB .

两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中, OB

AB

列各式：.

Bo Co ； N Q Q P M N M P .

C. 空间向量的减法满足结合律；__

D. 在四边形 ABCD 中，一定有 AB AD AC .

2._长方|体

ABCDV B'C'D'中，化简 AA^' AB A D' =

A. a 。 b 0

%动手试试

练1.已知平行六面体 ABCD A'B'C'D' , M 为

B. 空间向量不可以平行移动

C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等

D. 同向且等长的有向线段表示同一向量A 1C 1与B 1 D 1的交点，化简下列表达式: ⑴AA^ 忌;

.g ：..…课后作业

二、总结提升 探学习小结

1. 空间向量基本概念；

2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律 探知识拓展

平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的 平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共 同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相 同的长度”，空间的平移包含平面的平移 .

2. 如图，平行六面体

AC 与的BD 的交点，，

则下列向量中与B M 相等的是（）

2化简下列各式： AB B C CA ； AB AC B D CD ；

⑵ AB MB BO oM ； ⑷ oA oD DC.

4

学习评价

%自我评价你完成本节导学案的情况为（

）

A.很好

B.较好

C. 一般

D.较差 % 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1.下列说法中正确的是（

|）

A. 若 I a I =1 b I,贝U a , 相

反或相同； B. 若a 与1是相反向量，则I

b 的长度相同，方向 |

； a , b 是两个非零向量， a^,b ?是与 a , b

3.已知向量 ) 单位向量，那么下列各式正确的是（, C. a 0

1

D. 小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则 或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按 减法法则进行运算，加法和减法可以转化

4. 在四边形 是（） A.矩形

5. 下列说法正确的是（ ABCD

中, B.菱形 A.零向量没有方向

I a o I = I b o I

若AC A B AD ,则四边形

C.正方形

D.平行四边形 ） ⑵2^扌忒

⑷AB

AA.

1. ⑴ 在三棱柱 ABC-A'B'C'中，M,N 分别为BC,B'C'的

F 列式子: ⑵ —MC + BB

同方 ,AA c ,

Jf a 1 - 2 t a Ta 1 -

1 - 2

丄 2

⑺ A I B I C I Di 中，^点 为

,AD 4

~1 2 4 b ■

4 b 1 - 1 - 2 1 - 2