非线性系统中混沌的控制及同步及其应用前景_一_

第1 6 卷第1 期物理学进展o l.16, N o. 1

V

1996 年 3 月PRO GR E S S I N PH Y S I C S M ac r ch , 1996 非线性系统中混沌的控制与同步

Ξ

及其应用前景(一)

方锦清

( 中国原子能科学研究院, 北京102413)

提要

全文系统地综述了非线性科学中一个富有挑战性及具有巨大应用前景的重大课题——非线性系统中混沌的控制与同步及其应用的主要进展, 包括了作者关于超混沌同步及其控制等方面的研究成果。我们对现有的各种混沌的控制方法和混沌的同步原理提出了分类和评述。概述了实验与应用的现状, 指出了发展前景, 全文分为( 一) ( 二) 两篇, 第( 一) 篇以混沌控制的机理和方法为主要论题展开广泛的讨论; 第(二) 篇以混沌的同步、超混沌的同步及其控制为论题, 同时包括众多的实验应用的研究, 进行较详尽的综述和分析评论, 比较完整地概括了迄今国内外该课题的发展现状和主要趋势。

总论

混沌, 当今举世瞩目的前沿课题及学术热点, 它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性, 有序与无序的统一, 确定性与随机性的统一, 大大拓广了人们的视野, 加深了对客观世界的认识。它在自然科学及社会科学等领域中, 覆盖面之大、跨学科之广、综合性之强, 发展前景及影响之深远都是空前的。国际上誉称混沌的发现, 乃是继本世纪相对论与量子力学问世以来的第三次物理学大革命, 这场革命正在冲击和改变着几乎所有科学和技术领域, 向我们提出了巨大的挑战ΞΞ。

混沌的发现已过而立之年。首要的问题是, 混沌究竟有什么应用和发展前景? 这是摆在人们面前的一个重大课题及普遍关注的问题。特别是, 在我国改革开放和振兴经济的大潮面前, 这类提问和呼声更为强烈, 这确实也是深入开展混沌研究的巨大推动力。由于混沌的奇异特性, 特别是对初始条件极其微小变化的高度敏感性及不稳定性, 所

谓“差之毫厘失之千里”的缘故, 长期以来有些人总觉得混沌是不可控的、不可靠的, 因而

Ξ 本课题是国家留学回国人员重大科技资助项目、国家核科学工业基金资助项目及I A EA 科研合同课题。

ΞΞ 混沌发现的重要性论述请参阅: 詹姆斯·格莱克著,“混沌开创新科学”( 张淑誉译, 郝柏林校) , 1990, 上海译文出版社。

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是无法应用的怪物, 在应用及工程领域中总被回避和抵制。前二次物理学革命所经历的惊人类似的历史, 使我们对此并不感到奇怪。

但是, 九十年代以来国际上混沌同步及混沌控制的突破性进展, 由此激发起来的理论与实验应用研究的蓬勃开展, 使混沌的可能应用出现了契机, 为人们展现了十分诱人的应用与发展的美好前景[ 1—6 ]。

混沌同步原理及混沌控制方法, 在1990 年先后提出, 前者是由美国海军实验室的学者P eco ra 和C a r ro ll[ 4, 5 ] 提出, 他们在电子线路上首先实现了混沌同步, 后者是由美国马里兰大学的物理学家O t t、G rebo g i 和Yo rk e提出, 称为O GY 方法[ 6 ]。同年, 该校的D it t o 等人利用该法首次在一个物理系统上, 即磁弹性体上实现了对周期一的稳定控制[ 7 ]。随后, 国际上混沌控制方法及其实验的研究迅速发展, 混沌同步也获得进一步拓广, 大大推进了应用研究, 诸如在电子学、机密通讯、密码学、激光、化学、生物、脑科学及神经网络系统等众多领域中, 其都有很大的应用潜力。

在自然界及实验室里, 由于学科、领域和部门的不同, 非线性系统多种多样, 混沌行为千奇百怪, 相应的混沌控制及其应用也是多姿多彩。从混沌的类型上, 大体可以分为四大类: 第一类只产生时间混沌, 第二类只产生空间混沌, 第三类同时产生时间与空间混沌, 第四类产生功能混沌。跟丰富多彩的混沌行为相比, 目前的混沌控制方法及其应用的研究, 只不过刚刚开始, 目前较多地集中在第一类混沌的控制与应用上, 时空混沌的控制问题也引起了注意, 其它类型的混沌控制尚待展开, 因此, 这是一个大有作为的广阔领域。

迄今, 混沌控制的目标有两种: 一种是基于在混沌奇怪吸引子内存在无穷多的周期轨道, 控制的目标是对其中某个不稳定周期轨道进行有效的稳定控制, 根据人们的意愿逐一控制所需的周期轨道, 该控制的特点是并不改变系统中原有的周期轨道。另一种控制目标则不要求必须稳定控制原系统中的周期轨道, 而只要通过可能的策略、方法及途径, 达到有效控制得到我们所需的周期轨道即可, 或抑制掉混沌行为, 即通过对系统的控制获得人们所需的新的动力学行为, 包括各种周期态及其它图样等。以上两种控制目标都各有妙用。

目前国内外已经提出了许多不同的混沌控制方法, 适于各种情形下的混沌控制, 从非线性系统的类型上说, 有些方法适于离散非线性系统, 有些则适用于连续非线性系统, 从控制原理上可分为微扰反馈控制法及无反馈控制法。前者反馈的对象可以分别为系统参数、系统变量、外部参数(强度、相位等) , 等等, 对不同对象的微扰反馈, 则产生不同的控制方法, 它们的共同点都是利用与时间有关的连续小微扰作为控制信号, 当微扰趋于零或变得很小时, 则将实现对特定所需的周期轨道或非周期轨道的稳定控制, 也就是达到前面的第一种控制目标。无反馈控制法用于实现第二种控制目标, 它与一些特定的所需轨道无关, 因而当系统达到控制时, 控制着的输入信号并不趋于零, 并且受控后的动力学行为可能与原系统的大不相同, 即产生了新的动力学行为。

混沌同步, 从总体上说, 属于混沌控制的范畴, 迄今已发现了几种类型的混沌同步。第一种类型就是P c eo ra 和C a r r o ll 提出的同步方案[ 4 ] , 其中存在驱动与被驱动( 响应) 关系,他们把混沌系统分成稳定部分和不稳定部分, 把具有负的李雅普诺夫指数的稳定部分复制成一个响应系统, 然后把响应系统与驱动系统用驱动系统中的驱动信号耦合起来, 由此

可达到响应系统与驱动系统同步。近年来该类型同步已经拓广到非混沌同步(即周期、准周期同步等) [ 8, 9 ] 及高阶级联同步[ 10 ]。第二种类型的混沌同步则是两个不同混沌系统相互耦合, 由Gapo n o v2G r ek h o v及其合作者在研究流体湍流时提出的[ 11 ] , 后来W infn l 和R ahm an 从理论上研究了在半导体激光阵列系统中的混沌同步的可能性[ 12 ] , 1994 年美国R o y 和T ho rnbu ry 及日本S rgaw a ra、T ach ik aw a、T suk am o to 等人已分别独立地从实验上观察到两个混沌的激光系统达到完全同步, 他们就是利用激光光强相互耦合的结果, 前者用两个N d: YA G 混沌激光系统[ 13 ] , 后者用两个PQ S 混沌激光系统[ 14 ] , 达到异曲同工之妙。L iu 和L e ite 从数值上研究了两个CO 2 激光系统耦合, 也达到了混沌同步。第三种类型的混沌同步是通过与时间有关的小微扰的连续反馈方法, 该法首先由P y rugn s 提出[ 15 ] , 他又与T am a sev ic iu s 从实验上验证[ 16 ] , Y u 等人也用电子线路实现[ 17 ]。第四种类型的混沌同步是由M a r itan 和B anava r 发展的由噪声感应导致同步[ 88, 92 ]。他们证明了两个混沌系统在相同的噪声作用下, 只要噪声强度足够大, 则可能导致两个系统实现混沌同步, 混沌同步是混沌控制领域中一个极其诱人的课题, 由于具有巨大的应用潜力, 引起了国内外的极大关注与兴趣。

我们知道, 表征非线性系统的混沌行为的主要特征量是所谓的李雅普诺夫指数Κ, 它刻划了系统对初条件的高度敏感性, 通常低维混沌系统只有一个Κ大于零, 上述混沌同步和混沌控制一般即指这种情形。但是, 实际上在自然界及社会经济等领域中广泛存在着高维非线性系统, 诸如在受控聚变托克马克装置中等离子体的不稳定性——混沌现象, 亦与无穷维有关, 由多路(多元) 激光器所构成的总体激光系统, 国家经济领域中自由市场、股市等复杂系统, 等等, 它们可能存在一个以上正的李雅普诺夫指数Κi ( i= 1, 2, ?) 的混沌行为, 人们称之为超混沌[ 19—20 ]。于是, 自然地提出二是个问题: 一是能否实现超混沌同步? 二如何实现超混沌控制? 这是两个令人感兴趣的挑战性课题。P ece ra 和C a r ro ll 特别强调指出[ 4, 5 ]: 只有当响应系统的条件李雅普夫指数都是负值时, 才能实现响应系统与驱动系统之间的同步, V ie ira 及其合作者更明确地指出[ 8 ]: 当出现超混沌运动时, 则从混沌同步转变到不同步或立即丧失同步, 这意味着超混沌同步是难以达到的。

果真超混沌难以实现同步吗? 混沌控制方法是否能拓广于超混沌控制? 超混沌同步及超混沌控制的应用发展前景如何? 等等, 这些都是混沌控制及其应用中的新课题。

我们的最新研究表明: [ 22—25 ] 对于某些非线性系统, 在一定条件和适当的同步方案下, 可以达到超混沌同步。我们已经用几种典型系统作为例子, 诸如: 复数L o renz2ltnk en 系统、R o ssle r系统、双耦合D uff ing 振荡器及双耦合V ande r D o l 振荡器等, 分别实现它们及其高阶级联系统的超混沌同步; 同时, 我们还把混沌同步的诸种类型拓广到超混沌同步中去, 并且采用一些反馈控制方法实现了对超混沌系统及其高阶级联超混沌同步系统中的超混沌的稳定控制[ 22～25 ] , 为混沌控制的应用打开了新天地, 但是也有许多问题尚待进一步深入探讨。

为了统观全局, 我们在图1 中对迄今主要的混沌控制及混沌( 包括超混沌) 同步的各种方法类型进行了分类和图解。从图可见混沌控制方法与同步的研究迅猛发展的势头。

混沌控制及混沌同步的理论与实验研究正在与日俱增, 国际上学术交流极为活跃和频繁, 1991 及1993 年已在美国分别开过两次实验混沌方面的国际会议, 每年在美国和欧

洲分别召开的非线性动力学会议(D y n am ics D ay s) , 以及很多非线性科学的学术讨论会等, 都把混沌控制作为热门的论题。国际上这一研究热潮, 也引起了国内学者的关注, 且各种研究正在开展之中。

本文将分成四部分比较系统地综述和评论混沌控制、混沌同步、超混沌同步及其控制在国内外的最新进展。第一部分描述各种混沌控制方法, 按图1 中的分类逐一评述。第二部分综述各种混沌同步的类型; 第三部分概述超混沌同步及其控制, 最后概述它们的应用及其发展前景, 由于篇幅较长, 我们把上述内容分成上、下两篇, 上篇以第一部分内容为中心论题, 下篇以同步及应用为论题。

第一部分混沌控制的原理及方法

一、引言

混沌现象是非线性系统的共同属性, 而非线性系统比比皆是, 不论是物理的、化学的、生物的、地理的、经济的、工程的, 医学的以及社会的系统, 概不例外。迄今, 从理论和实验都证实, 即使是最简单的非线性系统也能产生十分复杂的行为特性。一些典型的数学物理模型可以概括一大类非线性系统的演化特性。例如, 对单摆运动规律的深入研究, 已经发现它囊括了从激光现象到超导的约瑟夫森结的高科技领域, 并拓展到上述众多学科领域, 诸如生理学、心脏动力学、精神病学、生态学及经济计量学、社会人口学, 等等。

混沌现象包含极其丰富的信息, 诸如各种周期态与非周期态, 图样丰富多彩, 巧夺天工, 不是艺术, 胜似艺术, 引起了人们极其广泛的浓厚兴趣。于是, 从应用的角度人们不难设想, 只用很简单的非线性元器件, 就能产生复杂而有用的功能。例如, 我们可以利用混沌现象在时间上、空间上及功能上的多样性作为特殊的信息源, 用于信息存储及通讯等目的, 也可作为特殊信号发生器产生有用的周期信号。但是混沌奇怪吸引子内的轨线(或信息) 是高度不稳定的, 瞬息万变, 难以捕捉, 因此即使信息存储下来, 也很快会改变, 往往难以重复识别, 如不加以控制, 根本无法应用。因此, 长期以来在国际电子工业中, 尽量回避混沌行为, 设法抑制混沌的出现, 其它领域中对混沌也取类似的态度。随着研究的深入及应用呼声的高涨, 人们不得不考虑, 在深入认识混沌现象的同时, 能否采用人工方法对它进行有效的控制。最先想到的是, 通过适当地从外部控制调节实际系统的某些参数条件, 以改善和提高系统工作性能, 如各种电子仪器设备、物理装置(包括粒子加速器、原子反应堆、热核聚变装置及激光系统等)。人们力图通过混沌控制, 使之成为当今研制新器件、新装置及高新技术的有力手段的途径。

因此, 非线性系统中的混沌控制的主要任务, 我们可以归结为: 根据不同学科及领域中人们的实际需要, 从理论和实验两方面, 研究如何从多种多样的非线性系统所产生的混沌奇怪吸引子中, 按照人们的意愿, 获取所需的各种周期态( 或各种信息等) 或非周期态, 并能实现其稳定的有效的控制。或者说, 利用非线性系统, 通过某种策略、方法及途径, 获得人们所需的新的动力学行为。从而为众多领域提供应用的原理、方法和技术基础。

迄今, 国内外已经提出各种混沌控制方法, 本部分将概述其中一些主要混沌控制方法及其有关的实验进展。

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二、参数微扰法—O GY 方法

1990 年, 美国马里兰大学的物理学家奥特(o t t)、格里博古(G rebo g i) 及约克(Yo rk e)三人首先从理论上提出控制混沌的方法[ 6 ] , 后来简称为O GY 方法。同年, 该校的迪托(D it to )、劳西(R o u seo ) 及斯帕内(Sp ano ) 三人从实验上验证了O GY 方法的有效性[ 7 ]。他们选择了带状磁弹体在磁场作用下的微扰实验, 观察其刚性变化。实验表明, 当磁场强度较弱时, 磁弹体直立着(刚性较强) ; 当磁场强度逐渐增强时, 刚性减小, 弹性增大, 带状磁弹体开始软缩; 磁场继续加大时, 磁弹体便进入混沌起舞状态。如何使这条磁弹带进行规则的周期振动? 他们选择了一条特定的周期轨道, 当这条磁弹带的振动接近该轨道时, 就给磁场一个小的扰动, 并适当地调节这个微扰量, 则可看到磁弹带驯服地进入所需的周期态下振动; 一旦微扰撤消, 混沌再次产生。

O GY 方法是基于混沌奇怪吸子有着极其稠密的不稳定周期轨道。混沌控制的首要任务就是设法把其中任一条所需的周期轨道挑选出来, 并加以稳定的控制。为此, 他们选择非线性系统中实际上易于测得和可调节的一个参数, 并认为所有的周期轨道都是该参数的函数, 而与其它的参数无关。为了实现对某个特定的周期轨道(也称为不动点) 的稳定控制, 必须在系统靠近不动点时, 对参数值进行微扰, 随时间适当调整微扰量, 迫使所选的轨道向不动点移动, 利用对参数所允许的最大扰动量, 经过多次反复调整, 最终使所需的周期轨道稳定住。如同上述对磁弹体的振动周期所作的控制那样, 此法在实验上是适用的有效的。

为了阐明上述基本思想及做法, 我们举一个二维离散映象来讨论, 即考虑:

Νi+ 1 = F (Νi, P ) (1)

Νi∈?R2 , P ∈(P o-o P m ax , P o+o P m ax )

其中P 为一个系统可得的参数, o P m ax 为最大微扰量, 假设P = P o 时系统处于一种混沌吸引子状态, 令ΝF = F (ΝF , P o)为该混沌吸引子上要被稳定控制的不稳定不动点。O GY 方法的控制策略就是, 从实验上探测该系统, 等待着, 一旦轨线靠近所期望的那个不动点时, 则开始对P o 参数进行小微扰o P , 使得o P ≤1 o P m ax 1 , 经过若干次迭代微扰后, 逼得下一个状态落入该不动点的稳定方向上, 如此反复直到最后稳定在该不动点上, 图 2 示出了

1 期 方锦清: 非线性系统中混沌的控制与同步及其应用前景 (一) 7

u O GY 方法实现对鞍型不动点控制的物理图象。其中 (a ) 为第 n 次迭代的 Νn 落在不动点 ΝF 附近; (b ) 为经对 P o 微扰后接近不动点; (c ) 使下一步迭代到达 ΝF (P o ) 的稳定流型上去, 一 旦达到之后便撤消微扰。

该法的关键点是, 利用 (1) 式在不动点 ΝF 及参数 P o 附近的一阶线性近似, 即 Νi + 1 = F (Νi , P i ) ? ΝF + A (Νi - ΝF ) + w (P i - P o )

(2)

或者 ?Νi + 1 ? A ?Νi + w ?1 i

(3) 其 中, ?Νi + 1 = Νi + 1 - Νi 及 ?P i = P i - P o , 而 A = D ΝF ( ΝF , P o ) 是一个 n

×2 的矩阵, w = ( 5F / 5P ) (ΝF , P o ) 是一个二维矢量。 由于不稳定不动点 ΝF 被嵌套在一个混沌吸引子内, 所以 A

的线性化将具有一个特征值1 Κs 1 < 1 ( 相应特征矢量为 e s ) , 及一个特征值1 Κu 1 > 1 ( 相应特 征矢量为 e u ) , e s 及 e u 分别表示不动点的局域稳定流形的方向和不稳定流形的方向。令 f s 及 f u 是互为正交的基矢, 即有 f s ·e u = f u ·e s = 0 及 f s ·e s = f u ·e u = 1, 故 A = Κu e u f u +

Κs e s f s 。 于是, 使 Νi + 1 落到不动点 ΝF 的局域稳定方向上的条件为 f u ·?Νi + 1 = 0

(4) 只要 Νi + 1 接近 ΝF , 则线性化

( 3) 式成立, 且可应用 ( 4) 控制条件, 不能导出 O GY 方法在 P i = P o + ?P i 时的线性控制定律

Κu ?P i = - f ·w

f u ?Νi (5) 只有当 ?P i < 1 ?P m ax 1 时, 控制才起作用, 否则要令 ?P i = 0。 通常假设 (5) 式中的分母不为 零。 当 Νi + 1 已经落入局域稳定流形方向之后, 虽然可置微扰 ?P i = 0, 但是由于线性化所产 生的误差、系统测量的误差及小噪声诸因素的影响, 系统一般还会再次跑出稳定流形方 向, 于是, 在每次迭代中控制律 ( 5) 都在起作用, 以使逐次迭代点 Νi + 1 都在不动点附近, 直 止最终落在不动点上, 即获得对周期态的稳定有效控制。

上述导出的 O GY 方法的控制律 ( 5) 式与文献 [ 5 ] 中所导的公式似乎略有不同, 实质 上是等价的, 在文献[ 5 ]中采用下列线性近似:

ΝF (P ) = ΝF (P o + ?P ) ? ΝF (P o ) + g ?P (6) 可以证明: w 与 g 有下列关系:

g = [ 1- D ΝF (ΝF , P o ) ]- 1w

(7) 以上方法可以拓广到 n 维非线性映象, 或可以由庞加莱映象描述的连续非线性系统。 该法无须知道系统全局的动力学模型, 非线性映象可以利用时间延迟座标法, 从实验测得 的时间序列中构造出来, 然后通过考察所期望轨道附近的映象迭代, 由该映象在所需的周 期轨道附近的线性控制律来达到稳定控制。

混沌控制中有两个问题值得讨论。一是关于实现所需周期态的控制时间, 即达到所需 周期态所花的平均寿命〈T 〉。显然, 从实用角度看, 实现对混沌的稳定控制所花的时间不能 无限长, 只能是有限长才是有意义的。 由于混沌转变敏感地依赖于初始条件, 对于随机选 择的初始条件, 存在一个指数型的概率分布, 对于大 T 情形, 则有概率:

P (T )～ exp [ - (T /〈T 〉

) ] (8) 控制所需的平均寿命〈T 〉将随 ?P m ax 的减少而增加, 并且对于 ?P m ax 小值情形,〈T 〉遵循幕律

物 理 学 进 展 16 卷

8 i

关系:〈T 〉～ (?P m ax ) - ?。O GY 方法已经导出指数 Χ的表达式:

Χ= 1+ 1 ln 1 Κu 1 /ln 1 Κs 1 - 1 (9) 2 显然, 随机选择一批初始条件可以算出〈T 〉与 ?P m ax 之间的关系, 计算结果表明: 随着 ?P m ax 增加, 平均寿命〈T 〉成线性减少, 这就是说, 增加微扰限制量, 有利于减少控制所需的时间,

另一个关注的问题是噪声的影响, 研究噪声影响只需在线性化方程 ( 2) 或 ( 3) 的右边 加上一个随机项 Ε?i , 然后求解朗之万方程。这里 ?i 为随机变量, Ε为噪声强度。?i 具有下 列特性:〈?i 〉= 0 及〈?i ?j 〉= 0 当 i ≠j 时, 并且具有与 i 无关的概率密度, 从局域稳定性条 件 (4) 可知, 噪声与 f u 的点积将包括在 ?Νi + 1 中, 故得 Νu 1 = Ε?u , 这里 ?u = f u ·?i 。 于是, 倘

i + i i 若噪声是有界的, 即1 ?u 1 < ?m ax , 则受控的不动点的稳定性将不受影响。只要这个有界足够 的小即可, 使得 Ε?m ax < Νm ax 倘若该条件不被满足, 则噪声可以把一条轨道撞出不动点附近 的平行四边形以外, 在概率密度分布的尾部, 低概率所引起的越轨现象尤其令人关注。 不 过, 这种越轨现象通常很少发生。 要是经常发生那 O GY 方法就不灵了, 事实证明, O GY 方法对混沌的控制是有效的, 基本上不受噪声的影响。 因此, 该法已广泛应用于各种非线 性动力学系统, 包括力学、光学、化学、生物、环境等学科领域中。

O GY 方法的主要优点是: 一, 无须预先知道所研究系统的动力学模型, 庞加莱映象可 由实验测量的时间序列用延迟座标法来获得, 二, 是每次映象迭代所需的计算量最少, 三, 所需的参数变化很少。四, 必须估算所需的不稳定不动点的某些性质, 但是可以粗估即可。 在特征值及特征矢量测量不精确的情况下也可以实现混沌控制。五, 在延迟座标下达到控 制后嵌套在混沌吸引子中的不稳定轨道只有微小变化, 基本上不变。 六, 该法不限于有周 期外力驱动的力学系统, 可以拓广到由非线性映象表征的任何系统。 也就是说, 它只适用 于离散动力学系统及可用庞加莱映象表征的连续动力学系统, 通常只能控制低周期的轨 道。 针对 O GY 方法的不足之处, 已经提出了一些改进的 O GY 方法, 下面将分别介绍。

三、O GY 方法的改进

在实验中发现 O GY 方法存在一个主要问题是: 在控制过程中我们要在 t i 时刻开始, 把参数从 P i - 1 变化到 P i , 这里 t i 为轨线第 i 次贯穿庞加莱截面的时间。倘若应用时间延迟 座标法, 则可证明: 由实验截面所得到的映象 F , 不仅取决于新的参数 P i (O GY 方法隐含 了 该 假 设) , 而 且 还 依 赖 于 前 面 的 参 数 P i - 1。 因 此, 为 了 更 好 地 实 现 控 制, N it s ch e 及

D re s sle r 对 O GY 方法的控制律进行了改进[ 26 ]。

我们仍讨论尚不知道系统的动力学方程, 假设系统的唯一信息来自实验测量的时间 序列。 测量结果从数学上用态空间M 上某个标量函数 Z 来表示, 即 Z ∶M →/I R 。若 y ( t ) ∈M 为 t 时刻系统的某个态, 则实验所得的时间序列 z ( t ) = Z (y ( t ) )。再假设已产生的吸 引子就在某个流形M Χ< M 上。利用具有延迟 T 的时间座标及嵌套维数 d , 则构成 d - 维延

迟座标矢量 x ( t ) = (z ( t ) , z ( t - T ) , ?, z ( t - (d - 1) T ) ) ∈I /I R d , 适当选择 d 和 T , 则存在一

个从流形M Χ 到子流形M x < /I R d 的光滑的逆映象 5 , 使得下式成立:

x ( t ) = 5 (y ( t ) ) , y ( t ) ∈M Χ

(10)

1 期 方锦清: 非线性系统中混沌的控制与同步及其应用前景 (一) 9

i P i - 1 ( 值, 由 Υt i + 1- t i P i

( u 令用一个流 Υ表示原来相空间内的动力学, 使得 y ( t + T ) = ΥT (y ( t ) ) 成立。在恰当选择的

实 验截面内, 这个连续动力学系统可退化为一个离散的动力学映象, 通常选择 x ( t i ) ≡

z ( t i ) 为常数作为庞加莱截面即可做到, 从而在截面上得到一系列的交点 Νi ?

= (z ( t i - T ) , ?, z ( t i - (d - 1) T ) ) ∈/I R d - 1。于是, 我们得到感兴趣的庞加莱映象: Νi + 1 = F ( Νi )。

简单起 见, 假设要稳定控制 F 中的某条不稳定周期轨道。F 由返回点技术所确定

[ 5, 24, 25 ]。应用 O GY 方法表示: 在 t i 时立即把参数 P 从 P i - 1 变到线性控制律 ( 5) 式所确定的参数 P i 。 今假定: 在两次相继穿过截面之间时间间隔大于迟滞窗口 (la g w in d o w ) , 即 t i - 1 - t i > (d - 1) T 。

我们之所以希望能通过考察 x ( t ) 来控制原来系统的 y ( t ) , 原因是所引入的嵌套 c 给 出 x ( t ) 与 y ( t ) 之间的双向单射关系, 映象 c 与系统的动力学方程有密切关系, 并且一般 依赖于参数 P i 的实际值。基于该事实, 用 c P 取代 c , 则 Νi 在 t i 时刻在截面内与原状态的

关系为: y ( t i ) = c - 1 = c - 1 c , z

( t i - T ) , ?, z ( t i - (d - 1) T ) P i - 1 x ( t i ) (11)

此处已利用了 (d - 1) T < ( t i - t i - 1 ) 的假设, 即 P i - 1 是在整个时间间隔 ( t i - 1 , t i ) 内 P 的实际

p i

给出在控制时原来态空间内的流, 它描述了从 t i 到 t i + 1 时刻系统的演化。于 是, 可得即在 t i + 1 时刻系统状态:

y ( t i + 1 ) = Υt i + 1- t i y 以及在嵌套空间内相应的态为:

( t i ) ) ( 12) x ( t i + 1 ) = c P i (y ( t i + 1 ) )

(13) 利用 (11) — (13) 式, 我们得到: t i + 1- t i - 1 x ( t i + 1 ) = c P i ‘ΥP i ‘c P i - 1 ) (x ( t i ) (14)

这就得到我们开头的论断: 在控制起作用的情况下, 即在 t i 时刻把参数从 P i - 1 变到 P i 时, 实验截面映象确实不仅取决于新的实际值 P i , 而且取决于前一个值 P i - 1 , 即

Νi + 1 = F (Νi , P i - 1 , P i )

(15) 请 注意, 倘若对所有的 i , ( t i - t i - 1 ) > (d - 1) T 的条件被破坏, 例如只有2 ( t i - t i - 1 ) > (d - 1) T , 则 (15) 式直截了当地被推广为:

Νi + 1 = F (Νi , P i - 2 , P i - 1 , P i )

(16) 即这时还必须考虑进前面一个参数值 P i - 2 的依赖性, 自然可以按此类推。不过, 我们的讨 论限于对于所有 i 存在 ( t i - t i - 1 ) > (d - 1) T m 情形

。 从 (15) 式出发, 我们可对 O GY 方法的算法进行修正, 这时有下列线性近似:

?Νi + 1 ? A Νi + v ?P i - 1 + u ?P i

(17) 其中, A = D Νi F (ΝF , P o , P o ) , v = (5F /5P i - 1 ) (ΝF , P o , P o ) 及 u = (5F /5P i ) (ΝF , P o , P o )。

由于稳定控制要求 f u ‘?Νi + 1 = 0, 则导出新的控制律:

?P i = - Κu f ‘u f u ‘?Νi -

f u ‘v f ‘u ?P i - 1 (18) 当不考虑前次参数微扰 ?P i - 1 对映象的影响时, 即 v = 0, 则上式退化为 O GY 方法的

1 期方锦清: 非线性系统中混沌的控制与同步及其应用前景(一)9 线性控制律(5)。

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10 u 改进的 O GY 方法的控制律 ( 18) , 从原理上说, 应该再次适用于没有测量误差或噪声 的所有情形, 在控制起作用的时候, ?P i ≠0, 控制要求的 f u ‘?Νi + 1 = 0并不确保 Νi + 2 也将落 入该稳定流形, 其原因是 ΝF 是 F (‘, P o , P o ) 的不动点, 但不是 F (‘, P o + ?P i , P i + 1 ) 的不动 点。倘若不加进一步微扰 ?P i + 1 , 则 F (‘, P o + ?P i , P o ) 就确定了 Νi + 2。

倘若根据改进的控制 律 (18) 来选择微扰 ?P i + 2 , 则 Νi + 2 就将只呆在 ΝF 的局域稳定流形 ( 即 f u ‘?Νi + 2 ) = 0) 上, 这 点利用 (17) 式则易于验证。

他们已经将这种改进的 O GY 方法的控制律应用于杜芬振荡器中的混沌控制, 纠正 了原先 O GY 方法无法控制的情形。但是, 它并非对所有情形都是充分有效的。当考虑

1 (f u ‘v ) /(f u ‘u ) 1 ≥1 情形时亦如此。若把偏差零的 ?Νi 的差值视为随机的, 则

( 18) 式等价 于一个非稳的自回归序数1的过程[ 27 ] , 即 (?P i ) 2 的期望值将随 i 的增长一直发散到某个 i ,

?1 i 将超过所允许的最大微扰 ?P m ax , 因而控制范围也失去了。

为了避免 ?P i 增长所致的 不稳定性, 文献 [ 25 ] 提出了一种变通的办法, 即试图寻求 ?P i 的一种控制律使得 ?P i + 1 将 自动地变为零。为此, 要求系统只稳定下一个 i + 2, 但 要一步到位, 且使得 ?P i + 1 = 0, 即要 求:

f u ‘?Νi + 2 = 0及 ?P i + 1 = 0

(19) 只要利用两次 (17) 式, 则由 (19) 要求导出了新的控制律为: Κ2 ?P i = - Κf ‘u + f ‘v f u ‘?Νi - Κu f u ‘v ?P i - 1 (20) 其中分母不为零:

u u u Κu f u

‘u + f u ‘v 新的 O GY 方法的控制律要求可以达到控制过程自洽, 由于假设了理想的线性化, 原 则上在无噪声及测量误差时, 可以在 Νi + 3 迭代时停止微扰, 即 Νi + 3 迭代会自动落入稳定流 形。但是, 由于对 (17) 应用了二次线性化所导致的误差, 实际上不象那么理想, 这就总要几 经微扰使控制律在每 i 次迭代都发挥作用才好。

四、O GY 方法的进一步改进

如何实现对混沌奇怪吸引子中的高周期态及高维动力学系统的混沌控制, 是O GY 方法进一步改进的主要方向, 混沌控制的物理实质就在于把具有正值的李雅普诺夫指数 如何变成负值, 从而把不稳定轨道稳定住, 根据这种分析, O t t 、G rebo g i 又与 R om e ira s 、

D ayw an sa 合作, 采用系统控制中的所谓

“极点移动技术”, 对 O GY 方法进行了进一步的 改进[ 28 ]。

让我们来讨论离散动力学系统

Νi + 1 = F (Νi , P ) (21)

其中 Νi ∈1 /I R n , P ∈1 /I R , F 映象对两个变量都是充分光滑的, P 为外部可调的实参数,

在 某个时间内要求:

1 P - P o 1 < ? (22) P o 为额定值 (n o m in a l v a l u e ) , 假设在 P = P o 下系统有一个混沌吸引子, 现在的目标是: 以 这样一种方式随时间 i 改变参数 P 使得混沌吸引子的流域中涉及几乎所有的初始条件,

1 期方锦清: 非线性系统中混沌的控制与同步及其应用前景(一)11

从而系统的动力学都收敛到该吸引子中所期望的时间周期轨道上。如O GY 方法已述, 由于混沌动力学的遍历特性可以确保态轨线最终能进入所要稳定的U PO 的邻近, 一旦进入, 我们即加上稳定反馈控制律, 以控制轨线朝所期望的U PO 运动, 并稳定住。

令ΝF (P ) 表示该混沌吸引子上的一个不稳定不动点, 对于P 接近于P o 及在不动点ΝF (P o)附近情形, 可用下列线性映象近似映象(21) :

Νi+ 1 - ΝF (P o) = A [ Νi- ΝF (P o)]+ B (P - P o)(23)

这里A为雅可比矩阵(n×n) , B 为n 维列矢量, 即

A = D ΝF (Ν, P ) 及

B = D P F (Ν, P )

且在Ν- ΝF (P o) 及P = P o 处计算这些偏导数, 并假设参数P 对时间的依赖性是变量Νi 的如下线性函数形式

P - P o=- K T [ Νi- ΝF (P o)] (24)

这里K T 是一个1×n 矩阵, 主要的问题是想法确定K T 使得不动点ΝF (P o)变成稳定的。把(24) 代入(23) , 得

Νi+ 1 - ΝF (P o)= (A - B K T ) [ Νi- ΝF (P o)] (25)

此式表明: 只要矩阵A- B K T 是渐近稳定的, 即矩阵的所有特征值的模小于1, 则不动点将是稳定的。

实际上, 如何确定K T 使得矩阵A - B K T 具有特定值的问题是系统控制论中所熟知的“极点移动技术”, 我们下面对此项技术给予简介。

矩阵A- B K T 的特征值称为“调节器极点”( r eg u la tor P oles)。把这些极点通过选择具有给定的A和B 的K T 置于所期望的位置上的问题就是“极点移动问题”。

4. 1极点移动问题。

以这样的一种方式来确定矩阵K T 使得矩阵A - B K T 的特征值具有特定( 复数) 值{p., ?, p n}。

我们给出存在极点移动问题的唯一解的必要和充分条件, 并介绍一种求解的方法

(A ck e r m a n n′s 方法) [ 29 ]。

(1) 极点移动问题具有一个唯一解, 如果且仅仅如果n×n 矩阵

C = (B ?AB ?A 2B ???A n- 1B ) ,

的秩为n,C 称为可控制矩阵。

(2) 极点移动问题的解由下式给出

k T = (Αn - a n?Α1 - a1) T - 1

这里T=C W 以及

W =a n- 1 a n- 2 ?a1 1 a n- 2 a n- 3 ? 1 0????a1 1 ?0 0 1 0 ?0 0

这里{a1, ?, a n}是A 的特征多项式的系数,

物理学进展16 卷12

1S I-A 1 = s n + a1s n- 1 + ?+ a n

及{Α1 , ?, Αn }是A -B K T 所期望的特征多项式的系数。

n

7

j= 1

(s- p j) = s n + Α1 s n- 1 + ?+ Αn

4. 2关于控制参数

迄今我们的讨论都是建立在线性方程( 25) 之上, 因而只应用于在ΝF ( P o ) 的局部区域。另一方面, 参数微扰大小的限制由(22) 给出, 当与(24) 合并时, 得出

1 K T [ Νi- ΝF (P o) ]1 < ?(26)

此式定义了宽度为2?/1K T 1 的条域, 我们只有在这个条域内根据(24) 来选择Νi才能起控制作用。当Νi 在这个条域外面时, 我们选择使控制参数留在它的额定值即P = P o 上。也有

其它选择的可能。

总之, 对于任意的Νi [ 不必接近ΝF (P o)], 由下式确定控制

P - P o=- K T [ Νi- ΝF (P o)]- u (?- 1 K T [ Νi- ΝF (P o)]1 ) (27)

这里u 是单位阶跃函数(u n it s t ep f u n c t i on), 其定义为

0, Α< 0

u(Α) =

1, Α> 0

应当指出: K T 可以有许多不同方式来选择, 原则上, 只要选择在单位园内调节极点都满足控制目的即可。

4. 3达到控制的时间

只有当Νi 落下狭窄的条域(26) 之内, 控制才起作用(即P ≠P o)。这样, 对于小?, 一条典型的初始条件将产生一条混沌轨线, 只要无控情形不变, 轨线就会直到Νi 落入这个条域, 即使如此, 因为非线性并不包括在线性方程( 25) 中, 该控制可能不会把轨线驱入不动点。在此情形下轨线将离开条域, 继续作混沌地游荡, 就象轨线不受控制一样, 由于在无控混沌吸引子上的轨线是遍历的, 所以在某时刻轨线最终会满足(26) 式, 且充分地接近所期望的不动点, 而起控制稳定作用。

如在最前面讨论O GY 方法时已提到的那样, 在实现这种稳定控制过程中, 这种混沌转变的平均寿命〈T〉敏感地取决于特殊轨线的初始条件。对于在吸引子流域中随机地选择的初始条件混沌转变寿命的分布是指数型的[ 28—29 ]:

Υ(T) ? 1 exp - T (

28)

〈T〉〈T〉

对于大T,〈T〉是混沌转变的特征寿命, 现在的情况下称为达到控制的平均时间( 或平均寿命)。对于小?情形, 可以对〈T〉随?的变化标度进行估算[ 28 ]。

4. 4高周期的控制

上述对O GY 方法的进一步完善的讨论, 目的是推广到对混沌吸引子中的高周期轨线的控制。假设我们要稳定的周期轨道的周期为T , 最直接拓广用法是取所研究映象T

物理学进展16 卷12

次迭代, 因为T 次迭代映象, 所以在周期轨线上的任何点都是一个不动点, 这样我们就可

i 以应用上述控制方法。不过, 此法对噪声过度敏感, 特别是对所期望的周期轨线的周期较 长的情形。讨论此法之后, 我们将指出已有更好的另一种做法。

假设周期轨线用 ΝiF (P ) 表示, 这里 Ν( i + T ) F (P ) = ΝiF (P )。同时引进具有 n ×n 的 T 矩阵 A i 的集及 T 列矢量 B i 的集 (维数为 n ) , 这里

A i = A i + T = D ΝF (Ν, P )

B i = B i + T = D P F (Ν, P )

且在 Ν= ΝiF (P ) 上计算偏导数, 下标 F 表示不动点, 下同

。 如同 (23) 那样进行线性化, 我们有

Νi + 1 - Ν( i + 1) F (P o ) = A i [ Νi - ΝiF (P o ) ]+ B i (P i - P o )

(29) 假设周期轨线具有 u 个不稳定特征值 ( 即具有量级大于1的 u 特征值) 及 s 个稳定特 征值, 且 u + s = n 。在 P = P o 周期轨线上的每一点 ΝiF (P o ) 确定了矢量 (v i , 1 , v v , 2 , ?, v i , s ) , 此

矢量支起线性的稳定子空间, 今令

4i , j = A i + u - 1A i + u - 2 ?A i + j + 1A i + j

( j = 1, 2, ?, u - 1)

一旦选择了矢量 (v i , 1 , v i , 2 , ?, v i , s ) 为稳定特征关系, 则

C = (4i , j B i ? 4i , 2B i + 1 ? ?? 4i , u - 1B i + u - 2 ? B i + u - 1 ?

v i + u , 1 ? v i + u , 2 ? ?? v i + u , s )

于是, 可控性条件为: C 是非奇异的, 则所控制的期望结果为

P i - P o = - K T [ Νi - Νi Α(P o ) ],

(30a ) 其中

K T = k C - 1 4i , 0

(30b )

i i k 表示一个 n 维列矢量, 它的第一项为1, 其余项目为0。

为了导出方程 (30) , 我们对 (29) 迭代 u 次,

Νi + u - Ν( i + u ) F (P o ) = 4i , 0 [ Νi - ΝiF (P o ) ]+ 4i , 1B i (P i - P o ) + 4i, 2B i + 1 (P i + 1 - P o ) + ?+ B i + u - 1 (P i + u - 1 - P o ) (31a )

然后我们要求 Νi + u

落在通过 Ν( i + u ) F (P o ) 点的周期轨线的线性化的稳定流型上。也就是, 我 们这么来选择 P , 使得满足:

Νi + u - Ν( i + u ) F (P o ) = Α1 v i + u , 1 + Α2 v i + u , 2 + ?+ Αs v i + u , 3 (31b ) 把 ( 31a , b ) 视为 n 个未知量的 n = u + s 方程, 则可对 P i 求解而得到 ( 30) , 即我们导出了 (30)。

从上可见: 在时间 i 我们能够算出欲加在下一个 u 中的控制参数值, P i , P i + 1 , ?, P i + u - 1。

但是, 在有噪声的情形下, 这么做并不是好办法 (假定 u > 1) , 因为它并不能在每次 迭代时对噪声的影响进行修正。因此, 我们指出: 在有噪声影响的情形下, 最好的办法是在

每次迭代时通过 (30) 两式来计算控制参数 P i 。

4. 5 延迟座标的应用

在实验研究混沌动力学中, 经常应用延迟座标来表示系统的状态。这种做法有时十分有用。因为它仅仅要求实验上测出一个单标量态变量的时间序列, 如这个单变量就用y ( t)