第3章恒定电流的电场和磁场
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P UI
在导体中，沿电流线方向取一长度为Δl、截面为ΔS的体积 元，该体积元内消耗的功率为
P UI ElI EJlS EJV
当ΔV→0，取ΔP/ΔV的极限，就得出导体内任一点的热功 率密度，表示为
p lim P EJ E2
V 0 V
或
p JE
此式就是焦耳定律的微分形式。
应该指出，焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电 流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不 是转变为电荷与晶格碰撞的热能。
由于电流密度可以视为单位面积的电流密度，电场强度可以
视为在电场强度方向单位长度上的电压。
因此，对一段长为 l ，横截面为S的导线，欧姆定律的微分
形式可写成：
s
I U R
IJ s UE l
值愈大表明导电能力 愈强，即使在微弱的 电场作用下，也可形
J E 成很强的电流。
l
R l
电导率, 单位:s/m
4r 2
er
E
I
4r 2
er
内、外导体间的电压为
U
b
Edr
a
I
4
1 a
1 b
漏电电导为 G I 4ab
U ba
也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P=I2R求出漏
电电阻R：
P
J EdV
V
b a
I2
(4r 2 )2
4r 2dr
I2
4
1 1 a b
R
P I2
1
SJ
dS
0
l E dl 0
电流密度J与电场强度E之间满足欧姆定律J=σE。
以上的电场是指库仑场， 因为在电源外的导体中， 非库仑 场为零。
因恒定电场的旋度为零，因而可以引入电位φ, E= -▽φ。 在 均匀导体内部(电导率σ为常数)，有
E () 2 0
3.1.3 恒定电场的边界条件
s
表 5-1 常用材料的电导率
材料 铁(99.98 % )
黄铜 铝 金 铅 铜 银 硅
电导率σ/(S/m) 107
1.56×107 3.55×107 3.10×107 5.55×107 5.80×107 6.20×10 1.56×10-3
2、 焦耳定律的微分形式
当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间 内电场力对电荷所作的功，即功率是
3.1.2 恒定电流场的基本方程
电荷守恒定律
S
J
dS
dq dt
d dt
V
dV
SJ dS
V
dV t
V
J
t
dV
来自百度文库
0
要使积分对任意的体积V均成立，必须使被积函数为零，即
J
0
t
0
t
J 0
SJ dS 0
电源外部导体中恒定电场的基本方程归纳如下：
J 0 E 0 与其相应的积分形式为
•另外恒定电流场中，D E, s D 仍成立。
例 一个同心电容器的内、
外半径为a、b，其间填
充电导率为σ的导电媒质， 如图所示，求该电容器 的漏电电导。
同心电容器
解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体， 设
流过半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内
任一点的电流密度和电场为
J
I
1、两种导电媒质的边界
边界条件
恒定电流场的边界条件为
n
(E2
E1 )
0
或
n (J2 J1) 0
J1n J 2n
E1t E2t
在恒定电场中，用电位φ表示的边界条件为
1 2
1
1
n
2
2
n
S
D2n
D1n
2 2
J2n
1 1
J1n
J
n
2 2
1 1
式中，Jn=J1n=J2n,
当
2 2
1时， 1
与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均匀， 线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含义与 前相同。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。
❖ 1、欧姆定律的微分形式
实验表明在导电媒质中，当温度不变时，媒质中某点的电流密
度J 与该点的电场强度 E成正比
J E
欧姆定律的微分形式
I SJ dS SJ cosdS
JS
I lim
S0 l
dI dl
sv
I l Js ndl l Js cosdl
面电流密度
运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的 方向与电场强度的方向也可能不同。可以证明运流电流的电流密度 J 与运动速度 v 的关系为
J v 式中 为电荷密度。
t
则该点处的电流密度 J为
J
lim
I
dI
v
S0 S dS
电流密度的单位是安培/米2(A/m2)。导体内每一点都有一个电流密度，
因而构成一个矢量场。称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫做
电流线。
可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一般情况下，电流 密度J和面积元dS的方向并不相同。此时，通过面积S的电流就等于电 流密度J在S上的通量，即
I dq dt
电流密度：是一个矢量，以 J 表示。电流密度的方向为正电荷 的运动方向，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。
因此，穿过任一有向面元 dS 的电流 dI 与电流密度 J 的关系为
dI J dS
第25.26学时 5.1 恒定电流的电场
体电流密度
设通过ΔS的电流为ΔI， I Stv vS
第三章 恒定电流的电场和磁场
3.1 恒定电流的电场 3.2 磁感应强度 3.3 恒定磁场的基本方程 3.4 介质的磁化 3.5 磁介质的场方程 3.6 恒定磁场的边界条件 3.7 矢量磁位和标量磁位 3.8 自感和互感 3.9 磁场能量与力
3.1 恒定电流的电场
在空间中分布不随时间变化的电流称为恒定电流，与恒定 电流对应的电场称为恒定电场。
分界面上面电荷密度为零。
应用边界条件，可得
tan1 1 tan2 2
2、两种导电媒质的电导率边界
可以看出，当σ1>>σ2，即第一种媒质为良导体时， 第二种媒质为不良导体时，只要θ1≠π/2, θ2≈0，即在 不良导体中，电力线近似地与界面垂直。这样，可 以将良导体的表面看作等位面。
3、导体与理想介质的分界面 •在导体（第一种媒质）与介质（第二种媒质）的分界面，因导体表 面有恒定电荷，E2n0，E1t＝E2t，介质中紧挨导体表面处的电场强 度与导体表面不垂直。
电流及电流强度 分类：传导电流与运流电流。
传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子 运动形成的电流。
运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成 的电流。
电流强度：单位时间内穿过某一截面的电量，又简称为电流， 以 I 表示。电流的单位为A（安培）。
因此，电流 I 与电荷 q 的关系为
在导体中，沿电流线方向取一长度为Δl、截面为ΔS的体积 元，该体积元内消耗的功率为
P UI ElI EJlS EJV
当ΔV→0，取ΔP/ΔV的极限，就得出导体内任一点的热功 率密度，表示为
p lim P EJ E2
V 0 V
或
p JE
此式就是焦耳定律的微分形式。
应该指出，焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电 流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不 是转变为电荷与晶格碰撞的热能。
由于电流密度可以视为单位面积的电流密度，电场强度可以
视为在电场强度方向单位长度上的电压。
因此，对一段长为 l ，横截面为S的导线，欧姆定律的微分
形式可写成：
s
I U R
IJ s UE l
值愈大表明导电能力 愈强，即使在微弱的 电场作用下，也可形
J E 成很强的电流。
l
R l
电导率, 单位:s/m
4r 2
er
E
I
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内、外导体间的电压为
U
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Edr
a
I
4
1 a
1 b
漏电电导为 G I 4ab
U ba
也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P=I2R求出漏
电电阻R：
P
J EdV
V
b a
I2
(4r 2 )2
4r 2dr
I2
4
1 1 a b
R
P I2
1
SJ
dS
0
l E dl 0
电流密度J与电场强度E之间满足欧姆定律J=σE。
以上的电场是指库仑场， 因为在电源外的导体中， 非库仑 场为零。
因恒定电场的旋度为零，因而可以引入电位φ, E= -▽φ。 在 均匀导体内部(电导率σ为常数)，有
E () 2 0
3.1.3 恒定电场的边界条件
s
表 5-1 常用材料的电导率
材料 铁(99.98 % )
黄铜 铝 金 铅 铜 银 硅
电导率σ/(S/m) 107
1.56×107 3.55×107 3.10×107 5.55×107 5.80×107 6.20×10 1.56×10-3
2、 焦耳定律的微分形式
当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间 内电场力对电荷所作的功，即功率是
3.1.2 恒定电流场的基本方程
电荷守恒定律
S
J
dS
dq dt
d dt
V
dV
SJ dS
V
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V
J
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dV
来自百度文库
0
要使积分对任意的体积V均成立，必须使被积函数为零，即
J
0
t
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t
J 0
SJ dS 0
电源外部导体中恒定电场的基本方程归纳如下：
J 0 E 0 与其相应的积分形式为
•另外恒定电流场中，D E, s D 仍成立。
例 一个同心电容器的内、
外半径为a、b，其间填
充电导率为σ的导电媒质， 如图所示，求该电容器 的漏电电导。
同心电容器
解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体， 设
流过半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内
任一点的电流密度和电场为
J
I
1、两种导电媒质的边界
边界条件
恒定电流场的边界条件为
n
(E2
E1 )
0
或
n (J2 J1) 0
J1n J 2n
E1t E2t
在恒定电场中，用电位φ表示的边界条件为
1 2
1
1
n
2
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S
D2n
D1n
2 2
J2n
1 1
J1n
J
n
2 2
1 1
式中，Jn=J1n=J2n,
当
2 2
1时， 1
与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均匀， 线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含义与 前相同。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。
❖ 1、欧姆定律的微分形式
实验表明在导电媒质中，当温度不变时，媒质中某点的电流密
度J 与该点的电场强度 E成正比
J E
欧姆定律的微分形式
I SJ dS SJ cosdS
JS
I lim
S0 l
dI dl
sv
I l Js ndl l Js cosdl
面电流密度
运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的 方向与电场强度的方向也可能不同。可以证明运流电流的电流密度 J 与运动速度 v 的关系为
J v 式中 为电荷密度。
t
则该点处的电流密度 J为
J
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I
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S0 S dS
电流密度的单位是安培/米2(A/m2)。导体内每一点都有一个电流密度，
因而构成一个矢量场。称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫做
电流线。
可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一般情况下，电流 密度J和面积元dS的方向并不相同。此时，通过面积S的电流就等于电 流密度J在S上的通量，即
I dq dt
电流密度：是一个矢量，以 J 表示。电流密度的方向为正电荷 的运动方向，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。
因此，穿过任一有向面元 dS 的电流 dI 与电流密度 J 的关系为
dI J dS
第25.26学时 5.1 恒定电流的电场
体电流密度
设通过ΔS的电流为ΔI， I Stv vS
第三章 恒定电流的电场和磁场
3.1 恒定电流的电场 3.2 磁感应强度 3.3 恒定磁场的基本方程 3.4 介质的磁化 3.5 磁介质的场方程 3.6 恒定磁场的边界条件 3.7 矢量磁位和标量磁位 3.8 自感和互感 3.9 磁场能量与力
3.1 恒定电流的电场
在空间中分布不随时间变化的电流称为恒定电流，与恒定 电流对应的电场称为恒定电场。
分界面上面电荷密度为零。
应用边界条件，可得
tan1 1 tan2 2
2、两种导电媒质的电导率边界
可以看出，当σ1>>σ2，即第一种媒质为良导体时， 第二种媒质为不良导体时，只要θ1≠π/2, θ2≈0，即在 不良导体中，电力线近似地与界面垂直。这样，可 以将良导体的表面看作等位面。
3、导体与理想介质的分界面 •在导体（第一种媒质）与介质（第二种媒质）的分界面，因导体表 面有恒定电荷，E2n0，E1t＝E2t，介质中紧挨导体表面处的电场强 度与导体表面不垂直。
电流及电流强度 分类：传导电流与运流电流。
传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子 运动形成的电流。
运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成 的电流。
电流强度：单位时间内穿过某一截面的电量，又简称为电流， 以 I 表示。电流的单位为A（安培）。
因此，电流 I 与电荷 q 的关系为