湖南省高一数学上学期第一次月考试题
学 习 资 料 专 题双峰一中2018年下学期高一第一次月考数学试题第I 卷（60分）一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合A={1,2}, B={1,2,3}, C={2,3,4}，则=⋃⋂C B A )(（ ）A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4})(211)(.2的定义域为函数xx x f -++=A. [-1，2)B. [-1，2)⋃(2,∞+)C.(-1，2)D.[-1，2]3.已知函数⎩⎨⎧>-≤+=1,41,1)(22x x x x x f ，则))2((f f 等于（ ）2.A 1.-B 5.C 2.-D4.下列函数中，在定义域上既是奇函数又是减函数的为（ ）A.1+=x yB.xy 1=C.x y 3=D.x x y -=5.已知函数f(x-1)的定义域为（0,1)，则函数f(2x+1)的定义域为（ ）A. (-1,1)B.(-1,21-) C.(-1,0) D.(21-,0) 6.若2{|60}A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，且A B A =，则m 的取值范围为（ ）A ．1132⎧⎫⎨⎬⎩⎭，B ．11032⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，， C. 11032⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，， D ．1132⎧⎫--⎨⎬⎩⎭， 7．函数]1,1[,1)(2-∈+-=x x x x f 的值域为（ ）A.(1，3)B.[1，3]C.(43，3) D.[43，3] 8.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，)1(,2)(0x 2f x x x f 则时，当-=≤=（ ）A ．-1B ．1C ．-3D ．09.已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且)()3(x f x f -=+，当)0,3(-∈x 时，52)(-=x x f ，则=)14(f （ ） A ．1- B ．9- C ．5 D ．1110．若定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数f(x)，在(0,+∞)内是减函数，又有f(3)=0，则0)(<⋅x f x 的解集为（ ）A. {x|-3<x<0或x>3}B. {x|x<-3或0<x<3}C. {x|-3<x<0或0<x<3}D. {x|x<-3或x>3}11.已知函数)(x f 的图象向右平移a (0>a )个单位后关于直线1+=a x 对称，当112>>x x 时，[]0)()()(1212<--x x x f x f 恒成立，设)21(-=f a ，)2(f b =，)(πf c =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ）A.b a c >>B.a b c >>C.b c a >>D.c a b >> 12.设)(x f 与)(x g 是定义在同一区间],[b a 上的两个函数，若对任意的],[b a x ∈都有1|)()(|≤-x g x f ，则称)(x f 和)(x g 在],[b a 上是“依函数”，区间],[b a 为“依区间”，设43)(2+-=x x x f 与32)(-=x x g 在区间],[b a 上是“依函数”，则它的“依区间”可以是（ ）A ．]4,3[B ．]4,2[C ．]3,2[D ．]4,1[第II 卷（90分）二．填空题（共4个小题，5分每题，共20分）13.已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝ ．14.=-++--+--205.02313)3(1.1)94(5.0)827(64π ．15.已知关于x 的不等式b ax x +>的解集为(4,36)，则=+b a ． 16.若函数⎩⎨⎧≥-<+-=)1(,)1(,4)13()(x ax x a x a x f 在R 上单调减，则a 的取值范围为 ．三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）已知集合{|13}A x x x =≤-≥或，{|16}B x x =≤≤，{|12}C x m x m =+≤≤.(Ⅰ)求A B ；(Ⅱ)若B C B =，求实数m 的取值范围.18. （本题满分12分）).1,0(3)(已知函数--+=的图象过点x ax x f 的值；，求为常数）若（n m n m x nm x f ,),(3)(1-+= .),3()(2法证明上的单调性，并用定义在）试判断函数（+∞x f19. （本题满分12分）.1)0(2)()1(若二次==-+f x x f x f 且函数满足（1）求f(x)的解析式；（2）若g (x)=f(x)-mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围.20.（本题满分12分）已知函数x x x f 2)(2-=.（1）作出函数的图象，并写出其单调增区间；（2）若集合{}a x f x =)(恰有四个元素，写出a 的取值范围； （3）在同一坐标系中作直线y=x ，观察图象写出不等式f(x)<x 的解集.21.（本题满分12分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入a （单位：万元）满足623-=a P ，乙城市收益Q 与投入a （单位：万元）满足241Q +=a ，设甲城市的投入为x （单位：万元），两个城市的总收益为)(x f （单位：万元）．（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大并求出最大收益.22.（本题满分12分）已知)(x f 是定义在R 上的函数，对任意的x,y ∈R 都有())()(y f x f y x f +=+，且2)1(-=f .（1）求证：f(x)是奇函数；（2）如果上的最值在区间求时，]4,1[)(,0)(-<∈+x f x f R x ； （3）解不等式2)2()(<--x f x f .数学参考答案一．选择题题号 二．填空题13.{}4,1 14.2-π 15.813 16.⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,81 17．解：(Ⅰ){|36}AB x x =≤≤ （3分）(Ⅱ)∵B C B ⋃= ∴C B ⊆ （4分）当C =∅时，∴12m m +> 即1m < 符合C B ⊆ （6分）当C ≠∅时，∴121126m mm m +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩∴13m ≤≤ （9分）综上所述：m 的取值范围是(,1)[1,3]-∞ 即(,3].-∞ （10分）18. 解：（1）3,1)0(=∴-=a f （2分）6136133)(==∴-+=-+=∴n m x x x x f （6分）（2）减函数（7分） 证明略（12分）)6(1)(1)0(1101222)()1()0()()1(解：19.22分又则设+-=∴==⎩⎨⎧⎩⎨⎧-==∴=+=∴=++=-+≠++=x x x f c f b a b a a x b a ax x f x f a c bx ax x f分）（或或由图知：对称轴127342122121.1)1()()2(02≥≤∴≥+≤++=++-=m m m m m x x m x x g20.解：（1）图略 (3分) (0,1)和),2(+∞ （6分） （2）0<a<1 (9分) (3)1<x<3 (12分)21.解：（1）当50=x 时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元所以总收益 2704165023)50(+⨯+-⨯=f =43.5（万元） （4分）（2）由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资)120(x -万元所以2)120(41623)(+-+-=x x x f 262341++-=x x （6分） 依题意得⎩⎨⎧≥-≥4012040x x ，解得8040≤≤x故262341)(++-=x x x f )8040(≤≤x 令x t =，则]54,102[∈t （评分细则说明：若函数)(x f 定义域没写扣2分）所以4426(4126234122+--=++-=）t t t y （10分） 当26=t ，即72=x 万元时，y 的最大值为44万元，所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元． （12分）22. 解：（1）证明：令x=y=0，f(0)=0 令y=-x ，f(0)=f(x)+f(-x)=0 所以f(x)为奇函数. （3分）(2)任取x 1<x 2 则f(x 2)-f(x 1)=f(x 2)+f(-x 1)=f(x 2-x 1)<0 所以f(x 2）<f(x 1） 所以f(x)在R 上为减函数.（6分）8)1(4)4()(2)1()1()(min max -====-=-=∴f f x f f f x f （8分）（3）f(x)<2+f(2-x)=f(-1)+f(2-x)=f(1-x) 因为f(x)在R 上为减函数，所以x>1-x. 即21>x （12分）。
高一上学期第一次月考数学试卷(新题型：19题)(基础篇)(原卷版)
2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷（基础篇）【人教A版（2019）】（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效；4.测试范围：必修第一册第一章、第二章；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（）A．2023年参加“两会”的代表B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目C．π的近似值D．我校跑步速度快的学生2．（5分）（23-24高一上·北京·期中）命题pp:∀xx>2，xx2−1>0，则¬pp是（）A．∀xx>2，xx2−1≤0B．∀xx≤2，xx2−1>0C．∃xx>2，xx2−1≤0D．∃xx≤2，xx2−1≤03．（5分）（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）下列不等式中，可以作为xx<2的一个必要不充分条件的是（）A．1<xx<3B．xx<3C．xx<1D．0<xx<14．（5分）（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①0∈{0}，②∅ {0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(aa,bb)}= {(bb,aa)}正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若变量x，y满足约束条件3≤2xx+yy≤9，6≤xx−yy≤9，则zz=xx+2yy的最小值为（）A．-7 B．-6 C．-5 D．-46．（5分）（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知全集UU={1,3,5,7,9}，MM=�xx|xx>4且xx∈UU},NN={3,7,9}，则MM∩(∁UU NN)=（）A．{1,5}B．{5}C．{1,3,5}D．{3,5}7．（5分）（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式aaxx2+bbxx+2>0的解集为{xx∣xx<−2或xx>−1}，则不等式2xx2+bbxx+aa<0的解集为（）A．�xx�−1<xx<12�B．{xx∣xx<−1或xx>12}C．�xx�−1<xx<−12�D．{xx∣xx<−2或xx>1}8．（5分）（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知aa>bb≥0且6aa+bb+2aa−bb=1，则2aa+bb的最小值为（）A．12 B．8√3C．16 D．8√6二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
湖南省张家界市民族中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题(含答案解析)
湖南省张家界市民族中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{},|23U A x x ==-<≤R ，则U A =ð（）A ．{}2x x ≤-B ．{2x x ≤-或}3x >C ．{}3x x ≥D ．{2x x <-或}3x ≥2．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为,,a b c （单位：cm ），这个规定用数学关系式表示为（）．A ．130a b c ++<B ．130a b c ++>C ．130a b c ++≤D ．130a b c ++≥3．设命题:p n N ∃∈，225n n >+，则p 的否定为（）．A ．N n ∀∈，225n n >+B ．N n ∀∈，225n n ≤+C ．n ∃∈N ，225n n ≤+D ．n ∃∈N ，225n n >+4．设,a b ∈R ，则“0a b >>”是“11a b<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设全集U =R ，集合{}{}229560M x x N x x x =>=-->，，M ，N 都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{31x x -≤<-或}6x >B ．{}31x x -≤<-C ．{31x x -≤<-或}36x <≤D ．{}36x x <≤6．设0a b <<，则下列不等式成立的是（）A2a ba b +<<<B ．2a ba b+<<<C 2a ba b +<<<D ．2a ba b +<<<7．已知集合{}31A x x x =-或，{}4B x x x a =≤->或，若()R A B ð中恰好含有2个整数，则实数a 的取值范围是A ．34a <<B ．34a ≤<C ．34a <≤D ．34a ≤≤8．“a<0”是“关于x 的不等式210ax ax +-<对任意实数x 恒成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设,a b ∈R ，则下列命题错误的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b ¹，则22a b ≠C ．若||a b <，则22a b <D ．若||a b >，则22a b >二、多选题10．下列关系一定正确的是（）A ．0{0}∈B ．∅{}0C ．{0,1}{(0,1)}⊆D ．{(,)}{(,)}a b b a =11．命题:p x ∃∈R ，2220x x m ++-<为假命题，则实数m 的取值可以是（）A ．1-B ．0C ．1D ．212．给定数集M ，若对于任意a ，b M ∈，有a b M +Î，且a b M -∈，则称集合M 为闭集合，则下列说法中不正确的是（）A ．集合{}4,2,0,2,4M =--为闭集合B ．正整数集是闭集合C ．集合{|3,}M n n k k Z ==∈为闭集合D ．若集合12,A A 为闭集合，则12A A ⋃为闭集合三、填空题13．已知集合A ={}(,)|,,x y x y N y x *∈≥，B ={}(,)|8x y x y +=，则A ∩B 中元素的个数是_______个14．已知全集R U =，集合{}{}2120,211A x x x B x m x m =--≤=-<<+，且A B ⋂=∅，则实数m 的取值范围为__________．15．向某50名学生调查对A ，B 两事件的态度，其中有30人赞成A ，其余20人不赞成A ；有33人赞成B ，其余17人不赞成B ；且对A ，B 都不赞成的学生人数比对A ，B 都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A ，B 都赞成的学生人数为__________．四、双空题16．设1x >，则当x =__________时，41x x +-的最小值为__________．五、解答题17．已知集合{}14A x x =-≤≤，{1B x x =<或}5x >．(1)若全集U =R ，求A B ⋃、()U A B ⋂ð；(2)若全集U =Z ，求()U A B ð；18．已知集合{}222160A x x ax a =-+-=，B ={2，3}，C ={5-，2，5}.(1)当a=1时，求()A B C ⋃⋂；(2)若A B ⋂≠∅，且A C ⋂=∅，求实数a 的值.19．如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为360m ，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为6m ，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为m x ，墙高5m ，(1)试将垃圾池的总造价y （元）表示为(m)x 的函数，并指出x 的取值范围；(2)怎样设计垃圾池能使总造价最低？最低总造价是多少？20．设命题p ：实数x 满足{}25M x x =-≤≤，命题q ：实数x 满足{}|122N x m x m =-≤≤+．(1)若命题“,x M x N ∀∈∈”是真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．21．己知x ，y 都是正数．(1)若233x y +=，求xy 的最大值；(2)若1122x y y+=-，且x y >，求x y +的最小值．22．已知集合10,x A x x R x ⎧⎫-=≤∈⎨⎬⎩⎭，(1)设集合{}11B x m x m =--≤≤-，若()R A B ⋂=∅ð，求实数m 的取值范围；(2)设集合{}220C x x ax a =--+>，若A C ⊆，求实数a 的取值范围．参考答案：1．B【分析】根据补集定义求解.【详解】因为{},|23U A x x ==-<≤R ，所以U A =ð{2x x ≤-或}3x >，故选:B.2．C【解析】根据长、宽、高的和不超过130cm 可直接得到关系式.【详解】 长、宽、高之和不超过130cm ，130a b c ∴++≤.故选：C .3．B【解析】根据特称命题的否定为全称命题求解即可.【详解】解：由于特称命题的否定为全称命题，故:p n N ∃∈，225n n >+的否定为：:p n N ⌝∀∈，225n n ≤+.故选：B.4．A【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.【详解】由0a b >>可得11a b<，故充分性满足；由11a b<不一定得到0a b >>，比如1,2a b =-=-，故必要性不满足，所以“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件.故选:A 5．B【分析】由图可得，阴影部分表示集合为：{x x N ∈且}x M ∉.化简集合M ，N 后可得答案.【详解】注意到{3M x x =>或}3x <-，{6N x x =>或}1x <-.又由图可得阴影部分表示集合：{x x N ∈且}x M ∉，则阴影部分集合为：{}31x x -≤<-.故选：B 6．D【分析】根据基本不等式的性质，结合作差比较法逐一判断即可.【详解】因为0a b <<2a b+<；因为0,02222a b b a a b a ba b +-+--=>-=，所以,22a b a b a b ++><，即2a b a b +<<，因为0a b <<，0a =>a >，因此2a ba b +<，故选：D 7．B【分析】可根据题意得出∁R B ＝{x |﹣4＜x ≤a }，根据条件得出A ∩（∁R B ）＝{x |﹣4＜x ＜﹣3或1＜x ≤a }，从而可得出a 的取值范围．【详解】根据题意，a ＞﹣4，则∁R B ＝{x |﹣4＜x ≤a }，又A ＝{x |x ＜﹣3或x ＞1}，A ∩（∁R B ）中恰好含有2个整数，∴A ∩（∁R B ）＝{x |﹣4＜x ＜﹣3或1＜x ≤a }，∴3≤a ＜4．故选：B ．【点睛】本题考查描述法的定义，以及交集、补集的运算，注意数轴法的应用及端点值问题，是易错题8．D【分析】先根据关于x 的不等式210ax ax +-<对任意实数x 恒成立得出40a -<£，再根据取值范围的关系判断即可得出答案.【详解】因为关于x 的不等式210ax ax +-<对任意实数x 恒成立，当0a =时，不等式可化为10-<恒成立；当0a ≠时，要使不等式恒成立，则有20Δ40a a a <⎧⎨=+<⎩解得：40a -<<；综上：实数a 的取值范围为：40a -<£，若a<0成立，则40a -<£不一定成立；反之也不成立，所以“a<0”是“关于x 的不等式210ax ax +-<对任意实数x 恒成立”的既不充分也不必要条件，故选：D .9．D【分析】根据不等式的性质，结合特例法进行判断即可.【详解】若2,2a b ==-，显然a b >，a b ¹，但是22a b >和22a b ≠都不成立，因此选项AB 都不对；若2,1a b =-=，显然||a b <，但是22a b <不成立，因此选项C 不正确；因为||0a b >≥，所以22a b >，因此选项D 正确，故选：D 10．AB【分析】由元素与集合、集合与集合的关系逐个判断即可.【详解】对A ，元素0属于集合{0}，A 对；对B ，空集真包含于任一非空集合，B 对；对C ，两集合的元素形式不一致，不可能存在包含关系，C 错；对D ，两集合的元素(,)(,)a b b a ≠，故{(,)}{(,)}a b b a ≠，D 错.故选：AB 11．ABC【分析】先求出命题为真命题时实数m 的取值范围，然后利用补集思想求出命题为假命题时m 的取值范围，由此可得出合适的选项.【详解】若命题:p x ∃∈R ，2220x x m ++-<为真命题，则()2Δ242440m m =--=->，解得1m >，所以当命题:p x ∃∈R ，2220x x m ++-<为假命题时，1m £，符合条件的为A 、B 、C 选项.故选：A BC.12．ABD【分析】根据集合M 为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．【详解】选项A ：当集合{}4,2,0,2,4M =--时，2,4M ∈，而246M +=∉，所以集合M 不为闭集合，A 选项错误；选项B ：设,a b 是任意的两个正整数，则a b M +Î，当a b <时，a b -是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B 选项错误；选项C ：当{}3,M n n k k Z ==∈时，设12123,3,,a k b k k k Z ==∈，则()()12123,3a b k k M a b k k M +=+∈-=-∈，所以集合M 是闭集合，C 选项正确；选项D ：设{}{}1232A n n k k Z A n n k k Z ==∈==∈，，，，由C 可知，集合12,A A 为闭集合，()122,3A A ∈⋃，而()()1223A A +∉⋃，故12A A ⋃不为闭集合，D 选项错误．故选：ABD ．13．4【分析】根据已知确定A ∩B 的几何意义，列举出所有元素，即可知元素的个数.【详解】由题设，A ∩B 表示8x y +=在第一象限内y x ≥的整数点，∴{(4,4),(3,5),(2,6),(1,7)}A B ⋂=，共有4个元素.故答案为：414．(][),42,-∞-+∞ 【分析】先求出{}34A x x =-≤≤，由A B ⋂=∅，讨论B =∅和B ≠∅求解即可.【详解】{}{}34,211A x x B x m x m =-≤≤=-<<+，因为A B ⋂=∅，所以①当B =∅时，211m m -≥+，解得：2m ≥，②当B ≠∅时，211214m m m -<+⎧⎨-≥⎩或21113m m m -<+⎧⎨+≤-⎩，解得：4m ≤-.故答案为：(][),42,-∞-+∞ .15．21【分析】根据给定条件利用集合并结合Venn 图列出方程求解作答.【详解】记赞成A 的学生组成集合A ，赞成B 的学生组成集合B ，50名学生组成全集U ，则集合A 有30个元素，集合B 有33个元素.设对A ，B 都赞成的学生人数为x ，则集合()U A B ð的元素个数为13x+，如图，由Venn 图可知，(30)(33)1503x x x x ⎛⎫-+-+++= ⎪⎝⎭，即21403x -=，解得21x =，所以对A ，B 都赞成的学生有21人.故答案为：21.16．35【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为1x >，所以10x ->，所以44111511x x x x +=-++≥=--，当且仅当411x x -=-即3x =时取得等号，故答案为：3；5.17．(1){4A B x x ⋃=≤或}5x >；(){U 1A B x x ⋂=<-ð或}5x >(2)(){}U 1,2,3,4A B = ð【分析】（1）根据题意，由集合的运算即可得到结果；（2）根据题意，由集合的交集，补集运算即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，{4A B x x ⋃=≤或}5x >且{U 1A x x =<-ð或}4x >，则(){U 1A B x x ⋂=<-ð或}5x >（2）根据题意，且U =Z ，则可得{}U 1,2,3,4,5B =ð则(){}U 1,2,3,4A B = ð18．(1){2,5}(2)7a =【分析】（1）当1a =时，求解出{3,5}A =-，利用并集、交集的运算法则进行求解；（2）求解出{4,4}A a a =-+，根据A B ⋂≠∅，且A C ⋂=∅，得到3A ∈，分类讨论得到a 的值，检验是否符合题意，最后求得结果.【详解】（1）当1a =时，{}22150A x x x =--=.由22150x x --=，得(5)(3)0x x -+=，则5x =或3-，所以{3,5}A =-.因为{2,3}B =，则{3,2,3,5}A B =- .因为{5,2,5}C =-，则(){2,5}A B C = .（2）由222160x ax a -+-=，得2()16x a -=，即4x a =±，所以{4,4}A a a =-+.因为A B ⋂≠∅，且A C ⋂=∅，则3A ∈.若43a -=，即7a =，则{3,11}A =，符合要求.若43a +=，即1a =-，则{5,3}A =-，此时{5}A C =- ，不合题意.综上分析，7a =.19．(1)详解见解析(2)当垃圾池的高为103m 、宽为3m 时，垃圾池总造价最低为10800元.【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用均值不等式求最值.【详解】（1）无盖长方体垃圾池的容积为360m ，长为6m ，高为x m ，则宽10xm ，()60180620200y x x =++⨯，即1200010803600y x x=++，(]0,5x ∈.（2）1200010803600360010800y x x =++≥+=，当且仅当120001080x x =取等号，即(]100,53x =∈.所以当垃圾池的高为103m 宽为3m 时，垃圾池总造价最低为10800元.20．(1)3m ≥(2)32m ≤【分析】(1)根据集合的包含关系求解；(2)将必要不充分条件转换为集合的真包含关系求解.【详解】（1）因为命题“,x M x N ∀∈∈”是真命题，所以M N ⊆，所以12225m m -≤-⎧⎨+≥⎩解得3m ≥，即实数m 的取值范围是3m ≥.（2）命题p 是命题q 的必要不充分条件,所以N 是M 的真子集，若122m m ->+即13m <-，此时N =∅，满足N 是M 的真子集，若122m m -≤+即13m ≥-，因为N 是M 的真子集，所以12225m m -≥-⎧⎨+≤⎩解得1332m -≤≤，经检验32m =时，7|22N x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎩⎭满足N 是M 的真子集，综上，实数m 的取值范围是32m ≤.21．(1)38(2)2【分析】(1)直接利用基本不等式23x y +≥=即可求得最值；(2)利用1112(2)()22x y x y y x y y x y y+=-+=-++-，展开后直接利用基本不等式求出结果.【详解】（1）因为x ，y都是正数，则23x y +≥=，即3≤，解得：38xy ≤，当且仅当23x y =，即3412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，所以xy 的最大值为38.（2）由x ，y 都是正数，且x y >，由1122x y y +=-可得：111122(2)()(2)2222y x y x y x y y x y y x y y x y y-+=-+=-++=++--1(222≥⨯+=，当且仅当22y x y x y y -=-，即31x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以x y +的最小值为2.22．(1)2m ≥(2)2a <【分析】(1)先利用分式不等式的解法求出集合={|01}A x x <≤，然后根据()R A B ⋂=∅ð可得：A B ⊆，最后根据集合的包含关系即可求解；(2)根据A C ⊆可得：将条件等价转化为221x a x +<+在(0,1]上恒成立，令22()1x f x x +=+，利用基本不等式，求出函数的最小值即可求解.【详解】（1）因为集合1{|0,R}{|01}x A x x x x x-=≤∈=<≤，由()R A B ⋂=∅ð可得：A B ⊆，又因为{|11}B x m x m =--≤≤-，所以101111m m m m --≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥--⎩，解得：2m ≥，所以实数m 的取值范围是2m ≥.（2）因为集合{|01}A x x =<≤，集合{}220C x x ax a =--+>，要使A C ⊆，则关于x 的不等式220x ax a --+>在(0,1]上恒成立，也即221x a x +<+在(0,1]上恒成立，令22()1x f x x +=+，222(1)2(1)33()1222111x x x f x x x x x ++-++===++-≥=+++当且仅当3(1)1x x +=+，即1x =-时取等号，所以()2f x ≥-，则2a <，所以实数a的取值范围为2a <.。
湖南省衡阳市2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题含答案
2024年高一上第一次月考数学（答案在最后）一､选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知集合{2,3,4,5,7},{2,3},{3,5,7}U A B ===，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{2,3,5,7}B.{2,3,4}C.{2} D.{2,3,4,7}【答案】C 【解析】【分析】由集合的交集与补集运算求解即可.【详解】因为{}{}2,3,3,5,7A B ==，所以{3}A B ⋂=，图中阴影部分表示的集合A 中除去{3}A B ⋂=，故阴影部分表示的集合为{2}.故选：C.2.下列各式正确的个数是（）①{}00=；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}(){}0,10,1=A.2 B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可.【详解】对于①，元素与集合的关系用∈符号，应为{}00∈，故①错误；对于②，任何集合都是本身的子集，故②正确；对于③，空集是任何集合的子集，故③正确；对于④，集合{}0,1是数集，有2个元素，集合(){}0,1是点集，只有1个元素，故④错误；所以正确的个数有2个.故选：A.3.命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”的否定是（）A.x ∃∈R ，2210x x ++≥B.x ∃∈R ，2210x x ++<C.x ∀∈R ，2210x x ++>D.x ∀∈R ，2210x x ++<【答案】B 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定即可解答.【详解】命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”为全称量词命题，它的否定是存在量词命题，即x ∃∈R ，2210x x ++<，故选：B.4.下列命题中正确的是（）A.若a b >，则22ac bc >B.若a b >，则22a b >C.若0,0a b m >>>，则b m ba m a+<+D.若a b >且0ab >，则11a b<【答案】D 【解析】【分析】举反例说明AB 是错误的，利用作差法可证C 是错误的，利用不等式的性质可证D 是正确的.【详解】对A ：当0c =时，由a b >⇒22ac bc =，故A 错误；对B ：当1a =，1b =-，则满足a b >，但22a b >不成立，故B 错误；对C ：根据不等式的性质，若0,0a b m >>>，则 㤵㔠㤵㔠，也就是b m ba m a+>+，故C 错误；对D ：若a b >且0ab >，则a b ab ab >即11b a>，故D 正确.故选：D 5.已知条件1:1p x<，则使得条件p 成立的一个充分不必要条件是（）A.1x <-B.1x ≥ C.0x <或1x > D.0x ≠【答案】A【分析】解不等式得到1x >或0x <，使得条件p 成立的一个充分不必要条件应为1x >或0x <的真子集，从而得到答案.【详解】11x<，解得1x >或0x <，故使得条件p 成立的一个充分不必要条件应为1x >或0x <的真子集，其中1x <-满足要求，其他选项不满足.故选：A 6.已知集合(){}(){}2,1,,1,,A x y y x B x y x my m A B C ==-==+∈⋂=R ∣∣，若C 为单元素集合时，则（）A.12m =B.2m =C.0m =或12m = D.0m =或2m =【答案】C 【解析】【分析】由题意可得两集合组成的方程组只有唯一解，再结合方程的性质以及判别式求解即可；【详解】因为集合(){}(){}2,1,,1,,A x y y x B x y x my m A B C ==-==+∈⋂=R ∣∣，若C 为单元素集合，则方程组211y x x my ⎧=-⎨=+⎩只有唯一解，所以()211y my =+-，整理可得()22210m y m y +-=，当0m =时，方程变为00y y -=Þ=，此时1x =，符合题意；当0m ≠时，()221214002m m m D =--´=Þ=，所以0m =或12m =，故选：C.7.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（）A.6钱B.7钱C.8钱D.9钱【解析】【分析】根据题意设买大竹子x ，每根单价为m ，可得()()576781mx x m =+--，由078x ≤≤，解不等式组即可求解.【详解】依题意可设买大竹子x ，每根单价为m ，购买小竹子78x -，每根单价为1m -，所以()()576781mx x m =+--，即78654m x +=，即()610913x m =-，因为078x ≤≤，所以()10910913013610913789613m m m m⎧≤⎪-≥⎧⎪⇒⎨⎨-≤⎩⎪≤⎪⎩961091313m ⇒≤≤，根据选项8m =，30x =，所以买大竹子30根，每根8元.故选：C【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.8.对于集合A ，B ，定义A \B ={|x x A ∈且}x B ∉，则对于集合A ={|65N x x n n =+∈，}，B ={|37N y y m m =+∈，}，|C x x A=∈B 且1000}x <，以下说法正确的是（）A.若在横线上填入”∩”，则C 的真子集有212﹣1个.B.若在横线上填入”∪”，则C 中元素个数大于250.C.若在横线上填入”\”，则C 的非空真子集有2153﹣2个.D.若在横线上填入”∪N ð”，则N ðC 中元素个数为13.【答案】B 【解析】【分析】根据各个选项确定相应的集合C ，然后由集合与子集定义得结论．【详解】653(21)2x n n =+=⨯++，373(2)1y m m =+=++，集合,A B 无公共元素，选项A 中，集合C 为空集，没有真子集，A 错；选项B 中，由651000n +<得51656n <，由371000m +<得331m <，因此C 中元素个数为166331497+=，B 正确；选项C 中，C 中元素个数为166，非空真子集个数为16622-，C 错；选项D 中，()()N NN NN N NC A B A B A B ===痧痧痧，而N B A ⊆ð，因此其中元素个数为331个，D 错．故选：B ．二､多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9.已知集合A={1，2，2a }，B={1，2a +}，若B A ⊆，则a 的可能取值为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】BD 【解析】【分析】利用B A ⊆，可得22a +=或22a a +=，再验证即可．【详解】因为B A ⊆，又集合{1A =，2，2}a ，{1B =，2}a +，所以22a +=或22a a +=，解得0a =或2a =或1a =-，当1a =-时，不满足集合元素的互异性，所以0a =或2a =．故选：BD ．10.已知实数x ，y 满足16x <<，23y <<，则（）A.39x y <+<B.13x y -<-<C.218xy <<D.1621xy <<-【答案】ACD 【解析】【分析】由不等式的性质直接求解.【详解】因为16x <<，23y <<，则39x y <+<，218xy <<，故A 、C 正确；由题32y -<-<-，故24x y -<-<，B 错误；112y <-<，则11121y <<-，故1621xy <<-，D 正确；故选：ACD.11.已知a >0，b >0，且3a +b =2，则（）A.ab 的最大值为13B.113a b+的最大值是2C.2219a b+的最小值是18 D.12a b a b+++的最小值是2【答案】AC 【解析】【分析】结合基本不等式的应用，但要只有等号能不能取，B 要用乘1法，D 减少变量后用基本不等式.【详解】因为0,0a b >>，且32a b +=，所以2≤，所以13ab ≤，当且仅当31a b ==时，等号成立，则A 正确；由题意可得()111111313222323232⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b ，当且仅当3a b ==1时，等号成立，则B 错误；因为13ab ≤，所以2219618+≥≥a b ab ，当且仅当31a b ==时，等号成立，则C 正确；由32a b +=，得23b a =-，对于D ，由0230a b a >⎧⎨=->⎩，得023a <<，()()111123222222222322++=++-=+-=+--≥-++---a b a a a a a b a a a a，当且仅当()1222a a =--，当222a =±时，22223±>，矛盾，故等号取不到，故D 错误.故选：AC.三､填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12.已知集合{}0,1,2A =，写出一个满足{}1,0,1,2,3A B ⋃=-的集合：B =_____________.【答案】{}1,3-(答案不唯一)【解析】【分析】写出满足{}{}1,31,0,1,2,3B -⊆⊆-的集合即可.【详解】解：根据题意，只要是满足{}{}1,31,0,1,2,3B -⊆⊆-的集合即可所以B ={}1,3-故答案为：{}1,3-13.已知命题[]2:1,2,20p x x x a ∃∈--≤是假命题，则实数a 的取值范围是______.【答案】1a <-【解析】【分析】写出命题的否定为真命题，得到()2min2a x x <-，求出221y x x =-≥-，得到实数a 的取值范围.【详解】由题意，命题¬ 쳌䁠쳌 䁠 䁠 是真命题，所以()2min2a x x<-，其中()222111y x x x =-=--≥-，当且仅当1x =时，等号成立.故答案为：1a <-.14.已知关于x 的不等式()20,,R ax bx c a b c ++>∈的解集为()4,1-，则29c a b++的取值范围为______.【答案】(],6∞--【解析】【分析】根据一元二次不等式解集的形式，判断,,a b c 的关系及a 的符号，再结合基本（均值）不等式求式子的最大值即可.【详解】解：关于x 的不等式()20,,R ax bx c a b c ++>∈的解集为()4,1-，所以0a <，且4-和1是关于x 的方程20ax bx c ++=的两实数根，由根与系数的关系知，144b ac a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3,4b a c a ==-，所以2291699434c a a a b a a a ++==+++，因为0a <，所以()9464a a ⎛⎫-+-≥= ⎪⎝⎭即296c a b+≤-+故答案为：(],6∞--.四､解答题（共5小题，满分77分）15.已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或 ．（1）当3a =时，求A B ⋂；（2）若0a >，且“x A ∈”是“R x B ∈ð”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|11x x -≤≤或}45x ≤≤（2）()0,1【解析】【分析】（1）当3a =时，求得{}15A xx =-≤≤∣，结合集合的交集的运算，即可求解；（2）根据题意，转化为A R B ð，根据集合之间的包含关系，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：当3a =时，集合{}|22A x a x a =-≤≤+{}15xx =-≤≤∣，因为集合{|1B x x =≤或 ，所以{|11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤.【小问2详解】解：由集合{|1B x x =≤或 ，可得{}|14B x x =<<R ð，因为{}|22(0)A x a x a a =-≤≤+>，且“x A ∈”是“R x B ∈ð”充分不必要条件，可得AR B ð，则21240a a a ->⎧⎪+<⎨⎪>⎩，解得01a <<，即实数a 的取值范围是()0,1.16.已知函数2()2h x ax ax =++．（1）若对于任意R x ∈，不等式()1h x >-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当a<0时，解关于x 的不等式()(1)4h x a x <-+．【答案】（1）[)0,12；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）讨论0a =或0a ≠两种情况，由不等式恒成立，求参数的取值范围；（2）首先不等式整理为(1)(2)0ax x -+<，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式.【小问1详解】()1h x >-即为230ax ax ++>，所以不等式230ax ax ++>对于任意 R 恒成立，当0a =时，得30>，显然符合题意；当0a ≠时，得2Δ120a a a >⎧⎨=-<⎩，解得012a <<．综上，实数a 的取值范围是[)0,12．【小问2详解】不等式()(1)4h x a x <-+即为2(21)20ax a x +--<，即(1)(2)0ax x -+<．又a<0，不等式可化为1(2)0x x a-+>，若12a<-，即102a -<<时，得1x a <或2x >-，即解集为1{|x x a <或2}x >-；若12a=-，即12a =-时，得2x ≠-，即解集为{|2}x x ≠-；若12a >-，即12a <-时，得<2x -或1x a>，即解集为{|2x x <-或1}x a >．综上可知，当102a -<<时，解集为1{|x x a <或2}x >-；当12a =-时，解集为{|2}x x ≠-；当12a <-时，解集为{|2x x <-或1}x a >．17.根据要求完成下列问题：（1）已知4x y +=，是否存在正实数x ，y 使得5x y ⋅=？若存在，求出x ，y 的值；若不存在，请说明理由；（2）已知,,,R a b c d ∈，比较2222()()a b c d ++与2()ac bd +的大小并说明理由；（3）利用（2）的结论解决下面问题：已知m ，n 均为正数，且225m n +=，求2m n +的最大值．【答案】（1）不存在，理由见解析（2）22222()()()a b c d ac bd ≥+++，理由见解析（3）5【解析】【分析】（1）由基本不等式说明4x y ⋅≤即可；（2）用作差法比较大小即可；（3）由（2）的结论得22222(21)()(2)m n m n ++≥+，即可求解．【小问1详解】不存在，∵0x >，0y >，∴x y +≥4x y +=，∴4≥∴4x y ⋅≤，∴不存在x 、y 使得5x y ⋅=．【小问2详解】22222()()()a b c d ac bd ≥+++，证明如下：2222222222()()()2()0a b c d ac bd a d b c abcd ad bc ++-+=+-=-≥，当且仅当ad bc =时等号成立，∴22222()()()a b c d ac bd ≥+++．【小问3详解】由（1）得22222(21)()(2)m n m n ++≥+，∴2(2)5525m n +≤⨯=，∴25m n +≤，当且仅当2m n =，即2m =，1n =时等号成立，∴2m n +的最大值为5．18.某工厂生产某种产品，其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21204000010y x x =-+.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本；（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润.【答案】（1）年产量为200吨时，平均成本最低为20万元；（2）年产量为220吨时，最大利润为840万元.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出平均成本的关系式，再利用基本不等式求解即得.（2）求出年利润关于年产量x 的函数关系，再利用二次函数求出最大值.【小问1详解】依题意，生产每吨产品的平均成本为[]400020,150,25010y x x x x=+-∈，而400020202010x x +-≥-=，当且仅当400010x x =，即200x =时取等号，所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元.【小问2详解】设利润为()W x ，则221()24(204000)220)8401010x W x x x x =--+=--+，而150250x ≤≤，因此当220x =时，max ()840W x =，所以年产量为220吨时，最大利润为840万元.19.已知正整数集合{}()1212,,,2,N ,0n n S a a a n n a a a =≥∈<<<< ,对任意,i j a a S ∈，定义()11,i j i j d a a a a =-.若存在正整数k ，使得对任意(),i j i j a a S a a ∈≠，都有()21,i j d a a k≥,则称集合S 具有性质k F .记()d S 是集合中的(){},,i j i j d a a a a S ∈最大值.（1）判断集合{}1,2,3A =和集合{}4,6B =是否具有性质3F ，直接写出结论；（2）若集合S 具有性质4F ，求证：()116n d S -≥；（3）若集合S 具有性质k F ，求n 的最大值.【答案】（1）集合{}1,2,3A =具有性质3F ；集合{}4,6B =不具有性质3F ；（2）证明见解析（3）21k -【解析】【分析】（1）根据定义直接判断得到答案.（2）确定()111n d S a a =-，变换()11223111111111n n nd S a a a a a a a a -=-=-+-++- ，计算得到证明.（3）确定()2,n i d a a n i k -≥，得到21i n i a k ->，确定21n i i k ->，再根据均值不等式计算最值得到答案.【小问1详解】{}1,2,3A =，则()()12211111,,2912d a a d a a ==-=≥；()()32231111,,6932d a a d a a ==-=≥；()()13311121,,3913d a a d a a ==-=≥，故集合{}1,2,3A =具有性质3F ；{}4,6B =，故()()1221461111,,129d b b b b d ==-=<，故集合{}4,6B =不具有性质3F ；【小问2详解】{}()1212,,,2,N ,0n n S a a a n n a a a =≥∈<<<< ，故121110n a a a >>>> ，故()max 111,i j n d a a a a =-，即()111nd S a a =-，集合S 具有性质4F ，故()161,i j d a a ≥，()11223111111111111116161616n n n n d S a a a a a a a a --=-=-+-++-≥+++= .【小问3详解】集合S 具有性质k F ，则()21,i j d a a k ≥，11a ≥，i a i ≥，*N i ∈，()211211*********,i i n i i n n i i i n n d a a a a a a a a a a a a n i k+++-=-=-=-++-≥--+ ，故21i n i a k->，又i a i ≥，故11i a i ≤，即21n i i k ->，*N i ∈，()22224i n i n k i n i +-⎛⎫>-≥= ⎪⎝⎭，当n 为偶数时当且仅当i n i =-，即2n i =时等号成立，当n 为奇数时等号不成立，()2max 14n i n i -⎡⎤-=⎣⎦，故2214n k ->，即2241n k <+，故21n k ≤-，综上所述：21n k ≤-，故n 的最大值为21k -.【点睛】关键点睛：本题考查了集合综合应用，意在考查学生的计算能力，转换能力和综合应用能力，其中根据集合中元素的大小关系，确定121110n a a a >>>> ，再利用绝对值的性质计算是解题的关键.。
湖南省高一上学期数学第一次月考试卷
湖南省高一上学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·河北月考) 已知集合，则集合A的真子集个数为（）A . 31B . 32C . 3D . 4【考点】2. （2分）对于实数和，定义运算“*”：设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根、、，则的取值范围是（）A .B .C .D .【考点】3. （2分）(2017·西城模拟) 有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（）A . 7B . 6C . 5D . 4【考点】4. （2分） (2019高一上·三台月考) 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（）A .B .C .D .【考点】5. （2分）已知偶函数满足当x>0时，，则等于（）A .B .C .D .【考点】6. （2分）下列函数与有相同图象的一个函数是（）A .B .C .D .【考点】7. （2分）关于函数的叙述，正确的是（）A . 在(0,)上递减偶函数B . 在（0，1）上递减偶函数C . 在(0,)上递增奇函数D . 在（0, 1）上递增偶函数【考点】8. （2分） (2020高一上·四川月考) 设则等于（）A . -1B .C .D .【考点】9. （2分）定义域为R的函数y=f(x)的值域为[a,b]，则函数y=f(x+a)的值域为（）A . [2a,a+b]B . [0,b-a]C . [a,b]D . [-a,a+b]【考点】10. （2分） (2016高二下·长安期中) 已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A . ﹣3B . ﹣1C . 1D . 3【考点】11. （2分） (2016高二下·右玉期中) 设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A . f（x）+|g（x）|是偶函数B . f（x）﹣|g（x）|是奇函数C . |f（x）|+g（x）是偶函数D . |f（x）|﹣g（x）是奇函数【考点】12. （2分）设奇函数上为减函数，且，则不等式的解集为（）A .B .C .D .【考点】二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·闵行模拟) 已知定义在[﹣1，1]上的函数f（x）值域为[﹣2，0]，则y=f（cosx）的值域为________．【考点】14. （1分）(2020·芜湖模拟) 已知函数，若，则 ________．【考点】15. （1分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2 ，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是________【考点】16. （1分）已知函数，若∃x1 ，x2∈R，且x1≠x2 ，使得f（x1）=f（x2），则实数a的取值范围是________【考点】三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高一上·温州期中) 计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）设3x=4y=6，求的值．【考点】18. （10分） (2020高一上·定远月考) 设函数，且 .（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）证明：函数在区间上单调递增.【考点】19. （10分）已知函数f（x）=4﹣log2x，g（x）=log2x．（1）当时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；（2）若对任意的x∈[1，8]，不等式f（x3）•f（x2）＞kg（x）恒成立，求实数k的取值范围．【考点】20. （10分）已知函数，（Ⅰ）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．【考点】21. （10分） (2016高一上·金华期中) 已知函数f（x）=x2﹣2x+2．（1）求f（x）单调区间（2）求f（x）在区间[ ，3]上的最大值和最小值；（3）若g（x）=f（x）﹣mx在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围．【考点】22. （10分） (2016高一上·黑龙江期中) 已知幂函数y=f（x）经过点（2，）．（1）试求函数解析式；（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．【考点】参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
长沙市雅礼中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题(答案解析)
雅礼中学2022年高一上学期第一次检测数 学本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“x ∀∈R ，23230x x -->”的否定为（ ） A ．x ∀∈R ，23230x x --≤ B ．x ∀∉R ，23230x x --≤ C ．x ∃∈R ，23230x x --≤D ．x ∃∉R ，23230x x --≤【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可． 【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论可得， 命题“x ∀∈R ，23230x x -->”的否定为：x ∃∈R ，23230x x --≤． 故选：C ．2．已知集合{}33A y y =-≤≤，{}3B x x =≥-，则A B =（ ）A ．[)3,-+∞B ．[)0,+∞C ．(]3,3-D ．[]3,3-【分析】直接进行交集的运算即可．【解析】解：∵{}33A y y =-≤≤，{}3B x x =≥-； ∴[]3,3AB =-．故选：D ．3．等式a b a b +=+成立的充要条件是（ ）A ．0ab =B ．0ab >C ．0ab ≥D ．0ab ≤ 【分析】根据a 、b 取值分类讨论即可．【解析】解：当a 、b 同号或为0时满足等式||||||a b a b +=+，当a 、b 异号时不满足等式||||||a b a b +=+，∴等式||||||a b a b +=+成立的充要条件是0ab …． 故选：C ． 4．若0x >，则42x x+-有（ ） A ．最小值1 B ．最小值2 C ．最大值1 D ．最大值2【分析】利用基本不等式的性质即可得出． 【解析】解：∵0x >，∴4222x x +-≥=，当且仅当4x x =，2x =时取等号．因此42x x+-的最小值为2． 故选：B ．5．图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．U NM ðB ．U MN ð C ．MNN ðD ．()()U UMN 痧【分析】由图象可知元素属于N 但不属于M ，则阴影部分对应的集合为()U M N ð．【解析】解：由Venn 图，元素属于N 但不属于M ， 即阴影部分对应的集合为U N M ð，故选：A ．6．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，125x y -≤-≤，则y 的取值范围是（ ） A ．{}09y y ≤≤B ．{}54y y -≤≤C ．{}113y y ≤≤D ．{}013y y ≤≤【分析】利用不等式的性质进行运算即可得出． 【解析】解：令x y m -=，2x y n -=，则2x n my n m =-⎧⎨=-⎩，∵41x y -≤-≤-，125x y -≤-≤， 即41m -≤≤-，15n -≤≤ ∴228m ≤-≤ ∴1213n m ≤-≤ 即113y ≤≤ 故选：C ．7．已知集合{}21,S s s n n ==-∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T =（ ）A ．SB ．TC ．RD ．∅【分析】由集合{}21,S s s n n ==-∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，推导出T S ⊆，由此能求出ST ．【解析】解：任取t T ∈则()412213t n n =+=-+，n ∈Z ，t S ∴∈，T S ∴⊆，∴S T S =．故选：A ．8．已知不等式20ax x c ++≥的解集为R，且不等式)()2102x a c x a c +++-≥的解集为R ，则()20cx a c x a +++≥的解集是（ ）A ．∅B ．RC ．{}0D ．不能确定【答案】B【解析】∵不等式20ax x c ++≥的解集为R ；不等式)()2102x a c x a c +++-≥的解集为R∴)()214001402a a a a c c c ⎧⎪>⎪⎪⎨⎪⎡⎤⎡⎤⎪+-+-≤⎢⎥⎣⎪=-≤⎦=⎦⎣⎩△△解得：1212a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()20cx a c x a +++≥转化为211022x x ++≥ ∵410221211a ⎧=>⎪⎪⎨⎪⨯⎪=⨯=⎩-△，抛物线开口向上∴不等式()20cx a c x a +++≥恒成立即不等式()20cx a c x a +++≥的解集为R故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省邵东市邵东市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题(含解析)
邵东市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的．1．设，则“且”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列命题是假命题的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若且，则D ．若且，则3．已知集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列说法不正确的是（ ）A ．命题p ：，，则命题p 的否定：，B ．若集合中只有一个元素，则C ．若，，则D ．已知集合，且，满足条件的集合N 的个数为45．若函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列说法正确的是（ ）A ．，对任意的，，这个对应是A 到B 的函数B ．若函数的定义域为，则函数的定义域为,x y ∈R 2x >3y >5x y +>0a b c d >>>>ab cd >22ac bc >a b >0a b >>0c <22c c a b >a b >11ab>0ab <1,44k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z 1,84k N x x k ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z M N =∅M N M= N MÜM NÜx ∀∈R 20x >x ∃∈R 20x ≤{}210A x ax x =++=14a =13x <<21y -<<-328x y <-<{}0,1M =N M ⊆()f x =()0,4[)0,4[]0,4(](),04,-∞+∞ *A B ==N x A ∈1x x →-()f x ()1,1-()21y f x =-()3,1-C ．和表示同一函数D ．函数的最小值是-17．在R 上定义运算：．已知时，存在x 使不等式成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数若对任意的，都有成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知关于x 的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．的解集是C ．D ．的解集是10．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）A ．的定义域为RB ．的值域为C ．若，则xD ．的解集为11．已知，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知命题p ：，，命题q ：，使得成立，若p 是真命题，q是假命题，则实数a 的取值范围是______．13．函数的单调递减区间为______．y =y =()[]()221,2f x x x x =+∈x y xy y ⊗=+12x ≤≤()()4a x a x -⊗+<{}22a a -<<{}12a a -<<{}32a a -<<{}12a a <<()f x =()123,,0,x x x ∈+∞()()()1230f x f x f x +->[]1,8-3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]2,4-5,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20ax bx c ++>{}24x x x <->或0a >0bx c +>{}4x x <-0a b c ++>20cx bx a -+<1142x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩()f x ()f x ()f x (),4-∞()3f x =()1f x <()1,1-0a >0b >a b ab +=4a b +≥4ab ≤49a b +≥221223a b +≥[]1,2x ∀∈21x a +≥[]1,1x ∃∈-210x a +->()11g x x x =-+14．若关于x 的不等式的解集中的整数恰有2个，则实数a 的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知全集，集合，，．（1）求集合；（2）若，求实数a 的取值范围．16．（15分）设函数．（1）若关于x 的不等式有实数解，求实数a 的取值范围；（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数x 的取值范围．17．（15分）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高5m ，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为x 米．（1）当前墙的长度为多少米时，甲工程队报价最低？（2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（学校选择报价更低的工程队），试求a 的取值范围．18．（17分）已知函数，．（1）求函数的值域；（2）试判断在区间，的单调性，并证明；（3）对，总，使成立，求实数m 的取值范围．19．（17分）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x 的最大整数，如，．（1）求的解集和的解集．()2221x ax -<U =R {}2280A x x x =--<2313x B xx ⎧-⎫=<⎨⎬-⎩⎭{}11C x a x a =-≤<+()A B R ðB C B = ()()212f x ax a x a =+-+-()2f x ≥-()6f x ≥-[]1,1a ∈-2240m 115212000500a a x +⎛⎫++⎪⎝⎭()0a >()2121487f x x x -=-+()()1g x xf x =()f x ()g x [)2,+∞130,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦[]22,x m ∃∈()()129f x g x =[]y x =[]x []1.21=[]1.22-=-5522x -≤≤[][]2211150x x -+≤（2）设方程的解集为A ，集合，若，求k 的取值范围．（3）若的解集为，求a 的范围．邵东一中2024年下学期高一第一次月考数学试卷答案一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的．1．A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可．【详解】若且，由不等式的可加性得到，即则“且”是“”的充分条件，若不一定得到且，如，满足，但是，所以“且”不是“”的必要条件．故选：A 2．答案：A解析：对于A 项，取，，，，则，，所以，故A 选项错误；对于B 选项，若，有，则，B 选项正确；对于C 选项，若，则，则，又因为，由不等式的性质可得，所以C 选项正确；对于D 选项，若且，则，所以，，D 选项正确．故选：A ．3．答案：D解析：由题意可知：，集合，因为代表所有的偶数，代表所有的整数，所以，即．故选：D ．4．答案：B解析：对于A ，由全称命题的否定知，命题p ：，，的否定为，，故A 正确；102x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦{}22211150B x x kx k =-+≥A B =R [][]22210x x a --+≤{}03x x ≤<2x >3y >5x y +>2x >3y >5x y +>5x y +>2x >3y >10x =0y =2x y +>3y <2x >3y >5x y +>2a =1b =3c =-4d =-2ab =12cd =ab cd <22ac bc >20c >a b >0a b >>220a b >>22a b >0c <22c ca b>a b >11a b >110a bb a ab--=<0ab <122,,448k k M x x k x x k ⎧⎫⎧+⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z 12,,848k k N x x k x x k ⎧⎫⎧-⎫==-∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ()22k k +∈Z ()2k k -∈Z M N ÜM N M = x ∀∈R 20x >x ∃∈R 20x ≤对于B ，若集合中只有一个元素，当时，，符合题意，又，解得，也符合题意，故B 不正确；对于C ，因为，，所以，，则，故C 正确．对于D ，由，故集合N 的个数为，故D 正确．故选：B 5．答案：B （学法大视野课时作业p232页12题）解析：若的定义域是R ，则在R 恒成立，时，显然成立，时，只需，解得：，综上，m 的取值范围是，故选：B ．6．答案：C解析：对于A 选项，当时，故不符合函数定义，A 错误；对于B 选项，因为函数的定义域为，∴，∴，所以函数的定义域为，故B 错误；对于C 选项，两个函数定义域和对应关系都相同，故是同一函数，C 正确；对于D 选项，，函数在单调递增，则，，故D 错误．故选C ．7．答案：C解析：由，即为，当时，存在x 使不等式成立，等价于，由，可得时，取得最大值，且为6，所以，解得，故选C ．8．答案：B【分析】利用换元法构造函数，结合单调性求函数值域，结合题意即可求解．【详解】设，则，，{}210A x ax x =++=0a ={}1A x x ==-0140a a ≠⎧⎨∆=-=⎩14a =13x <<21y -<<-226x <<12y <-<328x y <-<N M ⊆224=()f x 2240mx mx ++>0m =0m ≠24160m m m >⎧⎨∆=-<⎩04m <<[)0,41x =10x x B =-=∉()f x ()1,1-1211x -<-<01x <<()21f x -()0,1()()22211f x x x x =+=+-()f x []1,2x ∈()()min 13f x f ==()()4a x a x -⊗+<224a x a x -++<12x ≤≤224a a x x +<-+()22max4a a x x +<-+22115424x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭2x =24x x -+26a a +<32a -<<()0t t =>()()2222214411144441t k t kt t t kt t k f t t t t t t t t t-+++++--===+=+++++++++()0t >令，则，因为，所以，当且仅当时等号成立，当，即时，函数y 在上单调递减，则，当，即时，，当，即时，函数y 在上单调递增，则，所以，当时，，，由于对任意的，都有成立，所以，，解得，当时，，显然符合题意，当时，，，由题意知，，解得，，综上可得，k 的取值范围为，故选：B ．二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案：ABD （学法大视野课时作业p227页第4题）【分析】由题意可得的两个根为-2和4，且，则有，，表示出b ，c ，再逐个分析判断即可．【详解】因为关于x 的不等式的解集为，所以的两个根为-2和4，且，41u t t =++11k y u-=+0t >4115u t t =++≥+=2t =10k ->1k >[)5,+∞41,5k y +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦10k -=1k ={}1y ∈10k -<1k <[)5,+∞4,15k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭1k >()()122825k f x f x +<+≤()3415k f x +<≤()123,,0,x x x ∈+∞()()()1230f x f x f x +->425k +≤16k <≤1k =()()()1231f x f x f x ===1k <()()122825k f x f x +≤+<()3415k f x +≤<2815k +≤312k -≤<3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20ax bx c ++=0a >24b a -+=-24ca-⨯=20ax bx c ++>{}24x x x <->或20ax bx c ++=0a >所以，得，，所以A 正确，对于B ，因为，，所以可化为，因为，所以，得，所以的解集为，所以B 正确，对于C ，因为，所以，所以C 错误，对于D ，因为，，所以可化为，因为，所以，，得或，所以原不等式的解集为，所以D 正确，故选：ABD10．答案：BC （学法大视野课时作业p236页第11题）【解析】根据解析式判断定义域，结合单调性求出值域，分段代值即可求解方程，分段解不等式，得出不等式解集．【详解】由题意知函数的定义域为，故A 错误；当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故B 正确；当时，，解得（舍去），当时，，解得，故C 正确；当时，，解得，当时，，解得，因此的解集为；故D 错误．故选：BC ．【点睛】此题考查分段函数，涉及定义域，值域，根据函数值求自变量取值，解不等式，关键在于分段依次求解．11．答案：ACD解析：对A 、B ：因为，所以，，当且仅当时，等号成立，故A 正确，B 错误；对C ：若，则，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故C 正确，24b a -+=-24ca-⨯=2b a =-8c a =-2b a =-8c a =-0bx c +>280ax a -->0a >40x +<4x <-0bx c +>{}4x x <-()()2890a b c a a a a ++=+-+-=-<0a b c ++<2b a =-8c a =-20cx bx a -+<2820ax ax a -++<0a >28210x x -->()()21410x x -+>14x <-12x >1142x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或()f x (),2-∞1x ≤-()f x (],1-∞12x -<<()f x [)0,4()f x (),4-∞1x ≤-23x +=1x =12x -<<23x =x =x =1x ≤-21x +<1x <-12x -<<21x <11x -<<()1f x <()(),11,1-∞-- 22a b a b ab +⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭4a b +≥4ab ≥2a b ==a b ab +=111a b +=()11444559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭4a b b a =32b =3a =对D ：若，则，所以，由，，及，可知，则当，即，时，，故D 正确，故选：ACD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案：（学法大视野课时作业p214页第12题）【分析】根据p 是真命题可得，再分析当q 是真命题时，进而求得q 是假命题时a 的取值范围即可【详解】命题p ：，恒成立，若p 是真命题，则：，命题q ：，使得成立，若命题q 为真命题，则．所以命题q 是假命题时，，综上，参数a 的取值范围是：，即故答案为：13．答案：（填或或也可）【详解】．画出函数图象，如图可知，函数的单调递减区间为．14．答案：【解析】【分析】先根据判别式确定a 的范围，运用求根公式求出方程的根，再根据解的情况确定a 的范围．【详解】由不等式得：，因为解集中只有2个整数，必有，a b ab +=111a b +=2222212123211a b b b b b ⎛⎫+=-+=-+ ⎪⎝⎭0a >0b >111a b +=101b <<113b =32a =3b =22321121321333b b ⎛⎫-+≥⨯-⨯+= ⎪⎝⎭(],1-∞-()2min1a x ≤+()min 12121a x >-=-=-[]1,2x ∀∈21x a +≥()2min12a x ≤+=[]1,1x ∃∈-210x a +->()min 12121a x >-=-=-1a ≤-1a ≤-(],1a ∈-∞-(],1-∞-1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎛⎫⎪⎝⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,12⎛⎤⎥⎝⎦()221,1111,1x x x g x x x x x x ⎧-+≥⎪=-+=⎨-++<⎪⎩1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦925,49⎛⎤⎥⎝⎦()2221x ax -<()2221x ax -<()24410a x x --+<40a ->，并且，∴，∴，由求根公式得方程的解为，∵∴，即不等式的2个整数解必定为1和2，∴，解得；故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）；（2）．【解析】（1）先求出集合A ，B ，再根据补集定义求出，进一步根据交集运算求出；（2）由可知，分和两种情况讨论可求出．【详解】（1）∵，，∴，∴；（2）∵，∴，当，即时，，满足题意；当时，满足，解得，综上，实数?的取值范围是【点睛】本题考查集合的补集交集运算，其中涉及一元二次不等式和分式不等式的求解，考查根据集合的包含关系求参数，属于基础题．16．【解题思路】（1）将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；（2）将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；【解答过程】（1）依题意，有实数解，即不等式有实数解，当时，有实数解，则，4a <()16440a ∆=-->0a >04a <<()24410a x x --+=1x ==2x =04a <<11142x <<()24410a x x --+<23≤<92549a <≤925,49⎛⎤⎥⎝⎦{}2034x x x x -<≤≤<或1a <()B R ð()A B R ðB C B = C B ⊆C =∅C ≠∅{}{}228024A x x x x x x =--<=-<<{}23100333x x B x x x x x x ⎧-⎫⎧⎫=<=<=<<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭{}3x B x x ≤=≥R 或ð(){}2034A x x x B =-<≤≤<R 或ðB C B = C B ⊆11a a -≥+0a ≤C =∅C ≠∅111013a aa a -<+⎧⎪->⎨⎪+≤⎩01a <<(),1-∞()210ax a x a +-+≥0a =0a ≠()210x x a x -++≥()2f x ≥-()210ax a x a +-+≥0a =0x ≥0a =当时，取，则成立，即有实数解，于是得，当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得，综上，，所以实数a 的取值范围是；另解：解题思路：将参数a 分离，，分别按，，三种情况结合基本不等式及不等式的性质求出函数的值域，（2）不等式对于实数时恒成立，即，，显然，函数在上递增，从而得，即，解得，所以实数x 的取值范围是；17．答案：（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元（2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功解析：（1）因为体育馆前墙长为x 米，地面面积为，所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米（），设甲工程队报价为y 元，所以，解析：（1）因为体育馆前墙长为x 米，地面面积为，所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米（），设甲工程队报价为y 元，所以．因为，0a >0x =()210ax a x a a +-+=>()210ax a x a +-+≥0a >0a <()21y ax a x a =+-+0y ≥()22114013a a a ∆=--≥⇔-≤≤10a -≤<1a ≥-[)1,-+∞21xa x x -≥-+0x >0x =0x <2min1x a x x -⎛⎫≥⎪-+⎝⎭()6f x ≥-[]1,1a ∈-[]1,1a ∀∈-()2140x x a x -+++≥210x x -+>()()214g a x x a x =-+++[]1,1a ∈-()10g -≥2230x x -++≥13x -≤≤[]1,3-036a <<2240m 240x0x >2401200525021505224000500324000y x x x x ⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯+=++ ⎪⎝⎭2240m 240x0x >2401200400525021505224000500324000150024000y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15002400084000y ≥⨯+=当且仅当，即时等号成立，所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；（2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，因为，，当且仅当，即时等号成立，所以，故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．18．解析：（1）令，则，∴，即则函数的值域为；（2）由（1）知，，则在区间是增函数分，证明如下：，且则∵，∴，，∴，则，即∴在区间是增函数（3）由（1）（2）知，则400x x=20x =1200115250032400012000500a x a x x +⎛⎫⎛⎫++>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x >()2324481x x a x ++>+0x >()2341x a x+<+0x >0a >()()()()2241619916612111x x x x xx x +++++==+++≥+=+++911x x +=+2x =036a <<036a <<21t x =-()112x t =+()()()2211241417f t t t t t ==-++-++()()221110,24313f x x x x ⎛⎤==∈ ⎥-+⎝⎦-+()f x 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦()2124f x x x =-+()()420g x x x x=+-≠()g x [)2,+∞[)12,2,x x ∀∈+∞12x x >()()()1212121212444422g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()21121212121244x x x x x x x x x x x x ---=-+=122x x >≥120x x ->124x x >120x x >1240x x ->()()120g x g x ->()()12g x g x >()g x [)2,+∞()2124f x x x =-+()()420g x x x x=+-≠当时，则，记集合当时，由（2）知在区间单调递增∴ 记集合∵对，总，使成立，∴，则，又∵，∴，∴则实数的取值范围是19．【分析】（1）由表示不超过实数x 的最大整数可得x 的范围；（2）根据高斯函数的定义求得集合A ，从而得出集合B 的可能情形，根据集合的情形求解．（3）不等式可化为，分，，三类讨论解集情况可得．【详解】（1）由题意得，且，由，即，所以，故的解集为；由，即，∴，则，所以．所以的解集为．（2），则，，∴，（时）或（时），，则30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()221111,244313f x x x x ⎡⎤==∈⎢⎥-+⎣⎦-+()99,34f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9,34A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[]2,x m ∈()g x []2,m ()42,2g x m m ⎡⎤∈+-⎢⎥⎣⎦42,2B m m ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦130,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦[]22,x m ∃∈()()129f x g x =A B ⊆423m m +-≥2m >()()2540140m m m m -+≥⇔--≥4m ≥[)4,+∞[]x []()[]()110x a x a +---≤0a =0a >0a <[][]1x x x ≤<+[]x ∈Z 5522x -≤≤[]22x -≤≤23x -≤<5522x -≤≤{}23x x -≤<[][]2211150x x -+≤[]()[]()3250x x --≤532x ≤≤[]3x =34x ≤<[][]2211150x x -+≤{}34x x ≤<102x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦1012x ≤-<1322x -<<13,22A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22125211153,2x kx k x k x k -+⇒==(][)12,,B x x =-∞+∞ 12x x ≤(][),,B x x =-∞+∞ 21x x <A B =R，解得，即k 的范围是．注：按，，分论讨论也可给分．（3）不等式，即，由方程可得或．①若，不等式为，即，所以，显然不符合题意；②若，，由，解得，因为不等式的解集为，所以，解得③若，，由，解得，因为不等式解集为，所以，解得．综上所述，或．故a 的范围为．13322153222k k ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩1162k -≤≤11,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0k >0k =0k <[][]22210x x a --+≤[]()[]()110x a x a +---≤[]()[]()110x a x a +---=[]1x a =-1a +0a =[][]2210x x -+≤[]1x =01x ≤<0a >11a a -<+[]()[]()110x a x a +---≤[]11a x a -≤≤+[]{}{}[]{}110313x a x a x x x x -≤≤+=≤<=-<<110213a a -<-≤⎧⎨≤+<⎩12a ≤<0a <11a a +<-[]()[]()110x a x a +---≤[]11a x a +≤≤-[]{}{}[]{}110313x a x a x x x x +≤≤-=≤<=-<<110213a a -<+≤⎧⎨≤-<⎩21a -<≤-21a -<≤-12a ≤<(][)2,11,2--。
湖南省长沙市2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题含解析
2023年下学期高一第一次月考数学（答案在最后）（时量：120分钟分值：150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“200,1x x ∃∈≠R ”的否定是（）A.2,1x x ∀∈=RB.2,1x x ∀∉=RC.200,1x x ∃∈=R D.200,1∃∉=x x R 【答案】A 【解析】【分析】由特称命题的否定是全称命题，可得出答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题，可知命题“200,1x x ∃∈≠R ”的否定是“2,1x x ∀∈=R ”.故选：A.2.设集合A 含有2-，1两个元素，B 含有1-，2两个元素，定义集合A B ，满足1x A ∈，2x B ∈且12x x A B ∈e ，则A B 中所有元素之积为（）A.8- B.16- C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】根据集合A B 的定义先求出集合A B ，然后再把集合中所有元素相乘即可求解.【详解】由题意{}2,1A =-，{}1,2B =-，由集合A B 的定义可知，集合A B 中有以下元素：①()212-⨯-=，②224-⨯=-，③()111⨯-=-，④122⨯=，根据集合中元素满足互异性去重得{}4,1,2A B =--e ，所以A B 中所有元素之积为()4128-⨯-⨯=.故选：C.3.若函数()31y f x =+的定义域为[]2,4-，则()y f x =的定义域是（）A.[]1,1- B.[]5,13- C.[]5,1- D.[]1,13-【答案】B 【解析】【分析】根据函数()31y f x =+中[]2,4x ∈-，即可得出[]315,13x +∈-，即可选出答案.【详解】因为函数()31y f x =+的定义域为[]2,4-，即24x -≤≤所以53+113x -≤≤所以()y f x =的定义域是[]5,13-故选:B.【点睛】本题考查隐函数的定义域，属于基础题.解本题的关键在于正确理解函数的定义域是x 的取值范围与同一个函数其括号里面的取值范围一样.4.下列命题正确的是（）A.“a b >”是“22a b >”的充分条件B.“a b >”是“22a b >”的必要条件C.“a b >”是“22ac bc >”的充分条件D.“a b >”是“22ac bc >”的必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于A ：由a b >推不出22a b >，如0a =，1b =-满足a b >，但是22a b <，故A 错误；对于B ：由22a b >推不出a b >，如1a =-，0b =满足22a b >，但是a b <，即a b >不是22a b >的必要条件，故B 错误；对于C ：由a b >推不出22ac bc >，当0c =时220ac bc ==，故C 错误；对于D ：若22ac bc >，则20c ≠，即20c >，所以a b >，即a b >是22ac bc >的必要条件，故D 正确；故选：D5.用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝()()()()()()()(),,C A C B C A C B C B C A C A C B ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩若A ＝{1，2}，B ＝{x |(x 2＋ax )·(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )等于（）A.1B.3C.5D.7【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得()1C B =或()3C B =，进而讨论a 的范围，确定出()C B ，最后得到答案.【详解】因为()2C A =，*1A B =，所以()1C B =或()3C B =，由20x ax +=，得120,x x a ==-，关于x 的方程220x ax ++=，当=0∆时，即a =±()3C B =，符合题意；当0>∆时，即a <-或a >0，-a 不是方程220x ax ++=的根，故()4C B =，不符合题意；当<0∆时，即a -<<时，方程220x ax ++=无实根，若a =0，则B ={0}，()1C B =，符合题意，若0a -<<或0a <<，则()2C B =，不符合题意.所以{0,S =-，故()3C S =.故选：B .【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当<0∆时，容易遗漏a =0时的情况，注意仔细分析题目.6.函数[]y x =在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如[1.5]1,[2.3]3,[3]3=-=-=．那么不等式24[]12[]50x x -+≤成立的充分不必要条件是（）A.15[,22B.[1,2]C.[1,3)D.[1,3]【答案】B 【解析】【分析】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】因为24[]12[]50x x -+≤，则[]()[]()21250x x --≤，则[]1522x ≤≤，又因为[]x 表示不大于x 的最大整数，所以不等式24[]12[]50x x -+≤的解集为：13x ≤<，因为所求的时不等式24[]12[]50x x -+≤成立的充分不必要条件，所以只要求出不等式24[]12[]50x x -+≤解集的一个非空真子集即可，选项中只有[1,2]⫋[)1,3.故选：B .7.已知1,0,0x y y x +=>>，则121x x y ++的最小值为（）A.54B.0C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.【详解】1x y += ，12x y ∴++=，1(1)11221441x y x y x x y x y +++∴+=++++，0,0y x >> ，10,041y x x y +∴>>+，111152144144x y x x y x y +∴+=++≥+++，当且仅当141y x x y +=+，即23x =，13y =时等号成立，故选：A8.黎曼函数()R x 是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，()R x 在[]0,1上的定义为：当q x p =（p q >，且p ，q 为互质的正整数）时，()1R x p=；当0x =或1x =或x 为()0,1内的无理数时，()0R x =.已知a ，b ，[]0,1a b +∈，则（）注：p ，q 为互质的正整数()p q >，即q p为已约分的最简真分数.A.()R x 的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.()()()R a b R a R b ⋅≥⋅C.()()()R a b R a R b +≥+ D.以上选项都不对【答案】B 【解析】【分析】设q A x x p ⎧⎫==⎨⎩⎭，（p q >，且p ，q 为互质的正整数），B ＝{x |x ＝0或x ＝1或x 是[0，1]上的无理数}，然后对A 选项，根据黎曼函数()R x 在[]0,1上的定义分析即可求解；对B 、C 选项：分①a A ∈，b A ∈；②a B ∈，b B ∈；③a A b B ∈⎧⎨∈⎩或a Bb A ∈⎧⎨∈⎩分析讨论即可．【详解】解：设q A x x p ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，（p q >，且p ，q 为互质的正整数），B ＝{x |x ＝0或x ＝1或x 是[0，1]上的无理数}，对A 选项：由题意，()R x 的值域为1110,,,,,23p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，其中p 是大于等于2的正整数，故选项A 错误；对B 、C 选项：①当a A ∈，b A ∈，则()()()R a b R a R b +≤+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅；②当a B ∈，b B ∈，则()()()R a b R a R b +=+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅＝0；③当a A b B ∈⎧⎨∈⎩或a B b A ∈⎧⎨∈⎩，则()()()R a b R a R b +≤+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅，所以选项B 正确，选项C 、D 错误，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数()R x 在[]0,1上的定义去分析.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若不等式20ax bx c -+>的解集是(1,2)-，则下列选项正确的是（）A.0b <且0c >B.0a b c -+>C.0a b c ++> D.不等式20ax bx c ++>的解集是{|21}x x -<<【答案】ABD 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集可判断出a 的正负以及,,a b c 的关系，由此可判断各选项的对错.【详解】因为20ax bx c -+>的解集为()1,2-，解集属于两根之内的情况，所以a<0，又因为0420a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩，所以2b ac a =⎧⎨=-⎩；A ．0,20b a c a =<=->，故正确；B ．因为()11,2∈-，所以0a b c -+>，故正确；C ．因为解集为()1,2-，所以0a b c ++=，故错误；D ．因为20ax bx c ++>即为2220ax ax a +->，即220x x +-<，解得()2,1x ∈-，故正确；故选：ABD.10.命题:p x ∃∈R ，2220x x m ++-<为假命题，则实数m 的取值可以是（）A.1- B.0 C.1D.2【答案】ABC 【解析】【分析】先求出命题为真命题时实数m 的取值范围，然后利用补集思想求出命题为假命题时m 的取值范围，由此可得出合适的选项.【详解】若命题:p x ∃∈R ，2220x x m ++-<为真命题，则()2Δ242440m m =--=->，解得1m >，所以当命题:p x ∃∈R ，2220x x m ++-<为假命题时，1m £，符合条件的为A 、B 、C 选项.故选：A BC.11.设a ，b 为两个正数，定义a ，b 的算术平均数为()2a bA a b +=,，几何平均数为()G a b =,，则有：()(),,G a b A a b ≤，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家D ．H ．Lehmer 提出了“Lehmer 均值”，即()11,p pp p p a b L a b a b--+=+，其中p 为有理数．如：()0.50.50.50.50.5,11a b L a b a b --+==+．下列关系正确的是（）A.()()0.5,,L a b A a b ≤ B.()()0,,L a b G a b ≥C.()()21,,L a b L a b ≥D.()()1,,n n L a b L a b +≤【答案】AC 【解析】【分析】根据新定义逐个选项代入，化简后根据基本不等式与柯西不等式判断即可.【详解】A ：()()0.5,,112a bL a b A a b +===，故A 对；B：001102(,)(,)a b ab L a b G a b a b a b --+==≤++，故B 错；C ：()222,a b L a b a b+=+，()1,2a b L a b +=，而()()()()()22222222222222122,1,22a b a b L a b a b a b L a b a b ab a b aba b +++++===≥+++++，故C 对；D ：由柯西不等式，()()()()()112111112211(,)1(,)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b L a b a b a b L a b a b a b a b++++--+--+++++==≥=++++，故D 错.故选：AC.12.已知集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，则下面正确的是（）A.224a b -≤B.214a b+≥C.若不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，则120x x >D.若不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则4c =【答案】ABD 【解析】【分析】根据集合{}20,0x x ax b a ++=>子集的个数列方程，求得,a b 的关系式，对A ，利用二次函数性质可判断；对B ，利用基本不等式可判断；对CD ，利用不等式的解集及韦达定理可判断.【详解】由于集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，所以2240,4a b a b ∆=-==，由于0a >，所以0b >.A ，()22224244a b b b b -=-=--+≤，当2,b a ==时等号成立，故A 正确.B ，21144a b b b +=+≥=，当且仅当114,,2b b a b ===时等号成立，故B 正确.C ，不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，120x x b =-<，故C 错误.D ，不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，即不等式20x ax b c ++-<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则1212,x x a x x b c +=-=-，则()()22212121244416x x x x x x a b c c -=+-=--==，4c ∴=，故D 正确，故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知111f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭，那么f (x )的解析式为________.【答案】()(0,1)1xf x x x x=≠≠-+.【解析】【分析】用1x代换已知式中的x ，可得，注意x 有取值范围．【详解】解：由111f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭可知，函数的定义域为{x |x ≠0，x ≠﹣1}，用1x代换x ，代入上式得：f (x )=111x+=1x x +，故答案为：()(0,1)1xf x x x x=≠≠-+．【点睛】本题考查求函数解析式，掌握函数这定义是解题关键．求解析式时要注意自变量的取值范围．14.设集合{43}M xx =-<<∣，={+2<<21,}N x t x t t -∈R ∣，若M N N ⋂=，则实数t 的取值范围为____________．【答案】(],3-∞【解析】【分析】由M N N ⋂=可知N M ⊆，讨论N =∅与N ≠∅，即可求出答案.【详解】因为M N N ⋂=，所以N M ⊆，当N =∅时：2213t t t +≥-⇒≤，满足题意；当N ≠∅时：+2<21>34+262132t t t t t t t --≤⇒≥--≤≤⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎩，无解；所以实数t 的取值范围为(],3-∞.故答案为：(],3-∞15.已知函数()2f x x =-，()()224R g x x mx m =-+∈，若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，则m 的取值范围______．【答案】54⎡⎢⎣【解析】【分析】由题意可判断(){}(){},12,45y y g x x y y f x x =≤≤⊆=≤≤，由此求出()[]2,3f x ∈，可得相应不等式恒成立，转化为函数最值问题，求解即可.【详解】由题意知(){}(){},12,45y y g x x y y f x x =≤≤⊆=≤≤；当[]4,5x ∈时，()[]2,3f x ∈，故()()224R g x x mx m =-+∈需同时满足以下两点：①对[]1,2x ∀∈时，()2243g x x mx =-+≤∴12m x x≥+恒成立，由于当[]1,2x ∀∈时，1y x x=+为增函数，∴1522,24m m ≥+∴≥；②对[]1,2x ∀∈时，()2242g x x mx =-+≥，∴22m x x≤+恒成立，由于2x x+≥2x x =，即[1,2]x =时取得等号，∴2m m ≤∴≤∴54m ⎡∈⎢⎣，故答案为：54⎡⎢⎣16.若,a b R ∈，且22231a ab b +-=，则22a b +的最小值为_______.【答案】14【解析】【分析】根据a 2+2ab ﹣3b 2=1得到(a +3b )(a ﹣b )=1，令x =a +3b ，y =a ﹣b ，用x ，y 表示a ，b ，然后代入a 2+b 2，利用均值不等式求解.【详解】由a 2+2ab ﹣3b 2=1得(a +3b )(a ﹣b )=1，令x =a +3b ，y =a ﹣b ，则xy =1且a 34x y +=，b 4x y-=，所以a 2+b 2=(34x y +)2+(4x y -)22252184x y ++=≥，当且仅当x 2=，y 25=时取等号.故答案为14.【点睛】本题主要考查均值不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（其中第17题10分，18~22题每题12分，共70分）17.已知全集U =R ，集合502x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，{}11,B x a x a a =-<<+∈R .（1）当2a =时，求()()U UA B ⋂痧；（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()(){1U UA B x x ⋂=≤痧或}5x >（2）{}34a a ≤≤【解析】【分析】（1）当2a =时，求出集合A 、B ，利用补集和交集的定义可求得集合()()U U A B ⋂痧；（2）分析可知，BA ，利用集合的包含关系可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【小问1详解】因为{}50252x A x x x x ⎧⎫-=≤=<≤⎨⎬-⎩⎭，当2a =时，{}13B x x =<<，因为全集U =R ，则{2U A x x =≤ð或}5x >，{1U B x x =≤ð或}3x ≥，因此，()(){1U U A B x x ⋂=≤痧或}5x >.【小问2详解】易知集合{}11,B x a x a a =-<<+∈R 为非空集合，因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则BA ，所以，1215a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得34a ≤≤.因此，实数a 的取值范围是{}34a a ≤≤.18.已知a ，b ，c 均为正实数，且1a b c ++=．（1）求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）求111a b c++的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）9【解析】【分析】（1）根据111111111++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b c a b c a b c a b c a b c 结合基本不等式即可得证；（2）根据111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++结合基本不等式即可得解.【小问1详解】原式111a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()b c a c a b abc+++=222bc ac ababc≥8abc abc=8=.当且仅当13a b c ===是取等号，所以1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】原式a b c a b c a b c a b c++++++=++3b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3≥2339=⨯+=.当且仅当13a b c ===是取等号，所以111a b c++的最小值为9．19.已知x >0，y >0，且2x +8y -xy =0，求：（1）xy 的最小值；（2）x +y 的最小值..【答案】（1）64（2）18【解析】【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得结果；（2）将28x y xy +=变形为分式型281y x +=，利用“1”的代换和基本不等式可得结果.【小问1详解】∵0x >，0y >，280x y xy +-=，∴28xy x y =+≥=，当且仅当28x y =时取等号，8≥∴64xy ≥，当且仅当416x y ==时取等号，故xy 的最小值为64.【小问2详解】∵28x y xy +=，则281y x+=，又∵0x >，0y >，∴2828()()101018x y x y x y y x y x +=++=++≥+=，当且仅当212x y ==时取等号，故x y +的最小值为18.20.济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时列车为满载状态，载客量为500人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为()p t .（1）求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为()()8265660p t Q t t -=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.【答案】（1）2300+402,2<10()=500,1020t t t p t t -≤≤≤⎧⎨⎩；450（2）发车时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.【解析】【分析】（1）由题设，有2()500(10)p t k t =--且(2)=372p ，求k 值，进而写出其分段函数的形式即可.（2）由（1）写出()Q t 解析式，讨论210t ≤<、1020t ≤≤求最大值即可.【小问1详解】由题设，当210t ≤<时，令2()500(10)p t k t =--，又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，∴2(2)500(102)372p k =--=，解得=2k .∴2300+402,2<10()=500,1020t t t p t t -≤≤≤⎧⎨⎩，故=5t 时，2(5)5002(105)450p =-⨯-=，所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为450人.【小问2详解】由（1）知：25626016,2<10()=134460,1020t t t Q t t t--≤-≤≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∵210t ≤<时，()260132Q t ≤-当且仅当=4t 等号成立，∴210t ≤<上max ()(4)132Q t Q ==，而1020t ≤≤上，()Q t 单调递减，则max ()(10)74.4Q t Q ==，综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.21.已知二次函数22y ax bx =++（a ，b 为实数）（1）若1x =时，1y =且对()2,5x ∀∈，0y >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若1x =时，1y =且对[]2,1a ∀∈--，0y >恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】（1）3a >-（2）11,44⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意求出1b a =--可得()2120y ax a x =-++>对()2,5x ∀∈恒成立，分离参数，即得2max 2x a x x -⎛⎫> ⎪-⎝⎭，令()20,3t x =-∈，则可得()123f t t t=++，利用基本不等式即可求得答案；（2）由题意()212y ax a x =-++，变更主元：令a 为主元，视x 为参数，则()()220g a x x a x =-+->，对[]2,1a ∀∈-恒成立，由此可得不等式组，即可求得答案.【小问1详解】将1x =，1y =代入得1,1a b b a +=-∴=--∴()2120y ax a x =-++>对()2,5x ∀∈恒成立，即()22a x x x ->-对()2,5x ∀∈恒成立，当()2,5x ∈时，由于2y x x =-在()2,5上单调递增，故22220x x ->->，∴2max2x a x x -⎛⎫> ⎪-⎝⎭，()2,5x ∀∈，令()20,3t x =-∈，则()()()2213232223t t f t t t t t t t ===≤=-+++-+++，当且仅当2t t=，即()0,3t =时等号成立，∴3a >-【小问2详解】由题意()()21,12b a y ax a x =-+∴=-++，变更主元：令a 为主元，视x 为参数，令()()22g a x x a x =-+-，对[]2,1a ∀∈-，()()220g a x x a x =-+->恒成立，故只需()()()2222220120g x x x g x x x ⎧-=-++->⎪⎨-=--+->⎪⎩，即2222020x x x ⎧--<⎨-<⎩，解得1111,,4444x x x ⎧⎛⎫<<+⎪∴∈ ⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪<<⎩.22.已知函数()f x =，()g x =．（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）已知a 为非零实数，记函数()()()x x h f g x a =-的最大值为()m a ，求()m a ．【答案】（1）[]0,2，2⎤⎦（2）12,0211(),2222a a am a a aaa⎧⎛⎫⎪-<≠⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎪=+≤≤⎨⎝⎭⎪⎛⎫>⎪⎪⎝⎭⎩且【解析】【分析】（1）根据根式的概念可得()f x定义域，再计算()22f x=+求解可得()f x值域；（2）令2t⎤=⎦，设函数()22aF t t t a=-++，2t⎤∈⎦，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可.【小问1详解】定义域：[]0,220xxx≥⎧⇒∈⎨-≥⎩，()222f x x x=+=+-+2=+当[]0,2x∈时，()[]2110,1x--+∈，∴()[]()22,4,0f x f x∈≥，∴()2f x⎤∈⎦；【小问2详解】()h x=-2t⎤=+⎦，则22222tt-=+，设()22222t aF t t a t t a-=-=-++，2t⎤∈⎦，1°若a<0，此时二次函数对称轴10ta=<<()()max2F t F=2a=-.2°若0a >，此时对称轴：10t a =>，①当12a >即102a <<时，开口向下，则()()max 2F t F =2a =-；12a ≤≤即122a ≤≤，对称轴1t a =，开口向下，则()max 1F t F a ⎛⎫= ⎪⎝⎭12a a =+，③1a <即2a >时，开口向下，()max F t F==综上：12,0211(),2222a a a m a a a a a ⎧⎛⎫⎪-<≠ ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪=+≤≤ ⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎩且.。
湖南省株洲市2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(解析版)
湖南省株洲市2024年下半年高一年级第一次月考数学试卷（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一､单选题1.集合{}1238,x x x -≤+≤∈N 用列举法表示为（）A.{}2,1,0,1,2-- B.{}1,0,1,2- C.{}0,1,2 D.{}1,2【答案】C 【解析】【分析】首先解不等式组，再用列举法表示即可.【详解】由1238x -≤+≤，解得522x -≤≤，所以{}{}51238,2,0,1,22x x x x x x ⎧⎫-≤+≤∈=-≤≤∈=⎨⎬⎩⎭N N .故选：C2.下列命题的否定为真命题的是（）A.,x y ∃∈R ，使得方程259x y +=有整数解B.x ∀∈R ，2210x x -+≥C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形D.x ∀∈R ，方程20ax bx c ++=是一元二次方程【答案】D 【解析】【分析】根据命题的否定的定义以及真命题的定义逐一判断各个选项即可.【详解】原命题的否定为“,x y ∀∈R ，方程25x y +=9没有整数解”，令2x =，则1y =，此时方程有整数解，即原命题的否定为假命题，A 错误；原命题的否定为“2,210x x x ∃∈-+<R ”，()222110x x x -+=-≥，当且仅当1x =时等号成立，即原命题的否定为假命题，B 错误；原命题的否定为“存在一组邻边相等的平行四边形不是菱形”，为假命题，C 错误；原命题的否定为“x ∃∈R ，方程20ax bx c ++=不是一元二次方程”，当0a =时，原方程为0bx c +=是一元一次方程，即原命题的否定为真命题，D 正确．故选：D.3.已知x ∈R ，则“12x -≤≤”是“021x x ≤-+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】求不等式021x x ≤-+的解集，根据集合的关系进行判断.【详解】由021x x ≤-+⇒12x -<≤，设集合{}|12A x x =-≤≤，{}|12B x x =-<≤，则B 为A 的真子集.所以“12x -≤≤”是“021x x ≤-+”的必要不充分条件.故选：B4.已知)13fx +=+，则()1f x +的解析式为（）A.()()140f x x x +=+≥B.()()2131f x x x +=+≥C.()()21241f x x x x +=-+≥ D.()()2130f x x x +=+≥【答案】D 【解析】【分析】令1,1t t =≥，利用换元法求出函数()224f t t t =-+()1t ≥，从而直接代入即可求出()1f x +的解析式.【详解】因为)13fx +=+，所以令1,1t t =+≥，则()21x t =-，所以()()221324=-+=-+f t t t t ()1t ≥，所以()()()22112143f x x x x +=+-++=+，因为1t ≥，所以11x +≥，即0x ≥，所以()213f x x +=+()0x ≥.故选：D.5.已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则32x y -的取值范围是（）A.2328x y ≤-≤B.3328x y ≤-≤C.2327x y ≤-≤D.53210x y ≤-≤【答案】A 【解析】【分析】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，利用待定系数法求得,m n ，利用不等式的性质即可求32x y -的取值范围．【详解】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，所以32m n m n -=⎧⎨+=-⎩，解得1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即可得()()153222x y x y x y -=++-，因为11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，所以2≤()()153222x y x y x y -=++-8≤，故选：A ．6.已知0a b c >>>，则下列结论正确的是（）A.11a b a b +>+ B.b ab a a b+<+C.c ba c ab >-- D.b c ba c a->-【答案】B 【解析】【详解】直接由作差法逐一判断即可.【分析】对于A ：()()()()11111a b ab b a a b a b a b a b ab abab ---⎛⎫+--=-+=--=⎪⎝⎭，因为0a b >>，则0ab >，0a b ->，所以，当1ab >时，11a b a b+>+，当1ab <时，11a b a b +<+，当1ab =时，11a b a b+=+，A 错误；对于B ：因为0a b >>，则0b a -<，0ab >，0ab a b ++>，则()()()220b a ab a b b a b a b a b a a b ab ab-++-+--=-+=<，所以b ab a a b+<+，B 正确；对于C ，因为0a b c >>>，则0c b -<，0a c ->，0a b ->，由题意()()()()()()()0c a b b a c a c b c ba c ab ac a b a c a b -----==<------，即c b a c a b<--，故C 错误；对于D ，由题意()()()()()0a b c b a c c b a b c b a c a a a c a a c ------==<---，即b c ba c a-<-，故D 错误.故选：B.7.已知函数()()2314,16,1a x a x f x x ax x ⎧-+<=⎨-+≥⎩满足：对任意12,x x ∈R ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A.[)2,+∞ B.1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦D.[]1,2【答案】C 【解析】【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可.【详解】对任意12,R x x ∈，当12x x ≠时都有1212()()0f x f x x x ->-成立，所以函数2(31)4,1()6,1a x a x f x x ax x -+<⎧=⎨-+≥⎩在R 上是增函数，所以3101231416a aa a a ->⎧⎪⎪≤⎨⎪-+≤-+⎪⎩，解得113a <≤，所以实数a 的取值范围是1,13⎛⎤⎥⎝⎦.故选：C.8.已知集合{}2,3,4,5,6,7,8S =，对于它的任一非空子集A ，可以将A 中的每一个元素k 都乘以(1)k -再求和，例如{2,3,8}A =，则可求得和为238(1)2(1)3(1)87-⋅+-⋅+-⋅=，对S 的所有非空子集，这些和的总和为（）A.920.B.924C.308D.320【答案】D 【解析】【分析】分析出2,3,4,5,6,7,8在集合S 的所有非空子集中分别出现了62次，从而列出式子，求出这些和的总和.【详解】S 的子集个数有72个，其中每个元素均出现62次，故元素2,3,4,5,6,7,8在集合S 的所有非空子集中分别出现了62次，则对S 的所有非空子集中，元素k 执行乘以()1k-再求和操作，则这些和的总和为()()()()()()()23456786212131415161718⎡⎤⨯-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯⎣⎦()642345678320=⨯-+-+-+=.故选：D二､多选题9.有以下判断，其中是正确判断的有（）A.()xf x x =与()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数B.函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个C.()221f x x x =-+与()221g t t t =-+是同一函数D.函数()y f x =的定义域为[]2,3，则函数()21y f x =-的定义域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD 【解析】【详解】对于A ，先求出两函数定义域，由两函数定义域不同即可判断；对于B ，由函数定义分函数()y f x =在1x =处有没有定义即可判断；对于C ，由函数的定义域和对应关系即可判断；对于D ，先由函数()1y f x =+定义域为[]1,2得213≤+≤x ，从而得函数()21y f x =-有2213x ≤-≤，解该不等式即可得解.【分析】对于A ，函数()xf x x =的定义域为{}0x x ≠，函数()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域为R ，故函数()f x 和()g x 不是同一函数，故A 错误；对于B ，若函数()y f x =在1x =处有定义，则()y f x =的图象与直线1x =的交点有1个，若函数()y f x =在1x =处没有定义，则()y f x =的图象与直线1x =的没有交点；所以函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个，故B 正确；对于C ，因为函数()221f x x x =-+与()221g t t t =-+的定义域均为R ，且两函数对应关系相同，所以函数()f x 与()g t 是同一函数，故C 正确；对于D ，对函数()y f x =，其定义域为[]2,3，所以对函数()21y f x =-有2213x ≤-≤，解得322x ≤≤，所以函数()21y f x =-的定义域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.10.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a +b ，宽为内接正方形的边长d ．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形的对角线AE ，过点A 作AFBC ⊥于点F ，则下列推理正确的是（）A.由题图（1）和题图（2）面积相等得2ab d a b=+B.由AE AF ≥2a b+≥C.由AD AE ≥211a b≥+D.由AD AF ≥可得222a b ab +≥【答案】BCD 【解析】【分析】根据题图（1），（2）面积相等，可求得d 的表达式，从而判断A 选项的正误，由题意可求得题图（3）中AD ，AE ，AF 的表达式，逐一分析B ，C ，D 选项，即可得答案．【详解】对于A ，由题图（1），（2）面积相等得()S ab a b d ==+⨯，所以abd a b=+，故A 错误．对于B ，因为AF BC ⊥，所以12a b AF ⨯⨯=，所以AF =，设题图（3）中内接正方形的边长为t ，根据三角形相似可得a t t ab -=，解得abt a b=+，所以2AE a b==+．因为AE AF ≥，所以2ab a b ≥+2a b+≥，故B 正确．对于C ，因为D 为斜边BC的中点，所以2AD =，因为AD AE ≥，所以22a b≥+211a b≥+，故C 正确．对于D ，因为AD AF ≥≥222a b ab +≥，故D 正确．故选：BCD11.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足下列条件：（1）()()x f yf x xf y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）当1x >时，()0f x >，则（）A.()10f =B.当01x <<时，()0f x <C.()()22f xf x ≥D.()f x 在()1,+∞上单调递减【答案】AB 【解析】【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，A ，取1x y ==可得；B ，取1x =，再由条件当1x >时，()0f x >推理可得；对于C ，虽能用基本不等式，但因()f x 在0,+∞上的符号不定，得不出结论；对于D ，运用单调性定义法推导得出相反结论，排除.【详解】对于A 项，由()()x f yf x xf y y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，取1x y ==，得，(1)(1)(1)0f f f =-=，故A 项正确；对于B 项，由()()x f yf x xf y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取1x =，因1=0，故1(()f f y y =-，即1()()f f x x =-，当01x <<时，11x>，则1()0f x >，故()0f x ->，即()0f x <，故B 项正确；对于C 项，由()()x f yf x xf y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取2x y =，可得，22()()()f y yf y y f y =-，整理得，21()()()f y y f y y=+，因0y >，12y y+≥，当且仅当1y =时取等号，但因()f y 的符号不能确定，故不一定有2()2()f y f y ≥，即2()2()f x f x ≥不一定成立，故C 项错误；对于D 项，任取121x x >>，则121x x >，依题意，12(0xf x >，而()()121122x f x f x x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()()21120x f x x f x ->，即()()1212f x f x x x >，即()()f x g x x=在(1,)+∞上是增函数.于是，对于()()f x xg x =，任取121x x >>，因12()()0g x g x >>，则1122()()x g x x g x >，即12()()f x f x >，即函数()f x 在1,+∞上单调递增，故D 项错误.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质判断和应用，属于难题.解决此类题的关键在于观察已知抽象函数式的特征，巧用赋值代入法，对称取值法和定义推导法进行推理判断，即可得出正确结论.三､填空题12.若{}210,,21m m m ∈-+，则m =__________．【答案】2【解析】【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案.【详解】因为{}210,,21m m m ∈-+，所以1m =或2211m m -+=，若1m =，2210m m -+=，不满足互异性；若22110m m m -+=⇒=或2，又0m ≠，所以2m =，故答案为：2.13.已知,a b +∈R ，41a b +=，则aba b+的最大值是________．【答案】19【解析】【分析】先求出11a b+的最小值，再将aba b +化为111a b+，即可求得答案.【详解】因为,a b +∈R ，41a b +=，故()111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b=，结合41a b +=，即11,63==a b 时等号成立，所以11119ab a b a b =≤++，即ab a b +的最大值是19，故答案为：1914.如图，在等边三角形ABC 中，AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9；③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根.其中，所有正确结论的序号是____.【答案】①②【解析】【分析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解.【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象可得，方程()3f x kx =+最多有6个实数根故正确的是①②.故答案为：①②【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.四､解答题15.已知函数1()1x f x x +=-.（1）证明：函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减；（2）当(1,)x ∈+∞时，求函数221()1x x g x x ++=-最小值【答案】（1）证明见解析；（2）8【解析】【分析】（1）利用函数单调性定义，推理论证即可.（2）利用配凑思想，结合基本不等式求出最小值.【小问1详解】函数122()111x f x x x -+==+--，1212,(1,),x x x x ∀∈+∞<，则211212122()22()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----，当121x x <<时，122110,10,0x x x x ->->->，则12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减.【小问2详解】当(1,)x ∈+∞时，2[(1)2]4()144811x g x x x x -+==-++≥=--，当且仅当411x x =--，即3x =时取等号，所以当3x =时，()g x 取得最小值8.16.已知集合(){}{}2140,1A xx m x B x x =+++==∈≤Z ∣∣.（1）求证：A 至少有2个子集的充要条件是5m ≤-，或3m ≥.（2）若“,x B x A ∃∈∈”为假命题，求m 的取值范围；【答案】（1）证明见解析（2）()()(),66,44,-∞--+∞ 【解析】【分析】（1）根据充分条件，必要条件的定义证明即可；（2）结合题意可得{}1,0,1B =-，A B =∅ ，进而分A =∅，A ≠∅两种情况讨论求解即可.【小问1详解】证明：先证明充分性：当5m ≤-，或3m ≥时，2Δ(1)160m =+-≥，方程()2140x m x +++=有解，则集合(){}2140A xx m x =+++=∣至少有1个元素，A 至少有2个子集，充分性得证；再证明必要性：若A 至少有2个子集，则2Δ(1)160m =+-≥，解得5m ≤-或3m ≥，必要性得证.综上所述，A 至少有2个子集的充要条件是5m ≤-或3m ≥.【小问2详解】由已知，集合{}1B x x =∈≤Z∣，所以集合{}1,0,1B =-.因为“,B x A ∃∈∈”为假命题，所以A B =∅ .当A =∅时，2Δ(1)160m =+-<，解得53m -<<；当A ≠∅时，要使A B =∅ ，则Δ0,1A ≥-∉，且0,1A A ∉∉，即()()()()222Δ0(1)1140010*******m m m ≥⎧⎪-++⨯-+≠⎪⎨++⨯+≠⎪⎪++⨯+≠⎩，解得6m <-或65m -<≤-或34m ≤<或4m >.综上所述，实数m 的取值范围为()()(),66,44,-∞--+∞ .17.一个生产公司投资A 生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元．该公司通过引进先进技术，在生产线A 投资减少了x 万元，且每万元的利润提高了0.5%x ；若将少用的x 万元全部投入B 生产线，每万元创造的利润为131.5()1000a x -万元，其中0a >，0x >．（1）若技术改进后A 生产线的利润不低于原来A 生产线的利润，求x 的取值范围；（2）若生产线B 的利润始终不高于技术改进后生产线A 的利润，求a 的最大值．【答案】（1）0300x <≤（2）5.5【解析】【分析】（1）分别列出技术改造前后利润根据题意列出不等关系求解即可．（2）题中不高于可转化为式子之间的恒成立问题，通过参变分离结合基本不等式求最值，从而得参数范围．【小问1详解】由题设可得()()1.550010.5% 1.5500x x -+≥⨯，整理得：23000x x -≤，而0x >，故0300x <≤.【小问2详解】由题设得生产线B 的利润为131.51000a x x ⎛⎫-⎪⎝⎭万元，技术改进后，生产线A 的利润为()()1.550010.5%x x -+万元，则()()131.5 1.550010.5%1000a x x x x ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，故235001252x ax x ≤++，而0x >，故50031252x a x ≤++，而5004125x x+≥，当且仅当250x =时等号成立，故0 5.5a <≤，故a 的最大值为5.5.18.已知函数()11mx f x =++，()()21g x x x a =++.（1）当0a =，1m =-时，解关于x 的不等式()()f x g x ≥；（2）当0m =时，对任意[)1,x ∞∈+，关于x 的不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围；（3）当0m <，0a <时，若点()111,P x y ，()222,P x y 均为函数()y f x =与函数()y g x =图象的公共点，且12x x ≠，求证：()1221223a x x --<+<.【答案】（1）15150,122⎡⎡⎫-+---⎪⎢⎢⎪⎣⎦⎣⎭（2）[)0,+∞（3）证明见解析【解析】【分析】（1）即解不等式2101--≥+x x x x ，分0x =、0x >、0x <且1x ≠-讨论，解不等式可得答案；（2）转化为2111x a x x -≥=-+在[)1,x ∞∈+上恒成立，求得1x -的最大值可得答案；（3）由()()f x g x =得()()()32121101x a x a x a m x +++-+--=≠-，化简方程得()()()()22212121211214x x x x a x x a x x ++++++-=<，令21=+t x x ，结合一元二次不等式求解可得答案.【小问1详解】当0a =，1m =-时，即解不等式2111-+≥+x x ，可得2101--≥+x x x x ，当0x =时，00≥成立，当0x >时，得2101--≥+x x x ，即解210--≥x x ，解得1502-+<≤x ；当0x <且1x ≠-时，得2101--≤+x x x ，解得112--≤<-x ，综上所述，不等式的解集为110,,122⎡⎡⎫-+-⋃-⎪⎢⎢⎪⎣⎦⎣⎭；【小问2详解】当0m =时，可得()1f x =，()()21g x x a x =++，对任意[)1,x ∞∈+，关于x 的不等式()()f x g x ≤恒成立，即()211x a x ++≥在[)1,x ∞∈+上恒成立，即2111x a x x -≥=-+在[)1,x ∞∈+上恒成立，即当[)1,x ∞∈+时，1x -的最大值为0，所以0a ≥，所以实数m 的取值范围[)0,∞+；【小问3详解】由()()f x g x =，可得()2111mx a x x +=+++，可得()()()32121101x a x a x a m x +++-+--=≠-，因为点()111,P x y ，()222,P x y 均为函数=与函数=图象的公共点，可得()()3211112110x a x a x a m +++-+--=，()()3222212110x a x a x a m +++-+--=，两式相减得()()()()33222121211210x x a x x a x x -++-+--=，因为12x x ≠，所以()()222211211210x x x x a x x a ++++++-=，可得()()()()22212121211214x x x x a x x a x x ++++++-=<，令21=+t x x ，则()221214t t a t a +++-<，整理得()2312104t a t a +++-<，解得()21223a t --<<，所以()2121223a x x --<+<.【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是化简方程得()()()()22212121211214x x x x a x x a x x ++++++-=<，令21=+t x x ，结合一元二次不等式求解可得答案.19.已知整数,3m n ≥，集合(){}12,,,{0,1},1,2,,n niX x x x x i n =∈= ∣，对于nX 中的任意两个元素()12,,,n A a a a = ，()12,,,n B b b b = ，定义A 与B 之间的距离为1(,)ni i i d A B a b ==-∑．若12,,,m n A A A X ∈ 且()()()12231,,,m m d A A d A A d A A -=== ，则称是12,,,m A A A 是n X 中的一个等距序列．（1）若1234(1,0,0,0),(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,1)A A A A ====，判断1234,,,A A A A 是否是4X 中的一个等距序列？（2）设A ，B ，C 是3X 中的等距序列，求证：(,)d A C 为偶数；（3）设12,,,m A A A 是6X 中的等距序列，且161(1,1,,1)A = 个，60(0,0,,0)m A = 个，()12,5d A A =．求m的最小值．【答案】（1）1234,,,A A A A 不是4X 中的一个等距序列（2）见解析（3）7【解析】【分析】（1）算出()12,d A A 与()23,d A A 验证不相等；（2）()(),,d A B d B C =结果为0,1,2,3来讨论；（3）分析从1变成0经过变换次数的规律，根据()12,5d A A =知道每次需要变换几个对应坐标.【小问1详解】()4121,110100001i i i d A A a b ==-=-+-+-+-=∑ ()4231,101101002i i i d A A a b ==-=-+-+-+-=∑()()1223,,d A A d A A ∴≠所以1234,,,A A A A 不是4X 中的一个等距序列【小问2详解】设()()()123123123,,,,,,A a a a B b b b C c c c ===把123123123,,a a a b b b c c c 分别称作()()()123123123,,,,,,A a a a B b b b C c c c ===的第一个，第二个，第三个坐标，若(){},,0,1,2,3d A B x x =∈则,A B 中有x 个对应坐标不相同，例如当(),1d A B =时，说明,A B 中有1个对应坐标不相同，其中()()1,1,0,1,1,1A B ==就是符合(),1d A B =的一种情况.①当()(),,0d A B d B C ==得A B C ==，所以(),0d A C =是偶数②当()(),,1d A B d B C ==，则,A B 中有1个对应坐标不相同，并且,B C 中有1个对应坐标不相同，所以,A C 中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即A C =则(),0d A C =，当有2个对应坐标不相同时，(),2d A C =，都满足(),d A C 为偶数.③当()(),,2d A B d B C ==则,A B 中有2个对应坐标不相同，并且,B C 中有2个对应坐标不相同，所以,A C 中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即A C =则(),0d A C =，当有2个对应坐标不相同时，(),2d A C =，都满足(),d A C 为偶数.④当()(),,3d A B d B C ==则,A B 中有3个对应坐标不相同，并且,B C 中有3个对应坐标不相同，所以,A C 中有0个对应坐标不相同，即A C =则(),0d A C =，满足(),d A C 为偶数.综上：A ，B ，C 是3X 中的等距序列，则(,)d A C 为偶数【小问3详解】根据第二问可得()12,5d A A =，则说明12,A A 中有5个对应坐标不相同由i A 变换到1i A +需改变5个坐标，保留1个不变，又因为从1变成0经过奇数次变化，所以从161(1,1,,1)A = 个变到60(0,0,,0)m A = 个至少经过6次变换，每个坐标变换5次，故m 的最小值为7.。
2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂. 【详解】由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.2．已知命题p ：“0a ∃>，有12a a+<成立”，则命题p 的否定为（ ） A ．0a ∀≤，有12a a+≥成立 B ．0a ∀>，有12a a+≥成立 C ．0a ∃≤，有12a a +≥成立 D ．0a ∃>，有12a a+≥成立【答案】B【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得出结果.【详解】解：根据特称命题的否定是全称命题即可得命题p ：“0a ∃>，有12a a+<成立”的否定是“0a ∀>，有12a a+≥成立”， 故选：B3．已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 【答案】D【分析】利用幂函数的定义求得指数的值，得到幂函数的解析式，进而结合幂函数的图象判定单调性和奇偶性【详解】设幂函数的解析式为y x α=，将点(的坐标代入解析式得3α=12α=，∴12y x =，函数的定义域为[)0,+∞,是非奇非偶函数，且在()0,+∞上是增函数，故选：D.4．若a <b <0，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1a b ->1b B ．a 2<abC ．b a <||1||1b a ++ D ．an >bn【答案】C【分析】取特殊值判断A ，B ，D ；通过化简b a<||1||1b a ++⇔|b |<|a |，由a <b <0判断. 【详解】取a ＝－2，b ＝－1，n ＝0，可知A ，B ，D 项均不正确；b a<||1||1b a ++⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1) ⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，C 正确. 故选：C .【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.5．函数1y x =+ ） A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】t =，可得()21122y t =-++，再结合0t ≥与二次函数的范围求解即可.【详解】t =，则210,2t t x -≥=，所以()()22211112312222t y t t t t -=+-=--+=-++，因为0t ≥，所以32y ≤，所以函数1y x =+3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：A ．6．若存在实数[]2,4x ∈，使2250x x m -+-<成立，则m 的取值范围为（）A ．(5,)+∞B ．(13,)+∞C ．(4,)+∞D ．(,13)-∞【答案】A【详解】满足题意时，应有：225m x x >-+，令()225f x x x =-+，则：m >f (x )min .函数f (x )的图象开口向上，对称轴为直线x =1 ∵x ∈[2,4]，∴x =2时，f (x )min =f (2)=22−2×2+5=5， ∴m >5，即实数m 的取值范围是(5,+∞). 故选：A.7．若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【详解】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b无关，选B ．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．8．对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x ---是函数() f x 的一对“隐对称点”．若函数22,0()2,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[2-B ．(,2-∞-C ．(,2-∞+D ．(0,2+【答案】B【分析】由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程222(0)mx x x x +=-+>的零点问题，再结合基本不等式得出实数m 的取值范围．【详解】解：由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点 设()g x 的图象与函数22y x x =+，0x <的图象关于原点对称 令0x >，则0x -<，22()()2()2f x x x x x ∴-=-+-=-2()2g x x x ∴=-+故原题义等价于方程222(0)mx x x x +=-+>有零点，解得22m x x=--+又因为2222x x --+≤-=-，当且仅当x(,2m ∞∴∈--．故选：B ．二、多选题9．下列叙述中正确的是（ ）A ．若a ，b ，c ∈R ，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“240b ac -≤”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 【答案】CD【分析】对于A 和B ，通过举反例即可判断；对于C ，根据二次方程根的分布列不等式求解即可判断；对于D ，化简11a<即可判断 【详解】解：对于A ，当0,0,0a b c ==<时，满足240b ac -≤，但此时20ax bx c ++≥不成立，故A 错误；对于B ，若a ，b ，c ∈R ，当a c >且=0b 时，推不出22ab cb >，故B 错误； 对于C ，若方程20x x a ++=有一个正根和一个负根，设两根为12,x x ，则121400a x x a ∆=->⎧⎨=<⎩，解得0a <， 又“1a <”是“0a <”的必要不充分条件，故C 正确； 对于D ，由11a<可得1a >或0a <， 又“1a >”是“1a >或0a <”的充分不必要条件，故D 正确． 故选：CD ．10．设正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．11a b+有最小值4 B12 CD ．22a b +有最小值12【答案】ACD【分析】根据各选项的目标式，由已知等量关系结合基本不等式求它们的最值，注意等号成立条件，即可判断正误.【详解】A ：由题设，1111()()224b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当12a b ==时等号成立，正确；B ：由,0a b >，则1a b +=≥12，当且仅当12a b ==时等号成立，的最大值为12，错误；C ：由,0a b >，则1a b +=≥，当且仅当12a b ==时等号成立，正确；D ：222()122b a a b +≥=+，当且仅当12a b ==时等号成立，正确；故选：ACD.11．定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则()f x 满足（ ） A ．()00f =B ．()y f x =是奇函数C ．()f x 在[],m n 上有最大值()f nD ．()10f x ->的解集为(),1-∞【答案】ABD【分析】利用赋值法可判断A 选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B 选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C 选项的正误；利用函数()f x 的单调性解不等式()10f x ->，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，令0x y ==，可得()()020f f =，解得()00f =，A 对； 对于B 选项，函数()y f x =的定义域为R ，令y x =-，可得()()()00f x f x f +-==，则()()f x f x -=-， 故函数()y f x =是奇函数，B 对；对于C 选项，任取1x 、2x R ∈且12x x <，则()120f x x ->，即()()()()()1212120f x x f x f x f x f x -=+-=->，所以()()12f x f x >， 所以，函数()f x 为R 上的减函数，所以，()f x 在[],m n 上有最大值()f m ，C 错；对于D 选项，由于()f x 为R 上的减函数，由()()100f x f ->=，可得10x -<，解得1x <，D 对. 故选：ABD.12．已知()f x 为奇函数，且()1f x +为偶函数，若()10f =，则（ ） A ．()30f = B ．()()35f f = C ．(3)(1)f x f x +=- D ．(2)(1)1f x f x +++=【答案】ABC【分析】综合已知，利用奇偶性的定义和性质判定f (x )的周期为4，进而可求得()()()3,5,2f f f ,然后即可判定AB ；根据周期性可判定C;根据已得数据可以判定0x =时D 中的方程不成立，从而判定D 不正确.【详解】因为函数()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-， 又因为f (x )是R 上的奇函数，所以()()()111f x f x f x +=-=--， 所以()()()()()242f x f x f x f x f x +=-+=-+=，，所以f (x )的周期为4， 又()()()()()()103110510,f f f f f f ==-=-===，，故A ，B 正确；()()()3341f x f x f x +=+-=-,∴C 正确；()()()2242f f f =-=-,同时根据奇函数的性质得()()()()22,2,2f f f f =--∴-既相等又互为相反数，故f (2)=0,所以()()2101f f +=≠，即(2)(1)1f x f x +++=对于0x =不成立，故D 不正确. 故选：ABC.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性和周期性，关键难点在于结合奇偶性得到周期性，同时注意，定义域为R 的周期为2a 奇函数，必有()()0f a f a =-=这一结论值得记忆.三、填空题13．满足{}{}0,1,20,1,2,3,4,5A ⊆⊆的集合A 的个数是________个． 【答案】8【分析】由题意，根据集合的包含关系，采取列举法，可得答案.【详解】由题意，满足题意的集合A 有{}0,1,2，{}0,1,2,3，{}0,1,2,4，{}0,1,2,5，{}0,1,2,3,4，{}0,1,2,3,5，{}0,1,2,4,5，{}0,1,2,3,4,5.故答案为：8.14．已知()f x ()f x 的单调递增区间为______． 【答案】[6,)+∞【分析】由题意利用复合函数的单调性可得，本题即求函数256y x x =--在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．【详解】∵()f x =∴2560x x --≥，求得1x ≤-，或6x ≥， 故函数的定义域为{|1x x ≤-或6}x ≥由题即求函数256y x x =--在定义域内的增区间．由二次函数的性质可得函数256y x x =--在定义域内的增区间为[)6,+∞， 故答案为[)6,+∞．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，属于中档题． 15．若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a b a b c+++的最小值为______．【答案】2+2【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>> ，则2m n +=，由此可将4a ba b c+++变形为421m n+-，结合基本不等式，即可求得答案。
2022-2023学年湖南省高一(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2022-2023学年湖南省高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A={0,1,2}，B={1,2,3}，则A∪B=( )A. ⌀B. {1,2}C. {0,1,2}D. {0,1,2,3}2. 设集合A={x|3x−1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是( )A. 2<m<5B. 2≤m<5C. 2<m≤5D. 2≤m≤53. 已知集合A={x|2−xx−6≥0,x∈Z}，则集合A中元素个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 64. 已知x>1，则x2+2x−1的最小值是( )A. 23+2B. 23−2C. 23D. 25. 若x>2m2−3是−1<x<4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是( )A. {x|−3≤x≤3}B. {x|x≤−3，或x≥3}C. {x|x≤−1或x≥1}D. {x|−1≤x≤1}6. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件7. 设x>0，y>0，且xy=4，求1x+1y的最小值是( )A. 1B. 2C. −1D. −28. 若关于x的不等式(ax−1)2<x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是( )A. −32<a≤−43或43<a≤32B. −32<a≤−43或43≤a<32C. −32≤a<−43或43<a≤32D. −32≤a<−43或43≤a<32二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。