人教a版高中数学选修4-4习题第一讲坐标系单元检测卷

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高中数学人教A版选修4-4第一章坐标系章末综合测评-含答案解析版

人教A 版选修4-4第一章坐标系章末综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2xy ′＝3y 后得到的曲线方程为( )A ．y ′＝3sin x ′B ．y ′＝3sin 2x ′C ．y ′＝3sin 12x ′D ．y ′＝13sin 2x ′2．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A ．ρ＝1B ．ρ＝cos θC ．ρ＝－1cos θD ．ρ＝1cos θ4．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6之间的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．极坐标方程4ρ·sin 2θ2＝5表示的曲线是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线6．直线ρcos θ＋2ρsin θ＝1不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限7．点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π3 8．在极坐标系中，直线θ＝π6(ρ∈R )截圆 ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6所得弦长是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．若点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，3，则P 到直线Oy 的距离为( )A ．1B ．2 C. 3D. 610．设正弦曲线C 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y 后得到曲线方程为y ′＝sin x ′，则正弦曲线C 的周期为( )A.π2 B ．π C ．2πD ．4π11．已知点A 是曲线ρ＝2cos θ上任意一点，则点A 到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4的距离的最小值是( )A ．1 B.32 C.52 D.7212．极坐标方程ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的图形是( )二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．在极坐标系中，经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程为________．14．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.15．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.16．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．18．(本小题满分12分)已知直线的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，求极点到直线的距离．【解】 ∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直角坐标方程为x ＋y ＝1. 又极点的直角坐标为(0,0)，∴极点到直线的距离d ＝|0＋0－1|2＝22.19．(本小题满分12分)(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C 的方程；(2)将上述圆C 绕极点逆时针旋转π2得到圆D ，求圆D 的方程．【解】 (1)设M (ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C 过极点O ，∠COM ＝θ－1，作CK ⊥OM 于K ，则ρ＝|OM |＝2|OK |＝2cos(θ－1)， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．(2)将圆C ：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转π2得到圆D ：ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－1－π2，即ρ＝－2sin(1－θ)．20．(本小题满分12分)如图1，正方体OABC -D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，A ′C ′与B ′D ′相交于点P ，分别写出点C 、B ′、P 的柱坐标．图1【解】设点C 的柱坐标为(ρ1，θ1，z 1)，则ρ1＝|OC |＝3，θ1＝∠COA ＝π2，z 1＝0， ∴C 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，0；设点B ′的柱坐标为(ρ2，θ2，z 2)，则ρ2＝|OB |＝|OA |2＋|AB |2＝32＋32＝32， θ2＝∠BOA ＝π4，z 2＝3， ∴B ′的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，3；如图，取OB 的中点E ，连接PE ，设点P 的柱坐标为(ρ3，θ3，z 3)，则ρ3＝|OE |＝12|OB |＝322，θ3＝∠AOE ＝π4，z 3＝3，点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫322，π4，3.21．(本小题满分12分)已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，判断两曲线的位置关系．【解】将曲线C 1，C 2化为直角坐标方程得： C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，即C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2，圆心到直线的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32＞2， ∴曲线C 1与C 2相离．22．(本小题满分12分)在极坐标系中，极点为O ，已知曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2交于不同的两点A ，B .(1)求|AB |的值；(2)求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程．【解】 (1)∵ρ＝2，∴x 2＋y 2＝4. 又∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，∴y ＝x ＋2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝2 2. (2)∵曲线C 2的斜率为1，∴过点(1,0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y ＝x －1，∴直线l 的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1，即ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.人教A 版选修4-4第一章坐标系章末综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2xy ′＝3y 后得到的曲线方程为( )A ．y ′＝3sin x ′B ．y ′＝3sin 2x ′C ．y ′＝3sin 12x ′D ．y ′＝13sin 2x ′【解析】由伸缩变换，得x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝sin 2x ，有y ′3＝sin x ′，即y ′＝3sin x ′. 【答案】 A2．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】如图所示，OA ＝3，OB ＝4，∠AOB ＝π6，所以S △AOB ＝12×3×4×12＝3.【答案】 C3．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A ．ρ＝1B ．ρ＝cos θC ．ρ＝－1cos θ D ．ρ＝1cos θ【答案】 C4．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6之间的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6，知∠AOB ＝π3，∴△AOB 为等边三角形，因此|AB |＝2. 【答案】 B5．极坐标方程4ρ·sin 2θ2＝5表示的曲线是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【解析】由4ρ·sin 2θ2＝4ρ·1－cos θ2＝2ρ－2ρcos θ＝5，得方程为2x 2＋y 2－2x ＝5，化简得y 2＝5x ＋254，∴该方程表示抛物线．【答案】 D6．直线ρcos θ＋2ρsin θ＝1不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】由ρcos θ＋2ρsin θ＝1，得x ＋2y ＝1， ∴直线x ＋2y ＝1不过第三象限．【答案】 C7．点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π3 【解析】设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，则⎩⎨⎧3＝r sin φcos θ，1＝r sin φsin θ，－2＝r cos φ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22，φ＝3π4，θ＝π6.【答案】 A8．在极坐标系中，直线θ＝π6(ρ∈R )截圆 ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6所得弦长是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】化圆的极坐标方程ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6为直角坐标方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12＝1，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，半径长为1，化直线θ＝π6(ρ∈R )的直角坐标方程为x －3y ＝0，由于32－3×12＝0，即直线x －3y ＝0过圆⎝⎛⎭⎪⎫x －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12＝1的圆心，故直线θ＝π6(ρ∈R )截圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6所得弦长为2.【答案】 B9．若点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，3，则P 到直线Oy 的距离为( )A ．1B ．2 C. 3D. 6【解析】由于点P 的柱坐标为(ρ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，3，故点P 在平面xOy内的射影Q 到直线Oy 的距离为ρcos π6＝3，可得P 到直线Oy 的距离为 6.【答案】 D10．设正弦曲线C 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y 后得到曲线方程为y ′＝sin x ′，则正弦曲线C 的周期为( )A.π2 B ．π C ．2πD ．4π【解析】由伸缩变换知3y ＝sin 12x ， ∴y ＝13sin 12x ，∴T ＝2π12＝4π.【答案】 D11．已知点A 是曲线ρ＝2cos θ上任意一点，则点A 到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4的距离的最小值是( )A ．1 B.32 C.52 D.72【解析】曲线ρ＝2cos θ即(x －1)2＋y 2＝1，表示圆心为(1,0)，半径等于1的圆，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4，即x ＋3y －8＝0，圆心(1,0)到直线的距离等于|1＋0－8|2＝72，所以点A 到直线ρsin⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4的距离的最小值是72－1＝52.【答案】 C12．极坐标方程ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的图形是( )【解析】法一圆ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4是把圆ρ＝2sin θ绕极点按顺时针方向旋转π4而得，圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，故选C.法二圆ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －22＝1，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，半径为1，故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．在极坐标系中，经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程为________．【解析】圆ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，化成标准方程得x 2＋(y －2)2＝4，表示以点(0,2)为圆心，以2为半径长的圆，点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4的直角坐标为(2,2)，由于22＋(2－2)2＝4，即点(2,2)在圆上，故过点且与圆相切的直线的方程为x ＝2，其极坐标方程为ρcos θ＝2.【答案】 ρcos θ＝214．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.【解析】由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)，因此|CP |＝2 3.【答案】 2 315．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的直角坐标方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 【答案】 2216．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．【解析】直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12，圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1,0)，半径为1，∴弦长为2×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3. 【答案】 3 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．【解】 ⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12＝12. 又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22cos θ，12＋22sin θ为⊙C 上任意一点，M 点到直线l 的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋22cos θ－⎝⎛⎭⎪⎫12＋22sin θ－42＝4－cos⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π42，当θ＝7π4时，d min＝32＝322.。

(必考题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测(有答案解析)(4)

一、选择题1．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 经过伸缩变换1233x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线2．在极坐标系中，已知圆C 经过点236P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，圆心为直线sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与极轴的交点，则圆C 的极坐标方程为 A ．4cos ρθ=B ．4sin ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=3．在极坐标系中，已知A （1，π3），B （2，2π3）两点，则|AB|＝（） A ．2B ．3C ．1D ．54．在满足极坐标和直角坐标互化的条件下，极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+经过直角坐标系下的伸缩变换1'23'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后，得到的曲线是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．直线5．在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线2:4C πθ=，若曲线1C 与2C 交于,A B 两点，则线段AB 的长度为（） A ．2B ．2C ．22D ．16．在极坐标系中，下列方程为圆ρ2sin θ=的切线方程的是（）A ．cos 2ρθ=B ．2cos ρθ=C ．cos 1ρθ=-D ．sin 1ρθ=-7．在极坐标系中，点到直线的距离是（）．A ．B ．C ．D ．8．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝19．在极坐标系中，曲线1C 的方程为2sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，曲线2C 的方程为sin 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，以极点O 为原点，极轴方向为x 轴正方向建立直角坐标系xOy 。

设,A B 分别是12,C C 上的动点，则AB 的最小值是( )A ．2B ．4C ．5D ．310．在极坐标系中，过点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴平行的直线的方程是（） A．cos ρθ=B．sin ρθ=C．ρθ=D．ρθ=11．极坐标方程24sin 52θρ=表示的曲线是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线12．在同一坐标系中，将直线1x y +=变换为直线236x y +=的一个伸缩变换是（）A ．32x xy y ''=⎧⎨=⎩B ．23x xy y ''=⎧⎨=⎩C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩D ．1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩二、填空题13．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，已知曲线C 1的方程为(x －1)2＋y 2＝1，C 2的方程为x ＋y ＝3，C 3是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求C 1与C 2的极坐标方程；（2）若C 1与C 3的一个公共点为A (异于点O )，C 2与C 3的一个公共点为B ，求|OA |－3OB的取值范围.14．在极坐标系中，曲线C 的方程为28cos 10sin 320ρρθρθ--+=，直线l 的方程为0()R θθρ=∈，0tan 2θ=，若l 与C 交于A ，B 两点，O 为极点，则||||OA OB +=________．15．求圆心为(3,)6C π,半径为3的圆的极坐标方程为 ___________________.16．在极坐标系中，已知圆C 的圆心(4,)6C π，半径r ＝4,则圆C 的极坐标方程为_______。

人教A版高中数学选修4-4习题第一讲坐标系单元检测卷

单元检测卷（一)（测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在极坐标系中，已知M错误!，下列所给出的不能表示点M的坐标的是（)A.错误!B.错误!C.错误!D错误!1．A2．在极坐标系中，点（ρ，θ）与点（－ρ，π－θ）的位置关系是()A．关于极轴所在直线对称B．关于极点对称C．重合D．关于直线θ＝错误!(ρ∈R）对称2。

A3．在极坐标系中,已知点P1错误!、P2错误!，则｜P1P2｜的值为（）A。

13B．5C。

错误!D。

错误!3.A4．将y＝sin x的图像横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的1 2，再将纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为（）A．y＝2sin 12x B．y＝错误!sin 2xC．y＝2sin 2x D．y＝错误!sin错误!x4．答案:D5．极坐标方程ρ＝1表示(）A．直线B．射线C．圆D．椭圆5．C6．在极坐标系中，过点错误!且与极轴垂直的直线方程为()A．ρ＝－4cos θB．ρcos θ－1＝0C．ρsin θ＝－错误!D．ρ＝－错误!sin θ6．解析：设M(ρ，θ)为直线上除错误!以外的任意一点，则有ρcos θ＝2·cos 错误!，则ρcos θ＝1,经检验错误!符合方程．答案:B7．曲线的极坐标方程为ρ＝4sin θ，化为直角坐标方程是（）A．x2＋(y＋2)2＝4B．x2＋(y－2)2＝4C．（x－2）2＋y2＝4D．(x＋2）2＋y2＝47．B8．在极坐标系中，已知点A错误!，B错误!，O（0，0）,则△ABO 为(）A．正三角形B．直角三角形C．锐角等腰三角形D．直角等腰三角形8.D9．两圆ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ的公共部分面积是（）A。

错误!－错误!B．π－2C。

错误!－1 D.错误!9.C10．已知点P1的球坐标是P1错误!,P2的柱坐标是P2错误!，则|P1P2｜等于（）A．2 B. 3 C．2错误! D.错误!10。

数学人教A版选修4-4单元检测第一讲坐标系含解析精

数学人教版A4-4第一讲坐标系单元检测(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与极坐标(－2，6π)不表示同一点的极坐标是( )． A ．(2，76π) B ．(2，－76π) C ．(－2，－116π) D ．(－2，136π)2．将曲线F (x ，y )＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的13，得到的曲线方程为( )．A ．F (2x ，3y )＝0 B ．F (2x ，3y)＝0 C ．F (3x ，2y )＝0 D ．F (3x，2y )＝03．若ρ1＝ρ2≠0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )．A ．关于极轴所在的直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．重合4．以(4π)( )． A ．ρ＝－(sin θ＋cos θ) B ．ρ＝sin θ＋cos θ C ．ρ＝－2(sin θ＋cos θ) D ．ρ＝2(sin θ＋cos θ)5．极坐标方程4ρsin 22θ＝5表示的曲线是( )．A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan θ＝1(ρ≥0)与θ＝4π(ρ≥0)表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．其中正确的是( )．A ．①③B ．①C ．②③D ．③7．点P 的直角坐标为(1，则点P 的极坐标为( )．A ．(2，3π) B ．(2，43π) C ．(2，－3π) D ．(2，－3π)8．极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝12的图形是( )．9．直角坐标为(33的点的极坐标可能是( )．A ．(512π-) B ．(512π)C ．(-712π)D ．(712π)10．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P 与定点Q (1，2π)的最近距离等于( )．1 1 C ．1 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．极坐标系内，点(2，2π)关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为________． 12．两直线ρsin(θ＋4π)＝2 011，ρsin(θ－4π)＝2 012的位置关系是__________．13．在极坐标系中，圆ρ＝2上的点到直线ρ(cos θθ)＝6的距离的最小值是________．14．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________．15．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝3π，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________．三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(10分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换2,2x x y y'=⎧⎨'=⎩后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．17．(15分)如图，正方体OABC —D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，A ′C ′与B ′D ′相交于点P ，分别写出点C ，B ′，P 的柱坐标．参考答案1. 答案：B2. 答案：A 设(x ，y )经过伸缩变换变为(x ′，y ′)，∴2,1,3x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩则1,23,x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩代入F (x ，y )＝0得F (12x ′，3y ′)＝0. 3．答案：C 4. 答案：C5. 答案：D ∵4ρsin 22θ＝5，∴4ρ·1cos 2θ-＝2ρ－2ρcos θ＝5，化为直角坐标方程为－2x ＝5，即y 2＝5x ＋254，该方程表示抛物线． 6. 答案：D 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程，故①是错误的；tan θ＝1不仅表示θ＝4π这条射线，还表示θ＝54π这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．7. 答案：C ∵P (1，ρ＝|OP |＝2，OP 与x 轴的正方向所成的角为53π，∴点P 的一个极坐标为(2，53π)，故(2，－3π)可为点P 的一个极坐标． 8. 答案：B 把ρcos θ＝12化为直角坐标方程，得x ＝12，又圆ρ＝cos θ的圆心为(12，0)，半径为12，故选项B 正确．9. 答案：B ∵ρ= (ρ＞0)，点(33在第一象限，tan θ1=tan 512π，∴点(33的极坐标为，512π)．10．答案：A 将ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，点Q 的直角坐标为(0,1)，则P 到Q 的最短距离为点Q 与圆心(1,0)1.11. 答案：4π) 点(2，2π)的直角坐标为(0,2)，直线ρcos θ＝1的直角坐标方程为x ＝1，所以(0,2)关于x ＝1的对称点为(2,2)，它的极坐标为4π)．12. 答案：垂直两直线方程可化为x ＋y ＝y －x ＝故两直线垂直．13. 答案：1 圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，直线的直角坐标方程为x －6＝0，3，所以圆上的点到直线的距离的最小值为1.14．答案：6π) ∵cos 3,4cos ,p p θθ=⎧⎨=⎩ (1)(2)∴4cos 2 θ＝3.∴2(1＋cos 2θ)＝3. ∴cos 2θ＝12. ∵0≤2θ＜π，∴θ＝6π.代入①得ρ＝∴C 1与C 2交点的极坐标为6π)．15. ∵三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1在直角坐标系下对应的直线方程为y ＝0，y ，x ＋y ＝1.三条直线围成的图形如图阴影部分所示．则点A (1,0)，B )∴S △AOB ＝12×1. 16. 答案：解：将2,2x x y y'=⎧⎨'=⎩代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1，即(x －52)2＋(y ＋3)2＝14，故曲线C 是以(52，－3)为圆心、半径为12的圆． 17. 答案：解：设点C 的柱坐标为(ρ1，θ1，z 1)，则ρ1＝|OC |＝3，θ1＝∠COA ＝2π，z 1＝0，∴C 的柱坐标为(3，2π，0)；设点B ′的柱坐标为(ρ2，θ2，z 2)，则ρ2＝|OB |=θ2＝∠BOA ＝4π，z 2＝3，∴B ′的柱坐标为4π，3)；如图，取OB 的中点E ，连接PE ，设点P 的柱坐标为(ρ3，θ3，z 3)，则ρ3＝|OE |＝12|OB |＝2，θ3＝∠AOE ＝4π，z 3＝3，点P 的柱坐标为(24π，3)．。

(必考题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试卷(包含答案解析)(3)

一、选择题1．点P 对应的复数为33i -+，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（）A ．34π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．54π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．53,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．33,4π⎛⎫- ⎪⎝⎭2．点P 的直角坐标为(，那么它的极坐标可表示为（） A ．52,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．51,4π⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,4π⎛⎫⎪⎝⎭. 3．在极坐标系中，与点8,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标是( ) A ．8,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．58,6π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．58,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．8,6π⎛⎫--⎪⎝⎭4．已知曲线C 的极坐标方程为：22cos 2sin 0ρρθρθ--=，直线l 的极坐标方程为：4πθ=（ρ∈R ），曲线C 与直线l 相交于AB 、两点，则AB 为（）A B ．C D ．5．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2ρ的最大值为（） A ．72B ．4C ．92D ．56．在极坐标系中，点A 是曲线8sin ρθ=上一动点，以极点O 为中心，将点A 绕O 顺时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的极坐标方程为( ) A ．8cos ρθ= B ．8sin ρθ= C ．8cos ρθ=-D ．8sin ρθ=-7．将2216x y +=的横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为（）A ．22134x y +=B ．22213x y +=C ．222112x y +=D ．222134x y +=8．极坐标方程cos ρθ=与1cos 2ρθ=的图形是（）A ．B ．C ．D ．9．已知点P 的极坐标是π2,6⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 且平行极轴的直线方程是( ) A ．ρ1=B ．ρsin θ=C ．1ρsin θ=-D ．1ρsin θ=10．极坐标方程24sin 52θρ=表示的曲线是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线11．在同一坐标系中，将直线1x y +=变换为直线236x y +=的一个伸缩变换是（）A ．32x x y y ''=⎧⎨=⎩B ．23x xy y ''=⎧⎨=⎩C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩D ．1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩12．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为 A ．1ρ= B ．cos ρθ= C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点.若||||3AB OP ⋅，则α=________.14．在极坐标系中，直线(cos 2sin )1ρθθ+=与直线sin 1ρθ=的夹角大小为_____（结果用反三角函数值表示）. 15．在极坐标系中，以,2a π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以a 为半径的圆的极坐标方程为__________. 16．在同一平面直角坐标系中，将曲线22368120x y x --+=变成曲线22''4'30x y x --+=，则满足上述图形变换的伸缩变换是________.17．极坐标2,3π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为______. 18．在极坐标系中，极点到直线cos()226πρθ-=的距离等于________．19．在极坐标系中，以点1,22π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆的极坐标方程是____________20．ABC ∆的底边110,,2BC A B =∠=∠以B 点为极点，BC 为极轴，则顶点A 的轨迹的极坐标方程为__________________三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是8y =，圆C 的参数方程是2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩，（ϕ为参数）.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程；（2）若射线:0,02OM πθααρ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与圆C 交于O ，P 两点，与直线l 交于点M ，射线:(0)2ON πθαρ=+与圆C 交于O ，Q 两点，与直线l 交于点N ，求||||||||OP OQ OM ON ⋅的最大值.22．在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C ：222x ax y -+=0(a >0)，曲线2C 的参数方程为cos {1sin x y αα==+(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系；(1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程; (2)已知极坐标方程为θ=6π的直线与曲线1C ，2C 分别相交于P ，Q 两点（均异于原点O ），若|PQ|=1，求实数a 的值； 23．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为 sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程;（2）设P 为曲线1C 上的动点,求点P 到曲线2C 上的距离的最小值. 24．在极坐标系中，设圆1:4cos C ρθ=与直线:()4l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求以AB 为直径的圆2C 的极坐标方程；（2）在圆1C 上任取一点M ，在圆2C 上任取一点N ，求||MN 的最大值.25．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为()4,0，射线θα=（02πα<<）与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，若4AMB π∠=，求tan α的值.26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P的坐标为(，求PA PB +.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】分析：先求出点P 的直角坐标，P 到原点的距离r ，根据点P 的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P 的极坐标．详解：点P 对应的复数为33i -+，则点P 的直角坐标为()3,3-，点P到原点的距离r =，且点P 第二象限的平分线上，故极角等于34π，故点P的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A ．点睛：本题考查把直角坐标化为极坐标的方法，复数与复平面内对应点间的关系，求点P 的极角是解题的难点．2．B解析：B 【分析】根据直角坐标化极坐标的方法求解即可. 【详解】设它的极坐标为(,)ρθ222(4,2ρρ=+==tan 1θ==- θ在第二象限，且[)0,2θπ∈34πθ∴=则它的极坐标可表示为32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题主要考查了直角坐标化极坐标，属于中档题.3．A解析：A 【分析】由点(),ρθ关于极点对称的点为()(),2k k Z ρππθ++∈，结合极径为负数的点的定义，即可得答案；【详解】点(),ρθ关于极点对称的点为()(),2k k Z ρππθ++∈，故点8,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标为78,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即8,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查极径为负数的极坐标的定义，考查对概念的理解，属于基础题.4．B解析：B 【分析】把圆和直线的极坐标方程都转化成直角坐标方程，可得弦AB 过圆心，则2AB r =。

(必考题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测题(答案解析)

一、选择题1．（理）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（） A ．0()R θρ=∈ 和cos 2ρθ= B ．()2R πθρ=∈和cos 2ρθ=C ．()2R πθρ=∈和cos 1ρθ= D ．0()R θρ=∈和cos 1ρθ=2．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线3．已知圆C 与直线l 的极坐标方程分别为6cos ρθ=，sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 到直线l 的距离是（） A ．1B ．2CD．24．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称5．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（） A ．14BCD ．136．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（）A ．1BC ．2D．7．221x y +=经过伸缩变换23x xy y ''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（）A．B．C ．4D ．68．将2216x y +=的横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为（）A ．22134x y +=B ．22213x y +=C ．222112x y +=D ．222134x y +=9．已知曲线C 与曲线5ρ=3cos?5sin?θθ-关于极轴对称，则曲线C 的方程为( )A ．10cos ρ=-π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10cos ρ=π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10cos ρ=-π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭D ．10cos ρ=π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭10．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22162x y+=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()36πρθ+=，射线M 的极坐标方程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2211OAOB+的最大值为（） A ．34B ．25C ．23D ．1311．极坐标方程cos ρθ=与1cos 2ρθ=的图形是（） A ． B ． C ． D ．12．在同一平面直角坐标系中，将曲线1cos 23y x =按伸缩变换23x x y y ''=⎧⎨=⎩后为（）A ．cos y x ''=B ．13cos 2y x ''= C ．12cos3y x ''= D ．1cos32y x ''=二、填空题13．在极坐标系中，曲线C 的方程为28cos 10sin 320ρρθρθ--+=，直线l 的方程为0()R θθρ=∈，0tan 2θ=，若l 与C 交于A ，B 两点，O 为极点，则||||OA OB +=________．14．在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4ρ=截得的弦长为______.15．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．16．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 30cos sin θθ-=，则圆C截直线l 所得弦长为___________． 17．两条直线sin 20164πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 20174πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的位置关系是_______ 18．点C 的极坐标是(2,)4π,则点C 的直角坐标为______________ 19．在极坐标系中0,02,ρθπ>≤<，曲线cos 1ρθ=-与曲线=2sin ρθ的交点的极坐标为_______________。

2021学年高中数学第一讲坐标系测评习题含解析人教A版选修4_4.docx

第一讲测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.将曲线y=sin 3x 按照伸缩变换{x '=2x ,y '=3y后得到的曲线方程为( )A.y=3sin 32x B.y=3sin 3x C.y=3sin 6xD.y=13sin 32x,得{x =x '2,y =y '3.将其代入y=sin3x ,有y '3=sin 32x',即y'=3sin 32x'.所以变换后的曲线方程为y=3sin 32x.2.在极坐标系中,已知M (-5,π3),则下列所给出的不能表示点M 的坐标的是( ) A .(5,-π3) B .(5,4π3) C .(5,-2π3) D .(-5,-5π3)3.若点A 的球坐标为(5,3π4,3π4),则它的直角坐标为( )A .(-52,52,-5√22)B .(-52,52,5√22) C .(-52,-52,5√22)D .(52,52,-5√22)A 的直角坐标为(x ,y ,z ),则x=r sin φcos θ=5·sin 3π4cos 3π4=-52,y=r sin φsin θ=5sin 3π4sin 3π4=52,z=r cos φ=5cos 3π4=-5√22,所以直角坐标为(-52,52,-5√22).4.在极坐标系中,过点(2,π3)且与极轴垂直的直线方程为( )A.ρ=-4cos θB.ρcos θ-1=0C.ρsin θ=-√3D.ρ=-√3sin θM (ρ,θ)为直线上除(2,π3)以外的任意一点,则有ρcos θ=2·cos π3,则ρcos θ=1,经检验(2,π3)符合方程.所以直线的极坐标方程为ρcos θ-1=0.5.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ(0≤θ<2π)的圆心的极坐标是( ) A.(1,π2) B.(1,3π2)C.(1,0)D.(1,π)ρ=-2sin θ,得ρ2=-2ρsin θ,化为直角坐标方程为x 2+(y+1)2=1,其圆心坐标为(0,-1),所以其极坐标为(1,3π2).6.可以将椭圆x 210+y 28=1变为圆x 2+y 2=4的伸缩变换是 ( )A .{5x '=2x ,√2y '=yB .{√2x '=√5x ,y '=√2yC .{√2x '=x ,√5y '=√2yD .{√5x '=√2x ,√2y '=yx 2+y 2=4改写为x'2+y'2=4,设满足题意的伸缩变换为{x '=λx (λ>0),y '=μy (μ>0),将其代入x'2+y'2=4,得λ2x 2+μ2y 2=4,即λ2x 24+μ2y 24=1,与椭圆x 210+y 28=1,比较系数得{λ24=110,μ24=18,解得{λ=√2√5μ=√2 故满足题意的伸缩变换为{x '=√2√5,y '=√2,即{√5x '=√2x ,√2y '=y .7.在极坐标系中,圆ρ=22sin θ的圆心到极轴的距离为( )A.11B.11√2C.11√3D.22ρ=22sinθ,得ρ2=22ρsinθ,即圆的直角坐标方程为x2+y2-22y=0,标准方程为x2+(y-11)2=121,所以圆心C(0,11)到极轴的距离为11.8.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ与直线2ρcos(θ+π3)=-1的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.无法确定ρ=2cosθ与直线2ρcos(θ+π3)=-1的直角坐标方程分别为圆(x-1)2+y2=1与x-√3y+1=0,圆心(1,0)到直线的距离为d=|1-√3×0+1|2=1=r,所以直线与圆相切.9.若曲线的极坐标方程为ρ=8sin θ,则它的直角坐标方程为()A.x2+(y+4)2=16B.x2+(y-4)2=16C.(x-4)2+y2=16D.(x+4)2+y2=16x=ρcosθ,y=ρsinθ,即ρ2=x2+y2,可得x2+y2=8y,整理得x2+(y-4)2=16.10.导学号73574029在球坐标系中,集合M={(r,φ,θ)|2≤r≤6,0≤φ≤π2,0≤θ<2π}表示的图形的体积为()A.416π3B.146π3C.614π3D.461πr,φ,θ的含义知,该图形的体积是两个半径分别为6,2的半球的体积之差.故V=12(4π3×63-4π3×23)=12×4π3×208=416π3.11.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2B.θ=π2(ρ∈R)和ρcos θ=2C.θ=π2(ρ∈R)和ρcos θ=1D.θ=0(ρ∈R )和ρcos θ=1ρ=2cos θ化为直角坐标方程为(x-1)2+y 2=1.所以圆的垂直于x 轴的两条切线的直角坐标方程分别为x=0和x=2,再将两条切线的直角坐标方程化为极坐标方程分别为θ=π2(ρ∈R )和ρcos θ=2,故选B .12.导学号73574030圆ρ=r 与圆ρ=-2r sin (θ+π4)(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )A.2ρ(sin θ+cos θ)=rB.2ρ(sin θ+cos θ)=-rC.√2ρ(sin θ+cos θ)=rD.√2ρ(sin θ+cos θ)=-rρ=r 的直角坐标方程为x 2+y 2=r 2,① 圆ρ=-2r sin (θ+π4)=-2r (sinθcos π4+cosθsin π4)=-√2r (sin θ+cos θ),两边同乘ρ,得ρ2=-√2r (ρsin θ+ρcos θ),所以x 2+y 2+√2rx+√2ry=0,② 由①-②,并化简得√2(x+y )=-r ,即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程.将直线√2(x+y )=-r 化为极坐标方程为√2ρ(cos θ+sin θ)=-r.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在极坐标系中,点P (2,0)与点Q 关于直线θ=π3对称,则|PQ|= .θ=π3的直角坐标方程为y=√3x.设点P 到直线的距离为d ,则|PQ|=2d=√3√1+3=2√3.√314.已知曲线C 1,C 2的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=6sin θ(ρ≥0,0≤θ<π2),则曲线C 1与C 2交点的极坐标为 .{ρcosθ=3,ρ=6sinθ,①②将②代入①,得6sin θcos θ=3,∴sin2θ=1. ∵0≤2θ<π,∴θ=π4.代入①得ρ=3√2.∴C 1与C 2交点的极坐标为(3√2,π4).(3√2,π4)15.已知点M 的柱坐标为(2π3,2π3,2π3),则点M 的直角坐标为 ,球坐标为 .M 的直角坐标为(x ,y ,z ),球坐标为(r ,φ,θ).由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,z =z ,得{ x =2π3cos 2π3=-π3,y =2π3sin 2π3=√3π3,z =2π3.由{r =√x 2+y 2+z 2,cosφ=zr , 得{r =2√2π3,cosφ=√22,即{r =2√2π3,φ=π4.所以点M 的直角坐标为(-π3,√3π3,2π3),球坐标为(2√2π3,π4,2π3).-π3,√3π3,2π3) (2√2π3,π4,2π3) 16.导学号73574031在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ=π3,ρcos θ+ρsin θ=1围成的图形的面积是 .θ=0,θ=π3,ρcos θ+ρsin θ=1在平面直角坐标系中对应的直线方程分别为y=0,y=√3x ,x+y=1.三条直线围成的图形如图阴影部分所示.则点A (1,0),B (√3-12,3-√32). 所以S △AOB =12×3-√32×1=3-√34.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知伸缩变换表达式为{x '=2x ,y '=13y ,曲线C 在此变换下变为椭圆x '24+y'2=1,求曲线C 的方程.{x '=2x ,y '=13y ,所以将其代入方程x '24+y'2=1,得(2x )24+(13y)2=1,即x 2+y 29=1.故曲线C 的方程为x 2+y 29=1. 18.(本小题满分12分)已知定点P (4,π3).(1)将极点移至O'(2√3,π6)处,极轴方向不变,求点P 的新坐标; (2)极点不变,将极轴顺时针转动π6角,求点P 的新坐标.设点P 的新坐标为(ρ,θ),如图所示,由题意可知,|OO'|=2√3,|OP|=4,∠POx=π3,∠O'Ox=π6, 所以∠POO'=π6.在△POO'中,ρ2=42+(2√3)2-2×4×2√3×cos π6=16+12-24=4,则ρ=2.又23=sin∠POO '2,所以sin ∠OPO'=sin π62×2√3=√32, 即∠OPO'=π3.所以∠OP'P=π-π3−π3=π3,则∠PP'x=2π3,∠PO'x'=2π3. 故点P 的新坐标为(2,2π3).(2)如图所示,设点P 的新坐标为(ρ,θ),则ρ=4,θ=π3+π6=π2. 故点P 的新坐标为(4,π2).19.(本小题满分12分)以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知C 1:ρ=2cos θ-4sin θ,C 2:ρsin θ-2ρcos θ+1=0.(1)将C 1的方程化为直角坐标方程; (2)求曲线C 1和C 2两交点A ,B 之间的距离.由ρ=2cos θ-4sin θ,得ρ2=2ρcos θ-4ρsin θ.∴x 2+y 2=2x-4y.∴C 1的直角坐标方程为(x-1)2+(y+2)2=5.(2)C 2:ρsin θ-2ρcos θ+1=0化为直角坐标方程为y-2x+1=0.∵圆心(1,-2)到直线的距离d=5=5,∴|AB|=2√(√5)2-(√5)2=√5=8√55. 20.(本小题满分12分)已知定点A (a ,0),动点P 对极点O 和点A 的张角∠OPA=π3.在OP 的延长线上取点Q ,使|PQ|=|PA|.当点P 在极轴所在直线的上方运动时,求点Q 的轨迹的极坐标方程.Q ,P 的坐标分别是(ρ,θ),(ρ1,θ1),则θ=θ1.在△POA 中,|OP|=ρ1=asin π3·sin (2π3-θ),|PA|=asinθsinπ3.又|OQ|=|OP|+|PQ|=|OP|+|PA|,化简可得 ρ=2a cos (π3-θ).故点Q 的轨迹的极坐标方程为ρ=2a cos (π3-θ).21.导学号73574032(本小题满分12分)在极坐标系中,已知圆C 的圆心C (3,π3),半径r=3.(1)求圆C 的极坐标方程;(2)若点Q 在圆C 上运动,点P 在OQ 的延长线上,且OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹的极坐标方程.设M (ρ,θ)是圆C 上除极点外的任意一点,连接OM ,CM.在△OCM 中,∠COM=|θ-π3|, 由余弦定理得|CM|2=|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos ∠COM , 即32=ρ2+32-2×3×ρcos (θ-π3), ρ=6cos (θ-π3).因为极点适合上式,所以圆C 的极坐标方程为ρ=6cos (θ-π3). (2)设点Q 为(ρ1,θ1),点P 为(ρ,θ), 由OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), 即OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以ρ1=23ρ,θ1=θ. 因为点Q 在圆C 上,所以有ρ1=6cos (θ1-π3).将ρ1=23ρ,θ1=θ,代入圆ρ1=6cos (θ1-π3)的方程,得23ρ=6cos (θ-π3),即ρ=9cos (θ-π3).故动点P 的轨迹的极坐标方程为ρ=9cos (θ-π3).22.导学号73574033(本小题满分12分)在极坐标系中,极点为O ,已知曲线C 1:ρ=2与曲线C 2:ρsin (θ-π4)=√2交于不同的两点A ,B.(1)求|AB|的值;(2)求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程.方法一)∵ρ=2,∴x 2+y 2=4,半径r=2.又ρsin (θ-π4)=√2,∴y=x+2.∵原点(0,0)到直线x-y+2=0的距离d=√2=√2,∴|AB|=2√r2-d2=2√4-(√2)2=2√2. (方法二)设A(ρ,θ1),B(ρ,θ2),θ1,θ2∈[0,2π),则sin(θ1-π4)=√22,sin(θ2-π4)=√22.∵θ1,θ2∈[0,2π),∴|θ1-θ2|=π2,即∠AOB=π2.又|OA|=|OB|=ρ=2,∴|AB|=2√2.(2)∵曲线C2的斜率为1,∴过点(1,0)且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为y=x-1, ∴直线l的极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ-1,即ρcos(θ+π4)=√22.。

(必考题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换53x xy y ''=⎧⎨=⎩后，曲线C 变为曲线2241x y ''+=，则曲线C 的方程为（）A ．2225361x y +=B ．2291001x y +=C ．10241x y +=D ．22281259x y += 2．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=。

若射线3πθ=与曲线1C 和曲线2C 分别交于,A B 两点（除极点外），则AB 等于（）A ．31-B ．31+C ．1D ．33．如图，点A 、B 是函数1y x=在第I 象限的图像上两点且满足OAB 90∠=且AO AB =，则OAB ∆的面积等于（）A ．12B 2C 3D 5 4．在极坐标系中，已知A （1，π3），B （2，2π3）两点，则|AB|＝（） A 2B 3C ．1D 55．在极坐标系中，直线sin cos 1ρθρθ-=被曲线2ρ截得的线段长为（） A 3B 6C 6D ．26．在极坐标系中有如下三个结论:①点P 在曲线C 上,则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程;②tan θ=1(ρ≥0)与θπ(ρ4=≥0)表示同一条曲线;③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线.其中正确的是( ) A ．①③B ．①C ．②③D ．③7．将直角坐标方程y x =转化为极坐标方程，可以是( )A ．1ρ=B ．ρθ=C ．1()R θρ=∈D ．()4R πθρ=∈8．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝19．已知点P的直角坐标(2,--，则它的一个极坐标为（） A ．(4，3π) B ．(4，43π) C ．(-4，6π) D ．(4，76π) 10．在同一坐标系中，将直线1x y +=变换为直线236x y +=的一个伸缩变换是（）A ．32x x y y ''=⎧⎨=⎩B ．23x xy y ''=⎧⎨=⎩C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩D ．1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩11．在极坐标系中，直线cos()4ρθπ-=ρ的公共点的个数为A ．1B ．2C ．0D ．无法确定 12．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为A ．1ρ=B ．cos ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=二、填空题13．已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A 在圆ρ＝2cosθ＋2sinθ上，点B 在直线31x ty t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)上，则|AB|的最小值为________．14．球坐标2,,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭对应点的直角坐标为________. 15．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线C ：2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩ (α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．16．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．17．在极坐标系中，O 是极点，设点4,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，55,6B π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则OAB ∆的面积是__________．18．在伸缩变换'2:1'2x x y y ϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩的作用下，点(1,2)P -变换为点P'，则P'的坐标为____________.19．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2x cosay =⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________． 20．在极坐标系中，O 是极点，设点1,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,2B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OAB 的面积是__________．三、解答题21．在直角坐标系xOy 下，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），曲线2C 的参数方程为cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，且0t ≥，π02α<<），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2cos r ρθ=，常数0r >，曲线2C 与曲线1C ，3C 的异于O 的交点分别为A ，B ．（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；（2）若||||OA OB +的最大值为6，求r 的值．22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线221:(1)1C x y -+=以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos()6πρθ-=（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）已知点(4,0)M ，直线l 的极坐标方程为3πθ=，它与曲线1C 的交点为O ，P ，与曲线2C 的交点为Q ，求MPQ 的面积.23．在直角坐标系xOy 中，已知点()6,2Q ，曲线1C 的参数方程为28682x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），点P 是曲线1C 上的任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于点O ，A ，射线OA 逆时针旋转90︒交曲线2C 于点B，且3OA OB ⋅=，求k .24．在极坐标系下，已知圆C ：cos sin ρθθ=+和直线l ：20x y -+=. （1）求圆C 的直角坐标方程（2）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．25．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P的坐标为(，求PA PB +.26．在直角坐标系中，圆1C ：221x y +=经过伸缩变换32x xy y ''=⎧⎨=⎩，后得到曲线2C 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为102cos sin θθρ+=()1求曲线2C 的直角坐标方程及直线l 的直角坐标方程；()2在2C 上求一点M ，使点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】将伸缩变换53x xy y''=⎧⎨=⎩代入曲线2241x y ''+=中即可解.【详解】解：把53x x y y ''=⎧⎨=⎩代入曲线2241x y ''+=，可得：()()225431x y +=，即2225361x y +=，即为曲线C 的方程．故选：A ．【点睛】考查平面直角坐标系的伸缩变换，题目较为简单. 伸缩变换：设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,(0):,(0)x x y y λλϕμμ'=⋅>⎧⎨'=⋅>⎩的作用下，点(,)P x y 对应到点(,)P x y '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2．A解析：A 【分析】把3πθ=分别代入2sin ρθ=和2cos ρθ=，求得,A B 的极经，进而求得AB ，得到答案．【详解】由题意，把3πθ=代入2sin ρθ=，可得2sin33A πρ==，把3πθ=代入2cos ρθ=，可得2cos13B πρ==，结合图象，可得31A B AB ρρ=-=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了简单的极坐标方程的应用，以及数形结合法的解题思想方法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．D解析：D 【分析】设点B 的极坐标为(),ρθ，则04πθ<<，由OAB ∆为等腰直角三角形可得出点A 的极坐标2,4πρθ⎫+⎪⎪⎝⎭，将函数1y x =的解析式表示为极坐标方程，将A 、B 两点的极坐标代入曲线的极坐标方程，可计算出2ρ的值，再利用三角形的面积公式可计算出OAB ∆的面积. 【详解】设点B 的极坐标为(),ρθ，则04πθ<<，由题意知，OAB ∆为等腰直角三角形，且OAB 90∠=，则点A 的极坐标,4πρθ⎫+⎪⎪⎝⎭，将函数1y x =的解析式化为极坐标方程得1sin cos ρθρθ=，即2sin cos 1ρθθ=，化简得2sin 22ρθ=，将点B 的极坐标代入曲线的极坐标方程得2sin 22ρθ=，将点A 的极坐标代入曲线的极坐标方程得2sin 2224πρθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭，化简得2cos24ρθ=，于是有22sin 22cos 24ρθρθ⎧=⎨=⎩，()()242222sin 2cos 22420ρρθρθ∴=+=+=，得2ρ=，因此，OAB ∆的面积为111sin 2422242OAB S OA OB πρρ∆=⋅=⨯⨯⨯=⨯ 故选D.【点睛】本题考查三角形面积的计算，解题的关键就是将问题转化为极坐标方程求解，将代数问题转化为几何问题求解，考查转化与化归数学思想，属于中等题.4．B解析：B 【解析】【分析】根据题意，由AB 的坐标分析可得|OA |＝1，|OB |＝2，且∠AOB 2333πππ=-=，由余弦定理计算可得答案【详解】在极坐标系中，已知A （1，π3），B （2，2π3），则|OA|＝1，|OB|＝2，且∠AOB 2πππ333=-=，则|AB|2＝2OA +2OB ﹣2|OA||OB|cos ∠AOB ＝1+4﹣2×1×2×cos π3=3，则|AB|= 故选：B ．【点睛】本题考查极坐标的应用，涉及余弦定理的应用，属于基础题．5．C解析：C 【分析】将直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式与勾股定理可得结果. 【详解】直线sin cos 1ρθρθ-=的直角坐标方程为1y x -=，即10x y -+=，ρ化为22ρ=，直角坐标方程为222x y +=，圆心为原点，半径为r =圆心到直线10x y -+=的距离为2d ==，10x y -+=被圆222x y +=截得的弦长为== C. 【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，属于中档题. 求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式12l x =-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.6．D解析：D 【解析】分析：利用曲线的极坐标方程的知识逐一判断得解.详解：在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,如：曲线C 的极坐标方程为1ρ=，点P(-1,0)显然在曲线C 上，但是点P 的极坐标并不满足C 的极坐标方程,故①错误;tanθ=1不仅表示θπ4=这条射线,还表示θ5π4=这条射线,故②错误;ρ=3与ρ=-3差别仅在于方向不同,但都表示圆心为极点,半径为3的圆,故③正确.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查曲线的极坐标方程，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,如：曲线C 的极坐标方程为1ρ=，点P(-1,0)显然在曲线C 上，但是点P 的极坐标并不满足C 的极坐标方程。

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单元检测卷(一)(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在极坐标系中，已知M ⎝⎛⎭⎪⎫－5，π3，下列所给出的不能表示点M的坐标的是( )D ⎝⎛⎭⎪⎫－5，－5π3 1．A2．在极坐标系中，点(ρ，θ)与点(－ρ，π－θ)的位置关系是( )A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．重合D ．关于直线θ＝π2(ρ∈R)对称3．在极坐标系中，已知点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4、P 2⎝⎛⎭⎪⎫－3，－π4，则|P 1P 2|的值为( )B ．54．将y ＝sin x 的图像横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，再将纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为( )A ．y ＝2sin 12xB ．y ＝12sin 2xC ．y ＝2sin 2xD ．y ＝12sin 12x4．答案：D5．极坐标方程ρ＝1表示( ) A ．直线 B ．射线 C ．圆 D ．椭圆 5．C6．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3且与极轴垂直的直线方程为( )A ．ρ＝－4cos θB ．ρcos θ－1＝0C ．ρsin θ＝－ 3D ．ρ＝－3sin θ6．解析：设M (ρ，θ)为直线上除⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3以外的任意一点，则有ρcos θ＝2·cos π3，则ρcos θ＝1，经检验⎝⎛⎭⎪⎫2，π3符合方程．答案：B7．曲线的极坐标方程为ρ＝4sin θ，化为直角坐标方程是( ) A ．x 2＋(y ＋2)2＝4 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x －2)2＋y 2＝4 D ．(x ＋2)2＋y 2＝4 7．B8．在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，O (0，0)，则△ABO 为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角等腰三角形D ．直角等腰三角形9．两圆ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ的公共部分面积是( ) －12 B ．π－2 －110．已知点P 1的球坐标是P 1⎝⎛⎭⎪⎫23，π6，π4，P 2的柱坐标是P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，1，则|P 1P 2|等于( )A ．2 C ．2 211．可以将椭圆x 210＋y 28＝1变为圆x 2＋y 2＝4的伸缩变换是( )11．解析：方法1：将椭圆方程x 210＋y 28＝1化为2x 25＋y 22＝4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 22＝4，令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25x ，y ′＝y2，得x ′2＋y ′2＝4，即x 2＋y 2＝4，∴伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y .方法2：将x 2＋y 2＝4改写为x ′2＋y ′2＝4，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），代入x ′2＋y ′2＝4得λ2x 2＋μ2y 2＝4，即λ2x 24＋μ2y 24＝1，与椭圆x 210＋y28＝1，比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧λ24＝110，μ24＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝25，μ＝12，∴伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25x ，y ′＝12y ，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y .答案：D12．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin(θ＋π4)(r >0)的公共弦所在直线的方程为( )A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－rρ(sin θ＋cos θ)＝r ρ(sin θ＋cos θ)＝－r12．解析：圆ρ＝r 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2，①圆ρ＝－2r sin(θ＋π4)＝－2r (sin θcosπ4＋cos θsinπ4)＝－2r (sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ)，∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0，② 由①—②得2(x ＋y )＝－r ，即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程．将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r .答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．(2015·广州市高三毕业班调研测试)曲线ρ＝2cos θ－23sin θ(0≤θ<2π)与极轴的交点的极坐标是____________．13．(0，0)(2，0)14．已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，则极点到直线的距离是________．15．(2015·广东信宜统测)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心到直线ρcos θ＝2的距离是________．15．116．与曲线ρcos θ＋1＝0关于θ＝π4对称的曲线的极坐标方程是________．16．ρsin θ＋1＝0三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ＇＝2x ，y ＇＝y 与伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ＇＝2x ，y ＇＝2y 的作用下，x 2＋y 2＝1分别变成什么图形17．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＇＝2x ，y ＇＝y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ＇2，y ＝y ＇，代入x 2＋y 2＝1得⎝⎛⎭⎪⎫x ＇22＋y ＇2＝1，即x ＇24＋y ＇2＝1.所以在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ＇＝2x ，y ＇＝y的作用下，单位圆x 2＋y 2＝1变成椭圆x 24＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＇＝2x ，y ＇＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ＇2，y ＝y ＇2代入x 2＋y 2＝1得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＇22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＇22＝1，即x ＇2＋y ＇2＝4，所以在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ＇＝2x ，y ＇＝2y的作用下，单位圆x 2＋y 2＝1变成圆x 2＋y 2＝4.18．(本小题满分12分)已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝⎛⎭⎪⎫23，π6处，极轴方向不变，求点P 的新坐标；(2)极点不变，将极轴逆时针转动π6角，求点P 的新坐标．18．解析：(1)设点P 新坐标为(ρ，θ)，如下图所示，由题意可知：|OO ′|＝23，|OP |＝4， ∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2×4×23×cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，∴sin ∠OPO ′＝sinπ62×23＝32，∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3. ∴点P 的新坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3. (2)如下图所示，设点P 新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴点P 的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2.19．(本小题满分14分)△ABC 底边BC ＝10，∠A ＝12∠B ，以B 为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹的极坐标方程．19．分析：本题利用正余弦定理的边角关系找到顶点A 的ρ、θ之间的关系，从而求得其轨迹方程．解析：如下图，令A (ρ，θ)，在△ABC 内，设∠B ＝θ，∠A ＝θ2，又|BC |＝10，|AB |＝ρ.于是由正弦定理，得ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－3θ2＝10sinθ2，化简，得点A 轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.20．(本小题满分14分)已知定点A (a ，0)，动点P 对极点O 和点A 的张角∠OPA ＝π3.在OP 的延长线上取点Q ，使|PQ |＝|PA |.当P 在极轴上方运动时，求点Q 的轨迹的极坐标方程．20．解析：设Q 、P 的坐标分别是(ρ，θ)、(ρ1，θ1)，则θ＝θ1.在△POA 中，由正弦定理得，ρ1＝asinπ3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ，|PA |＝a sin θsinπ3.又|OQ |＝|OP |＋|PA |，∴ρ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6.21．(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，已知点A (3，0)，P 是圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且∠AOP 的平分线交PA 于点Q ，求点Q 的轨迹的极坐标方程．21．分析：需要找出点Q 的极角和极径的关系，在这里我们可以通过三角形的面积建立关系．解析：以圆心O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q (ρ，θ)，P (1，2θ)．因为S △OAQ ＋S △OQP ＝S △OAP ，所以12·3ρ·sin θ＋12ρ·sin θ＝12×3×1×sin 2θ.整理得ρ＝32cos θ.22．(本小题满分14分)已知半圆直径|AB |＝2r (r ＞0)，半圆外一条直线l 与AB所在直线垂直相交与点T ，并且|AT |＝2a ⎝⎛⎭⎪⎫2a ＜r 2.若半圆上相异两点M 、N 到l 的距离|MP |，|NQ |满足|MP |∶|MA |＝|NQ |∶|NA |＝1，通过建立极坐标系，求证|MA |＋|NA |＝|AB |.22．证明：证法一以A 为极点，射线AB 为极轴建立极坐标系，则半圆的极坐标方程为ρ＝2r cos θ，设M (ρ1，θ1)，N (ρ2，θ2)，则ρ1＝2r cos θ1，ρ2＝2r cos θ2，又|MP |＝2a ＋ρ1cos θ1＝2a ＋2r cos 2θ1， |NQ |＝2a ＋ρ2cos θ2＝2a ＋2r cos 2θ2， ∴|MP |＝2a ＋2r cos 2θ1＝2r cos θ1， ∴|NQ |＝2a ＋2r cos 2θ2＝2r cos θ2，∴cos θ1，cos θ2是关于cos θ的方程r cos 2θ－r cos θ＋a ＝0的两个根，由韦达定理知：cos θ1＋cos θ2＝1，∴|MA |＋|NA |＝2r cos θ1＋2r cos θ2＝2r ＝|AB |.证法二以A 为极点，射线AB 为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为ρ＝2r cos θ，设M (ρ1，θ1)，N (ρ2，θ2)，又由题意知，M (ρ1，θ1)，N (ρ2，θ2)在抛物线ρ＝2a1－cos θ上，∴2r cos θ＝2a1－cos θ，r cos2θ－r cos θ＋a＝0，∴cos θ1，cos θ2是方程r cos2θ－r cos θ＋a＝0的两个根，由韦达定理知：cos θ1＋cos θ2＝1，∴|MA|＋|NA|＝2r cos θ1＋2r cos θ2＝2r＝|AB|.。