相似与反比例综合题练习(含答案)

相似与反比例综合题练习（含解析）

一．选择题（共12小题）

1．如图所示，已知双曲线y=（x＜0）和y=（x＞0），直线OA与双曲线y=交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y=交于点B，与y轴交于点P，与双曲

=6，=，则k=（）

线y=交于点C，S

△ABC

A．﹣6 B．﹣4 C．6 D．4

2．如图，点A在反比例函数y=（k≠0）的图象上，且点A是线段OB的中点，点D为x轴上一点，连接BD交反比例函数图象于点C，连接AC，若BC：CD=2：1，S△ADC=．则k的值为（）

A．B．16 C．D．10

3．如图，O为坐标原点，点C在x轴上．四边形OABC为菱形，D为菱形对角线AC与OB的交点，反比例函敬y=在第一象限内的图象经过点A与点D，若菱形

OABC的面积为24，则点A的坐标为（）

A．（1，6）B．（，5）C．（2，4）D．（3，3）

4．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边与函数y=（x＞0）图象交于E，F两点，且F是BC的中点，则四边形ACFE的面积等于（）

A．4 B．6 C．8 D．不能确定

5．如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上一点，过点A作直线y=﹣x 的垂线，垂足为点B，再过点A作AC⊥AB交y=（x＞0）的图象于点C，若△ABC是等腰三角形，则点B的坐标是（）

A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣2，2）D．（﹣3，3）

6．如图，菱形四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=，y=﹣的图象上，若该菱形的面积为78，则这个菱形的边长为（）

A．B．C．13 D．13

7．如图，已知A，B为反比例函数y1=图象上两点，连接AB，线段AB经过点O，C是反比例函数y2=（k＜0）在第二象限内的图象上一点，当△CAB是以AB 为底的等腰三角形，且=时，k的值为（）

A．﹣ B．﹣3 C．﹣4 D．﹣

8．已知，直线y=k1x（k1＞0）与反比例函数y=图象交于点A、B两点，以AB 为边作等边△ABC，随着k1的取值不同，点C在反比例函数y=运动，则k2的值是（）

A．﹣2B．﹣3C．﹣6 D．﹣3

9．如图，反比例函数y=上有一点A，连接并延长OA，使得OA=AB，过点B作x轴的垂线，分别交反比例函数和x轴于点C、点D．若CD=，∠B=60°，则△AOD的面积为（）

A．9 B．10C．11D．12

10．如图，△ABC是等边三角形，顶点C在y轴的负半轴上，点A（1，），点B在第一象限，经过点A的反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过顶点B，则△ABC的边长为（）

A．3 B．2 C．4 D．3

11．如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C 分别在x轴、y轴的正半轴上，双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E．过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在点C′处（点C′在矩形OABC内部），且C′E∥BC，若点C′的坐标为（2，3），则k的值为（）

A．B．C．D．

12．如图，A、B、C是反比例函数y=（k＜0）图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（）

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

二．解答题（共8小题）

13．如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P 从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC的方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于点D，作DE⊥AC于点E．F为射线CB上一点，使得∠CEF=∠ABC．设点P运动的时间为x秒．

（1）用含有x的代数式表示CE的长．

（2）求点F与点B重合时x的值．

（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式．

14．如图，射线AM平行于射线BN，AB⊥BN，且AB=3，C是射线BN上的一个

动点，连接AC，作CD⊥AC，且CD=AC，过C作CE⊥BN交AD于点E，设BC 长为t．

（1）AC长为，△ACD的面积为（用含有t的代数式表示）；

（2）求点D到射线BN的距离（用含有t的代数式表示）；

（3）是否存在点C，使△ACE为等腰三角形？若存在，请求出此时BC的长度；若不存在，请说明理由．

15．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．

（1）求证：AB?AF=CB?CD；

（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是线段DE上的动点．设DP=x cm，梯形BCDP 的面积为ycm2．

①求y关于x的函数关系式．

②y是否存在最大值？若有求出这个最大值，若不存在请说明理由．

16．如图，在矩形ABCD（AB＜AD）中，将△ABE沿AE对折，使AB边落在对角线AC上，点B的对应点为F，同时将△CEG沿EG对折，使CE边落在EF所在直线上，点C的对应点为H．

（1）证明：AF∥HG（图（1））；

（2）证明：△AEF∽△EGH（图（1））；

（3）如果点C的对应点H恰好落在边AD上（图（2））．求此时∠BAC的大小．

17．如（a）图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（12，0），点B坐标为（6，8），点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一周．

（1）点C坐标是，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是；

（2）设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S，并指出t为何值时，S最大；

（3）点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如（b）图，若点E与点D同时出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD 相似？（只考虑以点A、O为对应顶点的情况）

18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），点C，D在x轴上，C（t，0），D（t+3，0）（0＜t≤5），过点D作x轴的垂线交线段AB 于点E，交OA于点G，连接CE交OA于点F

（1）请用含t的代数式表示线段AE与EF的长；

（2）若当△EFG的面积为时，点G恰在的图象上，求k的值；

（3）若存在点Q（0，2t）与点R，其中点R在（2）中的的图象上，以A，C，Q，R为顶点的四边形是平行四边形，求R点的坐标．

19．如图，点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数的图象上．（1）求m，k的值；

（2）求三角形ABO的面积．

20．如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别

落在反比例函数y=图象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F．已知B（1，3）．

（1）k=；

（2）试说明AE=BF；

（3）当四边形ABCD的面积为时，求点P的坐标．

相似与反比例练习参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．如图所示，已知双曲线y=（x＜0）和y=（x＞0），直线OA与双曲线y=交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y=交于点B，与y轴交于点P，与双曲

=6，=，则k=（）

线y=交于点C，S

△ABC

A．﹣6 B．﹣4 C．6 D．4

【解答】解：设A（x a，y a），B（x b，y b），C（x c，y c），

则有x a y a=x b y b=5，x c y c=k，

∵OA∥BC

∴=，

整理得到：y a x b﹣y a x c=x a y b﹣x a y c①

过点A作AF⊥x轴于点F，BE⊥x轴于点E，CD⊥x轴于点D，

∵S

=S梯形AFEB+S梯形BEDC﹣S梯形AFDC=6

△ABC

∴（AF+BE）×EF+（BE+CD）×DE﹣（AF+CD）×DF=6

代入坐标可得到：（y a+y b）（x b﹣x a）+（y b+y c）（x c﹣x b）﹣（y a+y c）（x c﹣x a）=6，

整理得：y a x b﹣x a y b+y b x c﹣y c x b﹣y a x c+x a y c=6，②

①②联立得：y b x c﹣y c x b=12，③

由=，可得：=，

即x b=x c，

∴y b==，

代入③得：10+x c y c=12，

解得：x c y c=4，

即k=﹣4．

故选：B．

2．如图，点A在反比例函数y=（k≠0）的图象上，且点A是线段OB的中点，点D为x轴上一点，连接BD交反比例函数图象于点C，连接AC，若BC：CD=2：1，S△ADC=．则k的值为（）

A．B．16 C．D．10

【解答】解：作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．

=，

∵BC：CD=2：1，S

△ADC

=，

∴S

△ACB

∵OA=OB，

=S△ACB=，

∴B（2m，2n），S

△AOC

∵A、C在y=上，BC=2CD，

∴C（m，n），

=S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF=S梯形AEFC，

∵S

△AOC

∴?（n+n）×m=，

∴mn=16，

故选：B．

3．如图，O为坐标原点，点C在x轴上．四边形OABC为菱形，D为菱形对角线AC与OB的交点，反比例函敬y=在第一象限内的图象经过点A与点D，若菱形

OABC的面积为24，则点A的坐标为（）

A．（1，6）B．（，5）C．（2，4）D．（3，3）

【解答】解：作AE⊥OC于E，DF⊥OC于F．设A（a，b）．

∵四边形ABCO是菱形，

∴AD=DC，

∵AE∥DF，

∴EF=FC，

∴DF=AE=b

∵反比例函敬y=在第一象限内的图象经过点A与点D，

∴D（2a，b），

∴OE=EF=FC=a，

∴OA=OC=3a，

∴AE==2a，

∵OC?AE=24，

∴3a?2a=24，

∴a2=4，

∵a＞0，

∴a=2，

∴A（2，4），

故选：C．

4．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边与函数y=（x＞0）图象交于E，F两点，且F是BC的中点，则四边形ACFE的面积等于（）

A．4 B．6 C．8 D．不能确定

【解答】解：连接OF、OB、OE．

∵四边形ABCO是矩形，

=S△BCO，

∴S

△ABO

∵BF=CF，

∴S

=S△BFO，

△CFO

∵E、F在y=（x＞0）上，

=S△FCO=S△ABO，

∴S

△AEO

∴AE=EB，∵BF=CF，

∴EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC，

∴=，

∵S

=16，

矩形ABCO

=×8=2，

∴S

△BEF

=8﹣2=6，

∴S

四边形ACFE

故选：B．

5．如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上一点，过点A作直线y=﹣x 的垂线，垂足为点B，再过点A作AC⊥AB交y=（x＞0）的图象于点C，若△ABC是等腰三角形，则点B的坐标是（）

A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣2，2）D．（﹣3，3）

【解答】解：由题意，△ABC是等腰直角三角形，BC∥x轴，设B（a，﹣a），∵AC∥OB，

∴AC⊥直线y=x，

∴A、C关于直线y=x对称，

作OH⊥AC于H，则四边形ABOH是矩形，

∴AH=HC=OB，AB=2OB，

∴A（﹣a，﹣3a），

∴3a2=6，

∴a2=2，

∵a＜0，

∴a=﹣，

∴B（﹣，），

故选：A．

6．如图，菱形四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=，y=﹣的图象上，若该菱形的面积为78，则这个菱形的边长为（）

A．B．C．13 D．13

【解答】解：根据对称性可知，反比例函数y=，y=﹣的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，

∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O．

如图：作DM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N．连接OD，OC．

∵DO⊥OC，

∴∠DOM+∠CON=90°，∠CON+∠OCN=90°，

∴∠DOM=∠OCN，

∵∠DMO=∠CNO=90°，

∴△DOM∽△OCN，

∵S

=2，S△OCN=，

△DOM

∴（）2=，

∴可以假设OD=2k，OC=3k，

∵S

=4??2k?3k=78，

菱形ABCD

∴k=，

∴CD==k=，

故选：B．

7．如图，已知A，B为反比例函数y1=图象上两点，连接AB，线段AB经过点O，C是反比例函数y2=（k＜0）在第二象限内的图象上一点，当△CAB是以AB 为底的等腰三角形，且=时，k的值为（）

A．﹣ B．﹣3 C．﹣4 D．﹣

【解答】解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．

∵A、B关于原点对称，

∴OA=OB，

∵AC=BC，OA=OB，

∴OC⊥AB，

∴∠CFO=∠COA=∠AEO=90°，

∵∠COF+∠AOE=90°，∠AOE+∠EAO=90°，

∴∠COF=∠OAE，

∴△CFO∽△OEA，

∴=（）2，

∵CA：AB=5：8，AO=OB，

∴CA：OA=5：4，

∴CO：OA=3：4，

∴=（）2=，∵S△AOE=2，

=，

∴S

△COF

∴=，

∵k＜0，

∴k=﹣，

故选：A．