求曲线方程的常用方法
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63
又直线l与椭圆交于两点，∴-2＜x＜2
∴点P的轨迹方程为
x2
（y
2
-2＜1x＜2
）
63
【小结】 （1）“轨迹”与“轨迹方程”是两个不
同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，
后者指方程(包括范围).（2）求动点轨迹时应注意它的完
备性与纯粹性.化简过程若破坏了方程的同解性，要注意补
上遗漏的点或者要挖去多余的点.
依题设知 x > -5, (x 3)2 ( y 0)2 x 3 -3
y 2 =12x
[解法二] 定义法 如图，作直线 n：x = -3 m n
y
P（x，y） x
A
3
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。
故，点P的轨迹是以 A 为焦点，以 n 为准线的抛物线。 所以动点P的轨迹方程为 y 2 =12x
2c=4，即a=3，c=2，b=5 ，因此其方程为x2 y2 1
95
（y≠0）.
（2）设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r，因此
|PA|-|PB|=1.
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线Baidu Nhomakorabea右支，且
2a=1，2c=4，即a12=
,c=2,b=15 ，因此其方程为
2
4x2 4y2 1(x 1 )
代入法
例4 设椭圆方程为 x2 .y过2 点1 M(0,1)的直线l交椭圆
4
于点A、B，O是坐标原点，点P满 OP ，1 (当OAl绕 O点BM) 旋
2
转时，求动点P的轨迹方程.
【解析】设点P的坐标为（x,y），A（x1,y1）,
B(x2,y2), 因A，B在椭圆上，所以
x
2 2
y
2 2
【解析】法一：设双曲线实半轴长为a,则椭圆的长半
轴长为2a，由题意得2＜a＜4，由半焦距为4，可得椭圆
设点P的坐标为（x,y），A（x1,y1）, B(x2,y2), 因A，
B在椭圆上，所以
x2 4a 2
y2 4a2 16
1①
由①xa×22 41-6②y-2a可2 得1 ② y2 y2 3
法二：设椭圆与双曲线交点P（x，y
|PF1|+|PF2|=2||PF1|-|PF2| 即|PF1|=3|PF2|或|PF2|=3|PF1| 将P点坐标（x，y （x+5）2+y2=9及（x-5）2+y2=9. 因交点P不会在x轴上，∴y≠0，
故2＜|x|＜8 所以所求轨迹方程是（x+5）2+y2=9（y≠0），
x2 y2 1或x=0
24
【解析】(定义法)动圆M与两圆C1，
C2都要相切，有四种情况：①动圆M与
两圆都相外切，②动圆M与两圆都相内
切；③动圆M与圆C2内切、与圆C1外切；
④动圆M与圆C1内切、与圆C2外切.在①②情况下， 显然，动圆圆心M的轨迹方程为x=0；在③的情况下，如
图8-55-1设动圆M的半径为r，则|MC21|=r+ ，|MC22|=r-
规律总结
1．求圆锥曲线的轨迹方程要注意利用圆锥曲线的定 义解题，从而简化解题过程.
2．求关于轴对称的曲线的方程的一般步骤：（1）设 所求曲线上任一点P(x,y)；（2）求出其关于点或轴对称 的点p'(x,y)；（3）将p'坐标代入已知曲线得所求曲线方 程.
3．涉及多个动点的轨迹问题，可用动点代入法或参数 法求解，分清主动点和从动点，选择适当参数是解题的关 键.
2 （1）直接法：题目中的条件有明显的等量关系，或者 可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点（x,y） 的解析式. （2）定义法：分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定 义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程.
（3）代入法：如果轨迹动点P（x，y）依赖于另一动 点Q（a，b），而Q（a，b）又在某已知曲线上，则可 先列出关于x、y、a、b的方程组，利用x、y表示出a、b， 把a、b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程.
求曲线方程
•轨迹法 •定义法 •待定系数法 •直接法 •代入法 •参数法
例1 动点P（x，y）到定点A（3，0） 的距离比它到定直线x= -5的距离少2。 求：动点P的轨迹方程。
[解法一]轨迹法
(x 3)2 ( y 0)2 x 5 2
思考：如何化去绝对值号？
y PH
-5
O
3
4
1
①
x12
y12 4
1
②
当x1=x2时，点A，B的坐标为（0，2），（0，-2）， 这时点P的坐标为（0，0），也满足⑤，所以点P的轨 迹方程为4x2+y2-y=0.
参数法
例5设椭圆与双曲线有公共的焦点F1（-4，0），F2 （4，0），并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，试 求椭圆与双曲线交点的轨迹.
【解析】（代入法）设P(x1,y1)，M(x,y) 则x1=2x，y1=2y，代入得x2-4y2=1.
3．两条直线ax+y+1=0和x-ay-1=0(a≠±1)的交点的
轨迹方程是
(x
1)2 2
(
y
1)2 2
1 2
且
(x
x
2
1)2 (y
y2 1)2
0 0
【解析】（参数法） ax+y+1=0
例2已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A（-2，0），B（2， 0），分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.
（1）△PAB的周长为10; （2）圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆 心）; （3）圆P与圆A外切且与直线x=1相切（P为动圆圆心）.
【分析】（1）根据题意，先找出等价条件，再根据 条件判定曲线类型，最后写出曲线方程.
4．求轨迹要注意取值范围和“杂点”的去除.
基础训练
1．动点P与定点A(-1,0)，B(1,0)的连线的斜率
之积为-1，则P点的轨迹方程是
( B)
A．x2+y2=1
B．x2+y2=1(x≠±1)
C．x2+y2=1(x≠0)
D．y= 1 x2
【解析】直接法
2．设P为双曲线 x2 y2 1 上一动点，O为坐标原点， M为线段OP的中点，则点4 M的轨迹方程为x2-4y2=1
c2 = 6，b2 = a2 c2 = （2 + 2 ）2 - 6 = 4 2
故所求椭圆方程为 x 2
y2
+ =1
6+4 2 4 2
注：重视定义！
直接法
例3设动直线l垂直于x轴，且与椭圆 x2 2y2 4 交于A、B两点，P是l上满足PA P=B1的点，求点P的轨迹
方程. 【分析】设P点的坐标为(x,y)，用直接法求 得P点的轨迹方程.要注意x的范围通过直线l与椭
a2 4 16-a2
即y2 (a2 4)(16-a2 ) , 4
将此式代入②式可得a2=2|x|， 再把③代入①式，消去a，得
x2 y2 1， 8 x 16-8 x
当x＞0，得（x-5）2+y2=9; 当x＜0，得（x+5）2+y2=9; 由2＜a＜4，得2＜|x|＜8. 所以，所求轨迹为两个圆，并除去它们与y轴的交点.
（4）参数法：如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的 关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数法
. 3．注意求“轨迹”与“轨迹方程”的区别与联系 一般说来，若是“求轨迹方程”，求得方程就可以了；
若是“求轨迹”，求得方程还不够，还应指出方程所表 示的曲线的类型.
故得|MC1|-|MC22|=2
在④的情况下，同理得|MC2|-|MC1|=2 2.
由③④得|MC1|-|MC2|=±2 .2
根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1（-4，0）、
C2（4，0）为焦点的双曲线，且a2= ，c=4，b2=c2-
a2=14，
x2 y2 1
24
知识要点
1 建系、设点、列式、代入、化简、检验（检验就是要检验
x-ay-1=0.
①×y+②×x得y2+y+x2-x=0,
即 (x 1)2 ( y 1)2 .1
2
22
∵ a≠±1
∴ x≠1
x≠0
y≠0 且
y≠-1
4．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x-4）
2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心
M的轨迹方程是
A
x
•P
如图，P点在直线左侧时，|PH|<|PA|,不合题
意。故 x > -5
m
(x 3)2 ( y 0)2 x 3
y 2 =12x
例1 动点P（x，y）到定点A（3，0） 的距离比它到定直线x= -5的距离少2。
求：动点P的轨迹方程。 [解法一] 轨迹法
-5
(x 3)2 ( y 0)2 x 5 2
15
2
（3）依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线 x=2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p=4. 因此其方程为y2=-8x.
【小结】解题时应注意动点的几何特征，若盲目进行 代数运算则可能较繁琐.
例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC 长为4 2，一个椭圆以C为其中一个焦 点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆 经过点A，B。
圆相交获得.
【解析】设点P的坐标为(x,y)
由方程x2+2y2=4得2y2=4-x2，∴y=± 4 x2
2
∴A、B两点的坐标分别为(x, ),4(x,x-2 )
4 又x2
2
2
=1. PA PB
∴(0, 即y2-
-y4)·(x02,-
2
4=1x，2 ∴
2
-y)=14 x2
2
x2 y2 1
（1）|PA|+|PB|=10-|AB|=6. （2）|PA|-|PB|=1. （3）P点到A的距离比P点到直线x=1的距离多1，即P点 到A的距离等于P点到直线x=2的距离.
【解析】(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，即
|PA|+|PB|=6＞4=|AB|，故P点的轨迹是椭圆，且2a=6，
例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC 长为4 2，一个椭圆以C为其中一个焦 点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆 经过点A，B。
y A
求：该椭圆方程。
D O
C x
[解] 得 a = 2 + 2
|AD| + |AC| = 2a
}B |AD| = 2 2
2c
|AC| =
2 ×4 2 = 4
2
在ADC中 |DC|2 = |AD|2 + |AC|2 = （ 2 2 ）2 + 16 = 24
（x-5）2+y2=9（y≠0）. 轨迹为两个圆，并除去它们与y轴的交点.
【小结】由于探讨的对象是“交点的轨迹”，求轨迹 方程的过程是一个创造性的“建模”过程，并不能完全依 靠已有，因此，充分认清题设条件后或选择适当的参数， 建立方程组，消去参数后就得“交点轨迹方程”（如方法 一）或选择根据几何等式的传递，构建新的几何条件（如
y A
求：该椭圆方程。
D O
C x
[解] |BC| = 4 2
B 如图，设椭圆的另一个焦点为D
以直线DC为x轴，线段DC的中点为原点建立直角坐标系。
设椭圆方程为 x 2
y2 +
= 1 （a>b>0)
则
a2 b2
|AD| + |AC| = 2a，|BD| + |BC| = 2a
所以，|AD| + |BD| + |AC| + |BC| = 4a 即 8 + 4 2 = 4a
又直线l与椭圆交于两点，∴-2＜x＜2
∴点P的轨迹方程为
x2
（y
2
-2＜1x＜2
）
63
【小结】 （1）“轨迹”与“轨迹方程”是两个不
同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，
后者指方程(包括范围).（2）求动点轨迹时应注意它的完
备性与纯粹性.化简过程若破坏了方程的同解性，要注意补
上遗漏的点或者要挖去多余的点.
依题设知 x > -5, (x 3)2 ( y 0)2 x 3 -3
y 2 =12x
[解法二] 定义法 如图，作直线 n：x = -3 m n
y
P（x，y） x
A
3
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。
故，点P的轨迹是以 A 为焦点，以 n 为准线的抛物线。 所以动点P的轨迹方程为 y 2 =12x
2c=4，即a=3，c=2，b=5 ，因此其方程为x2 y2 1
95
（y≠0）.
（2）设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r，因此
|PA|-|PB|=1.
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线Baidu Nhomakorabea右支，且
2a=1，2c=4，即a12=
,c=2,b=15 ，因此其方程为
2
4x2 4y2 1(x 1 )
代入法
例4 设椭圆方程为 x2 .y过2 点1 M(0,1)的直线l交椭圆
4
于点A、B，O是坐标原点，点P满 OP ，1 (当OAl绕 O点BM) 旋
2
转时，求动点P的轨迹方程.
【解析】设点P的坐标为（x,y），A（x1,y1）,
B(x2,y2), 因A，B在椭圆上，所以
x
2 2
y
2 2
【解析】法一：设双曲线实半轴长为a,则椭圆的长半
轴长为2a，由题意得2＜a＜4，由半焦距为4，可得椭圆
设点P的坐标为（x,y），A（x1,y1）, B(x2,y2), 因A，
B在椭圆上，所以
x2 4a 2
y2 4a2 16
1①
由①xa×22 41-6②y-2a可2 得1 ② y2 y2 3
法二：设椭圆与双曲线交点P（x，y
|PF1|+|PF2|=2||PF1|-|PF2| 即|PF1|=3|PF2|或|PF2|=3|PF1| 将P点坐标（x，y （x+5）2+y2=9及（x-5）2+y2=9. 因交点P不会在x轴上，∴y≠0，
故2＜|x|＜8 所以所求轨迹方程是（x+5）2+y2=9（y≠0），
x2 y2 1或x=0
24
【解析】(定义法)动圆M与两圆C1，
C2都要相切，有四种情况：①动圆M与
两圆都相外切，②动圆M与两圆都相内
切；③动圆M与圆C2内切、与圆C1外切；
④动圆M与圆C1内切、与圆C2外切.在①②情况下， 显然，动圆圆心M的轨迹方程为x=0；在③的情况下，如
图8-55-1设动圆M的半径为r，则|MC21|=r+ ，|MC22|=r-
规律总结
1．求圆锥曲线的轨迹方程要注意利用圆锥曲线的定 义解题，从而简化解题过程.
2．求关于轴对称的曲线的方程的一般步骤：（1）设 所求曲线上任一点P(x,y)；（2）求出其关于点或轴对称 的点p'(x,y)；（3）将p'坐标代入已知曲线得所求曲线方 程.
3．涉及多个动点的轨迹问题，可用动点代入法或参数 法求解，分清主动点和从动点，选择适当参数是解题的关 键.
2 （1）直接法：题目中的条件有明显的等量关系，或者 可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点（x,y） 的解析式. （2）定义法：分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定 义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程.
（3）代入法：如果轨迹动点P（x，y）依赖于另一动 点Q（a，b），而Q（a，b）又在某已知曲线上，则可 先列出关于x、y、a、b的方程组，利用x、y表示出a、b， 把a、b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程.
求曲线方程
•轨迹法 •定义法 •待定系数法 •直接法 •代入法 •参数法
例1 动点P（x，y）到定点A（3，0） 的距离比它到定直线x= -5的距离少2。 求：动点P的轨迹方程。
[解法一]轨迹法
(x 3)2 ( y 0)2 x 5 2
思考：如何化去绝对值号？
y PH
-5
O
3
4
1
①
x12
y12 4
1
②
当x1=x2时，点A，B的坐标为（0，2），（0，-2）， 这时点P的坐标为（0，0），也满足⑤，所以点P的轨 迹方程为4x2+y2-y=0.
参数法
例5设椭圆与双曲线有公共的焦点F1（-4，0），F2 （4，0），并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，试 求椭圆与双曲线交点的轨迹.
【解析】（代入法）设P(x1,y1)，M(x,y) 则x1=2x，y1=2y，代入得x2-4y2=1.
3．两条直线ax+y+1=0和x-ay-1=0(a≠±1)的交点的
轨迹方程是
(x
1)2 2
(
y
1)2 2
1 2
且
(x
x
2
1)2 (y
y2 1)2
0 0
【解析】（参数法） ax+y+1=0
例2已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A（-2，0），B（2， 0），分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.
（1）△PAB的周长为10; （2）圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆 心）; （3）圆P与圆A外切且与直线x=1相切（P为动圆圆心）.
【分析】（1）根据题意，先找出等价条件，再根据 条件判定曲线类型，最后写出曲线方程.
4．求轨迹要注意取值范围和“杂点”的去除.
基础训练
1．动点P与定点A(-1,0)，B(1,0)的连线的斜率
之积为-1，则P点的轨迹方程是
( B)
A．x2+y2=1
B．x2+y2=1(x≠±1)
C．x2+y2=1(x≠0)
D．y= 1 x2
【解析】直接法
2．设P为双曲线 x2 y2 1 上一动点，O为坐标原点， M为线段OP的中点，则点4 M的轨迹方程为x2-4y2=1
c2 = 6，b2 = a2 c2 = （2 + 2 ）2 - 6 = 4 2
故所求椭圆方程为 x 2
y2
+ =1
6+4 2 4 2
注：重视定义！
直接法
例3设动直线l垂直于x轴，且与椭圆 x2 2y2 4 交于A、B两点，P是l上满足PA P=B1的点，求点P的轨迹
方程. 【分析】设P点的坐标为(x,y)，用直接法求 得P点的轨迹方程.要注意x的范围通过直线l与椭
a2 4 16-a2
即y2 (a2 4)(16-a2 ) , 4
将此式代入②式可得a2=2|x|， 再把③代入①式，消去a，得
x2 y2 1， 8 x 16-8 x
当x＞0，得（x-5）2+y2=9; 当x＜0，得（x+5）2+y2=9; 由2＜a＜4，得2＜|x|＜8. 所以，所求轨迹为两个圆，并除去它们与y轴的交点.
（4）参数法：如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的 关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数法
. 3．注意求“轨迹”与“轨迹方程”的区别与联系 一般说来，若是“求轨迹方程”，求得方程就可以了；
若是“求轨迹”，求得方程还不够，还应指出方程所表 示的曲线的类型.
故得|MC1|-|MC22|=2
在④的情况下，同理得|MC2|-|MC1|=2 2.
由③④得|MC1|-|MC2|=±2 .2
根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1（-4，0）、
C2（4，0）为焦点的双曲线，且a2= ，c=4，b2=c2-
a2=14，
x2 y2 1
24
知识要点
1 建系、设点、列式、代入、化简、检验（检验就是要检验
x-ay-1=0.
①×y+②×x得y2+y+x2-x=0,
即 (x 1)2 ( y 1)2 .1
2
22
∵ a≠±1
∴ x≠1
x≠0
y≠0 且
y≠-1
4．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x-4）
2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心
M的轨迹方程是
A
x
•P
如图，P点在直线左侧时，|PH|<|PA|,不合题
意。故 x > -5
m
(x 3)2 ( y 0)2 x 3
y 2 =12x
例1 动点P（x，y）到定点A（3，0） 的距离比它到定直线x= -5的距离少2。
求：动点P的轨迹方程。 [解法一] 轨迹法
-5
(x 3)2 ( y 0)2 x 5 2
15
2
（3）依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线 x=2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p=4. 因此其方程为y2=-8x.
【小结】解题时应注意动点的几何特征，若盲目进行 代数运算则可能较繁琐.
例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC 长为4 2，一个椭圆以C为其中一个焦 点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆 经过点A，B。
圆相交获得.
【解析】设点P的坐标为(x,y)
由方程x2+2y2=4得2y2=4-x2，∴y=± 4 x2
2
∴A、B两点的坐标分别为(x, ),4(x,x-2 )
4 又x2
2
2
=1. PA PB
∴(0, 即y2-
-y4)·(x02,-
2
4=1x，2 ∴
2
-y)=14 x2
2
x2 y2 1
（1）|PA|+|PB|=10-|AB|=6. （2）|PA|-|PB|=1. （3）P点到A的距离比P点到直线x=1的距离多1，即P点 到A的距离等于P点到直线x=2的距离.
【解析】(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，即
|PA|+|PB|=6＞4=|AB|，故P点的轨迹是椭圆，且2a=6，
例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC 长为4 2，一个椭圆以C为其中一个焦 点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆 经过点A，B。
y A
求：该椭圆方程。
D O
C x
[解] 得 a = 2 + 2
|AD| + |AC| = 2a
}B |AD| = 2 2
2c
|AC| =
2 ×4 2 = 4
2
在ADC中 |DC|2 = |AD|2 + |AC|2 = （ 2 2 ）2 + 16 = 24
（x-5）2+y2=9（y≠0）. 轨迹为两个圆，并除去它们与y轴的交点.
【小结】由于探讨的对象是“交点的轨迹”，求轨迹 方程的过程是一个创造性的“建模”过程，并不能完全依 靠已有，因此，充分认清题设条件后或选择适当的参数， 建立方程组，消去参数后就得“交点轨迹方程”（如方法 一）或选择根据几何等式的传递，构建新的几何条件（如
y A
求：该椭圆方程。
D O
C x
[解] |BC| = 4 2
B 如图，设椭圆的另一个焦点为D
以直线DC为x轴，线段DC的中点为原点建立直角坐标系。
设椭圆方程为 x 2
y2 +
= 1 （a>b>0)
则
a2 b2
|AD| + |AC| = 2a，|BD| + |BC| = 2a
所以，|AD| + |BD| + |AC| + |BC| = 4a 即 8 + 4 2 = 4a