人教版高中数学课件 高中数学必修五课件111 2正弦定理课件人教A版必修5
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高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53
45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外
人教A版必修5第1章《正弦定理和余弦定理》ppt导学课件
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
根据勾股定理知△ABC 是直角三角形． 4、 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC＋ 3asinC－b－c ＝0. (1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b， c. 【解析】本题考查正弦定理.（1）利用正 弦定理边化角结合两角和差公式化简求 解； （2）利用三角形面积公式及余弦定理 求解. 【答案】 (1)由 acosC＋ 3asinC－b－c＝ 0 及正弦定理得
．
【解析】本题考查正弦定理 . 在三角形中【解析】本题考查正弦定理.由正弦定理， 需要考虑大边对大角，三个内角的和不能得 sin B＝ 2， 2 0 超过 180 .利用正弦定理求得∠B，根据大 ∵a>b，∴∠A>∠B. 边对大角，故∠B ＝30°，勾股定理求得 ∴∠B 只有一解．∴∠B＝45°. c. 【答案】45°.
人教（A）数学 · 必修5 对点助学PPT
【知识目标】
1、理解正弦定理和余弦定理公 式的推导过程；
正弦定理和余弦定理
【学习目标】
1、会根据正弦定理和余弦定理 解三角形（知三求一） ； 2、会利用正弦定理和余弦定理 进行边角的相互转化2 3， b＝6，
B＝60°或 120°.
a
sin A
＝
＝ ＝2R sin B sin C
b
c
(R 为△ABC 的外接圆半径)．
统一为“边”之间的关系式或“角” 【答案】由正弦定理 a ＝ b sin A sin B 之间的关系式． 3 1 1 可得 ＝ ，∴sin B＝ ， sin 60° sin B 2
【对点巩固】
故∠B＝30°或 150°.由 a>b，
根据勾股定理知△ABC 是直角三角形． 4、 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC＋ 3asinC－b－c ＝0. (1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b， c. 【解析】本题考查正弦定理.（1）利用正 弦定理边化角结合两角和差公式化简求 解； （2）利用三角形面积公式及余弦定理 求解. 【答案】 (1)由 acosC＋ 3asinC－b－c＝ 0 及正弦定理得
．
【解析】本题考查正弦定理 . 在三角形中【解析】本题考查正弦定理.由正弦定理， 需要考虑大边对大角，三个内角的和不能得 sin B＝ 2， 2 0 超过 180 .利用正弦定理求得∠B，根据大 ∵a>b，∴∠A>∠B. 边对大角，故∠B ＝30°，勾股定理求得 ∴∠B 只有一解．∴∠B＝45°. c. 【答案】45°.
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【知识目标】
1、理解正弦定理和余弦定理公 式的推导过程；
正弦定理和余弦定理
【学习目标】
1、会根据正弦定理和余弦定理 解三角形（知三求一） ； 2、会利用正弦定理和余弦定理 进行边角的相互转化2 3， b＝6，
B＝60°或 120°.
a
sin A
＝
＝ ＝2R sin B sin C
b
c
(R 为△ABC 的外接圆半径)．
统一为“边”之间的关系式或“角” 【答案】由正弦定理 a ＝ b sin A sin B 之间的关系式． 3 1 1 可得 ＝ ，∴sin B＝ ， sin 60° sin B 2
【对点巩固】
故∠B＝30°或 150°.由 a>b，
人教A版高中数学必修五课件1.1.1正弦定理
解析：(1)∵a＝7，b＝8，∴a＜b，A＜B. 又∵A＝105°＞90°，∴三角形无解．
(2)由正弦定理得：sin B＝bsian A＝20·s1in0 60°＝ 3＞1， ∴三角形无解．
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(3)由正弦定理得：
sin
B＝bsicn
C＝10·sin 60°＝ 56
22，
∴B＝45°或135°，又∵b＜c，
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题型3 判定三角形的形状
例3 在△ABC中，已知acos B＝bcos A，判断△ABC的 形状．
解析：由正弦定理可知：sina A＝sinb B＝2R， 所以a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，R为△ABC外接圆半 径． 依题意acos B＝bcos A， ∴2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A， 得sin Acos B－sin Bcos A＝0， 即sin (A－B)＝0，所以A－B＝0，即A＝B， 所以△ABC为等腰三角形．
∴△ABC为等腰直角三角形．
A为锐角
图 形
A为钝角或直角
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关系 式解 的个
数
①a＝bsin A ②a≥b
b sin A a b
一解
两解
a＜bsin A 无解
a＞b 一解
a≤b 无解
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跟踪 训练
2．已知在△ABC中，a＝ 3 ，b＝ 2 ，B＝45°，解这
个三角形．
解析：由正弦定理得sin3A＝sin 425°，sin A＝ 23，A＝60°或 120°.
答案：(1)大于
(2)解析：由3＋4＞x,4＋x＞3，x＋3＞4，可知1＜x＜7.
答案：1<x<7
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7．在△ABC中，已知A＝60°，sin B＝，则角B的大小为 ______．
高中数学人教版必修5课件：1.1.1正弦定理(系列三)
典型例题 例1 已知一三角形中a＝2 3 ，b＝6，A＝30°，判断三角形是
否有解，若有解，解该三角形．
解 a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°.
又因为bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，
所以本题有两解，由正弦定理得，
sinB＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
23，故B＝60°或120°.
跟踪训练1 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、
c，已知A＝60°，a＝ 3，b＝1，则c等于
(B )
A．1 B．2 C. 3－1 D. 3
解析 由正弦定理sina A＝sinb B，可得sin 630°＝sin1 B，
∴sinB＝12，故∠B＝30°或150°.由a>b，
得∠A>∠B，∴∠B＝30°，故∠C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
例2 在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC 的面积．
解 如图，由正弦定理，
得sin
1720°＝sin5
， C
∴sinC＝5143，且∠C为锐角(∠A＝120°)．∴cosC＝1114. ∴sinB＝sin(180°－120°－∠C)＝sin(60°－∠C) ＝ 23cosC－12sinC＝ 23×1114－12×5143＝3143.
证明 作AD⊥BC，垂足为D， 则AD＝AB·sinB，又AD＝AC·sinC，
∴csinB＝bsinC.
∴S△ABC＝12BC·AD ＝12acsinB＝12absinC. 同理S△ABC＝12absinC＝12bcsinA.
∴S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.
人教A版必修5_第一章_解三角形__课件1.2_解三角形应用举例(1)
BC DC = sin ∠BDC sin ∠DBC
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理 第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 求得AB的长。
形成结论
在测量上， 在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线 如例1中的AC 基线, AC， 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 中的CD.基线的选取不唯一， CD.基线的选取不唯一 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长 基线越长， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。
测量问题： 测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 可求得AB的长。
计算出AC和 后 再在⊿ 计算出 和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 中 算出AB两点间的距离 算出 两点间的距离
A = A 2 + B 2 −2A ×B cosα B C C C C
例题2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 例题2:要测量河对岸两地A 之间的距离， 2:要测量河对岸两地 米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 四点在同一平面上， 两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理 第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 求得AB的长。
形成结论
在测量上， 在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线 如例1中的AC 基线, AC， 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 中的CD.基线的选取不唯一， CD.基线的选取不唯一 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长 基线越长， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。
测量问题： 测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 可求得AB的长。
计算出AC和 后 再在⊿ 计算出 和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 中 算出AB两点间的距离 算出 两点间的距离
A = A 2 + B 2 −2A ×B cosα B C C C C
例题2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 例题2:要测量河对岸两地A 之间的距离， 2:要测量河对岸两地 米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 四点在同一平面上， 两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°
人教版高中数学必修5(A版) 1.1.1正弦定理 PPT课件
此时有
sin B
AD c
, sin C
AD b
B
所以AD=csinB=bsinC, 即
b c, sin B sinC
c
b
图1a D C
注：要求学生独立证明
a c sin A sin C
同理可得
a c, sin A sinC
即： a b c sin A sin B sinC
3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,
析：知两角一边，利用定理解三角形.
解：根据三角形内角和定理，
C 180 0 (A B) 180 0 (32.00 81.80 ) 66.2 0
B
根据正弦定理，
c a
b
a sin B sin A
42.9 sin 81.80 sin 32.00
80.1(cm)
A
b
C
c
a sin C sin A
思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？
拓展 1. a b c 2R sin A sin B sin C
（R为△ABC外接圆半径）
B
c A
a
C b
证明：作外接圆O,
过B作直径BC′,连AC ′
c
BAC 90,C C '
A
sinC sinC' c 2R
c 2R sin C
B
a
O
C
剖析定理、加深理解
正弦定理：a b c 2R sin A sin B sinC
5、正弦定理的变形形式
6、正弦定理，可以用来判断三角形的 形状，其主要功能是实现三角形边角关 系的转化
定理的应用
例 1：在△ABC 中，已知A = 32.0。, C = 81.8。，a=42.9cm,解三角形 (精确到0.01）
高中数学人教A版必修5课件：1.1.1 正弦定理
题型四
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
解:在△ABC 中,C=180° -(A+B)=180° -(60° +45° )=75° . sin 75° =sin(45° +30° ) =sin 45° cos 30° +cos 45° sin 30° = 根据正弦定理,得 a= sin������ = sin75° = b=
IANLI TOUXI
【变式训练1】 在△ABC中,b=20,A=60°,C=45°,求B,a,c.
解:B=180° -A-C=75° .由正弦定理,得 a= sin������ = sin75° = sin(45°+30°) = =30 2 − 10 6,
������sin������ 20sin45° c= = sin������ sin75° 10 2 = sin(45°+30°) = 20 ������sin������ 20sin60° 10 3 10 3
=
反思 当已知三角形的两角和一边时,解三角形的步骤如下:(1)利 用三角形内角和定理求出第三个角;(2)用正弦定理求出另外两边.
-12-
1.1.1 正弦定理
题型一 题型二 题型三
M 目标导航
题型四
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
解:在△ABC 中,C=180° -(A+B)=180° -(60° +45° )=75° . sin 75° =sin(45° +30° ) =sin 45° cos 30° +cos 45° sin 30° = 根据正弦定理,得 a= sin������ = sin75° = b=
IANLI TOUXI
【变式训练1】 在△ABC中,b=20,A=60°,C=45°,求B,a,c.
解:B=180° -A-C=75° .由正弦定理,得 a= sin������ = sin75° = sin(45°+30°) = =30 2 − 10 6,
������sin������ 20sin45° c= = sin������ sin75° 10 2 = sin(45°+30°) = 20 ������sin������ 20sin60° 10 3 10 3
=
反思 当已知三角形的两角和一边时,解三角形的步骤如下:(1)利 用三角形内角和定理求出第三个角;(2)用正弦定理求出另外两边.
-12-
1.1.1 正弦定理
题型一 题型二 题型三
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高中数学必修五全册课件PPT(全册)人教版
答：此船可以继续一直沿正北方向航行
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
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B
1000
A
20?
65? E
D C
解：过点D作DE//AC交BC于E,
? ? DAC ? 20 ?,? ? ADE ? 160 ?
1000
于是，? ADB ? 360 ?? 160 ?? 65?? 135 ? 20? A
又? BAD ? 35?? 20?? 15 ?? ? ABD ? 30?
解：由正弦定理
a
b
sinA ? sinB
C
26
30
得 sinB ?
bsinA
?
26sin30 ? 13 ?
a
30
30
A 30 0
B
三角形中大边对大角
∵a > b ∴ A > B ,
所以Ｂ＝25.70, C=1800-A-B=124.30,
c?
inC sinA
?
49.57
RTX讨论五：
为什么在 “已知两边及 其中一边对角”解三角形问 题中有一解、两解和无解三 种情况？
C
∴
SΔABC
?
1 2
acsinB
?
1 2
ab sinC
同理
SΔABC ?
1 bcsinA 2
∴
SΔABC ?
1 absinC 2
?
1 bcsinA 2
?
1 acsinB 2
RTX讨论七：
正弦定理有哪些方面的应 用？
数学应用：
例3.某登山队在山脚 下A处测得山顶B的仰 角为 35?,沿倾斜角为20 0的斜坡前进1000m 后到达D处, 又测得山顶的仰角为6 5?,求山的高度BC(精确 到 1m)
过点A作AD⊥BC于D,
B
此时有
sin B ?
AD c
, sin
C
?
AD b
b
c
所以AD=csinB=bsinC, 即
?
,
sin B sin C
c
b
图1 D
C
同理可得 a ? c ,
sin A sin C
即： a ? b ? c sin A sin B sin C
(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
即 b ? c ,同理得 a ? c ,所以 a ? b ? c .
sinB sinC
sinA sinC sinA sinB sinC
C
RTX讨论三：
以上证明方法体现了一种 什么样的数学思维规律？
答 体现了由特殊到一般的 数学思维规律。
集体探究学习活动二：
1.利用正弦定理可以解决哪两类解 斜三角形的问题？ 2.在“已知两边及其中一边对角” 解三角形问题中解的情况有几种？
sin A sinB sinC C a B
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗? C
b
A c
a B
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
a
b
c
即
?
?
sin A sin B sin C
RTX讨论二：
正弦定理有哪些推导方法？
证法1
(1) 若直角三角形,已证得结论成立.
A
(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,
高中数学 必修5
导入：
1.上网活动： “美丽的山河”图片搜索，感受 到自然界的美。
2.教师导语：自然界神奇美丽，要揭开其神秘 的面纱，需要借助于很多数学知识。
设点B在珠江岸边，点A在对岸那边，为了测量A、B两 点间的距离，你有何好办法呢？（给定你米尺和量器）
A C
B
设问 若将点C移到如下图所示的位置，你还能求出 A、B两点间的距离吗？
1.已知三角形的两角及任一边； 2.已知三角形的两边及其一边所对的角。
集体探究学习活动三：
正弦定理有哪些方面的应用？
数学应用：
例1.在ΔABC中, A ? 30?,C ? 100?, a ? 10,
求b, c(精确到0.01)
解 :Q A ? 30 0, C ? 100 0, ? B ? 50 0
A
30?
Q
a sinA
?
b sinB
?
c, sinC
B
?
b?
asinB sinA
10sin50 0 ? sin30 0
? 15.32
c
100? b
10 C
c
?
asinC sinA
?
10sin100 0 sin30 0
? 19.70
因此b, c的长分别为15.3 2和19.70
例 2 已知a=16， b= 16 3， A=30° 解三角形。
RTX讨论四：
什么叫解三角形？利用正 弦定理可以解决哪两类三角 形的问题？
数学建构
已知三角形的的某些边和角，求其他边和角的过程叫做
解三角形。
提醒：三角形是由3条边和3个角组成的，那么我们在运用 “正弦定理”解三角形时，只需知道其中几个量，就可 求出余下的几个量？有没有前提条件？
结论 正弦定理的运用条件 ：
解：由正弦定理
a
b
sinA ? sinB
得 sinB ?
bsinA
16 ?
3sin30 ? ?
3
a
16
2
C
16 3 16
16
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B
当Ｂ＝60°时 C=90° c ? 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
c
?
asinC sinA
? 16 .
变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c
此时也有
sin B ?
AD c
且 sin（?
? C）?
AD b
?
sinC
仿(2)可得 a ? b ? c
sin A sin B sin C
B 由(1)(2)(3)知，结论成立．
A c
b
图2 C D
利用向量的数量积，产生边的长 与内角的三角函数的关系来证明.
A
c
b
B
a DC
证法 2 在? ABC中,有BC ? BA ? AC.不妨设? C
为最大角,过点A作AD ? BC于D,如图,于是
A
? ? BC ?AD ? BA ? AC ?AD ? BA?AD ? AC ?AD,
α
? ? 即0 ?| BA || AD | cos 900 ? B ? | AC || AD | cos? ,
c
B
b aD
? C为钝角时,? ? C ? 900.故可得 c sin B ? b sin C ? 0,
A
C B
集体探究学习活动一：
正弦定理是什么？有哪些证明方法？
RTX讨论一：
直角三角形中边角关系有 哪些？你能总结出一个式子 吗？这个式子对所有三角形 都适用吗？
数学建构
在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:
sin A ? a c
sin
C
?
1
?
c c
sin B ? b c
不难得到:
A
c b
abc ??
课堂练习
课本第 9页练习第 2、3题
RTX讨论六：
已知两边及夹角，怎样求 三角形面积？
数学建构 三角形面积公式：
A
SΔABC ?
1 2
absinC
?
1 bcsinA 2
?
1 acsinB 2
c ha
b
证明：∵ SΔ ABC ?
1 2
ah
a
而 ha ? AD ? c ?sinB? bsinC
B
Da
1000
A
20?
65? E
D C
解：过点D作DE//AC交BC于E,
? ? DAC ? 20 ?,? ? ADE ? 160 ?
1000
于是，? ADB ? 360 ?? 160 ?? 65?? 135 ? 20? A
又? BAD ? 35?? 20?? 15 ?? ? ABD ? 30?
解：由正弦定理
a
b
sinA ? sinB
C
26
30
得 sinB ?
bsinA
?
26sin30 ? 13 ?
a
30
30
A 30 0
B
三角形中大边对大角
∵a > b ∴ A > B ,
所以Ｂ＝25.70, C=1800-A-B=124.30,
c?
inC sinA
?
49.57
RTX讨论五：
为什么在 “已知两边及 其中一边对角”解三角形问 题中有一解、两解和无解三 种情况？
C
∴
SΔABC
?
1 2
acsinB
?
1 2
ab sinC
同理
SΔABC ?
1 bcsinA 2
∴
SΔABC ?
1 absinC 2
?
1 bcsinA 2
?
1 acsinB 2
RTX讨论七：
正弦定理有哪些方面的应 用？
数学应用：
例3.某登山队在山脚 下A处测得山顶B的仰 角为 35?,沿倾斜角为20 0的斜坡前进1000m 后到达D处, 又测得山顶的仰角为6 5?,求山的高度BC(精确 到 1m)
过点A作AD⊥BC于D,
B
此时有
sin B ?
AD c
, sin
C
?
AD b
b
c
所以AD=csinB=bsinC, 即
?
,
sin B sin C
c
b
图1 D
C
同理可得 a ? c ,
sin A sin C
即： a ? b ? c sin A sin B sin C
(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
即 b ? c ,同理得 a ? c ,所以 a ? b ? c .
sinB sinC
sinA sinC sinA sinB sinC
C
RTX讨论三：
以上证明方法体现了一种 什么样的数学思维规律？
答 体现了由特殊到一般的 数学思维规律。
集体探究学习活动二：
1.利用正弦定理可以解决哪两类解 斜三角形的问题？ 2.在“已知两边及其中一边对角” 解三角形问题中解的情况有几种？
sin A sinB sinC C a B
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗? C
b
A c
a B
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
a
b
c
即
?
?
sin A sin B sin C
RTX讨论二：
正弦定理有哪些推导方法？
证法1
(1) 若直角三角形,已证得结论成立.
A
(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,
高中数学 必修5
导入：
1.上网活动： “美丽的山河”图片搜索，感受 到自然界的美。
2.教师导语：自然界神奇美丽，要揭开其神秘 的面纱，需要借助于很多数学知识。
设点B在珠江岸边，点A在对岸那边，为了测量A、B两 点间的距离，你有何好办法呢？（给定你米尺和量器）
A C
B
设问 若将点C移到如下图所示的位置，你还能求出 A、B两点间的距离吗？
1.已知三角形的两角及任一边； 2.已知三角形的两边及其一边所对的角。
集体探究学习活动三：
正弦定理有哪些方面的应用？
数学应用：
例1.在ΔABC中, A ? 30?,C ? 100?, a ? 10,
求b, c(精确到0.01)
解 :Q A ? 30 0, C ? 100 0, ? B ? 50 0
A
30?
Q
a sinA
?
b sinB
?
c, sinC
B
?
b?
asinB sinA
10sin50 0 ? sin30 0
? 15.32
c
100? b
10 C
c
?
asinC sinA
?
10sin100 0 sin30 0
? 19.70
因此b, c的长分别为15.3 2和19.70
例 2 已知a=16， b= 16 3， A=30° 解三角形。
RTX讨论四：
什么叫解三角形？利用正 弦定理可以解决哪两类三角 形的问题？
数学建构
已知三角形的的某些边和角，求其他边和角的过程叫做
解三角形。
提醒：三角形是由3条边和3个角组成的，那么我们在运用 “正弦定理”解三角形时，只需知道其中几个量，就可 求出余下的几个量？有没有前提条件？
结论 正弦定理的运用条件 ：
解：由正弦定理
a
b
sinA ? sinB
得 sinB ?
bsinA
16 ?
3sin30 ? ?
3
a
16
2
C
16 3 16
16
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B
当Ｂ＝60°时 C=90° c ? 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
c
?
asinC sinA
? 16 .
变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c
此时也有
sin B ?
AD c
且 sin（?
? C）?
AD b
?
sinC
仿(2)可得 a ? b ? c
sin A sin B sin C
B 由(1)(2)(3)知，结论成立．
A c
b
图2 C D
利用向量的数量积，产生边的长 与内角的三角函数的关系来证明.
A
c
b
B
a DC
证法 2 在? ABC中,有BC ? BA ? AC.不妨设? C
为最大角,过点A作AD ? BC于D,如图,于是
A
? ? BC ?AD ? BA ? AC ?AD ? BA?AD ? AC ?AD,
α
? ? 即0 ?| BA || AD | cos 900 ? B ? | AC || AD | cos? ,
c
B
b aD
? C为钝角时,? ? C ? 900.故可得 c sin B ? b sin C ? 0,
A
C B
集体探究学习活动一：
正弦定理是什么？有哪些证明方法？
RTX讨论一：
直角三角形中边角关系有 哪些？你能总结出一个式子 吗？这个式子对所有三角形 都适用吗？
数学建构
在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:
sin A ? a c
sin
C
?
1
?
c c
sin B ? b c
不难得到:
A
c b
abc ??
课堂练习
课本第 9页练习第 2、3题
RTX讨论六：
已知两边及夹角，怎样求 三角形面积？
数学建构 三角形面积公式：
A
SΔABC ?
1 2
absinC
?
1 bcsinA 2
?
1 acsinB 2
c ha
b
证明：∵ SΔ ABC ?
1 2
ah
a
而 ha ? AD ? c ?sinB? bsinC
B
Da