安徽高考数学理科试卷及答案(精美绝对值得)
安徽高考数学(理)卷文档版(有答案)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1． 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2． 答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3． 答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，．在答题卷、草．．．．．．稿纸上答题无效．．．．．．．。
4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A+B ）= P （A ）+ P （B ） P （A·B ）= P （A ）·P （B ） 第I 卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数。
若,1i z +=则zi z i+⋅=（ ） A ．2- B ．2i - C ．2 D ．2i 2．“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A ．34B ．55C ．78D ．89 4．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x ，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．14B ．142C ．2D ．225．y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A ．121-或 B ．212或C ．2或1D ．12-或 6．设函数))((R x x f ∈满足()()sin f x f x x π+=+，当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A ．12B ．23C ．0D ．21-7．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A．21 B．18 C ．21 D ．188．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ） A ．24对 B ．30对 C ．48对 D ．60对 9．若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A ．5或8B ．1-或5C ．1-或4-D ．4-或810．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满2()OQ a b =+。
2023年安徽省高考理科数学试题及参考答案
2023年安徽省高考理科数学真题及参考答案一、选择题1.设5212ii iz +++=，则=z （）A .i 21-B .i21+C .i -2D .i+22.设集合R U =，集合{}1<=x x M ，{}21<<-=x x N ，则{}=≥2x x （）A .()N M C U ⋃B .MC N U ⋃C .()N M C U ⋂D .NC M U ⋃3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A .24B .26C .28D .304.已知()1-=ax xe xe xf 是偶函数，则=a （）A .2-B .1-C .1D .25.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}41,22≤+≤y x y x 内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于4π的概率为（）A .81B .61C .41D .216.已知函数()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭⎫⎝⎛326ππ，单调递增，直线6π=x 和32π=x 为函数()x f y =的图象的两条对称轴，则=⎪⎭⎫⎝⎛-125πf （）A .23-B .21-C .21D .237.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A .30种B .60种C .120种D .240种8.已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PB P A ，为圆锥的母线，︒=∠120AOB ，若P AB ∆的面积等于439，则该圆锥的体积为（）A .πB .π6C .π3D .π639.已知ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD ∆为等边三角形，若二面角D AB C --为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（）A .51B .52C .53D .5210.已知等差数列{}n a 的公差为32π，集合{}*∈=N n a S n cos ，若{}b a S ,=，则=ab （）A .1-B .21-C .0D .2111.已知B A ,是双曲线1922=-y x 上两点，则可以作为B A ,中点的是（）A .()1,1B .()2,1-C .()3,1D .()4,1-12.已知圆122=+y x O ：，2=OP ，过点P 作直线1l 与圆O 相切于点A ，作直线2l 交圆O 于C B ,两点，BC 中点为D ，则PD P A ⋅的最大值为（）A .221+B .2221+C .21+D .22+二、填空题13.已知点()51，A 在抛物线px y C 22=：上，则A 到C 的准线的距离为.14.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-739213y x y x y x ，则y x z -=2的最大值为.15.已知{}n a 为等比数列，63542a a a a a =，8109-=a a ，则=7a .16.已知()()xxa a x f ++=1，()1,0∈a ，若()x f 在()∞+，0为增函数，则实数a 的取值范围为.三、解答题（一）必做题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i i y x ,()10,2,1 =i ，试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记i i i y x z -=()10,2,1 =i ，记1021,z z z 的样本平均数为z ，样本方差为2s ，（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果1022s z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.在ABC ∆中，︒=∠120BAC ，2=AB ，1=AC .（1）求ABC ∠sin ；（2）若D 为BC 上一点，且︒=∠90BAD ，求ADC ∆的面积.19.如图，在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥，2=AB ，22=BC ，6==PC PB ，BC AP BP ,,的中点分别为O E D ,,，DO AD 5=，点F 在AC 上，AO BF ⊥.（1）证明：EF ∥平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ；（3）求二面角C AO D --的正弦值.20.已知椭圆C ：()012222>>=+b a bx a y 的离心率为35，点()02，-A 在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()3,2-的直线交曲线C 于Q P ,两点，直线AQ AP ,交y 轴于N M ,两点，求证：线段MN 中点为定点.21.已知函数()()1ln 1+⎪⎭⎫⎝⎛+=x a x x f .（1）当1-=a 时，求曲线()x f 在()()1,1f 的切线方程；（2）是否存在实数b a ,使得曲线⎪⎭⎫⎝⎛=x f y 1关于直线b x =对称，若存在，求出b a ,的值；如果不存在，请说明理由；（3）若()x f 在()∞+，0存在极值，求a 的取值范围.（二）选做题【选修4-4】22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=24sin 2πθπθρ，曲线2C ：⎩⎨⎧==ααsin 2cos 2y x （α为参数，παπ<<2）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线m x y +=既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【选修4-5】23.已知()22-+=x x x f .（1）求不等式()x x f -≤6的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()⎩⎨⎧≤-+≤06y x yx f 所确定的平面区域的面积.参考答案一、选择题123456789101112BADDCDCBCBDA1.解：()i i ii i i i i i i z 21112211212252-=--=+=+-+=+++=，则i z 21+=2.解：由题意可得{}2<=⋃x x N M ，则()=⋃N M C U {}2≥x x .3.解：如图所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ，31=AA ，点K J I H ,,,为所在棱上靠近点1111,,,A D C B 的三等分点，N M L O ,,,为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111D C B A ABCD -去掉长方体11LMHB ONIC -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方体.4.解：∵()1-=ax xe xe xf 是偶函数，则()()=--x f x f ()()[]01111=--=-------axx a x ax x axx e e e x e e x e xe ，又∵x 不恒为0，可得()01=--xa xee ，则()x a x 1-=，∴2=a .5.解：∵区域(){}41,22≤+≤y x y x 表示以()00，O 为圆心，外圆半径2=R ，内圆半径1=r 的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于4π的部分如阴影所示，在第一象限对应的圆心角4π=∠MON ，结合对称性可得所求概率为41242=⨯=ππp .6.解：∵()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭⎫⎝⎛326ππ，单调递增，∴26322πππ=-=T ，且0>ω，则π=T ，22==Tπω.当6π=x 时，()x f 取得最小值，则Z k k ∈-=+⋅,2262ππϕπ，则Z k k ∈-=,652ππϕ，不妨取0=k 则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=652sin πx x f ，则2335sin 125=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf .7.解：有1本相同的读物，共有16C 种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有25A 种，根据分布乘法公式则共有⋅16C 12025=A 种.8.解：在AOB ∆中，︒=∠120AOB ，而3==OB OA ，取AC 中点C ，连接PC OC ,，有AB OC ⊥，AB PC ⊥，如图，︒=∠30ABO ，23=OC ，32==BC AB ，由P AB ∆的面积为439得439321=⨯⨯PC ，解得233=PC ，于是6232332222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=OC PC PO ，∴圆锥的体积()πππ663313122=⨯⨯=⨯⨯=PO OA V .9.解：取AB 的中点E ，连接DE CE ,，∵ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，则有AB CE ⊥，又ABD ∆为等边三角形，则AB DE ⊥，从而CED ∠为二面角DAB C --的平面角，即︒=∠150CED ，显然E DE CE =⋂，⊂DE CE ,平面CDE ，又⊂AB 平面ABC ，因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ∩平面CE ABC =，直线⊂CD 平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而DCE ∠为直线CD 与平面ABC 所成的角，令2=AB ，则1=CE ，3=DE，在CDE ∆中，由余弦定理得：72331231cos 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=∠⋅-+=CED DE CE DE CE CD ，由正弦定理得CEDCDDCE DE ∠=∠sin sin ，即7237150sin 3sin =︒=∠DCE ，显然DCE ∠是锐角，7257231sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∠-=∠DCE DCE ，∴直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为53.10.解：依题意，等差数列{}n a 中，()⎪⎭⎫⎝⎛-+=⋅-+=323232111πππa n n a a n ，显然函数==n a y cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3232cos 1ππa n 的周期为3，而*∈N n ，即n a cos 最多有3个不同取值，又{}{}b a Nn a n ,cos =∈*，而在321cos ,cos ,cos a a a 中，321cos cos cos a a a ≠=或321cos cos cos a a a =≠，于是有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos cos πθθ，即有Z k k ∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛++,232ππθθ，解得Z k k ∈-=,3ππθ213cos cos cos 3cos 343cos 3cos 2-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππππππk k k k k ab 11.解：由对称性只需考虑()1,1，()2,1，()3,1，()4,1即可，注意到()3,1在渐近线上，()1,1，()2,1在渐近线一侧，()4,1在渐近线的另一侧.下证明()4,1点可以作为AB 的中点.设直线AB 的斜率为k ，显然k 存在.设()41+-=x k y l AB ：，直线与双曲线联立()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=194122y x x k y ，整理得()()()094429222=------k x k k xk ，只需满足⎩⎨⎧>∆=+0221x x ，∴()29422=--k k k ，解得49=k ，此时满足0>∆.12.解：如图所示，1=OA ，2=OP ，则由题意可知：︒=∠45APO ，由勾股定理可得122=-=OA OP P A ，当点D A ,位于直线PO 异侧时，设40παα≤≤=∠，OPC ，则：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅4cos cos 214cos πααπαPD P A αααααααα2sin 2122cos 1cos sin cos sin 22cos 22cos 22-+=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=42sin 2221πα∵40πα≤≤，则4424ππαπ≤-≤-，∴当442ππα-=-时，PD P A ⋅有最大值1.当点D A ,位于直线PO 同侧时，设40παα≤≤=∠，OPC ，则：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅4cos cos 214cos πααπαPD P A αααααααα2sin 2122cos 1cos sin cos sin 22cos 22cos 22++=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++=42sin 2221πα∵40πα≤≤，则2424ππαπ≤+≤，∴当242ππα=+时，PD P A ⋅有最大值为221+.二、填空题13.49；14.8；15.2-；16.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21513.解：由题意可得：()1252⨯=p ，则52=p ，∴抛物线的方程为x y 52=，准线方程为45-=x ，点A 到C 的准线的距离为49451=⎪⎭⎫ ⎝⎛--.14.作出可行域如下图所示，∵y x z -=2，∴z x y -=2，联立有⎩⎨⎧=+-=-9213y x y x ，解得⎩⎨⎧==25y x 设()2,5A ，显然平移直线x y 2=使其经过点A 此时截距z -最小，则z 最大，代入得8=z .15.解：设{}n a 的公比为()0≠q q ，则q a q a a a a a a 5263542⋅==，显然0≠n a ，则24q a =，即231q q a =，则11=q a ，∵8109-=a a ，则89181-=⋅q a q a ，则()()3351528-=-==q q，则23-=q ，则25517-==⋅=q q q a a .16.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,215解析：()()()a a a a x f xx+++='1ln 1ln ，由()x f 在()∞+，0为增函数可知()∞+∈，0x 时，()0≥'x f 恒成立，只需()0min ≥'x f ，而()()()01ln 1ln 22>+++=''a a a a x f xx，∴()()()01ln ln 0≥++='>'a a f x f ，又∵()1,0∈a ，∴⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,215a .三、解答题（一）必做题17.解：（1）∵i i i y x z -=()10,2,1 =i ，∴9536545111=-=-=y x z ；62=z ；83=z ；84-=z ；155=z ；116=z ；197=z ；188=z ；209=z ；1210=z .()()[]1112201819111588691011011021=++++++-+++⨯=++=z z z z ∵()∑=-=1012101i i z z s ，将各对应值代入计算可得612=s （2）由（1）知：11=z ，612=s，∴5122106121061210222=⨯==s ，121112==z ，∴1022s z ≥∴甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高18.解：（1）根据题意，由余弦定理可得：72112212cos 222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯-+=∠⋅-+=BAC AC AB AC AB BC ∴7=BC 由正弦定理ABC AC A BC ∠=∠sin sin ，即ABC∠=sin 1237，解得1421sin =∠ABC .（2）由三角形面积公式可得430sin 2190sin 21=︒⨯⨯⨯︒⨯⨯⨯=∆∆AD AC AD AB S S ACDABD ，则103120sin 12215151=⎪⎭⎫⎝⎛︒⨯⨯⨯⨯==∆∆ABC ACD S S .19.解：（1）连接OF OE ,，设tAC AF =，则()BC t BA t AF BA BF +-=+=1，BC BA AO 21+-=，AO BF ⊥，则()[]()()0414********=+-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅+-=⋅t t BC t BA t BC BA BC t BA t AO BF 解得21=t ，则F 为AC 的中点，由F O E D ,,,分别为AC BC P A PB ,,,的中点，于是AB OF AB DE AB DE 2121∥，，∥=，即OF DE OF DE =，∥，则四边形ODEF 为平行四边形，DO EF DO EF =，∥，又⊄EF 平面ADO ，⊂DO 平面ADO ，∴EF ∥平面ADO .（2）由（1）可知EF ∥OD ，则266==DO AO ，，得2305==DO AD ，因此215222==+AD AO OD ，则AO OD ⊥，有AO EF ⊥，又BF AO ⊥，F EF BF =⋂，⊂EF BF ,平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，又⊂AO 平面ADO ，∴平面ADO ⊥平面BEF .（3）过点O 作BF OH ∥交AC 于点H ，设G BE AD =⋂，由BF AO ⊥得AO HO ⊥，且AH FH 31=，又由（2）知，AO OD ⊥，则DOH ∠为二面角C AO D --平面角，∵E D ,分别为P A PB ,的中点，因此G 为P AB ∆的重心，即有,31,31BE GE AD DG ==又AH FH 31=，即有GF DH 23=，622642622215234cos 2⨯⨯-+=⨯⨯-+=∠P A ABD ，解得14=P A ，同理得26=BE ，于是3222==+BF EF BE ，即有EF BE ⊥，则35262631222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=GF ，从而315=GF ，21531523=⨯=DH ，在DOH ∆中，215,262321====DH OD BF OH ，于是22221sin ,22232624154346cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∠-=⨯⨯-+=∠DOH DOH .∴二面角C AO D --的正弦值为22.20.解：（1）由题意可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==352222a c e c b a b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ，∴椭圆的方程为14922=+x y。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)参考答案
普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分55分。
1．D 2．A 3．B 4．B 5．C 6．C 7．A 8．C 9．D 10．B 11．D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
12．713．c b a 414121++14．3115．①③④⑤三、解答题16．（本小题满分12分）本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力.本小题满分12分。
解：因为β为)8π2cos()(+=x x f 的最小正周期，故π=β 因a ·b=m ，又a ·b ＝2)41tan(cos -+βa a ， 故.2)41tan(cos +=+m a a β 由于4πa ，所以 ααααααβαsin cos π)22sin(cos 2sin cos )(2sin cos 222-++=+++a=αααααααααsin cos )sin (cos cos 2sin cos 2sin cos 22-+=-+=1tan π2cos 2cos tan()2(2)1tan 4m ααααα+=+=+-17．（本小题满分14分）本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力.本小题满分14分。
解法1（向量法）：以D 为原点，以DA,DC,1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系xyz D -如图，则有A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），).2,0,0(),2,1,0(),2,1,1(),2,0,1(1111D C B A（Ⅰ）证明：),0,2,2(),0,1,1(11-=-=C A),0,2,2(),0,1,1(11==B D .2,21111B D C A ==∴平行，与平行，1111B D C A ∴ 于是11C A 与AC 共面，11D B 与BD 共面.（Ⅱ）证明：，）＝，，（），，00222001-••DD，）＝，，（），，0022022-••.1AC DB AC DD ⊥⊥∴，，是平面与111BDD B DB DD 内的两条相交直线， .11BDD B AC 平面⊥∴又平面，过AC ACC A 11.1111BDD B ACC A 平面平面⊥∴（Ⅲ）解：.210211201111），，），，，），，，----CC BB 设的法向量，为平面11111),,(ABB A z y x n =,02,021111111==--=•=+-=•z y x BB n z x n于是).1,0,2(,2,1,0111====n z z y 则取 设的法向量，为平面11222),,(BCC B z y x m =.02,022212221=+-=•=+--=•z y CC m z y x BB m于是).1,2,0(,2,1,0222====m y z x 则取1cos ,5m n m n m n •== 11πarccos 5A BBC ∴---二面角的大小为解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：，平面平面ABCD D D D C B A D D ⊥⊥111111,111111,D C B A DC D D DA D D 平面，⊥⊥∴∥平面ABCD.于是11D C ∥CD ，11A D ∥DA.设E ，F 分别为DA ，DC 的中点，连结EF ，,,11F C E A 有E A 1∥F C D D 11,∥.1,1,1==DF DE D D ∴E A 1∥,1F C 于是11C A ∥.EF由DE=DF=1,得EF ∥AC ， 故11C A ∥,AC11C A 与AC 共面.过点，，连结，则于点平面作OF OE F C O B E A O B O ABCD O B B . // , // 111111⊥于是. // // 1111OF OE C B OF A B OE =∴，， .,1111AD OE D A A B ⊥∴⊥ .,1111CD OF D C C B ⊥∴⊥所以点O 在BD 上，故.11共面与DB B D（Ⅱ）证明：,11AC D D ABCD D D ⊥∴⊥，平面 又BD ⊥AC （正方形的对角线互相垂直），111BDD B BD D D 是平面与内的两条相交直线， .11BDD B AC 平面⊥∴又平面,111111BDD B ACC A AC ACC A 平面平面，过⊥∴ （Ⅲ）解：∵直线DB 是直线,1DB AC ABCD B B ⊥上的射影，在平面 根据三垂线定理，有AC ⊥.1B B过点A 在平面,,111MO MC M B B AM A ABB ，连结于内作⊥ 则，平面AMC B B ⊥1于是，，MO B B MC B B ⊥⊥11所以，∠AMC 是二面角.1的一个平面角C B B A -- 根据勾股定理，有.6,5,5111===B B C C A A有,1B B OM ⊥,310,310,32,3211====•CM AM BM B B OB O B OM ＝,512cos 222-=•-+=∠CM AM AC CM AM AMC,51arccos π-=∠AMC二面角11πarccos 5A BBC ---的大小为18．（本小题满分14分）本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力，本小题满分14分.（Ⅰ）解：根据求导法则得.0,2In 21)( x xax x x f +-=' 故,0,2In 2)()( x a x x x xf x F +-='=于是.0,221)( x xx x x F -=-='故知F （x ）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，所以，在x ＝2处取得极小值F （2）＝2-2In2+2a.（Ⅱ）证明：由.022In 2)2()(0 a F x F a +-=≥的极小值知，于是由上表知，对一切.0)()(),,0( x xf x F x '=+∞∈恒有从而当.,0)(,0)(0）内单调增加在（故时，恒有+∞'x f x f x所以当.0In 2In 1,0)1()(12x a x x f x f x +--=即时，故当.1In 2In 12+-x a x x x 时，恒有19．（本小题满分12分）本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.本小题满分12分. 解：（Ⅰ）由题意知，A （a a 2,） 因为22,2OA t a a t =+=所以由于)1.(2,02a a t t +=故有由点B （0，t ）C （c,0）的坐标知，直线BC 的方程为.1=+tyc x 又因点A 在直线BC 上，故有,12=+tac a 将（1）代入上式，得,1)2(2=++a a a c a 解得.)2(22+++=a a c（Ⅱ）因为的斜率为所以直线CD a a D ),)2(2,2(++,1)2(2)2(2))2(22(2)2(22)2(2-=++=+++-++=-++=a a a a a a c a a k CD所以直线CD 的斜率为定值.20．（本小题满分13分）本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分13分. 解：（1）ξ的分布列为（Ⅱ）数学期望为E ξ＝.2)435261(282=⨯+⨯+⨯ （Ⅲ）所求的概率.28152812345)2()(=++++=≥=≥ξξξP E P21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）我们有).2()1(1≥++=-n a r T T n n n（Ⅱ）得反复使用上述关系式，对2,11≥=n a T=++++=++=---n a n n n n a r a r T a r T T )1()1()1(1221＝.)1()1()1(12211n n a a a r a r a r a +++++++---①在①式两端同乘1+r ，得).1()1()1()1()1(21121r a r a r a r a T r n n n a n ++++++++=+--②②-①，得[]n n n n n a r r r d r a rT -++++++++=--)1()1()1()1(211＝[],)1(1)1(1n n n a r a r r rd-++--+ 即1122(1)nn a r d a r d d T r n r r r ++=+--如果记,,)1(2121n r d r d r a B r r d r a A nnn -+-=++=则,n n n B A T +=其中{}{}是以为公比的等比数列为首项，以是以n n B r r r rdr a A ;)0(1)1(21 +++ 12a r d d dr r r+---为首项，为公差的等差数列。
2021年安徽高考理科数学试题(含答案)
2021年安徽高考理科数学（参考答案）1-5 CCABD6-10 CBBAD11-12 CB13.414.15.216.②⑤或③④17.解：（1）各项所求值如下所示=(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0=(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10. 3=x [(9.7-10.0)2+ 2 x (9.8-10.0)2+ (9.9-10.0)2+ 2 X (10.0-10.0)2 + (10.1-10.0)2+2 x (10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2] = 0.36,= x [(10.0-10.3)2+3 x (10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2 x (10.4-10.3)2+2 x (10.5-10.3)2+ (10.6-10.3)2] = 0.4.(2)由(1)中数据得-=0.3,2≈0.34显然-＜2，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。
18.解：（1）因为PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以,,分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。
设BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（，1，0），P(0,0,1),所以=（t，1，-1），=（，1，0），因为PB⊥AM，所以•=-+1=0，所以t=，所以BC=。
（2）设平面APM的一个法向量为m=（x，y，z），由于=（-，0，1），则令x=，得m=（，1，2）。
设平面PMB的一个法向量为n=（x t，y t，z t），则令=1，得n=(0,1,1).所以cos（m，n）===,所以二面角A-PM-B的正弦值为.19.（1）由已知+=2,则=S n(n≥2)+=22b n-1+2=2b n b n-b n-1=(n≥2),b1=故｛b n｝是以为首项，为公差的等差数列。
2019年全国高考安徽省数学(理)试卷及答案【精校版】
2019年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1． 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2． 答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3． 答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出．．答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．，．在答题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．。
4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A+B ）= P （A ）+ P （B ） P （A·B）= P （A ）·P（B ） 第I 卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数。
若,1i z +=则zi z i+⋅=（ ） A ．2- B ．2i - C ．2 D ．2i 2．“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A ．34B ．55C ．78D ．89 4．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直 线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x ，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．14B ．142C ．2D ．225．y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A ．121-或B ．212或C ．2或1D ．12-或6．设函数))((R x x f ∈满足()()sin f x f x x π+=+，当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A ．12 B ．23 C ．0 D ．21-7．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A ．213B ．183+．21 D ．188．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ）A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对 9．若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A ．5或8B ．1-或5C ．1-或4-D ．4-或810．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满2()OQ a b =+。
普通高等学校招生国统一考试数学理试题安徽卷,含答案
卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，含答案〕本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，第一卷第1至第2页，第二卷第3页至第4页。
全卷总分值是150分，考试时间是是120分钟。
考生本卷须知：答第一卷时，每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答第二卷时，必须使用的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹明晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域答题，超．出书写之答案无效．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。
在在考试完毕之后以后，必须将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式： 假设事件A 与B 互斥；那么()()()P A B P A P B +=+ 假设事件A 与B 互相HY ；那么()()()P AB P A P B =假设A 与B 是事件，且()0P B >；那么()()()P AB P A B P B =第一卷〔选择题一共50分〕一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
〔1〕复数z 满足：()(2)5z i i --=；那么z =〔〕【解析】选D〔2〕以下函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是〔〕【解析】选C()f x kx =与()f x k x=均满足：(2)2()f x f x =得：,,A B D 满足条件〔3〕如下列图，程序框图〔算法流程图〕的输出结果是〔〕 【解析】选Bx1 2 4 8y123432等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，那么〔〕【解析】选B5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如下列图，那么()A 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数()B 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 ()C 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差()D 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【解析】选C11(45678)6,(5369)655x x =++++==⨯++=乙甲甲的成绩的方差为221(2212)25⨯+⨯=，乙的成绩的方差为221(1331) 2.45⨯+⨯= 〔6〕设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥ 那么“αβ⊥〞是“a b ⊥〞的〔〕()A 充分不必要条件()B 必要不充分条件 ()C 充要条件()D 即不充分不必要条件【解析】选A①,b m b b a αβα⊥⊥⇒⊥⇒⊥②假设//a m ；那么a b ⊥与b m ⊥条件一样〔7〕2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是〔〕 【解析】选D第一个因式取2x ，第二个因式获得21x ：1451(1)5C ⨯-=第一个因式取2，第二个因式获得5(1)-：52(1)2⨯-=-展开式的常数项是5(2)3+-=〔8〕在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转34π后，得向量OQ那么点Q 的坐标是〔〕【解析】选A【方法一】设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55OP θθθθ=⇒==那么33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=-【方法二】将向量(6,8)OP =按逆时针旋转32π后得(8,6)OM =-那么)(OQOP OM =+=- 〔9〕过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，假设3AF =；那么AOB ∆的面积为〔〕 【解析】选C 设(0)AFx θθπ∠=<<及BF m =；那么点A 到准线:1l x =-的间隔为3得：1323cos cos 3θθ=+⇔=又232cos()1cos 2m m m πθθ=+-⇔==+AOB ∆的面积为113sin 1(3)22232S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯= 〔10〕6位同学在毕业聚会活动中进展纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进展交换 的两位同学互赠一份纪念品，6位同学之间一共进展了13次交换，那么收到4份纪念品 的同学人数为〔〕()A 1或者3()B 1或者4()C 2或者3()D 2或者4【解析】选D①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，那么收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，那么收到4份纪念品的同学人数为4人第II 卷〔非选择题一共100分〕考生本卷须知：请用黑色墨水签字笔在答题卡上答题，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．. 二．填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分.把答案填在答题卡的相应位置.〔11〕假设,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；那么x y -的取值范围为_____【解析】x y -的取值范围为_____[3,0]- 约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：3(0,3),(0,),(1,1)2A B C那么[3,0]tx y =-∈-〔12〕某几何体的三视图如下列图，该几何体的外表积是_____【解析】外表积是_____92该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱 几何体的外表积是2212(25)4(2544(52))4922S =⨯⨯+⨯+++++-⨯=〔13〕在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的间隔是_____【解析】间隔是_____3圆224sin (2)4x y ρθ=↔+-=的圆心(0,2)C直线:()306l R x y πθρ=∈↔-=；点C 到直线l 的间隔是02332-=〔14〕假设平面向量,a b 满足：23a b -≤；那么a b 的最小值是_____【解析】ab 的最小值是_____98-〔15〕设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c _____①假设2ab c >；那么3C π<②假设2a b c +>；那么3C π<③假设333ab c +=；那么2C π<④假设()2a b c ab +<；那么2C π>⑤假设22222()2ab c a b +<；那么3C π>【解析】正确的选项是_____①②③①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒< ②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒< ③当2C π≥时，22232233ca b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得：2C π<⑤取2,1ab c ===满足22222()2a b c a b +<得：3C π<三、解答题：本大题一一共6小题，一共75分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内. 〔16〕(本小题总分值是12分)设函数2())sin 4f x x x π=++ 〔I 〕求函数()f x 的最小正周期；〔II 〕设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时，1()()2g x f x =-； 求函数()g x 在[,0]π-上的解析式。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(安徽卷,含答案)(1)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（安徽卷，含答案）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3． 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。
4． 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：如果事件A 与B 互斥， 椎体体积13V Sh =，其中S 为椎体的底面积， 那么()()()P A B P A P B +=+ h 为椎体的高. 如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷(选择题 共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 设 i 是虚数单位，复数aii1+2-为纯虚数，则实数a 为 （A ）2 (B) -2 (C) 1-2 (D) 12（1）A（2） 双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B)（2）C（3） 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1= （A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１ （Ｄ）３ (3)A（４）设变量,x y 满足1,x y +≤则2x y +的最大值和最小值分别为（Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１ （4）B当目标函数过点（0，－1），（0,1）时，分别取最小或最大值，所以2x y +的最大值和最小值分别为2，－2.故选B. (5) 在极坐标系中，点 (,)π23到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为（A ）249π+219π+（3(5)D(6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为第（8）题图（A ）1717(6)C(7)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 （A ）所有不能被2整除的数都是偶数 （B ）所有能被2整除的数都不是偶数 （C ）存在一个不能被2整除的数是偶数 （D ）存在一个能被2整除的数不是偶数 （7）D（8）设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则满足S A ⊆且S B φ≠I 的集合S 的个数为（A ）57 （B ）56 （C ）49 （D ）8 （8）B（9）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 （A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ （9）C(10) 函数()()m nf x ax x =1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是 （A ）1,1m n == (B) 1,2m n ==(C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==(10)B第II 卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，．．．．．．．．在试题卷上答题无效．．．．．．．．．. 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.（11）（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .(11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n 项和. 【解析】由算法框图可知(1)1232k k T k +=++++=L ，若T ＝105，则K ＝14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15. （12）设()x a a x a x a x 2122101221-1=+++L ，则 .（12)0【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.【解析】101110102121(1)a C C =-=-，111011112121(1)a C C =-=，所以a a C C 111010112121+=-=0.（13）已知向量a ，b 满足（a +2b ）·（a -b ）=－6，且a =r，2b =r ，则a 与b 的夹角为 .(13)60°【命题意图】本题考查向量的数量积，考查向量夹角的求法.属中等难度的题.【解析】()()26a b a b +⋅-=-r r r r ，则2226a a b b +⋅-=-r r r r ，即221226a b +⋅-⨯=-r r ，1a b ⋅=r r ，所以1cos ,2a b a b a b ⋅〈〉==⋅r rr r r r ，所以,60a b 〈〉=o r r .（14）已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________（14)【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积.【解析】设三角形的三边长分别为4,,4a a a -+，最大角为θ，由余弦定理得222(4)(4)2(4)cos120a a a a a +=+---o ，则10a =，所以三边长为6,10,14.△ABC 的面积为1610sin1202S =⨯⨯⨯=o （15）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线（15)①③⑤【命题意图】本题考查直线方程，考查逻辑推理能力.难度较大. 【解析】令12y x =+满足①，故①正确；若k b ==y =+过整点（－1,0），所以②错误；设y kx =是过原点的直线，若此直线过两个整点1122(,),(,)x y x y ，则有11y kx =，22y kx =，两式相减得1212()y y k x x -=-，则点1212(,)x x y y --也在直线y kx =上，通过这种方法可以得到直线l 经过无穷多个整点，通过上下平移y kx =得对于y kx b =+也成立，所以③正确；k 与b 都是有理数,直线y kx b =+不一定经过整点，④错误；直线y =恰过一个整点，⑤正确.三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内. （16）(本小题满分12分)设()1xe f x ax=+*，其中a 为正实数（Ⅰ）当a 43=时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。
普通高等学校招生理科数学全国统一考试试题(安徽卷)(含解析)
普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z =（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -【答案】A【解析】设2bi 2a 2)i b (a 2bi)i -a (bi)+a (22z bi.z -a =z .bi,+a =z 22+=++=+⋅⇒=+⋅z i 则i zb a a+=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+⇒111222b b a 22所以选A（2） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）16 （B ）2524 （C ）34 （D ）1112【答案】D 【解析】.1211,1211122366141210=∴=++=+++=s s ,所以选D（3）在下列命题中，不是公理．．的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；C 选项可以推导证明，故是定理。
所以选A（4）"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的 （A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】 当a=0 时，，时，且上单调递增；当，在x ax x f x a x f y x x f )1()(00)0()(||)(+-=><∞+=⇒= .)0()(0所以a .)0()(上单调递增的充分条件，在是上单调递增，在∞+=≤∞+=x f y x f y 0a )0()(≤⇒∞+=上单调递增，在相反，当x f y ,.)0()(0a 上单调递增的必要条件，在是∞+=≤⇒x f y故前者是后者的充分必要条件。
安徽省2020年高考[理科数学]考试真题与答案解析
A ．B ．10π97C ．D ．4π338．的展开式中x 3y 3的系数为25()()x x y xy ++A ．5B ．10C ．15三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第每个试题考生都必须作答。
第答案解析————————————————————————————————————————一、选择题1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．A11．D12．B二、填空题13．114．15．216．314-三、解答题17．解：（1）设的公比为，由题设得即.{}n a q 1232,a a a =+21112a a q a q =+所以解得（舍去），.220,q q +-=1q =2q =-故的公比为.{}n a 2-（2）设为的前n 项和.由（1）及题设可得，.所以n S {}n na 1(2)n n a -=-，112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯- .21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯- 可得2131(2)(2)(2)(2)n nn S n -=+-+-++--⨯- 1(2)=(2).3n n n ---⨯-所以.1(31)(2)99nn n S +-=-18．解：（1）设，由题设可得，DO a =63,,63PO a AO a AB a ===.22PA PB PC a ===因此，从而.222PA PB AB +=PA PB ⊥又，故.222PA PC AC +=PA PC ⊥所以平面.PA ⊥PBC （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角O OEy ||OE丙上场后连胜三场的概率为．18所以需要进行第五场比赛的概率为．11131161684---=（3）丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为．18比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，．1161818因此丙最终获胜的概率为．111178168816+++=20．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则，=（a ，–1）.由=8得a 2–1=8，即a=3.(,1)AG a = GB AG GB ⋅ 所以E 的方程为+y 2=1．29x （2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x=my+n ，由题意可知–3<n<3.由于直线PA 的方程为y=（x+3），所以y 1=（x 1+3）.9t 9t直线PB 的方程为y=（x–3），所以y 2=（x 2–3）.3t 3t可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于，故，可得，222219x y +=2222(3)(3)9x x y +-=-121227(3)(3)y y x x =-++即①221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=将代入得x my n =+2219x y +=222(9)290.m y mny n +++-=所以，．12229mn y y m +=-+212299n y y m -=+代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++=解得n=–3（含去），n=.32故直线CD 的方程为，即直线CD 过定点（，0）．3=2x my +32若t=0，则直线CD 的方程为y=0，过点（，0）.32综上，直线CD 过定点（，0）.3221．解：（1）当a=1时，f （x ）=e x +x 2–x ，则=e x +2x–1．()f x '故当x ∈（–∞，0）时，<0；当x ∈（0，+∞）时，>0．所以f （x ）在（–∞，0）()f x '()f x '单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）等价于.31()12f x x ≥+321(1)e 12x x ax x --++≤设函数，则321()(1)e (0)2xg x x ax x x -=-++≥32213()(121)e 22xg x x ax x x ax -'=--++-+-21[(23)42]e 2xx x a x a -=--+++.1(21)(2)e 2x x x a x -=----（i ）若2a+1≤0，即，则当x ∈（0，2）时，>0.所以g （x ）在（0，2）单调递增，12a ≤-()g x '而g （0）=1，故当x ∈（0，2）时，g （x ）>1，不合题意.（ii ）若0<2a+1<2，即，则当x ∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x ∈(2a+1，1122a -<<2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g (x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e −2≤1，即a≥.27e4-所以当时，g(x)≤1.27e 142a -≤<（iii ）若2a+1≥2，即，则g(x)≤.12a ≥31(1)e 2xx x -++由于，故由（ii ）可得≤1.27e 10[,)42-∈31(1)e 2x x x -++故当时，g(x)≤1.12a ≥综上，a 的取值范围是.27e [,)4-+∞（2）函数的图像向左平移()y f x =的图像与()y f x =(y f x =+由图像可知当且仅当时，的图像在的图像上方，76x <-()y f x =(1)y f x =+故不等式的解集为．()(1)f x f x >+7(,)6-∞-。
2021年安徽省高考数学试卷(理科)解析
2021年安徽省高考数学试卷（理科）一.选择题（每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2021•安徽）设i是虚数单位，那么复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2021•安徽）以下函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A ．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+13．（5分）（2021•安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，那么p是q成立的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2021•安徽）以下双曲线中，核心在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=15．（5分）（2021•安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，那么以下命题正确的选项是（）A若α，β垂直于．同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面6．（5分）（2021•安徽）假设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，那么数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8 B．15 C．16 D．327．（5分）（2021•安徽）一个四面体的三视图如下图，那么该四面体的表面积是（）A．1+B．2+C．1+2D．28．（5分）（2021•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，知足=2，=2+，那么以下结论正确的选项是（）A．||=1 B．⊥C．•=1D．（4+）⊥9．（5分）（2021•安徽）函数f（x）=的图象如下图，那么以下结论成立的是（）A ．a＞0，b＞0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜010．（5分）（2021•安徽）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，那么以下结论正确的选项是（）A ．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）二.填空题（每题5分，共25分）11．（5分）（2021•安徽）（x3+）7的展开式中的x5的系数是（用数字填写答案）12．（5分）（2021•安徽）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是．13．（5分）（2021•安徽）执行如下图的程序框图（算法流程图），输出的n为14．（5分）（2021•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，那么数列{a n}的前n项和等于．15．（5分）（2021•安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，以下条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2021•安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC 边上，AD=BD，求AD的长．17．（12分）（2021•安徽）已知2件次品和3件正品混放在一路，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测终止．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的散布列和均值（数学期望）18．（12分）（2021•安徽）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n ≥．19．（13分）（2021•安徽）如下图，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值．20．（13分）（2021•安徽）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，知足|BM|=2|MA|，直线OM 的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．21．（13分）（2021•安徽）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx ）在（﹣，）内的单调性并判定有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f n（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D2（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a n=b n=0，求s=b ﹣知足条件D≤1时的最大值．2021年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2021•安徽）设i是虚数单位，那么复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．解答：解：=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．点评：本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．2．（5分）（2021•安徽）以下函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A ．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1考点：函数的零点；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择．解答：解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；故选A．点评：本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．3．（5分）（2021•安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，那么p是q成立的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：运用指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断．解答：解：由1＜x＜2可得2＜2x＜4，则由p推得q成立，若2x＞1可得x＞0，推不出1＜x＜2．由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题．4．（5分）（2021•安徽）以下双曲线中，核心在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．解答：解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．故选C．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题．5．（5分）（2021•安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，那么以下命题正确的选项是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．解答：解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，如果墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选D．点评：本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理．6．（5分）（2021•安徽）假设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，那么数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A ．8 B．15 C．16 D．32考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．解答：解：∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，∴=8，即DX=64，数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，则对应的标准差为==16，故选：C．点评：本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．7．（5分）（2021•安徽）一个四面体的三视图如下图，那么该四面体的表面积是（）A ．1+B．2+C．1+2D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，结合题意画出图形，利用图中数据求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；∴该几何体的表面积为S表面积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC=×2×1+2××+×2×1=2+．故选：B．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．8．（5分）（2021•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，知足=2，=2+，那么以下结论正确的选项是（）A．||=1 B．⊥C．•=1D．（4+）考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意，知道，，根据已知三角形为等边三角形解之．解答：解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选D．点评：本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．9．（5分）（2021•安徽）函数f（x）=的图象如下图，那么以下结论成立的是（）A ．a＞0，b＞0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：分别根据函数的定义域，函数零点以及f（0）的取值进行判断即可．解答：解：函数在P处无意义，即﹣c＞0，则c＜0，f（0）=，∴b＞0，由f（x）=0得ax+b=0，即x=﹣，即函数的零点x=﹣＞0，∴a＜0，综上a＜0，b＞0，c＜0，故选：C点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f（0）的符号是解决本题的关键．10．（5分）（2021•安徽）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，那么以下结论正确的选项是（）A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2）D．f（2）＜f＜f（﹣2）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：依题意可求ω=2，又当x=时，函数f（x）取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f（x）=Asin（2x+），利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．解答：解：依题意得，函数f（x）的周期为π，∵ω＞0，∴ω==2．（3分）又∵当x=时，函数f（x）取得最小值，∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，可解得：φ=2kπ+，k∈Z，（5分）∴f（x）=Asin （2x+2kπ+）=Asin（2x+）．（6分）∴f（﹣2）=Asin （﹣4+）=Asin （﹣4+2π）＞0．f（2）=Asin（4+）＜0f（0）=Asin =Asin＞0又∵＞﹣4+2π＞＞，而f（x）=Asin（2x+）在区间（，）是单调递减的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）故选：A．点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题．二.填空题（每题5分，共25分）11．（5分）（2021•安徽）（x3+）7的展开式中的x5的系数是35（用数字填写答案）考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为5求得r，再代入系数求出结果．解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；要求展开式中含x5的项的系数，∴21﹣4r=5，∴r=4，可得：=35．故答案为：35．点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．12．（5分）（2021•安徽）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是6．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，把代入可得直角坐标方程，直线θ=（ρ∈R）化为y=x．利用点到直线的距离公式可得圆心C（0，4）到直线的距离d，可得圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值=d+r．解答：解：圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，∴x2+y2=8y，化为x2+（y﹣4）2=16．直线θ=（ρ∈R）化为y=x．∴圆心C（0，4）到直线的距离d==2，∴圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值=d+r=2+4=6．故答案为：6．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）（2021•安徽）执行如下图的程序框图（算法流程图），输出的n为4考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．故答案为：4．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n的值是解题的关键，属于基础题．14．（5分）（2021•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，那么数列{a n}的前n 项和等于2n﹣1．考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{a n}的前n项和．解答：解：数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，∴8=1×q3，q=2，数列{a n}的前n项和为：=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．点评：本题考查等比数列的性质，数列{a n}的前n项和求法，基本知识的考查．15．（5分）（2021•安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，以下条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：对五个条件分别分析解答；利用数形结合以及导数，判断单调区间以及极值．解答：解：设f（x）=x3+ax+b，f'（x）=3x2+a，①a=﹣3，b=﹣3时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f （1）=﹣5，f （﹣1）=﹣1；并且x＞1或者x＜﹣1时f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）都是增函数，所以函数图象与x轴只有一个交点，故x3+ax+b=0仅有一个实根；如图②a=﹣3，b=2时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=0，f （﹣1）=4；如图③a=﹣3，b＞2时，函数f（x）=x3﹣3x+b，f（1）=﹣2+b＞0，函数图象形状如图②，所以方程x3+ax+b=0只有一个根；④a=0，b=2时，函数f（x）=x3+2，f'（x）=3x2≥0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；⑤a=1，b=2时，函数f（x）=x3+x+2，f'（x）=3x2+1＞0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．故答案为：①③④⑤．点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系；关键是数形结合、利用导数解之．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2021•安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC 边上，AD=BD，求AD的长．考点：正弦定理；三角形中的几何计算．专题：解三角形．分析：由已知及余弦定理可解得BC的值，由正弦定理可求得sinB，从而可求cosB，过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，即可求得AD的长．解答：解：∵∠A=，AB=6，AC=3，∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=90．∴BC=3 (4)分∵在△ABC中，由正弦定理可得：，∴sinB=，∴cosB=…8分∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，∴Rt△ADE中，AD=== (1)2分点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）（2021•安徽）已知2件次品和3件正品混放在一路，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测终止．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的散布列和均值（数学期望）考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，利用古典概型的概率求解即可．（Ⅱ）X的可能取值为：200，300，400．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解答：解：（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）X的可能取值为：200，300，400P（X=200）==．P（X=300）==．P（X=400）=1﹣P（X=200）﹣P（X=300）=．X的分布列为：XPEX=200×+300×+400×=350．点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．18．（12分）（2021•安徽）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x 轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n ≥．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：导数的概念及应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标；（2）利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立．解答：解：（1）y'=（x2n+2+1）'=（2n+2）x2n+1，曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2，从而切线方程为y﹣2=（2n+2）（x﹣1）令y=0，解得切线与x轴的交点的横坐标为，（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：T n=x12x32…x2n﹣12=，当n=1时，，当n≥2时，因为=所以T n综上所述，可得对任意的n∈N+，均有点评：本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型．19．（13分）（2021•安徽）如下图，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）通过四边形A1B1CD为平行四边形，可得B1C∥A1D，利用线面平行的判定定理即得结论；（Ⅱ）以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，设边长为2，则所求值即为平面A1B1CD的一个法向量与平面A1EFD的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．解答：（Ⅰ）证明：∵B1C=A1D且A1B1=CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴B1C∥A1D，又∵B1C⊄平面A1EFD，∴B1C∥平面A1EFD，又∵平面A1EFD∩平面EF，∴EF∥B1C；（Ⅱ）解：以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz如图，设边长为2，∵A1D⊥平面A1B1CD，∴=（0，1，1）为平面A1B1CD的一个法向量，设平面A1EFD 的一个法向量为=（x，y，z），又∵=（0，2，﹣2），=（1，1，0），∴，，取y=1，得=（﹣1，1，1），∴cos （，）==，∴二面角E﹣AD﹣B1的余弦值为．点评：本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）（2021•安徽）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，知足|BM|=2|MA|，直线OM 的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由于点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，即，可得．利用，可得．（II）由（I）可得直线AB的方程为：=1，利用中点坐标公式可得N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，可得b，解得即可．解答：解：（I）∵点M在线段AB 上，满足|BM|=2|MA|，∴，∵A（a，0），B（0，b），∴=．∵，∴，a=b．∴=．（II）由（I）可得直线AB的方程为：=1，N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，∴，解得b=3，∴a=3．∴椭圆E的方程为：．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（13分）（2021•安徽）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx ）在（﹣，）内的单调性并判定有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f n（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D2（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a n=b n=0，求s=b ﹣知足条件D≤1时的最大值．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）设t=sinx，f（t）=t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），讨论对称轴和区间的关系，即可判断极值的存在；（Ⅱ）设t=sinx，t∈[﹣1，1]，求得|f（t）﹣f0（t）|，设g（t）=|﹣t（a﹣a0）+（b﹣b0）|，讨论g（1），g（﹣1）取得最大值；（Ⅲ）由（Ⅱ）讨论ab≥0时，ab≤0时，D的取值，求得点（a，b）所在区域，求得s=b ﹣的最大值．解答：解：（Ⅰ）设t=sinx，在x∈（﹣，）递增，即有f（t）=t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），f′（t）=2t﹣a，①当a≥2时，f′（t）≤0，f（t）递减，即f（sinx）递减；当a≤﹣2时，f′（t）≥0，f（t）递增，即f（sinx）递增．即有a≥2或a≤﹣2时，不存在极值．②当﹣2＜a＜2时，﹣1＜t ＜，f′（t）＜0，f（sinx）递减；＜t＜1，f′（t）＞0，f（sinx）递增．f（sinx）有极小值f （）=b ﹣；（Ⅱ）设t=sinx，t∈[﹣1，1]，|f（t）﹣f0（t）|=|﹣t（a ﹣a0）+（b﹣b0）|，易知t=±1时，取得最大值，设g（t）=|﹣t （a﹣a0）+（b ﹣b0）|，而g（1）=|﹣（a ﹣a0）+（b﹣b0）|，g（﹣1）=|（a﹣a0）+（b ﹣b0）|，则当（a﹣a0）（b ﹣b0）≥0时，D=g（t）max=g （﹣1）=|（a﹣a0）+（b﹣b0）|；当（a﹣a0）（b ﹣b0）≤0时，D=g（t）max=g （1）=|﹣（a﹣a0）+（b﹣b0）|．（Ⅲ）由（Ⅱ）得ab≥0时，D=|a+b|，当ab≤0时，D=|a ﹣b|．即有或，点（a，b）在如图所示的区域内，则有s=b﹣，当b取最大值1时，取最小值0时，s max=1．点评：本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数形结合的思想，属于难题．参与本试卷答题和审题的教师有：刘长柏；changq；双曲线；maths；742048；w3239003；qiss；孙佑中；雪狼王；cst（排名不分前后）菁优网2021年6月13日。
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