三年高考高考数学试题分项版解析专题12平面向量理

专题12平面向量1.【2017课标3，理12】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =AB +AD ，则+的最大值为A ．3B ．CD ．2【答案】A 【解析】试题分析：如图所示，建立平面直角坐标系设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y,设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心到直线的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤， 所以的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A . 【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.2.【2017北京，理6】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<T ，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A. 【考点】1.向量；2.充分必要条件.3．【2015高考安徽，理8】C ∆AB 是边长为的等边三角形，已知向量，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A ）1b =（B ）a b ⊥（C ）1a b ⋅=（D ）()4C a b +⊥B 【答案】D 【解析】如图，由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-=，则||2b =，故A 错误；|2|2||2a a ==，所以||1a =，又22(2)4||222c o s602A B A C a a b a a b ⋅=⋅+=+=⨯=，所以1a b ⋅=-，故,B C错误；设,B C 点为D ，则2A B A C A D +=，且A D B C ⊥，而22(2)4A D a a b a b=++=+，所以()4C a b +⊥B ，故选D.【考点定位】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积. 【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点.当出现线性运算问题时，注意两个向量的差OA OB BA -=，这是一个易错点，两个向量的和2OA OB OD +=（D 点是AB 的中点）.另外，要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量,AB AC ，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.4.【2016高考山东理数】已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（） （A ）4 （B ）–4（C ）94（D ）–94【答案】B 【解析】试题分析：由43m n =，可设3,4(0)m k n k k ==>，又()n tm n ⊥+，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+=所以4t =-，故选B. 考点：平面向量的数量积5.【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D 【解析】试题分析：向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.考点：平面向量的坐标运算、数量积.【名师点睛】已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：6.【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（） （A ）232a -（B ）234a -（C ）234a （D ）232a【答案】D【解析】因为()BD CD BD BA BA BC BA ⋅=⋅=+⋅()22223cos 602BA BC BA a a a +⋅=+=故选D.【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题. 7.【2015高考陕西，理7】对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（） A ．||||||a b a b ⋅≤ B ．||||||||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B【解析】因为cos ,a b a b a b a b ⋅=≤，所以选项A 正确；当与b 方向相反时，a b a b -≤-不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；()()22a b a b ab +-=-，所以选项D 正确．故选B ．22a a =．8.【2015高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C 【解析】311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+，所以221111(43)(43)(169)(1636916)94124848AM NM AB AD AB AD AB AD =+-=-=⨯-⨯=，选C.【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB =，4AD =故可选,AB AD 作为基底. 9.【2015高考新课标1，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（） （A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =- 【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC ACAC AB =+=+=+-==1433ABAC -+，故选A.【考点定位】平面向量的线性运算10.【2016高考新课标3理数】已知向量1(2BA =uu v ，1)2BC =uu u v ，则ABC ∠=（ ）(A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒ 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⨯⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ．考点：向量夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为·cos a b a b θ＝，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有||=a a a ·，·cos a b a bθ=，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．11.【2016年高考北京理数】设，是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D.考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积.12.【2015高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a |b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、4π B 、2π C 、34π D 、π【答案】A【解析】由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，即223cos 20a a b b θ--=，所以2320θ⨯-=，cos θ=，4πθ=，选A . 【考点定位】向量的夹角.【名师点晴】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的垂直，向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力. 13.【2016高考天津理数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BCAB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（） （A ）85- （B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B 【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选B.考点：向量数量积运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解． 14.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA=DB =DC ,DA DB =DB DC =DC DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是( ) （A ）434（B ）494（C（D【答案】B 【解析】试题分析：甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA 为轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,,1,.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又131,,,,,22x y x PM MC M BM ⎛⎫⎛-++=∴∴= ⎪ ⎝⎭⎝⎭()(22214x y BM +++∴=，它表示圆()2221x y -+=上点(),x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM ⎫∴==⎪⎭，故选B ．考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.15.【2015高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥==，若P 点是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21 【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以11PB t-=（，-4)，1PC -=（，t-4)，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算和数量积运算，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，实现了数形的紧密结合，同时将数量积的最大值问题转化为函数的最大值问题，本题容易出错的地方是对AB AB的理解不到位，从而导致解题失败．24.【2015湖南理2】已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（）A.6B.7C.8D.9 【答案】B. 【解析】试题分析：由题意得，AC 为圆的直径，故可设),(n m A ，),(n m C --，),(y x B ，∴(6,)PA PB PC x y ++=-，∴=(PA PB PC x ++221x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值，从而易得当⎩⎨⎧=-=01y x 时PA PB PC ++的最大值为，故选B. 【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.16.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则A ．321I I I <<B ．231I I I <<C ．213I I I <<D ．312I I I <<【答案】C 【解析】 试题分析：因为90AOB COD ∠=∠>，所以0(,)OB OC OA OB OC OD OA OC OB OD ⋅>>⋅>⋅<<选C ．【考点】平面向量数量积运算17.【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=所以|2|12a b +==秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为【考点】平面向量的运算.【名师点睛】平面向量中涉及到有关模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.18．【2017浙江，15】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】【考点】平面向量模长运算【名师点睛】本题通过设入向量,a b 的夹角，结合模长公式，解得54cos a b a b ++-=+再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．19.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为OA 与OC的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R,则m n +=.【答案】3【解析】由tan 7α=可得sinα=，cos α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n mn m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100m +=⎪⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=. 【考点】向量表示(第12题)20.【2017天津，理13】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.【答案】311【解析】01232cos 603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的,AB AC 已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.21.【2017山东，理12】已知12,e e 是互相垂直的单位向量，12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是.【解析】试题分析：)()221212112122333e e e e e e e e e λλλλ-⋅+=+⋅-⋅-=，()2221233232e e e e e e e -=-=-⋅+=，()22221221e e e e e e e e λλλλ+=+=+⋅+=+2cos601λ==+λ=． 【考点】1.平面向量的数量积.2.平行向量的夹角.3.单位向量. 【名师点睛】1.平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒.2.由向量的数量积的性质有||=a a a ·，·cos a b a bθ=，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立λ的方程. 22.【2016高考新课标1卷】设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m =. 【答案】2- 【解析】试题分析：由222||||||+=+a b a b ,得⊥a b ,所以1120m ⨯+⨯=,解得2m =-. 考点：向量的数量积及坐标运算23.【2015高考北京，理13】在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN x AB y AC =+， 则x =；y =．【答案】11,26-【解析】特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥==，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2A M CB N ，1(2,),(4,0),2MN AB =-=(0,3)AC =，则1(2,)(4,0)(0,3)2x y -=+，11142,3,,226x y x y ==-∴==-. 【考点定位】本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.24.【 2014湖南16】在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD =1，则OA OB OD ++的最大值是_________.【答案】1【解析】因为C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈,则(3OA OB OD ++==因为2cos θθ所以OA OB OD ++的最大值为1==+故填1【考点定位】参数方程 圆 三角函数【名师点睛】本题主要考查了圆的参数方程，解决问题的关键是根据所给条件CD 得到对应点C 的轨迹，然后得到其参数方程，根据向量的和的坐标运算得到其和的模满足的三角函数式，运用三角函数知识不难得到其最大值.主要运用了转化的思想方法.25.【2015江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. 【答案】3-【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 【考点定位】向量相等【名师点晴】明确两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等.其实质为平面向量基本定理应用. 向量共线的充要条件的坐标表示：若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ∥⇔12210x y x y =-.向量垂直的充要条件的坐标表示：若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ⊥⇔1212+0x x y y =. 26. 【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是.【答案】78【解析】因为2222436444AO BC FO BC BA CA --⋅===,22414FO BCBF CF -⋅==-, 因此22513,BC 82FO ==，22224167448EO BC FO BC BE CE --⋅=== 考点：向量数量积27.【2015江苏高考，14】设向量a k (cos ,sin cos )(0,1,2,,12)666k k k k πππ=+=，则11k =∑(a k a k+1)的值 为【答案】【解析】a k a k+1(1)(1)(1)(cos ,sin cos )(cos ,sin cos )666666k k k k k k ππππππ+++=+⋅+ (1)(1)(1)coscos (sin cos )(sin cos )666666k k k k k k ππππππ+++=++⋅+(1)(1)(1)(1)(1)(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )cos cos 6666666666k k k k k k k k k k ππππππππππ+++++=++++22(1)21cos sincos cos sin cos sin 666666266k k k k k k k ππππππππππ+++=++=-21sin cos )sin 6343k k k ππππ+=+-21(21)sin cos 626k k πππ++=++ 因为21(21)sincos 626k k πππ++，的周期皆为，一个周期的和皆为零，因此11k =∑(a k a k+1)12==【考点定位】向量数量积，三角函数性质28.【2016高考浙江理数】已知向量a 、b , ｜a ｜=1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有｜a ·e ｜+｜b ·e则a ·b 的最大值是．【答案】12【解析】试题分析：221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12考点：平面向量的数量积．【易错点睛】在6a b +≤两边同时平方，转化为2226a b a b ++⋅≤的过程中，很容易忘29.【2015高考新课标2，理13】设向量，不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．【考点定位】向量共线．【名师点睛】本题考查向量共线，明确平面向量共线定理，利用待定系数法得参数的关系是解题关键，属于基础题．30.【2015高考浙江，理15】已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x yR∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x =，0y =，b =．【答案】，，22.【解析】问题等价于12()b xe ye -+当且仅当0x x =，0y y =时取到最小值1，两边平方即xy y x y x |+--++5422在0x x =，0y y =时，取到最小值1，2245|b|x y x y xy ++--+22(4)5||x y x y b =+--+22243()(2)7||24y x y b -=++--+，∴⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=-+22||211||702024002000b y x b y y x . 【考点定位】1.平面向量的模长；2.函数的最值31.【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,A B D C A B B C AB C ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为. 【答案】2918【解析】因为1,9D F D Cλ=12D C A B=，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==，AE AB BE AB BCλ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918.A【考点定位】向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.32.【2015高考湖北，理11】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ∙=. 【答案】9【解析】因为OA AB ⊥，||3OA =，所以OA OB ∙=93||||)(222===∙+=+∙. 【考点定位】平面向量的加法法则，向量垂直，向量的模与数量积.【名师点睛】平面向量是新教材新增内容，而且由于向量的双重“身份”是研究一些数学问题的工具.这类问题难度不大，以考查基础知识为主.33.【2017江苏，16】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的的值. 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，取得最大值，为3；5π6x =时，取得最小值，为-.【解析】解：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =.若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.于是tan x =又，所以5π6x =.（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b . 因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值-.。