材料物理学(1)

波粒二象性—物质(微观粒子)同时具备波动性及粒子性 德布罗意(1892～1989年)关系式：
E p ； ； (1.1) h
式中，E-能量；p-动量 ；υ -频率；λ -波长；h-普朗克常数 *E、P—粒子的特性；λ 、υ —波动的特性
h
波矢 (方向—波传播的方向；大小—单位长度内所包含波的相角数) ：
⑵玻恩统计解释（波函数的统计意义）——波函数在空间某一点的强度（振 幅绝对值的平方）与在这一点找到粒子的几率成正比。 设在给定时刻，在空间某点体积元dv内发现该粒子的几率Ｆ为：
F C dv C * dv * 的共轭函数；C 比例常数。 几率密度（在时刻t和( x, y, z )点发现粒子的几率）：
⑵线性谐振子的运动（粒子在一维势场中受弹性恢复力的作用，在平衡位置两边往复运动） 非常重要的物理模型，表征双原子的震动及晶体中晶格原子的震动
已知：谐振子的势能场：
1 2 2 V x kx 2 2 m 0 x 2 2
2 式中，k 4 2 0 m；k 弹性系数； 0 固有频率
V
0 x a， V x 0 x 0和x a，V x
0 a x
求在势阱中粒子的波函数及粒子被允许具有的能量： 解：由于Ｖ与时间无关，是一定态问题，求解定态薛定谔方程．
2 2 V E 2m 本题是一维问题，且在 势阱内V等于零，则方程为： 2 2 E 0 2 2m x
解方程（二阶常系数微分方程），该方程的通解为：
x C sin kx
式中，k 2m E
根据边界条件可得出，在一维势阱中粒子的波函数和允许的能量：
x
2 nx sin a a
n 2 2 a 2 En 2m
2 2
2m a2
相邻能级差：
2

F 2 C dv
⑶波函数的标准化条件和归一化条件
波函数的标准条件－在整个空间内，波函数必须是有限的、单值的和连续的。
波函数归一化条件－某时刻在整个空间粒子出现的总几率为1：

C dv C
2

dv 1 1.2
2
则，比例常数C为：C
1

dv
2
根据波函数的性质（波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变），现把Ｃ开方后乘 上Ф
h , 称为狄拉克（Dirac )常数。 2
薛定谔方程与测不准关系 ⑴波函数Φ –描述粒子的运动状态(波)的函数（其模的平方对应于粒子出现
的几率 ），波函数是空间和时间的函数，并且是复数，
即Φ = Φ (x，y，z，t) 自由粒子(动量、能量不随时间或位置改变）的波函数：
0
2i ( px Et ) h e i
可知，方程左边是时间的函数，而右边是坐标的函数，所以当两边都等于同一个常数 时，等式才成立。用Ｅ表示该常数，则
由等式左边：
df i Ef dt
2 2 V E 2m
由等式右边：
(1.7)
薛定谔方程的特解：
x, y, z..t x, y, z f t x, y, z
这种形式的波函数所描述的状态称为定态，在定态中几率密度与时间无关：
i Et e

2
i Et * e
i Et e
2
函数 x, y, z由方程(1.7)和具体问题中波函数应满足的边界条件得出 。方程(1.7)称为定态薛定谔方程。
2 2 V E 2m
②一维自由粒子的薛定谔方程为（V(x)=0):
2 2 2 i 2 m x t
(1.6)
③定态薛定谔方程 由于势能与时间无关，薛定谔方程可进行简化．设方程的一种特解为：
代入薛定谔方程：
x, y, z..t x, y, z f t
i df 1 2 2 V f dt 2m
*因此，当粒子所在的势场不随时间变化时，粒子在空间出现的概率也不随时间变化，而且力学量的测
量值的几率分布和平均值都不随时间变化。粒子的这种状态称为定态。定态薛定谔方程的每一个解就 代表粒子的一个稳定状态。
量子力学的应用
⑴一维势阱问题 势阱—在某一定区域内，势能有固定的值。 设一粒子处于势能为V的势场中，沿x方向做一维运动，势能满足下列边界条件：
x d 1
粒子穿过窄缝前是沿y轴运动的，沿方向x的动量px等于零。穿过窄 缝时产生衍射，动量px的不确定范围是： p p sin p x 2d
α

h
2d
x
⑴×⑵得： xp x
y
h 3 2
2d



h 2 2d
考虑次级衍射时：
p x
h 2d
当0 x a时；V x V0
当X a或x 0时；V x 0 已知：V0 E
V(x)
V0
将势能空间分为三个区域， 根据边界条件，可求出三个 区域的解。 Ⅱ 0 a Ⅲ x
Ⅰ
Ⅰ区： x A0 e ik 2 x Aeik 2 x Ⅰ 式中，k 2 2m E 2 ；A0 入射波振幅，A 反射波振幅。 Ⅱ区： x Ⅱ B0 e ik1 x Beik1 x 式中，k1 2mV0 E 2 ；B0 透射射波振幅，B 反射波振幅。 Ⅲ区： x Ⅲ Deik 2 x 式中，D 透射波的振幅。 根据波函数及其微商在 0和x a连续的条件，可求出波 x 函数中的系数。 可见粒子可穿过势垒到 Ⅲ区，即在Ⅲ区找到粒子的几率不为 达 零。 穿透系数T 贯穿势垒的粒子数与入 射粒子数的比值。等于 穿透波几率密度与 入射波几率密度的比值 。 D T A0
，用Ψ表示所得函数：
C
则波函数Ф和Ψ所描写的是同一状态，那么：

dv
2

C dv C
2

dv 11.3
2
C 称为归一化常数，
(1.2)和(1.3)式为归一化条件， Ф 换成Ψ的步骤成为归一化， Ψ 称为归一化波函数。
⑷测不准关系－两个力学量不能同时具有确定值．
2
e

2 2 m V0 E a
可见，穿透系数T随势垒的宽度a或高度V0 增大而减小。
讨论：
经典力学的观点：如果粒子的总能量E小于势垒高度Ｖ０，粒子只
能在Ⅰ区或Ⅲ区中运动，不能由Ⅰ区穿过势垒Ⅱ区过渡到Ⅲ区中。只有 E大于势垒高度Ｖ０时，才可能由Ⅰ区越过势垒Ⅱ区到达Ⅲ区。 量子力学的观点：对于总能量E小于势垒高度Ｖ０的粒子，在Ⅱ区， 其波函数也不等于零，则粒子穿过势垒的几率也不等于零，即粒子可由 Ⅰ区越过势垒Ⅱ区到达Ⅲ区中，并且粒子穿过势垒后的能量仍保持在Ⅰ 区的能量
2 k n n 沿波运动方向的的单位 矢量
波矢的量纲（m-1)与倒格子矢量相同，所以倒易空间也称为波矢空间。
用波矢代替波长,德布罗意(1892～1989年)关系式(1.1)式为:
h h p n k k 2 式中，
也称为动量空间。
*式子左边的动量反映了粒子性，右边的波矢反映了波动性。波矢空间有时 *动量为p的粒子与一个波相对应,粒子的运 动方向与波的传播方向一致。
力学量的算符表示
⑴量子力学中力学量的特点：
当微观粒子处于某一状态时，它的力学量（如坐标、动量、能量）一般不具有确定的数值，而具有一系列可能 的值，每一个可能的值以一定的几率出现。 知道了粒子处于某一状态时的力学量所具有的各个可能值的几率后，就可以计算出力学量的平均值。 为了反映上述特点，在量子力学中引入算符来表示力学量。

2


2

2

2
x
y
z

令
2 ˆ 2 V H 2m
H
ˆ i H t
——哈密顿算符。
则薛定谔方程简写为：
(1.5)
*薛定谔方程不是从数学上推导或证明出来得。它反映了微观粒子的运动规律，其正确 性是由在各种具体条件下从方程得出的结论和实验结果相比较来验证的。
则： xp x
h 2
可知，狹缝越窄粒子坐标x不确定的范围⊿x越小，则动量px的不确 定范围⊿px就越大。
⑸薛定谔方程－波函数满足的基本方程 （决定粒子状态变化的方程）
①薛定谔方程的一般形式为:
2 2 V i 2m t
；V 粒子在力场中的势能
(1.4)
式中，
n
式中，
d n n H n 1 e n e d
2

对应的谐振子的能量为：
1 En n h 0 2
相邻能级差：
（ n=0,1,2,3,…)
E En1 En 0
可见谐振子的能量是量子化的．
⑶贯穿势垒问题—量子隧道效应（微观粒子的总能量E小于势垒高度Ｖ０时，还能穿透势垒的象） 量子隧道效应可解释粒子的衰变、金属电子的冷发射等现象 设能量为Ｅ的粒子在势能为V的势场中，沿方向x由左向右做一维运动，V满足下列边界条件：
⑵算符
设某一种运算把函数Ｕ变成函数Ｖ：
U V , 算符；U V， 算符 x x
F U V； 算符 F


例如：
⑶算符的本征值、本征函数和本征值方程

如果 F U U，为常数，则称为算符 F 的本 征 值 U称为 F 的本 征 函 数 ， ， 方程 F U U称为 F 的本 征 值 方 程
E E n 1 E n 2n 1
n=(1,2,3,…)
讨论： 势阱中粒子的能量E是量子化的，n是能量量子数。 能级差⊿E与量子数成正比，与粒子质量和势阱的宽度成反比。 如a小到原子 尺度，能级差就非常大，因而电子在原子内运动时，能量的量子化就特别显著。