21.3.3 用一元二次方程解决几何图形问题
人教版九年级数学上册教案-21.3 第3课时 几何图形与一元二次方程2带教学反思
21.3 实际问题与一元二次方程(3)教学内容根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．重难点关键1．•重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．•难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（口述）1．直角三角形的面积公式是什么？•一般三角形的面积公式是什么呢？2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3．梯形的面积公式是什么？4．菱形的面积公式是什么？5．平行四边形的面积公式是什么？6．圆的面积公式是什么？（学生口答，老师点评）二、探索新知现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．例1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，•渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：（1）设渠深为xm则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m依题意，得：12（x+2+x+0.4）x=1.6整理，得：5x2+6x-8=0解得：x1=45=0.8m，x2=-2（舍）∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．（2）1.675048⨯=25天答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．学生活动：例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？九年级 练数学 习同步老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，•由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，•则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的14，则中央矩形的面积是封面面积的．所以（27-18x）（21-14x）=34×27×21整理，得：16x2-48x+9=0解方程，得：x=64±，x1≈2.8cm，x2≈0.2所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．三、巩固练习有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）四、应用拓展例3．如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A•开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C•后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2．（友情提示：过点Q•作DQ⊥CB，垂足为D，则：DQ CQ AB AC）(a)BACQP(b)BACQ DP分析：（1）设经过x秒钟，使S△PBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．（2）设经过y秒钟，这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模．解：（1）设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2．则：12（6-x）·2x=8整理，得：x2-6x+8=0解得：x1=2，x2=4∴经过2秒，点P到离A点1×2=2cm处，点Q离B点2×2=4cm处，经过4秒，点P到离A点1×4=4cm处，点Q离B点2×4=8cm处，所以它们都符合要求．（2）设y秒后点P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，点Q在CA上移动，且使CQ=（2y-8）cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有DQ CQ AB AC=∵AB=6，BC=8∴由勾股定理，得：∴DQ=6(28)6(4) 105y y--=则：12（14-y）·6(4)5y-=12.6整理，得：y2-18y+77=0解得：y1=7，y2=11即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7），点Q在CA上距C点6cm处（CQ=•2y-8=6），使△PCD的面积为12.6c m2．经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10，∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在．∴本小题只有一解y1=7．五、归纳小结本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．六、布置作业1．教材P53综合运用5、6 拓广探索全部．2．选用作业设计:一、选择题1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）．AB．5 C．72．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（）．A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;D．以上都不对3．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A．8cm B．64cm C．8c m2 D．64cm2二、填空题1．矩形的周长为，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．2．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．三、综合提高题1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m，完成大坝所用去的土方为4500m2，问水坝的高应是多少?（说明：•背水坡度CFBF=12，迎水坡度11DEAE）（精确到0.1m）BACEDF2．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?3．谁能量出道路的宽度:如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，•只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行．答案:一、1．B 2．B 3．D二、1．2．32cm3．20m 和7.5m 或15m 和10m 三、1．设坝的高是x ，则AE=x ，BF=2x ，AB=3+3x ，依题意，得：12（3+3+3x ）x ×30=4500 整理，得：x 2+2x-100=0 解得x ≈220.102-+即x ≈9.05（m ） 2．设宽为x ，则12×8-8=2×8x+2（12-2x ）x 整理，得：x 2-10x+22=0解得：x 1，x 2=3．设道路的宽为x ，AB=a ，AD=b 则（a-2x ）（b-2x ）=12ab 解得：x=14[（a+b ）量法为：用绳子量出AB+AD （即a+b ）之长，从中减去BD 之长（对角线，得L=•AB+AD-BD ，再将L 对折两次即得到道路的宽4AB AD BD +-．~。
21.3 实际问题与一元二次方程(第二课时)几何图形问题和数字问题(课件)九年级数学上册(人教版)
分层作业
【基础达标作业】 5．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙 （墙的长度不限），另外三面用总长为20米的护栏围成．若计划建造 车棚的面积为50平方米，则这个车棚的长和宽分别应为多少米．
分层作业
【能力提升作业】 1．（2023·广东揭阳·统考一模）如图，有一面积为600m2的长方形 鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用竹篱笆围成，其中一 边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m．设鸡场垂直于墙的一边长为 xm，则列方程正确的是（ ）
中考链接
3．（2023·东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙 （外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门 （建在EF处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能 ，请说明理由．9 = 0 【提问】为什么舍去2.8？请说明原因？
所以9y=1.8 cm，7y=1.4 cm 答：上、下边衬的宽度为1.8cm，左、右边衬的宽度为1.4cm
27 21
典例解析
要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同 的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边 衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？
A．24 B．35 C．42 D．53 4．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（ 如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小 数：若不能请说明理由．
当堂测试
5．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙， 另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留 一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
人教版九年级数学上册《21-3 第3课时 几何图形与一元二次方程》导学案设计优秀公开课3
自主学习第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第 3 课时 几何图形与一元二次方程学习目标：1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）重点：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.一、知识链接用长为 60m 的篱笆围一个矩形的菜园.宽 AD 为 x m.用含 x 的代数式填空：（1）如图①，AB = m ，S 矩形 ABCD = ；（ 2 ） 如图② ， 菜园中间用一根篱笆隔开， 则 AB = m ， S 矩 形ABCD =；（3）如图③，菜园一面靠墙，中间用一根篱笆隔开，则 AB = m ，S 矩形ABCD =.图① 图② 图③课堂探究二、要点探究探究点：几何图形与一元二次方程探究1 要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)方法点拨：几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的面积问题，这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.典例精析例1 如图，在一块宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽为多少？【变式题1】在宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题2】在宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题3】在宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题4】在宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少？方法点拨：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些(目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路).例 2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用58m 的围栏围成总面积为200m2的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB 和BC 的长各是多少米？【变式题1】如图，要利用一面墙(墙长为25m)建羊圈，用80m 的围栏围成面积为600m2 的矩形羊圈，则羊圈的边长AB 和BC 的长各是多少米？【变式题2】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 平方米？方法点拨：围墙问题一般先设其中的一条边为x，根据周长等条件把另一边用x 表示出来，最后根据面积公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解.三、课堂小结几何图形与一元二次方程问题几何图形常见几何图形面积是等量关系类型课本封面问题常采用图形平移能聚零为整方便列方程彩条/小路宽度问题动点面积问题当堂检测1.在一幅长80cm，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x 满足的方程是（）A．x2+130x－1400=0B．x2+65x－350=0C．x2－130x－1400=0D．x2－65x－350=02.一块长方形铁板，长是宽的2 倍，如果在4 个角上截去边长为5cm 的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．3.如图，要设计一个宽20cm，长为30cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？4. 如图所示，在△ABC 中，∠C =90°， AC =6cm ，BC =8cm.点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点 P ，Q 出发几秒后，可使△PCQ 的面积为 9 cm²？参考答案自主学习知识链接 (1)(30-x )x (30-x )(2)(30-1.5x )x (30-1.5x )(3)(60-3x )x (60-3x )课堂探究二、要点探究探究点：几何图形与一元二次方程探究 1 解：设中央矩形的长和宽分别为 9a cm 和 7a cm 由此得到上下边衬宽度之比为： 1 (27 - 1- 7a ) = 9(3 - a ) : 7(3 - a ) = 9 : 7. 设上下边衬的 9x cm ，左右边衬宽为 7x9a ) : (21 22cm ，则中央的矩形的长为(27-18x )cm ，宽为(21-14x )cm.要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三.于是可 列 出 方 程 (27 -18x )(21-14x ) 327 21,整 理 得 16x 2-48x +9=0 ， 解 方 程 得= 创 46 - 3 3 6 + 3 3 （不合题意，舍去）.故上下边衬的宽度为9 6 - 3 3 左右 x 1 =4 , x 2 = 4椿 1.8, 4边衬的宽度为7 6 - 3 3椿41.4.例 1 方法一：解：设道路的宽为 x 米，依题意得 20×32-32x -20x +x 2=540,解得x 1=2，x 2=50.当 x =50 时，32-x =-18，不合题意，舍去.∴取 x =2.答：道路的宽为 2 米.方法二：解：设道路的宽为 x 米，依题意得(32-x )(20-x )=540，解得 x 1=2，x 2=50.当 x =50 时，32-x =-18，不合题意，舍去.∴取 x =2.答：道路的宽为 2 米.【变式题 1】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-x )(20-x )=540，解得 x 1=2， x 2=50（不合题意，舍去）.∴x =2. 答：道路的宽为 2 米.【变式题 2】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x )(20-x )=540，解得x 1=18- 274 » 1.45 ，x 2=18+ 274 （不合题意，舍去）.∴x ≈1.45.答：道路的宽为 1.45 米.典例精析【变式题 3】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x )(20-2x )=540，解得 x 1=1， x 2=25（不合题意，舍去）.∴x =1. 答：道路的宽为 1 米.【变式题 4 】解： 设横、竖小路的宽度分别为 3x 、 2x ， 于是可列方程(32-4x )(20-6x )= 3 创20 32, 解得 x 140.62 ，x 210.71 （不合题意，舍去）.∴x ≈0.62.则 3x ≈1.86,2x ≈1.24.答：横、竖小路的宽度分别为 1.86 米、1.24 米.例 2 解：设 AB 长是 x m.依题意得 (58-2x )x =200，即 x 2-29x +100=0，解得 x 1=25， x 2=4.x =25 时，58-2x =8，x =4 时，58-2x =50.答：羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是 25m ，8m 或 4m ，50m.【变式题 1】 解：设 AB 长是 x m.依题意得(80-2x )x =600，即 x 2-40x +300=0，解得 x 1=10，x 2=30.x =10 时，80-2x =60>25，(舍去)，x =30 时，80-2x =20<25. 答：羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是 30m ，20m.【变式题 2】解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为 x m ，则平行于住房墙的一边长(25-2x +1)m.由题意得 x (25-2x +1)=80，化简，得 x 2-13x +40=0，解得 x 1=5， x 2=8.当 x =5 时，26-2x =16>12 (舍去），当 x =8 时，26-2x =10<12，故所围矩形猪舍的长为 10m ，宽为 8m. 当堂检测 1.B2.解：设铁板的宽为x cm, 则长为2x cm. 依题意得5(2x-10)(x-10)=3000 ，即x2-15x-250=0.解得x1=25，x2=-10(舍去）.所以2x=50.答：铁板的长50cm，宽为25cm.3.解：设横向彩条的宽度2x cm , 竖彩条的宽度3x cm ，依题意得(20-6x)(30-4x)=400，即6x2-65x+50=0.解得x= 5 , x = 10 （舍去）. 2x = 5 , 3x = 5 .1 623 2答：横向彩条的宽度5 cm ,竖彩条的宽度5 cm.3 2能力提升解：若设出发x s 后可使△PCQ 的面积为9cm² ,根据题意得AP= x cm，PC=(6-x)cm，CQ=2x cm.依题意得，整理，得x2-6x+9=0，解得x1= x2=3.答：点P，Q 出发3s 后可使△PCQ 的面积为9cm².。
用一元二次方程解决几何图形问题PPT课件
b
a
S 1 ah 2
a
S 1 ab 2
a
S a2
a
S ab
a h
b
S 1 (a b) h 2
S ah
r
S r2
1．直角三角形两条直角边的和为7，面 积为6，则斜边为（ ）． 2．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长 方形，余下的面积是48cm2，则原来的正 方形铁片的面积是（ ）． 3、在一块长10m，宽6m的矩形纸片，
32m
2om
变式： 如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上 修筑横纵的宽度比为2：1的道路（图中白色部 分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积 为540m2，求道路的宽.
小结
灵活运用“平移变换”利用对分离的 图形的面积进行“整体表示”，使问 题简化，做到不重不漏。
一元二次方程与动态几何综合
将纸片四个角剪去一个同样的正方形， 制成底面积是12m2的无盖长方体纸盒， 设剪去的正方形边长为xcm,则可列出 关于x的方程为 •
4.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠 墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,设 AB边为Xm可列方程
B
C
A
小结
列一元二次方程解应用题的步骤 审、设、列、解、检、答．
解： (2)由题意知PQ2＝PB2＋BQ2＝(5－x)2＋(2x)2， 若PQ＝5 cm，则(5－x)2＋(2x)2＝25. 解得x1＝0(舍去)，x2＝2. 故2 s后，PQ的长度为5 cm.
(3)不能．理由如下：仿照(1)，得 解：
1 (5－x)·2x＝7， 整2 理，得x2－5x＋7＝0. ∵Δ＝b2－4ac＝25－4×1×7＝－3＜0， ∴此方程无实数解． ∴△PBQ的面积不能为7 cm2.
人教版九年级上册第21章 几何图形问题(17页)
随堂练习
1.客轮沿折线A-B-C从A出发经B再到C匀速航行,货轮从AC的中点D出发
沿某一方向匀速直线航行,将一批物品送达客轮,两船若同时起航,并同时
到达折线A-B-C上的某点E处,已知AB=BC=200海里, ∠ABC=90°,客轮
速度是货轮速度的2倍.两船相遇之处E点(D )
A
A.在线段AB上;
21.3 实际问题与一元二次方程 课时3 几何图形问题
学习目标
1.掌握运用几何图形的面积建立一元二次方程的数学模型. （难点） 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
复习引入
问题：某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽
的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草
当x=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10 答:这个长方形框的框边宽为5cm
探究新知
小结
主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量 关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之 间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
探究新知
例：如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽 都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？
D
B.在线段BC上;
C.在线段AC上;
D.可在线段AB上,也可以在线段BC上;
C
B
随堂练习
2. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制
成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，
设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ B ）
21.3实际问题与一元二次方程（第三课时）导学案含答案解析
21.3 实际问题与一元二次方程（第3课时）导学探究:阅读教材P20-21，回答下列问题：1、探究3中有哪些数量关系？2、是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，这个比是多少？上、下边衬与左、右边衬宽度之比是多少？3.教科书是根据什么选取未知数的?又是利用怎样的数量关系列出方程的?4.如果根据正的长方形的长、宽比为9，7，设正长方形的长、宽，并利用“长方形面积=封面面积的四分之三”列方程，间接求上、下边衬与左、右边衬宽可以吗?若可以，你试一试.归纳梳理1.列方程解应用题，一般直接设元，即问什么就设什么; 有时为了好理解，也采用间接设未知数的方法，列方程求解.2.利用一元二次方程分析解决几何图形问题，要抓住图形的特征(如面积关系、图形性质等)，在分析题意的基础上建立方程，通过解方程来解决实际问题.3一元二次方程解决实际问题，要回到实际问题中进行解释和________，看求出的解是否符合__________.典例探究【例1】（·广西百色）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m 长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．（1）求这地面矩形的长；（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？总结：解决几何图形问题的关键是掌握常见几何图形的面积、体积公式，并能熟练计算由基本图形构成的组合图形的面积.对于不规则图形的面积问题，往往通过平移、割补等方法把不规则图形转化为规则图形，运用规则图形的面积公式列出方程．练1:（•番禺区校级月考）如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑宽度一样的三条道路（如图），把耕地分成大小相等的6块作为试验田，要使试验田面积为504m2，求每条道路的宽度为多少米.练2．（•金湾区校级一模）某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪ABCD．（1）当矩形草坪面积为120平方米时候，求该矩形草坪BC边的长．（2）怎样围能得到面积最大的草坪？夯实基础1、（•槐荫区三模）如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的．如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为（）A．7 B．6 C．5 D．42、（•东西湖区校级模拟）如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40m，宽为26m，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为864m2，求路的宽度为m．3．（•红塔区模拟）如图，在长为80米，宽为60米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为4524米2，则道路的宽应为多少米？4、（春•昆明校级期末）如图，在长为32米，宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上小草．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为_______米．5．（•长宁区二模）如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为40米、长为60米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化．当阴影部分面积为800平方米时，小路宽x为多少米．6．（•赣州模拟）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．（1）问：依据规律在第6个图中，黑色瓷砖有28 块，白色瓷砖有42 块；（2）某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？7．光明小区要修建一个圆形花坛，平面设计图如图．（1）花坛的直径为10m，在它周围要铺一条2m宽的鹅卵石环形小路，这条小路的面积是多少平方米？（2）要在花坛中最大的正方形区域里种植花卉，种植花卉的面积有多大？（3）花坛内其余的部分用来种植草坪，种植草坪的面积有多大？典例探究答案【例1】（·广西百色）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m 长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．（1）求这地面矩形的长；（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）根据题意表示出长方形的长，进而利用长×宽=面积，求出即可；（2）分别计算出每一规格的地板砖所需的费用，然后比较即可．【解答】（1）设这地面矩形的长是xm，则依题意得：x（20-x）=96，解得x1=12，x2=8（舍去），答：这地面矩形的长是12米；（2）规格为0.80×0.80所需的费用：96÷（0.80×0.80）×55=8250（元）．规格为1.00×1.00所需的费用：96÷（1.00×1.00）×80=7680（元）．因为8250＞7680，所以采用规格为1.00×1.00所需的费用较少．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解。
人教版数学九年级上册21.3.3 面积问题课件(共25张PPT)
20-x x
-x
32
解得 x1=2，x2=50
当x=50时，32-x=-18（不合题意，舍去）.
x
∴取x=2. 答：道路的宽为2米.
20 20-x 32-x
x
32
例2 如下图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20 m长的篱笆，怎样围 成一个面积为50m2的矩形场地？
解：设与墙垂直的篱笆长为xm，则与墙平行的 篱笆长为(20-2x)m. 由题意得：x(20-2x)=50， 整理得： x2-10x+25=0， 解得： x1=x2=5，所以20-2x=10. 答： 用20m长的篱笆围成一个长为10m，宽为5m的矩形(其中一边长 10m，另外两边长5m).
道路的宽为多少？
利用“图形经过移动，它的面积 大小不会改变”的性质，把纵、 20 横两条路移动一下，使图形变 成规则的，则列方程就容易些
x
20-x x
32-x 32
x
解：设道路的宽为 x 米，则实际宽为
(32-x)cm，实际长为(20-x)cm.
20
(32-x)(20-x)=540
整理，得 x2-2x+100=0
中央图形长×中央图形宽= 3 27 21
4
21cm
上下边衬 ：左右边衬=9 ：7
分析：封面的长宽之比是 27:21＝9:7，中央的矩形的长宽之比也应是 9:7. 设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm，由此得上、下边衬 与左、右边衬的宽度之比是
27－9a ∶21－7a ＝9:7
2
新知学习
封面长 ：封面宽=9 ：7
探究
中央图形长 ：中央图形宽=9a ：7a
如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽
一元二次方程的应用(几何问题)
下的部分种上草坪，要使草坪的面积为
540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x m，且 x＜20.
x
可列方程为 (32 − x)(20 − x) = 540，
解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2. 答：道路的宽为 2 m.
20-x 32-x
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
27 cm
21cm
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
分析:这本书的长宽之比为 9 : 7 ，正中央的长方形的长宽 之比为 9 : 7 ，上下边衬与左右边衬的宽度 之比为 9 : 7.
解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a， 由此得到上下边衬宽度之比为
27 cm
1 (27 9a) : 1 (21 7a)
多少米？
A
D
解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得 (58 − 2x)x = 200，
B
C
整理得 x2 − 29x + 100 = 0. 解得 x1 = 25，x2 = 4. 当 x = 25 时，58 − 2x = 8；
当 x = 4 时，58 − 2x = 50.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 25 m，8 m 或 4 m， 50 m.
答：道路的宽为 (18 - 274) m.
x
20-x
32-2x 32
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样
宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草
坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道
路的宽为多少？
2x
解：设道路的宽为 x m，且 x＜10.
21.3.3实际问题与一元二次方程6(面积问题)
智慧
你能行吗
一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽 多2m，苗圃的长和宽各是多少？
解：设矩形的宽为xm，则长为(x＋2) m, 根据题 意得：
x (x＋2) ＝120.
x
X+2
一元二次方程的 几何解法
x X+2
X+2 x
X+2 x
3、一元二次方程的几何解法: 解方程 X² +2x-35=0
解:要放x层,则每一层放 (1+x) 支铅笔.得 x (1+x) =190×2 X2 ＋ X －380＝0
解得X1＝19，
X2＝ － 20(不合题意)
答:要放19层.
几何问题方法提示：
1)有关几何图形的面积问题, 与面积公式是等量关系；
如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之
间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程; 2)与直角三角形有关的问题：用勾股定理列方程。即直
考点：一元二次方程的应用． 专题：几何图形问题． 分析：设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列 出方程求解即可． 解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30-2x）（20-x）=532． 整理，得x2-35x+34=0． 解得，x1=1，x2=34． ∵34＞20（不合题意，舍去）， ∴x=1． 答：小道进出口的宽度应为1米． 点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并 列出方程．
根据题意可列方程
整理得
1 x10 x 12 2
解得
x2－10x+24 = 0. x1=4, x2=6(不符题意).
边长＝
根据勾股定理
2 3 13
人教版九年级数学上册《21.3.3 用一元二次方程解几何问题》教学课件
551平方米，则修建的路宽应为( A )
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
知2－练
2 如图是由三个边长分别为6，9和x的正方形所组 成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部 分，则x的值是( D ) A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6
知1－练
1 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动 场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米， 则可列方程为( C ) A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180 C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180
知1－练
2 一个直角三角形的两条直角边的和是14 cm，面 积是24 cm2.求两条直角边的长．
下底为(x+20)cm.
知1－讲
根据题意得
1 x x 4 x 20 160
2
整理，得 x2 12x 160 0
解得 x1=8 , x2=－20 ( 不合题意，舍去 ) 答：这个梯形的高为8cm.
归纳
知1－讲
利用一元二次方程解决规则图形问题时，一 般要熟悉几何图形的面积公式、周长公式或体积 公式，然后利用公式进行建模并解决相关问题.
知识点 1 规则图形的应用
知1－讲
例1 等腰梯形的面积为160cm2,上底比高多4cm, 下底比上底多16cm，求这个梯形的高.
导引： 本题可设高为x cm，上底和下底都可以用含 x的代数式表示出来.然后利用梯形的面积 公
式来建立方程求解. 解： 设这个梯形的高为 x cm,则上底为（x+4）cm,
知识点 2 不规则图形的应用
知2－讲
例2 如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩 形．如果要使四周的彩色边衬所 占面积是封面面积的四分之—， 上、下边衬等宽，左、右边衬等 宽，应如何设计四周边衬的宽度 (结果保留小数点后一位)?
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第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
知识点1 一般图形的问题
1．(黔西南中考)某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x 米，则可列方程为( )
A ．x(x －11)＝180
B ．2x ＋2(x －11)＝180
C ．x(x ＋11)＝180
D ．2x ＋2(x ＋11)＝180
2．有一个面积为16 cm 2的梯形，它的一条底边长为3 cm ，另一条底边长比它的高线长1 cm ，若设这条底边长为 x cm ，依据题意，列出方程整理后得( )
A ．x 2＋2x －35＝0
B ．x 2＋2x －70＝0
C ．x 2－2x －35＝0
D ．x 2－2x ＋70＝0
3．(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120 m 2，如果它的长减少2 m ，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是______m.
4．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm ，面积是7 cm 2，这两条直角边长分别为__________．
5．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN 最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m 2.
知识点2 边框与甬道问题
6．如图，在长70 m ，宽40 m 的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(如阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面
积的18
，则路宽x 应满足的方程是( )
A ．(40－x)(70－x)＝350
B ．(40－2x)(70－3x)＝2 450
C ．(40－2x)(70－3x)＝350
D ．(40－x)(70－x)＝2 450
7．(兰州中考)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x 米，根据题意可列出的方程为________________________________________________________________________．
8．如图所示，某小区计划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB 垂直，另一条与AB 平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144平方米，求甬路的宽度．
9．如图所示，在一块正方形空地上，修建一个正方形休闲广场，其余部分铺设草坪，已知休闲广场的边长是正方形空地边长的一半，草坪的面积为147 m 2，则休闲广场的边长是________m.
10．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m 2?
11．已知一个包装盒的表面展开图如图．
(1)若此包装盒的容积为1 125 cm3，请列出关于x的方程，并求出x的值；
(2)是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为1 800 cm3？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由．
综合题
12．已知如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．
(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?
(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?
(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．。