第六节 高级计数 北京大学计算机系离散数学讲义(ppt版)
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离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
《离散数学概述》PPT课件
同 子代数 种
的 积代数 同
类 商代数 型
的 新代数系统
22
半群与群
广群 二元运算的封闭性
结合律
半群
交换律
交换半群
单位元 交换律
独异点
每个元素可逆 交换律
群
交换独异点 实例
Abel群
生成元
Klein群 循环群
有限个元素
有限群
编辑ppt
实例
n元置换群
23
图论
图论是离散数学的重要组成部分，是近代应用数学的重要分支。
由于在计算机内,机器字长总是有限的, 它代表离散的数或其
它离散对象，因此随着计算机科学和技术的迅猛发展,离散数
学就显得重要。
编辑ppt
5
离散数学的内容
数理逻辑： “证明”在计算科学的某些领域至关重要，构 造一个证明和写一个程序的思维过程在本质上是一样的。
组合分析：解决问题的一个重要方面就是计数或枚举对象。
编辑ppt
20
代数系统
近世代数，……，是关于运算的学说，是关于运算规则 的学说，但它不把自己局限在研究数的运算性质上，而 是企图研究一般性元素的运算性质。
——Ｍ.Klein
数学之所以重要，其中心原因在于它所提供的数学系统 的丰富多彩；此外的原因是，数学给出了一个系统，以 便于使用这些模型对物理现实和技术领域提出问题，回 答问题，并且也就探索了模型的行为。
1736年是图论历史元年，因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》，所以人
们普遍认为欧拉是图论的创始人。
1936年，匈牙利数学家寇尼格（Konig）出版了图论的第一部专 著《有限图与无限图理论》，这是图论发展史上的重要的里程碑 ，它标志着图论将进入突飞猛进发展的新阶段。
离散数学(精选优秀)PPT
二、命题的表示法
1、命题标识符：表示命题的符号称为命题标识符。在数理逻辑中，使 用大写字母，或带下标的大写字母，或用方括号括起的数字表示命题。
例：P： 今天下雨。 “今天下雨”是一个命题，P是命题标识符。
它形成于七十年代初期，是一门新兴的工具性学科。
离散数学的应用
◆关系型数据库的设计（关系代数） ◆表达式解析（树） ◆编译技术、程序设计语言（代数结构） ◆人工智能、自动推理、机器证明（数理逻辑） ◆网络路由算法（图论） ◆游戏中的人工智能算法（图论、树、博弈论） ◆专家系统（集合论、数理逻辑—知识和推理规则的计算机表达） ◆软件工程—团队开发—时间和分工的优化（图论—网络、划分） ◆(各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估（离散数学的
第一章 命题逻辑
目标语言：就是表达判断的一些语言的汇集。 目标语言和一些符号公式构成了数理逻辑的形式 符号体系。
1-1 命题及其表示法
一、命题
1、定义 能表达判断的陈述句，称作命题（Proposition）。 例：判断下列语句是否为命题: (陈1)述地句球：外述存说在一智件事慧情生的物句。子，句末用句号。 (祈2)使1＋句1：=要10求。或者希望别人做什么事或者不做什么事时用的 (句3)子今，天句下末雨用。句号或感叹号。 (疑4)问你句今：年提暑出假问去题的旅句行子吗，？句（末疑用问问号句。） (感5)叹克句里：特带岛有人浓说厚感：情“的克句里子特，岛句末人用是感说叹谎号话。者”。 悖（：相悖反论。）悖论：自相矛盾的陈述。
各分支）
教材
左孝凌，李为鉴，刘永才编著．离散数学．上海： 上海科学技术文献出版社,1982 主要参考教材: 孙吉贵，杨凤杰，欧阳丹彤，李占山编著．离散数 学．高等教育出版社，2002
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学北京大学出版社第二版配套PPT课件_屈婉玲_耿素云_张立昂ch
离散数学北京大学出版社第二版配套PPT课件介绍本文档是北京大学出版社出版的《离散数学》第二版的配套PPT课件的简介。
透过课件，学生可以更好地理解和学习离散数学的概念和原理。
课件的作者包括屈婉玲、耿素云和张立昂等离散数学领域的专家，他们精心设计了课件的内容和布局，旨在帮助学生更好地理解离散数学的基础知识，并应用到实际问题中。
内容概述离散数学是计算机科学和信息技术中的一门基础课程，它研究离散的数学结构和离散对象之间的关系。
离散数学的理论和方法在计算机科学、密码学、人工智能等领域有着广泛的应用。
《离散数学》第二版的配套PPT课件涵盖了离散数学的主要内容，包括集合论、逻辑、关系、图论、计数原理等。
课件的设计旨在让学生通过图示、例子和练习等形式来理解和掌握离散数学的概念和方法。
课件还提供了一些附加材料和参考资料，供学生进一步学习和探索离散数学的相关内容。
课件特点1.系统性：课件内容有机地连接起来，形成一个完整的体系，学生可以从不同的章节中逐步深入学习离散数学的不同方面。
2.可视化：课件中使用了大量的图示和示例，帮助学生更直观地理解离散数学的概念和原理。
3.互动性：课件中设置了各种练习和思考题，鼓励学生积极参与和思考，提高学习效果。
4.实用性：课件中的例子和实际应用案例帮助学生将离散数学的理论应用到实际问题中，增强学习的实际效果。
使用指南学生可以使用任何支持Markdown文本格式的编辑器来打开和阅读本课件。
在阅读的同时，建议学生积极参与，思考课件中的问题，并完成相应的练习。
学生还可以根据自己的学习情况，有针对性地选择课件中的章节进行学习。
附加材料《离散数学》第二版的配套PPT课件还提供了一些附加材料，供学生进一步学习和探索离散数学的相关内容。
这些附加材料包括参考资料、习题解答和扩展阅读等。
学生可以根据自己的学习需要，选择适合自己的附加材料进行阅读。
结语《离散数学》第二版的配套PPT课件是学习离散数学的重要辅助工具，它通过图示、例子和练习等形式，帮助学生更好地理解和掌握离散数学的概念和方法。
北大离散数学chap6 ppt课件
15
例4、Z60,1,2,3,4,5，求模6的加群 Z 6 ,
中各元素的阶。
解：因 2220，即 2 3 0 ， 所以 2 3 。
同理可得：1 6 ，3 2 ， 4 3
5 6 ，0 1 。
2020/10/28
16
6、群的性质。
(1) x, yG，(x1)1 x，(xy) 1y 1 x 1。 (2) 若 G 1 ，则 G 中无零元。 (3) G 中消去律成立，即
若 ab ac，则 b c ， 若 ba ca，则 b c 。
2020/10/28
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6、群的性质。 (4) 幺元是群中唯一的幂等元。
(5) a,bG，方程 ax b和 ya b 在 G
中有唯一解。 (6) 有限群的运算表中，每一行 (每一列)都是
G 中元素的一个排列。
不同行 (列)的排列不同。
证明：反之，设 a,bG，(ab)2 a2b2 ， 即 (ab)(ab)(aa)(bb)， 即 a(ba)ba(ab)b，
由消去律，得 ba ab ，
故G 为阿贝尔群。
2020/10/28
20
例6、如果 G 中的每一个元素 a 都满足 a 2 e ， 则 G 是阿贝尔群。 证明：a,bG ， 由题设知，a1 a ，b 1 b，(ab)1 ab
2020/10/28
8
二、群。 1、定义。
代数系统 G , 满足：
①结合律， ②有幺元， ③任意元有逆元，
则称 G , 为群。
2020/10/28
9
例2、(1) Z , ，Q , ， R , 都是群， 因任意元素 x 的逆元 ( x ) 存在， 而 Z , ，N , 不是群，
Z , 没有幺元，
离散数学讲义ppt课件
课程概况
教材：
《离散数学（第三版）》，耿素云等编著 清华大学出版社，2004年3月
参考书：
（1） 《离散数学(第二版)》及其配套参考书《离散 数学题解》作者：屈婉玲，耿素云，张立昂 清华大学出版社
（2） 《离散数学》焦占亚主编 电子工业出版社 2005年1月
2
课程概况
选修课/必修课：选修 周学时：3（学时） 上课周：1－16周 总学时：48（学时）
3
课程内容及学时安排
第一篇 数理逻辑（14学时）
第一章 命题逻辑（8） 第二章 谓词逻辑（6）
第二篇 集合论（12学时）
第三章 集合（4） 第四章 二元关系与函数（8）
第四篇 图论（14学时）
第七章 图论（8） 第八章 一些特殊图（4） 第九章 树 （2）
4
课程考核
第四篇 代数系统（8学时）
第5、6章 图论（8）
所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。
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NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发 师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我 也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但 是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来 刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的 人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他 任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发 师刮脸了！
P
Q
PQ
P
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
离散数学课件ppt
随机性与概率
随机性表示试验结果的不 确定性，概率则表示随机 事件发生的可能性大小。
统计数据的收集和整理
数据来源
数据质量
数据可以来源于调查、实验、观测、 查阅文献等多种途径。
数据质量包括数据的准确性、可靠性 、完整性等方面，是数据分析的前提 和基础。
数据整理
数据整理包括数据的分类、排序、分 组、编码等步骤，以便更好地进行数 据分析。
必然事件
概率值为1的事件。
03
04
不可能事件
概率值为0的事件。
互斥事件
两个或多个事件不能同时发生 。
概率的加法原理和乘法原理
加法原理
对于任意两个互斥事件A和B，有 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
乘法原理
对于任意两个事件A和B，有 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
条件概率和独立性
要点一
条件概率
离散数学课件
目录 CONTENTS
• 离散数学简介 • 集合论基础 • 图论基础 • 离散概率论基础 • 离散统计学基础 • 离散数学中的问题求解方法
01
离散数学简介
离散数学的起源
19世纪初
集合论的提出为离散数学的起源 奠定了基础。
20世纪中叶
随着计算机科学的兴起，离散数 学逐渐受到重视和应用。
子集、超集和补集
总结词
子集、超集和补集是集合论中的重要概念，它们描述了集合之间的关系。
详细描述
子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，超集是指一个集合包含另一 个集合的所有元素，补集是指属于某个集合但不属于其子集的元素组成的集合。
集合的运算性质
总结词
集合的运算性质包括并集、交集、差集等，这些运算描述了 集合之间的组合关系。
北大离散数学ppt课件
2020/6/2
《集合论与图论》第5讲
35
特殊关系(续)
设A为任意集合, 则可以定义P(A)上的: 包含关系:
A = { <x,y> | xA yA xy } 真包含关系:
A = { <x,y> | xA yA xy }
2020/6/2
第5讲 二元关系的基本概念 北京大学
内容提要 1. 有序对与卡氏积 2. 二元关系 3. 二元关系的基本运算
2020/6/2
《集合论与图论》第5讲
1
有序对与卡氏积
有序对(有序二元组) 有序三元组, 有序n元组 卡氏积 卡氏积性质
2020/6/2
《集合论与图论》第5讲
2
有序对(ordered pair)
D
A
A
C
BC
B
A(BC) = (AB)(AC) ACBDABCD
2020/6/2
《集合论与图论》第5讲
16
例题1(证明(2))
(2) 若A, 则ABAC BC. 证明: () 若 B=, 则 BC.
设 B, 由A, 设xA. y, yB<x,y>AB
<x,y>AC xAyC yC. BC
2020/6/2
2020/6/2
《集合论与图论》第5讲
14
例题1
例题1: 设A,B,C,D是任意集合, (1) AB= A= B= (2) 若A, 则 ABAC BC. (3) AC BD ABCD,
并且当(A=B=)(AB)时, ABCD ACBD.
2020/6/2
《集合论与图论》第5讲
15
卡氏积图示
2m2
2020/6/2
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2020/6/16
对应的组合问题（放球）
n 个球放到 m 个盒子里的方法数.
球标 盒子 允许 放球方法数
对应的组合问题
号 标号 空盒
否否否 否否是 否是否 否是是 是否否
Pm(n)Pm-1(n) Pm(n)
C(n1,m1) C(n+m1,n)
n m
将 n 恰好无序拆分成 m 部分 将 n 无序拆分成 t 个部分(tm) x1+x2+…+xm=n 的正整数解 x1+x2+…+xm=n 的非负整数解 第二类 Stirling 数
x
n
第一类Stirlin数
定义：多项式 x(x-1)(x-2)…(x-n+1)的展开式为 Snxn Sn-1xn-1+ Sn-2xn-2 … + (-1)n-1S1x
将
xr
的系数的绝对值
Sr
记作
n
r
,
称为第一类 Stirling 数 实例
x(x-1)=x2-x x(x-1)(x-2)=x3-3x2+2x
1
恒等式证明
证明：
（1）
n
2
2n1
1
a1 先放在一个盒子里， 剩下的 n-1 个球每个有 2 种选择， 但是全落入 a1 的盒子的方法不符合要求，减去.
（2）
n
n
1
n 2
2020/6/16
n 个球放到 n-1 个盒子，必有一个盒子含 2 个球， 其余每个盒子 1 个球.选择两个球有 C(n,2)种方法.
系 放球问题模型及其应用
• 书面作业 习题22.33, 22.34, 22.36
2020/6/16
第二类Stirling数（恒等式
）
(1)
n 2
2
n1
1
(2)
n
n
1
n 2
n (3) n 1
(4)
n1
n n2 ...nm
m!
n m
,
对满足 n1 n2 ... nm n 的正整数解求和
(5)
km1
m k
knk!
m
n
2020/6/16
(6)
n
r
1
n i0
n i
r
i
是否是
m n
k1m
第二类 Sirling 数性质
是是否
n
m!
m
第二类 Stirling 数性质
是是是
2020/6/16
mn
km1
m k
knk!
乘法法则
对应组合问题（函数与关系计数）
（2）函数计数
|A| = n, |B|=m, 从 A 到 B 的函数个数
A 到 B 的关系：2mn
A 到 B 的函数：mn
A 到 B 的单射函数：P(m,n) = m(m-1) …(m-n+1)
A
到
B
的满射函数：m!
n m
A
到
B
的双射函数：m
=
n,
P(n,n)
=
n!
n
m
=
n!
（3）等价关系计数
n n
m1
m
2020/6/16
作业
• 复习要点 Cantalan数、两类Stirling数的概念及
应用 Cantalan数、两类Stirling数的等式关
实例
n
元对称群
Sn，在表示式中具有
r
个不交轮换的置换个数是
n
r
证明：设这样的置换为 n 个，得到这种置换的方法有两种：
r
从 Sn-1 的含 r-1 个轮换的置换中加入(n)，方法有
n1 r 1
种；
从 Sn-1 的含有 r 个轮换的置换中加入 n, 加入的方法有 n-1 种，
2020/6/16
n
1
至多 n 个不同的球放到 r-1 个相同的盒子不存在空盒的方法 按照球数分类
2020/6/16
生成函数
近似指数生成函数
(e x
1)m
(x
x2 2!
...)m
an
n0
xn n!
an
n! n1!n2!...nm !
n n1n2 ...nm
m!
n m
,
其中求和是对一切满足方程
n1 n2 ... nm n 的正整数解求和
恒等式
n (1) n 1,
(2)
n n 1
n 2
n(n 1) 2
(3) rn1nr n!
证：x 的 n 次方系数为 1；
x 的 n-1 次方系数为 1 + 2 + … + n-1 = n(n-1)/2
(3)式的证明在后面. 生成函数：x(x+1)(x+2)…(x+n-1)
2020/6/16
第六节 高级计数
高级计数 Catalan 数 第一类 Stirling 数 第二类 Stirling 数
讨论要点 定义 递推方程 恒等式 对应的组合问题 生成函数
2020/6/16
应用（栈的输出个数）
1, 2, … , n 放入堆栈后的不同的输出个数 分析：
1．1 进栈； 2．k 个数（2,…,k+1）任意进栈并且出栈； 3．1 出栈； 4．处理 k+2,…,n 的进栈问题； 步 2：子问题规模 k 步 4：子问题规模 n-k-1
2020/6/16
2 2 2 0 0, 1 1, 2 1 3 3 3 3 0 0, 1 2, 2 3, 3 1
第一类Stirling数（递推方程）
n
n 1 n 1
r
(n
1)
r
r
1
n
n
0 0, 1 (n 1)!
n r 1
x( x
1)...(
x
n
2)
n n
1 1
x n1
n1 n1
(n 1)
r
r
r 1
n
n
0,
(n 1)!
0
1
第二类Stirling数
定义：n 个不同的球恰好放到 r 个相同的盒子里的方法数
称为第二类
Stirling
数，记作
n
r
S(4,2) = 7 a,b,c | d a,b,d | c a,b | c,d
a,c,d | b b,c,d | a a,c | b,d
k0
l0
n1
k0
T (n ) x n1 G ( x ) 1
n1
x
xG 2 ( x ) G ( x ) 1 0 2 xG ( x ) 1 1 4 x ,
由于 0G (0) 0, 2 xG ( x ) 1 1 4 x
G ( x )
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n0
n
1
1
2n n
n n
1 2
x n2
...
x( x 1)...( x n 2)( x n 1)
n n
1 1
x n1
n n
1 2
x
n2
... x
n
1
其中
xr
的系数
n
r
=(n1)
n
r
1
+
n r
1 1
.
2020/6/16
第一类Stirling数（递推三角形）
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第一类Stirling数（恒等式生成函数）
恒等式证明（续）
（4）
n1
n n2 ...nm
n m!m,
对满足 n1 n2 ... nm n 的正整数解求和
对应 n 个不同的球恰好放到 m 个不同盒子的方法数（无空盒）
（5）
m
k 1
m k
knk!
m
n
按照含球的盒子数分类，对应了允许存在空盒的方法
（6）
n
r
1
kn0
n k
r
k
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n1
T
(n)
T
k 0
(k
)T
(n
1
k
)
T (1) 1
栈的输出个k )T (n 1 k )
T
(0)
k0
1,
T
(1)
1
G ( x ) T (n ) x n , n0
n1
G 2 ( X ) ( T (k ) x k )( T (l ) x l ) x n1( T (k )T (n 1 k ))
a,d | b,c
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第二类Stirling数（递推方程）
递推方程
n
r
n r
r
1
n
r
1 1
n
n
0
0,
1
1
证明：取球 a1，
a1
单独放一个盒子，
n
r
1 1
a1
不单独放一个盒子，
r
n
r
1
先放 n-1 个球到 r 个盒子里，插入 a1 有 r 种方法
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