高三数学5月第三次模拟考试试题文无答案

黄冈中学2018年高三5月第三次模拟考试数学试卷（文科）考试时间：2018年 5 月 24 日下午15:00-17:00 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．） 1．函数()ln(1)f x x =++的定义域为（） A ．(2,)+∞B ．(1,2)(2,)-+∞C ．(1,2)-D ．(]1,2-2．已知复数满足()34i 34i z +=-，为的共轭复数，则z =（ ） A ．B ．C ．D ．3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的，分别为４，2，则输出的（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．24．在区间[-1,1]上任取两个数x y 和，则221x y +≥的概率为（ ）A ．14π-B ．128π-C. 18π- D ．124π- 5．已知函数π3()cos()π)(0)22f x x x ωωω=-+<<的图象过点5π(,2)3，则要得到函数()f x 的图象，只需将函数2sin y x ω=的图象（ ） A ．向右平移2π3个单位长度 B ．向左平移2π3个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度 D ．向右平移π3个单位长度 6．某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于（ ）A ．13B ．23C ．12D ．347．函数()2ln 22e xf x x -=-的图象可能是（ ）8．若1a >，01c b <<<，则下列不等式不正确的是（ ）A ．log 2018log 2018a b >B ．log log b c a a <C.()()a a c b c c b b ->-D ．()()c ba c a a c a ->-9.已知命题对任意0x >，总有sin x x <；命题直线1:210l ax y ++=，()2:110l x a y +--=，若12l l ∥，则2a =或1a =-；则下列命题中是真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∨D ．p q ∨10.已知双曲线22142x y -=的右焦点为，A ，为双曲线左支上一点，则APF ∆周长的最小值为（ ）A ．4．4(1+C ．D11．已知直线：(4)y k x =+与圆22(2)4x y ++=相交于A ，B 两点，M 是线段AB 中点，则M到直线3460x y --=的距离的最大值为（ ） A ． 2B ．3 C ．4D ． 512．体积为的三棱锥P ABC -的顶点都在球的球面上，且PA ⊥平面ABC ，2=PA ，120ABC ︒∠=，则球的体积的最小值为（ ）A πBCD π 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()f x =e 2x x -的图象在点()()1,1f 处的切线过点()0,a ，则.14．在边长为3的正ABC △中，若3BC DC =uu u r uuu r ，则DB AD ⋅uu u r uuu r=15．设，满足约束条件1122x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≥≤，若目标函数3z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则的取值范围为．16．在如图所示的矩形ABCD 中，点E P 、分别在边AB BC 、上，以为折痕将PEB ∆翻折为PEB '∆，点恰好落在边AD 上，若1sin ,23EPB AB ∠==，则折痕PE =．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）数列{}n a 的前项和2232n nn S +=，数列{}n b 满足()*1l o g 32N n b a n n ∈-=（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求{}n n b a ⋅的前项和.18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111-ABC A B C 中，,M N 分别是1AB 和BC 的中点．（1）证明：MN ∥平面11AAC C ；（2）若12,1AA AB AC ===，90BAC ︒∠=，求棱锥1C AMN -的高．19．（本小题满分12分）随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人），从该工厂的工人中共抽查了100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）得到A 类工人生产能力的茎叶图（左图），B 类工人生产能力的频率分布直方图（右图）.（1）问A 类、B 类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的x ;（2）求A 类工人生产能力的中位数，并估计B 类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;（3) 若规定生产能力在[130，150]内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关.能力与培训时间列联表参考数据：参考公式：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中d c b a n +++=.20. （本小题满分12分）已知椭圆：22221y x a b+=（0a b >>）的上、下两个焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，且2MNF V 的周长为8，椭圆的离心率为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为坐标原点，直线：y kx m =+与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且1F M l '⊥，2F N l '⊥，求四边形12F M N F ''面积的最大值.21．（本小题满分12分）设函数()2ln f x x a x =-，()()2g x a x =-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点，； （i ）求满足条件的最小正整数的值. （ii ）求证：12'02x x F +⎛⎫> ⎪⎝⎭.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为3,4x y a ⎧=⎪⎨⎪=⎩（为参数），圆的标准方程为()()22334x y -+-=.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和圆的极坐标方程；（2）若射线()03πθρ=>与的交点为，与圆的交点为，，且点恰好为线段AB 的中点，求的值.23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||3|f x x a x =-++,()|2|3g x x =-+． （1）解不等式()6g x <；（2）若对2x R ∀∈，1x R ∃∈，使得12()()g x f x =成立，求实数a 的取值范围．黄冈中学2018年高三5月第三次模拟考试数学试卷（文科）参考答案一、选择题二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13. １ 14. 15. 63a -<< 16. 27817：解：（1）2≥n 时131-=-=-n S S a n n n当1=n 时 211==S a13-=∴n a n由nn n b b n 21log 3132=⇒-=- （2）nn n n b a 2)13(-=⋅∴n n n n Tn 2)13(2)1)1(3(2)133(2)123(2)113(1321-+--⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯+-⨯=-21322)13(2)1)1(3(2)113(2)113(+-+--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯+-⨯=n n n n Tn14322)13()2222(34+--+⋅⋅⋅++++=-n n n Tn112)13(21)21(434+-----⨯+=n n n)34(281n n -+-=+ 82)43(1+-=+n n Tn19. 解：（1）由茎叶图知A 类工人中抽查人数为25名, ∴B类工人中应抽查10025=75（名）.由频率分布直方图得(0.008+0.02+0.048+x)10=1，得x=0.024.（2）由茎叶图知A 类工人生产能力的中位数为122 由（1）及频率分布直方图，估计B 类工人生产能力的平均数为 B x =1150.00810+1250.02010+1350.04810+1450.02410=133.8（3）由（1）及所给数据得能力与培训的22列联表，由上表得12.7332575386225753862k ==≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯＞10.828因此,可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关.20.解：20．解：（1）因为2MNF V 的周长为8，所以48a =，所以2a =.又因为c a =，所以c =1b ==，所以椭圆的标准方程为2214y x +=. （2）将直线的方程y kx m =+代入到椭圆方程2214y x +=中，得()2242k xkmx +++240m -=.由直线与椭圆仅有一个公共点，知()222444k m k ∆=-+()240m-=，化简得224m k =+.设1d FM '==，22d F N '==，所以22212d d +=+()222231m k +==+()22271k k ++，12d d ==22311m k -=+，所以M N ''===. 因为四边形12F M N F ''的面积()1212S M N d d ''=+， 所以22211241k S k =⨯⨯+()2212122d d d d ++()()222234161k k k+=+.令21k t +=（1t ≥），则()()22314116t t S t --+⎡⎤⎣⎦=()()21213t t t -+==()2212231212t t t+-=+2111333t ⎡⎤⎛⎫--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以当113t =时，取得最大值为16，故max 4S =， 21.解：（1）()22'2(0)a x af x x x x x-=-=>. 当0a ≤时，()'0f x >在()0,+∞上恒成立，所以函数()f x 单调递增区间为()0,+∞，此时()f x 无单调减区间.当0a >时，由()'0f x >，得x >()'0f x <，得0x <<，所以函数()f x 的单调增区间为2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭，单调减区间为0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. （2）（i ）()()'22a F x x a x =---22(2)x a x a x ---=(2)(1)(0)x a x x x-+=>.因为函数()F x 有两个零点，所以0a >，此时函数()f x 在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.所以()F x 的最小值02a F ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即244ln 02a a a a -+-<. 因为0a >，所以4ln 402aa +->， 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数， 且()()381220,34ln 1ln 10216h h =-<=-=-<，所以()02,3a ∈，()00h a =.当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <，所以满足条件的最小正整数3a =. 又当3a =时，()()332ln30F =->，()10F =，所以3a =时，()f x 有两个零点. 综上所述，满足条件的最小正整数的值为.（2）证明：不妨设120x x <<，于是()21112ln x a x a x ---()22222ln x a x a x =---，即()21112ln x a x a x ---()22222ln 0x a x a x -+-+=，22112222x x x x +--1122ln ln ax a x ax a x =+--()1122ln ln a x x x x =+--.所以221122112222ln ln x x x x a x x x x +--=+--.因为'02a F ⎛⎫=⎪⎝⎭，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0F x <，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0F x >，故只要证1222x x a+>即可，即证明22112212112222ln ln x x x x x x x x x x +--+>+--， 即证()()22121212ln ln x x x x x x -++-22112222x x x x <+--，也就是证11221222lnx x x x x x -<+. 设12(01)x t t x =<<. 令()22ln 1t m t t t -=-+，则()()()()222114'11t m t t t t t -=-=++. 因为0t >，所以()'0m t ≥， 当且仅当1t =时，()'0m t =， 所以()m t 在()0,+∞上是增函数.又()10m =，所以当()0,1m ∈，()0m t <总成立，所以原题得证. 22.解：解：（1）在直线的参数方程中消去，可得，304x y a --+=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入以上方程中， 所以，直线的极坐标方程为3cos sin 04a ρθρθ--+=. 同理，圆的极坐标方程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=.（2）在极坐标系中，由已知可设1,3M πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,3A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，3,3B πρ⎛⎫⎪⎝⎭. 联立2,36cos 6sin 140,πθρρθρθ⎧=⎪⎨⎪--+=⎩可得(23140ρρ-++=，所以233ρρ+=+因为点恰好为AB 的中点，所以1ρ=3M π⎫⎪⎪⎝⎭.把323M π⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭代入3cos sin 04a ρθρθ--+=，得(31130224a +⨯-+=， 所以94a =. 23.解：(Ⅰ)由236x -+<，得6236x -<-+<， ∴923x -<-<，得不等式的解为15x -<<.(Ⅱ)()()()232323f x x a x x a x a =-++≥--+=+， ()233g x x =-+≥，对任意的2x R ∈均存在1x R ∈，使得21()()f x g x =成立， {}{}()()y y f x y y g x =⊆=，233a +≥，解得0a ≥或3a ≤-，即实数的取值范围为：0a ≥或3a ≤-．。