高考数学总复习 专题04 第1节 向量概念及线性运算课件 文
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高考一轮文数ppt课件：第四章-第一节-平面向量的概念及线性运算
④若 m=n,n=p, ⑤若 a//b,bc,
则 m=p; 则 a///c.
其中不正确的个数是( )
A. 2 C. 4
B. 3 D. 5
解析 答 案
考点一
考点二
(2)给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量， 一定是共线向量. ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小. ③a=0(a 为实数),则λ必为零. ④ ,μ为实数，若a=μb, 则 a 与 b 共线. 其中错误的命题的个数为( )
-2e₂ 共线，则实数t 的值为
.
(3)如图所示，在△ABO 中，
,OD
,AD 与 BC 相交于点M, 设OA=a,
OB=b. 试用a 和 b 表示向量OM.
解析 答案
21
考点一
考点二
(1)设 c=xa+yb, 则
,x+2y), 所以
解得
则
, 故 选 A.
(2)因为2te₁+e₂ 与 e₁-2e₂ 共线，所以存在实数2,使2te₁+ e₂=λ(e₁-2e₂),则(2t-2)e₁=(-2λ-1)e₂,由于e₁ 和e₂不共线，
4.(2017 ·高考全国卷 I 改编)若 a=(-1,2),b=(m,1), 当 a
⊥b时，求a+b.
答案：(1,3)
11
考点一
考点二
向量的基本概念 |易错突破
[例1] (1)给出下列五个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若 |a |= |b |, 则 a=b;
③在□ABCD 中，一定有AB=DC;
A.(2,2) C. (2,2)或(3,- 1)
B.(3,—1) D. (2,2)或(3,1)
高考数学一轮总复习 4.1平面向量的概念及其线性运算课件
×2A→D＝A→D，故选A.
答案 A
精选ppt
17
知识点三 共线向量定理
5.判一判 (1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．( ) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( ) (3)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则 λ＝－12.( ) (4)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分必要 条件．( )
21
问题3 为什么共线定理b＝λa中要求a≠0？如何应用共线定
理证明三点共线？
(1)若a＝0，当b＝0时，λ有无数多个值，b≠0时，λ值不存
在，所以要求a≠0；
(2)证明三点共线，若存在实数λ，使
→ AB
＝λ
→ AC
，则A，B，C
三点共线．这里注意A→B与A→C有公共点A.
精选ppt
22
高频考点 考点一 向量的有关概念 【例1】 给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②若A→B＝D→C，则四边形ABCD为平行四边形； ③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
上，所以ABCD不一定是四边形．
③不正确．两向量不能比较大小．
④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝
μb，但a与b不一定共线．
答【规律方法】 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④ 是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行 判定的行之有效的方法．
10
对点自测 知识点一 向量的有关概念 1.判一判 (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向 量．( ) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( )
高考数学总复习 第四章 第一节向量与向量的线性运算课件 文
第二页，共35页。
课前自修
知识(zhī shi)梳理
一、平面向量(xiàngliàng)的概念 1．平面向量(xiàngliàng)． 平面内既有大小又有方向的量叫做向量(xiàngliàng)． 向量一般用 a，b，c，……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如A→B.向量A→B的大小即向量的模(长度)，记作 |A→B|.即向量 a 的大小，记作|a|.
O→N，M→N.
第十八页，共35页。
解析：∵BM＝13BC＝16BA， ∴B→M＝16B→A＝16O→A－O→B ＝16a－b， ∴O→M＝O→B＋B→M＝16a＋56b. ∵CN＝13CD， ∴ON＝43CD＝23OD. ∴O→N＝23O→D＝23O→A＋O→B＝23a＋b. ∴M→N＝O→N－O→M＝12a－16b.
第十四页，共35页。
③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同． 又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同． ∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能 得到 a＝b，故|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必 要不充分条件． ⑤不正确．考虑 b＝0 这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案：②③
＝34|A→C|，∴两个三角形面积之比为||AP→→CC||＝34.故选 A.
答案：A
第二十五页，共35页。
考点
共线向量(xiàngliàng)定理的应用
(kǎo
diǎn【)四例 4】 (2012·重庆市模拟)已知 A，M，B 三点共线，mO→A－
3O→M＋O→B＝0，若A→M＝tB→A，则实数 t 的值为
答案：B
第十页，共35页。
课前自修
知识(zhī shi)梳理
一、平面向量(xiàngliàng)的概念 1．平面向量(xiàngliàng)． 平面内既有大小又有方向的量叫做向量(xiàngliàng)． 向量一般用 a，b，c，……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如A→B.向量A→B的大小即向量的模(长度)，记作 |A→B|.即向量 a 的大小，记作|a|.
O→N，M→N.
第十八页，共35页。
解析：∵BM＝13BC＝16BA， ∴B→M＝16B→A＝16O→A－O→B ＝16a－b， ∴O→M＝O→B＋B→M＝16a＋56b. ∵CN＝13CD， ∴ON＝43CD＝23OD. ∴O→N＝23O→D＝23O→A＋O→B＝23a＋b. ∴M→N＝O→N－O→M＝12a－16b.
第十四页，共35页。
③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同． 又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同． ∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能 得到 a＝b，故|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必 要不充分条件． ⑤不正确．考虑 b＝0 这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案：②③
＝34|A→C|，∴两个三角形面积之比为||AP→→CC||＝34.故选 A.
答案：A
第二十五页，共35页。
考点
共线向量(xiàngliàng)定理的应用
(kǎo
diǎn【)四例 4】 (2012·重庆市模拟)已知 A，M，B 三点共线，mO→A－
3O→M＋O→B＝0，若A→M＝tB→A，则实数 t 的值为
答案：B
第十页，共35页。
2025届高中数学一轮复习课件《平面向量的概念及线性运算》ppt
单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量
高考一轮总复习•数学
第6页
名称
定义
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又
平行向量 叫共线向量．
规定：零向量与任意向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量
相反向量 长度相等且方向相反的向量
高考一轮总复习•数学
第7页
二 向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
E，F，G 是函数的图象与 x 轴的交点，则(O→A ＋O→B )·(O→C ＋O→D )＝__1_2_π_2___.
高考一轮总复习•数学
第25页
解析：(1)因为|A→B |＝|A→C |＝|A→B －A→C |＝2，所以△ABC 是边长为 2 的正三角形，所以
|A→B ＋A→C |为△ABC 的边 BC 上的高的 2 倍，所以|A→B ＋A→C |＝2 3.
高考一轮总复习•数学
第20页
对点练 1(多选)(2024·山东烟台月考)给出下列命题，其中叙述错误的命题为( ) A．向量A→B的长度与向量B→A的长度相等 B．向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反 C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a 与 b 方向相反 D．若非零向量 a 与非零向量 b 的方向相同或相反，则 a＋b 与 a，b 之一的方向相同 解析：A 正确，A→B与B→A是相反向量，长度相等；B，C 错误，当 a，b 其中之一为 0 时，不成立；D 错误，当 a＋b＝0 时，不成立．故选 BCD．
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
Байду номын сангаас
高考数学一轮总复习 第四章 第1节 平面向量的概念及线性运算课件
a0＝|aa|
共线(平 如果向量的基线__互__相__平__行__或__重__合___，则称这 向量 a 与 b 平行
行)向量 些向量共线或平行 记作 a∥b
相等 向量
__同__向__且__等__长____的有向线段表示同一向量， 或相等的向量
如A→B＝a
相反 向量
与向量 a__反__向____且等长的向量，叫做 a 的 相反向量
1．向量的有关概念
[要点梳理]
名称
定义
备注
向量
具有_大__小___和_方__向___的量；向量的大小叫 做向量的长度(或_模___)
如 a，A→B
零向量 __长__度__等__于__零___的向量；其方向不确定 记作 0
单位 向量
给定一个非零向量 a，与 a同__向__且__模__为__1__ 的向量，叫做向量 a 的单位向量，可记作 a0.
则A→B＝D→C是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；③若 a
＝b，b＝c，则 a＝c；④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b.
其中正确命题的序号是( )
A．②③
B．①②
C．③④
D．②③④
[解析] ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向 不一定相同．
②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C， 又 A，B，C，D 是不共线的四点， ∴四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|， 因此， A→B＝D→C.
[解析] 由向量减法的三角形法则，易知选 B.
[答案] B
2．如图，e1，e2 为互相垂直的单位向量，则向量 a－b 可 表示为( )
高考数学(文)一轮复习课件：4-1平面向量的概念及线性运算(人教A版)
(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．
(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大
小．
(3)λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．
(4)λ，μ 为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误命题的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：C 解析：(1)错误．两向量共线要看其方向而不是起点与 终点． (2)正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能 比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．
3. 正确区别向量的加减法及其几何意义．在A→B＋B→C ＝A→C中，A→B的终点与B→C的起点相同；在A→B－A→C＝C→B中， A→B与A→C共始点；首尾相连的封闭向量链，各向量之和为 零向量，如A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.
4. 证明三点 A、B、C 共线，借助向量，只需证明由 这三点 A、B、C 所组成的向量中有两个向量共线，即这 两个向量之间存在一个实数λ ，使 a＝λb(b≠0)即可.
[解析] ①该命题不正确．零向量不是没有方向，而 是方向任意；
②该命题不正确．|a|＝|b|只是说明这两个向量的模 相等，但其方向未必相同；
③该命题不正确．单位向量只是模均为单位长度1， 而对方向没有要求；
④该命题不正确．有向线段只是向量的一种表示形 式，不能把两者等同起来；
⑤该命题正确．由向量相等的定义知，a与b的模相 等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向 相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a ＝c；
思考：若把平面内所有的单位向量的起点移到同一个 点，它们的终点组成什么图形？
提示：以所给点为圆心，以 1 为半径的圆．
3. 向量的线性运算
高考数学(理)一轮复习精选课件：第4章 第1节 平面向
闯关二：典题针对讲解——与三角形联系，求参数的值
[例 4] (2013·江苏高考)设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的
点，AD＝1AB，BE＝2BC.若
2
3
DE
＝λ1
AB ＋λ2
AC
(λ1，λ2 为实数)，
则λ1＋λ2 的值为________．
【解析】 DE ＝ DB ＋ BE ＝1 AB ＋2 BC ＝1 AB ＋2( AC － AB )＝
42
33
24
33
解析：选 B 如图， AF ＝ AD ＋ DF ，
由题意知，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，
故
DF
＝1 3
AB
，则
AF
＝1a＋1b＋1 223
1a－1b 22
＝2a＋1b. 33
高频考点全通关——平面向量的线性运算
闯关四：及时演练，强化提升解题技能
2. 若 O 是△ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，
高频考点全通关——平面向量的线性运算
闯关二：典题针对讲解——考查向量加法或减法的几何意义
[例 1] (2012·辽宁高考)已知两个非零向量 a，b 满足
|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( ) A．a∥b B．a⊥b C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
【解析】法一：(代数法)将原式平方得|a＋b|2＝|a－b|2，
第一节 平面向量的概念及其 线性运算
1．了解向量的实际背景．
考 2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
纲 3．理解向量的几何表示．
展 4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量
高考数学(文)复习课件《4-1平面向量的概念及线性运算》
研考向
____________________[通关方略]____________________
要点
探究
1．向量与有向线段
悟典题
能力 提升
向量常用有向线段表示，它们是两个不同概念，有向线段由起点、
提素能 终点方向唯一确定，而向量是由大小和方向来确定的．
高效
训练
2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方
A．只有方向相同或相反的向量是平行向量
悟典题
能力 提升
B．零向量的长度为零
提素能
C．长度相等的两个向量是相等向量
高效
训练
D．共线向量是在一条直线上的向量
山
解析：由于零向量与任意向量平行，故选项A错误；长度相等且 东
金 方向相同的两个向量是相等向量，故C错误；方向相同或相反的两个 太
非零向量是共线向量，故D错误．
书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
悟典题
5．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λ b与2a－b共线，则λ＝
能力
提升
________.
研考向 要点 探究
共线向量定理
悟典题
能力
提升
共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，
提素能
使得 高 效
训练
b. ＝λa
山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
菜 单 隐藏
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
悟典题 能力
___________________[通关方略]____________________
第一讲+平面向量的概念及线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
2025年高考一轮总复习
第五章 平面向量与复数
第一讲 平面向量的概念 及线性运算
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量
零向量
长度为 0 的向量
记作 0
非零向量 a 的单位向 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量 量为±|aa|
(续表) 名称
共线向量 (平行向量) 相等向量 相反向量
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量 共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才 能得到三点共线.
【变式训练】
1.(2023 年桃城区校级月考)在△ABC 中，D，E 分别为边 AB， AC 上的动点，若 AD＝2DB，AE＝3EC，CD 交 BE 于点 F，A→F＝ mA→B＋nA→C，则 m＋n＝( )
(2)证明：由(1)得O→G＝(1－λ)O→P＋λO→Q＝(1－λ)·xO→A＋λyO→B. ①
∵G 是△OAB 的重心，∴O→G＝23O→M＝32×21(O→A＋O→B)＝13O→A＋ 13O→B. ②
而O→A，O→B不共线，
∴由①，②得(1－λ)x＝31， λy＝13，
解得1x＝3－3λ， 1y＝3λ.
答案：(－1，0)
3.如图 5-1-8，G 是△OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA，OB 上的动点，且 P，G，Q 三点共线.
(1)设P→G＝λP→Q，用λ，O→P，O→Q表示O→G；
(2)设O→P＝xO→A，O→Q＝yO→B.证明：1x＋1y是定值.
图 5-1-8
(1)解：O→G＝O→P＋P→G＝O→P＋λP→Q＝O→P＋λ(O→Q－O→P)＝ (1－λ)O→P＋λO→Q.
第五章 平面向量与复数
第一讲 平面向量的概念 及线性运算
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量
零向量
长度为 0 的向量
记作 0
非零向量 a 的单位向 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量 量为±|aa|
(续表) 名称
共线向量 (平行向量) 相等向量 相反向量
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量 共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才 能得到三点共线.
【变式训练】
1.(2023 年桃城区校级月考)在△ABC 中，D，E 分别为边 AB， AC 上的动点，若 AD＝2DB，AE＝3EC，CD 交 BE 于点 F，A→F＝ mA→B＋nA→C，则 m＋n＝( )
(2)证明：由(1)得O→G＝(1－λ)O→P＋λO→Q＝(1－λ)·xO→A＋λyO→B. ①
∵G 是△OAB 的重心，∴O→G＝23O→M＝32×21(O→A＋O→B)＝13O→A＋ 13O→B. ②
而O→A，O→B不共线，
∴由①，②得(1－λ)x＝31， λy＝13，
解得1x＝3－3λ， 1y＝3λ.
答案：(－1，0)
3.如图 5-1-8，G 是△OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA，OB 上的动点，且 P，G，Q 三点共线.
(1)设P→G＝λP→Q，用λ，O→P，O→Q表示O→G；
(2)设O→P＝xO→A，O→Q＝yO→B.证明：1x＋1y是定值.
图 5-1-8
(1)解：O→G＝O→P＋P→G＝O→P＋λP→Q＝O→P＋λ(O→Q－O→P)＝ (1－λ)O→P＋λO→Q.
《向量及其线性运算》课件
详细描述
向量的模是衡量向量大小的量，用符号“| |”表示。向量的模可以通过勾股定理或向量 的点积等公式计算得出。向量的模具有一些基本性质，如非负性、传递性、三角不等式 等。了解向量的模对于解决实际问题非常重要，如物理中的力、速度和加速度等都可以
用向量表示，而向量的模则可以用来衡量这些量的大小。
02
CATALOGUE
向量的线性运算
向量的加法
总结词
向量加法的定义与性质
详细描述
向量加法是向量空间的基本运算之一，其定义基于平行四边形法则。向量加法 满足交换律和结合律，即向量加法不依赖于其运算的顺序。
向量的数乘
总结词
数乘的定义与性质
详细描述
数乘是标量与向量的乘法运算，其结果仍为向量。数乘满足结合律和分配律，即 对于任意实数$k$和向量$vec{a}$，有$k(mvec{a}) = (km)vec{a}$。
总结词
向量积表示一个向量在另一个向 量上的投影面积。
详细描述
向量积的大小等于一个向量在另 一个向量上的投影面积，方向与 两向量的正交角有关，遵循右手 定则。
向量积的运算性质
要点一
总结词
向量积满足交换律和结合律，但不满足数乘分配律。
要点二
详细描述
根据向量的运算性质，我们有$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$，并且 $(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。但是，$lambda(mathbf{A} times mathbf{B}) neq mathbf{A} times lambdamathbf{B}$， 其中$lambda$是标量。
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2 3 1 3
b.
题型三 向量的共线及应用 【例3】（2010· 苏州模拟改编）设a、b是不共线的 两个非零向量. (1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a-3b，求证：A、 B、C三点共线； (2)是否存在实数k使8a＋kb与ka＋2b共线，若存在， 求出实数k的值；若不存在，请说明理由.
练习巩固
D 1. 化简 得( ) BC A. AB B. DA C. D. 0 2. 对于向量a,b,且 AB =a+2b, BC =-5a+6b,CD =7a-2b,则 共线的三点是( B ) A. A、B、C B. A、B、D C. A、C、D D. B、C、D 1.解: 原式＝ AC DB CD BA AC CD DB BA 0
解析：如图所示，记向量 a，b的终点分别为A，B， 则a－b＝ AB ＝e1－3e2.
4. (2011· 南京模拟改编)设△ABC的外心为O，以线段OA、OB 为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边 作平行四边形，它的第四个顶点为H. 若OA=a,OB=b,OC=c,用 a,b,c表示OH为 a+b+c .
（C） 3 a 3 b
5 5
（D）
【答案】D
【 解 析 】如 图
CB 1 ，CA 2，AB 5
， 在 直角 三 角形 中 ， , 则 CD
2 5
, 所以 AD D.
CA 2 CD 2 4
4 4 5 5
, 所以
AD 4 4 4 4 4 ,即 AD AB (a b) a b ，选 AB 5 5 5 5 5
高考体验
(2012 高考全国文 9) ABC 中， AB 边的高为 CD ，若 CB a ， CA b ，
a b 0 ， | a | 1 ， | b | 2 ，则 AD （A） 1 a 1 b （B） 2 a 2 b 3 3 3 3 4 4 a b 5 5
第四单元
平面向量
第一节 平面向量的概念及其线性运算
名称 向量
知识汇合
定义 既有大小又有方向的量,向量的大小 叫做向量的模(或长 单位向量
长度为零的向量,其方向是任意的 长度为1个单位的向量
记做:0 非零向量a的单位向量为
平行向量 方向相同或相反向量叫平行向量,又 0与任一向量平行或共线
a与b的差
数乘
求实数λ与向量a的 (1)|λa|=|λ||a| 积的运算 (2)当λ>0时,λa与a
λ(μa)=λμa (λ+μ)a=λa+μa
的方向相同;当λ<0
时,λa与a的方向相 反;当λ=0时,λa=0
λ(a+b)=λa+λb
典例分析
题型一 平面向量的有关概念
【例1】给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a=b； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a,b满足|a|＞|b|且a与b同向,则a＞b； ④若a//b,b//c，则a//c. 其中正确命题的序号是 . （请把正确命题的序 号都填上）
a |a|
或共线向量
叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向 量
相反向量
长度相等且方向相反的向 0的相反向量为0 量
2.向量的线性运算
向量运算 加法 定义 求两个向量和的运 算 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律:
a+b=b+a (2)结合律: (a+b)+c=
a+(b+c)
减法 求a与b的相反向量 -b的和的运算叫做 a-b=a+(-b)
题型二
平面向量的线性运算
【例2】（2010· 全国改编）△ABC中，点D在边AB上， 且AD=2DB，若CB=a,CA=b， 则CD=( ) A.
1 3
a+
2 3
b
B.
1 2 a+ 3 3
b
C.
2 3
a+
4 5
b
D.
4 5
a+
3 5
b
解：如图，由题意得AD+2BD=0, 又CD=CA+AD,① CD=CB+BD,② ①+②〓2，得3CD=CA+2CB=b+2a, ∴CD= a+
2.解析：∵ BD BC CD =2a＋4b＝2，∴ BD AB ，
AC BD DC BA
又∵BD与AB有公共点B，∴A、B、D三点共线．
3. (2011· 福州模拟)如图e1,e2为互相垂直的单位向量，则 向量a-b可表示为( C ) A. 3e2-e1 B. -2e1-4e2 C. e1-3e2 D.3e1-e2
解：(1)证明：∵AB=(3a+b)-(2a-b)=a+2b, 而BC＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2AB， ∴AB与BC共线. 又有公共点B， ∴A、B、C三点共线.
(2)假设存在实数k,使8a＋kb与ka＋2b共线，则存 在实数λ，使得(8a＋kb)＝λ(ka＋2b) (8－λk)a＋(k－2λ)b＝0， ∵a与b不共线， ∴8－λk＝0, k－2λ＝08＝2λ2λ＝〒2， ∴k=〒4.经验证，k=〒4均适合.
解：①不正确. 两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同； ②正确；∵AB=DC，∴|AB|=|DC|且AB∥DC，又 A，B，C，D是不 共线的四点，∴ 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形 ABCD为平行四边形，则AB∥DC且|AB|=|DC|， 因此，AB=DC;③向量不能比较大小,故③不正确; ④不正确,考虑b=0这种特殊情况. 综上所述，正确命题的序号是②.
解析：
OD OA OB = a＋b，
=a＋b＋c. OH OC OD
5.（2010· 湖北）已知△ABC和点M满足MA+MB+MC=0. 若存在实数m使得AB+AC=mAM成立，则m=( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
b.
题型三 向量的共线及应用 【例3】（2010· 苏州模拟改编）设a、b是不共线的 两个非零向量. (1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a-3b，求证：A、 B、C三点共线； (2)是否存在实数k使8a＋kb与ka＋2b共线，若存在， 求出实数k的值；若不存在，请说明理由.
练习巩固
D 1. 化简 得( ) BC A. AB B. DA C. D. 0 2. 对于向量a,b,且 AB =a+2b, BC =-5a+6b,CD =7a-2b,则 共线的三点是( B ) A. A、B、C B. A、B、D C. A、C、D D. B、C、D 1.解: 原式＝ AC DB CD BA AC CD DB BA 0
解析：如图所示，记向量 a，b的终点分别为A，B， 则a－b＝ AB ＝e1－3e2.
4. (2011· 南京模拟改编)设△ABC的外心为O，以线段OA、OB 为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边 作平行四边形，它的第四个顶点为H. 若OA=a,OB=b,OC=c,用 a,b,c表示OH为 a+b+c .
（C） 3 a 3 b
5 5
（D）
【答案】D
【 解 析 】如 图
CB 1 ，CA 2，AB 5
， 在 直角 三 角形 中 ， , 则 CD
2 5
, 所以 AD D.
CA 2 CD 2 4
4 4 5 5
, 所以
AD 4 4 4 4 4 ,即 AD AB (a b) a b ，选 AB 5 5 5 5 5
高考体验
(2012 高考全国文 9) ABC 中， AB 边的高为 CD ，若 CB a ， CA b ，
a b 0 ， | a | 1 ， | b | 2 ，则 AD （A） 1 a 1 b （B） 2 a 2 b 3 3 3 3 4 4 a b 5 5
第四单元
平面向量
第一节 平面向量的概念及其线性运算
名称 向量
知识汇合
定义 既有大小又有方向的量,向量的大小 叫做向量的模(或长 单位向量
长度为零的向量,其方向是任意的 长度为1个单位的向量
记做:0 非零向量a的单位向量为
平行向量 方向相同或相反向量叫平行向量,又 0与任一向量平行或共线
a与b的差
数乘
求实数λ与向量a的 (1)|λa|=|λ||a| 积的运算 (2)当λ>0时,λa与a
λ(μa)=λμa (λ+μ)a=λa+μa
的方向相同;当λ<0
时,λa与a的方向相 反;当λ=0时,λa=0
λ(a+b)=λa+λb
典例分析
题型一 平面向量的有关概念
【例1】给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a=b； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a,b满足|a|＞|b|且a与b同向,则a＞b； ④若a//b,b//c，则a//c. 其中正确命题的序号是 . （请把正确命题的序 号都填上）
a |a|
或共线向量
叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向 量
相反向量
长度相等且方向相反的向 0的相反向量为0 量
2.向量的线性运算
向量运算 加法 定义 求两个向量和的运 算 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律:
a+b=b+a (2)结合律: (a+b)+c=
a+(b+c)
减法 求a与b的相反向量 -b的和的运算叫做 a-b=a+(-b)
题型二
平面向量的线性运算
【例2】（2010· 全国改编）△ABC中，点D在边AB上， 且AD=2DB，若CB=a,CA=b， 则CD=( ) A.
1 3
a+
2 3
b
B.
1 2 a+ 3 3
b
C.
2 3
a+
4 5
b
D.
4 5
a+
3 5
b
解：如图，由题意得AD+2BD=0, 又CD=CA+AD,① CD=CB+BD,② ①+②〓2，得3CD=CA+2CB=b+2a, ∴CD= a+
2.解析：∵ BD BC CD =2a＋4b＝2，∴ BD AB ，
AC BD DC BA
又∵BD与AB有公共点B，∴A、B、D三点共线．
3. (2011· 福州模拟)如图e1,e2为互相垂直的单位向量，则 向量a-b可表示为( C ) A. 3e2-e1 B. -2e1-4e2 C. e1-3e2 D.3e1-e2
解：(1)证明：∵AB=(3a+b)-(2a-b)=a+2b, 而BC＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2AB， ∴AB与BC共线. 又有公共点B， ∴A、B、C三点共线.
(2)假设存在实数k,使8a＋kb与ka＋2b共线，则存 在实数λ，使得(8a＋kb)＝λ(ka＋2b) (8－λk)a＋(k－2λ)b＝0， ∵a与b不共线， ∴8－λk＝0, k－2λ＝08＝2λ2λ＝〒2， ∴k=〒4.经验证，k=〒4均适合.
解：①不正确. 两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同； ②正确；∵AB=DC，∴|AB|=|DC|且AB∥DC，又 A，B，C，D是不 共线的四点，∴ 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形 ABCD为平行四边形，则AB∥DC且|AB|=|DC|， 因此，AB=DC;③向量不能比较大小,故③不正确; ④不正确,考虑b=0这种特殊情况. 综上所述，正确命题的序号是②.
解析：
OD OA OB = a＋b，
=a＋b＋c. OH OC OD
5.（2010· 湖北）已知△ABC和点M满足MA+MB+MC=0. 若存在实数m使得AB+AC=mAM成立，则m=( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5