SK第一章绪论误差
第一章 1-5 误差理论简介
1. 随机误差的正态分布
测量数据概率分布 式中
p x
1 2
e
x m 2
2 2
m---位置特征 σ---离散特征
若p(x)连续，即测量次数 N→∞ m---真值 σ---标准偏差，
lim
x
i 1
NiBiblioteka m2N
N
16
随机误差的概率分布
5 1
0.02
应用格拉布斯准则，此时查表可知，
, N 0.05,5 1.67
故， 显然，
ˆ , N 0.02 1.67 0.03
ˆ , N xi x , i 1,2,3,4,5
可知，剩余测量值中已无坏值。
举例：
已知某电压的测量中不存在系统误差，测 量值遵从正态分布，电压的真值U0＝10V，求 测量值U出现在9.742－10.258V之间的置信概 率。
2012/5/23
18
2、随机误差的非正态分布
① 均匀分布 ② t 分布 与正态分布类似，N较大时，两者差异逐渐减小。
适用于小样本测量数据（<30次），真值置信区间
产生粗大误差的一个例子
二、 测量误差的分析与处理
在测量中, 对测量数据进行处理时, 首先判 断测量数据中是否含有粗大误差 , 如有, 则必 须加以剔除。再看数据中是否存在系统误差 , 对系统误差可设法消除或加以修正。 对排除 了系统误差和粗大误差的测量数据, 则利用随 机误差性质进行处理。
（一） 随机误差的处理
【解】不难计算出
x 20.51
ˆ
2 x 20 . 51 i i 1 6
由BESSEL公式法
误差理论费业泰课后答案
《误差理论与数据处理》第一章绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答：研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2 ．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3 ．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答： (1) 误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，- 多少表示小了多少。
(2)就测量而言 , 前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－ 5 测得某三角块的三个角度之和为o180 00’ 02”, 试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：180o00 02180o2相对误差等于：222＝0.00000308641 0.000031% 180o18060 606480001-6 ．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm，已知其最大绝对误差为 1 μ m，试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差＝测得值－真值，即：△ L＝ L－L0已知： L＝50，△ L＝ 1μ m ＝ 0.001mm ，测件的真实长度Ｌ＝ L －△ L ＝ 50－ 0.001 ＝ 49.999 （ mm ）1-7 ．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为 100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
误差理论-绪论-附答案
绪论大学的物理实验课是高等院校理科的一门必修基础课程，是对学生进行科学实验基本训练，提高学生分析问题和解决问题能力的重要课程。
它与物理理论课具有同等重要的地位。
这里主要介绍测量误差理论、实验数据处理、实验结果表述等初步知识，这是进入大学物理实验前必备的基础。
物理实验可分三个环节：1）课前预习，写预习报告。
2）课堂实验，要求亲自动手，认真操作，详细记录。
3）课后进行数据处理，完成实验报告。
其中：预习报告的要求：1）实验题目、实验目的、实验原理（可作为正式报告的前半部分）。
2）画好原始数据表格，单独用一张纸。
实验报告内容：（要用统一的实验报告纸做）1)实验题目；2)实验目的；3)实验原理：主要公式和主要光路图、电路图或示意图，简单扼要的文字叙述；4)主要实验仪器名称、规格、编号5)实验步骤：写主要的，要求简明扼要；6) 数据处理、作图（要用坐标纸）、误差分析。
要保留计算过程，以便检查；7) 结论：要写清楚，不要淹没在处理数据的过程中；8) 思考题、讨论、分析或心得体会；9) 附：原始数据记录。
测量误差及数据处理误差分析和数据处理是物理实验课的基础，是一切实验结果中不可缺少的内容。
实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量结果的可信赖程度。
对低年级大学生，重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法。
一、测量与误差1、测量：把待测量与作为标准的量（仪器）进行比较，确定出待测量是标准量的多少倍的过程称为测量。
测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位。
2、测量的分类测量可以分为两类。
按照测量结果获得的方法来分，可分为直接测量和间接测量两类；而从测量条件是否相同来分，又可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。
如用米尺测量物体的长度，用电流表测量电流等。
间接测量是借助函数关系由直接测量的结果计算出的物理量。
误差理论第一章绪论
①在近似加减运算中，各运算数据以小数位数最少的数据为 准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数 最少的数据位数相同。
②在乘除运算中，各运算数据以有效位数最少的数据位数为 准，其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字， 而最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。
③平方或开方运算，可按乘除运算处理。 12
三、误差分类 按误差的特点和性质，误差可分为系统误差、差：在同一条件下，多次测量同一量值时， 误差的绝对值符号保持不变，或在条件改变时，按一定规 律变化的误差。（如常用的杆秤）
①按对误差掌握的程度分：已定系统误差（误差的绝对值 和符号已确定）；未定系统误差（误差的绝对值和符号未 能确定，但范围可估计出）。
15000 15080.3 80.3 0.4%
20000
20000
二、误差来源
（一）测量装置误差：①标准量具误差（如标准电阻、标准
砝码）； ②仪器误差（如天平、压力表、温度计）；③附件
误差（如测长仪的标准环规）
5
（二）环境误差：各种环境因素与规定的标准状态不一致 而引起的误差（如温度、湿度、振动等） （三）方法误差：由测量方法不完善而引起的。（如间接 测量圆直径） （四）人员误差：由测量人员的习惯或疲劳原因等引起的 误差。
§1-1 研究误差的意义
误差存在的必然性和普遍性：由于实验方法、实验设备的不 完善、周围环境的影响、人们认识能力的限制，使得测量和 实验所得的数据和被测量的真值之间，不可避免存在差异。 尽管科技发展和人们认识水平的提高可使误差控制的很小， 但终究不能完全消除，这种必然性和普遍性已为大量实践所 证明。
（三）粗大误差：超出在规定条件下预期的误差，又称 “寄生误差”，此误差值较大，明显歪曲测量结果（如 人员因素、有缺陷的仪器等）
误差理论--独立设课
t A n
n
2
xi x
i1
＝
n1
t n Sx
所以对一般的教学实验，也可用Sx（贝塞尔公式）作为
估算误差的公式。
x与 x 及t分布的误差估算公式对比
Sx x
n
2
xi x
i1
n1
x ＝
x
n
n
2
xi x
i1
nn1
测量列中某次测 量值的标准偏差
平均值的标准偏差
对t分布
A
t x
对数：结果的有效数字，其小数点后的位数（尾数） 与真数的位数相同 例：ln41位.550=0.4383
（4）自然数 1,2,3,…不是测量而得，可以视为无穷 多位有效数字的位数，如D＝2R，D的位数仅由直测 量R的位数决定。
（5）无理常数π的位数也可以看成很多位有效数字。 例如L＝2πR, π应比R多取一位，若R＝2.23cm（3 位），则π取3.142（4位）, 或用计算器输入π 。
注：1、不用算误差时，要用上面的规定确定有效位数。 2、若为减少运算中出现过多位时用此规定，但中 间过程可多取1～2位（可疑位）（但不能任意减 少），最后由不确定度决定。
例 已知一圆柱体的质量 M1.0 4 60.0(1 g) , 高度
H6.1 7 50.0(5 m)m,
用千分尺测量得直径D的数据如 下表，求圆柱体的密度ρ及不确定 度。
t
n
2
xi x
i1
＝
nn1
t n Sx
※ 测量次数n为有限次：用t分布（也可用贝塞尔公 式）计算直接测量量的误差。
4.测量的不确定度
因真值得不到，测量误差就不能肯定，所以用不确定 度的概念对测量数据做出评定比用误差来描述更合理。
数值分析课件 第一章 绪论
1 e 0 1 x n e 0 d I n x 1 e 0 1 x n e 1 d x e 1 1 ( ) I n n n 1 1
公式一：I n 1 e [ x n e x 1 0 n 0 1 x n 1 e x d x ] 1 n I n 1
I01 e 01exdx11 e0.63212 记为0I5 0* 6 此公式精确成
初始的小扰动 |E 0|0.51 0 8迅速积累，误差呈递增趋势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： I n 1 n I n 1 I n 1 n 1 ( 1 I n )
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。 注 意在e此理(N 公论1 式上1)与等公价IN 式。一N 1 1
)
0 .0 6 6 8 7 0 2 2 0
I
12
1 (1 13
I
13
)
0 .0 7 1 7 7 9 2 1 4
I
11
1 (1 12
I
12
)
0 .0 7 7 3 5 1 7 3 2
I
10
1 11
(1
I
11
)
0 .0 8 3 8 7 7 1 1 5
I
1
1 2
(1
I
2
)
0 .3 6 7 8 7 9 4 4
0
2! 3! 4!
11/1e111 e1 x 2d1x11 1 3 2! 50 3! 7 4! 9
取 01ex2dxS4 ,
S4
R4 /* Remainder */
则 R 44 1 !1 9 由 留5 1 !下1 部1 分1 称为截断误差 /* Truncation Error */
误差理论总复习
(4)加权算术平均值的标准差：
1已知单位权测得值的标准差： ；
2标准差未知：
2系统误差
要点：介绍适用于发现某些系统误差常用的几种方法：
（1）实验对比法；（2）残余误差观察法；（3）残余误差校核法；（4）不同公式计算标准差比较法；（5）计算数据比较法；（6）秩和检验法；（7）t检验法；
5）展伸不确定度：给出一个测量结果的区间，使被测量的值大部分位于其中，为此需用展伸不确定度(也有称为扩展不确定度)表示测量结果。
展伸不确定度由合成标准不确定度 ，乘以包含因子k得到，记为U，即 ；
自由度：
第六章、线性参数的最小二乘法处理
最小二乘法大原理：
设误差方程： ，则当为等精度测量时，残余误差平方和最小这一条件的矩阵形式为：
03．测量仪器一般有以下一些计量性能会导致产生不确定度如：
（1）响应特性（2）灵敏度（3）鉴别力（4）分辨力（5）死区（6）稳定性（7）漂移（8）准确度等级（9）最大允许误差（10）偏差（11）重要性（12）引用误差
04．《测量不确定度表示与指南》缩写为GUM，它是由7个国际组织的名义正式由ISO出版发行。
2．何谓测量模型或数学模型的含义？
答：在实际测量的很多情况下，被测量Y（输出量）不能直接测得，而是由N个其它量X1，X2，…，XN（输入量）通过函数关系f来确定
Y=f（X1，X2，…，XN）
上式表示的这种函数，就称为测量模型或数学模型，或称为测量过程数学模型。
测量不确定度通常由测量过程的数学模型和不确定度的传播律来评定。由于数学模型可能不完善，所有有关的量应充分地反映其实际情况的变化，以便可以根据尽可能的观测数据来评定不确定度。在可能情况下，应采用按长期积累的数据建立起来的经验模型。核查标准和控制图可以表明测量过程是否处于统计控制状态之中，有助于数学模型的建立和测量不确定度的评定。
误差理论与数据处理课件第01章绪论
1-1
误差理论与数据处理
修正值
修正值(correction) 与误差绝对值相等、符号相反 的值，一般用c表示。
c x x0 x
在测量仪器中，修正值常以表格、曲线或公 式的形式给出。 在自动测量仪器中，可将修正值编成程序存储 在仪器中，仪器输出的是经过修正的测量结果。 修正结果（correction result）是将测得值加 上修正值后的测量结果，这样可提高测量准确度。
由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的 准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常 值）予以剔除。具体见第四章。
1-22
误差理论与数据处理
三类误差的关系及其对测得值的影响
系统误差和随机误差 的定义是科学严谨， 不能混淆的。但在测 量实践中，由于误差 划分的人为性和条件 性，使得他们并不是 一成不变的，在一定 条件下可以相互转化。 也就是说一个具体误 差究竟属于哪一类， 应根据所考察的实际 _ 3 问题和具体条件，经 分析和实验后确定。 标准差
1-12
误差理论与数据处理
二、误差的来源
为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差 来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有 因素都将引入测量误差。
主要来源
测量设 备误差
测量方 法误差
测量环 境误差
测量人 员误差
1-13
误差理论与数据处理
测量设备误差
以固定形式复现标准量值的器具， 如标准电阻、标准量块、标准砝 码等等，他们本身体现的量值， 不可避免地存在误差。一般要求 标准器件的误差占总误差的 1/3～1/10。
1-11
xm 1 100% 100% 1% x1 100
误差理论与数据处理