九年级数学图形的全等1
九年级数学专题复习(图形的全等)
（1）基本作图。 ①作一条线段等于已知线段； ②作一个角等于已知角； ③平分已知角； ④经过一点作已知直线的垂线 ⑤作线段的垂直平分线。 （2）作图的基本步骤。 ①已知：写出已知的线段或角，并画出图形； ②求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一写出； ③作法：应用“五种基本作图”叙述时不需要重述作图过程，
的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明。 A D
B
E
C
F
①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF。 组合一：条件①②④，结论③。（根据S.S.S.）
组合二：条件①③④，结论②。（根据S.A.S.）
猜想探究题
例3（2005山西）如图3，正方形ABCD的边CD在正方形 ECGF的边CE上，连接BE、DG。 E A C D F
B
G
（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结
论；
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？ 若存在，请说明旋转过程；若不存在，请说明理由。
猜想探究题
例4（2005常州）如图4，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分 别在边BC、CA、AB上，且△BCD也是等边三角形。 A E F B 猜想是正确的； （2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化 过程。 D C
根据A.A.S.添加条件∠BAE=BCD 根据A.S.A.添加∠BEA=∠BDC；
（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形， △DFA≌△EFC （只要求写一对全等三角形，不再添加 △DCA≌△EAC 其他线段，不再标住或使用其他字母，不必写出证明过程）
开放题
例2（2005扬州）如图2，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F 在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下
教师资格证初中数学说课：图形的全等
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以下(yǐxià)资讯由老师资格证考试网整理而出“老师资格证初中数学说课：图形的全等〞，希望对您有所帮助!?图形(túxíng)的全等?说课稿各位专家指导(lǐnɡ dǎo)，上午好!今天我将要为大家讲的课题是：七年级下册第五章三角形中的第二节“图形的全等〞。
根据新的课程标准，我从以下七个方面(fāngmiàn)说一下，本节课的教学设想：一、教材(jiàocái)分析本节是学习三角形全等的起始课，又是学习平面图形关系的引言课，它隐含地指出义务教育阶段平面几何的研究对象是图形的形状和大小，即图形的全等和相似，把对称，平移和旋转作为研究平面几何的根本工具，把图形的分割与拼接作为研究平面几何的根本方法，在图形的拼接过程中浸透变与不变的思想。
二、学生情况七年级学生具有好奇心、求知欲强，互相评价互相提问的积极性高。
本节内容涉及的知识点不多，并且与前面的知识没有联络，知识的切入点比拟低，再加上学习过程中的动手操作活动，借助多媒体，精心设计问题串，让学生脑、嘴、手及脚充分动起来，学生既学得轻松又愉快，课堂气氛会相当活泼。
三、教学目的1、知识与才能目的：1理解图形全等的意义，2理解全等图形的性质，3掌握全等图形的判断方法。
2、情感态度、价值观提供适当的情景图片，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣;在合作学习中，学会交流与合作;通过观察、动手实验，使学生体验到数学的思想方法及数学的应用价值。
3、教学重点理解图形的全等概念和特征4、教学难点认识全等图形的特征四、教学和学法让学生通过观察、分析、归纳得出全等图形的定义，通过小组合作交流总结出全等图形的性质，最后通过图形的剪拼加强理解全等图形的性质。
五、教学过程实录(一)创设情境，提出问题教师：同学(tóng xué)们，我国宋朝著名诗人苏轼写过一首赞美春天的诗，头一句是“竹外桃花三两枝〞，哪位同学能帮老师说下去?学生(xué sheng)答：略教师：老师这里有一张鸭子游泳图，请大家欣赏，你们(nǐ men)能发现其中的有趣现象吗?学生(xué sheng)答：略老师：接下来我们再来观察两组几何图片，看看其中的几何图形是否(shìfǒu)有类似的特征?学生答：略老师：我们在生活中，书本中见到的几何图形有的形状、大小完全一样;有的形状一样，大小不一样;有的大小一样，形状不一样;有的都不一样。
初中数学《图形的全等》经典习题
平面图形的认识试卷副标题1．命题①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短；⑤直线都相等；⑥任何数都有倒数；⑦如果a2=b2，那么a=b；⑧三角对应相等的两三角形全等；⑨如果∠A+∠B=90°，那么∠A与∠B互余．其中真命题有…（）A． 3个B． 4个C． 5个D． 6个2．下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是（）A． AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠FC． AC=DF，∠B=∠F，AB=DE D．∠B=∠E，∠C=∠F，AC=DF3．下列说法中不正确的是（）A．全等三角形的周长相等B．全等三角形的面积相等C．全等三角形能重合D．全等三角形一定是等边三角形4．给出下列各命题：①有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形一定全等；②有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等；③有两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等；④有两条边分别相等的两个直角三角形一定全等；其中假命题共有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个5．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF6．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A． 50 B． 62 C． 65 D． 687．如图所示，∠1=∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，交点为C，则图中全等三角形共有（）A． 2对B． 3对C． 4对D． 5对8．下列不能判定三角形全等的是（）A．如图（1），线段AD与BC相交于点O，AO=DO，BO=CO．△ABO与△BCOB．如图（2），AC=AD，BC=BD．△ABC与△ABDC．如图（3），∠A=∠C，∠B=∠D．△ABO与△CDOD．如图（4），线段AD与BC相交于点E，AE=BE，CE=DE，AC=BD．△ABC与△BAD 9．如图，AC=DF，∠ACB=∠DFE，点B、E、C在一条直线上，则下列条件中不能断定△ADC≌DEF的是（）A．∠A=∠D B． BE=CF C． AB=DE D． AB∥DE10．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A． B． 4 C．D． 511．如图，已知△ACF≌△DBE，∠E=∠F，AD=9cm，BC=5cm，AB的长为cm．12．如图，在△ABC和△BAD中，若∠C=∠D，再添加一个条件，就可以判定△ABC≌△BAD 你添加的条件是．13．如图，已知AC=BD，则再添加条件，可证出△ABC≌△BAD．14．如图，已知∠ABC=∠DCB，现要说明△ABC≌△DCB，则还要补加一个条件是或或．15．如图，如果△ABC≌△DEF，△DEF周长是32cm，DE=9cm，EF=13cm，∠E=∠B，则AC= cm．16．如图，△ABC≌△EFC，CF=3cm，CE=4cm，∠F=36°，则BC= cm，∠B=度．17．如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是．18．如图，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为N，P，Q，M的四个图形，试按照“哪个正方形剪开后与哪个图形”的对应关系填空：A与对应；B与对应；C与对应；D与对应．19．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（填序号）．20．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有对．21．如图，在△ABC中，已知∠DBC=60°，AC＞BC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等边三角形，而点D在AC上，且BC=DC（1）证明：△C′BD≌△B′DC；（2）证明：△AC′D≌△DB′A；（3）对△A BC、△ABC′、△BCA′、△CAB′，从面积大小关系上，你能得出什么结论？22．如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．23．如图，已知：△ABC中，∠ACB=90°，D为AC边上的一点，E为DB的中点，CE的延长线交AB于点F，FG∥BC交DB于点G．试说明：∠BFG=∠CGF．24．如图（1），A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，试证明BD平分EF，若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．25．如图，两个全等的直角三角形△ABC和△A1B1C1中，∠ACB=∠A1C1B1=90°，两条相等的直角边AC，A1C1在同一直线上，A1B1与AB交于O，AB与B1C1交于E1，A1B1与BC交于E．（1）写出图中除△ABC≌△A1B1C1外的所有其它各组全等三角形（不再连线和标注字母）；（2）求证：B1E1=BE．26．（1）在图1中，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．∠ABC=∠ADC=90°，则能得如下两个结论：①DC=BC；②AD+AB=AC．请你证明结论②；（2）在图2中，把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．27．如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3，AC=AE，请说明△ABC≌△ADE的道理．28．用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合．将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由．29．已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=BF；（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．30．如图，AD=BC，请添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明．你所添加的条件为：；得到的一对全等三角形是△≌△．参考答案1．B【解析】试题分析：根据邻补角互补，对顶角相等的性质，线段的性质，直线的性质，倒数的特殊规定，绝对值的选择性，全等三角形的判定，余角的定义对各小题分析判断后即可求解．解：①邻补角互补，正确；②对顶角相等，正确；③被截线不平行则同旁内角不互补，故本小题错误；④两点之间线段最短，是线段的性质，正确；⑤直线是向两方无限延伸的，没有长短，故本小题错误；⑥0没有倒数，故本小题错误；⑦如果a2=b2，那么a=b或a=﹣b，故本小题错误；⑧三角对应相等的两三角形相似但不一定全等，故本小题错误；⑨如果∠A+∠B=90°，那么∠A与∠B互余，是定义，正确．综上所述，真命题有①②④⑨共4个．故选B．考点：对顶角、邻补角；倒数；线段的性质：两点之间线段最短；全等三角形的判定．点评：本题是对基础知识的综合考查，熟记概念与性质是解题的关键．2．D【解析】试题分析：全等三角形的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS，而SSA，AAA都不能判定两三角形全等，根据以上内容判断即可．解：A、根据AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、根据∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；C、根据AC=DF，∠B=∠F，AB=DE，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；D、∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS），故本选项正确；故选D．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目，全等三角形的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS．3．D【解析】试题分析：根据全等三角形的性质得出AB=DE，AC=DF，BC=EF，即可判断A；根据全等三角形的性质得出△ABC和△DEF放在一起，能够完全重合，即可判断B、C；根据图形即可判断D．解：A、∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，AC=DF，BC=EF，∴AB+AC+BC=DE+DF+EF，故本选项错误；B、∵△ABC≌△DEF，即△ABC和△DEF放在一起，能够完全重合，即两三角形的面积相等，故本选项错误；C、∵△ABC≌△DEF，即△ABC和△DEF放在一起，能够完全重合，故本选项错误；D、如图△ABC和DEF不是等边三角形，但两三角形全等，故本选项正确；故选D．考点：全等三角形的性质．点评：本题考查了全等三角形的定义和性质的应用，能运用全等三角形的有关性质进行说理是解此题的关键，题目较好，但是一道比较容易出错的题目．4．B【解析】试题分析：根据三角形全等的判定方法即可解得，做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．解：①符合SAS，成立；②SSA不符合三角形全等的条件；③符合SAS，是真命题；④没有对应相等不符合三角形全等的条件，是假命题．则正确的是①和③．故选B．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．B【解析】试题分析：全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．故选B．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用，注意：有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形才全等，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．6．A【解析】试题分析：由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF=BG，AG=EF；同理证得△BGC≌△DHC，GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．解：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG∴AF=BG，AG=EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．故选A．考点：全等三角形的判定与性质．点评：本题考查的是全等三角形的判定的相关知识．作辅助线是本题的关键．7．C【解析】试题分析：根据已知条件可以找出题目中有哪些相等的角以及线段，然后猜想可能全等的三角形，然后一一进行验证，做题时要由易到难，循序渐进．解：①△ODC≌△OEC∵BD⊥AO于点D，AE⊥OB于点E，OC平分∠AOB∴∠ODC=∠OEC=90°，∠1=∠2∵OC=OC∴△ODC≌△OEC（AAS）∴OE=OD，CD=CE；②△ADC≌△BEC∵∠CDA=∠CEB=90°，∠3=∠4，CD=CE∴△OBE≌△OCD（AAS）∴AC=BC，AD=BE，∠B=∠A；③△OAC≌△OBC∵OD=OE∴OA=OB∵OA=OB，OC=OC，AC=BC∴△ABO≌△ACO（SSS）；④△OAE≌△OBD∵∠ODB=∠OEA=90°，OA=OB，OD=OE∴△AEC≌△ADB（HL）．故选C．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查了全等三角形的判定方法；全等三角形的判定方法一般有：AAS、SAS、ASA、SSS、HL．应该对每一种方法熟练掌握做到灵活运用，做题时要做到不重不漏．提出猜想，证明猜想是解决几何问题的基本方法．8．C【解析】试题分析：全等三角形的判定定理有：SAS、ASA、AAS、SSS，只要具备以上四种方法中的一种，即可判定联三角形全等．解：A、因为∠AOB=∠DOC，根据SAS可判断△ABO≌△DCO，故本选项错误；B、AB=AB，根据SSS可证出△ABC≌△ABD，故本选项错误；C、全等三角形的判定定理有SAS、ASA、AAS、SSS，根据已知不能得出以上三个条件，即两三角形不全等，故本选项正确；D、∵AE=BE，CE=DE，∴AD=BC，∵AB=AB，AC=BD，根据SSS可证出△ABC≌△BAD，故本选项错误．故选C．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定有：SAS、ASA、AAS、SSS，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．9．C【解析】试题分析：根据全等三角形的判定ASA推出三角形全等，即可判断A；求出BC=EF，根据SAS 即可判断B；根据有两边和其中一边的对角相等不能判断两三角形全等，即可判断C；根据平行线性质推出∠B=∠DEF，根据AAS即可判断D．解：A、在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF，故本选项错误；C、根据AB=DE，∠ACB=∠DFE，AC=DF，不能判定△ABC和△DEF全等，故本选项正确；D、∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF，故本选项错误；故选C．考点：全等三角形的判定；平行线的性质．点评：本题考查了平行线性质和全等三角形的判定的应用，熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．10．B【解析】试题分析：由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD后，证△ADC≌△BDH后求解．解：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴AD=BD，∠ADC=∠BDH，∵∠AHE+∠DAC=90°，∠AHE+∠C=90°，∴∠AHE=∠BHD=∠C，∴△ADC≌△BDH，∴BH=AC=4．故选B．考点：全等三角形的判定与性质．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD是正确解答本题的关键．11．2【解析】试题分析：AB不是全等三角形的对应边，但它通过全等三角形的对应边转化为AB=CD，而使AB+CD=AD﹣BC可利用已知的AD与BC求得．解：∵△ACF≌△DBE，∠E=∠F，∴CA=BD，∴CA﹣BC=DB﹣BC，即AB=CD，∴AB+CD=2AB=AD﹣BC=9﹣5=4（cm），∴AB=2（cm）．故填2．考点：全等三角形的性质．点评：本题主要考查了全等三角形的对应边相等．难点在于根据图形得到线段AB=CD，也是解决本题的关键．12．∠DAB=∠CBA（答案不唯一）【解析】试题分析：由图可知，AB是公共边，然后根据全等三角形的判定方法选择添加不同的条件即可．解：∵∠C=∠D，AB是公共边，∴可添加∠DAB=∠CBA或∠DBA=∠CAB，故答案为：∠DAB=∠CBA（答案不唯一）．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查了全等三角形的判定，根据∠D、∠C是公共边AB的对角，只能选择利用“角角边”证明两三角形全等添加条件．13．∠CAB=∠DBA@BC=AD【解析】试题分析：本题要判定△ABC≌△ADC，已知AC=BD，AB是公共边，具备了两组边对应相等，故添加BC=AD、∠CAB=∠DBA，后可分别根据SSS、SAS、能判定△ABC≌△ADC．解：AC=BD，AB是公共边，加∠CAB=∠DBA，就可以用SAS证出△ABC≌△BAD；加BC=AD就可以用SSS证出△ABC≌△BAD．故填∠CAB=∠DBA@BC=AD．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．14．∠A=∠D AB=CD ∠ACB=∠DBC【解析】试题分析：要证明△ABC≌△DCB，已知∠ABC=∠DCB，且有一个公共边BC=BC，则可以添加一组角从而利用AAS、ASA判定其全等；添加边从而利用SAS判定其全等．解：补充∠A=∠D．∵∠ABC=∠DCB，BC=BC，∠A=∠D∴△ABC≌△DCB（AAS）补充∠ACB=∠DBC．∵∠ABC=∠DCB，BC=BC，∠ACB=∠DBC∴△ABC≌△DCB（ASA）补充AB=CD．∵∠ABC=∠DCB，AB=CD，BC=BC∴△ABC≌△DCB（SAS）．∴故填∠A=∠D或AB=CD或∠ACB=∠DBC．考点：全等三角形的判定．点评：题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．15．10【解析】试题分析：根据△DEF周长是32cm，DE=9cm，EF=13cm就可求出第三边DF的长，根据全等三角形的对应边相等，即可求得AC的长．解：DF=32﹣DE﹣EF=10cm．∵△ABC≌△DEF，∠E=∠B，∴AC=DF=10cm．考点：全等三角形的性质．点评：本题考查全等三角形的性质，解题时应注重识别全等三角形中的对应边，要根据对应角去找对应边．16．3 36【解析】试题分析：运用“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可得，做题时要根据△ABC≌△EFC找对对应边．解：∵△ABC≌△EFC，CF=3cm，∠F=36，∴BC的对应边是CF，∠B的对应角是∠F，∴BC=FC=3cm，∠B=∠F=36°．故填3，36．考点：全等三角形的性质．点评：本题考查了全等三角形的性质及对应关系的找法；全等三角形书写时各对应顶点应在同一位置，找准对应关系是解决本题的关键．17．【解析】试题分析：根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有个全等三角形即可．解：当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；当有4点时，有10个全等三角形；…当有n个点时，图中有个全等三角形．故答案为：．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．18．M N Q P【解析】试题分析：能够完全重合的两个图形叫做全等形．按照剪开前后各基本图形是重合的原则进行逐个验证、排查．解：由全等形的概念可知：A是三个三角形，与M对应；B是一个三角形和两个直角梯形，与N对应；C是一个三角形和两个四边形，与Q对应；D是两个三角形和一个四边形，与P对应故分别填入M，N，Q，P．考点：全等图形．点评：本题考查的是全等形的识别，注意辩别组成图形的基础图形的形状．19．①②③【解析】试题分析：由已知条件，可直接得到三角形全等，得到结论，采用排除法，对各个选项进行验证从而确定正确的结论．解：∵∠B+∠BAE=90°，∠C+∠CAF=90°，∠B=∠C∴∠1=∠2（①正确）∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF∴△ABE≌△ACF（ASA）∴AB=AC，BE=CF（②正确）∵∠CAN=∠BAM，∠B=∠C，AB=AC∴△ACN≌△ABM（③正确）∴CN=BM（④不正确）．所以正确结论有①②③．故填①②③．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．得到三角形全等是正确解决本题的关键．20．4【解析】试题分析：根据已知条件可以找出题目中有哪些相等的角以及线段，然后猜想可能全等的三角形，然后一一进行验证．解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，且AO平分∠BAC，∴△ODA≌△OEA，∴∠B=∠C，AD=AE，∴△ADC≌△AEB，∴AB=AC，∴△OAC≌△OAB，∴△COE≌△OBD．故填4．考点：全等三角形的判定．点评：本题考查了三角形全等的判定方法；提出猜想，验证猜想是解决几何问题的基本方法，做题时要注意从已知条件开始思考结合全等的判定方法逐一判断，做到不重不漏，由易到难．21．（1）先证明：△C′BD≌△ABC，再证明△ABC≌△B′DC；（2）根据（1）的结论，可以证明：△AC′D≌△DB′A；（3）由角的不等，导出边的不等关系，这是探索面积不等关系的关键．【解析】试题分析：（1）先证明：△C′BD≌△ABC，再证明△ABC≌△B′DC；（2）根据（1）的结论，可以证明：△AC′D≌△DB′A；（3）由角的不等，导出边的不等关系，这是探索面积不等关系的关键．（1）△C′BD与△ABC中，BC=DC，AB=BC′，∠C′BD=60°+∠ABD=∠ABC，∴△C′BD≌△ABC，∴C′D=AC又在△BCA与△DCB′中，BC=DC，AC=B′C，∠ACB=∠B′CD=60°，∴△BCA≌△DCB′．∴DB′=BA．∴△C′BD≌△B′DC（2）由（1）的结论知：C′D=B′C=AB′，B′D=BC′=AC′，又∵AD=AD，∴△AC′D≌△DB′A．（3）S△AB′C＞S△ABC′＞S△ABC＞S△A′BC；S△AB′C=，S△A′BC=，S△ABC′=，S△ABC=，因为AB2=（AC2+BC2﹣2AC×BC×cos60°）整理得S△ACB′+S△BCA′=S△ABC′+S△ABC考点：全等三角形的判定；三角形的面积．点评：考查全等三角形的证明，考查在三角形中，已知两边和夹角求第三边的计算．22．有两种解法：①延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，则可证△BDF≌△CDM（SAS），可得MC=BF，∠M=∠BFM，再得∠M=∠MAC，得AC=MC=BF．②延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，可证△ADC≌△MDB（SAS），方法与①相同．【解析】试题分析：有两种解法：①延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，则可证△BDF≌△CDM（SAS），可得MC=BF，∠M=∠BFM，再得∠M=∠MAC，得AC=MC=BF．②延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，可证△ADC≌△MDB（SAS），方法与①相同．证明：方法一：延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，在△BDF和△CDM中，∴△BDF≌△CDM（SAS）．∴MC=BF，∠M=∠BFM．∵EA=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠AFE=∠BFM，∴∠M=∠MAC，∴AC=MC，∴BF=AC；方法二：延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB（SAS），∴∠M=∠MAC，BM=AC，∵EA=EF，∴∠CAM=∠AFE，而∠AFE=∠BFM，∴∠M=∠BFM，∴BM=BF，∴BF=AC．考点：全等三角形的判定与性质．点评：本题考查了三角形全等的判定及性质、等腰三角形的性质．其中普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，解决此题的关键是作出巧妙的辅助线：倍长中线．23．本题首先通过∠ACB=90°，E为DB的中点，进而得到CE=EB=DE，又因为FG∥BC，则可证明△GEC≌△FEB，再通过角与角之间的关系求得∠BFG=∠CGF．【解析】试题分析：本题首先通过∠ACB=90°，E为DB的中点，进而得到CE=EB=DE，又因为FG∥BC，则可证明△GEC≌△FEB，再通过角与角之间的关系求得∠BFG=∠CGF．证明：∵∠ACB=90°，E为DB的中点，∴CE=DE=BE，（直角三角形斜边上的中线等于斜边一半）∴CE=EB，∴∠ECB=∠CBE，∵FG∥BC，∴∠GFE=∠ECB，∠EGF=∠CBE∴∠EGF=∠EFG，∴GE=EF，∵∠GEC=∠FEB，∴△GEC≌△FEB，∴∠EFB=∠EGC，∵∠BFG=∠EFB+∠EFG，∠CGF=∠EGC+∠EGF，∴∠BFG=∠CGF．考点：全等三角形的判定与性质．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．24．（1）先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF=DE；再利用AAS判定△BFG≌△DGE，从而得出FG=EG，即BD平分EF．（2）结论仍然成立，同样可以证明得到．【解析】（1）先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF=DE；再利用AAS判定△BFG≌△DGE，试题分析：从而得出FG=EG，即BD平分EF．（2）结论仍然成立，同样可以证明得到．（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG=∠BFE=90°．∵AE=CF，AE+EF=CF+EF．即AF=CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF=DE．在△BFG和△DEG中，∴△BFG≌△DGE（AAS），∴FG=EG，即BD平分EF．（2）FG=EG，即BD平分EF的结论依然成立．理由：因为 AE=CF，所以 AF=CE，因为 DE垂直于AC，BF垂直于AC，所以角AFB=角CED，BF∥DE，因为AB∥CD，所以角A=角C，所以三角形ABF全等于三角形CDE，所以 BF=DE，所以四边形BEDF是平行四边形，所以 GE=GF，即：BD平分EF，即结论依然成立．考点：全等三角形的判定与性质．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．25．（1）根据全等三角形的判定：三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS）；有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）可证得；（2）由1可证得△ACE≌△A1C1E1，可推出CE=C1E1，易证B1E1=BE．【解析】试题分析：（1）根据全等三角形的判定：三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS）；有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）可证得；（2）由1可证得△ACE≌△A1C1E1，可推出CE=C1E1，易证B1E1=BE．（1）解：△ACE≌△A1C1E1，△OBE≌△O1B1E1；（2）证明：∵△ABC≌△A1B1C1∴AC=A1C1，BC=B1C1∴AC1=A1C已知∠A=∠A1，∠ACE=∠A1C1E1=90°∴△ACE≌△A1C1E1∴CE=C1E1又∵BC=B1C1∴B1E1=BE．考点：全等三角形的判定与性质．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．26．（1）根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC=60°，又已知∠ABC=∠ADC=90°，所以∠DCA=∠BCA=30°，根据直角三角形的性质可证AC=2AD，AC=2AB，所以AD+AB=AC．（2）根据已知条件可在AN上截取AE=AC，连接CE，根据AAS可证△ADC≌△EBC，得到DC=BC，DA=BE，所以AD+AB=AB+BE=AE，即AD+AB=AC．【解析】试题分析：（1）根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC=60°，又已知∠ABC=∠ADC=90°，所以∠DCA=∠BCA=30°，根据直角三角形的性质可证AC=2AD，AC=2AB，所以AD+AB=AC．（2）根据已知条件可在AN上截取AE=AC，连接CE，根据AAS可证△ADC≌△EBC，得到DC=BC，DA=BE，所以AD+AB=AB+BE=AE，即AD+AB=AC．证明：（1）如图1∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠DCA=∠BCA=30°，∵在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°，∴AC=2AD，AC=2AB，∴AD+AB=AC．（2）判断是：（1）中的结论①DC=BC；②AD+AB=AC都成立．理由如下：如下图，在AN上截取AE=AC，连接CE，∵∠BAC=60°，∴△CAE为等边三角形，∴AC=CE，∠AEC=60°，∵∠DAC=60°，∴∠DAC=∠AEC∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠ADC=∠EBC，∴△ADC≌△EBC，∴DC=BC，DA=BE，∴AD+AB=AB+BE=AE，∴AD+AB=AC．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．点评：本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，和全等三角形的判定等知识综合运用，是一道由浅入深的训练题．27．根据已知，利用有两组角对应相等的两个三角形相似得到△AEF∽△DCF，从而得到∠E=∠C，再由已知可得∠BAC=∠DAE，又因为AC=AE，所以根据AAS可判定△ABC≌△ADE．【解析】试题分析：根据已知，利用有两组角对应相等的两个三角形相似得到△AEF∽△DCF，从而得到∠E=∠C，再由已知可得∠BAC=∠DAE，又因为AC=AE，所以根据AAS可判定△ABC≌△ADE．解：△ADF与△AEF中，∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，∴∠E=∠C．∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE．∵AC=AE，∴△ABC≌△ADE．考点：全等三角形的判定．点评：此题考查学生对相似三角形的判定及全等三角形的判定的理解及运用．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．28．应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．【解析】试题分析：本题是一道开放性题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．解：（1）BE=CF．证明：在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠CAF．∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；（2）BE=CF仍然成立．证明：在△ACE和△ADF中，∵∠CAE+∠EAD=∠FAD+∠DAE=60°，∴∠CAE=∠DAF，∵∠BCA=∠ACD=60°，∴∠FCE=60°，∴∠ACE=120°，∵∠ADC=60°，∴∠ADF=120°，在△ACE和△ADF中，∴△ACE≌△ADF，∴CE=DF，∴BE=CF，考点：全等三角形的判定．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．29．（1）利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出BF=AC．（2）利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=AC，又因为BF=AC所以CE=AC=BF（3）利用等腰三角形“三线合一”）和勾股定理即可求解．【解析】试题分析：（1）利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出BF=AC．（2）利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=AC，又因为BF=AC所以CE=AC=BF（3）利用等腰三角形“三线合一”）和勾股定理即可求解．（1）证明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD=CD．∵∠DBF=90°﹣∠BFD，∠DCA=90°﹣∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA．在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∴Rt△DFB≌Rt△DAC（ASA）．∴BF=AC；（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．在Rt△BEA和Rt△BEC中，∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．∴CE=AE=AC．又由（1），知BF=AC，∴CE=AC=BF；（3）证明：∠ABC=45°，CD垂直AB于D，则CD=BD．H为BC中点，则DH⊥BC（等腰三角形“三线合一”）连接CG，则BG=CG，∠GCB=∠GBC=∠ABC=×45°=22.5°，∠EGC=45°．又∵BE垂直AC，故∠EGC=∠ECG=45°，CE=GE．∵△GEC是直角三角形，∴CE2+GE2=CG2，∵DH垂直平分BC，。
初三数学全等图形判定方法
初三数学全等图形判定方法全等图形是初中数学中的重要概念，它在实际生活和几何学中具有广泛的应用。
全等图形的判定方法则是我们学习的重点之一。
本文将介绍几种常用的初三数学全等图形判定方法，帮助同学们深入理解和掌握这一内容。
一、SAS判定法SAS判定法是指两个三角形的边、角和边对应相等时，这两个三角形全等。
具体判定步骤如下：1. 比较两个三角形的两边是否相等，如果两个三角形的两边相等，则条件一成立。
2. 比较两个三角形的夹角是否相等，如果两个三角形的夹角相等，则条件二成立。
3. 比较两个三角形的另一边是否相等，如果两个三角形的另一边相等，则条件三成立。
如果以上三个条件同时满足，那么可以判断这两个三角形全等。
需要注意的是，SAS判定法判断的是两个三角形全等，而不是其他图形的全等。
二、SSS判定法SSS判定法是指两个三角形的三边长度相等时，这两个三角形全等。
具体判定步骤如下：1. 比较两个三角形的第一条边是否相等，如果两个三角形的第一条边相等，则条件一成立。
2. 比较两个三角形的第二条边是否相等，如果两个三角形的第二条边相等，则条件二成立。
3. 比较两个三角形的第三条边是否相等，如果两个三角形的第三条边相等，则条件三成立。
如果以上三个条件同时满足，那么可以判断这两个三角形全等。
三、ASA判定法ASA判定法是指两个三角形的两角和一边分别相等时，这两个三角形全等。
具体判定步骤如下：1. 比较两个三角形的第一角是否相等，如果两个三角形的第一角相等，则条件一成立。
2. 比较两个三角形的第二角是否相等，如果两个三角形的第二角相等，则条件二成立。
3. 比较两个三角形的一边是否相等，如果两个三角形的一边相等，则条件三成立。
如果以上三个条件同时满足，那么可以判断这两个三角形全等。
四、其他判定法除了SAS、SSS和ASA判定法之外，还有一些其他的判定法，比如AAS判定法、RHS判定法等。
这些判定法都是通过特定的条件来判断两个三角形是否全等，同学们可以根据具体题目的条件选择合适的判定法进行判断。
初三数学全等图形判定方法详解
初三数学全等图形判定方法详解全等图形是初中数学中一个非常重要的概念，在几何学中有着广泛的应用。
它不仅有助于我们理解和解决各种几何问题，还可以帮助我们培养逻辑思维和观察问题的能力。
本文将详细介绍初三数学中全等图形的判定方法。
全等图形定义：两个图形，如果形状、大小、内部结构完全相同，即每一边和每一角都一一对应相等，则这两个图形称为全等图形。
判定全等图形的方法主要有以下几种：1. SSS判定法（边边边相等法）：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
2. SAS判定法（边角边相等法）：如果两个三角形中有两个边与夹角相等，且这两个边之间的夹角也相等，则这两个三角形全等。
3. ASA判定法（角边角相等法）：如果两个三角形中有两个角相等，且这两个角之间的边长也相等，则这两个三角形全等。
4. RHS判定法（直角边边相等法）：如果两个直角三角形中，两个直角的边长相等，且一边的长度也相等，则这两个直角三角形全等。
5. SAA判定法（边角角相等法）：如果两个三角形中有对应的两边与一个角相等，则这两个三角形可能全等，但需要进一步判断其他对应边长是否相等。
通过上述全等图形的判定方法，我们可以在解决几何问题时快速判断两个图形是否全等。
下面通过几个例题来进一步说明判定方法的应用。
例题1：已知△ABC，CE⊥AB，且CE=BC，证明△ABC全等于△BCE。
解析：首先，根据题意可得AC⊥EB，AE⊥BC，且∠ACB=∠BCE。
根据RHS判定法可知，AC=BC，∠ACB=∠BCE，AB=BE。
根据ASA判定法，可以判定△ABC全等于△BCE。
例题2：已知两个平行四边形ABCD和EFGH，且AB=EF，AD=EG，证明平行四边形ABCD全等于平行四边形EFGH。
解析：首先，可以通过移动平行四边形ABCD使得AB与EF重合，并且以D为起点，将平行四边形ABCD移动到平行四边形EFGH的位置。
这样就得到了以DFA'H为顶点的四边形，根据RHS判定法可知，∠DAF=∠EA'F，AD=EA'，AD⊥AC，DF⊥EA'，且两组对边平行。
直角三角形的全等判定
直角三角形的全等判定 The following text is amended on 12 November 2020.ADC P BE O A DPBEO直角三角形的全等判定（2）九年级数学备课组 课型：新授【学习目标】运用直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明角平分线的性质和判定。
【重点、难点】1、角平分线的性质和判定。
2、角平分线的性质和判定的证明和运用。
【预习指导】我们已经学习过有关直角三角形全等的判定方法，请你写出这些定理。
直角三角形全等的判定定理： 【典例分析】 1、证明：已知，OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ，求证：PD=PE2、证明：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
已知，如图，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ，且PD=PE ，求证：点P 在∠AOB 的平分线上。
（1、学生分析证明思路 2、学生自己完成证明过程） 小结：证明一条线是某一个角的平分线的常用方法：OEDCBA（1）证明这条线把某一个角分成的两个角相等（全等） （2）利用角平分线的逆定理。
归纳：两个定理引导学生进一步认识图形的位置关系与数量关系的内在联系：知道角平分线，想到过该线上某一点向角的两边引垂线；知道某点到角的两边距离相等，想到角平分线逆定理。
【思考与交流】1、“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上。
”你认为这个结论正确吗如果正确，你能证明吗（反证法）2、如图，△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点O ，点O 到△ABC 各边的距离相等吗点O 在∠C 的平分线上吗定理：三角形的3条角平分线交于一点，且这点到三角形三边的距离相等。
【典题选讲】例1、在平面内找一个点到三角形三边距离相等，这样的点有几个，并做出来。
变式：如图，直线PQ 、MN 、GH 表示3条公路，它们分别交于A 、B 、C 点。
九年级数学图形的全等1
当我到了三号队的工作面，抬头看工作面上空顶大约有五六米高的空顶，简直看到的就是冒顶，井下形成了一个大礼堂！空顶下一大堆的石头和煤，我们煤矿工人统称叫货，下边压着一位叫张龙的 年轻工人，是个带班班长，其余的两位工人因为跑的快，受点轻伤，被人及时救出！
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煤矿工作的日子-矿井历险记2020-2-28 20:28 上传
这着实给我一个下马威，因为如果我们五人，开始从风井进入到达主井的时间再晚一会，这事故我们可能就赶上了，因为这起事故，就在我们主井下到底转过片盘的时间里发生的！
因此我后来对煤矿的工作，尤其注重安全生产，有一次我后半夜查岗，一个人入井，检查生产和安全，工人突然后半夜，在井下看到我，都吃惊的问：“王矿长，你都几点睡觉啊？”即使我这样严 格要求，也很难避免一些事故的发生！好在我工作期间，虽然经历危险无数，但没有发生重大的人身安全事故！
九四年底，12月15日清晨，大约六点钟，煤矿的司机鲁学义，突然电话打到我家里，我从梦中惊醒！小鲁声音很急，说矿井发生冒顶了！冒顶就是塌方的意思，他开车已经到我家门口了！我二话不 说，立刻起身穿衣，在部队已经养成了紧急集合的速度了！冲出门，上了小鲁的车奔煤矿飞去！
旋转中的三种全等模型(手拉手、半角、对角互补模型)—2023-2024学年九年级数学上册(解析版)
旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型）本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。
其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
1）双等边三角形型条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BFD。
3）双等腰三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠BFD。
4）双正方形形型条件：△ABCFD和△CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。
结论：①△△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。
【答案】(1)40；(2)60；(3)【分析】（1）证明△COD是等边三角形，得到∠ODC=60°，即可得到答案；∠=∠ADC-∠ODC求出答案；（3）由△BOC≌△ADC，推出∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，根据（2）利用ODA△COD 是等边三角形，得到∠ODC=60°，OD=4OC =，证得△AOD 是直角三角形，利用勾股定理求出．【详解】（1）解：∵CO=CD ，∠OCD=60°，∴△COD 是等边三角形；∴∠ODC=60°，∵∠ADC=∠BOC=100α=︒，∴ODA ∠=∠ADC -∠ODC=40°，故答案为：40；（2）∵∠ADC=∠BOC=120α=︒，∴ODA ∠=∠ADC -∠ODC=60°，故答案为：60；（3）解：当150α=︒，即∠BOC=150°，∴△AOD 是直角三角形．∵△BOC ≌△ADC ，∴∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，又∵△COD 是等边三角形，∴∠ODC=60°，OD=4OC =，∴∠ADO=90°，即△AOD 是直角三角形，∴OA =故答案为：【点睛】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力． 备用图【答案】(1)△BEF 是等边三角形(2)证明见解析(3)131−【分析】（1）根据旋转即可证明△BEF 是等边三角形；（2）由△EBF 是等边三角形，可得FB=EB ，再证明∠FBA=∠EBC ，又因为AB=BC ，所以可证明△FBA ≌△EBC ，进而可得AF=CE ；（3）当点D ，E ，F 在同一直线上时，过B 作BM ⊥EF 于M ，再在Rt △BMD 中利用勾股定理列方程求解即可．（1）∵将线段EB 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EF ，∴EB=EF ，60FEB =︒∠∴△BEF 是等边三角形（2）∵等边△ABC 和△BEF ∴BF=BE ，AB=BC ，60EBF ABC ∠=∠=︒∴EBF ABE ABC ABE ∠+∠=∠+∠即∠FBA=∠EBC∴△FBA ≌△EBC （SAS ）∴AF=CE（3）图形如图所示：过B 作BM ⊥EF 于M ，∵△BEF 是等边三角形∴2BE EM =，BM =∵点D 是AB 的中点，∴142BD AB == 在Rt △BMD 中，222BM DM BD +=∵DE=2∴222)(2)4EM ++=解得EM 或EM =（舍去）∴21BE EM == 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解一元二次方程，利用手拉手模型构造全等三角形是解题的关键．例3．（2022·吉林·九年级期末）如图①，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC ==点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且CD CE =AD BE =，AD BE ⊥成立．（1）将CDE △绕点C 逆时针旋转90︒时，在图②中补充图形，并直接写出BE 的长度；（2）当CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，AD 与BE 的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当A ，D ，E 三点在同一条直线上时，请直接写出AD 的长度．【答案】（1）补充图形见解析；BE =（2）AD BE =，AD BE ⊥仍然成立，证明见解析；（3）1AD或1=AD ．【分析】（1）根据旋转作图的方法作图，再根据勾股定理求出BE 的长即可；（2）根据SAS 证明E ACD BC ≅∆∆得AD=BE ，∠1=∠2，再根据∠1+∠3+∠4=90°得∠2∠3+∠4=90°，从而可得出结论；（3）分两种情况，运用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图所示，根据题意得，点D 在BC 上，∴BCE ∆是直角三角形，且由勾股定理得，BE ==（2）AD BE =，AD BE ⊥仍然成立. 证明：延长AD 交BE 于点H ，∵90ACB DCE ∠=∠=︒，ACD ACB BCD ∠=∠−∠，BCE DCE BCD ∠=∠−∠，∴ACD BCE ∠=∠，又∵CD CE =，AC BC =，∴ACD BCE ≅△△，∴AD BE =，12∠=∠，在Rt ABC 中，13490∠+∠+∠=︒，∴23490∠+∠+∠=︒，∴90AHB ∠=︒，∴AD BE ⊥.（3）①当点D 在AC 上方时，如图1所示，同（2）可得ACD BCE ≅△△∴AD=BE 同理可证BE AE ⊥在Rt △CDE 中，CD CE =2=在Rt △ACB 中，AC BC =AB ==设AD=BE=x ，在Rt △ABE 中，222BE AE AB +=∴222(2)x x ++=解得,1x ∴ 1AD =②当点D 在AC 下方时，如图2所示，同（2）可得ACD BCE ≅△△∴AD=BE 同理可证BE AE ⊥在Rt △CDE 中，CD CE =2=在Rt △ACB 中，AC BC =AB ==设AD=BE=x ，在Rt △ABE 中，222BE AE AB +=∴222(2)x x +−=解得,x = ∴ 1AD .所以,AD 1【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识，熟练解答本题的关键．例4．（2022·黑龙江·虎林市九年级期末）已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ACB ＝90°，F 为AB 边的中点，且DF =EF ，∠DFE ＝90°，D 是BC 上一个动点．如图1，当D 与C 重合时，易证：CD 2＋DB 2＝2DF 2；（1）当D 不与C 、B ，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．（2）当D 在BC 的延长线上时，如图3，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）CD2+DB2=2DF2 ；（2）CD2+DB2=2DF2，证明见解析【分析】（1）由已知得222DE DF =，连接CF ，BE ，证明CDF BEF ∆≅∆得CD=BE ，再证明BDE ∆为直角三角形，由勾股定理可得结论；（2）连接CF ，BE ，证明CDF BEF ∆≅∆得CD=BE ，再证明BDE ∆为直角三角形，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）CD2+DB2=2DF2证明：∵DF=EF ，∠DFE ＝90°，∴222DF EF DE += ∴222DE DF =连接CF ，BE ，如图∵△ABC 是等腰直角三角形，F 为斜边AB 的中点∴CF BF =， CF AB ⊥，即90CFB ∠=︒ ∴45FCB FBC ∠=∠=︒，90CFD DFB ∠+∠=︒又90DFB EFB ∠+∠=︒ ∴CFD EFB ∠=∠在CFD ∆和BFE ∆中CF BF CFD BFE DF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴CFD ∆≅BFE ∆∴CD BE =，45EBF FCB ∠=∠=︒ ∴454590DBF EBF ∠+∠=︒+︒=︒ ∴222DB BE DE +=∵CD BE =，222DE DF =∴CD2+DB2=2DF2 ；（2）CD2+DB2=2DF2 证明：连接BE∵CF=BF ，DF=EF 又∵∠DFC+∠CFE=∠EFB+∠CFB=90°∴∠DFC=∠EFB ∴△DFC ≌△EFB ∴CD=BE ，∠DCF=∠EBF=135°∵∠EBD=∠EBF －∠FBD=135°－45°=90° 在Rt △DBE 中，BE2+DB2=DE2∵ DE2=2DF2 ∴ CD2+DB2=2DF2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例5．（2022·山西大同·九年级期中）综合与实践：已知ABC 是等腰三角形，AB AC =．（1）特殊情形：如图1，当DE ∥BC 时，DB ______EC ．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）发现结论：若将图1中的ADE 绕点A 顺时针旋转α（0180α︒<<︒）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点P 是等腰直角三角形ABC 内一点，90BAC ∠=︒，且1BP =，2AP =，3CP =，求BPA ∠的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将BAP △绕点A 顺时针旋转90°得到CAE V ，连接PE ，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出BPA ∠的度数．【答案】（1）=；（2）成立，理由见解析；（3）∠BPA=135°．【分析】（1）由DE ∥BC ，得到∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，结合AB=AC ，得到DB=EC ；（2）由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ，得到DB=CE ；（3）由旋转构造出△APB ≌△AEC ，再用勾股定理计算出PE ，然后用勾股定理逆定理判断出△PEC 是直角三角形，在简单计算即可．【详解】解：（1）∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠ADE=∠AED AD=AE ，∴DB=EC ，故答案为：=；（2）成立．证明：由①易知AD=AE ，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴DB=CE ；（3）如图，将△APB 绕点A 旋转90°得△AEC ，连接PE ，∴△APB ≌△AEC ，∴AE=AP=2，EC=BP=1，∠PAE=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，在Rt △PAE 中，由勾股定理可得，在△PEC 中，PE2=（2=8，CE2=12=1，PC2=32=9，∵PE2+CE2=PA2，∴△PEC 是直角三角形，∴∠PEC=90°，∴∠AEC=135°，又∵△APB ≌△AEC ，∴∠BPA=∠CEA=135°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点．【答案】（1）见解析；（2）48；（3）15︒【分析】（1）通过边角边判定三角形全等；（2）连接,BD GE ，设,BG DE 交于点O ，,DE CG 交于点M ，先证明DE BG ⊥，由勾股定理可得2222DG BE DB GE +=+；（3）作CK GE ⊥于点K ，则122CK GE ==，且1452GCK GCE ∠=∠=︒，由含30度角的直角三角形的性质求解．【详解】（1）四边形ABCE 与CEFG 为正方形，CG CE =，90BCG DCE ∠=∠=︒，90BCG α=∠︒+，90DCE α∠=︒+，BCG DCE ∴∠=∠，在BCG 和DCE △中，BC DC BCG DCECG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BCG DCE ∴≌ (SAS)， （2）连接,BD GE ，设,BG DE 交于点O ，,DE CG 交于点M ，90BCG α=∠︒+，90DCE α∠=︒+，BCG DCE ∴∠=∠， 在△BCG 和DCE △中，BC DC BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BCG DCE ∴△≌，BGC DEC ∠=∠，GMO EMC ∠=∠，18090GOM GMO BGC EMC DEC GCE ∴∠=︒−∠−∠=︒−∠−∠=∠=︒DE BG ∴⊥，由勾股定理得222DG DO GO =+，222BE OB OE =+，22222222DG BE DO GO OB OE DB GE ∴+=+++=+，4,AB CG ==，BD ∴==4GE ==，2222(448DG BE ++∴==，(3)作CK GE ⊥于点K ，如图，△CEG 为等腰直角三角形，122CK GE ==，且1452GCK GCE ∠=∠=︒，在Rt CDK 中，12CK CD =，30CDK ∴∠=︒，903060DCK ∴∠=︒−︒=︒， 604515DCG DCK GCK =∠−∠=︒−︒=︒∠．∴15α=︒．【点睛】本题考查四边形与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握正方形与直角三角形的性质，通过添加辅助线求解．模型2.半角模型【模型解读】半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④∆AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
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