高等数学 积分 (5.7.1)--反常积分
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第4节 反常积分
当 p 1 时,
a
1 dx p x
a
1 dx ln x a , x
, p 1 , 1 x 1 p 1 p a a x p dx , p 1. 1 p a p1 a 1 p 因此当p 1时, 广义积分收敛 , 其值为 , p1 当p 1时广义积分发散 .
a
a
dx a2 x2
0 0
x a π lim arcsin lim arcsin 0 . 0 a 0 0 a 2
34
高等数学
●
戴本忠
22
dx 例 8 讨论广义积分 2 的收敛性. 1 x 1 被积函数 f ( x ) 2 在积分区间 [1,1] 上除 解 x 1 x 0 处外连续, 且 lim 2 . x 0 x 0 dx 1 0 1 由于 2 [ ]1 lim ( ) 1 , 1 x x 0 x x 0 dx 1 dx 即反常积分 2 发散 , 所以反常积分 2 发散 . 1 x 1 x 如果疏忽了x 0是被积函数的瑕点, 就会得到 注意：
34
高等数学
●
戴本忠
16
二、无界函数广义积分的概念及计算
定义 设函数 f ( x )在区间 (a , b] 上连续, 在点a的 右邻域内无界 .取 0, 如果极限 lim 作 f ( x )dx .
a b b
0 a
f ( x )dx存在,
则称此极限为函数 f ( x )在区间(a , b]上的广义积分 , 记
lim arctan x lim arctan x
x x
反常积分知识点总结框架
反常积分知识点总结框架一、反常积分的基本定义1.1 反常积分的概念反常积分是指积分区间为无穷区间或者积分函数在有限区间内存在间断点的积分。
对于无穷区间的积分，通常是指当积分区间的上限或下限取到无穷大时的情况。
而对于间断点处的积分，则是指在积分区间内，积分函数出现无穷大或不可导的情况。
1.2 反常积分的分类反常积分通常分为第一类和第二类两种情况。
第一类反常积分是指在无穷区间上的积分，通常是指当积分上限或下限趋于无穷大时的情况。
第二类反常积分是指在有限区间内积分函数发生间断的情况，通常是指积分函数在积分区间内出现无穷大或不可导的情况。
1.3 反常积分的性质反常积分有一些特殊的性质，包括线性性、可加性和可积性等。
具体来说，对于具体的积分函数和积分区间，可以根据这些性质来简化对反常积分的计算过程。
同时，这些性质也为我们理解和分析反常积分提供了重要的指导。
二、反常积分的计算方法2.1 无穷远点处的反常积分对于无穷远点处的反常积分，通常采用极限的方法进行计算。
具体而言，可以将无穷远点处的反常积分转化为极限形式，然后利用极限的性质和计算方法来求解反常积分的值。
这种方法通常比较直观和简单，适用于各类函数的反常积分计算。
2.2 间断点处的反常积分对于间断点处的反常积分，通常需要对积分区间进行分段讨论，然后将积分函数在每个子区间上进行化简和求解。
同时，还需要对积分函数在间断点附近的性质进行详细分析，以确保反常积分的计算过程是正确有效的。
2.3 特殊函数的反常积分一些特殊函数的反常积分计算通常需要依赖于一些特殊的方法和技巧。
例如，对于Gamma函数和Beta函数的反常积分计算，可以利用递推关系和变量替换等方法来简化计算过程，从而得到反常积分的精确解析表达式。
三、反常积分的应用3.1 物理学中的应用反常积分在物理学中有着重要的应用。
例如，在热力学和电磁学中，经常需要对一些特殊的物理量进行积分计算，而这些积分往往是反常积分。
高等数学课件5第四节 反常积分ppt
lim
t b
t a
f
(
x
)
dx
b
a
f (x) 在 [a , b) 上的反常积分(或瑕积分).
这时称反常积分
收敛;
否则, 称反常积分 发散.
定义6. 设函数 f ( x)在[a, b]上除点c (a c b)外连续,
点 c 为f (x)的瑕点.
若 瑕 积 分ac
f
(
解:
原式
1 p
0
td(e
pt
)
1 p
([te
pt
]0
e
0
pt dt )
a
udv
[uv]a
a
vdu
1 p
( lim te t
pt
0
[
1 p
e
pt
]0
)
0
1 p2
( lim e
t
pt
1)
1 p2
.
定义2. 设 f ( x)在(, b)上连续.
b
f
( x) dx
lim
t
tb
f
( x) dx
若极限存在,则称无穷限积分
2
1)3
]13
1
1
lim 3( x 1)3+ 3 3 3 4 lim 3( x 1)3
x1
x1
3(1 3 4 ).
例12.
讨
论
反
常
积
分
1 1
dx x2
的
收
敛
性.
解:
lim
x0
1 x2
,
x
0是
1 x2
的瑕点.
§5.7 反常积分 高等数学上课件
(1) 2
1 8
et
t
5 1
2 dt
0
1 (5) 1 (3 1)
82 82
1 3( 3 ) 1 3( 1 1) 1 31( 1 ) 3 . 8 2 2 8 2 2 8 2 2 2 32
作业
习 题 5 （P204）
3(3)(5)(7)(9);5(1)
总习题 （P209 ）
1（3）（4）；3（3）（5）（7） （9）；4；6；7；9；10；12。
dx
1 2
0
xd
(
1 1 x
2
)
2
1[ x 2 1 x
2
0
0
1 1 x
2
dx]
2
1 2
2
4
.
解法 2： xtan t ，dxsec2tdt ，
0
(1
1 x2
)2
dx
2 0
sec2 sec4
t t
dt
2
cos2
tdt
.
0
4
通过换元把反常积分化为常义积分。
反常积分和常义积分计算方法相同，反常积分 代限有三句话：“能代则代之，代不了则取极限， 极限不存在则积分发散。”
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
a a
②
这时也称反常积分收敛；否则称反常积分发散。
定义 3 设函数 f ( x)C(, ) ，cR ，若广义积分
c f ( x)dx 与 f ( x)dx 都收敛，则称两个反常积分之和
c
为 f ( x) 在 (, ) 内的反常积分，记为 f ( x)dx ，即
解： b1 ，则在[1, b] 上 曲线
1 8
et
t
5 1
2 dt
0
1 (5) 1 (3 1)
82 82
1 3( 3 ) 1 3( 1 1) 1 31( 1 ) 3 . 8 2 2 8 2 2 8 2 2 2 32
作业
习 题 5 （P204）
3(3)(5)(7)(9);5(1)
总习题 （P209 ）
1（3）（4）；3（3）（5）（7） （9）；4；6；7；9；10；12。
dx
1 2
0
xd
(
1 1 x
2
)
2
1[ x 2 1 x
2
0
0
1 1 x
2
dx]
2
1 2
2
4
.
解法 2： xtan t ，dxsec2tdt ，
0
(1
1 x2
)2
dx
2 0
sec2 sec4
t t
dt
2
cos2
tdt
.
0
4
通过换元把反常积分化为常义积分。
反常积分和常义积分计算方法相同，反常积分 代限有三句话：“能代则代之，代不了则取极限， 极限不存在则积分发散。”
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
a a
②
这时也称反常积分收敛；否则称反常积分发散。
定义 3 设函数 f ( x)C(, ) ，cR ，若广义积分
c f ( x)dx 与 f ( x)dx 都收敛，则称两个反常积分之和
c
为 f ( x) 在 (, ) 内的反常积分，记为 f ( x)dx ，即
解： b1 ，则在[1, b] 上 曲线
《反常积分课件》课件
对函数f(x)在[a, b]上，当b->+∞或a->-∞时，求极 限∫f(x)dx。
瑕点在积分区间内的反常 积分定义为
对函数f(x)在[a, b]上，当存在c∈(a,b)使得 f(c)=∞时，求极限∫f(x)dx。
反常积分的分类
无穷区间上的反常积分分为两种：发 散和收敛。
瑕点在积分区间内的反常积分也分为 两种：瑕积分发散、瑕积分收敛。
03
CATALOGUE
反常积分的收敛性判断
收敛性的定义
收敛性的定义
一个反常积分 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 或 $int_{-infty}^{b} f(x) dx$ 在实数轴上的极 限存在时，称该反常积分是收敛的。
收敛与发散
如果反常积分存在极限，则称该反常积分是收敛的；否则，称该反常积分是发散的。
CATALOGUE
反常积分在数学分析中的地位和作用
在数学分析中的地位
反常积分是数学分析中一个重要的概念，它是对经典积分的扩展，使得积 分理论更加完整和广泛。
反常积分在解决一些经典积分无法处理的问题时发挥了关键作用，为数学 分析提供了更强大的工具。
反常积分是实数完备性的重要组成部分，对于实数理论的完善和发展具有 重要意义。
收敛与无穷小
当 $f(x)$ 在 $x to infty$ 或 $x to -infty$ 时，如果 $f(x)$ 是无穷小量，则反常积分 可能收敛。
收敛性的判断方法
判断方法一
判断方法二
判断方法三
通过比较判别法来判断反常积分的收 敛性。如果 $f(x) leq g(x)$ 且 $int_{a}^{infty} g(x) dx$ 是收敛的， 那么 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 也一定 是收敛的。
瑕点在积分区间内的反常 积分定义为
对函数f(x)在[a, b]上，当存在c∈(a,b)使得 f(c)=∞时，求极限∫f(x)dx。
反常积分的分类
无穷区间上的反常积分分为两种：发 散和收敛。
瑕点在积分区间内的反常积分也分为 两种：瑕积分发散、瑕积分收敛。
03
CATALOGUE
反常积分的收敛性判断
收敛性的定义
收敛性的定义
一个反常积分 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 或 $int_{-infty}^{b} f(x) dx$ 在实数轴上的极 限存在时，称该反常积分是收敛的。
收敛与发散
如果反常积分存在极限，则称该反常积分是收敛的；否则，称该反常积分是发散的。
CATALOGUE
反常积分在数学分析中的地位和作用
在数学分析中的地位
反常积分是数学分析中一个重要的概念，它是对经典积分的扩展，使得积 分理论更加完整和广泛。
反常积分在解决一些经典积分无法处理的问题时发挥了关键作用，为数学 分析提供了更强大的工具。
反常积分是实数完备性的重要组成部分，对于实数理论的完善和发展具有 重要意义。
收敛与无穷小
当 $f(x)$ 在 $x to infty$ 或 $x to -infty$ 时，如果 $f(x)$ 是无穷小量，则反常积分 可能收敛。
收敛性的判断方法
判断方法一
判断方法二
判断方法三
通过比较判别法来判断反常积分的收 敛性。如果 $f(x) leq g(x)$ 且 $int_{a}^{infty} g(x) dx$ 是收敛的， 那么 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 也一定 是收敛的。
大学高等数学57 反常积分详解剖析
a
a
b
b
f (x)dx F(x) F(b) F() ；
f (x)dx F(x) F() F() ．
若 F() 与 F() 存在，则称相应无穷区间上的无穷
限积分收敛，否则发散．
例1. 计算反常积分
解: 思考:
[arctan x ]
π ( π) π 22
分析:
原积分发散 !
b
a
，如果极限
lim
b
b
a
f
(
x
)dx
存在，则称此极限
为函数 f ( x)在无穷区间[a,)上的反常积分，
记作：
b
a
f
( x)dx
lim
b a
f
( x)dx
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限 不存在时，称反常积分发散.
定义 无穷限积分
定义 2 设函数 f ( x)在区间(,b]上连续，取
a
b，如果极限 lim a
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
练习1.
计算反常积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2
sin
1 x
d
1 x
lim
b
cos
1 x
b 2
blimcos
1 b
b
a
f
(
x)dx
存在，则称此极限
为函数 f ( x)在无穷区间(,b]上的反常积分，
课件：反常积分
dx发
散,
1
1
1 x
dx也
发
散.
思考题(2)
求位于x轴上方,直线x 1右侧,曲线y 2 1 x2
下方的平面图形的面积.
解
所求面积
1
1
2 x
2
dx
2arctan
x 1
22
4
.
2
三、小结与教学要求:
◆掌握无穷限的广义积分
a
f
( x)dx,
b
f
( x)dx,
f
(
x
)dx.
◆掌握无界函数的广义积分（瑕积分）
若lim b ta t
f
( x)dx存在,
则称此极限为f ( x)在(a,b]上的反常积分, 记作ab f ( x)dx,
即
b
a
f ( x)dx
b
lim
ta t
f ( x)dx,
此时,也称广义积分收敛; 否则,称广义积分发散.
类似地, 设f ( x)在[a,b)上连续, 点b为f ( x)的瑕点,
若lim t tb a
f
( x)dx存在,
则称此极限为f ( x)在[a,b)上的反常积分, 记作ab f ( x)dx,
即
b
a
f ( x)dx
t
lim
tb a
f ( x)dx.
此时,也称广义积分收敛; 否则,称广义积分发散.
若f ( x)在[a,b]上除c点外处处连续,且c为瑕点,则定义
b
a
x
1
,
(2) p 1,
1 1 x p dx
x1 1
p
p
1
第四节 反常积分
即反常积分
0
1
1 x2
dx
发散
所以反常积分
1
1
1 x2
dx
发散
1
1 x2
dx
发散
所以反常积分
1
1
1 x2
dx
发散
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内容小结
积分区间无限 1. 反常积分
被积函数无界
2. 两个重要的反常积分
,
(
p
1 1)
a
p1
,
常义积分的极限
p 1 p 1
,
q 1
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结束
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思考与练习
b
a
f
(x)dx lim ta
b
t
f
(x)dx
类似地 函数f(x)在[a b)上(b为瑕点)的反常积分定义为
b
a
f
(x)dx
lim
t b
t
a
f (x)dx
函数f(x)在[a c) (c b]上(c为瑕点)的反常积分定义为
b
a
f
(x)dx lim t c
t
a
f
(x)dx lim t c
b
t
f
当 q 1时
时时
aba(bx(xdxdax)aq)q[1[111qq(x(xa)a1)1q]qba]
ba
(b a)1q 1 q
,
,
当 q1 时
b
a (
当 q1 时
b
a (
因此
当 q<1 时
此反常积分收敛
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Chap 5.7
反常积分
5.7.1 无穷区间的反常积分
■ 定义
b a, f (x) 在 [a,b]均可积,则
def
f (x)dx
lim
b f (x)dx
a
b a
称为 f (x) 在 [a,+) 的反常积分
上述极限存在时，称反常积分收敛；否则
称反常积分发散
类似地定义 b f (x)dx
f (x) 在[a,b ]可积，则
b
f
def
(x)dx
lim
b f (x)dx
a
0 a
称为 f(x) 在 [a,b] 的反常积分
上述右端义左端点 a 为瑕点的反常积分
当瑕点在积分区间内，需分为两个
反常积分之和
■ 计算法
F(x) 是连续函数 f (x) 的原函数 ,b 是瑕点
， b a
f
(
x)dx
F
(
x)
b a
lim
xb
F(x)
F (a)
例 计算下列积分
(1) 1ln xdx 0
(2) 1 xdx
0 1 x2
(3) 1 xdx 0
(4)
1 dx 1 x2
(5)
dx 1 1 x2
(2)
dx a xp
(a 0)
(3) eax sin bx dx (a, b 0) 0
(4)
dx
5 (x 3) x 1
(5)
dx
0 (1 x2 )(1 x3 )
(注意：1 dxx2 d arctan t)
例 天使加百利 (Gabriel) 是上帝的信使
他有一支天堂的号角，设这号角曲面是曲线 角y 的1x侧(1面 x积和所) 围绕号的x体轴积旋转而成的，试求这
例 ( 第二宇宙速度 ) 在地球表面发射火箭， 初速度多少才能脱离地球引力？
H.W 习题 5 64 (2)(7)
5.7.2 无界函数的反常积分
■ 定义
f(x) 在 b 的左邻域无界 ( 称 b 为瑕点), 0,
1 dx 1 3 x
(6) 2
dx
1 (x 1) x2 1
( 三角变 换)
H.W 习题 5 65 (2) (4) (5) (7)
f (x)dx a f (x)dx f (x)dx
a
两项都收 敛，左端 才收敛
■ 计算法
连续函数 f(x) 的原函数为 F(x), 则
f (x)dx lim F (b) F (a)
a
b
引进记号
F
(
x)
a
例 计算下列反常积分
(1)
反常积分
5.7.1 无穷区间的反常积分
■ 定义
b a, f (x) 在 [a,b]均可积,则
def
f (x)dx
lim
b f (x)dx
a
b a
称为 f (x) 在 [a,+) 的反常积分
上述极限存在时，称反常积分收敛；否则
称反常积分发散
类似地定义 b f (x)dx
f (x) 在[a,b ]可积，则
b
f
def
(x)dx
lim
b f (x)dx
a
0 a
称为 f(x) 在 [a,b] 的反常积分
上述右端义左端点 a 为瑕点的反常积分
当瑕点在积分区间内，需分为两个
反常积分之和
■ 计算法
F(x) 是连续函数 f (x) 的原函数 ,b 是瑕点
， b a
f
(
x)dx
F
(
x)
b a
lim
xb
F(x)
F (a)
例 计算下列积分
(1) 1ln xdx 0
(2) 1 xdx
0 1 x2
(3) 1 xdx 0
(4)
1 dx 1 x2
(5)
dx 1 1 x2
(2)
dx a xp
(a 0)
(3) eax sin bx dx (a, b 0) 0
(4)
dx
5 (x 3) x 1
(5)
dx
0 (1 x2 )(1 x3 )
(注意：1 dxx2 d arctan t)
例 天使加百利 (Gabriel) 是上帝的信使
他有一支天堂的号角，设这号角曲面是曲线 角y 的1x侧(1面 x积和所) 围绕号的x体轴积旋转而成的，试求这
例 ( 第二宇宙速度 ) 在地球表面发射火箭， 初速度多少才能脱离地球引力？
H.W 习题 5 64 (2)(7)
5.7.2 无界函数的反常积分
■ 定义
f(x) 在 b 的左邻域无界 ( 称 b 为瑕点), 0,
1 dx 1 3 x
(6) 2
dx
1 (x 1) x2 1
( 三角变 换)
H.W 习题 5 65 (2) (4) (5) (7)
f (x)dx a f (x)dx f (x)dx
a
两项都收 敛，左端 才收敛
■ 计算法
连续函数 f(x) 的原函数为 F(x), 则
f (x)dx lim F (b) F (a)
a
b
引进记号
F
(
x)
a
例 计算下列反常积分
(1)