控制系统的数学模型
控制工程基础第一章控制系统的数学模型
(t)
m dt
m
1a
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
式中，
Tm
Ra
Ra J m f m CmCe
为电动机机电时间常数,s；
K1
Ra
f
Cm
C C
m
me
K2
Ra
f
Ra
C C
m
me
为电动机传递系数。
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计，式（1-9）
还可进一步简化为
C u (t) (t)
em
a
这时，电动机的转速ωm(t)与电枢电压ua(t)成正比，于是电动机可作为
（1）运算放大器Ⅰ。输入量（即给定电压）ug与速度反馈电压uf在此 合成产生偏差电压并经放大，即
u1 K1(ug u f )
式中，
K1
R2 R3
为运算放大器Ⅰ的比例系数。
（2）运算放大器Ⅱ。考虑RC校正网络，u2与u1之间的微分方程为
u2
K（2
d u1
dt
u1）
式中，K 2
R5 R4
为运算放大器Ⅱ的比例系数；τ=R4C为微分时间常数。
m
(t) (t) (t)
m dt
mm
m
c
式中，fm为电动机和负载折合到电动机轴上的黏性摩擦系数；Jm为电
动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
由式（1-5）、式（1-6）和式（1-7）中消去中间变量ia(t)、Ea及
Mm(t)，便可得到以ωm(t)为输出量，以ua(t)为输入量的直流电动机微
分方程，即
按照其建立的条件，数学模型可分为两种。一是静态数学模型： 静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。 它反映了系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间的关系。二 是动态数学模型：动态条件（变量各阶导数不为零）下描述变量各 阶导数之间关系的微分方程；也可定义为描述实际系统各物理量随 时间演化的数学表达式。它反映了动态系统瞬态与过渡态的特性。 本章以动态数学模型的研究为主。
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
基本要求-控制系统数学模型
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
线性连续系统微分方程的一般形式
d c (t ) d c (t ) dc (t ) an an 1 ... a1 a0 c ( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) bm bm 1 ... b1 b0 r (t ) m m 1 dt dt dt
航空工程学院航空工程实验中心
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
• 3.表示形式 a.时域:微分﹑差分﹑状态方程 b.复域:传递函数﹑结构图 c.频域:频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 傅氏 传递函数 微分方程 频率特性 变换 变换
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
题目变种3，寻求新解法
1 R1 cs I ( s) U ( s) U r ( s) c 1 R1 cs
Uc( s ) I (s) R2
联立，可解得： 微分方程为:
U c ( s) R2 (1 R1Cs) U r (s) R1 R2 R1 R2 Cs
微分方程的标准形式: 1、与输入量有关的项写在方程的右端； 2、与输出量有关的项写在方程的左端； 3、方成两端变量的导数项均按降幂排列
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
航空
第二章控制系统的数学模型
电气系统三元件（知识补充）
电阻
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
2.为什么要建立数学模型： 只是定性地了解系统的工作原理和大致的 运动过程是不够的，还要从理论上对系统 性能进行定量的分析和计算。 另一个原因：许多表面上看毫无共同之处 的控制系统，其运动规律具有相似性，可 以用相同形式的数学模型表示。
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
第二章_控制系统的数学模型
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型第章控制系统的数学模2-1 1 数学模型数学模型本书中主要介绍的几种系统模型图型：信号流程图数学模型描述系统行为特性的数学表达式模方块图信号程图数学模型：微分方程传递函数频率特性一、数学模型：描述系统行为特性的数学表达式。
是对实际物理系统的一种数学抽象。
模型各有特点，使用时可灵活掌握。
若分析研究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比较合理。
11——1.1. 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程r(t)——输入量c(t)c(t)a dc(t)a c(t)d a d a ++++L L dr(t)r(t)d r(t)db 其中，(i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，b a r(t)b b ++++=L L b (,,,;j ,,)实,j i2——定定常条输的变2.2.控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型传递函数A. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：L[c(t)]G()式中C()L[(t)])s (C G(s)==式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式那么：C(s)=R(s)G(s)[R()G()][C()]()11[R(s)G(s)]L [C(s)]c(t)-1-1==推广到一般情况，系统时域数学模型——推广到般情况，系统时域数学模型微分方程：L L c(t)a a a a 011-n 1-n n n ++++r(t)b d b d d b -++++=L L b ()dt dtdt 011-m 1m m m L L R(s)b sR(s)b R(s)sb R(s)s b 01-1m m +++=a. 控制系统传递函数的一般表达形式:s −L L 传式011n n a s a s a a R(s)+++−b.b.表示成典型环节表达形式：111+++−s T s T s T s s R L )))()(21n υ∏∏i C )(s ωω；==11j l pnpnωωm 系统的稳态增益K =——系统的稳态增益；2m m m+=2n n nν++=c 零极点表达形式K C +++++L c. 表示成零、极点表达形式：)())(()(21m r z s z s z s s =−——νjp 系统的极点，个零极点。
控制系统的数学建模方法
控制系统的数学建模方法控制系统是指借助外部设备或内部程序，以使被控对象按照预定的要求或指令完成某种控制目标的系统。
在控制系统的设计过程中，数学建模是十分重要的一步。
通过数学建模，可以将实际的控制过程转化为数学方程，使得系统的行为可以被合理地分析和预测。
本文将介绍几种常用的数学建模方法，包括常微分方程模型、传递函数模型和状态空间模型。
1. 常微分方程模型常微分方程模型是控制系统数学建模中常用的方法。
对于连续系统，通过对系统的动态特性进行描述，可以得到常微分方程模型。
常微分方程模型通常使用Laplace变换来转化为复频域的传递函数形式，从而进行进一步的分析和设计。
2. 传递函数模型传递函数模型是描述线性时不变系统动态特性的一种方法。
它以输入和输出之间的关系进行建模，该关系可以用一个分子多项式与一个分母多项式的比值来表示。
传递函数模型常用于频域分析和控制器设计中，其数学形式直观且易于理解，适用于单输入单输出系统和多输入多输出系统。
3. 状态空间模型状态空间模型是一种将系统的状态表示为向量形式，并以状态方程描述系统动态行为的方法。
通过状态变量的引入，可以将系统行为从时域转换到状态空间，并进行状态变量的观测和控制。
状态空间模型具有较强的直观性和适应性，能够较好地描述系统的内部结构和行为特性，广泛应用于现代控制理论和控制工程实践中。
4. 神经网络模型神经网络模型是一种模拟人脑神经元间相互连接的计算模型，可以用于控制系统的建模与控制。
通过训练神经网络，可以实现对系统的非线性建模和控制，对于复杂控制问题具有较强的适应性和鲁棒性。
5. 遗传算法模型遗传算法是一种通过模拟生物进化过程，优化系统控制器参数的方法。
通过设定适应度函数和基因编码方式，利用遗传算法优化求解出最优控制器参数。
遗传算法模型广泛应用于控制系统自动调参和优化设计中，具有较强的全局寻优能力和较高的收敛性。
数学建模是控制系统设计的重要环节，通过合理选择建模方法，可以更好地描述和分析系统的动态特性，并基于此进行控制器设计和性能评估。
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
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c2
x0 fc1
二、非线性元件微分方程的线性化
实际的物理元件都存在一定的非线性，例如
弹簧系数 是位移的函数 K ( x) 电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关 电动本身的摩擦、死区
小偏差线性化法 设连续变化的非线性函数
平衡状态A为工作点
y 0 f ( x0 ) , x x0 x , y y 0 y
求质量m在外力F的作用下，质量m的位移x的运动。 设系统已处于平衡状态， 相对于初始状态位移、速度、加速度为零
m
d x(t ) dt
2
2
F (t ) F1 (t ) F2 (t ) dx(t ) dt Kx(t )
F (t )
k
m
f
F (t ) f
x(t )
Tm (iTm K 1 K 2 K 3 K m K t )
(i K 1 K 2 K 3 K m K t )
K g
K 1 K 2 K 3 K m
(i K 1 K 2 K 3 K m K t )
Kg
K1 K 2 K 3 K m
(i K 1 K 2 K 3 K m K t )
u 2 / R 2 i3
0 i 2 dt u 1
t
系统输出 系统输入参考量
ug
控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功 率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机
运放1
运放2 功放
u1 K 1 (u g u f ) K 1u e
,
K1
R2 R1
u 2 K 2 (
例题：机械系统如下 阻尼器系数及输入输出如图列写数学模型
c1 b
xi m
输入为xi输出为x0初态为零
m d x0 dt
2 2 2
fc2 a
c1
d ( xi x0 ) dt
c2
dx dt
0
方程拉氏变换得
ms x 0 ( s ) c 1 sx i ( s ) c 1 sx 0 ( s ) c 2 sx 0 ( s ) x0 (s) xi (s) c1 ms c 1 c 2
本章重点
通过本章学习，应着 重了解控制系统数学模型 的基本知识，熟练掌握建 立线性定常系统微分方程 的建立、传递函数的概念 和应用知识、控制系统方 框图的构成和等效变换方 法、典型闭环控制系统的 传递函数的基本概念和梅 逊公式的应用。
2-1 控制系统的时域数学模型 1、系统的数学模型 描述物理系统的物理模型的数学方程式 2、物理模型 一个理想化的物理系统
du1 dt
u1 )
,
R1C ,
K2
R2 R1
u a K 3u 2
Tm dm dt m K mu a K C M C
直流电动机
减速器（齿轮系） i为传动比 测速发电机 Nhomakorabea
1 i
m
ut K t
ut u1 u 2 ua
消去中间变量
m
控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为
m
d x(t ) dt
2
f
dx(t ) dt
Kx(t ) F (t )
相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系。
线性系统的性质：具有可叠加性、均匀 性（齐次性） 两个或多个外作用加于系统产生的输出等 于各个外作用分别作用于系统产生的输 出之和。例如
d c (t ) dt
2 2
dc ( t ) dt
一、系统微分方程的方法
ur
L
R
C
uC
L
di (t ) dt
2
1 C
i (t )dt Ri (t ) u r (t ),
u C (t )
1 C
i (t )dt
LC
d uC (t ) dt
2
RC
duC (t ) dt
uC (t ) u r (t )
弹簧-质量-阻尼器（S-M-D） 机械位移系统
（3）消去中间变量得到输入输出的数学方程
速度控制系统的微分方程
R2 R1
ug
R2
m
u2
ua
R1
u1
C
S M
负 载
k1
k2
uf
TG
运放2的数学模型 R1 U1 c a
R2 U2
b R1 a R2 i3 U2
1 c
物理模型 U1 i1 ua=ub=0 c i2
u 1 / R 1 i1
i 3 i 2 i1
y f ( x)
y f ( x)
第2章 控制系统的数学模型
本章主要内容与重点 控制系统的时域数学模型 控制系统的复域数学模型 控制系统的结构图
本章主要内容
本章介绍了 建立控制系统数 学模型和简化的 相关知识。包括 线性定常系统微 分方程的建立、 非线性系统的线 性化方法、传递 函数概念与应用、 方框图及其等效 变换、梅逊公式 的应用等。
实验法：人为加入测试信号，记录输出用数学模型逼近。
控制系统微分方程的建立
基本步骤：
（1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定
系统中各个基本部件（元件）
（2）列写各方框图或各元件的输入输出之间的 微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级 元件对前级元件的负载效应（齿轮系对电机的转 动惯量的影响）和信号传递的单向性。
列写元件微分方程的步骤： （1）一定条件下简化系统为物理模型 （2）确定元件的输入量、输出量 （3）由物理或化学规律，列写微分方程； （4）消去中间变量，得到输入、输出之间关系的微分方程
一般列写数学模型有分析法和实验法两种方法 分析法：分析系统内部各部分运动机理，然后列写相应 的方程，
最后求取系统的数学模型
c (t ) f (t ) 输出为 c 1 ( t ), f ( t ) f 2 ( t ) 输出为 c 1 ( t ) c 2 ( t ) 输出为 c 2 ( t )
f (t ) f1 (t )
f (t ) f1 (t ) f 2 (t )
f ( t ) af 1 ( t )时输出 c ( t ) ac 1 ( t )
KC
KC
(i K 1 K 2 K 3 K m K t )
Tm
d dt
K g
du g dt
MC K g ug KC
*比较 R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统运动方程
LC d uC (t ) dt
2
2
2
RC
duC (t ) dt
uC (t ) u r (t )