高中数学第一章导数及其应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分课件新人教B版选修2_2
������(������)d������,
������ -1
即
a
������(������)d������ = ������������������ ∑ ������(������������)Δ������������.
λ →0������ =0
其中f(x)叫做被积函数,a叫积分下限,b叫积分上限,f(x)dx叫做被积 式.此时称函数f(x)在区间[a,b]上可积.
1 ������(������-1) 1 + 2 + ⋯+(n-1)]=2+ ������2 · 2
所以
2 1
(1 + ������)d������ =
1 2+2
=
5 . 2
答案：
5 2
1
2
2.曲边梯形的面积 根据定积分的定义,曲边梯形的面积S等于其曲边所对应的函数 y=f(x)在区间[a,b]上的定积分,即
������ ������
������ ������
������(������)d������限定下限小于上限,即 a<b.为
பைடு நூலகம்
S=
������ ������
������(������)d������.
1
2
【做一做 2-1】 定积分 的几何意义是
������ ������
������d������(������为常数) .
答案：表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和y=c所围成的矩形的面积
【做一做 2-2】 由 y=sin x,x=0,x=
������-1 上取ξi=xi-1=1+ ������ (������ ������ ������-1 , 从而 ∑ ������(������������)Δ������������ ������ ������ =1 ������-1 = 1,2,3, …,n),于是 f(ξi)=f(xi-1)=1+1+ ������ = 2 + ������ n ������-1 1 2 ������-1 2 1 = ∑ 2 + ������ ·������ = ∑ ������ + ������2 = ������· n+ ������2 [0 + i=1 ������ =1 ������-1 = 2 + 2������ , ������-1 lim 2 + 2������ = ������ →+∞
1.4.1 曲边梯形面积与定积分
1.了解曲边梯形的面积,掌握“分割、近似代替、求和、取极限” 的数学思想. 2.掌握定积分的概念,会用定义求定积分,理解定积分的几何意义, 理解定积分的性质.
1
2
1.一般函数定积分的定义 设函数y=f(x)定义在区间[a,b]上,用分点a=x0<x1<x2<…<xn1<xn=b把区间[a,b]分为n个小区间,其长度依次为
π 2
π , ������ 2
= .
0 所围成图形的面积写成定积分的形式是
答案：
0
sin ������d������
1
2
1.定积分有哪些性质?
剖析： (1)定积分有三条主要的性质: ①
������ ������
������������(������)d������ = ������
������ ������ ������
b- a
(4)取极限:
b a
������(������)d������ = ������������������ ∑ ������(������������) · ������ .
n →+∞ ������ =0
������ -1
������-������
1
2
【做一做 1-1】 “求和式极限”所得的面积(或路程)是 值(填“近似”或“精确”);定积分 (填“函数”或“常数”).
Δxi=xi+1-xi,i=0,1,2,…,n-1. 记λ为这些小区间长度的最大者,当λ趋近于0时,所有的小区间长 度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi,作和式
In= ∑ ������(������������)Δ������������.
������ =0
������ -1
1
2
当 λ→0 时,如果和式的极限存在,我们把和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
1
2
(4)性质②对于有限个函数(两个以上)也成立.性质③对于把区间 [a,b]分成有限个(两个以上)区间也成立.
(5)对于定积分的性质③可以用图直观地表示出来,即S曲边梯形 AMNB=S曲边梯形AMPC+S曲边梯形CPNB. (6)定义中区间的分法和xi的取法都是任意的.
(7)在定积分的定义中, 定:
1
2
归纳总结 1.定积分
������ ������
������(������)d������是一个常数.
2.用定义求定积分的一般步骤. (1)分割:n 等分区间[a,b]; (2)近似代替:在每个小区间任取 ξi; (3)求和: ∑ ������(������������) · n ;
������ =0 ������ -1
������(������)d������;
������(������)d������ =
������
������(������)d������ +
������(������)d������(������ < ������ < ������).
(2)性质①②称为定积分的线性性质,性质③称为定积分对积分区 间的可加性. (3)性质①的等式左边是一个定积分,等式右边是常数与一个定积 分的乘积.
答案：精确 常数
������ ������
������ ������ d������是
1
2
【做一做 1-2】 利用定积分定义计算
1
2 1
(1 + ������)d������ =
������-1 ������
.
解析： 因为 f(x)=1+x 在区间[1,2]上连续,将区间[1,2]分成 n 等 份,则每个区间的长度为 Δxi= ������ , 在[xi-1,xi]= 1 + ������ ,1 + ������
������ ������
������(������)d������(������为常数);
������ ������
② ③
������
[������(������) ± ������(������)]d������ =
������ ������
������(������)d������ ±
������ ������ ������
(人教课标版)普通高中课程标准实验教科书《数学》目录(B版)
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不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1数学归纳法原理3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记选修4-6引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4-9引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例说明：A版适用于文件生使用，B版适用于理科生使用，B 版比A版略难。
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数学①必修第一章集合1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念1.1.2 集合的表示方法1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系1.2.2 集合的运算第二章函数2.1 函数2.1.1 函数2.1.2 函数的表示方法2.1.3 函数的单调性2.1.4 函数的奇偶性2.1.5 用计算机作函数的图像（选学）2.2 一次函数和二次函数2.2.1 一次函数的性质和图像2.2.2 二次函数的性质和图像2.2.3 待定系数法2.3 函数的应用（I）2.4 函数与方程2.4.1 函数的零点2.4.2 求函数零点近似解的一种近似方法——二分法第三章基本初等函数（I）3.1 指数与指数函数3.1.1 有理指数幂及其运算3.1.2 指数函数3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算3.2.2 对数函数3.2.3 指数函数与对数函数的关系3.3 幂函数3.2 函数的应用（II）数学②必修第一章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.1 构成空间几何体的基本元素1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4 投影与直观图1.1.5 三视图1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7 柱、锥、台和球的体积1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质与推论1.2.2 空间中的平行关系1.2.3 空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式2.2 直线的方程2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的集中形式2.2.3 两条直线的位置关系2.2.4 点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程2.3.3 直线与圆的位置关系2.3.4 圆与圆的位置关系2.4 空间直角坐标系2.4.1 空间直角坐标系2.4.2 空间两点的距离公式数学③必修第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 概率的一般加法公式（选学）3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用数学④必修第一章基本初等函数（II）1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图像与性质1.3.1 正弦函数的图像与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图像与性质1.3.3 已知三角函数值求角第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4 向量的数乘2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.2 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积数学⑤必修第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2 简单线性规划数学选修1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的几何性质2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.2 双曲线的几何性质2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的几何性质第三章导数及其应用3.1 导数3.1.1 函数的平均变化率3.1.2 瞬时速度与导数3.1.3 导数的几何意义3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表3.2.3 导数的四则运算法则3.3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性3.3.2 利用导数研究函数的极值3.3.3 导数的实际应用数学选修1-2第一章统计案例1.1 独立性检验1.2 回归分析第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的引入3.1.1 实数系3.1.2 复数的引入3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法和减法3.2.2 复数的乘法和除法第四章框图4.1 流程图4.2 结构图数学选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程2.2.2 椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程2.3.2 双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1 抛物线的标准方程2.4.2 抛物线的几何性质2.5 直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3 空间向量的数量积3.1.4 空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量3.2.5 距离（选学）数学选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法 2.3.1 数学归纳法2.3.2 数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法数学选修2-3第一章计数原理1.1 基本计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理1.3.2 杨辉三角第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.1.3 超几何分布2.2 条件概率与事件的独立性2.2.1 条件概率2.2.2 事件的独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3 随机变量的数字特征2.3.1 离散型随机变量的数学期望2.3.2 离散型随机变量的方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验3.2 回归分析数学选修4-5不等式选讲第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1 不等式的基本性质1.1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法1.3.1 |ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法1.3.2 |x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法1.4 绝对值的三角不等式1.5 不等式证明的基本方法1.5.1 比较法1.5.2 综合法和分析法1.5.3 反证法和放缩法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配置方法的证明2.2 排序不等式2.3 平均值不等式（选学）2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法原理3.1.1 数学归纳法原理3.1.2 数学归纳法应用举例3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式。
人教课标版高中数学选修2-2：《曲边梯形的面积》教案-新版
第一章导数及其应用曲边梯形的面积一、教学目标1．核心素养通过定积分的概念的学习，提升分析问题、解决问题的能力、抽象概括能力和逻辑思维能力.2．学习目标（1）通过求曲边梯形的面积，了解定积分的实际背景．（2）通过求变速直线运动的路程，了解定积分的实际背景．3．学习重点“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.4．学习难点“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务预习教材P2—P4,完成P6相应练习题2．预习自测1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[x i，x i＋1]上的近似值等于（）A．只能是左端点的函数值f(x i)B．只能是右端点的函数值f(x i＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[x i，x i＋1])D．以上答案均不正确答案：C答案：D3．直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )(f (x )>0)所围成的曲边梯形的面积S ＝（ ） A ．∑i ＝1n f (ξi )·1nB ．lim n →∞∑i ＝1nf (ξ1)·1nC ．∑i ＝1n f (ξi )·b －anD ．lim n →∞∑i ＝1nb －an ·f (ξi )答案：D （二）课堂设计 1．知识回顾本节可能会用到的数学公式： （1）211(1)(21)6ni i n n n ==++∑；（2）231(1)2ni n n i =+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑； （3）11101110lim k k k k kk k n k k k a n a n a n a a b b n b nb n b ---→∞-⋅++++=⋅++++（其中i a ，i b 为常数，0,1,,i k =）.2．问题探究问题探究一：求曲边梯形的面积 曲边梯形的概念：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()=的一段，我们把由直y f x线,(),0==≠=和曲线()x a x b a b y=所围成的图形称为曲边梯形．y f x如何求2x=所围成的平面图形面积S？=与0y xy=及1活动1：请讨论：如何分割？以下几种分割方法，哪种最合适？（1）竖向分割（2）横向分割（3）随意分割分析发现，竖向分割更容易求面积.活动2：请讨论：分割多少份合适？分析发现分割的越多，误差越小，为了便于计算，引导学生会利用n控制分割的份数，把[0,1]分割成n等份.活动3：以什么样的直边图形近似代替小曲边梯形？ 展示部分近似代替的方案：（1） （2） （3）矩形 矩形 梯形 不足 过剩 代替分割后，转化成n 个曲边梯形，利用直边图形代替，合作交流后确定方案，即以矩形不足或矩形过剩计算较为方便.活动4：如何用n 的式子表示直边图形面积的和？ 展示学习小组部分计算结果：（1）以方案（1）计算：)211)(11(311n n S --=（2）以方案（2）计算：)211)(11(312n n S ++=（3）以方案（3）计算：)211(3123nS +=通过分割、近似代替两步以后，进行求和，根据不同的方案计算出不同的面积和，发现每一种和结果的代数式子不一样，为后面引入极限做个铺垫. 活动5：请讨论：对控制变量n 怎样理解，面积S 变化趋势怎样？ (1)几何画板演示，21,S S 随变量n 变大，它们的变化趋势. （2）取极限：（1）当+∞→n 时，31)211)(11(311→--=n n S（2）当+∞→n 时，31)211)(11(312→++=n n S结论：以上三种方案得到的面积都是用n 表示的表达式，而曲边梯形的面积应该是一个常数，如何确定这个常数，已经知道分割的份数越多，误差就越小，利用前面导数的概念，可以确定当n 趋近于无穷大时，21,S S 趋近于一个常数，这个常数就是该图形面积的值，体现了无限逼近的思想方法，极限的含义. 活动6：在求小矩形的面积时，我们提到了可以取2)(x x f =在区间],1[nin i -上任意一点i ξ处的值)(i f ξ作为小矩形的高，会有怎样的结果？1111lim ()lim ()3nni i x n i i S f x f n ξξ∆→→∞===∆==∑∑例1：求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积 【知识点：曲边梯形面积】 解:令f (x )＝x 2. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n，…，x n －1＝2（n －1）n ，x n ＝2.第i 个区间为[2i －2n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n . (2)近似代替、求和，取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑ni ＝1f (2i n )·Δx ＝∑n i ＝1 (2i n )2·2n ＝8n 3∑n i ＝1i 2＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＝8n 3·n （n ＋1）(2n ＋1)6＝43(2＋3n ＋1n 2)．(3)取极限S ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞ 43(2＋3n ＋1n 2)＝83， 即所求曲边梯形的面积为83. 点拨：求曲边梯形面积的步骤①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间；（如下图1）②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值（如下图2）；③求和：计算出n 个小矩形的面积之和S n ，S n 即为曲边梯形面积的近似值； ④取极限：求lim n n S S →+∞=（S 即为曲边梯形的面积）问题探究二、如何求汽车行驶的路程？活动一：汽车以速度v 作匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()22v t t =-+（单位：km /h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h )这段时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间[]0,1分成n 个小区间，在每个小区间上，由于()v t 的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S （单位：km ）的近似值，最后让n 趋紧于无穷大就得到S （单位：km ）的精确值． 解：1．分割在时间区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为11i i t n n n-∆=-=.把汽车在时间段10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上行驶的路程分别记作：1S ∆，2S ∆，…，n S ∆，显然，1ni i S S ==∆∑图 1 图2（2）近似代替当n 很大，即t ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数()22v t t =-+的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1i n-处的速度2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有21112i i i i S S v t n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112(1,2,,)i i n n n n -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ ①（3）求和由①，21111112nnn n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ =221111102n n n n n n-⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()222311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦=()()3121126n n n n ---+=11111232n n ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭从而得到S 的近似值 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（4）取极限当n 趋向于无穷大时，即t ∆趋向于0时，11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有1111115lim lim lim 112323nn n n n i i S S v nn n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑点拨：本题所用数学思想为化归，即用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．活动二：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系？ 汽车行驶的路程在数值上等于由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积.一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为()v v t =，那么我们也可采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a t b ≤≤内所作的位移s . 3．课堂总结 【知识梳理】求曲边梯形面积的步骤①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间；（如下图1）②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值（如下图2）；③求和：计算出n 个小矩形的面积之和n S ，n S 即为曲边梯形面积的近似值；④取极限：求lim n n S S →+∞=（S 即为曲边梯形的面积）. 【重难点突破】1.求曲边梯形面积 “近似代替”中，取任意一点1ξ代替求出的最终的曲边梯形面积均是同一个常数.2.求曲边梯形面积与求变速直线运动的物体的路程的本质是一样的，都采用分割、近似代替、求和、取极限的步骤求解. 4．随堂检测1．直线x ＝0、x ＝2、y ＝0与曲线y ＝x 2所围成曲边梯形的面积是_______． 答案：见解析解析：【知识点：曲边梯形的面积；】图 1图2将区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为2(1)2[,]i in n-. 第i 个小区间的面积2(1)2i i S f n n-⎛⎫∆=⋅ ⎪⎝⎭，所以2223321112(1)4(1)(1)(21)4(1)(21)2288(1)63nn nn i i i i i n n n n n S f i n n n nn n n ===------⎛⎫=⋅==-=⋅=⎪⎝⎭∑∑∑故24(1)(21)4118limlim lim[(1)(2)]333n n n n n n S S n n n→∞→∞→∞--===--= ∴所求曲边梯形面积为83.2．已知汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度(单位：km /h )为v (t )＝t 2＋2，那么它在1≤t ≤2(单位：h )这段时间行驶的路程为多少？ 答案：这段时间行驶的路程为133km . 解析：【知识点：变速直线运动的路程；】222311)[12(1)]n n n++-++++-（三）课后作业 基础型 自主突破 1．函数2()f x x =在区间1[,]i in n-上（ ）A ．()f x 的值变化很小B ．()f x 的值变化很大C ．()f x 的值不变化D ．当n 很大时，()f x 的值变化很小 答案：D解析：【知识点：定积分；】2．在求由抛物线y ＝x 2＋6与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n C ．[i －1，i ] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n 答案：B解析：【知识点：定积分；】在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个点，将它等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n －1n ，2，所以第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )． 3.若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C解析：【知识点：定积分；】将区间[0，a ]n 等分，记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a (i －1)n ，ai n (i ＝1,2，…，n )，此区间长为a n ，用小矩形面积⎝ ⎛⎭⎪⎫ai n 2· a n近似代替相应的小曲边梯形的面积，则∑n i ＝1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ai n 2·an ＝a 3n 3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n 近似地等于速度曲线v (t )＝t 2与直线t ＝0，t ＝a ，t 轴围成的曲边梯形的面积．依题意得lim n →∞ a 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＝9， ∴a 33＝9，解得a ＝3．4．汽车以v ＝(3t ＋2) m /s 作变速直线运动时，在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是________． 答案：6.5解析：【知识点：变速直线运动的路程；】将[1,2]n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则Δt ＝1n ，v (ξi )＝v (1＋i －1n )＝3(1＋i －1n )＋2＝3n (i －1)＋5.∴s n ＝∑ni ＝1[3n (i －1)＋5]·1n ＝{3n [0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5n }·1n ＝3n 2·n (n －1)2＋5＝32(1－1n )＋5.∴s ＝li m n →∞s n ＝32＋5＝6.5. 5．求抛物线f (x )＝1＋x 2与直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S . 答案：43解析：【知识点：求曲边梯形的面积；】(1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )其长度Δx ＝1n ，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积分别记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )． (2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n (i ＝1,2，…，n )． (3)求和：∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2.(4)取极限：S ＝li m n →∞∑i ＝1n1n ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2＝1＋li m n →∞∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n ＝1＋li m n →∞ 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝1＋13＝43.6．已知一物体做变速直线运动，其瞬时速度是v (t )＝2t (单位：m /s )，求该物体在出发后从t ＝1 s 到t ＝5 s 这4 s 内所经过的位移． 答案：24m.解析：【知识点：变速直线运动的路程；】(1)分割：把时间段[1,5]分成n 等份，分点依次是：1，1＋4n ，1＋8n ，…，1＋n －1n ·4,5，每个小区间的长度Δx ＝4n .(2)近似代替：在时间的小区间段，以匀速来代替变速，故在每一小时间段内，经过的位移Δs i ≈Δs ′i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4i n ·4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋8i n ·4n，其中i ＝1,2，…，n . (3)求和：所求的位移s ≈s n ＝∑i ＝1nΔs ′i ＝4n ∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋8i n ＝8＋32n 2·n (n ＋1)2＝8＋16·n ＋1n ＝8＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n . (4)取极限：当分割无限变细，即4n 趋向于0(亦即n 趋向于＋∞)时，s n 趋向于所求位移s ，从而有s ＝li m n →＋∞s n ＝li m n →＋∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝8＋16＝24， 即所求物体经过的位移是24m . 能力型 师生共研7．lim n →∞∑i ＝1n[(15i n )·(5n )]的含义可以是（ ） A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积 B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积 C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积 D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x 围成的图形的面积答案：C解析：【知识点：曲边梯形的面积；】将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n ，各区间右端点对应函数值为y ＝15in ，因此∑i ＝1n[(15i n )·(5n )]可以表示由直线x ＝0、x ＝5、y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值．8．由直线x ＝0、x ＝1、y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积为________． 答案：43解析：【知识点：曲边梯形的面积；】将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n ，区间右端点函数值y ＝(i n )2＋2·i n ＝i 2n 2＋2in .作和∑i ＝1n[(i 2n 2＋2i n )1n ]＝∑i ＝1n (i 2n 3＋2i n 2)＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2n 2∑i ＝1n i ＝1n 3×16n (n ＋1)(2n ＋1)＋222(1)(1)(21)126n n n n n n n n ++++⋅=+8n 2＋9n ＋16n 2，∴所求面积S ＝lim n →∞ 8n 2＋9n ＋16n 2＝lim n →∞ (43＋32n ＋16n 2)＝43. 9．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式I n ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么I n 的大小( )A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关B ．与f (x )、区间[a ，b ]和分点个数n 有关，与ξi 的取法无关C ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关D ．与f (x )、区间[a ，b ]、分点的个数n 、ξi 的取法都有关 答案：D解析：【知识点：定积分】10．求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积. 答案：83解析：【知识点：曲边梯形的面积；数学思想：以不变代变】 令f (x )＝x 2.(1)分割：将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝2(n －1)n ，x n ＝2.第i 个区间为[2i －2n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n .(2)近似代替、求和，取ξi ＝2i n (i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑n i ＝1f (2i n )·Δx ＝∑n i ＝1 (2i n )2·2n ＝8n 3∑ni ＝1i 2＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＝43(2＋3n ＋1n 2)．(3)取极限S ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞ 43(2＋3n ＋1n 2)＝83，即所求曲边梯形的面积为83. 探究型 多维突破11．设力F 作用在质点m 上使m 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F ＝x 2＋1且力的方向和x 轴正向相同，求F 对质点m 所作的功．. 答案：342.解析：【知识点：定积分；】将区间[1,10]n 等分，则各小区间的长度为9n ，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋9n (i －1)，1＋9n i 上取ξi ＝1＋9n i .∴F i ＝ξ2i ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9n i 2＋1，∴W i ＝F i ·9n ＝9n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9n i 2＋9n(i ＝1,2，…，n )． ∴W ＝li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤9n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9n i 2＋9n ＝li m n →∞∑i ＝1n 9n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋18n i ＋81n 2i 2 ＝li m n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫18n ＋162n 2i ＋729n 3i 2＝li m n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18＋162n 2·n (n ＋1)2＋729n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6 ＝18＋81＋243＝342. 故F 对质点所作的功为342. 自助餐1.求曲边梯形面积的四步曲中的第二步是( ) A ．分割B ．近似代替C ．求和D ．取极限 答案：B解析：【知识点：求曲边梯形的面积】2.在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1]D ．以上答案均正确 答案：C解析：【知识点：定积分】 3.和式∑10i ＝1 (x i －3)等于( ) A ．(x 1－3)＋(x 10－3) B ．x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10－3 C ．x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10－30 D ．(x 1－3)(x 2－3)(x 3－3)·…·(x 10－3) 答案：C解析：【知识点：和式的概念】∑10i ＝1(x i －3)＝(x 1－3)＋(x 2－3)＋(x 3－3)＋…＋(x 10－3)＝(x 1＋x 2＋…＋x 10)－30.4.对于由函数y ＝x 3和直线x ＝1，y ＝0围成的曲边梯形，把区间[0,1]三等分，则曲边梯形面积的近似值(每个ξi 取值均为小区间的左端点)是( ) A.19 B.125 C.127 D.130 答案：A解析：【知识点：求曲边梯形的面积】 S ＝0×13＋(13)3×13＋(23)3×13＝19.5.一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为（ ） A ．13 B ．12 C ．1 D ．32 答案：B解析：【知识点：变速直线运动的路程】 6.在等分区间的情况下，f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形的面积和式的极限形式正确的是( ) A ．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋(i n )2·2n B ．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋(2i n )2·2n C ．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋i 2·1n D ．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋(i n )2·n 答案:B解析：【知识点：求曲边梯形的面积】将区间n 等分后，每个小区间的长度为Δx ＝2n ，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2,3，…，n )，则由求曲边梯形的面积的步骤可得曲边梯形的面积和式的极限形式为li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋(2i n )2·2n . 7．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为________． 答案：见解析解析：【知识点：求曲边梯形的面积】区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n .8．如果汽车做匀变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km /h )，则该汽车在1≤t ≤2这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是_____________________． 答案：见解析解析：【知识点：求曲边梯形的面积】围成该图形的直线和曲线分别是t ＝1，t ＝2，v ＝0，v ＝t 2＋2.9．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________． 答案：55解析：【知识点：变速直线运动的路程】把区间[0,10]10等分，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.10.求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________. 答案：1.02解析：【知识点：求曲边梯形的面积】将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2，于是所求平面图形的面积近似等于110⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02. 11．汽车以v ＝(3t ＋2) m /s 做变速直线运动时，求在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程．答案：6.5解析：【知识点：变速直线运动的路程】将[1,2]n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则 Δt ＝1n ，v (ξi )＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＝3⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＋2＝3n (i －1)＋5. ∴s n ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n (i －1)＋5·1n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n [0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5n ·1n ＝3n 2·n (n －1)2＋5＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋5.∴s ＝li mn →∞s n ＝32＋5＝6.5. 12．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线f (x )＝12x 2所围成的图形的面积． 答案：16解析：【知识点：求曲边梯形的面积】解：(1)分割：将区间[0,1]等分成n 个小区间：[0，1n ]，[1n ，2n ]，…，[i －1n ，i n ]，…，[n －1n ，1]．每个小区间的长度为Δx ＝1n .过各分点作x 轴的垂线，将曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .(2)近似代替：在区间[i －1n ，i n ]上，用i －1n 处的函数值12(i －1n )2作为高，以小区间的长度Δx ＝1n 作为底边长的小矩形的面积近似代替第i 个小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈12(i －1n )2·1n .(3)求和：曲边梯形的面积为S n ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n12(i －1n )2·1n ＝12n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝12n 3·(n －1)n (2n ＋1)6＝112(1－1n )(2＋1n )．(4)取极限：S ＝li mn →∞S n ＝112×1×2＝16.∴所围图形的面积为16.。
人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用第五节(第一课时)曲边梯形的的面积和定积分的概念(共19张
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
2、近似代替
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i-1) n
10
S第1个黄色矩形
n
f
() n
0
S第2个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
凡 事 都是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看 到 不 同 的 结果 。 若 能 把 一 些 事 看 淡 了 ，就 会 有 个 好 心 境 ， 若 把 很 多事 看 开 了 ， 就 会有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹 如 月 缺 月 圆那 样 寻 常 ， 让 得 失 利 弊 犹 如花 开 花 谢 那 样 自 然 ， 不 计 较， 也 不 刻 意 执 着； 让 生 命 中 各 种 的 喜 怒 哀 乐 ， 就 像 风 儿一 样 ， 来 了 ， 不 管 是 清 风 拂面 ， 还 是 寒 风 凛 冽 ， 都 报 以自 然 的 微 笑 ， 坦然 的 接 受 命 运 的 馈 赠 ， 把 是 非 曲 折 ， 都当 作 是 人
n
i 1
f i x
n i 1
ba n
f i
当n→∞时,上式无限接近某个常数,这个常数叫做函数
f
(x)在区间[a,b]上的定积分
记作 b a
f
xdx
b a
f xdx lim n
n i 1
ba n
f i
定积分的定义：即
b a
f
(x)dx
lim
n
n i1
定积分、微积分基本定理-高中数学知识点讲解
定积分、微积分基本定理1．定积分、微积分基本定理【定积分】定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积．即由所围成图（f X）[a，b] y＝0，x＝a，x＝b，y＝（f X）形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．定积分的求法：求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．【微积分基本定理】在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．其中，微积分的核心（基本）定理是푏푎F（x）＝（f x）（f x）푓(푥)푑푥= 퐹(푏)―퐹(푎)，其中，而必须在区间（a，b）内连续．2例 1：定积分|3 ―2푥|푑푥=1解：1 | 3﹣2x | dx2=321(3 ―2푥)푑푥+232(2푥―3)푑푥3＝（﹣2）1 +（x2﹣3x）|233x x |221/ 2=12通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有；第二，每一段对应的被积分函数的表dx达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．例 2：用定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥．―3解：根据定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，―3故3―39 ―푥2푑푥=12 × 휋× 32 =9휋．2这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．【考查】定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．2/ 2。
高中数学考点13 定积分与微积分基本定理
考点13 定积分与微积分基本定理高考对此部分的考查比较少，但定积分的基本计算以及几何意义也会单独考查，复习过程中也不能遗漏，具体要求为：(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. (2)了解微积分基本定理的含义.一、定积分 1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x 所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． (2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v =v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s . 3．定积分的定义和相关概念(1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0<x 1<…<x i −1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i −1,x i ]上任取一点ξi (i =1,2, …,n )，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分，记作()d baf x x ⎰，即()d baf x x ⎰=1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑. (2)在()d baf x x ⎰中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 (1)()()d d bba akf x x k f x x =⎰⎰(k 为常数)；(2)[()()]d ()d ()d bb ba aaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；(3)()d =()d +()d bc baacf x x f x x f x x ⎰⎰⎰(其中a <c <b )．【注】定积分的性质(3)称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．5．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是由直线x =a ，x =b (a ≠b )，y =0和曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x =a ，x =b 之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S ,则 (1)()d ba S f x x =⎰； (2)()d baS f x x =-⎰；(3)()()d d cbacS f x x f x x =-⎰⎰； (4)()()()()d d []d bbbaaaS f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.7．定积分的物理意义 (1)变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即()d bas v t t =⎰.(2)变力做功一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s m ，则力F 所做的功为W =Fs .如果物体在变力F (x )的作用下沿着与F (x )相同的方向从x =a 移动到x =b ，则变力F (x )做的功()d baW F x x =⎰.二、微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数，且F ′(x )=f (x )，那么()d baf x x ⎰=F (b )−F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，我们常把F (b )−F (a )记作()|ba F x ，即()d baf x x ⎰=()|b a F x =F (b )−F (a )．【注】常见的原函数与被积函数的关系 (1)d |(bb a a C x Cx C =⎰为常数)； (2)11d |(1)1bn n ba ax x x n n +=≠-+⎰； (3)sin d cos |bb a a x x x =-⎰； (4)cos d sin |bb a a x x x =⎰； (5)1d ln |(0)bb a ax x b a x=>>⎰； (6)e d e |bx x b a a x =⎰；(7)d |(0,1)ln x bxba a a a x a a a=>≠⎰；(8)322|(0)3b a ax x b a =>≥⎰.考向一 定积分的计算1．求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强； (2)利用微积分基本定理求定积分；(3)利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分x ⎰的几何意义是求单位圆面积的14，所以0π=4x ⎰.2．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值. 3．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 4．奇偶函数的定积分(1)若奇函数y =f (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则()d 0aa f x x -=⎰； (2)若偶函数y =g (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则0()d 2()d aaag x x g x x -=⎰⎰.典例1 A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】A故选A ．【解题技巧】求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.1．已知函数()e3211(1)2f x x dx x f x x'=⋅--⎰，则()()11f f '+=( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2考向二 利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略(1)利用定积分求平面图形面积的步骤①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．(2)知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．(3)与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.典例2 设抛物线C：y=x2与直线l：y=1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于A．1 B．1 3C．23D．43【答案】D【解析】由21y xy⎧=⎨=⎩，得1x=±.如图，由对称性可知，123114 2(11d)2(11)33 S x x x=⨯-=⨯-=⎰.故选D.2．如图，已知10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭，点()()000,0P x y x >在曲线2y x 上，若阴影部分面积与OAP △面积相等，则0x =________.考向三 定积分的物理意义利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.典例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t +t=-+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【答案】C【解析】令v (t )=0得，3t 2−4t −32=0，解得t =4(83t =-舍去). 汽车的刹车距离是42400253(73)d [725ln(1)]|425ln 5.12t +t t t t t -=-++=++⎰故选C.3．一个物体做变速直线运动，在时刻t 的速度为()32v t t =-+(t 的单位：h ，v 的单位：km/h )，那么它在01t ≤≤这段时间内行驶的路程s (单位：km )的值为( ) A ．23B ．74C ．53D ．21．121(3sin )x x dx --⎰等于( )A ．0B ．2sin1C ．2cos1D ．22．11xe dx -⎰的值为( )A ．2B ．2eC ．22e -D ．22e +3．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为( )A ．16 B 3C ．13D ．234．已知622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项系数为20，则由曲线13y x =和a y x =围成的封闭图形的面积为( )A ．512B ．53 C ．1D ．13125．已知()()ln xxf x e e -=+，201sin 2a xdx π=⎰， 1.112b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23log c =则下列选项中正确的是( ) A ．()()()f a f b f c >> B ．()()()f a f c f b >> C ．()()()f c f f a b >>D ．()()()f c f b f a >>6．一物体在力F (x )＝4x ﹣1(单位：N )的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1m 处运动到x ＝3m 处，则力F (x )所作的功为( ) A ．16J B ．14J C ．12JD ．10J7．函数()()04xf x t t dt =-⎰在[]1,5-上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值8．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C (如图)，然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是( )A ．NM N -B ．MM N -C ．M N N-D ．M N9．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是：( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④10．()102xex dx +⎰= ______ ．11．抛物线22x y =和直线4y x =+所围成的封闭图形的面积是________. 12．已知数列{}n a 是公比120=⎰q x dx 的等比数列，且312a a a =⋅，则10a =________.13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,0O ，()2,0A ，()2,1B ，()0,1C ，现在矩形OABC 中随机选取一点(),P x y ，则事件：点(),P x y 的坐标满足22y x x ≤-+的概率为____________.1．(2015年高考湖南卷理科)2(1)d x x -=⎰．2．(2015年高考天津卷理科)曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ． 3．(2015年高考山东卷理科)执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为 ．4．(2015年高考福建卷理科)如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．5．(2015年高考陕西卷理科)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．1．【答案】A【解析】【分析】先由微积分基本定理求出函数式中的积分值，然后求导，令1x=可求得(1)f'，再计算(1)f可得结论．【详解】因为e111ln|1edx xx==⎰，所以()()3212f x x x f x'=--，所以()()232'12f x x xf'=--，令1x=，得()()13212f f''=--，解得1(1)3f'=，所以321()23f x x x x=--，14(1)1233f=--=-，()()1411133f f⎛⎫'+=+-=-⎪⎝⎭，故选：A．【点睛】本题考查微积分基本定理，考查导数的运算，解题时计算出积分值，由求导公式求导，令1x=，赋值后就可化未知为已知．2．【解析】【分析】利用定积分求出阴影部分的面积，再建立面积等量关系，即可得答案；【详解】因为点()()000,0P x y x>在曲线2y x上，所以200y x=，则OAP△的面积00011112248S OA x x x==⨯=‖，阴影部分的面积为00233001133x xx dx x x==⎰∣，因为阴影部分面积与OAP△的面积相等，所以31138x x=,即238x=.所以x=【点睛】本题考查定积分求面积，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 3．【答案】B 【解析】 【分析】由速度在给定的时间范围内的定积分可得到答案. 【详解】这辆汽车在01t ≤≤这段时间内汽车行驶的路程()113401172d 22444s t t t t ⎛⎫=-+=-+=-+= ⎪⎝⎭⎰，所以这辆汽车在01t ≤≤这段时间内汽车行驶的路程s 为74. 故选：B. 【点睛】本题考查了定积分在物理中的应用，速度在时间范围内的积分是路程，属于基础题.1．【答案】D 【解析】()()()()()21cos 11cos 1|cos sin 3111132=-+--+=+=-⎰--x x dx x x，故答案为D. 2．【答案】C 【解析】 【分析】根据微积分基本定理结合积分的性质计算． 【详解】1111222(1)xx x e dx e dx e e -===-⎰⎰．故选：C ． 【点睛】本题考查微积分基本定理，属于基础题． 3．【答案】C 【解析】 【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】 如图所示：由2y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩，根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为)13023210211d 333x x x x ⎛⎫⎰=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力 4．【答案】A 【解析】 【分析】先利用二项展开式的通项公式求出a ，再利用牛顿-莱布尼兹公式可求图形的面积. 【详解】622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项为第4项且第4项为()3332462a T C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为系数为20，所以336C 202a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得2a =，由213x x =的0x =或1x =，所以封闭图形的面积为1412333010314135|2x x dx x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰，故选：A . 【分析】本题考查二项展开式的指定项以及平面封闭图形的面积的计算，后者注意积分区间的确定，本题属于中档题. 5．【答案】C 【解析】 【分析】先判断()f x 为R 上的偶函数，再利用导数判断出()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，在(],0x ∈-∞上单调递减，化简,,a b c ，利用函数的单调性比较大小即可. 【详解】()()ln x x f x e e -=+，x ∈R ，则()()()ln x x f x e e f x --=+=，所以()f x 为R 上的偶函数，并且()x xx xe ef x e e ---'=+，则[)0,x ∈+∞时，()0f x '≥，当且仅当0x =时，“=”成立， 所以()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，在(],0x ∈-∞上单调递减，()22111sin cos 222a xdx x ππ==-=⎰，1.111110222b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，221log log 32c ==-， 又()22111log 3log 3222f c f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()f c f a f b >>.故选：C 【点睛】本题主要考查了函数导数的应用，函数的奇偶性，函数单调性的应用，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.6．【答案】B 【解析】 【分析】由定积分的物理意义，变力F (x )所作的功等于力在位移上的定积分，进而计算可得答案． 【详解】根据定积分的物理意义，力F (x )所作的功为()3141x dx -=⎰(2x 2-x )31|=14. 故选B 【点睛】本题主要考查了定积分在物理中的应用，同时考查了定积分的计算，属于基础题 7．【答案】B 【解析】 【分析】由定积分的运算，求得()32123f x x x =-，再利用导数求得函数()f x 的单调性与极值，结合端点的函数值，得到函数的最值，得到答案. 【详解】由题意，函数()()323200114(2)|233xxf x t t dt t t x x =-=-=-⎰， 则()24(4)f x x x x x '=-=-，当[1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(0,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(4,5]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；又由()713f -=-，()00f =，()3243f =-，()2553f =-， 所以函数()f x 的最大值为0，最小值为323-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了定积分的运算，以及利用导数研究函数的最值问题，其中解答中熟记函数的导数与原函数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 8．【答案】D【解析】 【分析】利用定积分计算出矩形OABC 中位于曲线xy e =上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于e 的等式，解出e 的表达式即可. 【详解】在函数xy e =的解析式中，令1x =，可得y e =，则点()1,B e ，直线BC 的方程为y e =，矩形OABC 中位于曲线xy e =上方区域的面积为()()111xxS e e dx ex e =-=-=⎰，矩形OABC 的面积为1e e ⨯=， 由几何概型的概率公式得1N M e =，所以，Me N=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用随机模拟的思想估算e 的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题. 9．【答案】A 【解析】 【分析】Gini 越小，不平等区域越小，可知①正确，结合劳伦茨曲线的特点，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可知②错误，结合定积分公式，可求出a 的值，即可判断出③④是否正确，从而可选出答案. 【详解】对于①，根据基尼系数公式Gini a S=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误；对于③，因为1223100111()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误；对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选：A. 【点睛】本题考查不等式恒成立，考查定积分的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 10．【答案】e【解析】 【分析】 利用积分运算得()121002()|xx ex dx e x +=+⎰，计算可得答案.【详解】 因为()12102()|xx ex dx e x +=+⎰(1)1e e =+-=. 故答案为：e . 【点睛】本题考查积分的运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 11．【答案】18【解析】 【分析】根据定积分的几何意义可求得结果. 【详解】联立224x yy x ⎧=⎨=+⎩，消去y 得2280x x --=，解得2x =-或4x =，所以所求面积是242(4)2x x dx -+-⎰2342(4)26x x x -=+-2344484482626⎛⎫⎛⎫=+⨯---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=.故答案为：18. 【点睛】本题考查了定积分的几何意义，属于基础题. 12．【答案】1013【解析】 【分析】先由微积分基本定理求出13q =，再由312a a a =⋅求出首项，进而可求出结果. 【详解】因为等比数列{}n a 的公比123101133q x dx x ===⎰，且2231211a a a a q a q ===， ∴113a =，∴101013a =. 故答案为1013【点睛】本题主要考查等比数列的基本量运算，熟记微积分基本定理，以及等比数列的通项公式即可，属于基础题型. 13．【答案】23【解析】 【分析】求出矩形OABC 的面积S ，及22y x x =-+与x 轴围城的封闭图形的面积()22102d S x x x =-+⎰，结合几何概型的概率公式，可求出答案. 【详解】如图，由题意，矩形OABC 的面积212S =⨯=，22y x x =-+与x 轴围城的封闭图形面积为()223210212d 03S x x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭⎰321422033=-⨯+-=，则123S P S ==. 所以在矩形OABC 中随机选取一点(),P x y ，事件：点(),P x y 的坐标满足22y x x ≤-+的概率为23. 故答案为：23.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，弄清随机事件对应的平面区域是关键，本题属于中档题.1．【答案】0【解析】2220011(1)d ()|42022x x x x -=-=⨯-=⎰. 2．【答案】16【解析】由题意可得封闭图形的面积为122310011111()d ()|23236x x x x x -=-=-=⎰. 3．【答案】116116【解析】开始n =1,T =1,因为1<3,所以11212001131d 1|11222T x x x =+=+=+⨯=⎰,n =1+1=2; 因为2<3,所以13130023313111d |1223236T x x x =+=+=+⨯=⎰,n =2+1=3. 因为3<3不成立,所以输出T ,即输出的T 的值为116.4．【答案】512【解析】依题意知点D 的坐标为(1,4),所以矩形ABCD 的面积S =1×4=4, 阴影部分的面积S 阴影=3222111754d 44333| x x x =-=--=⎰,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P =534S S ==阴影S =534=512.5．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =(0p >)，因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()53235355222240(2)d (2)(255)[255]257575753x x x x ---=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案为1.2． 1．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案．2.和差倍分问题： 增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量3.等积变形问题： 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝ r2h②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc4．数字问题一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．5．市场经济问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润×100%商品成本价（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．6．行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．7．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝18．储蓄问题利润＝每个期数内的利息×100% 利息＝本金×利率×期数本金实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）类型一：列二元一次方程组解决——行程问题【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得：x=6，y=3.6答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。
[高二数学]定积分和微积分的基本定理
π2 ＝ 8 ＋1. 1 1 (3)因为(－ x)′＝x2， 1 1 2 1 1 所以 x2dx＝[－x]1 ＝－(2－1)＝2.
2 1
高考总复习 数学
第四章
导数及应用（选修· 文/理）
(2010· 山东，7)由曲线 y＝x2，y＝x3 围成的封闭图形面 积为( 1 A. 12 1 C.3 ) 1 B. 4 7 D.12
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第四章
导数及应用（选修· 文/理）
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导数及应用（选修· 文/理）
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导数及应用（选修· 文/理）
4．微积分基本定理(牛顿——莱布尼兹公式) 如果 f(x)是区间[a、b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)
b b 那么 f(x)dx＝F(x)|a ＝F(b)－F(a)．
2
＝ln 22－ln 2＝2ln 2－ln 2＝ln 2.
[答案] D
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导数及应用（选修· 文/理）
2．用力把弹簧从平衡位置拉长10cm，此时用的力是200N，
变力F做的功W为(
A．5J
)
B．10J
C．20J
D．40J
[解析] 设F(x)＝kx，则200＝k·0.1
∴k＝2000，∴W＝∫20.12000xdx＝1000x2|00.1＝10(J)．
1
1 2 e 1 e e ＝2x |1 ＋lnx|1 － x|1 1 2 1 1 ＝2(e －1)＋(lne－ln1)－(e －1) 1 2 1 3 ＝2e － e＋2.
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定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理知识点一:定积分的概念如果函数在区间上连续，用分点将区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点(i=1,2,3…,n)，作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即,，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.说明:(1)定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零;(2)用定义求定积分的四个基本步骤:?分割;?近似代替;?求和;?取极限.知识点二:定积分的几何意义设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积;在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示曲边梯形面积的相反数;在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予负号;在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和.知识点三:定积分的性质(1)(为常数)，(2)，(3)(其中)，(4)利用函数的奇偶性求积分:若函数在区间上是奇函数，则;若函数在区间上是偶函数，则.知识点四:微积分基本定理微积分基本定理(或牛顿,莱布尼兹公式):如果在上连续，且，则。
其中叫做的一个原函数.注意:求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.由于也是的原函数，其中c为常数.知识点五:应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线，，轴(即直线)及一条曲线()围成的曲边梯形的面积:2(如图，由三条直线，，轴(即直线)及一条曲线()围成的曲边梯形的面积:3(由三条直线轴及一条曲线(不妨设在区间上，在区间上)围成的图形的面积:,，.4. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积: 知识点六:定积分在物理中的应用变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.变力作功物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.规律方法指导1(如何正确理解定积分的概念定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即(称为积分形式的不变性)，另外定积分与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如与的值就不同。
高中数学第一章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积课件新人教A版选修22
6
4 3பைடு நூலகம்
第二十五页，共27页。
归纳 一般曲边梯形((tgīxuínīgn)的à)面积的表达式
概括
S
n
lim n i1
ba n
f
i
第二十六页，共27页。
归纳 (guīnà)概 括 以上计算曲边三角形面积的过程可以(kěyǐ)用流程图表示：
分割
近似代替
求和
逼近
y
y
y
y
O
xO
xO
xO
x
第二十七页，共27页。
n
1)2
(
i n
)2
]
1 n
,
i
1,
2,
,n
Sn S '1 S '2 S 'i S 'n
1 2
1 n
(
1 n
)
2
(
1 n
)
2
( 2 )2 n
(
2 n
)2
( 3 )2 n
(
n
1)2 n
(
n n
)2
1 n3
12
22
n
12
n2 2
1 n 1 n 2n 1 n2
n3 [
6
] 2
1 2 • 1 2 2 • 1 n 2 • 1
n n n n
n n
1 n3
12
22
n2
y y=x2
O
i 1 i
1x
nn
第十六页，共27页。
案例探究
2、近似(jìn
y
sì)代替(以直
代曲）
f(
i n
)
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.4知识点总结含同步练习题及答案
1 1 1 25 ． + +⋯+ < n+1 n+2 2n 36
即
2n 1 1 1 1 n + +⋯+ <∫ dx = ln x| 2 n = ln 2n − ln n = ln 2， n+1 n+2 2n x n
因为ln 2 ≈ 0.6931 ， 25 ≈ 0.6944 ，所以ln 2 < 25 ．所以
3 1
π 2 dx；（3）∫ 0 2 (sin x − cos x)dx． x
∫
(1 + x + x2 ) = ∫
3 1
1 2 3 1 x | 1 + x3 | 3 1 2 3 1 1 = (3 − 1) + (3 2 − 1 2 ) + (3 3 − 1 3 ) 2 3 44 = . 3 = x| 3 1 +
∑ f (ξi )Δx = ∑
i =1 i =1 n n
b−a f (ξi )， n
当 n → ∞ 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分（definite integral），记作 ∫ ab f (x)dx，即
∫
b a
f (x)dx = lim ∑
∫
b a
f (x)dx = F (x)| b a = F (b) − F (a).
例题： 利用定积分定义计算： （1）∫ 1 (1 + x)dx；（2）∫ 0 xdx． 解：（1）因为 f (x) = 1 + x 在区间 [1, 2] 上连续，将区间 [1, 2] 分成 n 等份，则每个区间的